Дробью будем называть одну или несколько равных между собой долей одного целого. Дробь записывается с помощью двух натуральных чисел, которые разделены между собой чертой. Например, 1 / 2 , 14 / 4 , ¾, 5 / 9 и т.д.

Цифра, которая записана сверху над чертой, называется числителем дроби, а цифра записанная под чертой, называется знаменателем дроби.

Для чисел, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, и т.д. условились записывать число без знаменателя. Для этого сначала пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут дробную часть этого числа, то есть числитель дробной части.

Например, вместо 6(7 / 10) пишут 6,7. Такую запись принято называть десятичной дробью .

Разберемся, как выполнять простейшие арифметические действия с десятичными дробями.

Сложение десятичных дробей в смешанной форме

Допустим нам нужно сложить десятичные дроби 2,7 и 1,651.

Первым делом необходимо уравнять количество цифр после запятой. Для этого нужно приписать к десятичной дроби 2,7 справа два нуля, получим: 2,7 = 2,700.

• 2,700 = 2 * (700 / 1000);
• 1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для сложения воспользуемся правилом, целые части складываем отдельно, дробные отдельно, и результаты складываем между собой.

• 2 + 1 = 3;
• 700 / 1000 + 651 / 1000 = 1351 / 1000 = 1 * (351 / 1000);
• 3 + 1 * (351 / 1000) = 4 * (351 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 4,351.

Получаем в итоге, 2,7 + 1,651.= 4,351.

Сложение десятичных дробей в столбик

Еще одним способом сложения десятичных дробей, является сложение чисел в столбик.

Снова, уравниваем количество цифр после запятой, приписывая нули. Записываем одно число над другим и складываем.

3,700
+
2,651
_____
6,351

Со сложением разобрались, теперь найдем разность тех же чисел.

Вычитание десятичных дробей в смешанной форме

Опять, же повторяем первый пункт и уравниваем количество цифр после запятой, дописывая нули.

• 2,7 = 2,700.

Запишем эти числа в смешанной форме.

• 2,700 = 2 * (700 / 1000);
• 1,651 = 1 * (651 / 1000).

Для нахождения разности воспользуемся правилом, работаем отдельно с целыми и с дробными частями, а потом складываем полученные результаты.

• 2 - 1 = 1;
• 700 / 1000 - 651 / 1000 = 49 / 1000 = 49 / 1000 ;
• 1 + 49 / 1000 = 1 * (49 / 1000).

А теперь, записываем это число в десятичной форме, имеем: 1,049.

Получаем в итоге, 2,7 - 1,651.= 1,049.

Вычитание десятичных дробей в столбик

Такой же результат моно было бы получить и при вычитании столбиком.

3,700
-
2,651
_____
1,049

Общее правило сложения и вычитания десятичных дробей

1. Уравнять в дробях количество знаков после запятой

• Для начала нужно уравнять число знаков после запятой.
• Дальше необходимо записать десятичные дроби друг под другом таким образом, чтобы запятые были друг под другом. Это самая важная часть!
• Далее, выполнить вычитание десятичных дробей, без учета запятых, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
• И последнее, поставить в ответе запятую под запятыми.

Второй вариант вычитания десятичных дробей :

Если вы хорошо разбираетесь в десятичных дробях, в том, что такое десятые, сотые и др., то вам будет интересен этот вариант.

Правила вычитания десятичных дробей в строчку:

• Вычитаем десятичные дроби справа налево. Т.е., начиная с крайнего правого числа после запятой.
• Вычитаем поразрядно. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее.
• При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Например:

Крайняя правая цифра в заданных дробях - сотого разряда. 1 - 1 = 0 . Получаем ноль, то есть, в разряде сотых разности записываем 0 .

Десятые вычитаем из десятых. 2 - в уменьшаемом, 3 - вычитаемом. Т.к. из 2 (меньшего) нельзя вычитать 3 (большее), то нужно занять десяток у левой цифры для 2. Здесь это 5. 2 + 10 = 12. Таким образом, 3 вычитаем не из 2 , а из 12 .

12 - 3 = 9

Записываем 9 в разность. Так как мы из 5 вычли 1 десяток, в уменьшаемом остается не 15 , а 14 , чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок или точку, как удобнее.

Вычитаем из 14 8:

14 - 8 = 6

Обратите внимание! Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и так далее. Если в одной из дробей, отсутствует цифра соответствующего разряда, вместо неё записываем 0 .

Во втором числе крайняя правая цифра это два (сотый разряд), а в первом числе сотых не видно. Значит, к первому числу справа от 9 дописываем 0 и далее производим вычитание опираясь на основные правила.

Третий вариант вычитания десятичных дробей :

Урок на тему: "Правила вычитания десятичных дробей. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 5 класса
Тренажер к учебнику Истоминой Н.Б.    Тренажер к учебнику Н.Я. Виленкина

Способы вычитания десятичных дробей

Вычитать десятичные дроби можно двумя способами.

Первый способ аналогичен вычитанию натуральных чисел столбиком.
Давайте рассмотрим этот способ на примере. Даны десятичные дроби: 45,68 и 4,1, определим: чему равна их разность?
Сначала уравняем количество знаков после запятой. Для этого справа к десятичной дроби 4,1 припишем ноль и получим 4,10. Значение десятичной дроби при этом не меняется, т.к. десятичную разделительную запятую мы не переносили.
Далее расположим десятичные дроби друг под другом и, начиная с самого крайнего правого столбца, будем вычитать цифры нижнего ряда из цифр верхнего ряда. В конце не забываем поставить запятую.
В результате этих операций мы получим разность десятичных дробей.
Все просто и понятно. Единственное затруднение может возникнуть, если при вычитании разряд числа уменьшаемого меньше разряда числа вычитаемого.

Рассмотрим еще один пример вычитания десятичных дробей.
Даны десятичные дроби: 23,18 и 3,2.
Сначала выравняем количество разрядов и получим: 23,18 и 3,20.
Запишем десятичные дроби в столбик друг под другом/

Начиная с правого крайнего ряда, вычитаем цифры нижнего ряда из цифр верхнего ряда. Если из цифры 1 вычесть цифру 2, то получим отрицательное число. Поэтому мы берем десяток единиц из соседнего разряда и получается, что производим вычитание числа 2 из числа 11. В результате имеем:
Алгоритм вычитания десятичных дробей:
1. Выравниваем десятичные дроби по количеству цифр после запятой.
2. Записываем десятичные дроби в столбик друг под другом.
3. Производим вычитание десятичных дробей по правилам вычитания натуральных чисел, не обращая внимания на наличие десятичной запятой.
4. После окончания вычитания, не забываем поставить десятичную запятую.

Второй способ вычитания десятичных дробей

Этот способ более сложен, менее нагляден и требует небольшого опыта. Зато он более быстр, поскольку здесь нет необходимости записывать числа в столбик и уравнивать количество знаков после запятой.
Самое главное в этом методе запомнить правило: десятые доли числа можно вычитать только из десятых долей, сотые - из сотых и т. д. Если в каком-либо разряде уменьшаемое меньше вычитаемого, то десяток единиц берем из соседнего слева разряда.

Рассмотрим пример. Заданы десятичные дроби: 5,13 и 3,4.
Вычитаем сотые доли, получаем 3.

Вычитаем десятые доли. В данном пример нам необходимо взять десять единиц из соседнего разряда, т.к. при вычитании десятых долей, уменьшаемое меньше вычитаемого.

5,13 - 3,4 = 1,73

И как обычно, результаты вычитания нужно проверить сложением. Для нашего примера, это:

В этой статье внимание сосредоточим на вычитании десятичных дробей . Здесь мы рассмотрим правила вычитания конечных десятичных дробей, остановимся на вычитании десятичных дробей столбиком, а также рассмотрим, как проводится вычитание бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей. Наконец, поговорим о вычитании десятичных дробей из натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел, и о вычитании натуральных чисел, обыкновенных дробей и смешанных чисел из десятичных дробей.

Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать лишь вычитание меньшей десятичной дроби из большей десятичной дроби, другие случаи разберем в статьях вычитание рациональных чисел и вычитание действительных чисел .

Навигация по странице.

Общие принципы вычитания десятичных дробей

По своей сути вычитание конечных десятичных дробей и бесконечных периодических десятичных дробей представляет вычитание соответствующих обыкновенных дробей. Действительно, указанные десятичные дроби являются десятичной записью обыкновенных дробей, о чем сказано в статье перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби и обратно .

Рассмотрим примеры вычитания десятичных дробей, отталкиваясь от озвученного принципа.

Пример.

Выполните вычитание из десятичной дроби 3,7 десятичной дроби 0,31 .

Решение.

Так как 3,7=37/10 и 0,31=31/100 , то . Так вычитание десятичных дробей свелось к вычитанию обыкновенных дробей с разными знаменателями : . Полученную дробь представим в виде десятичной дроби: 339/100=3,39 .

Ответ:

3,7−0,31=3,39 .

Заметим, что вычитание конечных десятичных дробей удобно проводить столбиком, об этом методе мы поговорим в .

Сейчас разберем пример вычитания периодических десятичных дробей.

Пример.

Отнимите от периодической десятичной дроби 0,(4) периодическую десятичную дробь 0,41(6) .

Решение.

Ответ:

0,(4)−0,41(6)=0,02(7) .

Осталось озвучить принцип вычитания бесконечных непериодических дробей .

Вычитание бесконечных непериодических дробей сводится к вычитанию конечных десятичных дробей. Для этого вычитаемые бесконечные десятичные дроби округляют до некоторого разряда, обычно, до самого младшего из возможных (смотрите округление чисел ).

Пример.

Проведите вычитание конечной десятичной дроби 0,52 из бесконечной непериодической десятичной дроби 2,77369… .

Решение.

Округлим бесконечную непериодическую десятичную дробь до 4 знака после запятой, имеем 2,77369…≈2,7737 . Таким образом, 2,77369…−0,52≈2,7737−0,52 . Вычислив разность конечных десятичных дробей, получаем 2,2537 .

Ответ:

2,77369…−0,52≈2,2537 .

Вычитание десятичных дробей столбиком

Очень удобным способом вычитания конечных десятичных дробей является вычитание столбиком. Вычитание десятичных дробей столбиком очень схоже с вычитанием столбиком натуральных чисел .

Чтобы выполнить вычитание десятичных дробей столбиком , нужно:

• уравнять количество десятичных знаков в записях десятичных дробей (если оно, конечно, отличается), дописав справа некоторое количество нулей к одной из дробей;
• вычитаемое записать под уменьшаемым так, чтобы цифры соответствующих разрядов находились друг под другом, и запятая находилась под запятой;
• выполнить вычитание столбиком, не обращая внимания на запятые;
• в полученной разности поставить запятую так, чтобы она располагалась под запятыми уменьшаемого и вычитаемого.

Рассмотрим пример вычитания десятичных дробей столбиком.

Пример.

Выполните вычитание десятичной дроби 10,30501 из десятичной дроби 4 452,294 .

Решение.

Очевидно, количество десятичных знаков дробей различно. Уравняем его, дописав два нуля справа в записи дроби 4 452,294 , при этом получится равная ей десятичная дробь 4 452,29400 .

Теперь запишем вычитаемое под уменьшаемым, как это предполагает метод вычитания десятичных дробей столбиком:

Проводим вычитание, не обращая внимания на запятые:

Осталось лишь поставить десятичную запятую в полученной разности:

На этом этапе запись приняла законченный вид, и вычитание десятичных дробей столбиком закончено. Получился следующий результат .

Ответ:

4 452,294−10,30501=4 441,98899 .

Вычитание десятичной дроби из натурального числа и наоборот

Вычитание конечной десятичной дроби из натурального числа удобнее всего выполнить столбиком, записав уменьшаемое натуральное число в виде десятичной дроби с нулями в дробной части. Разберемся с этим при решении примера.

Пример.

Отнимите от натурального числа 15 десятичную дробь 7,32 .

Решение.

Представим натуральное число 15 в виде десятичной дроби, дописав после десятичной запятой две цифры 0 (так как вычитаемая десятичная дробь имеет две цифры в дробной части), имеем 15,00 .

Теперь выполним вычитание десятичных дробей столбиком:

В итоге получаем 15−7,32=7,68 .

Ответ:

15−7,32=7,68 .

Вычитание бесконечной периодической десятичной дроби из натурального числа можно свести к вычитанию обыкновенной дроби из натурального числа. Для этого периодическую десятичную дробь достаточно заменить соответствующей обыкновенной дробью.

Пример.

Проведите вычитание из натурального числа 1 периодической десятичной дроби 0,(6) .

Решение.

Периодической десятичной дроби 0,(6) отвечает обыкновенная дробь 2/3 . Таким образом, 1−0,(6)=1−2/3=1/3 . Полученную обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной дроби 0,(3) .

Ответ:

1−0,(6)=0,(3) .

Вычитание бесконечной непериодической десятичной дроби из натурального числа сводится к вычитанию конечной десятичной дроби. Для этого бесконечную непериодическую десятичную дробь нужно округлить до некоторого разряда.

Пример.

Отнимите от натурального числа 5 бесконечную непериодическую десятичную дробь 4,274… .

Решение.

Сначала округлим бесконечную десятичную дробь, мы можем провести округление до сотых, имеем 4,274…≈4,27 . Тогда 5−4,274…≈5−4,27 .

Представим натуральное число 5 как 5,00 , и выполним вычитание десятичных дробей столбиком:

Ответ:

5−4,274…≈0,73 .

Осталось озвучить правило вычитания натурального числа из десятичной дроби : чтобы вычесть натуральное число из десятичной дроби, надо это натуральное число вычесть из целой части уменьшаемой десятичной дроби, а дробную часть оставить без изменения. Это правило относится как к конечным десятичным дробям, так и к бесконечным. Рассмотрим решение примера.

Пример.

Выполните вычитание натурального числа 17 из десятичной дроби 37,505 .

Решение.

Целая часть десятичной дроби 37,505 равна 37 . Вычтем из нее натуральное число 17 , имеем 37−17=20 . Тогда 37,505−17=20,505 .

Ответ:

37,505−17=20,505 .

Вычитание десятичной дроби из обыкновенной дроби или смешанного числа и наоборот

Вычитание конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби из обыкновенной дроби можно свести к вычитанию обыкновенных дробей. Для этого вычитаемую десятичную дробь достаточно перевести в обыкновенную дробь.

Пример.

Отнимите десятичную дробь 0,25 от обыкновенной дроби 4/5 .

Решение.

Так как 0,25=25/100=1/4 , то разность обыкновенной дроби 4/5 и десятичной дроби 0,25 равна разности обыкновенных дробей 4/5 и 1/4 . Итак, 4/5−0,25=4/5−1/4=16/20−5/20=11/20 . В десятичной записи полученная обыкновенная дробь имеет вид 0,55 .

Ответ:

4/5−0,25=11/20=0,55 .

Аналогично вычитание конечной десятичной дроби или периодической десятичной дроби из смешанного числа сводится к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа.

Пример.

Выполните вычитание десятичной дроби 0,(18) из смешанного числа .

Решение.

Для начала переведем периодическую десятичную дробь 0,(18) в обыкновенную дробь: . Таким образом, . Полученное смешанное число в десятичной записи имеет вид 8,(18) .