Взвешенная дисперсия. Пример нахождения дисперсии

В предыдущем мы привели ряд формул, позволяющих находить числовые характеристики функций, когда известны законы распределения аргументов. Однако во многих случаях для нахождения числовых характеристик функций не требуется знать даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики; при этом мы вообще обходимся без каких бы то ни было законов распределения. Определение числовых характеристик функций по заданным числовым характеристикам аргументов широко применяется в теории вероятностей и позволяет значительно упрощать решение ряда задач. По преимуществу такие упрощенные методы относятся к линейным функциям; однако некоторые элементарные нелинейные функции также допускают подобный подход.

В настоящем мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках функций, представляющих в своей совокупности весьма простой аппарат вычисления этих характеристик, применимый в широком круге условий.

1. Математическое ожидание неслучайной величины

Сформулированное свойство является достаточно очевидным; доказать его можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

2. Дисперсия неслучайной величины

Если - неслучайная величина, то

3. Вынесение неслучайной величины за знак математического ожидания

, (10.2.1)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания.

Доказательство.

а) Для прерывных величин

б) Для непрерывных величин

4. Вынесение неслучайной величины за знак дисперсии и среднего квадратического отклонения

Если - неслучайная величина, а - случайная, то

, (10.2.2)

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.

Доказательство. По определению дисперсии

Следствие

т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднего квадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (10.2.2) и учитывая, что с.к.о. - существенно положительная величина.

5. Математическое ожидание суммы случайных величин

Докажем, что для любых двух случайных величин и

т. е. математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.

Доказательство.

а) Пусть - система прерывных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу (10.1.6) для математического ожидания функции двух аргументов:

Ho представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина примет значение :

;

следовательно,

Аналогично докажем, что

и теорема доказана.

б) Пусть - система непрерывных случайных величин. По формуле (10.1.7)

. (10.2.4)

Преобразуем первый из интегралов (10.2.4):

;

аналогично

и теорема доказана.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин - как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:

, (10.2.5)

т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.

6. Математическое ожидание линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных аргументов :

где - неслучайные коэффициенты. Докажем, что

, (10.2.6)

т. е. математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.

Доказательство. Пользуясь теоремой сложения м. о. и правилом вынесения неслучайной величины за знак м. о., получим:

7. Дисп ep сия суммы случайных величин

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:

Доказательство. Обозначим

По теореме сложения математических ожиданий

Перейдем от случайных величин к соответствующим центрированным величинам . Вычитая почленно из равенства (10.2.8) равенство (10.2.9), имеем:

По определению дисперсии

что и требовалось доказать.

Формула (10.2.7) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:

, (10.2.10)

где - корреляционный момент величин , знак под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин .

Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.

Формула (10.2.10) может быть записана еще в другом виде:

, (10.2.11)

где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин , содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.

Если все случайные величины , входящие в систему, некоррелированы (т. е. при ), формула (10.2.10) принимает вид:

, (10.2.12)

т. е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.

8. Дисперсия линейной функции

Рассмотрим линейную функцию нескольких случайных величин.

где - неслучайные величины.

Докажем, что дисперсия этой линейной функции выражается формулой

, (10.2.13)

где - корреляционный момент величин , .

Доказательство. Введем обозначение:

. (10.2.14)

Применяя к правой части выражения (10.2.14) формулу (10.2.10) для дисперсии суммы и учитывая, что , получим:

где - корреляционный момент величин :

Вычислим этот момент. Имеем:

;

аналогично

Подставляя это выражение в (10.2.15), приходим к формуле (10.2.13).

В частном случае, когда все величины некоррелированны, формула (10.2.13) принимает вид:

, (10.2.16)

т. е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов.

9. Математическое ожидание произведения случайных величин

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

что, очевидно, равносильно формуле (10.2.17).

Если случайные величины некоррелированны , то формула (10.2.17) принимает вид:

т. е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение известно под названием теоремы умножения математических ожиданий.

Формула (10.2.17) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:

. (10.2.19)

Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента аналогично тому, как для одной случайной величины дисперсия часто вычисляется через второй начальный момент и математическое ожидание.

Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей, только в этом случае для ее применения недостаточно того, чтобы величины были некоррелированны, а требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие смешанные моменты, число которых зависит от числа членов в произведении. Эти условия заведомо выполнены при независимости случайных величин, входящих в произведение. В этом случае

, (10.2.20)

т. е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Это положение легко доказывается методом полной индукции.

10. Дисперсия произведения независимых случайных величин

Докажем, что для независимых величин

Доказательство. Обозначим . По определению дисперсии

Так как величины независимы, и

При независимых величины тоже независимы; следовательно,

Но есть не что иное, как второй начальный момент величины , и, следовательно, выражается через дисперсию:

;

аналогично

Подставляя эти выражения в формулу (10.2.22) и приводя подобные члены, приходим к формуле (10.2.21).

В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (10.2.21) принимает вид:

, (10.2.23)

т. е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.

11. Высшие моменты суммы случайных величин

В некоторых случаях приходится вычислять высшие моменты суммы независимых случайных величин. Докажем некоторые относящиеся сюда соотношения.

1) Если величины независимы, то

Доказательство.

откуда по теореме умножения математических ожиданий

Но первый центральный момент для любой величины равен нулю; два средних члена обращаются в нуль, и формула (10.2.24) доказана.

Соотношение (10.2.24) методом индукции легко обобщается на произвольное число независимых слагаемых:

. (10.2.25)

2) Четвертый центральный момент суммы двух независимых случайных величин выражается формулой

где - дисперсии величин и .

Доказательство совершенно аналогично предыдущему.

Методом полной индукции легко доказать обобщение формулы (10.2.26) на произвольное число независимых слагаемых.

Дисперсия в статистике находится как индивидуальных значений признака в квадрате от . В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n — частота (повторяемость фактора Х)

Пример нахождения дисперсии

На данной странице описан стандартный пример нахождения дисперсии, также Вы можете посмотреть другие задачи на её нахождение

Пример 1. Имеются следующие данные по группе из 20 студентов заочного отделения. Нужно построить интервальный ряд распределения признака, рассчитать среднее значение признака и изучить его дисперсию

Построим интервальную группировку. Определим размах интервала по формуле:

где X max– максимальное значение группировочного признака;
X min–минимальное значение группировочного признака;
n – количество интервалов:

Принимаем n=5. Шаг равен: h = (192 — 159)/ 5 = 6,6

Составим интервальную группировку

Для дальнейших расчетов построим вспомогательную таблицу:

X’i– середина интервала. (например середина интервала 159 – 165,6 = 162,3)

Среднюю величину роста студентов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Определим дисперсию по формуле:

Формулу дисперсии можно преобразовать так:

Из этой формулы следует, что дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата и средней.

Дисперсия в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов может быть рассчитана следующим способом при использовании второго свойства дисперсии (разделив все варианты на величину интервала). Определении дисперсии , вычисленной по способу моментов, по следующей формуле менее трудоемок:

где i - величина интервала;
А - условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой;
m1 — квадрат момента первого порядка;
m2 — момент второго порядка

(если в статистической совокупности признак изменяется так, что имеются только два взаимно исключающих друг друга варианта, то такая изменчивость называется альтернативной) может быть вычислена по формуле:

Подставляя в данную формулу дисперсии q =1- р, получаем:

Виды дисперсии

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности в целом под влиянием всех факторов, обуславливающих эту вариацию. Она равняется среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общего среднего значения х и может быть определена как простая дисперсия или взвешенная дисперсия.

характеризует случайную вариацию, т.е. часть вариации, которая обусловлена влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Такая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы X от средней арифметической группы и может быть вычислена как простая дисперсия или как взвешенная дисперсия.

Таким образом, внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы и определяется по формуле:

где хi - групповая средняя;
ni - число единиц в группе.

Например, внутригрупповые дисперсии, которые надо определить в задаче изучения влияния квалификации рабочих на уровень производительности труда в цехе показывают вариации выработки в каждой группе, вызванные всеми возможными факторами (техническое состояние оборудования, обеспеченность инструментами и материалами, возраст рабочих, интенсивность труда и т.д.), кроме отличий в квалификационном разряде (внутри группы все рабочие имеют одну и ту же квалификацию).

Средняя из внутри групповых дисперсий отражает случайную , т. е. ту часть вариации, которая происходила под влиянием всех прочих факторов, за исключением фактора группировки. Она рассчитывается по формуле:

Характеризует систематическую вариацию результативного признака, которая обусловлена влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равняется среднему квадрату отклонений групповых средних от общей средней. Межгрупповая дисперсия рассчитывается по формуле:

Правило сложения дисперсии в статистике

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Смысл этого правила заключается в том, что общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равняется сумме дисперсий, которые возникают под влиянием всех прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счет фактора группировки.

Пользуясь формулой сложения дисперсий, можно определить по двум известным дисперсиям третью неизвестную, а также судить о силе влияния группировочного признака.

Свойства дисперсии

1. Если все значения признака уменьшить (увеличить) на одну и ту же постоянную величину, то дисперсия от этого не изменится.
2. Если все значения признака уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз n, то дисперсия соответственно уменьшится (увеличить) в n^2 раз.

Однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:

«Снайперское» математическое ожидание равно , однако и у «интересной личности»: – оно тоже нулевое!

Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия .

Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока:

Там мы нашли неутешительное математическое ожидание этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через .

Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием :

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше) разности составят , и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.

Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей:

И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание , которое и является мерилом рассеяния:

– определение дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной – возьмите на заметку для практики!

Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы) :
– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:

Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается греческой буквой «сигма»:

Иногда это значение называют стандартным отклонением .

В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:

– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем:

Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:

Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина) . Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.

Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне , и посмотрим, что здесь к чему:

Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, где за 1 раз он не проигрывает/выигрывает слишком много. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины ) .

Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл» , в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.

Показательна ситуация в покере: здесь есть так называемые тайтовые игроки, которые склонны осторожничать и «трястись» над своими игровыми средствами (банкроллом) . Неудивительно, что их банкролл не подвергается значительным колебаниям (низкая дисперсия). Наоборот, если у игрока высокая дисперсия, то это агрессор. Он часто рискует, делает крупные ставки и может, как сорвать огромный банк, так и програться в пух и прах.

То же самое происходит на Форексе, и так далее – примеров масса.

Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание .

Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:

Формула для нахождения дисперсии

Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:

и найденное матожидание .

Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание – квадрата случайной величины . По определению математического ожидания :

В данном случае:

Таким образом, по формуле:

Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).

Осваиваем технику решения и оформления:

Пример 6

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями:)

Решение : Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения , затем и, наконец, суммы в правом столбце:

Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: .

Дисперсию вычислим по формуле:

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.

Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:

вот здесь уже трудно ошибиться:)

Ответ :

Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо) , который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём) . Программу можно скачать в библиотеке – если вы загрузили хотя бы один учебный материал, либо получить другим способом . Спасибо за поддержку проекта!

Пара заданий для самостоятельного решения:

Пример 7

Вычислить дисперсию случайной величины предыдущего примера по определению.

И аналогичный пример:

Пример 8

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы) , и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.

Решения и ответы внизу страницы.

В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:

Пример 9

Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причём . Известна вероятность , математическое ожидание и дисперсия .

Решение : начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:

и поскольку , то .

Осталось найти …, легко сказать:) Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
– подставляем известные величины:

– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:

или:

О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:

Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10:

и делим на 2:

Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
(это более простой путь) – подставляем во 2-е уравнение:

Возводим в квадрат и проводим упрощения:

Умножаем на :

В результате получено квадратное уравнение , находим его дискриминант:
– отлично!

и у нас получается два решения:

1) если , то ;

2) если , то .

Условию удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:

и выполним проверку, а именно, найдём матожидание:

Виды дисперсий:

Общая дисперсия характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Средняя внутригрупповая дисперсия свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются дисперсии по отдельным группам (), затем рассчитывается средняя внутригрупповая дисперсия:

где n i - число единиц в группе

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки.

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии:

Свойства:

25 Относительные показатели вариации

Коэффициент осцилляции
Относительное линейное отклонение
Коэффициент вариации

Коэф. Осц. о тражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней. Отн. лин. откл . характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины. Коэф. Вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин.

В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше 30–35 %, принято считать неоднородными.

Закономерность рядов распределения. Моменты распределения. Показатели формы распределения

В вариационных рядах существует связь между частотами и значениями варьирующего признака: с увеличением признака величина частоты сначала возрастает до определённой границы, а потом уменьшается. Такие изменения называются закономерностями распределения.

Форму распределения изучают с помощью показателей асимметрии и эксцесса. При исчислении указанных показателей используют моменты распределения.

Моментом k-го порядка называют среднюю из k-х степеней отклонений вариантов значений признака от некоторой постоянной величины. Порядок момента определяется величиной k. При анализе вариационных рядов ограничиваются расчетом моментов первых четырех порядков. При исчислении моментов в качестве весов могут быть использованы частоты или частости. В зависимости от выбора постоянной величины различают начальные, условные и центральные моменты.

Показатели формы распределения:

Асимметрия (As) показатель характеризующий степень асимметричности распределения.

Следовательно, при (левосторонней) отрицательной асимметрии . При (правосторонней) положительной асимметрии.

Для расчета асимметрии можно использовать центральные моменты. Тогда:

где μ 3 – центральный момент третьего порядка.

- эксцесс (Е к ) характеризует крутизну графика функции в сравнении с с нормальным распределением при той же силе вариации:

где μ 4 – центральный момент 4-ого порядка.

Закон нормального распределения

Для нормального распределения (распределения Гаусса) функция распределения имеет следующий вид:

Матожидание- стандартное отклонение

Нормальное распределение симметрично и для него характерно следующее соотношение: Хср=Ме=Мо

Эксцесс нормального распределения равен 3, а коэффициент асимметрии 0.

Кривая нормального распределения представляет собой полигон(симметричная колокобразная прямая)

Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий. Сущность эмпирического коэффициента детерминации.

Если исходная совокупность разделена на группы по какому-то существенному признаку, то вычисляют следующие виды дисперсий:

Общая дисперсия исходной совокупности:

где - общая средняя величина исходной совокупности;f– частоты исходной совокупности. Общая дисперсия характеризует отклонение индивидуальных значений признака от общей средней величины исходной совокупности.

Внутригрупповые дисперсии:

где j- номер группы;- средняя величина в каждойj-ой группе;- частотыj-ой группы. Внутригрупповые дисперсии характеризуют отклонение индивидуального значения признака в каждой группе от групповой средней величины. Из всех внутригрупповых дисперсий вычисляют среднюю по формуле:, где- численность единиц в каждойj-ой группе.

Межгрупповая дисперсия:

Межгрупповая дисперсия характеризует отклонение групповых средних величин от общей средней величины исходной совокупности.

Правило сложения дисперсий заключается в том, что общая дисперсия исходной совокупности должна быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий:

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации изучаемого признака, обусловленную вариацией группировочного признака, и рассчитывается по формуле:

Способ отсчета от условного нуля (способ моментов) для расчета средней величины и дисперсии

Расчет дисперсии способом моментов основан на использовании формулы и 3 и 4 свойств дисперсии.

(3.Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то дисперсия новой совокупности не изменится.

4.Если все значения признака (варианты) увеличить (умножить) в К раз, где К – постоянное число, то дисперсия новой совокупности увеличится (уменьшится) в К 2 раз.)

Получим формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами способом моментов:

А- условный ноль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой)

Расчет средней величины способом моментов также основан на использовании свойств средней.

Понятие о выборочном наблюдении. Этапы исследования экономических явлений выборочным методом

Выборочным называют наблюдение, при котором обследованию и изучению подвергаются не все единицы исходной совокупности, а только часть единиц, при этом результат обследования части совокупности распространяется на всю исходную совокупность. Совокупность, из которой производится отбор единиц для дальнейшего обследования и изучения называется генеральной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсягенеральными .

Возможные пределы отклонений выборочной средней величины от генеральной средней величины называют ошибкой выборки .

Совокупность отобранных единиц называется выборочной и все показатели, характеризующие эту совокупность, называютсявыборочными .

Выборочное исследование включает следующие этапы:

Характеристика объекта исследования (массовые экономические явления). Если генеральная совокупность небольшая, то выборку проводить не рекомендуется, необходимо сплошное исследование;

Расчет объема выборки. Важно определить оптимальный объем, который позволит при наименьших затратах получить ошибку выборки в пределах допустимой;

Проведение отбора единиц наблюдения с учетом требований случайности, пропорциональности.

Доказательство репрезентативности, основанное на оценке ошибки выборки. Для случайной выборки ошибка рассчитывается с использованием формул. Для целевой выборки репрезентативность оценивается с помощью качественных методов (сравнения, эксперимента);

Анализ выборочной совокупности. Если сформированная выборка отвечает требованиям репрезентативности, то проводится ее анализ с использованием аналитических показателей (средних, относительных и проч.)

Решение.

В качестве меры рассеивания значений случайной величины используется дисперсия

Дисперсия (слово дисперсия означает "рассеяние") есть мера рассеивания значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Если случайная величина - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то

если ряд в правой части равенства сходится.

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю
2. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий
3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате

Дисперсия разности случайных величин равна сумме дисперсий

Это свойство является следствием второго и третьего свойств. Дисперсии могут только складываться.

Дисперсию удобно вычислять по формуле, которую легко получить, используя свойства дисперсии

Дисперсия всегда величина положительная .

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности самой случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величиныназывается арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии

Бросают две монеты достоинством 2 и 5 рублей. Если монета выпадает гербом, то начисляют ноль очков, а если цифрой, то число очков, равное достоинству монеты. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков.

Решение. Найдем вначале распределение случайной величины Х - числа очков. Все комбинации - (2;5),(2;0),(0;5),(0;0) - равновероятны и закон распределения:

Математическое ожидание:

Дисперсию найдем по формуле

для чего вычислим

Пример 2.

Найти неизвестную вероятность р , математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной таблицей распределения вероятностей

Находим математическое ожидание и дисперсию:

M (X ) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (19.4)

D (X ) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

Пример 3. Два равносильных спортсмена проводят турнир, который длится или до первой победы одного из них, или до тех пор, пока не будет сыграно пять партий. Вероятность победы в одной партии для каждого из спортсменов равна 0,3, а вероятность ничейного исхода партии 0,4. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа сыгранных партий.

Решение. Случайная величина Х - количество сыгранных партий, принимает значения от 1 до 5, т. е.

Определим вероятности окончания матча. Матч закончится на первой партии, если кто-то их спортсменов выиграл. Вероятность выигрыша равна

Р (1) = 0,3+0,3 =0,6.

Если же была ничья (вероятность ничьей равна 1 - 0,6 = 0,4), то матч продолжается. Матч закончится на второй партии, если в первой была ничья, а во второй кто-то выиграл. Вероятность

Р (2) = 0,4 0,6=0,24.

Аналогично, матч закончится на третьей партии, если было подряд две ничьи и опять кто-то выиграл

Р (3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. Р (4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

Пятая партия в любом варианте последняя.

Р (5)= 1 - (Р (1)+Р (2)+Р (3)+Р (4)) = 0,0256.

Сведем все в таблицу. Закон распределения случайной величины "число выигранных партий" имеет вид

Математическое ожидание

Дисперсию вычисляем по формуле (19.4)

Стандартные дискретные распределения.

Биномиальное распределение. Пусть реализуется схема опытов Бернулли: проводится n одинаковых независимых опытов, в каждом из которых событие A может появиться с постоянной вероятностью p и не появится с вероятностью

(см. лекцию 18).

Число появлений события A в этих n опытах есть дискретная случайная величина X , возможные значения которой:

0; 1; 2; ... ; m ; ... ; n.

Вероятность появления m событий A в конкретной серии из n опытов с и закон распределения такой случайной величины задается формулой Бернулли (см. лекцию 18)

Числовые характеристики случайной величины X распределенной по биномиальному закону:

Если n велико (), то, при, формула (19.6) переходит в формулу

а табулированная функция Гаусса (таблица значений функции Гаусса приведена в конце 18 лекции).

На практике часто важна не сама вероятность появления m событий A в конкретной серии из n опытов, а вероятность того, что событие А появится не менее

раз и не более раз, т. е. вероятность того, что Х принимает значения

Для этого надо просуммировать вероятности

Если n велико (), то, при, формула (19.9) переходит в приближенную формулу

табулированная функция. Таблицы приведены в конце лекции 18.

При использовании таблиц надо учесть, что

Пример 1 . Автомобиль, подъезжая к перекрестку, может продолжить движение по любой из трех дорог: A, B или C с одинаковой вероятностью. К перекрестку подъезжают пять автомобилей. Найти среднее число автомашин, которое поедет по дороге A и вероятность того, что по дороге B поедет три автомобиля.

Решение. Число автомашин проезжающих по каждой из дорог является случайной величиной. Если предположить, что все подъезжающие к перекрестку автомобили совершают поездку независимо друг от друга, то эта случайная величина распределена по биномиальному закону с

n = 5 и p = .

Следовательно, среднее число автомашин, которое проследует по дороге A, есть по формуле (19.7)

а искомая вероятность при

Пример 2. Вероятность отказа прибора при каждом испытании 0,1. Производится 60 испытаний прибора. Какова вероятность того, что отказ прибора произойдёт: а) 15 раз; б) не более 15 раз?

а. Так как число испытаний 60, то используем формулу (19.8)

По таблице 1 приложения к лекции 18 находим

б . Используем формулу (19.10).

По таблице 2 приложения к лекции 18

- 0,495
0,49995

Распределение Пуассона) закон редких явлений). Если n велико, а р мало (), при этом произведение пр сохраняет постоянное значение, которое обозначим л,

то формула (19.6) переходит в формулу Пуассона

Закон распределения Пуассона имеет вид:

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения

выполнено, т.к. сумма ряда

В скобках записано разложение в ряд функции при

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона, т.е.

Доказательство.

Пример. Для продвижения своей продукции на рынок фирма раскладывает по почтовым ящикам рекламные листки. Прежний опыт работы показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 10 000 рекламных листков поступит хотя бы один заказ, среднее число поступивших заказов и дисперсию числа поступивших заказов.

Решение . Здесь

Вероятность того, что поступит хотя бы один заказ, найдем через вероятность противоположного события, т.е.

Случайный поток событий. Потоком событий называется последовательность событий, происходящие в случайные моменты времени. Типичными примерами потоков являются сбои в компьютерных сетях, вызовы на телефонных станциях, поток заявок на ремонт оборудования и т. д.

Поток событий называется стационарным , если вероятность попадания того или иного числа событий на временной интервал длины зависит только от длины интервала и не зависит не зависит от расположения временного интервала на оси времени.

Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем).

Поток событий называется потоком с отсутствием последействия , если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Условие отсутствия последействия - наиболее существенное для простейшего потока - означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящие на станцию метро, можно считать потоком без последействия потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Поток событий называется ординарным , если вероятность попадания на малый интервал времени t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (в этой связи закон Пуассона называют законом редких событий).

Условие ординарности означает, что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. дисперсия отклонение распределение бернулли

Например, поток клиентов, входящих в парикмахерскую, может считаться практически ординарным. Если в неординарном потоке заявки поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко свести к ординарному; для этого достаточно вместо потока отдельных заявок рассмотреть поток пар, троек и т. д. Сложнее будет, если каждая заявка случайным образом может оказаться двойной, тройной и т. д. Тогда уже приходится иметь дело с потоком не однородных, а разнородных событий.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название "пуассоновский" связано с тем, что при соблюдении перечисленных условий число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона

Здесь - среднее число событий A , появляющихся за единицу времени.

Этот закон однопараметрический, т.е. для его задания требуется знать только один параметр. Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия в законе Пуассона численно равны:

Пример . Пусть в середине рабочего дня среднее число запросов равняется 2 в секунду. Какова вероятность того, что 1) за секунду не поступит ни одной заявки, 2) за две секунды поступит 10 заявок?

Решение. Поскольку правомерность применения закона Пуассона не вызывает сомнения и его параметр задан (= 2), то решение задачи сводится к применении формулы Пуассона (19.11)

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

Закон больших чисел. Математическим основанием того факта, что значения случайной величины группируются около некоторых постоянных величин, является закон больших чисел.

Исторически первой формулировкой закона больших чисел стала теорема Бернулли:

"При неограниченном увеличении числа одинаковых и независимых опытов n частота появления события A сходится по вероятности к его вероятности", т.е.

где частота появления события A в n опытах,

Содержательно выражение (19.10) означает, что при большом числе опытов частота появления события A может заменять неизвестную вероятность этого события и чем больше число проведенных опытов, тем ближе р* к р. Интересен исторический факт. К. Пирсон бросал монету 12000 раз и герб у него выпал 6019 раз (частота 0.5016). При бросании этой же монеты 24000 раз он получил 12012 выпадений герба, т.е. частоту 0.5005.

Наиболее важной формой закона больших чисел является теорема Чебышева: при неограниченном возрастании числа независимых, имеющих конечную дисперсию и проводимых в одинаковых условиях опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию . В аналитической форме эта теорема может быть записана так:

Теорема Чебышева кроме фундаментального теоретического значения имеет и важное практическое применение, например, в теории измерений. Проведя n измерений некоторой величины х , получают различные несовпадающие значения х 1, х 2, ..., хn . За приближенное значение измеряемой величины х принимают среднее арифметическое наблюденных значений

При этом, чем больше будет проведено опытов, тем точнее будет полученный результат. Дело в том, что дисперсия величины убывает с возрастанием числа проведенных опытов, т.к.

D (x 1) = D (x 2)=…= D (xn ) D (x ) , то

Соотношение (19.13) показывает, что и при высокой неточности приборов измерения (большая величина) за счет увеличения количества измерений можно получать результат со сколь угодно высокой точностью.

Используя формулу (19.10) можно найти вероятность того, что статистическая частота отклоняется от вероятности не более, чем на

Пример. Вероятность события в каждом испытании равна 0,4. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем 0,8 ожидать, что относительная частота события будет отклоняться от вероятности по модулю менее, чем на 0,01?

Решение. По формуле (19.14)