Вам понадобится

• Чертеж конуса с заданными параметрами
• Линейка
• Карандаш
• Математические формулы и определения
• Высота конуса
• Радиус окружности основания конуса
• Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите конус с заданными параметрами. Обозначьте центр окружности как О, а вершину - как P. Вам необходимо знать радиус и высоту конуса. Вспомните высоты конуса. Она представляет собой перпендикуляр, из вершины конуса к его основанию. Точка пересечения высоты конуса с основания у прямого конуса совпадает с центром окружности основания. Постройте осевое сечение конуса. Оно диаметром основания и образующими конуса, которые проходят через точки пересечения диаметра с окружностью. Обозначьте полученные точки как А и В.

Осевое сечение образовано двумя прямоугольными треугольниками, лежащими в одной плоскости и имеющими один общий катет. Вычислить площадь осевого сечения можно двумя способами. Первый способ - найти площади получившихся треугольников и сложить их вместе. Это наиболее наглядный способ, но по сути он ничем не отличается от классического вычисления треугольника. Итак, у вас получилось 2 прямоугольных треугольника, общим катетом которых является высота конуса h, вторыми катетами - радиусы окружности основания R, а гипотенузами - образующие конуса. Поскольку все три стороны этих треугольников равны между собой, то и сами треугольники тоже получились равными, согласно третьему свойству равенства треугольников. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то есть S=1/2Rh. Площадь двух треугольников соответственно будет равна произведению основания на высоту, S=Rh.

Осевое сечение чаще всего рассматривают как , высотой которого является высота конуса. В данном случае это треугольник АPВ, основание которого равно диаметру окружности основания конуса D, а высота равна высоте конуса h. Площадь его вычисляется по классической формуле площади треугольника, то есть в итоге получаем ту же самую формулу S = 1/2Dh = Rh, где S – площадь треугольника, R - радиус окружности основания, а h - высота треугольника, являющаяся одновременно и высотой конуса.

Полезный совет

Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле площади трапеции. В этом случае необходимо знать оба радиуса оснований, высоту и серединную линию.

Источники:

• Урок Тема “Сечения конуса

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки, которая называется вершиной конуса и проходящих через плоскую поверхность, которая называется основанием конуса. Под площадью конуса понимают площадь его боковой поверхности и площадь основания, которое является окружностью.

Вам понадобится

• Элементарные знания стереометрии.

Инструкция

Окончательная площадь конуса равна сумме площадей его поверхности и основания. То есть S = П*R*R + П*R*l. Ну, или после преобразования, S = П*R(R + l).

Видео по теме

Обратите внимание

Площадь - величина положительная, и если вы получили отрицательное значение, значит, вы где-то ошиблись. Внимательно перепроверьте все свои расчеты.

Полезный совет

Зная площадь конуса и радиус его основания, можно найти длину его направляющей, а зная площадь и длину направляющей - радиус его основания.

Источники:

• как найти поверхность конуса в 2019

Построение сечения конуса не такая уж сложная задача. Главное - соблюдать строгую последовательность действий. Тогда данная задача будет легко выполнима и не потребует от Вас больших трудозатрат.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка;
• - циркль;
• - линейка.

Инструкция

При ответе на этот вопрос, сначала следует определиться – какими параметрами задано сечение.
Пусть это будет прямая пересечения плоскости l с плоскостью и точка О, которая местом пересечения с его сечением.

Построение иллюстрирует рис.1. Первый шаг построения сечения – это через центр сечения его диаметра, продленного до l перпендикулярно этой линии. В итоге получается точка L. Далее через т.О проведите прямую LW, и постройте две направляющие конуса, лежащие в главном сечении О2М и О2С. В пересечении этих направляющих лежат точка Q, а также уже показанная точка W. Это первые две точки искомого сечения.

Теперь проведите в основании конуса ВВ1 перпендикулярный МС и постройте образующие перпендикулярного сечения О2В и О2В1. В этом сечении через т.О проведите прямую RG, параллельную ВВ1. Т.R и т.G - еще две точки искомого сечения. Если бы сечения бал известен, то его можно было бы построить уже на этой стадии. Однако это вовсе не эллипс, а нечто эллипсообразное, имеющее симметрию относительно отрезка QW. Поэтому следует строить как можно больше точек сечения, чтобы соединяя их в дальнейшем плавной кривой получить наиболее достоверный эскиз.

Постройте произвольную точку сечения. Для этого проведите в основании конуса произвольный диаметр AN и постройте соответствующие направляющие О2A и O2N. Через т.О проведите прямую, проходящую через PQ и WG, до ее пересечения с только что построенными направляющими в точках P и E. Это еще две точки искомого сечения. Продолжая так же и дальше, можно сколь угодно искомых точек.

Правда, процедуру их получения можно немного упростить пользуясь симметрией относительно QW. Для этого можно в плоскости искомого сечения провести прямые SS’, параллельные RG до пересечения их с поверхность конуса. Построение завершается скруглением построенной ломаной из хорд. Достаточно построить половину искомого сечения в силу уже упомянутой симметрии относительно QW.

Видео по теме

Совет 4: Как найти площадь осевого сечения усеченного конуса

Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение . Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.

Инструкция

Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса . У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса , то его верхнее основание представляет собой круг.

Поскольку в условии задачи не оговорено, именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая через ось круглого конуса , представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения , требуется найти площадь трапеции, основаниями которой диаметры оснований усеченного конуса , а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.

Площадь трапеции определяется по формуле:S = ½(a+b) h, где S – площадь трапеции;a – величина нижнего основания трапеции;b – величина ее верхнего основания;h – высота трапеции.

Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

Решение задачи

Данный урок показывает, как правильно построить сечение конуса плоскостью и найти площадь этого сечения. Основным моментом при решении данной задачи является отношение дуг, которое задано по условию: учитывая, что отношение составляет 1:3 то можно четко определить, что градусная мера одной дуги будет 90°. А это намного упрощает решение задачи. Формула площади треугольника: половина произведения основании на высоту – дает возможность определиться с теми отрезками, длины которых нам необходимо найти. Чтобы найти длину основания используем теорему Пифагора (треугольник получается не только прямоугольный, но еще и равнобедренный – катеты треугольника это радиусы основания окружности). Высоту сечения также найдем по теореме Пифагора. У нас уже известно основание (нам нужна его половина) и длина образующей дана по условию. Осталось найти произведение полученных отрезков и разделить его на два. Ответ получен.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 8-х классов при изучении темы «Площадь» («Теорема Пифагора», «Площадь треугольника»); для учащихся 11-х классов при изучении темы «Тела вращения» («Решение задач. Конус»). При подготовке к ЕГЭ урок рекомендован при повторении темы «Площадь», «Тела вращения».

Бурковская Нина Дмитриевна.

Преподаватель математики

Уральский технологический колледж «Сервис».

Тема программы: Тела вращения– 10 часов.

Тема урока: Прямой круговой конус, его элементы. Сечения конуса плоскостью. Развертка конуса. Площадь поверхности конуса.

Цель урока: Формирование теоритических знаний о конусе, как о теле вращения, его свойствах, видах сечения плоскостью и площади полной поверхности. Математическое мышление, пространственное представление;

Самостоятельность учебно-познавательной деятельности.

Тип урока: Комбинированный урок.

Методы ведения: Лекционно-практическое занятие.

Оборудование урока: Математическая среда GeoGebra .

ХОД УРОКА:

Организационный момент – 1 – 2 мин.

Приветствие учащихся.

Отметить отсутствующих.

II . Опрос по домашнему заданию

1. Площадь боковой поверхности цилиндра;

2.Площадь полной поверхности цилиндра;

3. Цилиндр вписанный в призму;

4. Цилиндр описанный около призмы.

III . Объяснение нового материала. Краткий конспект.

1. Конус – тело, которое состоит из круга – основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

2. Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OS , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой S . Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью, а сами отрезки – образующими конической поверхности.

3. т. S – вершина конуса круг(О,ОА) – основание конуса

SA = SB – образующие конуса. Отрезок SO – высота конуса. Прямая SO – ось конуса

4. а) осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник

Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось конуса и

через его вершину – равнобедренный треугольник.

Сечение конуса плоскостью, перпендикулярно оси симметрии – круг,

АВ –сечение перпендикулярно оси симметрии и параллельно основанию.

Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую и радиус основания.

Градусная мера дуги

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

выразим через и, тогда

, .

Как найти площадь полной поверхности?

Площадь полной поверхности складывается из площади боковой поверхности и площади основания.

, .

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую .

IV . Закрепление нового материала:

Задача: Радиус основания конуса равен 14 см. Найдите площадь сечения, проведенного перпендикулярно его оси через ее середину .

Решение: △ А S О - прямоугольный ( S О  основанию), ∠ S АО=30 0 , S О(лежит против угла 30 0 )=, тогда AS =2О S =2*12=24.По т. Пифагора О; S б. = Ответ: S б. =.

Задание на дом §6.1 – 6.2, №8

Литература

Ж. Кайдасов, В. Гусев, А Кагазбаева Геометрия 10, 11 классы. Дидактический материал по геометрии для 10, 11 классов.

Площадь сечения конуса. Для вас представлена очередная статья с конусами. На момент написания этой статьи на блоге решены все примеры (прототипы) заданий с конусами, которые возможны на экзамене. Процесс решения несложен (1-2 действия), при определённой практике решаются устно. Нужно знать понятие образующей, об этом информация в . Так же необходимо понимать как образуются сечения конуса.

1. Если плоскость проходит через вершину конуса, то сечением является треугольник.

*Если плоскость проходит через ось конуса, то сечением является равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса, а основание на которое опущена эта высота равна диаметру основания конуса.

2. Если плоскость проходит перпендикулярно оси конуса, то сечением является круг.

Особенностью данных заданий является то, что применяется формула площади треугольника, . Формулы периодически повторяйте. Рассмотрим задачи:

324453. Площадь основания конуса равна 16Пи, высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник с основанием равным диаметру основания конуса и высотой равной высоте конуса. Обозначим диаметр как D, высоту как Н, запишем формулу площади треугольника:

Высота известна, вычислим диаметр. Используем формулу площади круга:

Значит диаметр будет равен 8. Вычисляем площадь сечения:

Ответ: 24

324454. Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Сечением является круг. Необходимо найти площадь этого круга.

Построим осевое сечение:

Рассмотрим треугольники AKL и AOC – они подобны. Известно, что в подобных фигурах отношения соответствующих элементов равны. Мы рассмотрим отношения высот и катетов (радиусов):

OC это радиус основания, его можно найти:

Значит

Теперь можем вычислить площадь сечения:

*Это алгебраический способ вычисления без использования свойства подобных тел, касающегося их площади. Можно было рассудить так:

Два конуса (исходный и отсечённый) подобны, значит пощади их оснований являются подобными фигурами. Для площадей подобных фигур существует зависимость:

Коэффициент подобия в данном случае равен 1/3 (высота исходного конуса равна 9, отсечённого 3), 3/9=1/3.

Таким образом, площадь основания полученного конуса равна:

Ответ: 2

323455. Высота конуса равна 8, а длина образующей - 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R.

Найдём диаметр основания и используя формулу площади треугольника вычислим площадь. По теореме Пифагора:

Пусть образующая это L, высота это H, радиус основания это R. На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Одной из фигур, которая встречается при решении геометрических задач в пространстве, является конус. Он, в отличие от многогранников, относится к классу фигур вращения. Рассмотрим в статье, что понимают под ним в геометрии, и исследуем характеристики различных сечений конуса.

Предположим, что имеется некоторая кривая на плоскости. Это может быть парабола, окружность, эллипс и так далее. Возьмем точку, которая указанной плоскости не принадлежит, и соединим с ней все точки кривой. Образованная поверхность называется конической или просто конусом.

Если исходная кривая является замкнутой, тогда коническую поверхность можно заполнить веществом. Полученная таким образом фигура является объемным телом. Она также называется конусом. Несколько конусов, изготовленных из бумаги, показаны ниже на рисунке.

Коническая поверхность встречается в обычной жизни. Например, этой формой обладает мороженое-рожок или дорожный полосатый конус, который призван привлечь внимание водителей и пешеходов.

Виды конусов

Как можно догадаться, рассматриваемые фигуры друг от друга отличаются типом кривой, на которой они образованы. Например, существует круглый конус или эллиптический. Данная кривая называется основанием фигуры. Однако форма основания - это не единственная особенность, позволяющая классифицировать конусы.

Второй важной их характеристикой является положение высоты относительно основания. Высотой конуса называется прямой отрезок, который опущен из вершины фигуры к плоскости основания и перпендикулярен этой плоскости. Если высота пересекает в геометрическом центре основание (например, в центре круга), то конус будет прямым, если перпендикулярный отрезок падает в любую другую точку основания или за его пределы, то фигура будет наклонной.

Геометрические названия элементов конуса

Выше было сказано, что конус имеет основание. Оно ограничено окружностью, которая называется направляющей конуса. Отрезки, соединяющие направляющую с точкой, не лежащей в плоскости основания, называются образующими. Совокупность всех точек образующих называется конической или боковой поверхностью фигуры. Для круглого прямого конуса все образующие имеют одинаковую длину.

Точка, где образующие пересекаются, называется вершиной фигуры. В отличие от многогранников, конус имеет единственную вершину и не имеет ни одной грани.

Прямая линия, проходящая через вершину фигуры и центр круга, называется осью. Ось содержит в себе высоту прямого конуса, поэтому она с плоскостью основания образует прямой угол. Эта информация важна при вычислении площади осевого сечения конуса.

Круглый прямой конус - фигура вращения

Рассматриваемый конус является достаточно симметричной фигурой, которую можно получить в результате вращения треугольника. Предположим, что имеется треугольник с прямым углом. Чтобы получить конус, достаточно вращать этот треугольник вокруг одного из катетов так, как показано на рисунке ниже.

Видно, что ось вращения является осью конуса. Один из катетов будет равен высоте фигуры, а второй катет станет радиусом основания. Гипотенуза треугольника в результате вращения опишет коническую поверхность. Она будет образующей конуса.

Указанный способ получения круглого прямого конуса удобно использовать для изучения математической связи между линейными параметрами фигуры: высоты h, радиуса круглого основания r и направляющей g. Соответствующая формула следует из свойств прямоугольного треугольника. Она приведена ниже:

Поскольку мы имеем одно уравнение и три переменных, то это означает, что для однозначного задания параметров круглого конуса необходимо знать две любые величины.

Сечения конуса плоскостью, которая не содержит вершину фигуры

Вопрос построения сечений фигуры не является тривиальным. Дело в том, что форма сечения конуса поверхностью зависит от взаимного расположения фигуры и секущей.

Предположим, что мы пересекаем конус плоскостью. Какое сечение получится в результате этой геометрической операции? Варианты формы сечения показаны на рисунке ниже.

Розовое сечение является кругом. Оно образовано в результате пересечения фигуры плоскостью, которая параллельна основанию конуса. Это сечения перпендикулярно оси фигуры. Образованная выше секущей плоскости фигура представляет собой конус, подобный исходному, но имеющий круг меньшего размера в основании.

Зеленое сечение - это эллипс. Он получается, если секущая плоскость не параллельна основанию, однако она пересекает только Отсеченная выше плоскости фигура называется эллиптическим наклонным конусом.

Синее и оранжевое сечения имеют форму параболы и гиперболы, соответственно. Как видно из рисунка, они получаются, если секущая плоскость одновременно пересекает боковую поверхность и основание фигуры.

Для определения площадей сечений конуса, которые были рассмотрены, необходимо использовать формулы для соответствующей фигуры на плоскости. Например, для круга это умноженное на квадрат радиуса число Пи, а для эллипса - это произведение Пи на длину малой и большой полуосей:

круг: S = pi*r 2 ;

эллипс: S = pi*a*b .

Сечения, содержащие вершину конуса

Теперь рассмотрим варианты сечений, которые возникают, если секущая плоскость будет проходить через вершину конуса. Возможны три случая:

1. Сечение - единственная точка. Например, проходящая через вершину и параллельная основанию плоскость дает именно такое сечение.
2. Сечение - прямая. Эта ситуация возникает, когда плоскость является касательной к конической поверхности. Прямая сечения в этом случае будет образующей конуса.
3. Осевое сечение. Оно образуется, когда плоскость содержит не только вершину фигуры, но и всю ее ось. При этом плоскость будет перпендикулярна круглому основанию и разделит конус на две равные части.

Очевидно, что площади первых двух видов сечений равны нулю. Что касается площади сечения конуса для 3-го вида, то этот вопрос подробнее рассматривается в следующем пункте.

Осевое сечение

Выше отмечалось, что осевым сечением конуса называется фигура, образованная при пересечении конуса плоскостью, проходящей через его ось. Несложно догадаться, что это сечение будет представлять фигуру, показанную на рисунке ниже.

Это равнобедренный треугольник. Вершина осевого сечения конуса - это вершина этого треугольника, образованная пересечением одинаковых сторон. Последние равны длине образующей конуса. Основание треугольника - это диаметр основания конуса.

Вычисление площади осевого сечения конуса сводится к нахождению площади полученного треугольника. Если изначально известны радиус основания r и высота h конуса, тогда площадь S рассматриваемого сечения будет равна:

Это выражение является следствием применения стандартной формулы для площади треугольника (половина произведения высоты на основание).

Отметим, что если будет равна диаметру его круглого основания, то осевое сечение конуса - треугольник равносторонний.

Треугольное сечение образуется тогда, когда секущая плоскость перпендикулярна основанию конуса и проходит через его ось. Любая другая плоскость, параллельная названной, даст в сечении гиперболу. Однако если плоскость содержит вершину конуса и пересекает его основание не через диаметр, то полученное сечение тоже будет равнобедренным треугольником.

Задача на определение линейных параметров конуса

Покажем, как пользоваться записанной для площади осевого сечения формулой для решения геометрической задачи.

Известно, что площадь осевого сечения конуса равна 100 см 2 . Полученный в сечение треугольник является равносторонним. Чему равны высота конуса и радиус его основания?

Поскольку треугольник равносторонний, то его высота h связана с длиной стороны a следующим соотношением:

Учитывая, что сторона треугольника в два раза больше радиуса основания конуса, и подставляя это выражение в формулу для площади сечения, получаем:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Тогда высота конуса равна:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Остается подставить значение площади из условия задачи и получить ответ:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 см;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 см.

В каких областях важно знать параметры рассмотренных сечений?

Изучение различных типов сечений конуса представляет не только теоретический интерес, но также имеет практическое приложение.

Во-первых, следует отметить область аэродинамики, где с помощью конических сечений удается создавать идеальные гладкие формы твердых тел.

Во-вторых, конические сечения являются траекториями, по которым движутся космические объекты в гравитационных полях. Какой конкретно представляет траектория движения космических тел системы, определяется соотношением их масс, абсолютных скоростей и расстояний между ними.