Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.
Так ли это?
К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.
Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.
Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .
И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.
Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?
Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.
Программа по стереометрии .
- Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...
(Дайте четыре варианта ответа).
- Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
- Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
- Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
- Угол между прямой и плоскостью.
- Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
- Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
- Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
- Параллельность плоскостей. Определение и признак.
- Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
- Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...
б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...
Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:
Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -
Название: ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.
Пособия по математике серии «ЕГЭ 2011. Математика» ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи С2.
На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по стереометрии.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
Диагностическая работа. 5
Решения задач 1.1-1.3 диагностической работы. 11
Тренировочная работа 1. Угол между прямыми. 14
Решения задач 2.1-2.3 диагностической работы. 17
Тренировочная работа 2. Угол между прямой и плоскостью. 19
Решения задач 3.1-3.3 диагностической работы. 22
Тренировочная работа 3. Угол между двумя плоскостями. 24
Решения задач 4.1-4.3 диагностической работы. 27
Тренировочная работа 4. Расстояние от точки до прямой. 29
Решения задач 5.1-5.3 диагностической работы. 32
Тренировочная работа 5. Расстояние от точки до плоскости. 35
Решения задач 6.1-6.3 диагностической работы. 38
Тренировочная работа 6. Расстояние между двумя прямыми. 40
Диагностическая работа 1. 43
Диагностическая работа 2. 49
Диагностическая работа 3. 55
Ответы
. 61
Введение
.
Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания С2 ЕГЭ по математике. Его целями являются:
- показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;
- проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;
- развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком, умений проводить дополнительные построения;
- повышение вычислительной культуры учащихся.
Пособие содержит задачи на нахождение углов между прямыми в пространстве, прямой и плоскостью, двумя плоскостями; нахождение расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Наличие рисунков помогает лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, провести дополнительные построения и вычисления.
Для решения предлагаемых задач требуются знание определений тригонометрических функций, формул для нахождения элементов треугольника, теоремы Пифагора, теоремы косинусов, умение проводить дополнительные построения, владение координатным и векторным методами геометрии.
Каждая задача оценивается исходя из двух баллов. Один балл начисляется за правильное построение или описание искомого угла или расстояния. Также один балл начисляется за правильно проведенные вычисления и правильный ответ.
Вначале предлагается диагностическая работа на нахождение углов и расстояний для различных многогранников. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся решения задач, как правило, двумя различными способами и даются ответы. Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются тренировочные работы на нахождение углов и расстояний для каждого из рассмотренных в диагностической работе видов фигур.
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Смирнов В.А. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.
Решение задания С 2 по математике.
C2 ЕГЭ по математике.
Основанием пирамиды служит квадрат,
две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости её основания,
две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы,
каждый из которых равен 30 градусов.
Высота пирамиды равна sqrt(2).
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение C2 ЕГЭ по математике.
C2 ЕГЭ по математике.
Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тнгенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение C2 ЕГЭ по математике.
Пусть AB=10 и C1D1 = 24 - хорды, по которым сечение пересекает основания цилиндра. Плоскости оснований параллельны, значит, AB и C1D1 тоже параллельны.
Опустив перпендикуляры из точек C1 и D1 к плоскости OAB, получим отрезок CD, равный C1D1. Пусть K, L и L1 - середины хорд AB, CD и C1D1 соответственно.
Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания цилиндра будет равен углу L1KL. Его тангенс мы найдём из прямоугольного треугольника L1LK: tg(L1KL) = LL1/LK.
LL1 = образующей цилиндра = 21
LK = LO+OK.
Из прямоугольного треугольника CLO:
LO = sqrt(CO^2-CL^2) = sqrt(13^2-12^2) = 5
Из прямоугольного треугольника AKO:
OK = sqrt(AO^2-AK^2) = sqrt(13^2-5^2) = 12
Tg(L1KL) = LL1/LK = 21/17
Задание С2 Условие:
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания AB=√3, боковое ребро SA = √7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.
Решение:
Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS.
Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS.
Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.
1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2
2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2
3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2
4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:
S = SO*OH/2 = SH*OM/2,
Откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5
Ответ: 6/5
Задание С2 Условие:
В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.
Решение:
1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5*sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.
2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, Ep - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.
3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.
4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2*AD).
5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD*2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13^2-5^2) = 12.
6. Треугольники AEp и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и Ap = AH/2, и Ep = SH/2.
7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDp (нас как раз интересует угол EDp).
Ep = SH/2 = 6;
Dp = AD*2/3 = 5;
Тангенс угла EDp = Ep/Dp = 6/5,
Угол EDp = arctg(6/5)
Ответ:
Задание С2 Условие:
В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости a, а другой образует с ней угол 45 градусов. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.
Решение:
Треугольник ABC, угол C - прямой, BC принадлежит плоскости.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Опустим перпендикуляр AA1 к плоскости a.
Искомый угол - угол A1BA.
Угол A1CA равен 45 градусов, угол AA1C - прямой. AA1 = AC*sin(45 градусов) = x/sqrt(2).
sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2
Угол A1BA = arcsin(1/2) = 30 градусов.
