Многоугольники. Виды многоугольников. Внутренние и внешние углы выпуклого многоугольника. Сумма внутренних углов выпуклого n-угоьника (теорема). Сумма внешних углов выпуклого n-угольника (теорема). Правильные многоугольники. Окружность, описанная около правильного многоугольника (теорема,следствие 1,2)
Внутренним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине. Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним при этой вершине. внутренний уголвнешний угол
Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна (n – 2) ·180 о, где n – число сторон многоугольника. Дано: выпуклый n-угольник. Доказать: α = (n – 2) ·180 о Доказательство Внутри n-угольника возьмём произвольную точку О и соединим её со всеми вершинами. Многоугольник разобьётся на n треугольников с общей вершиной О. Сумма углов каждого треугольника равна 180 о, следовательно, сумма углов всех треугольников равна 180 о n. В эту сумму, кроме суммы всех внутренних углов многоугольника, входит сумма углов треугольников при вершине О, равная 360 о. Таким образом, сумма всех внутренних углов многоугольника равна 180 о n – 360 о = (n – 2) ·180 о. Итак, n = (n – 2) ·180 о. Ч.т.д. о
Теорема. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360, где n – число сторон n-угольника. Доказательство. Так как внешний угол многоугольника является смежным соответствующему внутреннему углу, а сумма смежных углов равна 180, то сумма внешнихуглов многоугольника равна: 180 о n – (n – 2) ·180 о = 180 о ·n – 180 о ·n о = 360 о. Внешние и внутренние внутренние Итак, сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, не зависит от n и равна 360 о, где n – число сторон n-угольника. Ч.т.д.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Доказательство. Пусть А1,А2,…,А n - правильный многоугольник, О –центр описанной окружности. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, так же равны ОН1=ОН2=…=ОНn. Поэтому окружность с поэтому окружность с центром О и радиусом ОН1 проходит через точки H1,H2, …, Hn и касается сторон многоугольника в этих точках, т.е. окружность вписана в данный многоугольник. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An
Докажем, что вписанная окружность только одна. Предположим, что существует другая вписанная окружность с центром О и радиусом ОА. Тогда её центр равноудалён от сторон многоугольника., т.е.Точка О1 лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и поэтому совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т.е. равен ОН1.Теорема доказана. Следствие1 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах. Следствие 2 Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.
Треугольник, квадрат, шестиугольник - эти фигуры известны практически всем. Но вот о том, что такое правильный многоугольник, знает далеко не каждый. А ведь это все те же Правильным многоугольником называют тот, что имеет равные между собой углы и стороны. Таких фигур очень много, но все они имеют одинаковые свойства, и к ним применимы одни и те же формулы.
Свойства правильных многоугольников
Любой правильный многоугольник, будь то квадрат или октагон, может быть вписан в окружность. Это основное свойство часто используется при построении фигуры. Кроме того, окружность можно и вписать в многоугольник. При этом количество точек соприкосновения будет равняться количеству его сторон. Немаловажно, что окружность, вписанная в правильный многоугольник, будет иметь с ним общий центр. Эти геометрические фигуры подчинены одним теоремам. Любая сторона правильного n-угольника связана с радиусом описанной около него окружности R. Поэтому ее можно вычислить, используя следующую формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через можно найти не только стороны, но и периметр многоугольника.
Как найти число сторон правильного многоугольника
Любой состоит из некоторого числа равных друг другу отрезков, которые, соединяясь, образуют замкнутую линию. При этом все углы образовавшейся фигуры имеют одинаковое значение. Многоугольники делятся на простые и сложные. К первой группе относятся треугольник и квадрат. Сложные многоугольники имеют большее число сторон. К ним также относят звездчатые фигуры. У сложных правильных многоугольников стороны находят путем вписывания их в окружность. Приведем доказательство. Начертите правильный многоугольник с произвольным числом сторон n. Опишите вокруг него окружность. Задайте радиус R. Теперь представьте, что дан некоторый n-угольник. Если точки его углов лежат на окружности и равны друг другу, то стороны можно найти по формуле: a = 2R ∙ sinα: 2.
Нахождение числа сторон вписанного правильного треугольника
Равносторонний треугольник - это правильный многоугольник. Формулы к нему применяются те же, что и к квадрату, и n-угольнику. Треугольник будет считаться правильным, если у него одинаковые по длине стороны. При этом углы равны 60⁰. Построим треугольник с заданной длиной сторон а. Зная его медиану и высоту, можно найти значение его сторон. Для этого будем использовать способ нахождения через формулу а = х: cosα, где х - медиана или высота. Так как все стороны треугольника равны, то получаем а = в = с. Тогда верным будет следующее утверждение а = в = с = х: cosα. Аналогично можно найти значение сторон в равнобедренном треугольнике, но х будет заданная высота. При этом проецироваться она должна строго на основание фигуры. Итак, зная высоту х, найдем сторону а равнобедренного треугольника по формуле а = в = х: cosα. После нахождения значения а можно вычислить длину основания с. Применим теорему Пифагора. Будем искать значение половины основания c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тогда c = 2xtgα. Вот таким несложным способом можно найти число сторон любого вписанного многоугольника.
Вычисление сторон квадрата, вписанного в окружность
Как и любой другой вписанный правильный многоугольник, квадрат имеет равные стороны и углы. К нему применяются те же формулы, что и к треугольнику. Вычислить стороны квадрата можно через значение диагонали. Рассмотрим этот способ более детально. Известно, что диагональ делит угол пополам. Изначально его значение было 90 градусов. Таким образом, после деления образуются два Их углы при основании будут равны 45 градусов. Соответственно каждая сторона квадрата будет равна, то есть: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, где е - это диагональ квадрата, или основание образовавшегося после деления прямоугольного треугольника. Это не единственный способ нахождения сторон квадрата. Впишем эту фигуру в окружность. Зная радиус этой окружности R, найдем сторону квадрата. Будем вычислять ее следующим образом a4 = R√2. Радиусы правильных многоугольников вычисляют по формуле R = а: 2tg (360 o: 2n), где а - длина стороны.
Как вычислить периметр n-угольника
Периметром n-угольника называют сумму всех его сторон. Вычислить его несложно. Для этого необходимо знать значения всех сторон. Для некоторых видов многоугольников существуют специальные формулы. Они позволяют найти периметр намного быстрее. Известно, что любой правильный многоугольник имеет равные стороны. Поэтому для того, чтобы вычислить его периметр, достаточно знать хотя бы одну из них. Формула будет зависеть от количества сторон фигуры. В общем, она выглядит так: Р = an, где а - значение стороны, а n - количество углов. Например, чтобы найти периметр правильного восьмиугольника со стороной 3 см, необходимо умножить ее на 8, то есть Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестиугольника со стороной 5 см вычисляем так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. И так для каждого многоугольника.
Нахождение периметра параллелограмма, квадрата и ромба
В зависимости от того, сколько сторон имеет правильный многоугольник, вычисляется его периметр. Это намного облегчает поставленную задачу. Ведь в отличие от прочих фигур, в этом случае не нужно искать все его стороны, достаточно одной. По этому же принципу находим периметр у четырехугольников, то есть у квадрата и ромба. Несмотря на то что это разные фигуры, формула для них одна Р = 4а, где а - сторона. Приведем пример. Если сторона ромба или квадрата равна 6 см, то находим периметр следующим образом: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У параллелограмма равны только противоположные стороны. Поэтому его периметр находят, используя другой способ. Итак, нам необходимо знать длину а и ширину в фигуры. Затем применяем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Параллелограмм, у которого равны все стороны и углы между ними, называется ромб.
Нахождение периметра равностороннего и прямоугольного треугольника
Периметр правильного можно найти по формуле Р = 3а, где а - длина стороны. Если она неизвестна, ее можно найти через медиану. В прямоугольном треугольнике равное значение имеют только две стороны. Основание можно найти через теорему Пифагора. После того как станут известны значения всех трех сторон, вычисляем периметр. Его можно найти, применяя формулу Р = а + в + с, где а и в - равные стороны, а с - основание. Напомним, что в равнобедренном треугольнике а = в = а, значит, а + в = 2а, тогда Р = 2а + с. Например, сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, найдем его основание и периметр. Вычисляем значение гипотенузы по теореме Пифагора с = √а 2 + в 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Вычислим теперь периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.
Как найти углы правильного многоугольника
Правильный многоугольник встречается в нашей жизни каждый день, например, обычный квадрат, треугольник, восьмиугольник. Казалось бы, нет ничего проще, чем построить эту фигуру самостоятельно. Но это просто только на первый взгляд. Для того чтобы построить любой n-угольник, необходимо знать значение его углов. Но как же их найти? Еще ученые древности пытались построить правильные многоугольники. Они догадались вписать их в окружности. А потом на ней отмечали необходимые точки, соединяли их прямыми линиями. Для простых фигур проблема построения была решена. Формулы и теоремы были получены. Например, Эвклид в своем знаменитом труде «Начало» занимался решением задач для 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. Он нашел способы их построения и нахождения углов. Рассмотрим, как это сделать для 15-угольника. Сначала необходимо рассчитать сумму его внутренних углов. Необходимо использовать формулу S = 180⁰(n-2). Итак, нам дан 15-угольник, значит, число n равно 15. Подставляем известные нам данные в формулу и получаем S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы нашли сумму всех внутренних углов 15-угольника. Теперь необходимо получить значение каждого из них. Всего углов 15. Делаем вычисление 2340⁰: 15 = 156⁰. Значит, каждый внутренний угол равен 156⁰, теперь при помощи линейки и циркуля можно построить правильный 15-угольник. Но как быть с более сложными n-угольниками? Много веков ученые бились над решением этой проблемы. Оно было найдено только лишь в 18-м веке Карлом Фридрихом Гауссом. Он смог построить 65537-угольник. С этих пор проблема официально считается полностью решенной.
Расчет углов n-угольников в радианах
Конечно, есть несколько способов нахождения углов многоугольников. Чаще всего их вычисляют в градусах. Но можно выразить их и в радианах. Как это сделать? Необходимо действовать следующим образом. Сначала выясняем число сторон правильного многоугольника, затем вычитаем из него 2. Значит, мы получаем значение: n - 2. Умножьте найденную разность на число п («пи» = 3,14). Теперь остается только разделить полученное произведение на число углов в n-угольнике. Рассмотрим данные вычисления на примере все того же пятнадцатиугольника. Итак, число n равно 15. Применим формулу S = п(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Это, конечно же, не единственный способ рассчитать угол в радианах. Можно просто разделить размер угла в градусах на число 57,3. Ведь именно столько градусов эквивалентно одному радиану.
Расчет значения углов в градах
Помимо градусов и радиан, значение углов правильного многоугольника можно попробовать найти в градах. Делается это следующим образом. Из общего количества углов вычитаем 2, делим полученную разность на число сторон правильного многоугольника. Найденный результат умножаем на 200. К слову сказать, такая единица измерения углов, как грады, практически не используется.
Расчет внешних углов n-угольников
У любого правильного многоугольника, кроме внутреннего, можно вычислить еще и внешний угол. Его значение находят так же, как и для остальных фигур. Итак, чтобы найти внешний угол правильного многоугольника, необходимо знать значение внутреннего. Далее, нам известно, что сумма этих двух углов всегда равна 180 градусам. Поэтому вычисления делаем следующим образом: 180⁰ минус значение внутреннего угла. Находим разность. Она и будет равняться значению смежного с ним угла. Например, внутренний угол квадрата равен 90 градусов, значит, внешний будет составлять 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Как мы видим, найти его несложно. Внешний угол может принимать значение от +180⁰ до, соответственно, -180⁰.
Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;
- исследовать вопрос о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине;
- формировать положительную мотивацию к познавательной деятельности;
- развивать логическое мышление;
- развивать внимание, наблюдательность, умение анализировать чертеж;
- формировать умение применять полученные знания для решения задач;
- развивать коммуникативную культуру учащихся.
Ход урока
Великий русский ученый, гордость Земли Русской,
Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.
1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)
Презентация. (Слайды 2–4)
– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми
многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
2. Постановка проблемы (выход на тему урока).
Устная фронтальная работа.
Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)
– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.
В случае затруднения учитель задает вопросы:
– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует
ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)
Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.
Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.
3. Решение проблемы . Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.
Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?
– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)
– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.
Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.
По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)
– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.
Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)
– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?
(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)
– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)
Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника
| чертеж | n – количество вершин многоугольника | Количество диагоналей, проведенных из одной вершины | Количество полученных треугольников |
 |
4 | ||
 |
5 | ||
 |
6 | ||
 |
7 | ||
| n |
– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.
Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.
После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно
провести n – 3 диагонали, (так как
диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом
получим n – 2 треугольника.
Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).
– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.
Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?
– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п
штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов
многоугольника? (На 360 0)
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?
(180п – 360 = 180 п – 180х2 = 180(п -2))(С лайд 8)
– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)
– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)
Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.
(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)
4. Применение полученных знаний.
Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.
Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)
Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.
Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.
Группа 1.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у
правильного треугольника.
2) – У треугольника, градусные величины углов которого равны соответственно
70 0 , 80 0 и 30 0 .
Группа 2.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, у прямоугольника.
2) – У четырехугольника, внутренние углы которого равны соответственно 70 0 ,
80 0 и 120 0 и 90 0 .
Группа 3.
1) Найдите сумму внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, у правильного шестиугольника.
2) – У шестиугольника, внутренние углы которого равны соответственно 170 0 ,
80 0 и 130 0 , 100 0 , 70 0 ,
170 0.
После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)
Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0.)
А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.
Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:
1. Обозначить внутренние углы многоугольника через
α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для
суммы внутренних углов многоугольника.
Доказательство записывается на доске:
(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360
5. Закрепление изученного материала. Решение задач.
Задача 1. Существует ли выпуклый многоугольник с такими внутренними углами: 45 0 , 68 0 , 73 0 и 56 0 ? Объясните свой ответ.
Проведем доказательство от противного. Если у выпуклого многоугольника четыре острых внутренних угла то среди его внешних углов четырех тупых, откуда следует, что сумма всех внешних углов многоугольника больше 4*90 0 = 360 0 . Имеем противоречие. Утверждение доказано.
В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?
Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2) , то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.
Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.
Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)
Решаем полученное уравнение
180n – 360 = 240 + 150n – 450
180n – 150n = 240 + 360 – 450
Ответ: 5 вершин.
6. Подведение итогов урока.
Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.
Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?
Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.
Чья работа в группе была самой результативной?
7. Домашнее задание:
1. Задача.
В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.
2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.
Видеоурок 2:
Многоугольники. Решение задач
Лекция: Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника
Многоугольники – это фигуры, которые окружают нас везде – это и форма сот, в которых пчелы хранят свой мед, архитектурные сооружения, а так же многое другое.
Как уже говорилось ранее, многоугольники – это фигуры, у которых больше двух углов. Они состоять из замкнутой ломаной линии.
Причем углы многоугольников могут быть наружные и внутренние. Например, звезда – это фигура, которая имеет 10 углов, при этом некоторые из них выпуклые, а другие вогнутые:
Примеры выпуклых многоугольников:
Обратите внимание, на рисунке показаны правильные многоугольники – именно такие подробно изучаются в школьном курсе математики.
У любого многоугольника количество вершин совпадает с количеством сторон. Так же обратите внимание, что соседними вершинами называются те, которые имеют одну общую сторону. Например, у треугольника все вершины соседние.
Чем больше углов у правильного многоугольника, тем больше их градусная мера. Однако, градусная мера угла выпуклого многоугольника не может быть больше или равной 180 градусам.
Чтобы определить общую градусную меру многоугольника, необходимо воспользоваться формулой.
В 8 классе на уроках геометрии в школе ученики впервые знакомятся с понятием выпуклого многоугольника. Очень скоро они узнают, что эта фигура обладает очень интересным свойством. Какой бы сложной она ни была, сумма всех внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника принимает строго определенное значение. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника.
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника
Как доказать эту формулу?
Прежде чем перейти к доказательству этого утверждения, вспомним, какой многоугольник называется выпуклым. Выпуклым называется такой многоугольник, который целиком находится по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону. Например такой, который изображен на этом рисунке:
Если же многоугольник не удовлетворяет указанному условию, то он называется невыпуклым. Например, такой:
Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна , где — количество сторон многоугольника.
Доказательство этого факта основано на хорошо известной всем школьникам теореме о сумме углов в треугольнике. Уверен, что и вам эта теорема знакома. Сумма внутренних углов треугольника равна .
Идея состоит в том, чтобы разбить выпуклый многоугольник на несколько треугольников. Сделать это можно разными способами. В зависимости от того, какой способ мы выберем, доказательства будут немного отличаться.
1. Разобьём выпуклый многоугольник на треугольники всеми возможными диагоналями, проведёнными из какой-нибудь вершины. Легко понять, что тогда наш n-угольник разобьётся на треугольника:
Причём сумма всех углов всех получившихся треугольников равна сумме углов нашего n-угольника. Ведь каждый угол в получившихся треугольниках является частичной какого-то угла в нашем выпуклом многоугольнике. То есть искомая сумма равна .
2. Можно также выбрать точку внутри выпуклого многоугольника и соединить её со всеми вершинами. Тогда наш n-угольник разобьется на треугольников:
Причём сумма углов нашего многоугольника в этом случае будет равна сумме всех углов всех этих треугольников за вычетом центрального угла, который равен . То есть искомая сумма опять же равна .
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
Зададимся теперь вопросом: «Чему равна сумма внешних углов выпуклого многоугольника?» Ответить на этот вопрос можно следующим образом. Каждый внешний угол является смежным с соответствующим внутренним. Поэтому он равен :
Тогда сумма всех внешних углов равна . То есть она равна .
То есть получается весьма забавный результат. Если отложить последовательно друг за другом все внешние углы любого выпуклого n-угольника, то в результате заполнится ровно вся плоскости.
Этот интересный факт можно проиллюстрировать следующим образом. Давайте пропорциональном уменьшать все стороны какого-нибудь выпуклого многоугольника до тех пор, пока он не сольётся в точку. После того, как это произойдёт, все внешние углы окажутся отложенными один от другого и заполнят таким образом всю плоскость.
Интересный факт, не правда ли? И таких фактов в геометрии очень много. Так что учите геометрию, дорогие школьники!
Материал о том, чему равна сумма углов выпуклого многоугольника, подготовил , Сергей Валерьевич
