(Начертательная геометрия)
Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пересечения прямых линий с плоскостью
На рисунке 2.60 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников. Рисунок 2.60 Прямая К,К2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF. ...(Инженерная графика)
Частные случаи
При умеренных давлениях (Ре « 1000 атм.) жидкую фазу (например, воду) можно полагать несжимаемой (Ре = const). В этом случае система уравнений для этой несжимаемой среды может быть еще более упрощена и приведена к следующему виду: где, а гидростатическими силами (членом уе7) для...(Основы кавитационной обработки многокомпонентных сред)
Частные случаи равновесия в непрерывных системах Барометрическое уравнение
Барометрическое уравнение устанавливает зависимость давления газа по высоте. Существуют восходящие еще к Лапласу многочисленные методы вывода этого уравнения. В данном случае воспользуемся тем, что газ, находящийся в поле силы тяжести, является непрерывной системой, содержащей один компонент - газ с...(Термодинамика в современной химии)
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЗАИМНОЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. Так, на рис. 67 изображены плоскости: Т 1Щ, ФJL Ш, Г1 Пз. Этим плоскостям будут параллельны прямые: а || Т (а 1 Пг);...(Начертательная геометрия)
ОБЩИЕ СЛУЧАИ. СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Для нахождения точек пересечения прямой линии с поверхностью Ф способом посредников желательно прямую заключать в такую плоскость- посредник Т, которая пересекает заданную поверхность Ф по точной линии - прямой или окружности. Обзор и классификация различных видов таких плоскостей даны ранее (см....(Начертательная геометрия)
СПОСОБ ПОСРЕДНИКОВ
Если заданы произвольно обе плоскости общего положения, то задачу можно решить способом посредников в соответствии с алгоритмом № 2. В качестве посредниковвыбирают две плоскости Т и Т1 - проецирующие или уровня (рис. 254). В случае пересечения двух плоскостей алгоритм № 2 запишем так: 1. Выбор Т и Т1....(Начертательная геометрия)
Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .
Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.
Пересечение прямой линии с плоскостью
1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.
2. Получаем вот такой комплексный чертеж.
3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.
a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.
b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.
c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.
d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.
e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.
Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.
Определение видимости прямой
Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.
Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:
— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),
— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),
— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).
Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.
Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.
Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.
И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.
Линия пересечения двух плоскостей - прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α π 1 , f 0 α Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π 1 , (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).
Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π 2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).
.
.
Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня
Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.
В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3.11).
.
Рис. 3.10. Построение точки пересечения прямой с плоскостью
Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.
Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 3.11.
Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А 2 В 2 проведена фронтально-проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (π 2) эти точки представлены проекциями M 2 , N 2 . Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π 1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M 1 N 1 . В пересечении горизонтальных проекций прямых А 1 В 1 и M 1 N 1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К 1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К 2).
.
Рис. 3.11. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости
Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.
На плоскости π 2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y N >Y 1), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К 1) закрыта плоскостью DEF на плоскости π 2 (ее проекция К 2 1 2 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π 1 .
Вопросы для самоконтроля
1) В чем заключается сущность метода конкурирующих точек?
2) Какие свойства прямой вы знаете?
3) Каков алгоритм определения точки пересечения прямой и плоскости?
4) Какие задачи называются позиционными?
5) Сформулируйте условия принадлежности прямой плоскости.
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
Для определения точки пересечения прямой с плоскостью пользуемся следующим алгоритмом: прямую заключаем во вспомогательную плоскость, находим линию пересечения этих двух плоскостей (заданной и вспомогательной), и линия пересечения плоскостей в пересечении с заданной прямой даст искомую точку. Последним этапом в построении является определение видимости прямой при помощи конкурирующих точек.
Пример1. Плоскость задана следами (рис.70)
1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например, фронтально-проецирующую β π 2 , l "" f оβ , f оβ – собирающий след, h оβ х (рис.71).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М"=h оα ∩ h оβ , N""= f оβ ∩ f оα (рис.72).
3. Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN. К"=М"N"∩l ", К"" – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К" и l "" .
4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.
Пример 2. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью (рис.73).
При построении точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью задача упрощается, т.к. одна из проекций искомой точки будет лежать на собирающем следе. На рис.73 дана горизонтально-проецирующая плоскость. Искомая точка К будет одновременно принадлежать плоскости α и прямой а .
Пример 3. Плоскость задана плоской фигурой (рис.74).
Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π 1 .l " h оβ , h оβ – собирающий след, f оβ х (рис.75).
2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей. М"=А"С"∩ hоβ М"" А""С"" и N"=В"С"∩ hоβ N"" В""С"" (рис. 76).
3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К""= М""N""∩l"". К" находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К"" и М"N" .
4. Определяем видимость прямой относительно ΔАВС с помощью конкурирующих точек.
Определяем видимость относительно плоскости π 2 .Отметим фронтальную проекцию 1"" совпадающую с 2"" . Горизонтальную проекцию 2" отметим на А"С" , а 1" на l" . Горизонтальная проекция 1" лежит перед 2" 2"" не видима относительно π 2 . Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π 2 , следовательно, фронтальная проекция l" от 1"2"" до К"" видима, в точке К"" видимость меняется на противоположную.
Определим видимость прямой l относительно плоскости π 1 . Отметим горизонтальную проекцию 3" , совпадающую с горизонтальной проекцией М". М"" А""С"" уже отмечена, 3"" l" ". Фронтальная проекция М"" лежит выше фронтальной проекции 3"" , следовательно, точка М видима относительно π 1 . Точка 3 лежит на l , следовательно, от М"≡3" до К" , горизонтальная проекция l" невидима. В горизонтальной проекции К" видимость меняется на противоположную. За границами ΔАВС прямая l везде видима.
Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h 0α , f 0α .
Алгоритм
- Через прямую a проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h 0γ , f 0γ .
- Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B" = h 0α ∩ h 0γ , A"" = f 0α ∩ f 0γ . Точки A" и B"" лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
- Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K" = a" ∩ A"B". Фронтальная проекция K"" лежит на прямой a"".
Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными способами .
Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек
- Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A"" и С"" совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П 2 на разное расстояние.
- Найдем горизонтальные проекции A" и C". Как видно на рисунке, точка C" удалена от плоскости П 2 на большее расстояние, чем т. A", принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а"", расположенный левее точки K"", будет видимым. Участок a"" правее K"" является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
- Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D" и E" совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П 1 на разное расстояние.
- Определим положение фронтальных проекций D"" и E"". Как видно на рисунке, точка D"", находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П 1 на большее расстояние, чем т. E"", принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а", расположенный правее точки K", будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a" левее K" является видимым.
