Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Как по шагам строится кривая Коха.

Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1.О на непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3 : длина линии с номером n равна (4/3)n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a. Тогда его площадь. Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено Tn = 3 · 4n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3)n. Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен Tn · Sn = 3/4 · (4/9)n · S0 . Поэтому после n-го шага площадь фигуры будет равна сумме S0 + T1 · S1 + T2 · S2 + ... +Tn · Sn = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞ . Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

Варианты построения снежинки Коха

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

At Снежинка Коха,Треугольник Серпинского и прочие фракталы

Целый месяц я самозабвенно училась плести веревочные узоры, учила всех, чье внимание удавалось зафиксировать на этом странном занятии, рассказывала про индейцев и эскимосов, и пыталась изобрести что-нибудь самостоятельно. Мой увядающий энтузиазм поддерживала Юля, соглашаясь, если не учиться, так хотя бы смотреть, что у меня получается. В конце концов, мне удалось сочинить восьмиконечную звезду, заворожившую меня своей симметрией и элегантностью плетения. Мне захотелось подвести под это маленькое изобретение теоретическую базу, и я принялась рыться в Интернете на предмет «символического значения октограммы». Так от игры в веревочку мы перешли к обсуждению свойств звездчатых многоугольников, а от них к звездчатым многогранникам и Платоновым телам. Слово за слово, и Юля унесла читать сначала «Модели многогранников», а потом и «Математика и искусство». Могу вообразить, какое впечатление должен производить доктор скорой помощи, читающий на дежурстве между вызовами книжку по математике. На следующий день Юля пришла в 9 утра будить меня в моей берлоге и делиться впечатлениями от прочитанного.

Мрачным апрельским утром хочется спать до весны, и только какое-нибудь энергичное внешнее воздействие способно вытряхнуть меня из постели. Юля сделала мне "омолаживающий" массаж, жестоко отодрав все мясо от костей, так что я с воплями вскочила и побежала варить кофе. Пока я химичила с кофейником - кофе, сахар, немного корицы и мускатного ореха - она щебетала про то, что умного сказал Кант, какие оказывается красивые правильные многогранники, про симметрию живого и неживого, а я рассматривала радужные круги, плывущие перед глазами и думала: «Это уже старость или весенний авитаминоз?» Под окном соседка с собакой переплывала огромную лужу - целое озеро кофейной воды с бензиновыми пятнами на поверхности. Бензиновые пятна - цвета побежалости…
«А знаешь, какие красивые фракталы!» - спросила я неожиданно.
«Это еще что за звери?»
« Ну… графики такие… функции комплексной переменной… кажется… Дивной красоты! Пойдем, покажу - у меня в компьютере осталось несколько картинок.»
Честно говоря, фракталами я увлекалась десять лет назад, все что осталось - несколько JPG-файлов, засевшее в памяти слово «Мандельброт» и еще что-то про изрезанную береговую линию. Так что вопрос, каким образом раскрашиваются точки плоскости, поставил меня в тупик. Я еще смогла извлечь из глубин замусоренной памяти формальное определение комплексного числа, но понятия не имела, что это за функция, которая плодит такие фантастические картины. Так что пришлось взять тайм-аут для ознакомления с теорией. Теперь выяснить, что за зверь Мандельброт и с чем его едят, стало делом чести.
Вот что мною добыто и освоено:
http://robots.ural.net/fractals/intro/fractals.htm
Шабаршин А.А. ВВЕДЕНИЕ ВО ФРАКТАЛЫ

На следующий день мы продолжили заседание нашего импровизированного математического кружка в Екатерининском парке. Утопая в апрельских сугробах, пористых как Куб Серпинского, я объясняла построение триадной кривой Коха, а Юля звонила из парка по мобильнику всем знакомым, которых считала компетентными, и просила объяснить, что такое комплексное число. Потом я пыталась объяснить третьекласснице Олесе, что такое числовая прямая на примере очереди за колбасой. Разошлись только когда в ботинках захлюпала вода и дождь просочился за шиворот. Вобщем каждый сходит с ума по-своему.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника , образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха .

Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n -1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a . Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n -м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n -1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n -го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N (δ ) ~ (1/δ ) D , где N — число пересекающихся квадратиков, δ — их размер, а D — размерность, получаем, что D = log 1/ δ N . Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Снежинка Коха

canvas {
border: 1px dashed black;
}

var cos = 0.5,
sin = Math.sqrt(3) / 2,
deg = Math.PI / 180;
canv, ctx;

function rebro(n, len) {
ctx.save(); // Сохраняем текущую трансформацию
if (n == 0) { // Нерекурсивный случай - отрисовываем линию
ctx.lineTo(len, 0);
}
else {
ctx.scale(1 / 3, 1 / 3); // Уменьшаем масштаб в 3 раза
rebro(n-1, len); //RECUURSION на ребре
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n-1, len);
ctx.rotate(60 * deg);
rebro(n-1, len);
}
ctx.restore(); // Восстанавливаем трансформацию
ctx.translate(len, 0); // переходим в конец ребра
}

function drawKochSnowflake(x, y, len, n) {
x = x - len / 2;
y = y + len / 2 * Math.sqrt(3)/3;
ctx.save();
ctx.beginPath();
ctx.translate(x, y);
ctx.moveTo(0, 0);
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg); //RECUUUURSION уже треугольник
rebro(n, len); ctx.rotate(-120 * deg);
rebro(n, len); ctx.closePath();
ctx.strokeStyle = "#000";
ctx.stroke();
ctx.restore();
}

function clearcanvas(){ //чистим канвас
ctx.save();
ctx.beginPath();

// Use the identity matrix while clearing the canvas
ctx.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);
ctx.clearRect(0, 0, canvas1.width, canvas1.height);

// Restore the transform
ctx.restore();
}

function run() {
canv = document.getElementById("canvas1");
ctx = canv.getContext("2d");
var numberiter = document.getElementById("qty").value;
drawKochSnowflake(canv.width/2, canv.height/2, 380, numberiter);

Ctx.stroke(); //отрисовка
}

Снежинка Коха - пример

Снежинка Коха

В начале ХХ века математики искали такие кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной. Это означало, что кривая резко меняет свое направление, и притом с колоссально большой скоростью (производная равна бесконечности). Поиски данных кривых были вызваны не просто праздным интересом математиков. Дело в том, что в начале ХХ века очень бурно развивалась квантовая механика. Исследователь М.Броун зарисовал траекторию движения взвешенных частиц в воде и объяснил это явление так: беспорядочно движущиеся атомы жидкости ударяются о взвешенные частицы и тем самым приводят их в движение. После такого объяснения броуновского движения перед учеными встала задача найти такую кривую, которая бы наилучшим образом аппроксимировала движение броуновских частиц. Для этого кривая должна была отвечать следующим свойствам: не иметь касательной ни в одной точке. Математик Кох предложил одну такую кривую. Мы не будем вдаваться в объяснения правила ее построения, а просто приведем ее изображение, из которого все станет ясно (рис.1.1.1).

Рис 1.1.1. Снежинка Коха.

Одно важное свойство, которым обладает граница снежинки Коха --- ее бесконечная длина. Это может показаться удивительным, потому что мы привыкли иметь дело с кривыми из курса математического анализа. Обычно гладкие или хотя бы кусочно-гладкие кривые всегда имеют конечную длину (в чем можно убедиться интегрированием). Мандельброт в этой связи опубликовал ряд увлекательных работ, в которых исследуется вопрос об измерении длины береговой линии Великобритании. В качестве модели он

Рис. 1.1.2. Построение снежинки Коха.

использовал фрактальную кривую, напоминающую границу снежинки за тем исключением, что в нее введен элемент случайности, учитывающий случайность в природе. В результате оказалось, что кривая, описывающая береговую линию, имеет бесконечную длину.

Салфетка и ковёр Серпинского

Еще один пример простого самоподобного фрактала --- салфетка Серпинского (рис. 1.2.1), придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Сам термин салфетка принадлежит Мандельброту. В способе построения, следующем ниже, мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти. Позднее мы рассмотрим и другие способы, в частности с использованием L-систем, а также на основе итерированных функций.

Рис 1.2.1. Салфетка Серпинского

Пусть начальное множество S 0 --- равносторонний треугольник вместе с областью, которую он замыкает. Разобьем S 0 на четыре меньшие треугольные области, соединив отрезками середины сторон исходного треугольника. Удалим внутренность маленькой центральной треугольной области. Назовем оставшееся множество S 1 (рис. 1.2.2). Затем повторим процесс для каждого из трех оставшихся маленьких треугольников и получим следующее приближение S 2 . Продолжая таким образом, получим последовательность вложенных множеств S n , чье пересечение образует салфетка S.

Рис. 1.2.2. Построение салфетки Серпинского

Очевидно, что суммарная площадь частей, выкинутых при построении, в точности равна площади исходного треугольника. На первом шаге мы выбросили ј часть площади. На следующем шаге мы выбросили три треугольника, причем площадь каждого равна ј 2 площади исходного. Рассуждая таким образом, мы убеждаемся, что полная доля выкинутой площади составила:

1/4 + 3 * (1/4 2) + 3 2 * (1/4 3) + … + 3 n-1 * (1/4 n) + … .

Эта сумма равна. Следовательно, мы можем утверждать, что оставшееся множество S, то есть салфетка, имеет площадь меры нуль. Это выделяет множество S в разряд «совершенного», в том смысле, что оно разбивает свое дополнение на бесконечное число треугольных областей, обладая при этом нулевой толщиной.

Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала. Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название. Пример ковра Серпинского можно увидеть на рис. 1.2.3.

Фракталы – это объекты, части которых подобны целому. Например, ветка дерева подобна дереву, а каждый лист папоротника подобен ветке. Если снять с обычной капусты или луковицы несколько листов, то останется такое же растение, лишь уменьшится его размер. Но, пожалуй, самым интересным растением-фракталом является румынская капуста или капуста Романеско.

Выдающийся японский художник-иллюстратор Кацусика Хокусай (1760–1849) увидел фрактальные элементы в природных явлениях задолго до возникновения теории фракталов.

Интересным примером фрактала является так называемая кривая Коха или снежинка Коха . Она была построена в 1904 году шведским математиком (1870–1924). Строится эта кривая просто, но в результате выходит довольно причудливый объект.

Возьмём обычный равносторонний треугольник. На первом шаге разделим каждую сторону на три равные части, выбросим средний отрезок, вместо него построим два отрезка такой же длины, которые направлены вовне фигуры и касаются друг друга. В результате получим звезду Давида. И так далее, на каждом шаге среднюю часть каждого из отрезков периметра меняем на два такие же отрезка.

Оказывается, что если число шагов при построении кривой стремится к бесконечности, то площадь, ограниченная кривой, стремится к конечной величине, но периметр стремится к бесконечности. (Математики-современники Коха были этим настолько удивлены, что назвали кривую математическим уродцем.)

Показать это достаточно просто. Пусть p – периметр исходного треугольника. Заметим, что на каждом шаге исчезает отрезок, длина которого равна трети длины каждой стороны периметра, но вместо него добавляется два таких же отрезка.

Таким образом, на каждом шаге периметр фигуры множится на 4/3, и на n -м шаге периметр фигуры составляет . Поскольку , то P(n) стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности.

Покажем теперь, что площадь фигуры стремится к конечной величине. Вспомним простой факт из геометрии, что отношение площадей подобных фигур равно отношению квадратов их любых соответствующих линейных элементов.

Например, если сторону равностороннего треугольника уменьшить в 3 раза, то его площадь уменьшится в 3 2 =9 раз. Пусть площадь исходного треугольника равна S. На первом шаге к фигуре прибавляется 3 треугольника, площадь каждого из которых равна S /9.

На каждом следующем шаге количество треугольников, добавляющихся к фигуре, возрастает в 4 раза, а площадь каждого треугольника уменьшается в 9 раз. Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой фон Коха, равна

Заметим, что в квадратных скобках стоит сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , и её сумма равна .

Ерик Хайнес , современный специалист в области компьютерной графики и дизайна, построил трёхмерный аналог снежинки фон Коха.

Основателем математической теории фракталов является французский и американский математик (1924–2010). Именно он ввёл в употребление термин "фрактал" от латинского слова fractus (ломанный).

Этот неординарный человек родился в Варшаве, потом его семья переехала в Париж, где он окончил Политехническую школу – знаменитое учебное заведение для подготовки инженеров, основанное ещё в 1794 году.

В ходе обучения в Политехнической школе обнаружилось, что Мандельброт обладает феноменальным пространственным воображением – даже для чисто алгебраических задач он находил геометрическую интерпретацию. Спасаясь от преследований нацистов, Мандельброт переезжает в США, где получает второе высшее образование в Калифорнийском технологическом институте.

С 1958 года Мандельброт работает в научно-исследовательском центре IBM. При создании персональных компьютеров одной из ключевых проблем было подавление шумов в проводах. Мандельброт заметил, что графики шумов за день, час и даже секунду идентичны, и это стало ключевой догадкой, которая помогла решить проблему.

Вместе с этим Мандельброт начинает изучать экономические процессы и замечает, что там также имеют место колебания, графики которых аналогичны графикам шумов в проводах. Он выяснил, что произвольные внешние колебания цены следуют скрытому математическому порядку, который нельзя описать при помощи стандартных математических кривых.

В рамках своих экономических исследований Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок на протяжении длительного периода (более 100 лет). Мандельброт обнаружил похожесть кратковременных колебаний и колебаний на длительных интервалах времени. Это открытие оказалось неожиданным для экономистов.

Трёхмерный аналог
снежинки фон Коха

По сути, Мандельброт применил основы своего рекурсивного (фрактального) метода.

Следует заметить, что Мандельброт исследовал преимущественно геометрические свойства случайных колебаний, а их строгое математическое обоснование дал другой выдающийся математик – Норберт Винер (1894–1964), который считается основателем кибернетики и теории искусственного интеллекта.

Математическая модель шумов, которые с разных сторон исследовали Винер и Мандельброт, называется винеровским процессом; он является составной частью современной теории вероятностей и математической экономики.

Другое интересное исследование, которое проводил Мандельброт и о котором стоит рассказать, – это проблема измерения береговой линии. Эта проблема оказалась совсем не банальной, как может показаться на первый взгляд.

В 1967 году в журнале Science Мандельброт публикует статью под названием «Какова длина побережья Великобритании». Казалось бы, всё очень просто – чтобы измерить длину побережья, нужно на карте вдоль периметра страны отложить отрезки, отвечающие определённым длинам (например, 100 км), а потом эту единичную величину умножить на количество отрезков, отложенных вдоль периметра (см. рисунок).

Но оказалось, что результат измерения существенно зависит от того, какую длину отрезка выбрать в качестве единицы измерения. Так, при длине отрезка в 200 км длина побережья оказалась равной 2400 км, при длине отрезка 100 км – 2800, а при длине отрезка 50 км суммирование отрезков даёт длину побережья 3400 км.

Результаты измерений сильно отличаются, и незначительными ошибками это назвать никак нельзя. Мандельброт приходит к выводу, что говорить о длине побережья в обычном понимании нет смысла, и что есть кривые, которые имеют дробную (фрактальную) размерность, т.е. больше, чем единица (как у линии), и меньше двух (как у плоскости). Например, снежинка Коха имеет фрактальную размерность log 3 4≈1,262.

Измерение длины береговой линии Великобритании отрезками 200 км, 100 км и 50 км

Завершая рассказ о Бенуа Мандельброте, приведём несколько его высказываний:

– Основная идея состоит в том, что когда вы приближаете фрактальный объект к себе, он продолжает выглядеть по-прежнему.

– Во всей математике гладкость – вот что было главным. Я же предложил изучать неровности и шероховатости.

– Математика описывает гладкий мир, построенный человеком. А шероховатый мир, созданный природой, оказался за пределами нашей математики.

– Математики пишут формулы, я же всю жизнь рассматривал картинки.

Рассказывая о фракталах, стоит вспомнить их важное применение – фрактальные антенны и их изобретателя – Натана Коэна . История его изобретения, изменившая его биографию, довольно забавная.

Он жил в Бостоне, работал в должности профессора в Бостонском университете, областью его научных интересов были астрономия и астрофизика. Но кроме того он был радиолюбителем и на крыше его дома стояла большая антенна.

В 1988 году городские власти заставили его и других жителей убрать с крыш большие антенны, поскольку те портили внешний вид центра города. Коэн был сильно огорчён и в отчаянии заменил большую и дорогую антенну на небольшой кусок проволоки, который согнул в форму, подобную снежинке Коха. И вдруг обнаружилось, что такая примитивная антенна работает не хуже той, что была раньше!

Заинтересовавшись этим, Коэн меняет направление своих научных интересов и через несколько лет ставит дело на коммерческую основу – в 1995 году он основывает компанию Fractal antenna systems.

Наряду с разработкой внешних антенн небольших размеров, компания начинает заниматься разработкой антенн для мобильных телефонов. Изначально мобильные телефоны (равно как и радиотелефоны) были громоздкими, к тому же из них торчали внешние антенны.

Идеи Натана Коэна позволили спрятать антенну внутрь телефона. При этом элементы микросхемы, расположенные на плате, имеют форму фрактальной фигуры, называемой «ковёр Серпинского ».

Фракталы также применяются в современной рекламе и дизайне. Теория фракталов в сочетании с возможностями современной компьютерной графики открывают безграничные возможности для креатива, иногда весьма забавного.

Тем, кто заинтересовался фракталами, автор советует посмотреть фильм «Фракталы. Поиски новых размерностей» (он есть на youtube.com), или просто посмотреть причудливые фрактальные картинки, для этого нужно лишь зайти в google-картинки и в поисковой строке набрать «fractals».

С.И. Доценко , кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник факультета компьютерных наук и кибернетики КНУ имени Тараса Шевченко