Рассмотрим последовательность из $n$ независимых опытов, в каждом из которых событие $A$ может произойти с вероятностью $p$, либо не произойти — с вероятностью $q=1-p$. Обозначим через P n (k ) вероятность того, что событие $A$ произойдет ровно $k$ раз из $n$ возможных.
В таком случае величину P n (k ) можно найти по теореме Бернулли (см. урок «Схема Бернулли. Примеры решения задач »):
Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если $n$ будет достаточно большим, то найти значение P n (k ) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа , которая позволяют найти приближенное значение вероятности:
Локальная теорема Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число $n$ велико, а число $p$ отлично от 0 и 1, тогда:
Функция φ (x ) называется функцией Гаусса. Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах.
Функция Гаусса обладает двумя свойствами, которые следует учитывать при работе с таблицей значений:
- φ (−x ) = φ (x ) — функция Гаусса — четная;
- При больших значениях x имеем: φ (x ) ≈ 0.
Локальная теорема Муавра — Лапласа дает отличное приближение формулы Бернулли, если число испытаний n достаточно велико. Разумеется, формулировка «число испытаний достаточно велико» весьма условна, и в разных источниках называются разные цифры. Например:
- Часто встречается требование: n · p · q > 10. Пожалуй, это минимальная граница;
- Другие предлагают работать по этой формуле только для $n > 100$ и n · p · q > 20.
На мой взгляд, достаточно просто взглянуть на условие задачи. Если видно, что стандартная теорема Бернулли не работает из-за большого объема вычислений (например, никто не будет считать число 58! или 45!), смело применяйте Локальную теорему Муавра — Лапласа.
К тому же, чем ближе значения вероятностей $q$ и $p$ к 0,5, тем точнее формула. И, наоборот, при пограничных значениях (когда $p$ близко к 0 или 1) Локальная теорема Муавра — Лапласа дает большую погрешность, значительно отличаясь от настоящей теоремы Бернулли.
Однако будьте внимательны! Многие репетиторы по высшей математике сами ошибаются в подобных расчетах. Дело в том, что в функцию Гаусса подставляется довольно сложное число, содержащее арифметический квадратный корень и дробь. Это число обязательно надо найти еще до подстановки в функцию. Рассмотрим все на конкретных задачах:
Задача. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.
Итак, всего испытаний по схеме Бернулли n = 100. Кроме того, p = 0,512, q = 1 − p = 0,488.
Поскольку n = 100 — это достаточно большое число, будем работать по Локальной теореме Муавра — Лапласа. Заметим, что n · p · q = 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25 > 20. Имеем:
Поскольку мы округляли значение n · p · q до целого числа, ответ тоже можно округлить: 0,07972 ≈ 0,08. Учитывать остальные цифры просто нет смысла.
Задача. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.
По схеме Бернулли, n = 200, p = 0,02, q = 1 − p = 0,98. Заметим, что n = 200 — это неслабое число, поэтому используем Локальную теорему Муавра — Лапласа. Для начала найдем n · p · q = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Конечно, 4 — это слишком мало, поэтому результаты будут неточными. Тем не менее, имеем:
Округлим ответ до второго знака после запятой: 0,17605 ≈ 0,18. Учитывать больше знаков все равно не имеет смысла, поскольку мы округляли n · p · q = 3,92 ≈ 4 (до точного квадрата).
Задача. Магазин получил 1000 бутылок водки. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки.
По схеме Бернулли имеем: n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Отсюда n · p · q = 2,991 ≈ 1,73 2 (подобрали ближайший точный квадрат). Поскольку число n = 1000 достаточно велико, подставляем все числа в формулу Локальной теоремы Муавра — Лапласа:
Мы сознательно оставляем лишь один знак после запятой (на самом деле там получится 0,1949...), поскольку изначально использовали довольно грубые оценки. В частности: 2,991 ≈ 1,73 2 . Тройка в числителе внутри функции Гаусса возникла из выражения n · p = 1000 · 0,003 = 3.
Если вероятность
наступления события
в каждом испытании постоянна и
удовлетворяет двойному неравенству
,
а число независимых испытаний
достаточно велико, то вероятность
может быть вычислена по следующей
приближённой формуле
(14) ,
где пределы интеграла определяются равенствами
Формула (14) тем точнее, чем больше число испытаний в данном эксперименте.
На основании равенство (13) формулу (14) можно переписать в виде
(15)
.
(16)
(Н.Ф.Л)
Отметим простейшие свойства
функции 
:
Последнее свойство связано со свойствами
функции Гаусса
.
Функция
нечётна. Действительно, после замены
переменных
=
;
Для проверки второго свойства достаточно сделать чертёж. Аналитически она связано с так называемым несобственным интегралом Пуассона.
Отсюда прямо следует, что для всех
чисел
можно полагать что,
следовательно, все значения этой функции
расположены в отрезке [-0,5; 0,5], при этом
наименьшим является
затем функция медленно растёт и обращается
в нуль, т.е.
а затем возрастает до
Следовательно, на всей
числовой прямой является строго
возрастающей функцией, т.е. если
то
Следует отметить, что выводы
свойства 2 для функции
обосновывается на основании несобственного
интеграла Пуассона.
Замечание.
При решении
задач, требующих применения интегральной
теоремы Муавра-Лапласа пользуются
специальными таблицами. В таблице
даны значения для положительных
аргументов
и для
;
для значений
следует воспользоваться той же таблицей
с учётом равенства
Далее, для того, чтобы воспользоваться
таблицей функции
,
преобразуем равенство (15), так:
И на основании свойства 2 (нечётности
),
с учётом чётности подынтегральной
функции получим
=
.
Таким образом, вероятность того, что
событие
появится в
независимых испытаниях не менее
раз и не более
раз, вычисляется формулой:
(17)
;
Пример 12 . Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 300 выстрелах мишень будет поражена не менее 150 и не более 250 раз.
Решение
:
Здесь
,
,
,
,
.
Вычисляем
,
,
,
.
Подставляя в интегральную формулу Лапласа, получим
На практике наряду с равенством (16) часто используют и другую формулу называемую «интегралом вероятности » или функцией Лапласа (см. более подробно в гл.2., п.9.,Т.9.).
(И.В.
или Ф.Л
.)
Для этой функции справедливы равенства:
Следовательно, она связана с табулированной
функцией
и поэтому имеется также ё таблица
приближённых значений (см. в конце книги,
приложение).
Пример 13. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенных деталей окажется от 70 до 100 деталей.
Решение.
По
условию задачи 
,
,
.
,
.
Воспользуемся интегральной теоремой
Муавра-Лапласа:
,
Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:
Следовательно,
с учётом табличных значений функции
;
получим искомую вероятность
.
Теперь у нас есть возможность в качестве приложения рассмотренных предельных теорем доказать известную теорему « закон больших чисел в форме Бернулли »
Закон больших чисел (ЗБЧ в форме Бернулли)
Первым исторически самым простым законом больших чисел является теорема
Я. Бернулли. Теорема Бернулли выражает наиболее простую форму проявлния закона больших чисел. Она обосновывает теоретическую возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты.
Пусть проводится
независимых испытаний, в каждом из
которых вероятность наступления события
равна,
а относительная частота в каждой серии
испытания равна
Рассмотрим задачу
:в условиях
испытания по схеме Бернулли и при
достаточно большом числе независимых
испытаний
найти вероятность отклонение
относительной частоты
от постоянной вероятности
появления события
по абсолютной величине не превышает
заданного числа
Другими словами, найти вероятность:
при достаточно большом числе независимых испытаний.
Теорема (ЗБЧ Я. Бернулли 1713 г.)
При
вышеприведённых условиях при любом
,
как бы ни было мало
,
имеет место предельное равенство
(19)
.
Доказательство. Проведём доказательство этого важного утвержденияна основании интегральной теоремы Муавра – Лапласа. По определению относительная частота равна
А
вероятность
наступления событие
в
одном испытании. Сначала установим
следующее равенство при любом
и достаточно большом
:
(20)
.
Действительно,
в соответствии условием
легко заметить, что имеет место двойное
неравенство.
Обозначим
(21)
.
Тогда, будем иметь неравенства
Следовательно,
для искомой вероятности
.
Теперь, для случаев
воспользуемся
равенством
;
и с
учётом нечётности
получим
==
2
.
Равенство (20) получено.
Из формулы (20) непосредственно следует,
что при
(с учётом
где),
получим предельное равенство (20).
Пример 14.
.
Найти вероятность того, что среди
случайно отобранных 400 деталей
относительная частота появления
нестандартных деталей отклонится от
по абсолютной величине не более чем на
0,03.
Решение. Согласно условиям задачи, требуется найти
По формуле (3) имеем
=2
.
С учётом
табличного значения функции
получим
.
Смысл полученного результата таков:
если взять достаточно большое число
проб
деталей, то в каждой пробе примерно происходит отклонение относительной «частоты» на
95, 44 % и величина
этих проб от вероятности
,
по модулю не превышающей 0,03.
Рассмотрим другой пример, где требуется
найти число
.
Пример 15.
Вероятность того, что
деталь нестандартна, равна
.
Сколько деталей надо отобрать, чтобы с
вероятностью 0,9999 можно было бы утверждать,
что относительная частота нестандартных
деталей (среди отобранных), отклоняется
от
по
модулю не более, чем на 0,03. Найти это
количество
Решение.
Здесь, по условию
.
Требуется
определить
.
По формуле (13) имеем
.
Поскольку,
По таблице находим, что данное значение
соответствует для аргумента
.
Отсюда,
.
Смысл этого результата таков: относительная
частота будет заключена
между числами . Таким образом, число нестандартных деталей в 99,99 % проб будет заключено между числами 101,72 (7 % от числа 1444) и 187,72 (13 % от числа 1444).
Если взять лишь одну пробу 1444 деталей, то с большой уверенностью можно ожидать, что число нестандартных деталей будет не менее101и не более 188, в тоже время маловероятно, что их окажется меньше 101 или больше 188.
Следует заметить, что теорема
Бернулли также устанавливает: при
неограниченном увеличении числа
испытаний частота случайного события
сходится по вероятности к истинной
вероятности этого же события, т.е.
справедлива оценка снизу
(22)
;
,
при
условии, что вероятность события
от
испытания к испытанию остается неизменным
и равным
при этом
.
Неравенство (22) является прямым следствием известного неравенства Чебышева (см. далее тему «Предельные теоремы теории вероятностей» «Теорема Чебышева»). Мы позже ещё раз вернёмся к этому ЗБЧ. Оно удобно для получения оценок вероятностей снизу и двухстороннею оценку для необходимого числа наступления события, так чтобы вероятность от модуля разности относительной частоты и истинной вероятности, заданному ограничению рассматриваемого события удовлетворяло.
Пример 16. Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероятность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его появления меньше чем на 0,1.
Решение . По условию здесь
На основании неравенство (4) получим
Следовательно, неравенство
равносильно двойному неравенству
Поэтому можно заключить, что вероятность
числа попаданий «герба» в интервал
(400; 600) больше чем
Пример 17. В урне 1000 белых и 2000 чёрных шаров. Извлекли (с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, число извлечённых шаров m (при этом они должны быть белыми) удовлетворяет двойному неравенству 80< m <120.
Решение. Двойное неравенство для величины m перепишем в виде:
Таким образом, требуется оценить вероятность выполнении неравенства
Следовательно,
.
Интегральная теорема Лапласа
Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе испытаний n приближенно равна
Интегральная формула Лапласа, также как и локальная формула Муавра-Лапласа, тем точнее, чем больше n и чем ближе к 0,5 значения p и q . Вычисление по этой формуле дает незначительную погрешность при выполнении условия npq ≥ 20, хотя допустимым можно считать выполнение условия npq > 10.
Функция Ф(x ) табулирована (см. Приложение 2). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Ф(x ):
1. Функция Ф(x ) – нечетная, т.е. Ф(–x ) = – Ф(x ).
2. Функция Ф(x ) – монотонно возрастающая, причем при x → +∞ Ф(x ) → 0,5 (практически можно считать, что уже при x ≥ 5 Ф(x ) ≈ 0,5).
Пример 3.4. По условиям примера 3.3 вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) студентов успешно сдадут экзамен с первого раза.
Решение. Применяем интегральную теорему Лапласа (npq ≥ 20). Вычисляем:
= –2,5; 
= 5,0;
P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = Ф(5,0) – Ф(–2,5).
Учитывая свойства функции Ф(x ) и пользуясь таблицей ее значений, находим: Ф(5,0) = 0,5; Ф(–2,5) = – Ф(2,5) = – 0,4938.
Получаем P 400 (300 ≤ m ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄
Запишем следствия интегральной теоремы Лапласа.
Следствие 1. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что число m наступления события А отличается от произведения np не более, чем на величину ε > 0
 .
| (3.8) |
Пример 3.5. По условиям примера 3.3 найти вероятность того, что от 280 до 360 студентов успешно сдадут экзамен по теории вероятностей с первого раза.
Решение. Вычислить вероятность Р 400 (280 ≤ m ≤ 360) можно аналогично предыдущему примеру по основной интегральной формуле Лапласа. Но проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360 симметричны относительно величины np =320. Тогда на основании следствия 1 получаем
= = ≈
≈ 
= 2Ф(5,0) ≈ 2·0,5 ≈ 1,
т.е. практически достоверно, что от 280 до 360 студентов успешно сдадут экзамен с первого раза. ◄
Следствие 2. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что частость m/n события А заключена в пределах от α до β (включительно) равна
 ,
| (3.9) |
| где | , . | (3.10) |
Пример 3.6. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет заключена в пределах от 0,9 до 0,95.
Решение. Вероятность того, что новорожденный доживет до 50 лет равна р = 0,87. Так как n = 1000 велико (т.е. условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие 2 интегральной теоремы Лапласа. Находим:
2,82, = 7,52.
= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄
Следствие 3. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что частость m/n события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ > 0 (по абсолютной величине) равна
 .
| (3.11) |
Пример 3.7. По условиям предыдущей задачи найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
Решение. Используя следствие 3 интегральной теоремы Лапласа, находим:
= 2Ф
(3,76) = 2·0,4999 = 0,9998.
Так как неравенство равносильно неравенству , полученный результат означает, что практически достоверно, что от 83 до 91% новорожденных из 1000 доживут до 50 лет. ◄
Ранее мы установили, что для независимых испытаний вероятность числа m появлений события А в n испытания находится по формуле Бернулли. Если же n велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (р ≤ 0,1). В этом случае (n велико, р мало) применяют теорему Пуассона
Формула Пуассона
Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (p → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n→ ∞), причем произведение np стремится к постоянному числу λ (np → λ), то вероятность P n (m) того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Таблица значений функции φ(x); для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция φ (x) четная: φ(-x) = φ(x)).
Пример №1
. В каждом из 700 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз; в) больше чем 270 раз.
Решение.
Так как количество опытов n = 700 довольно велико, то используем формулы Лапласа.
а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Найдем P 700 (270). Используем локальную теорему Лапласа.
Находим:
Значение функции φ(x) найдем из таблицы:
б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Найдем P 700 (230 < k < 270).
Используем интегральную теорему Лапласа (23), (24). Находим: 
Значение функции Ф(x) найдем из таблицы :
в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Найдем P 700 (k > 270).
Имеем:
Пример №2
. При установившемся технологическом процессе на ткацкой фабрике происходит 10 обрывов нити на 100 веретен в час. Определите: а) вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити; б) наивероятнейшее число обрывов нити на 80 веретенах в течение часа.
Решение.
Статистическая вероятность обрыва нити в течение часа равна p = 10/100 = 0,1 и, следовательно, q = 1 – 0,1 = 0,9; n = 80; k = 7.
Поскольку n велико, то используется локальная теорема Лапласа (23). Вычисляем:
Воспользуемся свойством φ(-x) = φ(x), находим φ(0,37) ≈ 0,3726, а затем вычисляем искомую вероятность:
Таким образом, вероятность того, что в течение часа на 80 веретенах произойдет 7 обрывов нити, приближенно равна 0,139.
Наивероятнейшее число k 0 наступлений события при повторных испытаниях определим по формуле (14). Находим: 7,1 < k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Пример №3 . Вероятность того, что деталь первого сорта равна 0.4. Сделано 150 деталей. Найти вероятность того, что среди них 68 деталей первого сорта.
Пример №4
. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна p .
Найти вероятность того, что событие состоится n раз, если проведения m испытаний.
Ответ представить с точностью до трех значащих цифр.
р=0.75, n=87, m=120
Интегральная теорема Муавра-Лапласа . Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
Где
- функция (или интеграл вероятностей)
Лапласа;
,
.
Формула называется
интегральной формулой МуавраЛапласа.
Чем больше n, тем точнее эта формула. При
выполнении условия npq ≥ 20 интегральная
формула
,
так же как и локальная, дает, как правило,
удовлетворительную для практики
погрешность вычисления вероятностей.
Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции :
Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).
Пример . В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.
Решение . Применяем интегральную теорему МуавраЛапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:
,
.
Теперь по формуле
,
учитывая свойства Ф(х), получим
(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)
Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с выводом). Примеры.
Рассмотрим следствие интегральной теоремы МуавраЛапласа.
Следствие . Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:
а) число m
наступлений события А отличается от
произведения nр
не более, чем на величину ε > 
;
б) частость
события
А заключена в пределах от α до β
(включительно), т.е.
,
Где
,
.
в) частость
события А отличается от его вероятности
р не более, чем на величину Δ > 0 (по
абсолютной величине), т.е.
.
□ 1) Неравенство
равносильно двойному неравенству пр
- Е ~ т ~ пр + Е. Поэтому по интегральной
формуле
:
.
2) Неравенство
равносильно
неравенствуa
≤ m
≤ b
при a
= nα
и b
= nβ.
Заменяя в формулах
и
,
величины а иb
полученными выражениями, получим
доказываемые формулы
и
,
.
3) Неравенство
равносильно
неравенству
.
Заменяя в формуле
,
получим доказываемую формулу
.
Пример . По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
Решение . а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n = 1000 велико (условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Вначале определим:
,
.
Теперь по формуле
:
Б) По формуле
:
Так как неравенство
равносильно неравенству
,
полученный результат означает, что
практически достоверно, что от 0,83 до
0,91 числа новорожденных из 1000 доживут
до 50 лет.
Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.
Под случайной величиной понимается переменная, которая в рез-те испытания в зав-ти от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно).
Примеры случайных величин : 1) число родившихся детей в течение суток в г. Москве; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; 4) дальность полета артиллерийского снаряда; 5) расход электроэнергии на пр-тии за месяц.
Случайная величина называется дискретной (прерывной) , если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.
Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой - некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.
Так, в приведенных выше примерах 1-3 имеем дискретные случайные величины (в примерах 1 и 2 - с конечным множеством значений; в примере 3 - с бесконечным, но счетным множеством значений); а в примерах 4 и 5 - непрерывные случайные величины.
Для дискретной
случайной величины
множество
возможных значений случайной величины,
т.е. функции
,
конечно или счетно, длянепрерывной
- бесконечно и несчетно.
Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита Х,У,Z,..., а их значения - соответствующими строчными буквами х,у,z,....
Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.
Для дискретной случайной величины закон распределения м.б. задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
.Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины .
События Х=х 1 ,
Х=x 2 ,…,Х=x n ,
состоящие в том, что в результате
испытания случайная величина Х примет
соответственно значения х 1 ,
x 2 ,
..., x n
являются несовместными и единственно
возможными (ибо в таблице перечислены
все возможные значения случайной
величины), Т.е. образуют полную группу.
Следовательно, сумма их вероятностей
равна 1. Т.о., для любой дискретной
случайной величины
.
Ряд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей .
Две случайные величины называются независимыми , если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так, если дискретная случайная величина Х может принимать значения x i (i = 1, 2, ..., n), а случайная величина У - значения y j (j = 1, 2, ..., m), то независимость дискретных случайных величин Х и У означает независимость событий Х = x i и У = y при любых i = 1, 2, ... , n и j = 1, 2, ..., m. В противном случае случайные величины называются зависимыми .
Например , если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины Х и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету (в денежных единицах), будут независимыми , т.к. при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при Х = x i) закон распределения выигрыша по другому билету (У) не изменится.
Если же случайные величины Х и У выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае Х и У являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (Х = x i) приводит к изменению вероятностей выигрыша по другому билету (У), т.е. к изменению закона распределения У.
Математические операции над дискретными случайными ве личинами и примеры построения законов распределения для КХ, Х" 1 , X + К, XV по заданным распределениям независимых случай ных величин X и У.
Определим математические операции над дискретными случайными величинами.
Пусть даны две случайные величины:
Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx i с теми же вероятностями р i (i = 1,2,...,n).
m
-й
степенью случайной величины Х, т.е.
,
называется случайная величина, которая
принимает значения
с теми же вероятностями р i
(i = 1,2,...,n).
Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и У называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида хi+уj (хj-уj или хj·уj), где i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, с вероятностями pij того, что случайная величина Х примет значение xi, а у - значение yj:
Если случайные величины Х и У независимы, т.е. независимы любые события Х=хi, Y=yj то по теореме умножения вероятностей для независимых событий
3амечание
.
Приведенные выше определения операций
над дискретными случайными величинами
нуждаются в уточнении: так как в ряде
случаев одни и те же значения
,
,
могут получаться разными способами при
различныхxi,
yj
с вероятностями pi,
pij,
то вероятности таких повторяющихся
значений находятся сложением полученных
вероятностей pi
или pij.
|
Вид операции |
Выражение знач. Сл\в |
Выр знач вер-ти |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
не изм-ся
не изм-ся
