В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

Матрица - это таблица из $m$ строк и $n$ столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица $\left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$ содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица $\left(\begin{array} {cccc} a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end{array} \right)$ содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц: показать\скрыть

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Т.е., указанные ниже записи означают одну и ту же матрицу:

$$ \left(\begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right);\;\; \left[ \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right]; \;\; \left \Vert \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right \Vert $$

Произведение $m\times n$ называют размером матрицы . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера $5\times 3$. Матрица $\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ имеет размер $3 \times 2$.

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: $A$, $B$, $C$ и так далее. Например, $B=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end{array} \right)$. Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов - слева направо. Например, первая строка матрицы $B$ содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы $A$ обозначаются $a_{ij}$. Двойной индекс $ij$ содержит информацию о положении элемента в матрице. Число $i$ - это номер строки, а число $j$ - номер столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$. Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы $A=\left(\begin{array} {cccccc} 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end{array} \right)$ расположен элемент $a_{25}=59$:

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент $a_{11}=51$; на пересечении третьей строки и второго столбца - элемент $a_{32}=-15$ и так далее. Замечу, что запись $a_{32}$ читается как "а три два", но не "а тридцать два".

Для сокращённого обозначения матрицы $A$, размер которой равен $m\times n$, используется запись $A_{m\times n}$. Можно записать и несколько более развёрнуто:

$$ A_{m\times n}=(a_{ij}) $$

где запись $(a_{ij})$ означает обозначение элементов матрицы $A$. В полностью развёрнутом виде матрицу $A_{m\times n}=(a_{ij})$ можно записать так:

$$ A_{m\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right) $$

Введём еще один термин - равные матрицы .

Две матрицы одинакового размера $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называются равными , если их соответствующие элементы равны, т.е. $a_{ij}=b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица $A=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ не равна матрице $B=\left(\begin{array}{cc} 8 & -9\\0 & -87 \end{array}\right)$, поскольку матрица $A$ имеет размер $3\times 2$, а размер матрицы $B$ составляет $2\times 2$. Также матрица $A$ не равна матрице $C=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$, поскольку $a_{21}\neq c_{21}$ (т.е. $0\neq 98$). А вот для матрицы $F=\left(\begin{array}{cc} 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end{array}\right)$ можно смело записать $A=F$ поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц $A$ и $F$ совпадают.

Пример №1

Определить размер матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end{array} \right)$. Указать, чему равны элементы $a_{12}$, $a_{33}$, $a_{43}$.

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её $5\times 3$. Для этой матрицы можно использовать также обозначение $A_{5\times 3}$.

Элемент $a_{12}$ находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому $a_{12}=-2$. Элемент $a_{33}$ находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому $a_{33}=23$. Элемент $a_{43}$ находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому $a_{43}=-5$.

Ответ : $a_{12}=-2$, $a_{33}=23$, $a_{43}=-5$.

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица $A_{m\times n}$. Если $m=1$ (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют матрица-строка . Если же $n=1$ (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют матрица-столбец . Например, $\left(\begin{array} {ccccc} -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end{array} \right)$ - матрица-строка, а $\left(\begin{array} {c} -1 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$ - матрица-столбец.

Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m\neq n$ (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что $A$ - прямоугольная матрица. Например, матрица $\left(\begin{array} {cccc} -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end{array} \right)$ имеет размер $2\times 4$, т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы $A_{m\times n}$ верно условие $m=n$ (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что $A$ - квадратная матрица порядка $n$. Например, $\left(\begin{array} {cc} -1 & -2 \\ 5 & 9 \end{array} \right)$ - квадратная матрица второго порядка; $\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end{array} \right)$ - квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу $A_{n\times n}$ можно записать так:

$$ A_{n\times n}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \right) $$

Говорят, что элементы $a_{11}$, $a_{22}$, $\ldots$, $a_{nn}$ находятся на главной диагонали матрицы $A_{n\times n}$. Эти элементы называются главными диагональными элементами (или просто диагональными элементами). Элементы $a_{1n}$, $a_{2 \; n-1}$, $\ldots$, $a_{n1}$ находятся на побочной (второстепенной) диагонали ; их называют побочными диагональными элементами . Например, для матрицы $C=\left(\begin{array}{cccc}2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end{array}\right)$ имеем:

Элементы $c_{11}=2$, $c_{22}=9$, $c_{33}=4$, $c_{44}=6$ являются главными диагональными элементами; элементы $c_{14}=1$, $c_{23}=8$, $c_{32}=0$, $c_{41}=-4$ - побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется следом матрицы и обозначается $\Tr A$ (или $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn} $$

Например, для матрицы $C=\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end{array}\right)$ имеем:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы $B=\left(\begin{array} {ccccc} 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end{array} \right)$ главными диагональными элементами будут $b_{11}=2$, $b_{22}=-9$, $b_{33}=4$.

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы $A_{m\times n}$ равны нулю, то такая матрица называется нулевой и обозначается обычно буквой $O$. Например, $\left(\begin{array} {cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - нулевые матрицы.

Пусть матрица $A_{m\times n}$ имеет такой вид:

Тогда данную матрицу называют трапециевидной . Она может и не содержать нулевых строк, но уж если они есть, то располагаются в низу матрицы. В более общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

Повторюсь, наличие нулевых строк в конце не является обязательным. Т.е. формально можно выделить такие условия для трапециевидной матрицы:

1. Все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.
2. Все элементы от $a_{11}$ до $a_{rr}$, лежащие на главной диагонали, не равны нулю: $a_{11}\neq 0, \; a_{22}\neq 0, \ldots, a_{rr}\neq 0$.
3. Либо все элементы последних $m-r$ строк равны нулю, либо $m=r$ (т.е. нулевых строк нету вообще).

Примеры трапециевидных матриц:

Перейдём к следующему определению. Матрицу $A_{m\times n}$ называют ступенчатой , если она удовлетворяет таким условиям:

Например, ступенчатыми матрицами будут:

Для сравнения, матрица $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ не является ступенчатой, поскольку у третьей строки нулевая часть такая же, как и у второй строки. Т.е., нарушается принцип "чем ниже строка - тем больше нулевая часть". Добавлю, что трапециевидная матрица есть частный случай ступенчатой матрицы.

Перейдём к следующему определению. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют верхней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это несущественно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют нижней треугольной матрицей . Например, $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end{array} \right)$ - нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, - это неважно. Например, $\left(\begin{array} {ccc} -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end{array} \right)$ и $\left(\begin{array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$ - тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: $\left(\begin{array} {cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)$. Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), - это несущественно.

Диагональная матрица называется единичной , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, $\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица четвёртого порядка; $\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$ - единичная матрица второго порядка.

Операции над матрицами и их свойства.

Понятие определителя второго и третьего порядков. Свойства определителей и их вычисление.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов :

Размерностью матрицы называется совокупность двух чисел, состоящая из числа её строк m и числа столбцов n.

Если m=n, то матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Операции над матрицами : транспонирование матрицы, умножение (деление) матрицы на число, сложение и вычитание, умножение матрицы на матрицу.

Переход от матрицы А к матрице А т, строками которой являются столбцы, а столбцами —строки матрицы А, называется транспонированием матрицы А.

Пример: А= , А т = .

Чтобы умножить матрицу на число , нужно каждый элемент матрицы умножить на это число.

Пример: 2А= 2· = .

Суммой (разностью) матриц А и В одинаковой размерности называется матрица С=А В, элементы которой равны с ij = a ij b ij для всех i и j .

Пример: А = ; В = . А+В= = .

Произведением матрицы А m n на матрицу В n k называется матрица С m k , каждый элемент которой c ij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-го столбца матрицы В:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Чтобы можно было умножить матрицу на матрицу, они должны быть согласованными для умножения, а именно число столбцов в первой матрице должно быть равно числу строк во второй матрице.

Пример: А= и В = .

А·В—невозможно, т.к. они не согласованы.

В·А= . = = .

Свойства операции умножения матриц .

1. Если матрица А имеет размерность m n, а матрица В—размерность n k , то произведение А·В существует.

Произведение В·А может существовать, только когда m=k.

2.Умножение матриц не коммутативно, т.е. А·В не всегда равно В·А даже если определены оба произведения. Однако если соотношение А·В= В·А выполняется, то матрицы А и В называются перестановочными .

Пример . Вычислить .

Минором элемента называется определитель матрицы порядка, полученный вычёркиванием -ой строки -го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется .

Теорема разложения Лапласа :

Детерминант квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример . Вычислить .

Решение. .

Свойства определителей n-го порядка :

1) Величина определителя не изменится, если строки и столбца поменять местами.

2) Если определитель содержит строку (столбец) из одних нулей, то он равен нулю.

3) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

4) Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

6) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в каждом из которых все строки (столбцы), кроме упомянутой, такие же, как и в данном определителе, а в упомянутой строке (столбце) первого определителя стоят первые слагаемые, второго - вторые.

7) Если в определителе две строки (столбца) пропорциональны, то он равен нулю.

8) Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

9) Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Метод накопления нулей вычисления определителей основан на свойствах определителей.

Пример . Вычислить .

Решение. Вычтем из первой строки удвоенную третью, далее используем теорему разложения по первому столбцу.

~ .

Контрольные вопросы (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):

1. Что называется определителем второго порядка?

2. Какие основные свойства определителей?

3. Что называется минором элемента?

4. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя?

5. Как разложить определитель третьего порядка по элементам какой-либо строки (столбца)?

6. Чему равна сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца), определителя по алгебраическим дополнениям соответствующих элементов другой строки (или столбца)?

7. В чём заключается правило треугольников?

8. Как вычисляются определители высших порядков способом понижения порядка

10. Какая матрица называется квадратной? Нулевой? Что такое матрица-строка, матрица-столбец?

11. Какие матрицы называются равными?

12. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умно-жения матрицы на число

13. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сло-жении, умножении?

14. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммута-тивность, ассоциативность, дистрибутивность ? Какие из них выпол-няются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?

15. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?

16. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

17. Сформулировать лемму о транспонировании произведения мат-риц.

Практические задания общие (ОК-1, ОК-2, ОК-11,ПК-1):

№1. Найти сумму и разность матриц А и В:

а)

б)

в)

№2. Выполните указанные действия:

в) Z= -11А+7В-4С+D

если

№3. Выполните указанные действия:

в)

№4. При помощи применения четырех способов вычисления определителя квадратной матрица, найти определители следующих матриц:

№5. Найти определителей n-ого порядка, по элементам столбца (строки):

а) б)

№6. Найти определитель матрицы, используя свойства определителей:

а) б)

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами : сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>> .

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами .

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов . В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов :

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ : когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной , например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами .

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами :

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу) .

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак :

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок .

2) Действие второе. Умножение матрицы на число .

Пример:

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО :

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать , мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка , то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

Пример:

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка .

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы .

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:

Транспонировать матрицу

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

– транспонированная матрица.

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:

Транспонировать матрицу

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Грубо говоря, транспонировать – это значит повернуть матрицу набок.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц .

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Пример:

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы :

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов .

Пример:

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц .

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

Следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Определение 1. Матрицей А размера m  n называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, состоящая из чисел или иных математических выражений (называемых элементами матрицы),i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, или

Определение 2. Две матрицы
и
одного размера называютсяравными , если они совпадают поэлементно, т.е. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

С помощью матриц легко записывать некоторые экономические зависимости, например таблицы распределения ресурсов по некоторым отраслям экономики.

Определение 3. Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. m = n, то матрица называется квадратной порядка n , а в противном случае прямоугольной.

Определение 4. Переход от матрицы А к матрице А т, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированием матрицы.

Виды матриц: квадратная (размера 33) -
,

прямоугольная (размера 25) -
,

диагональная -
, единичная -
, нулевая -
,

матрица-строка -
, матрица-столбец -.

Определение 5. Элементы квадратной матрицы порядка n с одинаковыми индексами называются элементами главной диагонали, т.е. это элементы:
.

Определение 6. Элементы квадратной матрицы порядка n называются элементами побочной диагонали, если сумма их индексов равна n + 1, т.е. это элементы: .

1.2. Операции над матрицами.

1 0 . Суммой двух матриц
и
одинакового размера называется матрица С = (с ij), элементы которой определяются равенством с ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции сложения матриц.

Для любых матриц А,В,С одного размера выполняются равенства:

1) А + В = В + А (коммутативность),

2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность).

2 0 . Произведением матрицы
на число  называется матрица
того же размера, что и матрица А, причемb ij = (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Свойства операции умножения матрицы на число.

(А) = ()А (ассоциативность умножения);

(А+В) = А+В (дистрибутивность умножения относительно сложения матриц);

(+)А = А+А (дистрибутивность умножения относительно сложения чисел).

Определение 7. Линейной комбинацией матриц
и
одинакового размера называется выражение видаА+В, где  и  - произвольные числа.

3 0 . Произведением А  В матриц А и В соответственно размеров mn и nk называется матрица С размера mk, такая, что элемент с ij равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А и j-того столбца матрицы В, т.е. с ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Произведение АВ существует, только в том случае, если число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Свойства операции умножения матриц:

(АВ)С = А(ВС) (ассоциативность);

(А+В)С = АС+ВС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

А(В+С) = АВ+АС (дистрибутивность относительно сложения матриц);

АВ  ВА (не коммутативность).

Определение 8. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА, называются коммутирующими или перестановочными.

Умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу.

Определение 9. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции:

Перемена местами двух строк (столбцов).

Умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля.

Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Определение 10. Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований называется эквивалентной (обозначается ВА).

Пример 1.1. Найти линейную комбинацию матриц 2А–3В, если

,
.

,
,

.

Пример 1.2. Найти произведение матриц
, если

.

Решение: т.к количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, то произведение матриц существует. В результате получаем новую матрицу
, где

В результате получим
.

Лекция 2. Определители. Вычисление определителей второго, третьего порядка. Свойства определителей n -го порядка.

Опр . Прямоугольная таблица, состоящая из т строк и п столбцов действительных чисел называется матрицей размера т×п . Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В,…, а массив чисел выделяют круглыми или квадратными скобками.

Числа, входящие в таблицу, называются элементами матрицы и обозначаются малыми латинскими буквами с двойным индексом , гдеi – номер строки, j – номер столбца, на пресечении которых расположен элемент. В общем виде матрица записывается так:

Две матрицы считаются равными , если равны их соответствующие элементы.

Если число строк матрицы т равно числу ее столбцов п , то матрица называется квадратной (в противном случае – прямоугольной).

Матрица размера
называется матрицей-строкой. Матрица размера

называется матрицей-столбцом.

Элементы матрицы, имеющие равные индексы (
и т.д.), образуютглавную диагональ матрицы. Другая диагональ называется побочной.

Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и имеет стандартное обозначение Е:

Если все элементы матрицы, расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны нулю, говорят, что матрица имеет треугольный вид:

§2. Операции над матрицами

1. Транспонирование матрицы – преобразование, при котором строки матрицы записывают в виде столбцов при сохранении их порядка. Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали:

.

2. Матрицы одинаковой размерности можно суммировать (вычитать). Суммой (разностью) матриц называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов исходных матриц:

3. Любую матрицу можно умножать на число. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число:

.

4. Если число столбцов одной матрицы равно числу строк другой, то можно выполнить умножение первой матрицы на вторую. Произведением таких матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки первой матрицы и элементов соответствующего столбца второй матрицы.

Следствие . Возведение матрицы в степень к >1 есть произведение матрицы А к раз. Определено только для квадратных матриц.

Пример .

Свойства операций над матрицами.

1. (А+В)+С=А+(В+С);

   к(А+В)=кА+кВ;

   А(В+С)=АВ+АС;

   (А+В)С=АС+ВС;

   к(АВ)=(кА)В=А(кВ);

   А(ВС)=(АВ)С;

2. (кА) Т =кА Т;

   (А+В) Т =А Т +В Т;

   (АВ) Т =В Т А Т;

Перечисленные выше свойства аналогичны свойствам операций над числами. Есть и специфические свойства матриц. К ним относится, например, отличительное свойство умножения матриц. Если произведение АВ существует, то произведение ВА

Может не существовать

Может отличаться от АВ.

Пример . Предприятие выпускает продукцию двух видов А и В и использует при этом сырье трех типов S 1 , S 2 , и S 3 . Нормы расхода сырья заданы матрицей N=
, гдеn ij – количество сырья j , расходуемого на производство единицы продукции i . План выпуска продукции задан матрицей С=(100 200), а стоимость единицы каждого вида сырья – матрицей . Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции и общую стоимость сырья.

Решение. Затраты сырья определим как произведение матриц С и N:

Общую стоимость сырья вычислим как произведение S и Р.