В ходе исторического развития, конечно, долго складывали и умножали, не отдавая себе отчета в тех законах, которым подчиняются эти операции. Лишь в 20-х и 30-х годах предыдущего столетия главным образом французские и английские математики выяснили основные свойства этих операций. Кто хочет ознакомиться с историей этого вопроса подробнее, тому я могу рекомендовать здесь, как буду это делать неоднократно ниже, большую «Энциклопедию математических наук».

Возвращаясь к нашей теме, я имею в виду теперь действительно перечислить те пять основных законов, к которым приводится сложение:

1) всегда представляет собою число, иначе говоря, действие сложения всегда без всяких исключений выполнимо (в противоположность вычитанию, которое в области положительных чисел выполнимо не всегда);

2) сумма всегда определена однозначно;

3) имеет место сочетательный, или ассоциативный закон: , так что скобки можно и вовсе опустить;

4) имеет место переместительный, или коммутативный закон:

5) имеет место закон монотонности: если , то .

Эти свойства понятны без дальнейших пояснений, если мы имеем перед глазами наглядное представление о числе как о количестве. Но они должны быть выражены строго формально, чтобы на них можно было опираться при дальнейшем строго логическом развитии теории.

Что касается умножения, то здесь действует, прежде всего, пять законов, аналогичных только что перечисленным:

1) всегда есть число;

2) произведение однозначно,

3) закон сочетательности:

4) закон переместительности:

5) закон монотонности: если , то

Наконец, связь сложения с умножением устанавливается шестым законом:

6) закон распределительности, или дистрибутивности:

Легко уяснить, что все вычисления опираются исключительно на эти 11 законов. Я ограничусь простым примером, скажем, умножением числа 7 на 12;

согласно закону распределительности

В этом коротком рассуждении вы, конечно, узнаете отдельные шаги, которые мы производим при вычислениях в десятичной системе. Предоставляю вам самим разобрать примеры посложнее. Мы здесь выскажем только сводный результат: наши цифровые вычисления заключаются в повторном применении перечисленных выше одиннадцати основных положений, а также в применении заученных наизусть результатов действий над однозначными числами (таблица сложения и таблица умножения).

Однако, где же находят себе применение законы монотонности? В обыкновенных, формальных вычислениях мы на Них действительно не опираемся, но они оказываются необходимыми в задачах несколько иного рода. Напомню вам здесь о способе, который в десятичном счете называют оценкой величины произведения и частного. Это прием величайшей практической важности, который, к сожалению, в школе и среди студентов известен далеко еще не достаточно, хотя при случае о нем говорят уже во втором классе; я здесь ограничусь только примером. Допустим, нам нужно умножить 567 на 134, причем в этих числах цифры единиц установлены, - скажем, посредством физических измерений - лишь весьма неточно. В таком случае было бы совершенно бесполезно вычислять произведение с полною точностью, так как такое вычисление все равно не гарантирует нам точного значения интересующего нас числа. Но что нам действительно важно - это знать порядок величины произведения, т. е. определить, в пределах какого числа десятков или сотен число заключается. Но эту, оценку закон монотонности действительно дает вам непосредственно, ибо из него вытекает, что искомое число содержится между 560-130 и 570-140. Дальнейшее развитие этих соображений я опять-таки предоставляю вам самим.

Во всяком случае, вы видите, что при «оценочных вычислениях» приходится постоянно пользоваться законами монотонности.

Что касается действительного применения всех этих вещей в школьном преподавании, то о систематическом изложении всех этих основных законов сложения и умножения не может быть и речи. Учитель может остановиться только на законах сочетательном, переместительном и распределительном, и то только при переходе к буквенным вычислениям, эвристически выводя их из простых и ясных численных примеров.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

22.10.15 Классная работа

Найдите длину отрезка АВ а b А В b а В А АВ= a + b АВ= b + a

11 + 16 = 27 (фруктов) 16 + 11 = 27 (фруктов) Изменится ли общее количество фруктов от перестановки слагаемых? Маша собрала 11 яблок и 16 груш. Сколько фруктов оказалось в корзинке у Маши?

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « от перестановки слагаемых сумма не изменится » а + b = b + a Переместительный закон сложения

(5 + 7) + 3 = 15 (игрушек) Какой способ подсчета проще? Маша наряжала елку. Она повесила 5 елочных шаров, 7 шишек и 3 звёздочки. Сколько всего игрушек повесила маша? (7 + 3) + 5 =15 (игрушек)

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых » (a + b)+с = a +(b+ с) Сочетательный закон сложения

Подсчитаем: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Учимся считать быстро!

Справедливы для умножения те же законы, что и для сложения? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)

b=15 а =12 c=2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2= =12 · (15 · 2)=360 S = a · b= b · a S = 12 · 15 = =15 · 12 =180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переместительный закон умножения Сочетательный закон умножения

Подсчитаем: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Учимся считать быстро!

ТЕМА УРОКА: С чем сегодня на уроке работаем? Сформулируйте тему урока.

212 (1 столбик), 214(а,б,в), 231, 230 В классе Домашнее задание 212 (2 столбик), 214(г,д,е), 253

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по математике в 5 классе "Законы арифметических действий" включает в себя текстовый файл и презентацию к уроку.На этом уроке повторяется переместительный и сочетательный законы, вводи...

Законы арифметических действий

Данная презентация полготовлена к уроку по математике в 5 классе на тему "Законы арифметических действий" (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович)....

Урок изучения нового материала с использованием ЭОР....

Законы арифметических действий

Презентация создана для визуального сопровождения урока в 5 классе по теме "Арифметические действия с целыми числами". В ней представлена подборка задач как для общего, так и для самостоятельного реше...

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий№ п/пСтруктура аннотацииСодержание аннотации1231ФИО Малясова Людмила Геннадьевна2Должность, преподаваемый предмет Учитель ма...

18-19.10.2010 г.

Тема : «ЗАКОНЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»

Цель: познакомить учащихся с законами арифметических действий.

Задачи урока:

раскрыть на конкретных примерах переместительный и сочетательный законы сложения и умножения учить их применять при упрощении выражений;

формировать умения упрощать выражения;

работать над развитием логического мышления и речи детей;

воспитывать самостоятельность, любознательность, интерес к предмету.

УУД: умение действовать со знаково-символическими символами,

умение выбирать основания, критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.

Оборудование: учебник, ТПО,презентация

Рис. 30 Рис. 31

Используя рисунок 30, объясните, почему справедливо равенство

а + b = b + а.

Это равенство выражает известное вам свойство сложения. Постарайтесь вспомнить какое.

Проверьте себя:

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

Это свойство - переместительный закон сложения.

Какое равенство можно записать по рисунку 31? Какое свойство сложения выражает это равенство?

Проверьте себя.

Из рисунка 31 следует, что (а + b) + с = а + (b + с): если к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, то получится то же число, что и от прибавления к первому слагаемому суммы второго и третьего слагаемых.

Вместо (а + b) + с, так же как и| вместо а + (b + с), можно писать просто а + b + с.

Это свойство - сочетательный закон сложения.

В математике законы арифметических действий записывают как в| словесной форме, так и в виде равенств с использованием букв:

Объясните, как, используя законы сложения, можно упростить следующие вычисления, и выполните их:

212. а) 48 + 56 + 52; д) 25 + 65 + 75;

б) 34 + 17 + 83; е) 35 + 17 + 65 + 33;

в) 56 + 24 + 38 + 62; ж) 27 + 123 + 16 + 234;

г) 88 + 19 + 21 + 12; з) 156 + 79 + 21 + 44.

213. Используя рисунок 32, объясните, почему справедливо равенство ab = b а.

Вы догадались, какой закон иллюстрирует это равенство? Можно ли утверждать, что для

умножения справедливы те же законы, что и для сложения? Постарайтесь их сформулировать,

а затем проверьте себя:

Используя законы умножения, значения следующих выражений вычислите устно:

214. а) 76 · 5 · 2; в) 69 · 125 · 8; д) 8 · 941 · 125; В С

б) 465 · 25 · 4; г) 4 · 213 · 5 · 5; е) 2 · 5 · 126 ·4 · 25.

215. Найдите площадь прямоугольника ABCD (рис. 33) двумя способами.

216. Используя рисунок 34, объясните, почему справедливо равенство: а(b + с) = ab + ас.

Рис. 34 Какое свойство арифметических действий оно выражает?

Проверьте себя. Это равенство иллюстрирует следующее свойство: при умножении числа на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

Можно это свойство сформулировать и по-другому: сумму двух или нескольких произведений, содержащих одинаковый множитель, можно заменить произведением этого множителя на сумму остальных множителей.

Это свойство еще один закон арифметических действий - распределительный . Как видим, словесная формулировка этого закона очень громоздкая, и математический язык - это то средство, которое делает ее краткой и понятной:

Подумайте, как устно выполнить вычисления в заданиях № 217 – 220 и выполните их.

217. а) 15 · 13; б) 26 · 22; в) 34 · 12; г) 27 · 21.

218. а) 44 · 52; б) 16 · 42; в) 35 · 33; г) 36 · 26.

219. а) 43 · 16 + 43 · 84; д) 62 · 16 + 38 · 16;

б) 85 · 47 + 53 · 85; е) 85 · 44 + 44 · 15;

в) 54 · 60 + 460 · 6. ж) 240 · 710 + 7100 · 76;

г) 23 · 320 + 230 · 68; з) 38 · 5800 + 380 · 520.

220. а) 4 · 63 + 4 · 79 + 142 · 6; в) 17 · 27 + 23 · 17 + 50 · 19;

б) 7 · 125 + 3 · 62 + 63 · 3; г) 38 · 46 + 62 · 46 + 100 · 54.

221. Сделайте в тетради рисунок, подтверждающий равенство а ( b - с) = а b - ас

222. Вычислите устно, применив распределительный закон: а) 6 · 28; б) 18 · 21; в) 17 · 63; г) 19 · 98.

223. Вычислите устно: а) 34 · 84 – 24 · 84; в) 51· 78 – 51· 58;

б) 45 · 40 – 40 ·25; г) 63 · 7 – 7· 33

224 Вычислите: а) 560 · 188 – 880 · 56; в) 490 · 730 – 73 · 900;

б) 84 · 670 – 640 · 67; г) 36 · 3400 – 360 · 140.

Вычислите устно, используя известные вам приемы:

225. а) 13 · 5 + 71 · 5; в) 87 · 5 – 23 · 5; д) 43 · 25 + 25 · 17;

б) 58 · 5 – 36 · 5; г) 48 · 5 + 54 · 5; е) 25 · 67 – 39 · 25.

226. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 258 · (764 + 548) и 258 · 764 + 258 · 545; в) 532 · (618 – 436) и 532 · 618 –532 · 436;

б) 751· (339 + 564) и 751· 340 + 751· 564; г) 496 · (862 – 715) и 496 · 860 – 496 · 715.

227. Заполните таблицу:

Надо ли было производить вычисления, чтобы заполнить вторую строчку?

228. Как изменится данное произведение, если множители изменить следующим образом:

229. Запишите, какие натуральные числа расположены на координатном луче:

а) левее числа 7; в) между числами 2895 и 2901;

б) между числами 128 и 132; г) правее числа 487, но левее числа 493.

230. Вставьте знаки действий, чтобы получилось верное равенство: а) 40 + 15 ? 17 = 72; в) 40 ? 15 ? 17 = 8;

б) 40 ? 15 ? 17 = 42; г) 120 ? 60 ? 60 = 0.

231 . В одной коробке носки голубые, а в другой - белые. Голубых носков на 20 пар больше, чем белых, а всего в двух коробках 84 лары носков. Сколько пар носков каждого цвета?

232 . В магазине имеется крупа трех видов: гречка, перловка и рис, всего 580 кг. Если бы продали 44 кг гречки, 18 кг перловки и 29 риса, то масса круп всех видов стала бы одинаковой. Сколько кил граммов крупы каждого вида имеется в магазине.