КАРТА УРОКА «ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА»
Учащийся _______________________________________________________________________
1. Я знаю материал предыдущих уроков | Баллы |
Я ответил без конспекта на все вопросы правильно. | |
Я ответил без конспекта с одной ошибкой. | |
Я ответил без конспекта и сделал более одной ошибки. | |
Я ответил правильно на все вопросы, используя конспект. | |
Я ответил, используя конспект, с одной ошибкой | |
Я ответил, используя конспект, и сделал более одной ошибки |
2. Я завершил запись примеров | Баллы |
Я выполнил все задания без ошибок | |
Я выполнил с одной ошибкой | |
Я выполнил задания и сделал более двух ошибок |
3. Я выполнил вывод формулы для нахождения синуса и косинуса | Баллы |
Я вывел формулы правильно | |
Я вывел формулы и допустил одну ошибку | |
Я вывел формулы с помощью учителя |
4. Я применил свои знания по теме: «Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла» при решении самостоятельной работы | Баллы |
Я решил примеры 1 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 1 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 2 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 2 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 3 варианта без ошибок | |
Я решил примеры 3 варианта и допустил ошибку. | |
Я решил примеры 4 варианта без ошибок. | |
Я решил примеры 4 варианта и допустил ошибку. |
5. Оцени себя: | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры по данной теме с тетрадкой и помощью учителя. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, только смотря в формулы. | |
Я понял вывод формул и могу решать примеры самостоятельно без тетради, если забуду формулу, я смогу ее вывести сам. |
Мои баллы: __________
Максимальное кол-во баллов – 22
18 – 22 балла - оценка «5»
15 – 17 баллов - оценка «4»
11 –14 баллов - оценка «3»
Менее 11 баллов - нужно прийти на консультацию в ближайшие дни, материал еще не усвоился.
«Краткий план»
Головатова Вера Анатольевна, преподаватель математики
ГБ ПОУ «Охтинский колледж»
Конспект двух уроков для обучающихся I курса (10кл.) по теме:
«Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла»
Цель: изучить зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла.
Для достижения поставленной цели необходимо:
Знать:
формулировки определений основных тригонометрических функций (синуса, косинуса и тангенса);
знаки тригонометрических функций по четвертям;
множество значений тригонометрических функций;
основные формулы тригонометрии.
Понимать:
что пользоваться основным тригонометрическим тождеством можно только для одного и того же аргумента;
алгоритм вычисления одной тригонометрической функции через другую.
Применить:
умение правильно выбрать нужную формулу для решения конкретного задания;
умение работать с простыми дробями;
умение выполнять преобразование тригонометрических выражений.
Анализ:
анализировать ошибки в логике рассуждения.
Синтез:
предложить свой способ решения примеров;
составить кроссворд, используя полученные знания.
Оценка:
знаний и умений по данной теме для использования в других разделах алгебры.
Оборудование: макет тригонометрической окружности, раздаточный справочный материал с формулами и таблицами значений тригонометрических функций, компьютер, мультимедийный проектор, презентация, листы с заданиями для самостоятельной работы.
Используемые источники:
Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.В. Сидоров и др. Просвещение, 2006.
Задания Открытого банка для подготовки к ЕГЭ по математике, 2011 г.
Ресурсы сети ИНТЕРНЕТ.
Краткий план урока:
Организационный момент.
Приветствие. Сообщение цели урока и плана работы на уроке – 3-5 мин.
Актуализация знаний и умений.
Учащимся раздаются карты урока и даются пояснения как с ними работать.
На экран выводятся вопросы; учащиеся записывают ответы в тетрадь; преподаватель выводит на экран правильный ответ. После окончания опроса учащиеся выставляют баллы в карту урока для Задания № 1 – 10 мин.
Объяснение нового материала.
Преподаватель выводит формулу для основного тригонометрического тождества – 5 мин.
Учащимся предлагается самостоятельно завершить запись примеров, выведенных на экран, проверить правильность ответов и выставить баллы в карту урока для Задания № 2 – 5 мин.
Учащимся в тетради предлагается самостоятельно выразить из основного тригонометрического тождества синус через косинус и косинус через синус. На экран выводится правильный ответ, учащиеся проверяют и выставляют баллы в карту урока для Задания №3 – 5-7 мин.
Преподаватель на доске решает примеры на применение основного тригонометрического тождества. Учащиеся отвечают на вопросы преподавателя по ходу объяснения и записывают примеры себе в тетрадь – 15 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и котангенсом, учащиеся принимают активное участие в выводе формул, отвечают на вопросы и делают записи в тетрадь – 5 мин.
Преподаватель выводит формулы, показывающие зависимость между тангенсом и косинусом, между синусом и котангенсом – 5 мин.
К доске вызываются учащиеся по желанию и с помощью преподавателя по алгоритму выполняют решение примеров. Все остальные записывают и по мере необходимости отвечают на вопросы – 10 мин.
Закрепление изученного материала
В конце урока на экран выводятся правильные ответы, учащиеся проверяют свои ответы и выставляют баллы в карту урока для Задания № 4 – 20 мин.
Домашнее задание: Учащиеся записывают в тетрадь задание на дом – 3 мин.
Просмотр содержимого документа
«Рефлексия»
После посещения семинаров по РНС и проведении урока с использованием технологической карты мне стало очевидно, что рейтинговая система стимулирует максимально возможный интерес учащихся к конкретной теме. В моем случае – это основные формулы тригонометрии.
Тригонометрия очень часто не воспринимается учащимися не столько из-за своей сложности, сколько из-за большого количества формул, с которыми нужно уметь работать.
Трудно после одного урока, проведенного с использованием технологической карты, ожидать каких-то невероятных успехов и результатов, но мне кажется, что преимущества рейтинговой системы при изучении тригонометрии и математики в целом состоят в следующем:
появилась возможность организовать и поддерживать как работу на уроке, так и самостоятельную, систематическую работу учащихся дома;
должна повыситься посещаемость и уровень дисциплины на уроках;
повышается мотивация к учебной деятельности;
уменьшаются стрессовые ситуации при получении неудовлетворительных оценок;
стимулируется творческое отношение к работе.
Единственный недостаток РНС (как мне кажется) – это большой объем работы для преподавателя, но это работа на результат. После единственного урока, проведенного по этой системе, учащиеся постоянно спрашивают, будем ли мы еще так работать. Значит, их что-то зацепило. И нужно продолжать работать.
Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа»
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Какой бы уровень вы не выбрали, сначала внимательно просмотрите все задания, которые я вам раздала, а затем выполните задание, соответствующее выбранному вами уровню ( перед вами задания четырех вариантов, номер варианта соответствует уровням самооценки.)
1 вариант
Инструкция:
Инструкция:
Решите самостоятельно этим способом пример:
2 вариант
Указание: Для определения функции косинус воспользуйтесь формулой (3) из сегодняшнего урока. Не забудьте определить знак, который будет стоять перед корнем. Для вычисления значений тангенса и котангенса можно воспользоваться определением этих функций ил использовать формулы, которые мы вывели сегодня на уроке.
Указание. Сгруппируйте первый и третий члены выражения, вынесите за скобку общий множитель….
3 вариант
4 вариант
Просмотр содержимого презентации
«Презентация»
Повторение:
1. В какой четверти находится угол в
1 радиан и чему он примерно равен?
В I четверти, 1 рад. 57,3 °
2. Какое слово пропущено в определении функции синус?
Синусом угла называется ………… точки единичной окружности.
ОРДИНАТА
3. Какое слово пропущено в определении функции косинус?
Косинусом угла называется
………… точки единичной окружности.
АБСЦИССА
4. Допишите формулу:
tg
5. Определите знак произведения:
tg
6. Какое значение может принимать синус?
или
7. Вычислите:
y
B (x; y)
R
Y=sin
O
x
x=cos
Завершите запись:
x
y
x
y
x
x
x
y
x
y
x
x
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, но с помощью наводящих вопросов (карточка – инструкция).
- Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, используя указания преподавателя.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, глядя в тетрадь, без наводящих вопросов и указаний.
- + Я понял тему и могу решать примеры по алгоритму, не заглядывая в тетрадь.
1 Вариант:
3 Вариант:
2.Вариант:
4 Вариант:
А синуса график волна за волной
По оси абсцисс убегает.Из студенческой песни.
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УРОКА:
- ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ: вывод формул зависимости между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла (числа); обучение применению этих формул для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса числа по заданному значению одного из них.
- РАЗВИВАЮЩАЯ: учить анализировать, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия..
- ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ: воспитание добросовестного отношения к труду и положительного отношения к знаниям.
ЗДОРОВЬЕ СБЕРЕГАЮЩАЯ: создание комфортного психологического климата на уроке, атмосферы сотрудничества: ученик – учитель.
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОСНАЩЕНИЕ УРОКА:
МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ БАЗА: кабинет математики.
ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УРОКА: учебник, тетрадь, плакаты по теме урока, таблицы, компьютер, диски, экран, проектор.
МЕТОДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: групповая и индивидуальная работа за партой и у доски.
ТИП УРОКА: урок усвоения новых знаний.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент: приветствие, проверка явки учащихся, заполнение журнала.
2. Проверка готовности учащихся к уроку: настрой учащихся на работу, доведение до них плана урока.
3. Анализ ошибок домашнего задания. На экране - картинка с верно выполненным домашним заданием. Каждый ученик проверяет с подробным фронтальным объяснением и отмечает правильность выполнения в рабочей карте урока.
РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА.
С/о – самооценка.
О/т – оценка товарища.
4. Актуализация знаний, подготовка к восприятию нового материала.
Следующий этап нашего урока-диктант. Записываем кратко ответы – чертеж у нас на слайде.
Диктант (устное повторение необходимых сведений):
1. Дайте определение:
- синуса острого угла А прямоугольного треугольника;
- косинуса острого угла В прямоугольного треугольника;
- тангенса острого угла А прямоугольного треугольника;
- котангенса острого угла В прямоугольного треугольника;
- какие ограничения накладываем мы на синус и косинус при определении тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
2. Дайте определение:
- синуса угла a a .
- косинуса угла a через координату (какую) точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол a .
- тангенса угла a .
- котангенса угла a .
3. Записать знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса для углов, полученных поворотом точки Р(1;0) на угол
4. Для всех этих углов указать четверти координатной плоскости.
Ребята проверяют диктант по слайду вместе с учителем, объясняя каждое высказывание и выставляя себе оценку в рабочую карту урока.
5. Из истории тригонометрии. Современный вид тригонометрии придал крупнейший математик 18 столетия Леонард Эйлер – швейцарец по происхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся членом Петербургской академии наук. Он ввел известные определения тригонометрических функций, сформулировал и доказал формулы приведения, с которыми вам еще предстоит встретиться, выделил классы четных и нечетных функций.
6. Введение нового материала:
Главное не просто сообщить учащимся конечные выводы, а сделать учащихся как бы участниками научного поиска: поставив вопрос, так, чтобы они, разбудив свою любознательность, включились в исследование, что способствует достижению более высокого уровня умственного развития учащихся.
Поэтому при введении нового материала я создаю проблемную ситуацию – как легче и рациональней установить зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла – через уравнение единичной окружности или через теорему Пифагора.
Класс разбивается по вариантам на первый и второй вариант – на экране слайд с условием и чертежами, решения пока нет.
1 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 1x 2 +y 2 =1; sin 2 +cos 2 =1.
2 вариант устанавливает зависимость между синусом и косинусом через теорему Пифагора – в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: OB 2 +AB 2 =OA 2 - и получаем sin 2 +cos 2 =1.
Сравнивают результаты, делают выводы: главный – равенство выполняется при любых значениях входящих в него букв? Ученики должны ответить, что это тождество
(на слайде показывается верное решение, как для первого, так и для второго вариантов).
Мы получили равенство справедливое при любых значениях входящих в него букв. Как называются такие равенства? Правильно – тождества.
Вспомним – какие еще тождества мы с вами знаем в алгебре – формулы сокращенного умножения:
a 2 -b 2 =(a-b)(a+b),
(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 ,
(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 2 ,
(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 3 -b 3 ,
a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2),
a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2).
Следующая проблема – а для чего мы вывели основное тригонометрическое тождество – sin 2 +cos 2 =1.
Правильно – для нахождения по одному известному нам значению синуса, косинуса или тангенса – значений всех остальных функций.
Вот теперь мы с вами всегда сможем пользоваться основным тригонометрическим тождеством, но главное – для одного и того же аргумента.
Применение полученных знаний:
1 ВАРИАНТ – выразить синус через косинус угла.
2 вариант – выразить косинус через синус угла. На слайде верный ответ
Вопрос учителя – никто не забыл проставить знаки +и - ? Каким может быть угол? – любым.
В этих формулах знак перед корнем зависит от чего? от того, в какой четверти расположен угол (аргумент) тригонометрической функции, которую мы определяем.
Выполняем у доски 2 ученика №457. – 1 – й вариант - 1, 2-й вариант - 2.
На слайде – верное решение.
Самостоятельная работа на узнавание основного тригонометрического тождества
1. найти значение выражения:
2. выразить число 1 через угол a , если
Идет взаимопроверка – по готовому слайду и оценивание работ – как самооценкой, так и оценкой товарища.
6. Закрепление нового материала (по технологии Г.Е.Хазанкина – технология опорных задач).
ЗАДАЧА 1. Вычислить ……….., если ………………………………………………………………….
1 ученик у доски самостоятельно – затем слайд с правильным решением.
ЗАДАЧА 2. Вычислить……………., если………………………………………………………………..
2-й ученик у доски, затем слайд с верным решением.
7. Физкультминутка.Я знаю, что вы уже взрослые и считаете, что совсем не устали, особенно сейчас, когда урок идет так активно, что время для нас как –бы и удлиняется– по теории относительности А.Эйнштейна, но давайте проведем гимнастику для сосудов головного мозга:
- повороты и наклоны головы вправо – влево, вверх – вниз
- массаж плечевого пояса и кожи головы – руки от кисти, лицо и затылок – сверху вниз.
- плечи поднять вверх и расслабленно “сбросить” вниз. Каждое упражнение выполняем 5-6 раз!
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом………………………………………………………………………………………………………
Идет новое исследование на тему – каким может быть угол во втором тригонометрическом тождестве?
ГЛАВНОЕ – ВЫЯСНЕНИЕ МНОЖЕСТВА, НА КОТОРОМ ЭТИ РАВЕНСТВА ВЫПОЛНЯЮТСЯ. ОТМЕТИТЬ НА РИСУНКЕ ТОЧКИ, В КОТОРЫХ ТАНГЕНС И КОТЕНГЕНС УГЛА НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
3-й ученик у доски. Равенства справедливы при……………………….
ЗАДАЧА3. Вычислить………, если………………………….
ЗАДАЧА 4. Вычислить…………….. если ………………………………………………………………
Остальные учащиеся работают у себя в тетрадях.
1 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
2 ОПОРА………………………………………………………………………………………………
3 ОПОРА. Применение основного тригонометрического тождества к решению задач.
8. Кроссворд. Анатоль Франс сказал как-то: “Учиться надо весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.
Для проверки знаний по данной теме вам предлагается кроссворд.
- Раздел математики, изучающий свойства синуса, косинуса, тангенса…
- Абсцисса точки на единичной окружности.
- Отношение косинуса к синусу.
- Синус – это…..точки на единичной окружности.
- Равенство не требующее доказательства и верное при любых значениях входящих в него букв. Называется……
Проверив кроссворд, ребята выставляют себе оценки в рабочую карту урока. Учитель выставляет оценки тем ученикам, которые особенно активно проявили себя на уроке. Итог – средний балл за работу на уроке.
9. Инструктаж учителя по выполнению домашнего задания.
10. Подведение учителем итогов урока.
11. Домашнее задание: параграф 25 (до задачи 5), №459 (четные), 460 (четные), 463*(4). Учебник Ш.А Алимов “Алгебра и начала анализа”., 10-11, “Просвещение”., М., 2005г.
Попробуем отыскать зависимость между основными тригонометрическими функциями одного и того же угла.
Соотношение между косинусом и синусом одного и того же угла
На следующем рисунке представлена система координат Оху с изображенной в ней частью единичной полуокружности ACB с центром в точке О. Эта часть является дугой единичной окружности. Единичная окружность описывается уравнением
- x 2 +y 2 =1.
Как уже известно ординату у и абсциссу х можно представить в виде синуса и косинуса угла по следующим формулам:
- sin(a) = у,
- cos(a) = х.
Подставив эти значения в уравнения единичной окружности имеем следующее равенство
- (sin(a)) 2 + (cos(a)) 2 =1,
Данное равенство, выполняется при любых значениях угла а. Оно называется основное тригонометрическое тождество.
Из основного тригонометрического тождества, можно выразить одну функцию через другую.
- sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
- cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).
Знак в правой части этой формулы определяется знаком выражения, которое стоит в левой части этой формулы.
Например.
Вычислить sin(a), если cos(a)=-3/5 и pi Воспользуемся формулой приведенной выше: