Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Данный урок посвящен задачам на проценты. Мы рассмотрим несколько задач, а также затронем те моменты, которые не упоминали ранее при изучении процентов, посчитав что на первых порах они создают трудности для обучения.
В большинстве случаев, задачи на проценты сводятся к тому, чтобы найти процент от числа, найти число по проценту, выразить в процентах какую-либо часть, либо выразить в процентном соотношении взаимосвязь между несколькими объектами, числами, величинами.
Предварительные навыки Содержание урокаСпособы нахождения процента
Процент можно находить различными способами. Самый популярный способ — разделить число на 100 и умножить полученный результат на искомое количество процентов.
Например, чтобы найти 60% от 200 рублей, нужно сначала эти 200 рублей разделить на сто равных частей:
200 руб: 100 = 2 руб.
Когда мы делим число на 100, мы тем самым находим один процент от этого числа. Так, разделив 200 рублей на 100 частей, мы автоматически нашли 1% от двухсот рублей, то есть узнали сколько рублей приходится на одну часть. Как видно из примера, на одну часть (на один процент) приходится 2 рубля.
1% от 200 рублей — 2 рубля
Зная сколько рублей приходится на одну часть (на 1%), мы можем узнать сколько рублей приходится на две части, на три, на четыре, на пять и т.д. То есть, можем найти любое количество процентов. Для этого достаточно умножить эти 2 рубля на искомое количество частей (процентов). Давайте найдём шестьдесят частей (60%)
2 × 60 = 120 руб.
2 × 5 = 10 руб.
Найдем 90%
2 × 90 = 180 руб.
Найдем 100%
2 × 100 = 200 руб.
100% это все сто частей и они составляют все 200 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы представить проценты в виде обыкновенной дроби и найти эту дробь от того числа, откуда требуется найти процент.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Сначала представим 60% в виде обыкновенной дроби. 60% это шестьдесят частей из ста, то есть шестьдесят сотых:
Теперь задание можно понимать как «найти от 200 рублей» . Это , которое мы изучали ранее. Напомним, что для нахождения дроби от числа, нужно это число разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель дроби
200: 100 = 2
2 × 60 = 120
Либо умножить число на дробь ():
Третий способ заключается в том, чтобы процент представить в виде десятичной дроби и умножить число на эту десятичную дробь.
Например, найдем те же 60% от 200 рублей. Для начала представляем 60% в виде дроби. 60% процентов это шестьдесят частей из ста
Выполним деление в этой дроби. Перенесем запятую в числе 60 на две цифры влево:
Теперь находим 0,60 от 200 рублей. Для нахождения десятичной дроби от числа, нужно это число умножить на десятичную дробь:
200 × 0,60 = 120 руб.
Приведенный способ нахождения процента является наиболее удобным, особенно если человек привык пользоваться калькулятором. Этот способ позволяет найти процент в одно действие.
Как правило выразить процент в десятичной дроби не составляет особого труда. Достаточно приписать «ноль целых» перед процентной долей, если процентная доля представляет собой двузначное число, или приписать «ноль целых» и еще один ноль, если процентная доля представляет собой однозначное число. Примеры:
60% = 0,60 — приписали ноль целых перед число 60, поскольку число 60 является двузначным
6% = 0,06 — приписали ноль целых и еще один ноль перед числом 6, поскольку число 6 является однозначным.
При делении на 100 мы воспользовались методом передвижения запятой на две цифры влево. В ответе 0,60 ноль, стоящий после цифры 6 сохранился. Но если выполнить это деление уголком, ноль исчезает — получается ответ 0,6
Надо помнить, что десятичные дроби 0,60 и 0,6 равны и несут одно и тоже значение
0,60 = 0,6
В том же «уголке» можно продолжать деление бесконечно, каждый раз приписывая к остатку ноль, но это будет бессмысленным действием
Выражать проценты в виде десятичной дроби можно не только делением на 100, но и умножением. Значок процента (%) сам по себе заменяет собой множитель 0,01. А если учитывать, что число процентов и значок процента записаны слитно, то между ними располагается «невидимый» знак умножения (×).
Так, к примеру 45% на самом деле выглядят следующим образом
Заменим знак процента на множитель 0,01
Данное умножение на 0,01 выполнятся путем перемещения запятой на две цифры влево
Задача 1 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой. Какую часть заработала мама?
Решение
Всего процентов 100. Если папа заработал 70% денег, то остальные 30% денег заработала мама.
Задача 2 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 70% — деньги, заработанные папой, а 30% — деньги, заработанные мамой. Сколько денег заработал каждый?
Решение
Найдем 70 и 30 процентов от 75 тыс. рублей. Так мы определим сколько денег заработал каждый. Для удобства 70% и 30% запишем в виде десятичных дробей
75 × 0,70 = 52,5 (тыс. руб. заработал папа)
75 × 0,30 = 22,5 (тыс. руб. заработала мама)
Проверка
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Ответ : 52,5 тыс. руб. заработал папа, 22,5 руб. заработала мама.
Задача 3 . При остывании хлеб теряет до 4% своей массы в результате испарения воды. Сколько килограммов испарится при остывании 12 тонн хлеба.
Решение
Переведем 12 тонн в килограммы. В одной тонне тысяча килограмм, в 12 тоннах в 12 раз больше
1000 × 12 = 12 000 кг
Теперь найдем 4% от 12000. Полученный результат и будет ответом к задаче:
12 000 × 0,04 = 480 кг
Ответ : при остывании 12 тонн хлеба испарится 480 килограмм.
Задача 4 . Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько получится сушенных яблок из 300 кг свежих?
Найдем 84% от 300 кг
300: 100 × 84 = 252 кг
300 кг свежих яблок в результате сушки потеряют 252 кг своей массы. Чтобы ответить на вопрос сколько получится сушенных яблок, нужно из 300 вычесть 252
300 − 252 = 48 кг
Ответ : из 300 кг свежих яблок получится 48 кг сушенных.
Задача 5 . В семенах сои содержится 20% масла. Сколько масла содержится в 700 кг сои?
Решение
Найдем 20% от 700 кг
700 × 0,20 = 140 кг
Ответ : из 700 кг сои содержится 140 кг масла
Задача 6 . Гречневая крупа содержит 10% белков, 2,5% жиров и 60% углеводов. Сколько этих продуктов содержится в 14,4 ц гречневой крупы?
Решение
Переведем 14,4 центнера в килограммы. В одном центнере 100 килограмм, в 14,4 центнерах в 14,4 раз больше
100 × 14,4 = 1440 кг
Найдем 10%, 2,5% и 60% от 1440 кг
1440 × 0,10 = 144 (кг белков)
1440 × 0,025 = 36 (кг жиров)
1440 × 0,60 = 864 (кг углеводов)
Ответ : в 14,4 ц гречневой крупы содержится 144 кг белков, 36 кг жиров, 864 кг углеводов.
Задача 7 . Для лесопитомника школьники собрали 60 кг семян дуба, акации, липы и клена. Желуди составляли 60%, семена клена 15%, семена липы 20% всех семян, а остальное составляли семена акации. Сколько килограммов семян акации было собрано школьниками?
Решение
Примем за 100% семена дуба, акации, липы и клена. Вычтем из этих 100% проценты, выражающие семена дуба, липы и клена. Так мы узнаем сколько процентов составляют семена акации:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Теперь находим семена акации:
60 × 0,05 = 3 кг
Ответ : школьниками было собрано 3 кг семян акации.
Проверка :
60 × 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 × 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Задача 8 . Купил человек продукты. Молоко стоит 60 рублей, что составляет 48% от стоимости всех покупок. Определить общую сумму денег, потраченных на продукты.
Решение
Это задача на нахождение числа по его проценту, то есть по его известной части. Такую задачу можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы выразить известное число процентов в виде десятичной дроби и найти неизвестное число по этой дроби
Выразим 48% в виде десятичной дроби
48% : 100 = 0,48
Зная, что 0,48 составляет 60 рублей, мы можем определить сумму всех покупок. Для этого нужно найти неизвестное число по десятичной дроби:
60: 0,48 = 125 рублей
Значит общая сумма денег, затраченных на продукты составляет 125 рублей.
Второй способ заключается в том, чтобы сначала узнать сколько денег приходится на один процент, затем полученный результат умножить на 100
48% это 60 рублей. Если мы разделим 60 рублей на 48, то узнаем сколько рублей приходится на 1%
60: 48% = 1,25 рублей
На 1% приходится 1,25 рублей. Всего процентов 100. Если мы умножим 1,25 рублей на 100, получим общую сумму денег, затраченных на продукты
1,25 × 100 = 125 рублей
Задача 9 . Из свежих слив выходит 35% сушенных. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 140 кг сушенных? Сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих?
Решение
Выразим 35% в виде десятичной дроби и найдем неизвестное число по этой дроби:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 кг
Чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих.
Ответим на второй вопрос задачи — сколько получится сушенных слив из 600 кг свежих? Если из свежих слив выходит 35% сушенных, то достаточно найти эти 35% от 600 кг свежих слив
600 × 0,35 = 210 кг
Ответ : чтобы получить 140 кг сушенных слив, нужно взять 400 кг свежих. Из 600 кг свежих слив получится 210 кг сушенных.
Задача 10 . Усвоение жиров организмом человека составляет 95%. За месяц ученик употребил 1,2 кг жиров. Сколько жиров может быть усвоено его организмом?
Решение
Переведем 1,2 кг в граммы
1,2 × 1000 = 1200 г
Найдем 95% от 1200 г
1200 × 0,95 = 1140 г
Ответ : 1140 г жиров может быть усвоено организмом ученика.
Выражение чисел в процентах
Процент, как было сказано ранее, можно представить в виде десятичной дроби. Для этого достаточно разделить число этих процентов на 100. Например, представим 12% в виде десятичной дроби:
Замечание. Мы сейчас не находим процент от чего-то, а просто записываем его в виде десятичной дроби .
Но возможен и обратный процесс. Десятичная дробь может быть представлена в виде процента. Для этого нужно умножить эту дробь на 100 и поставить знак процента (%)
Представим десятичную дробь 0,12 в виде процентов
0,12 × 100 = 12%
Это действие называют выражением числа в процентах или выражением чисел в сотых долях .
Умножение и деление являются обратными операциями. К примеру, если 2 × 5 = 10, то 10: 5 = 2
Точно так же деление можно записать в обратном порядке. Если 10: 5 = 2, то 2 × 5 = 10:
Тоже самое происходит, когда мы выражаем десятичную дробь в виде процентов. Так, 12% были выражены в виде десятичной дроби следующим образом: 12: 100 = 0,12 но потом эти же 12% были «возвращены» с помощью умножения, записав выражение 0,12 × 100 = 12%.
Аналогично можно выразить в процентах любые другие числа, в том числе и целые. Например, выразим в процентах число 3. Умножим данное число на 100 и к полученному результату добавим знак процента:
3 × 100 = 300%
Большие проценты вида 300% поначалу могут сбивать с толку, поскольку человек привык считать 100% максимальной долей. Из дополнительных сведений о дробях мы знаем, что один целый объект можно обозначать через единицу. К примеру, если имеется целый не разрезанный торт, то его можно обозначить через 1
Этот же торт можно обозначить как 100% торта. В этом случае и единица и 100% будут обозначать один и тот же целый торт:
Разрежем торт пополам. В этом случае единица обратится в десятичное число 0,5 (поскольку это половина единицы), а 100% обратятся в 50% (поскольку 50 это половина от сотни)
Вернем обратно целый торт, единицу и 100%
Изобразим ещё два таких торта с такими же обозначениями:
Если один торт является единицей, то три торта являются тремя единицами. Каждый торт является целым стопроцентным. Если сложить эти три сотни получится 300%.
Поэтому при переводе целых чисел в проценты, мы умножаем эти числа на 100.
Задача 2 . Выразить в процентах число 5
5 × 100 = 500%
Задача 3 . Выразить в процентах число 7
7 × 100 = 700%
Задача 4 . Выразить в процентах число 7,5
7,5 × 100 = 750%
Задача 5 . Выразить в процентах число 0,5
0,5 × 100 = 50%
Задача 6 . Выразить в процентах число 0,9
0,9 × 100 = 90%
Пример 7 . Выразить в процентах число 1,5
1,5 × 100 = 150%
Пример 8 . Выразить в процентах число 2,8
2,8 × 100 = 280%
Задача 9 . Джордж идет со школы домой. Первые пятнадцать минут он прошел 0,75 пути. В остальное время он прошел оставшиеся 0,25 пути. Выразите в процентах части пути, пройденные Джорджом.
Решение
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Задача 10 . Джона угостили половиной яблока. Выразите эту половину в процентах.
Решение
Половина яблока записывается в виде дроби 0,5. Чтобы выразить эту дробь в процентах, умножим её на 100 и к полученному результату добавим знак процента
0,5 × 100 = 50%
Аналоги в виде дробей
Величина, выраженная в процентах, имеет свой аналог в виде обычной дроби. Так, аналогом для 50% является дробь . Пятьдесят процентов также можно назвать словом «половина».
Аналогом для 25% является дробь . Двадцать пять процентов также можно назвать словом «четверть».
Аналогом для 20% является дробь . Двадцать процентов также можно назвать словами «пятая часть».
Аналогом для 40% является дробь .
Аналогом для 60% является дробь
Пример 1 . Пять сантиметров это 50% от дециметра или или же просто половина. Во всех случаях речь идет об одной и той же величине — пяти сантиметрах из десяти
Пример 2 . Два с половиной сантиметра это 25% от дециметра или или же просто четверть
Пример 3 . Два сантиметра это 20% от дециметра или
Пример 4 . Четыре сантиметра это 40% от дециметра или
Пример 5 . Шесть сантиметров это 60% от дециметра или
Уменьшение и увеличение процентов
При увеличении или уменьшении величины, выраженной в процентах употребляется предлог «на».
Примеры :
- Увеличить на 50% — означает увеличить величину в 1,5 раза;
- Увеличить на 100% — означает увеличить величину в 2 раза;
- Увеличить на 200% — означает увеличить в 3 раза;
- Уменьшить на 50% — означает уменьшить величину в 2 раза;
- Уменьшить на 80% — означает уменьшить в 5 раз.
Пример 1 . Десять сантиметров увеличили на 50%. Сколько сантиметров получилось?
Чтобы решать подобные задачи, нужно исходную величину принимать за 100%. Исходная величина это 10 см. 50% от них составляют 5 см
Изначальные 10 см увеличили на 50% (на 5 см), значит получилось 10+5 см, то есть 15 см
Аналогом же увеличения десяти сантиметров на 50% является множитель 1,5. Если умножить на него 10 см получится 15 см
10 × 1,5 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 50%» и «увеличить в 1,5 раза» говорят об одном и том же.
Пример 2 . Пять сантиметров увеличили на 100%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Сто процентов от этих пяти сантиметров будут сами 5 см. Если увеличить 5 см на эти же 5 см, то получится 10 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 100% является множитель 2. Если умножить на него 5 см получится 10 см
5 × 2 = 10 см
Поэтому выражения «увеличить на 100%» и «увеличить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 3 . Пять сантиметров увеличили на 200%. Сколько сантиметров получилось?
Примем исходные пять сантиметров за 100%. Двести процентов это два раза по сто процентов. То есть, 200% от 5 см будут составлять 10 см (по 5 см на каждые 100%). Если увеличить 5 см на эти 10 см, то получится 15 см
Аналогом же увеличения пяти сантиметров на 200% является множитель 3. Если умножить на него 5 см получится 15 см
5 × 3 = 15 см
Поэтому выражения «увеличить на 200%» и «увеличить в 3 раза» говорят об одном и том же.
Пример 4 . Десять сантиметров уменьшили на 50%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Пятьдесят процентов от 10 см составляют 5 см. Если уменьшить 10 см на эти 5 см, останется 5 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 50% является делитель 2. Если разделить на него 10 см, то получится 5 см
10: 2 = 5 см
Поэтому выражения «уменьшить на 50%» и «уменьшить в 2 раза» говорят об одном и том же.
Пример 5 . Десять сантиметров уменьшили на 80%. Сколько сантиметров осталось?
Примем исходные 10 см за 100%. Восемьдесят процентов от 10 см составляют 8 см. Если уменьшить 10 см на эти 8 см, останется 2 см
Аналогом же уменьшения десяти сантиметров на 80% является делитель 5. Если разделить на него 10 см, то получится 2 см
10: 5 = 2 см
Поэтому выражения «уменьшить на 80%» и «уменьшить в 5 раз» говорят об одном и том же.
При решении задач на уменьшение и увеличение процентов, можно умножать/делить величину на указанный в задаче множитель.
Задача 1 . Насколько процентов изменилась величина, если она увеличилась в 1,5 раза?
Величину о которой говорится в задаче можно обозначить как 100%. Далее умножить эти 100% на множитель 1,5
100% × 1,5 = 150%
Теперь из полученных 150% вычтем изначальные 100% и получим ответ к задаче:
150% − 100% = 50%
Задача 2 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 4 раза?
В этот раз будет происходить уменьшение величины, поэтому будем выполнять деление. Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 4
Из изначальных 100% вычтем полученные 25% и получим ответ к задаче:
100% − 25% = 75%
Значит при уменьшении величины в 4 раза она уменьшилась на 75%.
Задача 3 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 5 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 5
Из изначальных 100% вычтем полученные 20% и получим ответ к задаче:
100% − 20% = 80%
Значит при уменьшении величины в 5 раз она уменьшилась на 80%.
Задача 4 . Насколько процентов изменилась величина, если она уменьшилась в 10 раз?
Величину о которой говорится в задаче обозначим как 100%. Далее разделим эти 100% на делитель 10
Из изначальных 100% вычтем полученные 10% и получим ответ к задаче:
100% − 10% = 90%
Значит при уменьшении величины в 10 раз она уменьшилась на 90%.
Задача на нахождение процентного соотношения
Чтобы выразить что-либо в процентном соотношении, сначала нужно записать дробь, показывающую какую часть первое число составляет от второго, затем выполнить деление в этой дроби и полученный результат выразить в процентах.
Например, пусть имеется пять яблок. При этом два яблока являются красными, три — зелеными. Выразим красные и зеленые яблоки в процентном соотношении.
Сначала нужно узнать какую часть составляют красные яблоки. Всего яблок пять, а красных два. Значит два из пяти или две пятых составляют красные яблоки:
Зеленых же яблок три. Значит три из пяти или три пятых составляют зеленые яблоки:
Имеем две дроби и . Выполним деление в этих дробях
Получили десятичные дроби 0,4 и 0,6. Теперь выразим в процентах эти десятичные дроби:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит 40% составляют красные яблоки, 60% — зеленые.
А все пять яблок составляют 40%+60%, то есть 100%
Задача 2 . Двум сыновьям мама дала 200 рублей. Младшему брату мама дала 80 рублей, а старшему 120 рублей. Выразите в процентном соотношении деньги, данные каждому брату.
Решение
Младший брат получил 80 рублей из 200 рублей. Записываем дробь восемьдесят двухсотых:
Старший брат получил 120 рублей из 200 рублей. Записываем дробь сто двадцать двухсотых:
Имеем дроби и . Выполним деление в этих дробях
Выразим в процентах полученные результаты:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
Значит 40% денег получил младший брат, а 60% — старший.
Некоторые дроби, показывающие какую часть первое число составляет от второго, можно сокращать.
Так дроби и можно было бы сократить. От этого ответ к задаче не изменился бы:
Задача 3 . Бюджет семьи составляет 75 тыс. рублей в месяц. Из них 52,5 тыс. руб. — деньги, заработанные папой. 22,5 тыс. руб. — деньги, заработанные мамой. Выразите в процентах деньги, заработанные папой и мамой.
Решение
Данная задача, как и предыдущая, является задачей на нахождение процентного соотношения.
Выразим в процентах деньги, заработанные папой. Он заработал 52,5 тыс. рублей из 75 тыс. рублей
Выполним деление в этой дроби:
0,7 × 100 = 70%
Значит папа заработал 70% денег. Далее нетрудно догадаться, что остальные 30% денег заработала мама. Ведь 75 тыс. рублей это все 100% денег. Для уверенности сделаем проверку. Мама заработала 22,5 тыс. руб. из 75 тыс. руб. Записываем дробь, выполняем деление и выражаем в процентах полученный результат:
Задача 4 . Школьник тренируется делать подтягивания на перекладине. В прошлом месяце он мог делать 8 подтягиваний за подход. В этом месяце он может делать 10 подтягиваний за подход. На сколько процентов он увеличил количество подтягиваний?
Решение
Узнаем на сколько больше подтягиваний школьник делает в текущем месяце, чем в прошлом
Узнаем какую часть два подтягивания составляют от восьми подтягиваний. Для этого найдем отношение 2 к 8
Выполним деление в этой дроби
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
Значит школьник увеличил количество подтягиваний на 25%.
Эту задачу можно решить и вторым, более быстрым методом — узнать во сколько раз 10 подтягиваний больше, чем 8 подтягиваний и полученный результат выразить в процентах.
Чтобы узнать во сколько раз десять подтягиваний больше восьми подтягиваний, нужно найти отношение 10 к 8
Выполним деление в получившейся дроби
Выразим полученный результат в процентах:
1,25 × 100 = 125%
Показатель подтягиваний в текущем месяце составляет 125%. Данное высказывание нужно понимать именно как «составляет 125%» , а не как «показатель увеличился на 125%» . Это два разных высказывания, выражающих различные количества.
Высказывание «составляет 125%» нужно понимать как «восемь подтягиваний, которые составляют 100% плюс два подтягивания, которые составляют 25% от восьми подтягиваний». Графически это выглядит следующим образом:
А высказывание «увеличился на 125%» нужно понимать как «к текущим восьми подтягиваниях, которые составляли 100% добавились еще 100% (еще 8 подтягиваний) плюс еще 25% (2 подтягивания)». Итого получается 18 подтягиваний
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 подтягиваний
Графически это высказывание выглядит следующим образом:
Всего же получается 225%. Если найти 225% от восьми подтягиваний, мы получим 18 подтягиваний
8 × 2,25 = 18
Задача 5 . В прошлом месяце зарплата составляла 19,2 тыс. руб. В текущем месяце она составила 20,16 тыс. руб. На сколько процентов повысилась зарплата?
Эту задачу как и предыдущую можно решать двумя способами. Первый заключается в том, чтобы сначала узнать на сколько рублей увеличилась зарплата. Далее узнать какую часть эта прибавка составляет от зарплаты прошлого месяца
Узнаем на сколько рублей повысилась зарплата:
20,16 − 19,2 = 0,96 тыс. руб.
Узнаем какую часть 0,96 тыс. руб. составляет от 19,2. Для этого найдем отношение 0,96 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби. По пути вспомним, :
Выразим полученный результат в процентах:
0,05 × 100 = 5%
Значит зарплата повысилась на 5%.
Решим задачу вторым способом. Узнаем во сколько раз 20,16 тыс. руб. больше, чем 19,2 тыс. руб. Для этого найдем отношение 20,16 к 19,2
Выполним деление в получившейся дроби:
Выразим полученный результат в процентах:
1,05 × 100 = 105%
Зарплата составляет 105%. То есть, сюда входят 100%, которые составляли 19,2 тыс. руб., плюс 5% которые составляют 0,96 тыс. руб.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Задача 6 . Цена ноутбука в этом месяце повысилась на 5%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 18,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 5% от 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Прибавим эти 5% к 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 тыс. руб.
Ответ : цена ноутбука составляет 19,215 тыс. руб.
Задача 7 . Цена ноутбука в этом месяце снизилась на 10%. Какова его цена, если в прошлом месяце он стоил 16,3 тыс. рублей?
Решение
Найдем 10% от 16,3:
16,3 × 0,10 = 1,63
Вычтем эти 10% из 16,3:
16,3 − 1,63 = 14, 67 (тыс. рублей)
Подобные задачи можно записывать кратко:
16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (тыс. рублей)
Ответ : цена ноутбука составляет 14,67 тыс. рублей.
Задача 8 . В прошлом месяце цена ноутбука составляла 21 тыс. рублей. В этом месяце цена повысилась до 22,05 тыс. рублей. На сколько процентов повысилась цена?
Решение
Определим насколько рублей повысилась цена
22,05 − 21 = 1,50 (тыс. руб)
Узнаем какую часть 1,05 тыс. руб. составляет от 21 тыс. руб.
Выразим полученный результат в процентах
0,05 × 100 = 5%
Ответ : цена ноутбука повысилась на 5%
Задача 8 . Рабочий должен был изготовить по плану 600 деталей, а он изготовил 900 деталей. На сколько процентов он выполнил план?
Решение
Узнаем во сколько раз 900 деталей больше, чем 600 деталей. Для этого найдем отношение 900 к 600
Значение данной дроби равно 1,5. Выразим это значение в процентах:
1,5 × 100 = 150%
Значит рабочий выполнил план на 150%. То есть, выполнил его на все 100%, изготовив 600 деталей. Затем изготовил еще 300 деталей, что составляет 50% от изначального плана.
Ответ : рабочий выполнил план на 150%.
Сравнение величин в процентах
Мы уже много раз сравнивали величины различными способами. Первым нашим инструментом была разность. Так, к примеру чтобы сравнить 5 рублей и 3 рубля, мы записывали разность 5−3. Получив ответ 2, можно было сказать, что «пять рублей больше трех рублей на два рубля».
Получаемый в результате вычитания ответ в повседневной жизни называют не «разностью», а «разницей».
Так, разница между пятью и тремя рубля составляет два рубля.
Следующим инструментом, которым мы воспользовались для сравнения величин, было отношение. Отношение позволяло нам узнать во сколько раз первое число больше второго (или сколько раз первое число содержит второе).
Так, к примеру десять яблок больше двух яблок в пять раз. Или по другому, десять яблок содержит два яблока пять раз. Данное сравнение можно записать с помощью отношения
Но величины можно сравнить и в процентах. Например, цену двух товаров сравнивать не в рублях, а оценивать, насколько цена одного товара больше или меньше цены другого в процентах.
Для сравнения величин в процентах, одну из них нужно обозначить как 100%, а вторую исходя из условий задачи.
Например, узнаем на сколько процентов десять яблок больше, чем восемь яблок.
За 100% нужно обозначить ту величину с которой мы что-либо сравниваем. Мы сравниваем 10 яблок с 8 яблоками. Значит за 100% обозначаем 8 яблок:
Теперь наша задача сравнить на сколько процентов 10 яблок больше, чем эти 8 яблок. 10 яблок это 8+2 яблока. Значит добавив к восьми яблокам еще два яблока, мы увеличим 100% еще на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от восьми яблок составляют два яблока
Добавив эти 25% к восьми яблокам, мы получим 10 яблок. А 10 яблок это 8+2, то есть 100% и еще 25%. Итого получаем 125%
Значит десять яблок больше восьми яблок на 25%.
Теперь решим обратную задачу. Узнаем насколько процентов восемь яблок меньше, чем десять яблок. Сразу напрашивается ответ, что восемь яблок меньше на 25%. Однако это не так.
Мы сравниваем восемь яблок с десятью яблоками. Мы договорились, что за 100% будем брать то, с чем сравниваем. Поэтому в этот раз за 100% берем 10 яблок:
Восемь яблок это 10−2, то есть уменьшив 10 яблок на 2 яблока, мы уменьшим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, определим сколько процентов от десяти яблок составляют два яблока
Отняв эти 20% от десяти яблок, мы получим 8 яблок. А 8 яблок это 10−2, то есть 100% и минус 20%. Итого получаем 80%
Значит восемь яблок меньше десяти яблок на 20%.
Задача 2 . На сколько процентов 5000 рублей больше, чем 4000 рублей?
Решение
Примем 4000 рублей за 100%. 5 тысяч больше 4 тысяч на 1 тысячу. Значит увеличив четыре тысячи на одну тысячу, мы увеличим четыре тысячи на какое-то количество процентов. Узнаем на какое именно. Для этого определим какую часть одна тысяча составляет от четырех тысяч:
Выразим полученный результат в процентах:
0,25 × 100 = 25%
1000 рублей от 4000 рублей составляют 25%. Если прибавить эти 25% к 4000, то получится 5000 рублей. Значит 5000 рублей на 25% больше, чем 4000 рублей
Задача 3 . На сколько процентов 4000 рублей меньше, чем 5000 рублей?
В этот раз сравниваем 4000 с 5000. Примем 5000 за 100%. Пять тысяч больше четырех тысяч на одну тысячу рублей. Узнаем какую часть одна тысяча составляет от пяти тысяч
Тысяча от пяти тысяч составляет 20%. Если вычесть эти 20% от 5000 рублей, то получим 4000 рублей.
Значит 4000 рублей меньше 5000 рублей на 20%
Задачи на концентрацию, сплавы и смеси
Допустим, возникло желание приготовить какой-нибудь сок. У нас в распоряжении имеется вода и малиновый сироп
Нальем 200 мл воды в стакан:
Добавим 50 мл малинового сиропа и размешаем полученную жидкость. В результате у нас получится 250 мл малинового сока (200 мл воды + 50 мл сиропа = 250 мл сока)
Какую часть от получившегося сока составляет малиновый сироп?
Малиновый сироп составляет сока. Вычислим это отношение, получим число 0,20 . Это число показывает количество растворённого сиропа в получившемся соке. Назовём это число концентрацией сиропа .
Концентрацией растворённого вещества называют отношение количества растворённого вещества или его массы к объему раствора.
Концентрация обычно выражается в процентах. Давайте выразим концентрацию сиропа в процентах:
0,20 × 100 = 20%
Таким образом, концентрация сиропа в малиновом соке составляет 20%.
Вещества в растворе могут быть неоднородными. Например, смешаем 3 л воды и 200 г соли.
Масса 1 л воды составляет 1 кг. Тогда масса 3 л воды будет составлять 3 кг. Переведем 3 кг в граммы, получим 3 кг = 3000 г.
Теперь в 3000 г воды опустим 200 г соли и смешаем полученную жидкость. В результате получится соленный раствор, общая масса которого будет составлять 3000+200, то есть 3200 г. Найдем концентрацию соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение массы растворенной соли к массе раствора
Значит при смешивании 3 л воды и 200 г соли получится 6,25%-й раствор соли.
Аналогично может быть определено количество вещества в сплаве или в смеси. Например, сплав содержит олово массой 210 г, и серебро массой 90 г. Тогда масса сплава будет составлять 210+90, то есть 300 г. Олова в сплаве будет содержаться , а серебра . В процентном соотношении олова будет 70% , а серебра 30%
При смешивании двух растворов получается новый раствор, состоящий из первого и второго растворов. У нового раствора концентрация вещества может быть другой. Полезным навыком является умение решать задачи на концентрацию, сплавы и смеси. В общем итоге смысл таких задач заключается в отслеживании изменений, которые происходят при смешивании растворов различной концентрации.
Смешаем два малиновых сока. Первый сок объемом 250 мл содержит 12,8% малинового сиропа. А второй сок объемом 300 мл содержит 15% малинового сиропа. Сольем эти два сока в большой стакан и смешаем. В результате получим новый сок объемом 550 мл.
Теперь определим концентрацию сиропа в полученном соке. Первый слитый сок объемом 250 мл содержал 12,8% сиропа. А 12,8% от 250 мл это 32 мл. Значит первый сок содержал 32 мл сиропа.
Второй слитый сок объемом 300 мл содержал 15% сиропа. А 15% от 300 мл это 45 мл. Значит второй сок содержал 45 мл сиропа.
Сложим количества сиропов:
32 мл + 45 мл = 77 мл
Эти 77 мл сиропа содержатся в новом соке, объем которого составляет 550 мл. Определим концентрацию сиропа в этом соке. Для этого найдём отношение 77 мл растворённого сиропа к объему сока 550 мл:
Значит при смешивании 12,8%-го малинового сока объемом 250 мл и 15%-го малинового сока объемом 300 мл, получается 14%-й малиновый сок объемом 550 мл.
Задача 1 . Имеются 3 раствора морской соли в воде: первый раствор содержит 10% соли, второй содержит 15% соли и третий — 20% соли. Смешали 130 мл первого раствора, 200 мл второго раствора и 170 мл третьего раствора. Определите сколько процентов составляет морская соль в полученном растворе.
Решение
Определим объем полученного раствора:
130 мл + 200 мл + 170 мл = 500 мл
Поскольку в первом растворе было 130 × 0,10 = 13 мл морской соли, во втором растворе 200 × 0,15 = 30 мл морской соли, а в третьем — 170 × 0,20 = 34 мл морской соли, то в полученном растворе будет содержаться 13 + 30 + 34 = 77 мл морской соли.
Определим концентрацию морской соли в полученном растворе. Для этого найдём отношение 77 мл морской соли к объему раствора 500 мл
Значит в полученном растворе содержится 15,4% морской соли.
Задача 2 . Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5%-й раствор?
Решение
Заметим, что если к имеющемуся раствору добавить воды, то количество соли в нём не изменится. Изменится только её процентное содержание, поскольку добавление воды в раствор приведёт к изменению его массы.
Нам нужно добавить такое количество воды при котором восемь процентов соли стали бы пятью процентами.
Определим сколько граммов соли содержится в 50 г раствора. Для этого найдем 8% от 50
50 г × 0,08 = 4 г
8% от 50 г составляют 4 г. Другими словами, на восемь частей из ста приходятся 4 грамма соли. Давайте сделаем так, чтобы эти 4 грамма приходились не на восемь частей, а на пять частей, то есть на 5%
4 грамма — 5%
Теперь зная, что на 5% раствора приходятся 4 грамма, мы можем найти массу всего раствора. Для этого нужно :
4 г: 5 = 0,8 г
0,8 г × 100 = 80 г
80 граммов раствора это масса при которой 4 грамма соли будут приходиться на 5% раствора. А для получения этих 80 граммов, нужно к изначальным 50 граммам добавить 30 граммов воды.
Значит для получения 5%-го раствора соли, нужно к имеющемуся раствору добавить 30 г воды.
Задача 2 . Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 21 килограмма изюма?
Решение
Виноград состоит из влаги и чистого вещества. Если в свежем винограде содержится 91% влаги, то на остальные 9% будет приходиться чистое вещество этого винограда:
Изюм же содержит 93% чистого вещества и 7% влаги:
Заметим, что в процессе превращения винограда в изюм, исчезает только влага этого винограда. Чистое вещество остаётся без изменения. После того, как виноград превратится в изюм, в получившемся изюме будет 7% влаги и 93% чистого вещества.
Определим сколько чистого вещества содержится в 21 кг изюма. Для этого найдем 93% от 21 кг
21 кг × 0,93 = 19,53 кг
Теперь вернемся к первому рисунку. Наша задача состояла в том, чтобы определить сколько винограда нужно взять для получения 21 кг изюма. Чистое вещество массой 19,53 кг будет приходиться на 9% винограда:
Теперь зная, что 9% чистого вещества составляют 19,53 кг, мы можем определить сколько винограда требуется для получения 21 кг изюма. Для этого нужно найти число по его проценту:
19,53 кг: 9 = 2,17 кг
2,17 кг × 100 = 217 кг
Значит для получения 21 кг изюма нужно взять 217 кг винограда.
Задача 3 . В сплаве олова и меди медь составляет 85%. Сколько надо взять сплава, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова?
Решение
Если в сплаве медь составляет 85%, то на остальные 15% будет приходиться олово:
Спрашивается сколько надо взять сплава, чтобы в нем содержалось 4,5 олова. Поскольку олова в сплаве содержится 15%, то 4,5 кг олова и будут приходиться на эти 15%.
А зная, что 4,5 кг сплава составляют 15% мы можем определить массу всего сплава. Для этого нужно найти число по его проценту:
4,5 кг: 15 = 0,3 кг
0,3 кг × 100 = 30 кг
Значит сплава нужно взять 30 кг, чтобы в нём содержалось 4,5 кг олова.
Задача 4 . Смешали некоторое количество 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты.
Решение
Изобразим на рисунке первый раствор в виде прямой линии и выделим на нём 12%
Поскольку количество растворов одинаково, рядом можно изобразить такой же рисунок, иллюстрирующий второй раствор с содержанием соляной кислоты 20%
У нас получилось двести частей раствора (100% + 100%) , тридцать две части из которых составляют соляную кислоту (12% + 20%)
Определим какую часть 32 части составляют от 200 частей
Значит при смешивании 12%-го раствора соляной кислоты с таким же количеством 20%-го раствора этой же кислоты получится 16%-й раствор соляной кислоты.
Для проверки представим, что масса первого раствора была 2 кг. Масса второго раствора так же будет составлять 2 кг. Тогда при смешивании этих растворов получится 4 кг раствора. В первом растворе соляной кислоты было 2 × 0,12 = 0,24 кг, а во втором — 2 × 0,20 = 0,40 кг . Тогда в новом растворе соляной кислоты будет 0,24 + 0,40 = 0,64 кг . Концентрация соляной кислоты составит 16%
Задачи для самостоятельного решения
на , мы найдем 60% от числа
Теперь увеличим число на найденные 60%, т.е. на число
Ответ: новое значение равно
Задача 12. Ответьте на следующие вопросы:
1) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
2) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
3) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?
А Решение
Воспользуемся переменной. Пусть P это исходное число о котором говорится в задаче. Примем это исходное число P за 100%
Уменьшим это исходное число P на 50%
Теперь новое число составляет 50% от исходного числа. Узнаем во сколько раз исходное число P больше нового числа. Для этого найдем отношение 100% к 50%
Исходное число в два раза больше нового. Это видно даже по рисунку. А чтобы сделать новое число равным исходному, его нужно увеличить в два раза. А увеличить число в два раза означает увеличить его на 100%.
Значит новое число, которое составляет половину от исходного числа, нужно увеличить на 100%.
Рассматривая новое число, его также принимают за 100%. Так, на приведенном рисунке новое число является половиной от исходного числа и подписано как 50%. По отношению к исходному числу новое число является половиной. Но если рассматривать его отдельно от исходного, его нужно принимать за 100%.
Поэтому на рисунке, новое число которое изображается линией, сначала было обозначено как 50%. Но затем это число мы обозначили как 100%.
Ответ: чтобы получить исходное число, новое число надо увеличить на 100%.
Задача 16.
В прошлом месяце в городе произошло 15 ДТП.
В этом месяце этот показатель снизился до 6. На сколько процентов снизилось количество ДТП?
Решение
В прошлом месяце было 15 ДТП. В этом месяце 6. Значит количество ДТП снизилось на 9.
Примем 15 ДТП за 100%. Снизив 15 ДТП на 9, мы снизим их на какое-то число процентов. Чтобы узнать на какое именно, узнаем какую часть 9 ДТП составляет от 15 ДТП
Ответ: концентрация получившегося раствора составляет 12%.
Задача 18. Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение
Масса обоих растворов одинакова. Каждый раствор можно принять за 100%. После сложения растворов получится 200% раствора. В первом растворе было 11% вещества, а во втором 19% вещества. Тогда в получившемся 200%-м растворе будет 11% + 19% = 30% вещества.
Определим концентрацию получившегося растворе. Для этого узнаем какую часть тридцать частей вещества составляют от двухсот частей вещества:
1,10. Значит цена за первый месяц станет 1,10 .
За второй месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,10 десять процентов от этой цены, получим 1,10 + 0,10 × 1,10 . Эта сумма равна выражению 1,21 . Значит цена за второй месяц станет 1,21 .
За третий месяц цена также повысилась на 10% . Прибавим к нынешней цене 1,21 десять процентов от этой цены, получим 1,21 + 0,10 × 1,21. Эта сумма равна выражению 1,331 . Тогда цена за третий месяц станет 1,331 .
Вычислим разницу между новой и старой ценой. Если изначальная цена была равна 1 , то повысилась она на 1,331 − 1 = 0,331 . Выразим этот результат в процентах, получим 0,331 × 100 = 33,1%
Ответ: за 3 месяца цены на продукты питания повысились на 33,1%.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
В прошлом видеоуроке мы рассматривали решение задач на проценты с помощью пропорций. Тогда по условию задачи нам требовалось найти значение той или иной величины.
В этот раз исходное и конечное значения нам уже даны. Поэтому в задачах будет требоваться найти проценты. Точнее, на сколько процентов изменилась та или иная величина. Давайте попробуем.
Задача. Кроссовки стоили 3200 рублей. После повышения цены они стали стоить 4000 рублей. На сколько процентов была повышена цена на кроссовки?
Итак, решаем через пропорцию. Первый шаг — исходная цена была равна 3200 рублей. Следовательно, 3200 рублей — это 100%.
Кроме того, нам дана конечная цена — 4000 рублей. Это неизвестное количество процентов, поэтому обозначим его за x . Получим следующую конструкцию:
3200 — 100%
4000 — x
%
Что ж, условие задачи записано. Составляем пропорцию:
Дробь слева прекрасно сокращается на 100: 3200: 100 = 32; 4000: 100 = 40. Кроме того, можно сократить на 4: 32: 4 = 8; 40: 4 = 10. Получим следующую пропорцию:
Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:
8 · x
= 100 · 10;
8x
= 1000.
Это обычное линейное уравнение. Отсюда находим x :
x = 1000: 8 = 125
Итак, мы получили итоговый процент x = 125. Но является ли число 125 решением задачи? Нет, ни в коем случае! Потому что в задачи требуется узнать, на сколько процентов была повышена цена на кроссовки.
На сколько процентов — это значит, что нам нужно найти изменение:
∆ = 125 − 100 = 25
Получили 25% — именно настолько была повышена исходная цена. Это и является ответом: 25.
Задача B2 на проценты №2
Переходим ко второй задаче.
Задача. Рубашка стоила 1800 рублей. После снижения цены она стала стоить 1530 рублей. На сколько процентов была снижена цена на рубашку?
Переводим условие на математический язык. Исходная цена 1800 рублей — это 100%. А итоговая цена 1530 рублей — она нам известна, но неизвестно, сколько процентов она составляет от исходной величины. Поэтому обозначим ее за x . Получим следующую конструкцию:
1800 — 100%
1530 — x
%
На основе полученной записи составляем пропорцию:
Давайте для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части данного уравнения на 100. Другими словами, у числителя левой и правой дроби мы зачеркнем два нуля. Получим:
Теперь снова воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
18 · x
= 1530 · 1;
18x
= 1530.
Осталось найти x :
x = 1530: 18 = (765 · 2) : (9 · 2) = 765: 9 = (720 + 45) : 9 = 720: 9 + 45: 9 = 80 + 5 = 85
Мы получили, что x = 85. Но, как и в прошлой задаче, это число само по себе не является ответом. Давайте вернемся к нашему условию. Теперь мы знаем, что новая цена, полученная после снижения, составляет 85% от старой. И для того, чтобы найти изменения, нужно из старой цены, т.е. 100%, вычесть новую цену, т.е. 85%. Получим:
∆ = 100 − 85 = 15
Это число и будет ответом: Обратите внимание: именно 15, а ни в коем случае не 85. Вот и все! Задача решена.
Внимательные ученики наверняка спросят: почему в первой задаче мы при нахождении разности вычитали из конечного числа начальное, а во второй задаче поступили в точности до наоборот: из исходных 100% вычли конечные 85%?
Давайте проясним этот момент. Формально, в математике изменением величины всегда называется разность между конечным значением и начальным. Другими словами, во второй задаче у нас должно было получиться не 15, а −15.
Однако этот минус ни в коем случае не должен попасть в ответ, потому что он уже учтен в условии исходной задачи. Там прямо сказано о снижении цены. А снижение цены на 15% — это то же самое, что повышение цены на −15%. Именно поэтому в решении и ответе задачи достаточно написать просто 15 — без всяких минусов.
Все, надеюсь, с этим моментом мы разобрались. На этом наш сегодняшний урок закончен. До новых встреч!
Сегодня в современном мире без процентов невозможно обойтись. Даже в школе, начиная с 5 класса, дети узнают данное понятие и решают задачи с этой величиной. Проценты встречаются в любой сфере современных структур. Взять, к примеру, банки: размер переплаты кредита зависит от указанной в договоре величины; на размерность прибыли также влияет Поэтому жизненно необходимо знать, что такое процент.
Понятие процента
Согласно одной легенде, процент появился из-за глупой опечатки. Наборщик должен был выставить число 100, но перепутал и поставил так: 010. Это послужило причиной того, что первый ноль немного приподнялся, а второй опустился. Единица превратилась в обратный слеш. Такие манипуляции послужили тому, что появился знак процента. Конечно, есть и другие легенды о происхождении этой величины.
О процентах индусы знали еще в V веке. В Европу же с которыми тесно взаимосвязано наше понятие, появились спустя тысячелетие. Впервые в Старом Свете суждение о том, что такое процент, ввел ученый из Бельгии Симон Стевин. В 1584 году была впервые опубликована таблица величин этим же ученым.
Слово «процент» берет свое начало в латинском языке как pro centum. Если перевести словосочетание, то получится «со ста». Итак, под процентом понимается одна сотая часть какой-либо величины, числа. Обозначается эта величина знаком %.
Благодаря процентам появилась возможность сравнивать части одного целого без особого труда. Появление долей значительно упростило расчеты, поэтому они стали столь распространенным явлением.
Перевод дробей в проценты
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, может понадобиться так называемая формула процентов: дробь умножается на 100, к результату приписывается %.
Если нужно перевести в проценты обыкновенную дробь, ее для начала нужно сделать десятичной, а затем воспользоваться вышеуказанной формулой.
Перевод процентов в дроби
Как таковая формула процентов достаточно условна. Но нужно знать, как переводить данную величину в дробное выражение. Чтобы перевести доли (проценты) в десятичные дроби, нужно знак % убрать и разделить показатель на 100.
Формула подсчета процента от числа
1) 40 х 30 = 1200.
2) 1200: 100 = 12 (учащихся).
Ответ: контрольную работу на "5" написали 12 учащихся.
Можно воспользоваться готовой таблицей, в которой указаны некоторые дроби и проценты, которые им соответсвуют.
Получается, что формула процентов от числа выглядит следующим образом: С = (А∙В) / 100 , где А - исходное число (в конкретном примере равное 40); В - количество процентов (в данной задаче В=30%); С - искомый результат.
Формула подсчета числа от процента
Следующая задача продемонстрирует, что такое процент и как найти число по проценту.
Швейная фабрика изготовила 1200 платьев, где из них 32% - платья нового фасона. Сколько платьев нового фасона изготовила швейная фабрика?
1. 1200: 100 = 12 (платьев) - 1% от всех выпущенных изделий.
2. 12 х 32 = 384 (платья).
Ответ: фабрика изготовила 384 платья нового фасона.
Если нужно найти число по его проценту, можно воспользоваться следующей формулой: С = (А∙100) / В, где А - общее количество предметов (в данном случае А=1200); В - количество процентов (в конкретной задаче В=32%); С - искомая величина.
Увеличение, уменьшение числа на заданное количество процентов
Школьники должны усвоить, что такое проценты, как считать их и решать разнообразные задачи. Для этого нужно понимать, как увеличивается или уменьшается число на N%.
Зачастую даются задания, да и в жизни нужно узнать, чему будет равно число, увеличенное на заданное количество процентов. К примеру, дано число Х. Нужно узнать, чему будет равно значение Х, если его увеличить, допустим, на 40%. Сначала нужно перевести 40% в дробное число (40/100). Итак, результатом увеличения числа Х станет: Х + 40% ∙ Х= (1+40 / 100) ∙ Х = 1,4 ∙ Х. Если вместо Х подставить любое число, возьмем, к примеру, 100, тогда все выражение будет равно: 1,4 ∙ Х = 1,4 ∙ 100 = 140.
Примерно тот же принцип используется и при уменьшении числа на заданное число процентов. Нужно провести расчеты: Х - Х ∙ 40% = Х ∙ (1-40 / 100) = 0,6 ∙ Х. Если величина равна 100, тогда 0,6 ∙ Х = 0,6 . 100 = 60.
Встречаются задания, где нужно узнать, на сколько процентов увеличилось число.
К примеру, дана задача: Машинист ехал по одному участку пути со скоростью 80 км/ч. На другом участке скорость поезда возросла до 100 км/ч. На сколько процентов возросла скорость поезда?
Предположим, 80 км/ч - 100%. Тогда производим расчеты: (100% ∙ 100 км/ч) / 80 км/ч= 1000: 8 = 125%. Получается, что 100 км/ч - это 125%. Чтобы узнать, на сколько увеличилась скорость, нужно вычислить: 125% - 100% = 25%.
Ответ: на 25% увеличилась скорость поезда на втором участке.
Пропорция
Нередки случаи, когда необходимо решить задачи на проценты, используя пропорцию. На самом деле этот метод нахождения результата в значительной мере облегчает задачу учащимся, преподавателям и не только.
Итак, что такое пропорция? Под этим термином понимается равенство двух отношений, которые можно выразить следующим образом: А / В = С / D .
В учебниках математики значится такое правило: произведение крайних членов равняется произведению средних. Это выражается следующей формулой: А х D = В х С.
Благодаря этой формулировке, можно вычислить любое число, если три других члена пропорции известны. К примеру, А - неизвестное число. Чтобы его найти, нужно
При решении задач методом пропорции необходимо понимать, от какого числа брать проценты. Бывают случаи, когда доли нужно взять от разных величин. Сравните:
1. После окончания распродажи в магазине стоимость футболки возросла на 25% и составила 200 рублей. Какова была стоимость во время распродажи.
В данном случае нужно величина 200 рублей соответствует 125% от первоначальной (распродажной) цены футболки. Тогда, чтобы узнать ее стоимость во время распродажи, нужно (200 х 100) : 125. Получится 160 рублей.
2. На планете Виценция 200 000 жителей: люди и представители гуманоидной расы Наави. Наави составляют 80% от всего населения Виценции. Из людей 40% заняты обслуживанием рудника, остальные добывают тетаниум. Сколько людей добывают тетаниум?
В первую очередь нужно найти в численном виде количество людей и количество Наави. Так, 80% от 200 000 будет равняться 160 000. Столько представителей гуманоидной расы проживает на Виценции. Количество людей, соответственно, равняется 40 000. Из них 40%, то есть 16 000, обслуживают рудник. Значит, 24 000 людей занимаются добычей тетаниума.
Многократное изменение числа на некоторое количество процентов
Когда уже понятно, что такое процент, нужно изучить понятие абсолютного и относительного изменения. Под абсолютным преобразованием понимается увеличение числа на конкретное число. Так, Х возрос на 100. Что бы вместо Х ни подставили бы, все равно это число возрастет на 100: 15 + 100; 99,9 + 100; а + 100 и т. д.
Под относительным изменением понимается возрастание величины на некоторое число процентов. Допустим, Х увеличился на 20%. Это значит, что Х будет равен: Х+Х∙20%. Относительное изменение подразумевается каждый раз, когда заходит речь об увеличении на половину или треть, уменьшении на четверть, возрастании на 15% и т. д.
Существует еще один важный момент: если величину Х увеличить на 20%, а затем еще на 20%, то в результате общее возрастание составит 44%, но никак не 40%. Это видно из следующих расчетов:
1. Х + 20% ∙ Х = 1,2 ∙ Х
2. 1,2 ∙ Х + 20% ∙ 1,2 ∙ Х = 1,2 ∙ Х + 0,24 ∙ Х = 1,44 ∙ Х
Это показывает, что Х возрос на 44%.
Примеры задач на проценты
1. Сколько процентов от числа 36 составляет число 9?
По формуле нахождения процента от числа, нужно 9 умножить на 100 и поделить на 36.
Ответ: число 9 составляет 25% от 36.
2. Вычислить число С, которое составляет 10% от 40.
По формуле нахождения числа по его проценту, нужно 40 умножить на 10 и результат разделить на 100.
Ответ: число 4 составляет 10% от 40.
3. Первый партнер вложил в бизнес 4500 рублей, второй - 3500 рублей, третий - 2000 рублей. Они получили прибыль 2400 рублей. Прибыль они разделили поровну. Сколько в рублях потерял первый партнер, по сравнению с тем, сколько бы он получил, если бы они разделили доход согласно проценту вложенных средств?
Итак, вместе они вложили 10 000 рублей. Доход на каждого составил равную долю по 800 рублей. Чтобы узнать, сколько должен был получить первый партнер и сколько он, соответственно, потерял, нужно узнать процент вложенных средств. Затем нужно узнать, сколько в рублях прибыли составляет этот вклад. И последнее - вычесть 800 рублей из полученного результата.
Ответ: первый партнер потерял 280 рублей при разделе прибыли.
Немного экономики
Сегодня довольно популярный вопрос - оформление кредита на определенный срок. Но как выбрать выгодный заем, чтобы не переплачивать? Во-первых, нужно посмотреть процентную ставку. Желательно, чтобы этот показатель был как можно ниже. Затем следует применить по кредиту.
Как правило, на размер переплаты влияет сумма долга, процентная ставка и способ погашения. Различают аннуитетные и В первом случае кредит погашается равными долями каждый месяц. Тут же сумма, которая перекрывает основной заем, растет, а стоимость процентов постепенно уменьшается. Во втором случае кредитозаемщик выплачивает постоянные суммы на погашение займа, к которым прибавляются проценты на остаток основного долга. Ежемесячно общая сумма выплат будет уменьшаться.
Теперь нужно рассмотреть оба способа Так, при аннуитетном варианте сумма переплаты будет выше, а при дифференциальном - сумма первых платежей. Естественно, условия кредита одинаковы для обоих случаев.
Заключение
Итак, проценты. Как считать их? Достаточно просто. Однако иногда они могут вызвать затруднения. Эту тему начинают изучать еще в школе, но она настигает всех в сфере кредитов, депозитов, налогов и т. д. Поэтому желательно вникнуть в суть данного вопроса. Если все же не получается провести расчеты, есть масса онлайн-калькуляторов, которые помогут справиться с поставленной задачей.
Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.
Что такое процент
Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.
Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.
Как решать
- Зная, что один процент это одна сотая от представленного числа, можно найти любое количество требуемых процентов. Для того чтобы было нагляднее, попробуем найти 6 процентов от числа 800. Делается это просто.
- Сначала находим один процент. Для этого 800 делим на 100. Получается 8.
- Теперь этот самый один процент, то есть 8, умножаем на нужное нам количество процентов, то есть на 6. Получается 48.
- Закрепим результат повторением.
15% от 150. Решение: 150/100*15=22.
28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.
- Бывают другие задачки, когда вам даются величины, а вам нужно найти проценты. Например, вам известно, что в магазине 5 алых роз из 75 белых, и вам нужно узнать, каков процент алых. Если мы не знаем этот процент, значит, обозначим его как х.
Для этого есть формула: 75 – 100%
В этой формуле цифры умножаются крест на крест, то есть х=5*100/75. Получается, что х=6% Значит процент алых роз составляет 6%.
- Существует еще один тип задач на проценты, когда вам надо найти на сколько процентов одно число больше или меньше другого. Как решать задачи с процентами в этом случае?
В классе учится 30 человек, из них 16 мальчиков. Вопрос, на сколько процентов мальчиков больше, чем девочек. Для начала необходимо сосчитать, какой процент составляют учащиеся мальчики, затем нужно узнать, сколько процентов девочек. А уж в конце найти разницу.
Итак, приступим. Составляем пропорцию 30 уч. – 100%
16 уч. –х %
Теперь считаем. Х=16*100/30, х=53,4 % от всех учащихся в классе составляют мальчики.
Теперь найдем процент девочек в этом же классе. 100-53,4=46,6 %
Осталось теперь только найти разницу. 53,4-46,6=6,8% . Ответ: мальчиков больше, чем девочек на 6,8%.
Основные моменты в решении процентов
Итак, чтобы у вас не было проблем с тем, как решать задачи на проценты, запомните несколько основных правил:
- Чтобы не запутаться в задачках на проценты, всегда будьте бдительны: переходите от конкретных величин к процентам и наоборот, если понадобится. Главное, никогда не путать одно с другим.
- Будьте внимательны, когда высчитываете проценты. Важно знать, от какой конкретной величину нужно считать. При последовательных изменениях величин процент вычисляется от последнего значения.
- Прежде, чем записать ответ еще раз прочитайте всю задачу, ведь может быть так, что вы нашли только промежуточный ответ, и вам необходимо выполнить еще одно или пару действий.
Таким образом, решение задач с процентами не такое уж и сложное дело, главное в нем внимательность и аккуратность, как впрочем, и во всей математике. И не забывайте, что для совершенствования любого навыка необходима практика. Так что решайте больше, и все у вас будет хорошо или даже отлично.
1% - это сотая часть числа.1% = 0,01.
Нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной
дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.
Нахождение числа по его процентам.
Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной
дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.
Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.
Как решать задачи на проценты. Примеры.
Нахождение процентов от числа связано с нахождением дроби от числа. Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби, поэтому начинать раскрывать смысл понятия процентов следует с осмысливания понятия обыкновенной дроби.
Возьмем несколько обыкновенных дробей, например,. Какой смысл вкладывается в каждую такую запись?
- Это примеры правильных обыкновенных дробей. Знаменвтель каджой из них показывает на сколько равных частей нужноразделить некий реальный или абстрактный объект, числитель показывает сколько таких частей нужно взять. Возьмем в качестве примера какую-нибудь правильную дробь. Например. Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.
В качестве реального объекта можно взять, например, прямоугольник.
Это выражение представляет собой частное чисел a и b, где b не равно 0.
Это отношение чисел a и b, где b не равно 0.
Это обыкновенная дробь. a – числитель, b – знаменатель (b не равно 0).
Пример 1.
Емкость бочки 200 л.бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение?
- эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно,
200:5 = 40,
402 = 80.
В бочку налили 80 литров воды.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа.
Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.
Теперь можно перейти и к процентам.
Понятие процента определяют так: 1% от числа это сотая часть числа, т. е. 1% = 0,01.
Тогда смысл предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.
Пример 2.
У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала. Какой смысл заключен в этом высказывании?
Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб., следовательно,
400: 100 =4,
424 = 96.
Маша израсходовала 96 рублей.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.
Пример 3.
Нужно найти р%
от числа b
.
Пусть x – число, которое нам нужно найти.
p%
= 0,01p,
x = b
0,01p
Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.
Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби.
b - 100%,
x - р%,
Имеем пропорцию:
b: 100 = x: р, (b относится к 100 как x относится к p) откуда,
Пример 4. Пусть имеются числа a и b , причем, a > b Тогда число a больше числа b на %.
Подойдем к этой задаче чуть-чуть иначе. Будем рассматривать простой частный случай, например такой: "На сколько процентов число 10 больше числа 2?".
1. Из большего числа вычитаем меньшее. 10 - 2 = 8. Тогда 10 больше 2 на 8.
2. Находим отношение, найденного числа к меньшему числу. 8: 2 = 4 - это отношение двух чисел!
3 Выражаем отношение в процентах 4100 = 400%.
Число 10 больше числа 2 на на 400%.
Если мы 8 разделим на 10 мы найдем отношение, показывающее на какую часть от 10 2 меньше 10 (здесь сравнение идет с числом 10.
Число 2 меньше числа 10 на 80%.
Пример 5.
Тракторист вспахал 6 га, что составляетот всего поля. Чему равна площадь всего поля.
Это типичная задача нахождения числа по его дроби. Пусть площадь всего поля равна x,
тогда имеем уравнение x= 6. Откуда x = 6:; x = 26. Площадь поля равна 26 га.
Чтобы найти число по его дроби, нужно число соответствующее данной дроби разделить на дробь.
Пример 6 . Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.
p%
= 0,01p
b
= 0,01pa
a = b: (0,01p)
Дано число b , которое составляет p% от числа a .
Найти число а .
a - 100%
b - p%
a: 100 = b: p
Формула сложных процентов.
Если на вклад положена сумма a
денежных единиц, и
банк начисляет р%
годовых, то через n
лет сумма на вкладе составит денежных единиц, или
a(1+0,01p) n
денежных единиц.
Пример 7. Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?
За работу заплатили:
0,359800 = 3430.
Следовательно, материалы стоили: 9800 - 3430 = 6370.
Ответ: 6370 руб.
Пример 8. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?
Если незаполненная часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% - 6,5% = 93,5%. Тогда, если х - масса бензина, который осталось долить в цистерну, то имеем пропорцию
откуда
.
Ответ: 2,6 т.
Пример 9. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.
Пусть х - искомое число. Имеем
0,25x = 0,45640.
Ответ: 1152.
Пример 10. Число а составляет 92% от числа b. Если число b увеличить на 700, то новое число будет на 9% больше числа a. Найти числа a и b.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
Решая полученную систему, находим, а = 230000, b = 250000.
Ответ: 230000; 250000.
Пример 11. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?
Обозначим второе число через х, тогда первое число равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько процентов составляет число х от числа 0,5x; составим пропорцию:
из которой находим
Ответ: 200%.
Пример 12. В лицее 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 6,4%. Сколько учащихся отчислено?
До отчисления количество неуспевающих до отчисления соляло
Пусть отчислили х человек. Тогда всего в лицее осталось 260 - х учащихся, из них неуспевающих стало 26 - х. Имеем пропорцию
260 – x - 100%,
(260 – x)0,064=(26 - x)100,
Решая полученное уравнение, находим х = 10.
Пример 13. На сколько процентов число 250 превышает число 200?
Выполним два действия.
1) Выясняем, сколько процентов составляет число 250 т от числа 200:
2) Так как число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.
Ответ: 25%.
Пример 14. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?
1) Выясняем, сколько процентов составляет число 200 от числа 250 (в отличие от предыдущего примера, здесь за 100% нужно принимать число 250!):
2) Число 200 меньше числа 250 на 100% - 80% = 20%.
Ответ: 20%.
Пример 15. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько процентов?
Пусть исходная длина кирпича - х, ширина - у, высота - z. Тогда исходный объем кирпича: V 1 = xyz. Новые размеры кирпича: 1,3х; 1,2у; 0,6z и новый объем: V 2 = 1,3х1,2у0,6z = 0,936xyz. Так как V 2 < V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.
Ответ: уменьшился на 6,4%.
Пример 16. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной
х - 0, 4х = 0,6x.
Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения будем иметь цену
0,6х - 0,250,6x = 0,45x;.
После двух понижений суммарное изменение цены составляет:
х - 0,45x = 0,55х.
Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.
Ответ: 55%.
Пример 17. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.
Пусть х% - это проценты повышения (и понижения) стоимости единицы продукции. По определению х% от 75 это - 750,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться 75 + 0,75x.
В течение второго года цена снизится на величину
0,01x(75+0,75х) = 0,75х + 0,0075х 2 .
Теперь можно записать уравнение для окончательной цены
(75 + 0,75х) - (0,75х + 0,0075х 2) = 72;
х 2 = 400; отсюда x 1 = - 20, x 2 = 20.
Подходит только один корень этого уравнения: х 2 = 20.
Ответ: 20%.
Пример 18. На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определить, какой процент годовых начисляет банк.
Пусть банк начисляет р% годовых.
1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины
10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100р руб.
Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.
2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + 100р) = р 2 + 190р + 9000 руб.
По условию эта величина равна 11000 руб, поэтому имеем квадратное уравнение.
р 2 + 190р + 9000 = 11000;
р 2 + 190р - 2000 = 0
, решим это квадратное уравнение, испрльзуя теорему Виетта, p 1 = 10, p 2 = -200.
Отрицательный корень не подходит.
Ответ: 10%.
Пример 19. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?
Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов:
x(1+0,1) 2 = 1,21x.
Из условия задачи:
Ответ: 40000 человек.
