Симметрия шара
Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.
Доказательство: Пусть - диаметральная плоскость и Х - произвольная точка шара. Построим точку Х", симметричную точке Х относительно плоскости. Плоскость перпендикулярна отрезку ХХ" и пересекается ним в его середине (в точке А). Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ" следует, что ОХ" =ОХ.
Так как ОХ?R, то и ОХ"?R, т.е. точка, симметричная точке Х, принадлежит шару. Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть теперь Х"" - точка, симметричная точке Х относительно центра шара. Тогда ОХ"" = ОХ?R, т.е. точка Х"" принадлежит шару. Теорема доказана полностью.
Касательная плоскость к шару
Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.
Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
Доказательство: Пусть б - плоскость касательная к шару, и А - точка касания. Возьмем произвольную точку Х плоскости б, отличную от А. Так как ОА - перпендикуляр, а ОХ - наклонная, то ОХ > ОА = R. Следовательно, точка Х не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая в касательной плоскости шара, проходящая через точку касания, называется касательной к шару в этой точке. Так как касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку - точку касания.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Касательной
плоскостью
к поверхности
в точке
называется плоскость, содержащая в себе
все касательные к кривым, проведенным
на поверхности через эту точку.Нормалью
называется прямая, перпендикулярная к
касательной плоскости и проходящая
через точку касания.
Покажем, что
направлен по нормали к поверхности
в точке
.
Рассмотрим кривую
,
лежащую на поверхности и проходящую
через точку
(рис. 15). Пусть она задана параметрическими
уравнениями
.
Если
– радиус-вектор точки
,
движущейся при изменениивдоль,
то,
а
– радиус-вектор точки
.
Так как лежит на поверхности, то. Продифференцируем это тождество по:
. (6.6)
По определению
,
а.
Поэтому (6.6) означает, что скалярное
произведение
во всех точках кривой.
Равенство нулю
скалярного произведения векторов –
необходимое и достаточное условие их
перпендикулярности. Значит, в точке
.
Но вектор
– вектор скорости – направлен по
касательной к траектории точки
,
то есть по касательной к кривой(рис. 15). Так каквыбрана произвольно, то
перпендикулярен всевозможным касательным,
проведенным к линиям, лежащим на
и проходящим через точку
.
А это по определению означает, что
перпендикулярен касательной плоскости,
то есть является ее нормалью.
Отсюда уравнение касательной плоскости к данной поверхности имеет вид (см. гл. 3):
Уравнение нормали (см. гл. 3):
. (6.8)
В частности, если
поверхность задана явным уравнением
,
получим:– уравнение касательной
плоскости, и
– уравнение нормали.
ПРИМЕР
.
Написать уравнения касательной плоскости
и нормали к сфере
в точке
.
Очевидно
Уравнение касательной плоскости (6.7):
Уравнения нормали (6.8):
.
Заметим, что эта прямая проходит через начало координат, то есть центр сферы.
ПРИМЕР
.
Написать уравнение касательной плоскости
к эллиптическому параболоиду
в точке
.
Эта поверхность
задана явным уравнением и
.
Поэтому уравнение касательной плоскости в данной точке имеет вид: или.
Экстремумы функции двух переменных
Пусть функция
определена во всех точках некоторой
области
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует её окрестность
,
всюду в пределах которой.
Из определения
следует, что если
– точка максимума, то
;
если
– точка минимума, то
ТЕОРЕМА
(необходимое условие экстремума
дифференцируемой функции двух
переменных). Пусть функция
имеет в точке
экстремум. Если в этой точке существуют
производные первого порядка, то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
.
Зафиксируем значение
.
Тогда
– функция одной переменной.
Она имеет экстремум при
и по необходимому условию экстремума
дифференцируемой функции одной переменной
(см. гл. 5)
.
Аналогично,
зафиксировав значение
,
получим, что
.
Что и требовалось доказать.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Стационарной
точкой
функции
называется точка
,
в которой обе частные производные
первого порядка равны нулю:
.
ЗАМЕЧАНИЕ 1 . Сформулированное необходимое условие не является достаточным условием экстремума.
Пусть
.
Значит,
– стационарная точка этой функции.
Рассмотрим произвольную-
окрестность начала координат.
В пределах этой
окрестности
имеет, очевидно, разные знаки (рис. 16).
А это означает, что точка
точкой экстремума по определению не
является.
Таким образом, не всякая стационарная точка – точка экстремума .
ЗАМЕЧАНИЕ 2 . Непрерывная функция может иметь экстремум, но не иметь стационарной точки.
Рассмотрим функцию
.
Её графиком является верхняя
половина конуса, и, очевидно,
– точка минимума (рис. 17).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
.
Точки, в которых частные производные
первого порядка функции
равны нулю или не существуют, называются
еекритическими
точками.
ТЕОРЕМА
(достаточное
условие экстремума функции
).
Пусть функция
имеет частные производные второго
порядка в некоторой окрестностистационарной
точки
.
Пусть, кроме того,
.
Тогда, если
1)
,
то
– точка экстремума, именно: точка
максимума, если
,
или точка минимума, если
;
2)
,
то экстремума в точке
нет;
3)
,
то требуются дополнительные исследования
для выяснения характера точки
.
(Без доказательства).
ПРИМЕР
.
Исследовать на экстремум функцию
.
Найдем стационарные
точки:
.
Стационарных точек нет, значит, функция
не имеет экстремума.
ПРИМЕР . Исследовать на экстремум функцию .
Чтобы найти стационарные точки, надо решить систему уравнений:
То есть данная функция имеет четыре стационарные точки.
Проверим достаточное условие экстремума для каждой из них:
.
Так как
,
то в точках
экстремума нет.
и
,
значит,
– точка минимума и
;
и
,
значит,
– точка максимума и
.
Дата: 02.02.2016
Тема: Касательная к сфере (шару) плоскости.
Цель урока: Сформировывать знания и умения, учащихся по теме, рассмотреть теоремы
о , научить решать задачи по данной теме.
Воспитывать внимательность, добросовестное отношение к учебе, аккуратность
Развивать память, мышление, пространственное воображение, речь
Структура урока
Организационный момент
Постановка цели урока
Проверка домашнего задания
Защита презентаций учащимися
Индивидуальная самостоятельная работа
Решение задач в паре
Решение задач в группе
Игра на развитие внимательности
Выдача домашнего задания
Итог урока
Ход урока
В начале урока проводится устная работа. Повторение основных понятий связанных с шаром и сферой.
Домашние задания №26 (стр 61), № 34
Дежурные на доске (на перемене) выполняют чертежи к домашним заданиям. На уроке учитель к доске вызывает двух учеников для проверки домашнего задания. После ответа у доски ученики ставят себе оценки на оценочных листах.
Защита презентаций:
І группа: История возникновения шара
ІІ группа: Взаимное расположение сферы и плоскости
ІІІ группа: Шар и сфера в живой природе
Самостоятельная работа
1. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением:
1 вариант
(х-2) 2 +(у+3) 2 + z 2 = 25
2 вариант
(х+3) 2 + у 2 + (z -1) 2 = 16
2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром окружности в точке А, если:
1 вариант
А (2; 0; -1), R = 7
2 вариант
A (-2; 1; 0) , R = 6
3. Проверти, лежит ли точка А на сфере, заданной уравнением:
1 вариант
(х + 2) 2 + (у – 1) 2 + (z – 3) 2 = 1, если А (-2; 1; 4)
2 вариант
(х - 3) 2 + (у + 1) 2 + (z - 4) 2 = 4, если А (5; - 1; 4)
4. Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы:
1 вариант
х 2 +у 2 + z 2 + 2 z - 2у= 2
Работа в паре
2 вариант
х 2 + у 2 + z 2 – 2х + 2 z = 7
Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.
Работа в группе
Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13см, ВС=14см, СА=15см
Игра на внимательность
На цветных бумагах записаны основные формулы площадей поверхностей многогранников и тел вращения. Эти карточки прикреплены на магнитную доску. Учитель просит внимательно посмотреть на формулы и запомнить их. Естественно ученики начинают запоминать сами формулы. Закрыв доску, учитель задает вопросы следующего содержания: «Какого цвета карточка, на которой записана формула площади боковой поверхности пирамиды?» и т.д. Естественно ученики не ожидали такого вопроса. Учитель дает еще одну возможность, но на этот раз ученики стараются запомнить и цвет карточки.
Итог урока.
Шкала оценок
«5» за 8-9 баллов
«4» - за 6-7 баллов
«3» - за 4-5 баллов
Домашнее задание: № 28 (стр 61), № 29 (стр 62)
П. 64 – 67, изучить п, 576, 578
Проверка домашнего задания I ученик: вывод уравнения сферы II ученик: 581 III ученик: 586(б) IV ученик: Что называется сферой? 2. Что называют диаметром сферы? 3. Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости. 581, 586(б), 587
О Свойство касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, - касательная плоскость, А – точка касания Доказать: ОА. А Доказательство. Предположим противное: пусть ОА, следовательно, ОА – наклонная к плоскости, значит, расстояние от центра сферы до плоскости меньше ОА, т. е. меньше радиуса R: d
О Признак касательной плоскости Дано: сфера(О; R), R=ОА, ОА, А. Доказать: - касательная плоскость. А Доказательство. ОА, значит, расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы: d = R, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. данная плоскость является касательной. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.