Гипербола и ее каноническое уравнение. Кривые второго порядка

Глава III. Кривые второго порядка

§ 40. Гипербола.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками.

Данные точки называются фокусами гиперболы, а расстояние между ними - фокальным расстоянием.

Обозначим фокусы гиперболы буквами F 1 и F 2 .
Пусть фокальное расстояние | F 1 F 2 | = 2с .

Если М - произвольная точка гиперболы (рис. 112), то по определению гиперболы модуль разности | F 1 M | - | F 2 M | постоянен. Обозначив его через 2а , получим

| | F 1 M | - | F 2 M | | = 2a . (1)

Отметим, что по определению гиперболы 2а < 2с , т. е. а < с .

Равенство (1) есть уравнение гиперболы.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы гиперболы; ось ординат проведем через середину отрезка F 1 F 2 перпендикулярно ему (рис. 113).

Тогда фокусами гиперболы будут точки F 1 (- c ; 0) и F 2 (c ; 0).

Пусть М(х; у )-любая точка гиперболы, тогда

| F 1 М | = √(x + c ) 2 + y 2 и | F 2 М | = √(x - c ) 2 + y 2 .

Подставляя значения | F 1 M | и | F 2 M | в уравнение (1), получаем

| √(x + c ) 2 + y 2 - √(x - c ) 2 + y 2 | = 2а . (2)

Полученное нами уравнение представляет собой уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Это уравнение можно привести к более простому виду.

Пусть х > 0, тогда уравнение (2) можно записать без знака модуля следующим образом:

√(x + c ) 2 + y 2 - √(x - c ) 2 + y 2 = 2а ,

√(x + c ) 2 + y 2 =2а + √(x - c ) 2 + y 2 (3)

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

(х + с ) 2 + у 2 = 4а 2 + 4а √(x - c ) 2 + y 2 + (х - с ) 2 + у 2 .

После соответствующих упрощений и преобразований:

√(x - c ) 2 + y 2 = c / a х - a , (4)

(х - с ) 2 + у 2 = (c / a х - a ) 2 ,

приходим к уравнению

(5)

По определению гиперболы а < с , поэтому с 2 - a 2 - положительное число. Обозначим его через b 2 , т. е. положим b 2 = с 2 - a 2 . Тогда уравнение (5) примет вид

Разделив почленно на b 2 , получим уравнение

Если х < 0, то уравнение (2) переписывается без знака модуля следующим образом:

√(x - c ) 2 + y 2 - √(x + c ) 2 + y 2 = 2а ,

и точно так же, как и в случае х > 0, преобразуется к виду (6).

Уравнение (6) называется каноническим уравнением гиперболы .

Замечание. Возведение в квадрат обеих частей уравнения (3) и (4) не нарушило равносильности уравнений. Обе части уравнения (3), очевидно, неотрицательны при всех значениях х и у . Левая часть уравнения (4) также всегда неотрицательна. При х > а правая часть уравнения (4) положительна, так как

c / a х - a > c / a a - a = с - a > 0

Итак, посторонние точки могли бы появиться только при условии 0 < х < а , но из уравнения (6) следует, что x 2 /a 2 > 1, т. е. | x | > а .

Задача 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку
М (-5; 9 / 4), если фокальное расстояние гиперболы равно 10.

Так как |F 1 F 2 |= 10, то с = 5. Запишем каноническое уравнение гиперболы

По условию точка М (-5; 9 / 4) принадлежит гиперболе, следовательно,

Второе уравнение для определения а 2 и b 2 дает соотношение

b 2 = с 2 - a 2 = 25 - a 2 .

Решив систему

найдем a 2 =16, b 2 = 9. Искомым уравнением будет уравнение

Задача 2. Доказать, что уравнение

20x 2 - 29y 2 = 580

является уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.

Разделив обе части уравнения на 580, получим

Это уравнение гиперболы, для которой a 2 = 29, b 2 = 20.
Из соотношения c 2 = a 2 + b 2 находим c 2 = 29 + 20 = 49, с = 7. Следовательно, фокусы гиперболы находятся в точках F 1 (-7; 0) и F 2 (7; 0).

Дано уравнение эллипса .

Решение:

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде:
.

Отсюда
. Используя соотношение
, находим
. Следовательно,
.

По формуле найдем.

Уравнения директрис
имеют вид
, расстояние между ними
.

По формуле
находим абсциссу точек, расстояние от которых до точкиравно 12:

. Подставляя значениеx в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек:.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет точка A(7;0).

Задача 56.

Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение:

Уравнение эллипса ищем в виде
.

Так как эллипс проходит через точки
, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:
. Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, находим
.

Подставляя найденное значение в первое уравнение, найдем
. Таким образом, искомое уравнение
.

Задача 57.

;
.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точекиесть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между точкамии).

Точки иназываютсяфокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно
. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусовиобозначим через. По условию,
.

где
‑ координаты произвольной точки гиперболы,

Уравнение
называетсяканоническим уравнением гиперболы.

У гиперболы две асимптоты
.

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы
.

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусамии. Их длиныизадаются формулами:

Прямые
называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением.

Задача 58.

Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы
.

Ответ:
.

Задача 59.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если (
). Определить эксцентриситет гиперболы.

Ответ:
.

Задача 60.

Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку
, а эксцентриситет равен
.

Ответ:
.

Задача 61.

Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса
.

Ответ:
.

Задача 62.

Определить геометрическое место точек
, расстояния от которых до прямой
вдвое меньше, чем до точки
.

Ответ:
.

Задача 63.

Составить уравнение гиперболы симметричной относительно системы координат, если она проходит через точки
,
.

Ответ:
.

Задача 64.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением
, и гипербола проходит через точку
.

Ответ:
.

Задача 65.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

Парабола

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки
(фокуса) и данной прямой(директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось
проводят через фокус
перпендикулярно директрисев направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом
и точкой
пересечения оси
с директрисой. Если обозначить черезрасстояние фокуса от директрисы, то
и уравнение директрисы будет иметь вид
.

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:
. Это уравнение называетсяканоническим уравнением параболы .

Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная

Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F 1 F 2 пополам (рис. 30). Обозначим F 1 F 2 = 2c. Тогда F 1 (с; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокальные радиусы гиперболы.

Согласно определения гиперболы r 1 – r 2 = const.

Обозначим ее через 2а

Тогда r 2 - r 1 = ±2a итак:

=> каноническое уравнение гиперболы

Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М 0 (х 0 ; у 0) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М 1 (х 0 ; -у 0) М 2 (-х 0 ; -у 0) М 3 (-х 0 ; -у 0).

Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.

При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А 1 (а; 0); А 2 (-а; 0).

. В силу симметрии исследование ведем в I четверти

1) при
у имеет мнимое значение, следовательно, точек гиперболы с абсциссами
не существует

2) при х = а; у = 0 А 1 (а; 0) принадлежит гиперболе

3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.

Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.

П 6. Асимптоты гиперболы

Рассмотрим вместе с уравнением
уравнение прямой

Кривая будет лежать ниже прямой (рис. 31). Рассмотрим точкиN (x, Y) и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы, а У - у = MN. Рассмотрим длину отрезка MN

Найдем

Итак, если точка М, двигаясь по гиперболе в первой четверти удаляется в бесконечность, то ее расстояние от прямой
уменьшается и стремится к нулю.

В силу симметрии таким же свойством обладает прямая
.

Определение. Прямые к которым при
кривая неограниченно приближается называются асимптотами.

И
так, уравнение асимптот гиперболы
.

Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).

П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы

r 2 – r 1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы

знак – относится к левой ветви гиперболы

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.

. Так как c > a, ε > 1

Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:

Определение . Назовем прямые
, перпендикулярные фокальной оси гиперболы и расположенными на расстоянии от ее центра директрисами гиперболы, соответствующие правому и левому фокусам.

Т
ак как для гиперболы
следовательно, директрисы гиперболы, располагаются между ее вершинами (рис. 33). Покажем, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная и равная ε.

П. 8 Парабола и ее уравнение

О
пределение. Парабола есть геометрическое место точек равностоящих от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы примем за ось х прямую, проходящую через фокус F 1 перпендикулярную к директрисе и будем считать ось х направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой, длину которого обозначим через р (рис. 34). Величину р назовем параметром параболы. Точка координат фокуса
.

Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.

Согласно определению

у 2 = 2рх – каноническое уравнение параболы

Для определения вида параболы преобразуем ее уравнение
отсюда следует . Следовательно, вершина параболы находится в начале координат и осью симметрии параболы является ох. Уравнение у 2 = -2рх при положительном р сводится к уравнению у 2 = 2рх путем замены х на –х и ее график имеет вид (рис. 35).