В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

где x 1 , y 1 координаты некоторой точки M 1 на прямой L . Вектор q ={m , p } является направляющим вектором прямой L , t − некоторый параметр.

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t =0 имеем точку M 1 (x 1 , y 1) при t =1, получим точку M 2 (x 1 +m , y 1 +p ).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L . В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q ={m , p }, вычисляя разности соответствующих координатов точек M 1 и M 2: m =x 2 −x 1 , p =y 2 −y 1 (Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Пример 1. Прямая проходит через точку M =(3,−1) и имеет направляющий вектор q ={−3, 5}. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Упростим полученное уравнение:

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y :

(5)

Из выражений (5), можем записать.

Параметрические уравнения прямой элементарно получаются из канонического уравнения этой прямой, имеющей вид . Примем за параметр величину, на которую можно умножить левую и правую части канонического уравнения.

Так как один из знаменателей обязательно отличен от нуля, а соответствующий числитель может принимать какие угодно значения, то областью изменения параметра является вся ось вещественных чисел: .

Мы получим или окончательно

Уравнения (1) и есть искомые параметрические уравнения прямой. Эти уравнения допускают механическую интерпретацию. Если считать, что параметр - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью (такое движение происходит по инерции).

Пример 1. Составить на плоскости параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Решение. Подставляем данные точки и направляющего вектора в (1) и получаем:

Часто в задачах требуется преобразовать параметрические уравнения прямой в другие виды уравнений, а из уравнений других видов получить параметрические уравнения прямой. Разберём несколько таких примеров. Для преобразования параметрических уравнений прямой в общее уравнение прямой сначала следует привести их к каноническому виду, а затем из канонического уравнения получить общее уравнение прямой

Пример 2. Записать уравнение прямой

в общем виде.

Решение. Сначала приводим параметрические уравнения прямой к каноническому уравнению:

Дальнейшими преобразованиями приводим уравнение к общему виду:

Несколько более сложно преобразование общего уравнения в параметрические уравнения прямой, но и для этого действия можно составить чёткий алгоритм. Сначала можно преобразовать общее уравнение в уравнение с угловым коэффициентом и найти из него координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой, придавая одной из координат произвольное значение. Когда известны координаты точки и направляющего вектора (из общего уравнения), можно записать параметрические уравнения прямой.

Пример 3. Записать уравнение прямой в виде параметрических уравнений.

Решение. Приводим общее уравнение прямой в уравнение с угловым коэффициентом:

Находим координаты некоторой точки, принадлежащей прямой. Придадим одной из координат точки произвольное значение

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом получаем другую координату точки:

Таким образом, нам известны точка и направляющий вектор . Подставляем их данные в (1) и получаем искомые параметрические уравнения прямой:

Пример 4. Найти угловой коэффициент прямой, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Параметрические уравнения прямой сначала следует преобразовать в каноническое, затем в общее и, наконец, в уравнение с угловым коэффициентом.

Таким образом, угловой коэффициент заданной прямой:

Пример 5. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

Лекция № 7

Плоскость и прямая в пространстве

проф. Дымков М.П.

1. Параметрическое уравнение прямой

Пусть даны точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой и вектор s = (l ,m ,n ) , лежащий на

этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой .

Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее

уравнение. Возьмем произвольную точку M (x , y , z ) на прямой. Ясно, что векторы

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s коллинеарны.

Следовательно, M 0 M = t s − есть векторное уравнение прямой.

В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление

x = x0 + t l ,

y = y0 + tm ,

z = z0 + tn ,

−∞ < t < +∞,

где t – «пробегает»

промежуток (−∞ ,∞ ) ,

(т.к. точка M (x , y , z ) должна

«пробегать»

всю прямую).

2. Каноническое уравнение прямой

Исключив параметр t из предыдущих уравнений, имеем

x − x

y − y

z − z

T −

каноническое уравнение прямой.

3. Угол между прямыми. Условия « » и « » двух прямых

Пусть даны д ве прямые

x − xi

y − yi

z − zi

i = 1,2.

Определение.

Углом между прямыми L 1 и L 2

назовем любой угол из

двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку (для чего возможно требуется совершить параллельный перенос одной из прямых).

Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между

направляющими векторами прямых

= (l 1 ,m 1 ,n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [а второй угол

тогда будет равен (π − φ ) ]. Тогда угол определяется из соотношения

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Прямые параллельны , если s и s

коллинеарны

Прямые перпендикулярны s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и

плоскости

Пусть прямая L задана своим каноническим уравнением x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а плоскость P – уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Углом между прямой L

и плоскостью р называется острый угол между прямой L и ее проекцией на плоскость.

Из определения (и рисунка) следует, что искомый угол ϕ является дополнительным (до прямого угла) к углу между вектором нормали n (A , B ,C ) и

направляющим вектором s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(. берется, чтобы получить острый угол).

Если L Р , то тогда s n (s ,n ) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −					условие « ».
Если L Р , то тогда s коллинеарно n
				C −	условие « ».
5. Точки пересечения прямой и плоскости
L : x = x0 + l , t ,					y = y0 + m t , z = z0 + n t ;
P : Ax + By + Cz + D = 0 .
Подставив выражения для х , у , z в уравнение плоскости и преобразовав,
		t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D .
				Al + Bm + Cn

Теперь, если подставить найденное «t » в параметрические уравнения прямой, то найдем искомую точку пересечения

Лекция № 8-9

Основы математического анализа

проф. Дымков М.П.

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода, которая встречается в курсе в различных формах. Мы начнем с самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Это облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода – предела функции. В последующем конструкции предельных переходов будут использоваться в построении дифференциального и интегрального исчисления.



 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

 Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

 Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей

 Предел последовательности.

 Свойства сходящихся последовательностей

 Арифметические операции над сходящимися последовательностями

 Монотонные последовательности

 Критерий сходимости Коши

 Число е и его экономическая иллюстрация.

 Применение пределов в экономических расчетах

§ 1. Числовые последовательности и простейшие свойства

1. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей известны из школы:

1) последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий;

2) последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность;

	3) последовательность чисел							приближающих число

будем называть числовой последовательностью (или просто последовательностью).

Отдельные числа x 3 , x 5 , x n будем называть элементами или членами последовательности (1). Символ x n называют общим или n -м членом данной последовательности. Придавая значение n = 1, 2, … в общем члене x n мы получаем, соответственно, первый x 1 , второй x 2 и т.д. члены.

Последовательность считается заданной (см. Опр.), если указан способ получения любого ее элемента. Часто последовательность задают формулой для общего члена последовательности.

Для сокращения записи последовательность (1) иногда записывают как

{ x n } . Например,			означает последовательность 1,
{ 1+ (− 1)n } имеем			0, 2, 0, 2, … .

Структура общего члена (его формула) может быть сложной. Например,

							n N.
x n =					n-нечетное

Иногда последовательность задается так называемыми рекуррентными формулами , т.е. формулами, позволяющими находить последующие члены последовательности по известным предыдущим.

Пример (числа Фибоначчи). Пусть x 1 = x 2 = 1 и задана рекуррентная формула x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тогда имеем последовательность 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи). Геометрически числовую последовательность можно изобразить на чис-

ловой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соот-

ветствующим членам последовательности. Например, { x n } = 1 n .

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 66

Рассмотрим наряду с последовательностью { x n } еще одну последовательность { y n } : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Определение. Суммой (разностью, произведением, частным) последо-

вательностей { xn } и { yn } называется последовательность { zn } , члены кото-

образованы по

z n = x n + y n

X − y

≠ 0

Произведением последовательности { xn } на число c R называется последовательность { c xn } .

Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной

сверху (снизу), если существует вещественное число М (m), такое что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравен-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу m ≤ xn ≤ M . Последовательность xn называ-

ется неограниченной, если для положительного числа А (сколь угодно большего) найдется хотя бы один элемент последовательности xn , удовлетворя-

ющий неравенству xn > A.

{ x n } = { 1n } − ограничена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

{ x n } = { n } − ограничена снизу 1, но является неограниченной.

{ x n } = { − n } − ограничена сверху (–1), но также неограниченная.

Определение. Последовательность { x n } называется бесконечно малой ,

если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым его не взяли) существует номер N , зависящий, вообще говоря от ε , (N = N (ε )) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство x n < ε .

Пример. { x n } = 1 n .

Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно боль-

шой , если для положительного вещественного числа А (какое бы большое оно не было) найдется номер N (N = N(A)) такой, что при всех n ≥ N выпол-

няется неравенство xn > A.

Обязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно.

Если известна точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой :

О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции .

Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу:

Пример 7

Решение : Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор.

а) Из уравнений снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения.

Составим параметрические уравнения данной прямой:

Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра :

Таким образом:

б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен: (будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: .

Составим параметрические уравнения прямой:

в) Перепишем уравнения в виде , то есть «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули : . На оставшееся место ставим единицу : . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля.

Запишем параметрические уравнения прямой:

Для тренировки:

Пример 8

Составить параметрические уравнения следующих прямых:

Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом . Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям).

Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны.

Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи.

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим . Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений. Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.

Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$

Решение :

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;

E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0.x = 0
Поэтому, любое x является решением. Если a отличается от 0, тогда
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac{3a}{a} \Leftrightarrow x = 3$

Задача 2 Если a является параметром, решите уравнение:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Решение :

A) Если $a + 1$ отлично от 0, то есть.. $a \neq -1$,
тогда $x = \frac{2a+3}{a+1}$;
если $a + 1 = 0$, i.e. $a = - 1$
уравнение принимает вид $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, что не имеет решения;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Если $(1 – a) \neq 0$, то есть a $\neq 1$; решение будет
$x = \frac{2(2 - a)}{(1 - a)}$;
Если $a = 1$ уравнение примет вид $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, что не имеет решения

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Если $a - 1 \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$ то есть $a \neq 1, -1$,
решением есть is $x = \frac{a}{(a - 1)(a + 1)}$
Если $a = 1$ or $a = -1$, уравнение принимает вид is $0\cdot x = \pm 1$, что не имеет решения

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
В этом случае $a^2 + 1 \neq 0$ для любого $а$, потому что это есть сумма позитивного числа (1) и одного негативного числа
$(a^2 \geq 0)$ поэтому $x = \frac{a}{a^2 + 1}$

Задача 3 Если a and b являются параметрами, решите уравнения:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Решение :

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Если $a \neq 0$, тогда решение есть $x = -\frac{b}{a}$.
Если $a = 0, b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = -b$ и не имеет решения.
Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решение есть is $x = -\frac{2b}{a-1}$
Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = - 2b$ и не имеет решения

C) Если $b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$,
решением есть $y = \frac{1-a}{b-1}$
Если $b - 1 = 0$, то есть $b = 1$, но $1 – a \neq 0$,
то есть $a \neq 1$, уравнение принимает вид $0\cdot y = 1 – a$ и не имеет решения.
Если $b = 1$ и $a = 1$ уравнение принимает вид $0\cdot y = 0$ и любое $y$ является решением

D) $b^2 + 1 \neq 0$ для любого $b$(почему?), поэтому
$y = \frac{a+2}{b^2}$ является решением уравнения.

Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения:
A) $5x + a$ и $3ax + 4$
B) $2x - 2$ и $4x + 5a$

Решение :

Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
$5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Если $5 - 3a \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{5}{3}$, решения есть $x = \frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 - 3a = 0$, т.e. $a = \frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 4 – \frac{5}{3} \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac{7}{3}$, что не имеет решения

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac{2+5a}{2}$

Задача 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Решение :

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ или $ax = - 6$
Если $a \neq 0$, уравнения примут вид $x = \frac{2}{a}$ or $x = -\frac{6}{a}$
Если $a = 0$, уравнения не имею решения

B) Если $a Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
или $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2}$ or
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2} = -\frac{3a-1}{2}$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = - 3$,
и мы находим $ax = 3 - 2a$ или $ax = -3 - 2a$
Если a = 0, тогда нет решений, если $a \neq 0$
решениями есть: $x = \frac{3-2a}{a}$ и $x = -\frac{3+2a}{a}$

Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$

Решение :

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение
$x = \frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b \neq 1$, мы получаем $0\cdot x = 2(b - 1)$, где $2(b - 1) \neq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.
Если $b = 7$ и $a \neq \frac{1}{2}$ является единственным решением
$x = \frac{2(7-1)}{2a-1} = \frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a - 1$ также есть целым числом и решением есть
$x = \frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a - 1$ есть положительным делителем для числа $12$.
Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12
Поэтому $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$

Задача 7 Решите уравнение $|ax - 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение :

Из определения модуля мы получаем
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ или $ax - 2 – x = - 4$
Из первого равенства мы получаем $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a - 1)x = -2$
Если $a - 1 = 0$, т.e. $a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.
Если $a \neq 1$ мы находим, что $x = \frac{6}{a-1}$ или $x = -\frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a - 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго - положительным делителям 2
Тогда $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ или $a - 1 = 1; 2$
Мы получаем $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
или $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.

Задача 8 Решите уравнение:
A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами

Решение :

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1 \neq 0$, т.e. $a \neq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = \frac{1+a}{3a+1}$
Если $a = -\frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0\cdot x = \frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}, x = \frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = \frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$
Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b \neq 2$, уравнение не имеет решения.

Задача 9 Дано уравнение $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , где к - целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
A) имеет корень $-\frac{4}{3}$
B) не имеет решения;
C) имеет корень как натуральное число.

Решение :

Перепишем уравнение в виде $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Если $x = -\frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-\frac{4}{3k} = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$

C) Когда $k \neq 0$ является корнем $x = \frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом, на которое делится 12, т.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Задача 10 Решите уравнение:
A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.

Решение :

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является
$x = \frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a - 1 = 0$, т.e. $a = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид
$0.x = \frac{1}{2}- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, решением является
$x = \frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b - 1$
Если b = 1 любое x является решением, если $b \neq 1$ тогда нет решения.

Задача 11 Дано уравнение $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
А) $\left(-\frac{2}{3}\right)$
B) целое число
C) натуральное число

Решение :

A) Если $x = -\frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac{4a}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{4a}{3} - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac{4a-6a}{3} = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac{2a}{3} = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Если $a \neq 0$ решением является $x = \frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$.
Поэтому; $±2; ±4; ±8$
Если $a=0$, уравнение не имеет решения

C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=\frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$

Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ - параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$

Решение :

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Если $2a -1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = \frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a - 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a - 1$ было нечетным числом.
Поэтому $2a - 1$ может быть $1$ или $3$
Из $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ и $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, где a - параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
А) пересекает ось абсцисс;
B) пересекает ось абсцисс

Решение :

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс.
С уравнения мы получаем $(3a - 1)x = 2a - 1$
Если $3a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = \frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = \frac{1}{3}$, мы получаем $0.x = \frac{2}{3} - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{3}$, что не имеет решения.
Поэтому, если $a = \frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.

Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2$

Решение :

A) Если $a 0$ мы получаем:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ или $x - 2 = -a$
Из $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, и из
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Если $a = 0$, тогда $x - 2 = 0$ или $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ или $ax - 1 = -3$
откуда $ax = 4$ или $ax = - 2$
Если $a \neq 0$ решения: $x = \frac{4}{a}$ or $x = -\frac{2}{a}$
Если $a = 0$, здесь нет решения

C) Если $a - 2 Если $a - 2 > 0$, т.e. $a > 2$ мы получаем
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ или $ax - 1 = 2 – а$
Итак, мы получаем $ax = a - 1$ или $ax = 3 – a$
Потому что $a > 2, a \neq 0$, therefore
$x = \frac{a-1}{a}$ или $x = \frac{3-a}{a}$.
Если $a = 2$, уравнения эквивалентно
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Задача 15 Найдите, для каких значений параметра m (a), два уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $\frac{x-m}{3} = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$, если $x > 3$

Решение :

A) Решим второе уравнение. Запишем его в виде:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Для первого мы получим
$\frac{x+m}{2} = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Эти два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковые корни, т.e.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac{2}{3}$

B) Для первого уравнения решением есть $х = 2 - 3m$ и для второго мы получим
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Они имеют одинаковые корни, когда
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

C) Так как $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Первое уравнение будет выглядеть так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ или $x = 4$
С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Если $a - 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решением есть
$x = \frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = \frac{1-2a}{a-1} \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}$