Приближенное значение приращения функции

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Dy » dy и, следовательно,

Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y= при изменении аргумента x от значения x 0 =3 до x 1 =3,01.

Решение . Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тогда

Dу » .

Приближенное значение функции в точке

В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x 0 при приращении аргумента Dx (Dx®0) Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) и формулой (3.3) можно записать

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Здесь, как и ранее предполагается, что Dx®0.

Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x -5) 5 в точке x 1 =2,02.

Решение . Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x 1 в виде x 1 = x 0 + Dx. Тогда x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Пример 4. Вычислить (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Решение

1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01) 5 в виде (1+0,01) 5 .

Тогда, полагая Dх = 0,01, n = 5, получим

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представив в виде (1 - 0,006) 1/6 , согласно (3.4а), получим

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая Dx=0,02, по формуле (3.4б) получим

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Аналогично

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Найти приближенные значения приращения функций

155. y = 2x 3 + 5 при изменении аргумента x от значения x 0 = 2 до x 1 = 2,001

156. у = 3x 2 + 5x + 1 при x 0 = 3 и Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 при x 0 = 2 и Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 и Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 и Dx = 0,01

Найти приближенные значения функций

160. у = 2x 2 - x + 1 в точке x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 в точке x 1 = 3,02

162. y = в точке x 1 = 1,1

163. y= в точке x 1 = 3,032

164. y = в точке x 1 = 3,97

165. y = sin 2x в точке x 1 = 0,015

Вычислить приближенно

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05) 5 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e 2 ×0,97)

Исследование функций и построение графиков

Признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции) . Если дифференцируемая функция y = f(x), xÎ(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x 0 Î(a; b).

Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции) . Если функция y = f(x), xÎ(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Определение 1. Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой d-окрестности точки x 0 выполняется неравенство f(x) < f(x 0) (f(x) > f(x 0)) при x ¹ x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума) . Если точка x 0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки x 0 . Тогда:

1) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (+) на (-), то x 0 является точкой максимума;

2) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (-) на (+), то x 0 является точкой минимума;

3) если производная при переходе через точку x 0 не меняет знак, то в точке x 0 функция не имеет экстремума.

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.

с помощью первой производной

1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).

3. Найти критические точки первого рода.

4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.

5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x 3 - 3x 2 .

Решение . В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критические точки первого рода.

Производная при переходе чрез точку x = 0

меняет знак с (+) на (-), следовательно это точка

Максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с (-) на (+), следовательно это точка минимума.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Координаты максимума (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Координаты минимума (2; -4).

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума) . Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 , причем , то в точке x 0 функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если .

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью второй производной

1. Найти область определения D(f) функции y = f(x).

2. Вычислить первую производную

Рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала .

Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости часто будем говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, в разделе присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешностей вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах.

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с нахождения производной в точке и с нахождения дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать возможности MS Excel, но в данном случае он менее удобен.

Урок состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала значения функции одной переменной в точке.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала значения функции двух переменных в точке.

Рассматриваемое задание тесно связано с понятием дифференциала, но, поскольку урока о смысле производной и дифференциала у нас пока нет, ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через y или через f (x ). Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: .

Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:

– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве x 0 подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение x 0 должно быть как можно ближе к 67.

В данном случае x 0 = 64. Действительно, .

Примечание: Когда с подбором x 0 всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор x 0 = 64.

Если x 0 = 64, то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке x 0 = 64. Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:

– эту формулу тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке x 0:

.

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению 4,06154810045, вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за x 0 , а какое – за Δx . Следует отметить, что Δx в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из одного из институтов году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физфаке, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =).

Пример 3

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке x = 1,97. Вычислить более точное значение функции в точке x = 1,97 с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически, это задание запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:

В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать f (x ).

Значение x = 1,97 необходимо представить в виде x 0 = Δx . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается x 0 = 2. И, следовательно: .

Вычислим значение функции в точке x 0 = 2:

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке x 0 = 2:

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная погрешность

Определение

Величина абсолютной разности между точным и приближенным u0 значением величины называется абсолютной погрешностью приближенной величины u0. Абсолютную погрешность обозначают $\Delta $u:

$\Delta u = |u - u0| $

Чаще всего точное значение u, а следовательно, и абсолютная погрешность $\Delta $u неизвестны. Поэтому вводят понятие границы абсолютной погрешности.

Граница погрешности приближенной величины

Определение

Любое положительное число больше либо равное абсолютной погрешности является границей погрешности приближенной величины:

\[|u-u_{0} |=\Delta _{u} \le \overline{\Delta _{u} }\]

Значит, точное значение величины содержится между $u_{0} -\overline{\Delta _{u} }$ и $u_{0} +\overline{\Delta _{u} }$

Если граница абсолютной погрешности при нахождении некоторой величины u равна $\overline{\Delta _{u} }$, то говорят, что величина u найдена с точностью $\overline{\Delta _{u} }$.

Относительная погрешность и ее граница

Определение

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности $\Delta $u к модулю приближенного значения u0 измеряемой величины.

Обозначая относительную погрешность символом $\delta $u, получим

\[\delta _{u} =\frac{\Delta _{u} }{\left|u_{0} \right|} \]

Определение

Границей относительной погрешности называется отношение границы абсолютной погрешности, к модулю приближенного значения измеряемой величины:

\[\overline{\delta _{u} }=\frac{\overline{\Delta _{u} }}{\left|u_{0} \right|} \]

$\delta _{u} $ и $\overline{\delta _{u} }$ часто выражают в процентах.

Дифференциал функции

Дифференциал функции обозначается dy и имеет запись вида:

dy = f "(x) $\Delta $х

В ряде случаев, вычисление приращения функции заменяется вычислением дифференциала функции с некоторым приближением. Дифференциал функции вычисляется проще, т.к. требует нахождения лишь ее производной для расчета произведения с независимой переменной:

\[\Delta y\approx dy\]

Поскольку

\[\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\] \

Наращенное значение функции имеет вид:

С помощью этой приближенной формулы можно находить приближенное значение функции в точке $x + \Delta х$, близкой к х по известному значению функции.

Для приближенных вычислений используется формула:

\[(1+\Delta x)^{n} \approx 1+n\Delta x\]

Например:

1. Приближенно вычислить $(1,02)^3$

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1+0,02\cdot 3\]

Где $\Delta $х = 0,03, n = 5

\[(1,02)^{3} \approx 1,06\]

2. Приближенно вычислить $\sqrt{1,005} $

Где $\Delta $х = 0,005, n =0,5

\[\sqrt{1,005} \approx 1+0,5\cdot 0,005\] \[\sqrt{1,005} \approx 1,0025\]

Пример 1

Приближенно рассчитать увеличение объема цилиндра с высотой H = 40см. и радиусом основания R = 30см при увеличении радиуса основания на 0,5 см.

Решение. Объем цилиндра V при постоянной высоте H и переменном радиусе основания R это функция вида:

Запишем приращение функции:

\ \[\Delta V\approx 2\pi HR\cdot \Delta R\]

Заменим известные величины

\[\Delta V\approx 2\pi \cdot 40\cdot 30\cdot 0,5=1200\pi \approx 3770 см^{3} \]

Пример 2

Прямым измерением найдено, что диаметр круга равен 5,2 см, причем максимальная погрешность измерения составляет 0,01. Найти приближенную относительную и процентную погрешности в вычисленной площади этого круга.

Относительная погрешность вычисления площади находится по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{\Delta s}{s} \]

Приближенное значение получается в следствие замены $\Delta $s на ds. Поэтому приближенный расчет будет производиться по формуле:

\[\delta _{s} =\frac{ds}{s} \]

Поскольку площадь круга с радиусом х равна:

\ \

Таким образом,

\[\delta _{s} =\frac{\frac{1}{2} \pi xdx}{\frac{1}{4} \pi x^{2} } =2\frac{dx}{x} \]

Заменим х и dx числовыми значениями

\[\delta _{s} =2\frac{0,01}{5,2} \approx 0,004\]

(что составляет погрешность 4%)

23. Понятие дифференциала функции. Свойства. Применение дифференциала в приближенн ых вычислениях .

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ"(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ"(х) ∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

dy=ƒ"(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Дифференциал обладает следующими основными свойствами.

1. d(с )=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(с u)= с d(u).

4. .

5. y = f (z ), , ,

Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной функции на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

24. Первообразная функция и неопределенн ый интеграл .

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Функция F (х ) называется первообразной функцией для данной функции f (х ) (или, короче, первообразной данной функции f (х )) на данном промежутке, если на этом промежутке . Пример . Функция является первообразной функции на всей числовой оси, так как при любом х . Отметим, что вместе с функцией первообразной для является любая функция вида , где С - произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю). Это свойство имеет место и в общем случае.

Теорема 1 . Если и - две первообразные для функции f (х ) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F (х ) данной функции f (х ), то все множество первообразных для f (х ) исчерпывается функциями F (х ) + С . Выражение F (х ) + С , где F (х ) - первообразная функции f (х ) и С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х ) и обозначается символом , причем f (х ) называется подынтегральной функцией ; - подынтегральным выражением , х - переменной интегрирования ; ∫ - знак неопределенного интеграла . Таким образом, по определению если . Возникает вопрос: для всякой ли функции f (х ) существует первообразная, а значит, и неопределенный интеграл? Теорема 2 . Если функция f (х ) непрерывна на [a ; b ], то на этом отрезке для функции f (х ) существует первообразная . Ниже мы будем говорить о первообразных лишь для непрерывных функций. Поэтому рассматриваемые нами далее в этом параграфе интегралы существуют.

25. Свойства неопределенного и нтеграла. Интеграл ы от основных элементарных функций .

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x , F - первообразная функции f , а, k, C - постоянные величины.







Интегралы элементарных функций

Список интегралов от рациональных функций

(первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

Список интегралов от логарифмических функций

Список интегралов от экспоненциальных функций

Список интегралов от иррациональных функций

(«длинный логарифм»)

список интегралов от тригонометрических функций , список интегралов от обратных тригонометрических функций

26. Метод замен ы переменной , метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле .

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где - функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям - применение следующей формулы для интегрирования:

В частности, с помощью n -кратного применения этой формулы находится интеграл

где - многочлен -й степени.

30. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.

Основные свойства определенного інтеграла

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция f (x ) непрерывна на замкнутом интервале [a, b ]. Если F (x ) - первообразная функции f (x ) на[a, b ], то

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

Пример.

Вычислить приближенное значение
.

Рассмотрим функцию
и выберемх 0 = 1, у 0 = 2. Тогда Δх = 1,02 – 1 = 0,02; Δу = 1,97 – 2 = -0,03. Найдем
,

Следовательно, учитывая, что f ( 1, 2) = 3, получим:

Дифференцирование сложных функций.

Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки

z = f (x(u, v), y(u, v)). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда

Если же задать приращение только аргументу v , получим: . (2.8)

Разделим обе части равенства (2.7) на Δu , а равенства (2.8) – на Δv и перейдем к пределу соответственно при Δu → 0 и Δv → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (2.9) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для :

(2.10)

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f является функцией одной переменной х. Используя формулу (2.10) при t = x и учитывая, что
, получим, что

. (2.11)

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

Тогда из формулы (2.9) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .

Инвариантность формы дифференциала.

Воспользовавшись формулами (2.5) и (2.9), выразим полный дифференциал функции z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :

(2.12)

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.

Определение 3.1. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x, y) = 0 , (3.1)

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (3.1) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х :
для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 3.1 (без доказательства). Пусть:

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (3.1) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функция f (x ) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .

Теорема 3.2. Пусть функция у от х задается неявно уравнением (3.1), где функция F (x , y ) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Пусть, кроме того,
- непрерывные функции в некоторой областиD , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (3.1), причем в этой точке
. Тогда функцияу от х имеет производную

(3.2)

Пример. Найдем , если
. Найдем
,
.

Тогда из формулы (3.2) получаем:
.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение 3.2. Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,
). Докажем это утверждение.

Теорема 3.3. Если функция z = f (x , y ) и ее частные производные
определены и непрерывны в точкеМ (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(3.3)

Следствие . Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.