§6. Неоднородная система линейных уравнений
Если в системе линейных уравнений (7.1) хотя бы один из свободных членов в i отличен от нуля, то такая система называется неоднородной.
Пусть задана неоднородная система линейных уравнений, которую в векторной форме можно представить в виде
, i = 1,2,.. .,к , (7.13)
Рассмотрим соответствующую однородную систему
i
=
1,2,...
,к
.
(7.14)
Пусть
вектор
является решением неоднородной системы
(7.13), а вектор
является решением однородной системы
(7.14). Тогда, легко видеть, что вектор
также является решением неоднородной
системы (7.13). Действительно
Теперь, используя формулу (7.12) общего решения однородного уравнения, имеем
где
любые числа изR
,
а
– фундаментальные решения однородной
системы.
Таким образом, решение неоднородной системы есть совокупность ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.
Решение (7.15) называется общим решением неоднородной системы линейных уравнений. Из (7.15) следует, что совместная неоднородная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг r (A ) основной матрицы А совпадает с числом n неизвестных системы (система Крамера), если же r (A ) n , то система имеет бесчисленное множество решений и эта совокупность решений эквивалентна подпространству решений соответствующей однородной системы уравнений размерности n – r .
Примеры.
1. Пусть дана неоднородная система уравнений, в которой число уравнений к = 3, а число неизвестных n = 4.
х 1 – х 2 + х 3 –2х 4 = 1,
х 1 – х 2 + 2х 3 – х 4 = 2,
5х 1 – 5х 2 + 8х 3 – 7х 4 = 3.
Определим ранги основной матрицы А и расширенной А * данной системы. Поскольку А и А * не нулевые матрицы и к = 3 n , поэтому 1 r (A ), r * (А * ) 3. Рассмотрим миноры второго порядка матриц А и А * :
Таким образом, среди миноров второго порядка матриц А и А * есть минор отличный от нуля, поэтому 2 r (A ), r * (A * ) 3. Теперь рассмотрим миноры третьего порядка
,
так как первый и второй столбец
пропорциональны. Аналогично и для минора
.
И так все миноры третьего порядка основной матрицы А равны нулю, следовательно, r (A ) = 2. Для расширенной матрицы А * еще имеются миноры третьего порядка
Следовательно, среди миноров третьего порядка расширенной матрицы А * есть минор отличный от нуля, поэтому r * (A * ) = 3. Это означает, что r (A ) r * (A * ) и тогда, на основании теоремы Корнекера – Капелли, делаем вывод, что данная система несовместна.
2. Решить систему уравнений
3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 = 1,
3х 1 + 2х 2 – х 3 – 2х 4 = 2.
Для
данной системы
и поэтому 1
r
(A
),
r
*
(A
*
)
2. Рассмотрим для матриц A
и A
*
миноры второго порядка
Таким образом, r (A ) = r * (A * ) = 2, и, следовательно, система совместна. В качестве базовых выберем любые две переменные, для которых минор второго порядка, составленный из коэффициентов у этих переменных не равен нулю. Такими переменными могут быть, например,
х
3
и х
4 ,
так как
Тогда имеем
х 3 + х 4 = 1 – 3х 1 – 2х 2 ,
– х 3 – 2х 4 = 2 – 3х 1 – 2х 2 .
Определим
частное решение
неоднородной системы. Для этого положимх
1
= х
2
= 0.
х 3 + х 4 = 1,
– х 3 – 2х 4 = 2.
Решение
этой системы: х
3
= 4, х
4
= – 3, следовательно,
=
(0,0,4, –3).
Теперь определим общее решение соответствующего однородного уравнения
х 3 + х 4 = – 3х 1 – 2х 2 ,
–х 3 – 2х 4 = – 3х 1 – 2х 2 .
Положим: х 1 = 1, х 2 = 0
х 3 + х 4 = –3,
–х 3 – 2х 4 = –3.
Решение этой системы х 3 = –9, х 4 = 6.
Таким
образом
Теперь положим х 1 = 0, х 2 = 1
х 3 + х 4 = –2,
–х 3 – 2х 4 = –2.
Решение:
х
3
= – 6, х
4
= 4, и тогда
После
того как определены частное решение
,
неоднородного уравнения и фундаментальные
решения
и
соответствующего однородного уравнения,
записываем общее решение неоднородного
уравнения.
где
любые числа изR
.
Внутренняя неоднородность систем: различимость частей. Если заглянуть внутрь "черного ящика", то выяснится, что система не однородна, не монолитна: можно обнаружить, что разные качества в разных местах отличаются. Описание внутренней неоднородности системы сводится к обособлению относительно однородных участков, проведению границ между ними. Так появляется понятие о частях системы. При более детальном рассмотрении оказывается, что выделенные крупные части тоже не однородны, что требует выделять еще более мелкие части. В результате получается иерархический список частей системы, который мы будем называть моделью состава системы.
Информация о составе системы может использоваться для работы с системой. Цели взаимодействия с системами могут быть различными, в связи с чем могут различаться и модели состава одной и той же системы. Полезную, пригодную для работы модель создать непросто.
Трудности построения модели состава
На первый взгляд части системы различить нетрудно, они "бросаются в глаза". Некоторые системы дифференцируются на части самопроизвольно в процессе естественного роста и развития (организмы, социумы, планетные системы, молекулы, месторождения полезных ископаемых и т.д.). Искусственные системы заведомо собираются из ранее отдельных частей (механизмы, здания, тексты, мелодии и пр.). Есть и смешанные типы систем (заповедники, сельскохозяйственные системы, природоисследующие организации, тягловый транспорт).
С другой стороны, спросите, из каких частей состоит университет у ректора, студента, бухгалтера, хозяйственника, - и каждый выдаст свою, отличную от других модель состава. Так же по-разному определят состав самолета летчик, стюардесса, пассажир. Можно сказать, что тело состоит из правой и левой половинок, а можно - из верхней и нижней. Так из чего же оно состоит "на самом деле"?
Трудности построения модели состава, которые каждому приходится преодолевать, можно представить тремя положениями.
1. Целое можно делить на части по-разному
Целое можно делить на части по-разному (как разрезать булку хлеба на ломти разного размера и формы). А как именно надо? Ответ: так, как вам надо для достижения вашей цели. Например, со-став автомобиля по-разному представляют начинающим автолюбителям, будущим профессионалам-водителям, слесарям, готовящимся к работе в авторемонтных мастерских, продавцам в автомагазинах.
Тогда естественно вернуться к вопросу: а существуют ли части "на самом деле"? Обратите внимание на аккуратную формулировку рассматриваемого свойства: различимость частей, а не разделимость на части. Мы с еще одной стороны вышли на проблему целостности систем: можно различать нужные вам для вашей цели части системы и использовать доступную вам информацию о них, но не следует разделять их. Позднее мы углубим, разовьем это положение.
2. Количество частей в модели состава
Количество частей в модели состава зависит и от того, на каком уровне остановить дробление системы. Части на конечных ветвях получающегося иерархического дерева называются элементами. В различных обстоятельствах прекращение декомпозиции производится на разных уровнях. Например, при описании предстоящих работ приходится давать опытному работнику и новичку инструкции разной степени подробности. Таким образом, модель состава зависит от того, что считать элементарным, а поскольку это слово оценочное, то это не абсолютное, а относительное понятие. Однако встречаются случаи, когда элемент носит природный, абсолютный характер (клетка - простейший элемент живого организма; индивид - последний элемент общества, фонемы - мельчайшие части устной речи) либо определяется нашими возможностями (например, можно предполагать, что электрон тоже из чего-то состоит, но пока физики не смогли обнаружить его части с дробным зарядом).
3. Внешняя граница системы
Любая система является частью какой-то большей системы (а нередко частью сразу нескольких систем). А эту метасистему тоже можно делить на подсистемы по-разному. Это означает, что внешняя граница системы имеет относительный, условный характер. Даже "очевидная" граница системы (кожа человека, ограда предприятия и т.п.) при определенных условиях оказывается недостаточной для определения границы в этих условиях. Например, во время трапезы я беру вилкой с тарелки котлету, откусываю ее, пережевываю, глотаю, перевариваю. Где та граница, пересекая которую котлета становится моей частью? Другой пример с границей предприятия. Работник упал на лестнице и сломал ногу. После лечения при оплате бюллетеня возникает вопрос: какая это была травма - бытовая или производственная (они оплачиваются по-разному)? Нет сомнения, если это была лестница пред¬приятия. Но если это была лестница дома, где живет работник, то все зависит от того, как он шел домой. Если прямо с работы и еще не дошел до двери квартиры, травма считается производственной. Но если он по дороге зашел в магазин или кинотеатр - травма бытовая. Как видим, закон определяет пределы предприятия условно.
Условность границ системы опять возвращает нас к проблеме целостности, теперь уже целостности всего мира. Определение границы системы производится с учетом целей субъекта, который будет использовать модели системы.
Тарасенко Ф.П. Прикладной системный анализ (наука и искусство решения проблем): Учебник. - Томск; Издательство Томского университета, 2004. ISBN 5-7511-1838-3
Термин «система» употребляется в различных науках. Соответственно, разных ситуациях применяются различные определения системы: от философских до формальных. Для целей курса лучше всего подходит следующее определение: система – совокупность элементов, объединённых связями и функционирующих совместно для достижения цели.
Системы характеризуются рядом свойств, основные из которых делятся на три группы: статические, динамические и синтетические.
1.1 Статические свойства систем
Статическими свойствами называются особенности некоторого состояния системы. Это то чем обладает система в любой фиксированный момент времени.Целостность. Всякая система выступает как нечто единое, целое, обособленное, отличающееся от всего остального. Это свойство называется целостностью системы. Оно позволяет разделить весь мир на две части: систему и окружающую среду.
Открытость. Выделяемая, отличаемая от всего остального система не изолирована от окружающей среды. Наоборот, они связаны и обмениваются различными видами ресурсов (веществом, энергией, информацией и т.д.). Эта особенность обозначается термином «открытость».
Связи системы со средой носят направленный характер: по одним среда влияет на систему (входы системы), по другим система оказывает влияние на среду, что-то делает в среде, что-то выдаёт в среду (выходы системы). Описание входов и выходов системы называется моделью чёрного ящика. В такой модели отсутствует информация о внутренних особенностях системы. Несмотря на кажущуюся простоту, такой модели зачастую вполне достаточно для работы с системой.
Во многих случаях при управлении техникой или людьми информация только о входах и выходах системы позволяет успешно достигать цели. Однако для этого модель должна отвечать определённым требованиям. Например, пользователь может испытывать затруднения, если не будет знать, что в некоторых моделях телевизоров кнопку включения нужно не нажимать, а вытягивать. Поэтому для успешного управления модель должна содержать всю информацию, необходимую для достижения цели. При попытке удовлетворить это требование может возникнуть четыре типа ошибок, которые проистекают из того, что модель всегда содержит конечное число связей, тогда как у реальной системы количество связей неограниченно.
Ошибка первого рода возникает в том случае, когда субъект ошибочно рассматривает связь как существенную и принимает решение о её включении в модель. Это приводит к появлению в модели лишних, ненужных элементов. Ошибка второго рода, напротив, совершается тогда, когда принимается решение об исключении из модели якобы несущественной связи, без которой, на самом деле, достижение цели затруднено или вообще невозможно.
Ответ на вопрос о том, какая из ошибок хуже, зависит от контекста, в котором он задаётся. Понятно, что использование модели, содержащей ошибку, неизбежно ведёт к потерям. Потери могут быть небольшими, приемлемыми, нетерпимыми и недопустимыми. Урон, наносимый ошибкой первого рода связан с тем , что информация, внесённая ею, лишняя. При работе с такой моделью придётся тратить ресурсы на фиксацию и обработку лишней информации, например, тратить на неё память ЭВМ и время обработки. На качестве решения это, возможно, и не скажется, а на стоимости и своевременности скажется обязательно. Потери от ошибки второго рода – урон от того, что информации для полного достижения цели не хватит, цель не может быть достигнута в полной мере.
Теперь ясно, что хуже та ошибка, потери от которой больше, а это зависит от конкретных обстоятельств. Например, если время является критическим фактором, то ошибка первого рода становится гораздо более опасной, чем ошибка второго рода: вовремя принятое, пусть не наилучшее, решение предпочтительнее оптимального, но запоздавшего.
Ошибкой третьего рода принято считать последствия незнания. Для того, чтобы оценивать существенность некоторой связи, нужно знать, что она вообще есть. Если это не известно, то вопрос о включении связи в модель вообще не стоит. В том случае, если такая связь несущественна, то на практике её наличие в реальности и отсутствие в модели будет незаметно. Если же связь существенна, то возникнут трудности, аналогичные трудностям при ошибке второго рода. Разница состоит в том, что ошибку третьего рода сложнее исправить: для этого необходимо добывать новые знания.
Ошибка четвёртого рода возникает при ошибочном отнесении известной существенной связи к числу входов или выходов системы. Например, точно установлено, что в Англии 19-го века здоровье мужчин, носящих цилиндры, значительно превосходило здоровье мужчин, носящих кепки. Навряд ли из этого следует, что вид головного убора можно рассматривать как вход для системы прогнозирования состояния здоровья.
Внутренняя неоднородность систем, раличимость частей. Если заглянуть внутрь «чёрного ящика», то выяснится, что система неоднородна, не монолитна. Можно обнаружить , что различные качества в разных частях системы отличаются. Описание внутренней неоднородности системы сводится к обособлению относительно однородных участков, проведению границ между ними. Так появляется понятие о частях системы. При более детальном рассмотрении оказывается, что выделенные крупные части тоже неоднородны, что требует выделять ещё более мелкие части. В результате получается иерархическое описание частей системы, которое называется моделью состава.
Информация о составе системы может использоваться для работы с системой. Цели взаимодействия с системой могут быть различными, в связи с чем могут различаться и модели состава одной и той же системы. На первый взгляд различить части системы нетрудно, они «бросаются в глаза». В некоторых системах части возникают произвольно, в процессе естественного роста и развития (организмы, социумы и т.д.). Искусственные системы заведомо собираются из заранее известных частей (механизмы, здания и т.д.). Есть и смешанные типы систем, такие как заповедники, сельскохозяйственные системы. С другой стороны, с точки зрения ректора, студента, бухгалтера и хозяйственника университет состоит из разных частей. Самолёт состоит из разных частей с точки зрения пилота, стюардессы, пассажира. Трудности создания модели состава можно представить тремя положениями.
Во-первых, целое можно делить на часть по-разному. При этом способ деления определяется поставленной целью. Например, состав автомобиля по разному представляют начинающим автолюбителям, будущим профессиональным водителям, слесарям, готовящимся к работе в автосервисе, продавцам в автомагазинах. Естественно задать вопрос о том, существуют ли части системы «на самом деле»? Ответ содержится в формулировке рассматриваемого свойства: речь идёт о различимости, а не о разделимости частей. Можно различать нужные для достижения цели части системы, но нельзя разделять их.
Во-вторых, количество частей в модели состава зависит и от того, на каком уровне остановить дробление системы. Части на конечных ветвях получающегося иерархического дерева называются элементами. В различных обстоятельствах прекращение декомпозиции производится на разных уровнях. Например, при описании предстоящих работ приходится давать опытному работнику и новичку инструкции разной степени подробности. Таким образом, модель состава зависит от того, что считать элементарным. Встречаются случаи, когда элемент имеет природный, абсолютный характер (клетка, индивид, фонема, электрон).
В-третьих, любая система является частью большей системы, а иногда и нескольких систем сразу. Такую метасистему также можно делить на подсистемы по-разному. Это означает, что внешняя граница системы имеет относительный , условный характер. Определение границ системы производится с учётом целей субъекта, который будет использовать модель системы.
Структурированность. Свойство структурированности заключается в том, что части системы не изолированы, не независимы друг от друга; они связаны между собой, взаимодействуют друг с другом. При этом свойства системы существенно зависят от того, как именно взаимодействуют её части. Поэтому так частот важна информация о связях элементов системы. Перечень существенных связей между элементами системы называется моделью структуры системы. Наделённость любой системы определённой структурой и называется структурированностью.
Понятие структурированности дальше углубляет представление о целостности системы: связи как бы скрепляют части, удерживают их как целое. Целотность, отмеченная ранее как внешнее свойство, получает подкрепляющее объяснение изнутри системы – через структуру.
При построении модели структуры также встречаются определённые трудности. Первая из них связана с тем, что модель структуры определяется после того, как выбирается модель состава, и зависит от того, каков именно состав системы. Но даже при фиксированном составе модель структуры вариабельно. Связано это с возможностью по-разному определить существенность связей. Например, современному менеджеру рекомендуется наряду с формальной структурой его организации учитывать существование неформальных отношений между работниками, которые тоже влияют на функционирование организации. Вторая трудность проистекает из того, что каждый элемент системы, в свою очередь, представляет собой «маленький чёрный ящичек». Так что все четыре типа ошибок возможны при определении входов и выходов каждого элемента, включаемого в модель структуры.
1.2 ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
Если рассмотреть состояние системы в новый момент времени, то вновь можно обнаружить все четыре статических свойства. Но если наложить «фотографии» системы в разные моменты времени друг на друга, то обнаружится, что они отличаются в деталях: за время между двумя моментами наблюдения произошли какие-то изменения в системе и её окружении. Такие изменения могут быть важными при работе с системой, и, следовательно, должны быть отображены в описаниях системы и учтены при работе с нею. Особенности изменений со временем внутри системы и вне её и называются динамическими свойствами системы. Обычно различаются четыре динамических свойства системы.Функциональность. Процессы Y (t ), происходящие на выходах системы, рассматриваются как её функции. Функции системы – это её поведение во внешней среде, результаты её деятельности, продукция, производимая системой.
Из множественности выходов вытекает множественность функций, каждая из которых может быть кем-то и для чего-то использована. Поэтому одна и та же система может служить для разных целей. Субъект, использующий систему в своих целях , будет, естественно, оценивать её функции и упорядочивать их по отношению к своим потребностям. Так появляются понятия главной, второстепенной, нейтральной, нежелательной, лишней функции и т.д.
Стимулируемость. На входах системы также происходят определённые процессы X (t ), воздействующие на систему и превращающиеся после ряда преобразований в системе в Y (t ). Воздействия X (t ) называются стимулами, а сама подверженность любой системы воздействием извне и изменение её поведения под этими воздействиями – стимулируемостью.
Изменчивость системы со временем. В любой системе происходят изменения, которые необходимо учитывать. В терминах модели системы можно сказать, что изменяться могут значения внутренних переменных (параметров) Z (t ), состав и структура системы и любые их комбинации. Характер этих изменений тоже может быть различным. Поэтому могут рассматриваться дальнейшие классификации изменений.
Самая очевидная классификация – по скорости изменений (медленные, быстрые. Скорость изменений измеряется относительно какой-либо скорости, взятой за стандарт. Возможно введение большого количества градаций скоростей. Возможна также классификация тенденций перемен в системе, касающихся её структуры и состава.
Можно говорить о таких изменениях, которые не затрагивают структуры системы: одни элементы заменяются другим, эквивалентными; параметры Z (t ) могут меняться без изменения структуры. Такой тип динамики системы называют её функционированием. Изменения могут носить количественный характер: происходит наращивание состава системы, и хотя при этом автоматически меняется и её структура, это до некоторого момента не сказывается на свойствах системы (например, расширение мусорной свалки). Такие изменения называются ростом системы. При качественных изменениях системы происходит изменение её существенных свойств. Если такие изменения идут в позитивном направлении, они называются развитием. С теми же ресурсами развитая система добивается более высоких результатов, могут появиться новые позитивные качества (функции). Это связано с повышением уровня системности, организованности системы.
Рост происходит в основном за счёт потребления материальных ресурсов, развитие – за счёт усвоения и использования информации. Рост и развитие могут идти одновременно, но не обязательно они связаны между собой. Рост всегда ограничен (в силу ограниченности материальных ресурсов), а развитие извне не ограничено, поскольку информация о внешней среде неисчерпаема. Развитие есть результат обучения, однако обучение нельзя осуществить вместо обучаемого. Поэтому существует внутреннее ограничение на развитие. Если система «не желает» обучаться, она не сможет и не будет развиваться.
Кроме процессов роста и развития в системе могут происходить и обратные процессы. Обратные росту изменения называют спадом, сокращением, уменьшением. Обратное развитию изменение называют деградацией, утратой или ослаблением полезных свойств.
Рассмотренные изменения являются монотонными, то есть они направлены «в одну сторону». Очевидно, что монотонные изменения не могут длиться вечно. В истории любой системы можно выделить периоды спада и подъёма, стабильности и неустойчивости, последовательность которых образует индивидуальный жизненный цикл системы.
Можно использовать и другие классификации процессов , происходящих в системе: по предсказуемости процессы делятся на случайные и детерминированные; по типу зависимости от времени процессы делятся на монотонные, периодические, гармонические, импульсные и т.д.
Существование в изменяющейся среде. Изменяется не только данная система, но и все остальные. Для рассматриваемой системы это выглядит как непрерывное изменение окружающей среды. Это обстоятельство имеет множество последствий для самой системы, которая должна приспосабливаться к новым условиям для того, чтобы не погибнуть. При рассмотрении конкретной системы обычно уделяют внимание особенностям той или иной реакции системы, например, скорости реакции. Если рассматривать системы, хранящие информацию (книги, магнитные носители), то скорость реакции на изменения внешней среды должна быть минимальной для обеспечения сохранения информации. С другой стороны, скорость реакции системы управления должна во много раз превосходить скорость изменения окружающей среды, так как система должна выбрать управляющее воздействие ещё до того, как состояние окружающей среды необратимо изменится.
1.3 СИНТЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
К синтетическим свойствам относятся обобщающие, интегральные, собирательные свойства, описывающие взаимодействия системы со средой и учитывающие целостность в самом общем понимании.Эмерджентность.
Объединение элементов в систему приводит к появлению качественно новых свойств, не выводящихся из свойств частей, присущих только самой системе и существующих только до тех пор, пока система составляет одно целое. Подобные качества системы называются
эмерджентными (от англ. «возникать»).
Примеры эмерджентных свойств можно найти в различных областях. Например, ни одна из частей самолёта летать не может, а самолёт, тем не менее, летает. Свойства воды, многие из которых до конца не изучены, не вытекают из свойств водорода и кислорода.
Пусть имеются два чёрных ящика, каждый из которых обладает одним входом, одним выходом и производит одну операцию - к числу на входе прибавляет единицу. При соединении таких элементов по схеме, приведённой на рисунке, получим систему без входов, но с двумя выходами. На каждом такте работы система будет выдавать большее число, при этом на одном входе будут появляться только чётные, а на другом – только нечётные числа.
 |
|
| а | б |
| Рис.1.1. Соединение элементов системы: а) система с двумя выходами; б) параллельное соединение элементов |
|
Эмерджентные свойства системы определяются её структурой. Это значит, что при различных соединениях элементов будут возникать различные эмерджентные свойства. Например, если соединить элементы параллельно, то функционально новая система не будет отличаться от одного элемента. Эмерджентность проявится в повышении надёжности системы за счёт параллельного соединения двух одинаковых элементов – то есть за счёт избыточности.
Следует отметить важный случай, когда элементы системы обладают всеми её свойствами. Такая ситуация характерна для фрактального построения системы. При этом принципы структурирования частей те же, что и у системы в целом. Примером фрактальной системы может служить организация, в которой управление построено тождественно на всех уровнях иерархии.
Неразделимость на части. Это свойство является, фактически, следствием эмерджентности. Оно подчёркивается особо из-за того, что его практическая важность велика, а недооценка встречается очень часто.
При изъятии из системы части происходит два важных события. Во-первых, при этом изменяется состав системы, а значит и её структура. Это будет уже другая система с отличающимися свойствами. Во-вторых, элемент, изъятый из системы, будет вести себя по другому в силу того, что изменится его окружение. Всё это говорит о том, при рассмотрении элемента отдельно от остальной системы следует соблюдать осторожность.
Ингерентность. Систем тем более ингерентна (от англ. inherent – «являющийся частью чего-либо»), чем лучше она согласована, приспособлена к окружающей среде, совместима с нею. Степень ингерентности бывает разной и может изменяться. Целесообразность рассмотрения ингерентности как одного из свойств системы связана с тем, что от неё зависят степень и качество осуществления системой избранной функции. В естественных системах ингерентность повышается путём естественного отбора. В искусственных системах ингерентность должна быть особой заботой конструктора.
В ряде случаев ингерентность обеспечивается с помощью промежуточных, посреднических систем. В качестве примеров можно привести адаптеры для использования зарубежных электроприборов совместно с розетками советского образца; промежуточное программное обеспечение (например, служба COM в Windows), позволяющая двум программам разных производителей обмениваться данными между собой.
Целесообразность. В создаваемых человеком системах подчинённость и структуры, и состава достижению поставленной цели настолько очевидна, что может быть признана фундаментальным свойством любой искусственной системы. Это свойство называется целесообразностью. Цель, ради которой создаётся система, определяет, какое эмерджентное свойство будет обеспечивать достижение цели, а это, в свою очередь, диктует выбор структуры и состава системы. Для того, чтобы распространить понятие целесообразности и на естественные системы, необходимо уточнить понятие цели. Уточнение проводится на примере искусственной системы.
История любой искусственной системы начинается в некоторый момент времени 0, когда существующее значение вектора состояния Y 0 оказывается неудовлетворительным, то есть возникает проблемная ситуация. Субъект недоволен этим состоянием и хотел бы его изменить. Пусть его удовлетворило бы значения вектора состояния Y*. Это есть первое определение цели. Далее обнаруживается, что Y* не существует сейчас и не может в силу ряда причин быть достигнутым в ближайшем будущем. Второй шаг в определении цели состоит в признании её желательным будущим состоянием. Тут же выясняется, что будущее не ограничено. Третий шаг в уточнении понятия цели состоит в оценке времени T*, когда желаемое состояние Y* может быть достигнуто в заданных условиях. Теперь цель становится двумерной, это точка (T*, Y*) на графике. Задача состоит в том, чтобы перейти из точки (0, Y 0) в точку (T*, Y*). Но оказывается, что пройти этот путь можно по разным траекториям , а реализована может быть только одна из них. Пусть выбор выпал на траекторию Y*(t
). Таким образом, под целью теперь понимается не только конечное состояние (T*, Y*), но и вся траектория Y*(t
) («промежуточные цели», «план»). Итак, цель есть желаемые будущие состояния Y*(t
).
По прошествии времени T* состояние Y* становится реальным. Поэтому появляется возможность определить цель как будущее реальное состояние. Это даёт возможность сказать, что свойством целесообразности обладают и естественные системы, что позволяет с единых позиций подходить к описанию систем любой природы. Основное же различие между естественными и искусственными системами состоит в том, что естественные системы, подчиняясь законам природы, реализуют объективные цели, а искусственные системы создаются для реализации субъективных целей.
2.4.1. Определение. Пусть дана неоднородная система линейных уравнений
Рассмотрим однородную систему
у которой матрица коэффициентов совпадает с матрицей коэффициентов системы (2.4.1). Тогда система (2.4.2) называется приведённой однородной системы (2.4.1).
2.4.2. Теорема. Общее решение неоднородной системы равно сумме некоторого частного решения неоднородной системы и общего решения приведённой однородной .
Таким образом, для нахождения общего решения неоднородной системы (2.4.1) достаточно:
1) Исследовать её на совместность. В случае совместности:
2) Найти общее решение приведённой однородной этой системы.
3) Найти какое-либо частное решение исходной (неоднородной).
4) Сложив найденные частное решение и общее решения приведённой, найти общее решение исходной системы.
2.4.3. Упражнение. Исследовать систему на совместность и в случае совместности найти её общее решение в виде суммы частного и общего приведённого.
Решение. а) Для решения задачи применяем вышеуказанную схему:
1) Исследуем систему на совместность (методом окаймления миноров): Ранг основной матрицы равен 3 (см. решение упр. 2.2.5, а), причём ненулевой минор максимального порядка составлен из элементов 1-й, 2-й, 4-й строк и 1-го, 3-го, 4-го столбцов. Для нахождения ранга расширенной матрицы окаймляем его 3-ей строкой и 6-м столбцом расширенной матрицы: =0. Значит, rgA =rg =3, и система совместна. В частности, она равносильна системе
2) Найдём общее решение X 0 приведённой однородной этой системы
X 0 ={(-2a - b ; a ; b ; b ; b ) | a , b ÎR }
(см. решение упр. 2.2.5, а)).
3) Найдём какое-либо частное решение x ч исходной системы . Для этого в системе (2.4.3), равносильной исходной, свободные неизвестные x 2 и x 5 полагаем равными, например, нулю (это наиболее удобные данные):
и решаем полученную систему: x 1 =- , x 3 =- , x 4 =-5. Таким образом, (- ; 0; - ; -5; 0) ¾ частное решение системы.
4) Находим общее решение X н исходной системы :
X н ={x ч }+X 0 ={(- ; 0; - ; -5; 0)} + {(-2a - b ; a ; b ; b ; b )}=
={(- -2a - b ; a ; - + b ; -5+b ; b )}.
Замечание. Сравните полученный ответ со вторым ответом в примере 1.2.1 в). Для получения ответа в первом виде для 1.2.1 в) в качестве базисных неизвестных берутся x 1 , x 3 , x 5 (минор при которых тоже не равен нулю), а в качестве свободных ¾ x 2 и x 4 .
§3. Некоторые приложения.
3.1. К вопросу о матричных уравнениях. Напоминаем, что матричным уравнением над полем F называется уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает некоторая матрица над полем F .
Простейшими матричными уравнениями являются уравнения вида
AX =B , XA =B (2.5.1)
где A , B ¾ данные (известные) матрицы над полем F , а X ¾ такие матрицы, при подстановке которых уравнения (2.5.1) обращаются в верные матричные равенства. В частности, матричный метод определённых систем сводится к решению матричного уравнения.
В случае, когда матрицы A в уравнениях (2.5.1) невырожденны, они имеют решения соответственно X =A B и X =BA .
В случае, когда хотя бы одна из матриц в левой части уравнений (2.5.1) является вырожденной, данный метод уже не годится, так как соответствующая обратная матрица A не существует. В этом случае нахождение решений уравнений (2.5.1) сводится к решению систем.
Но прежде введём некоторые понятия.
Множество всех решений системы назовём общим решением . Отдельно взятое решение неопределённой системы назовём её частным решением .
3.1.1. Пример. Решитьматричное уравнение над полем R .
а) X = ; б) X = ; в) X = .
Решение. а) Так как =0, то формула X =A B для решения этого уравнения не годится. Если в произведении XA =B матрица A имеет 2 строки, то матрица X имеет 2 столбца. Число строк X должно совпасть с числом строк B . Поэтому X имеет 2 строки. Таким образом, X ¾ некоторая квадратная матрица второго порядка: X = . Подставим X в исходное уравнение:
Перемножая матрицы в левой части (2.5.2), приходим к равенству
Две матрицы равны тогда и только тогда, когда они одинаковых размерностей и равны их соответствующие элементы. Поэтому (2.5.3) равносильно системе
Эта система равносильна системе
Решая её, например, методом Гаусса, приходим к множеству решений (5-2b , b , -2d , d ), где b , d независимо друг от друга пробегают R . Таким образом, X = .
б) Аналогично а) имеем X = и.
Эта система несовместна (убедитесь в этом!). Поэтому данное матричное уравнение решений не имеет.
в) Обозначим это уравнение через AX =B . Так как A имеет 3 столбца, а B имеет 2 столбца, то X ¾ некоторая матрица размерности 3´2: X = . Поэтому имеем следующую цепочку равносильностей:
Решаем последнюю систему методом Гаусса (комментарии опускаем)
Таким образом, приходим к системе
решением которой является (11+8z , 14+10z , z , -49+8w , -58+10w , w ) где z , w пробегают независимо друг от друга R .
Ответ: а) X = , b , d ÎR .
б) Решений нет.
в) X = z , w ÎR .
3.2. К вопросу о перестановочности матриц. В общем случае произведение матриц неперестановочно, то есть если A и B такие, что AB и BA определены, то, вообще говоря, AB ¹BA . Но пример единичной матрицы E показывает, что возможна и перестановочность AE =EA для любой матрицы A , лишь бы AE и EA были определены.
В этом пункте мы рассмотрим задачи на нахождение множества всех матриц, перестановочных с данной. Таким образом,
Неизвестные x 1 , y 2 и z 3 могут принимать любые значения: x 1 =a , y 2 =b , z 3 =g . Тогда
Таким образом, X = .
Ответ. а) X d ¾ любое число.
б) X ¾ множество матриц вида , где a , b и g ¾ любые числа.
