Дата: 20.11.2014
Что такое производная?
Таблица производных.
Производная - одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.
Это знакомство позволит:
Понимать суть несложных заданий с производной;
Успешно решать эти самые несложные задания;
Подготовиться к более серьёзным урокам по производной.
Сначала - приятный сюрприз.)
Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!
Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов - чтобы понять задание, и всего несколько правил - чтобы его решить. И всё. Это радует.
Приступим к знакомству?)
Термины и обозначения.
В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.
Здесь же важно понять, что дифференцирование - это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.
Дифференцирование - действие над функцией.
Производная - результат этого действия.
Так же, как, например, сумма - результат сложения. Или частное - результат деления.
Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.
Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y" или f"(x) или S"(t) и так далее.
Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли...)
Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)" , (x 3 )" , (sinx)" и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.
Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего - научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной - это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.
Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:
1. Таблица производных (формулы дифференцирования).
3. Производная сложной функции.
Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.
Таблица производных.
В мире - бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе - линейная, квадратичная, гипербола и т.п.
Дифференцирование функций "с нуля", т.е. исходя из определения производной и теории пределов - штука достаточно трудоёмкая. А математики - тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)
Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева - элементарная функция, справа - её производная.
| Функция y |
Производная функции y y" |
|
| 1 | C (постоянная величина) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - любое число) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctg x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x (a = e ) |
Рекомендую обратить внимание на третью группу функций в этой таблице производных. Производная степенной функции - одна из самых употребительных формул, если только не самая употребительная! Намёк понятен?) Да, таблицу производных желательно знать наизусть. Кстати, это не так трудно, как может показаться. Попробуйте решать побольше примеров, таблица сама и запомнится!)
Найти табличное значение производной, как вы понимаете, задание не самое трудное. Поэтому очень часто в подобных заданиях встречаются дополнительные фишки. Либо в формулировке задания, либо в исходной функции, которой в таблице - вроде и нету...
Рассмотрим несколько примеров:
1. Найти производную функции y = x 3
Такой функции в таблице нет. Но есть производная степенной функции в общем виде (третья группа). В нашем случае n=3. Вот и подставляем тройку вместо n и аккуратно записываем результат:
(x 3) " = 3·x 3-1 = 3x 2
Вот и все дела.
Ответ: y" = 3x 2
2. Найти значение производной функции y = sinx в точке х = 0.
Это задание означает, что надо сначала найти производную от синуса, а затем подставить значение х = 0 в эту самую производную. Именно в таком порядке! А то, бывает, сразу подставляют ноль в исходную функцию... Нас же просят найти не значение исходной функции, а значение её производной. Производная, напомню - это уже новая функция.
По табличке находим синус и соответствующую производную:
y" = (sin x)" = cosx
Подставляем ноль в производную:
y"(0) = cos 0 = 1
Это и будет ответ.
3. Продифференцировать функцию:
Что, внушает?) Такой функции в таблице производных и близко нет.
Напомню, что продифференцировать функцию - это просто найти производную этой функции. Если забыть элементарную тригонометрию, искать производную нашей функции достаточно хлопотно. Таблица не помогает...
Но если увидеть, что наша функция - это косинус двойного угла , то всё сразу налаживается!
Да-да! Запомните, что преобразование исходной функции до дифференцирования вполне допускается! И, случается, здорово облегчает жизнь. По формуле косинуса двойного угла:
Т.е. наша хитрая функция есть не что иное, как y = cosx . А это - табличная функция. Сразу получаем:
Ответ: y" = - sin x .
Пример для продвинутых выпускников и студентов:
4. Найти производную функции:
Такой функции в таблице производных нет, разумеется. Но если вспомнить элементарную математику, действия со степенями... То вполне можно упростить эту функцию. Вот так:
А икс в степени одна десятая - это уже табличная функция! Третья группа, n=1/10. Прямо по формуле и записываем:
Вот и всё. Это будет ответ.
Надеюсь, что с первым китом дифференцирования - таблицей производных - всё ясно. Осталось разобраться с двумя оставшимися китами. В следующем уроке освоим правила дифференцирования.
Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела:
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx :
Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f (x ) = x 2 + (2x + 3) · e x · sin x . Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.
Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.
Производные элементарных функций
Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.
Итак, производные элементарных функций:
| Название | Функция | Производная |
| Константа | f (x ) = C , C ∈ R | 0 (да-да, ноль!) |
| Степень с рациональным показателем | f (x ) = x n | n · x n − 1 |
| Синус | f (x ) = sin x | cos x |
| Косинус | f (x ) = cos x | − sin x (минус синус) |
| Тангенс | f (x ) = tg x | 1/cos 2 x |
| Котангенс | f (x ) = ctg x | − 1/sin 2 x |
| Натуральный логарифм | f (x ) = ln x | 1/x |
| Произвольный логарифм | f (x ) = log a x | 1/(x · ln a ) |
| Показательная функция | f (x ) = e x | e x (ничего не изменилось) |
Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:
(C · f )’ = C · f ’.
В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:
(2x 3)’ = 2 · (x 3)’ = 2 · 3x 2 = 6x 2 .
Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.
Производная суммы и разности
Пусть даны функции f (x ) и g (x ), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:
- (f + g )’ = f ’ + g ’
- (f − g )’ = f ’ − g ’
Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h )’ = f ’ + g ’ + h ’.
Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g , и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.
f (x ) = x 2 + sin x; g (x ) = x 4 + 2x 2 − 3.
Функция f (x ) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:
f ’(x ) = (x 2 + sin x )’ = (x 2)’ + (sin x )’ = 2x + cos x;
Аналогично рассуждаем для функции g (x ). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):
g ’(x ) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · (x 2 + 1).
Ответ:
f
’(x
) = 2x
+ cos x;
g
’(x
) = 4x
· (x
2 + 1).
Производная произведения
Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike ">равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:
(f · g ) ’ = f ’ · g + f · g ’
Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = x 3 · cos x; g (x ) = (x 2 + 7x − 7) · e x .
Функция f (x ) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:
f ’(x ) = (x 3 · cos x )’ = (x 3)’ · cos x + x 3 · (cos x )’ = 3x 2 · cos x + x 3 · (− sin x ) = x 2 · (3cos x − x · sin x )
У функции g (x ) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g (x ) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:
g ’(x ) = ((x 2 + 7x − 7) · e x )’ = (x 2 + 7x − 7)’ · e x + (x 2 + 7x − 7) · (e x )’ = (2x + 7) · e x + (x 2 + 7x − 7) · e x = e x · (2x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x ) · e x = x (x + 9) · e x .
Ответ:
f
’(x
) = x
2 · (3cos x
− x
· sin x
);
g
’(x
) = x
(x
+ 9) · e
x
.
Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.
Если есть две функции f (x ) и g (x ), причем g (x ) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h (x ) = f (x )/g (x ). Для такой функции тоже можно найти производную:
Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g 2 ? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.
Задача. Найти производные функций:
В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:
По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:
Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f (x ) = sin x и заменить переменную x , скажем, на x 2 + ln x . Получится f (x ) = sin (x 2 + ln x ) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.
Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’, если x заменяется на t (x ).
Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.
Задача. Найти производные функций: f (x ) = e 2x + 3 ; g (x ) = sin (x 2 + ln x )
Заметим, что если в функции f (x ) вместо выражения 2x + 3 будет просто x , то получится элементарная функция f (x ) = e x . Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t , f (x ) = f (t ) = e t . Ищем производную сложной функции по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (e t )’ · t ’ = e t · t ’
А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:
f ’(x ) = e t · t ’ = e 2x + 3 · (2x + 3)’ = e 2x + 3 · 2 = 2 · e 2x + 3
Теперь разберемся с функцией g (x ). Очевидно, надо заменить x 2 + ln x = t . Имеем:
g ’(x ) = g ’(t ) · t ’ = (sin t )’ · t ’ = cos t · t ’
Обратная замена: t = x 2 + ln x . Тогда:
g ’(x ) = cos (x 2 + ln x ) · (x 2 + ln x )’ = cos (x 2 + ln x ) · (2x + 1/x ).
Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.
Ответ:
f
’(x
) = 2 · e
2x
+ 3 ;
g
’(x
) = (2x
+ 1/x
) · cos (x
2 + ln x
).
Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.
Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:
(x n )’ = n · x n − 1
Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5 . А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.
Задача. Найти производную функции:
Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:
f (x ) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Теперь делаем замену: пусть x 2 + 8x − 7 = t . Находим производную по формуле:
f ’(x ) = f ’(t ) · t ’ = (t 0,5)’ · t ’ = 0,5 · t −0,5 · t ’.
Делаем обратную замену: t = x 2 + 8x − 7. Имеем:
f ’(x ) = 0,5 · (x 2 + 8x − 7) −0,5 · (x 2 + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + 8) · (x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Наконец, возвращаемся к корням:
Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.
Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.
Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.
Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g.
Таблица производных
Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.
Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).
Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .
Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).
(x 100)"=100 x 99
Пример 3. Найдите производную функции y=5 x
Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.
Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x
Производную логарифма найдем по формуле 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Правила дифференцирования
Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа.
1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной
Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8
Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Производная суммы равна сумме производных
(f + g)"=f" + g"
Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x
Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Производная разности равна разности производных
(f – g)"=f" – g"
Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x
Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .
В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:
(e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Производная произведения
(f * g)"=f" * g + f * g"
Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x
Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Производная частного
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x
Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Производная сложной функции
Сложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:
(u (v))"=u"(v)*v"
Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней.
Например:
y=sin (x 3) - сложная функция.
Тогда y=sin(t) - внешняя функция
t=x 3 - внутренняя.
Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.
(sin t)"=cos (t) - производная внешней функции (где t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - производная внутренней функции
Тогда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 - производная сложной функции.
