Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения
Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стоки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .
Пример 1.
Пусть 
, тогда 
.
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Алгебраическим дополнением
элемента называется соответствующий минор, умноженный на , т.е 
, где –номер строки и -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.
Пример 2.
Пусть 
, тогда
Пример 3.
Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.
Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.
Определителемматрицы порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.
Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.
Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.
Пример 4.
Вычислить определитель: 
Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.
Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII
. Умножим первую строку последовательно на числа 
и прибавим её ко строкам и получим:
Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:
так как определитель содержит два пропорциональных столбца.
Некоторые виды матриц и их определители
Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ()называется треугольной.
Их схематичное строение соответственно имеет вид: 
или
.
Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
Ответ.
12. Слау 3 порядка
1. Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
2. Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
3. Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель
Решение.
Ответ.
4.Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание.
Вычислить
определитель 
приведением
его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получаем
нули во втором столбце на месте элементов,
стоящих под главной диагональю. И снова,
если диагональный элемент будет равен ,
то вычисления будут более простыми. Для
этого меняем местами вторую и третью
строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
Далее делаем нули
во втором столбце под главной диагональю,
для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых,
а к четвертой - две вторых строки,
получаем:
Далее из третьей
строки выносим (-10) за определитель и
делаем нули в третьем столбце под главной
диагональю, а для этого к последней
строке прибавляем третью:
Постановка задачи
Задание подразумевает знакомство пользователя с основными понятиями численных методов, такими как определитель и обратная матрица , и различными способами их вычислений. В данном теоретическом отчете простым и доступным языком сначала вводятся основные понятия и определения, на основании которых проводится дальнейшее исследование. Пользователь может не иметь специальных знаний в области численных методов и линейной алгебры , но с легкостью сможет воспользоваться результатами данной работы. Для наглядности приведена программа вычисления определителя матрицы несколькими методами, написанная на языке программирования C++. Программа используется как лабораторный стенд для создания иллюстраций к отчету. А также проводится исследование методов для решения систем линейных алгебраических уравнений . Доказывается бесполезность вычисления обратной матрицы, поэтому в работе приводится более оптимальные способы решения уравнений не вычисляя ее. Рассказывается почему существует такое количество различных методов вычисления определителей и обратных матриц и разбираются их недостатки. Также рассматриваются погрешности при вычислении определителя и оценивается достигнутая точность. Помимо русских терминов в работе используются и их английские эквиваленты для понимания, под какими названиями искать численные процедуры в библиотеках и что означают их параметры.
Основные определения и простейшие свойства
Определитель
Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка . Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.
Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det .
Определение 1.
Определителем
квадратной матрицы 
второго порядка называется число 
.
Определителем 
квадратной матрицы порядка , называется число 
где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером .
Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: 
Замечание. Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы.
Замечание. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел.
Замечание. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det .
Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений.
Утверждение 1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть .
Утверждение 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть .
Утверждение 3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.
Утверждение 4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.
В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.
Утверждение 5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.
Утверждение 6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Утверждение 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.
Утверждение 8. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид . Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку .
Утверждение 9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.
Утверждение 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.
Определение 2. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается .
Пример.
Пусть 
.
Тогда 
Замечание.
Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так: 
Утверждение 11. Разложение определителя по произвольной строке.
Для определителя матрицы справедлива формула 
Пример.
Вычислите 
.
Решение.
Воспользуемся разложением по третьей строке, так выгоднее, поскольку в третьей строке два числа из трех - нули. Получим 
Утверждение 12.
Для квадратной матрицы порядка при выполнено соотношение 
.
Утверждение 13.
Все свойства определителя, сформулированные для строк (утверждения 1 - 11), справедливы и для столбцов, в частности, справедливо разложение определителя по j-ому столбцу 
и равенство 
при .
Утверждение 14. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.
Следствие. Определитель единичной матрицы равен единице, .
Вывод. Перечисленные выше свойства позволяют находить определители матриц достаточно высоких порядков при сравнительно небольшом объеме вычислений. Алгоритм вычислений следующий.
Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель порядка . Если , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по утверждениям 1, 13 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число . Тогда первый элемент второй строки будет равен 
.
Остальные элементы новой второй строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Первую строку умножим на число и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен 
Остальные элементы новой третьей строки обозначим , . Определитель новой матрицы по утверждению 9 равен .
Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее , которая имеет вид 
причем . Для вычисления определителя матрицы используем разложение по первому столбцу
Так как , то 
В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы сведется к вычислению определителя матрицы порядка . Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.
Если матрица не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма - по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.
Пример.
Вычислите определитель матрицы 
.
Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число :
Определитель не меняется. В результате получаем 
По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число 
:
В результате получаем 
Ответ. .
Замечание. Хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа - целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.
Обратная матрица
Определение 3. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если .
Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено).
Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то .
Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.
Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 4. Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей , если , и невырожденной или неособенной матрицей , если .
Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.
Утверждение.
Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и 
(1)
где - алгебраические дополнения к элементам .
Теорема. Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).
Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй - номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример.
.
Решение. Находим определитель
Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения: 
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке: 
(2)
Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.
Замечание.
В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так: 
(3)
Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.
Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример.
Найдите обратную матрицу для матрицы 
.
Решение.
- существует.
Ответ:
.
Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.
Вычисление определителя и обратной матрицы с помощью метода Гаусса
Метод Гаусса можно использовать для нахождения определителя и обратной матрицы .
Именно, определитель матрицы равен det .
Обратная матрица находится решением систем линейных уравнений методом исключения Гаусса:
Где есть j-тый столбец единичной матрицы , - искомый вектор.
Полученные векторы решений - образуют, очевидно, столбцов матрицы , поскольку .
Формулы для определителя
1. Если матрица невырожденная, то и (произведение ведущих элементов).
Напомним теорему Лапласа:
Теорема Лапласа:
Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или k столбцов), . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Для вычисления определителей в общем случае k берут равным 1. Т.е. в определителе d порядка n произвольно выбрана строка (или столбец). Тогда сумма произведений всех элементов, содержащихся в выбранной строке (или столбце), на их алгебраические дополнения равна определителю d.
Пример:
Вычислить определитель
Решение:
Выберем произвольную строку или столбец. По причине, которая станет очевидной чуть позже, ограничим свой выбор или третьей строкой или четвертым столбцом. И остановимся на третьей строке.
Воспользуемся теоремой Лапласа.
Первый элемент выбранной строки равен 10, он стоит в третьей строке и первом столбце. Вычислим алгебраическое дополнение к нему, т.е. найдем определитель, полученный вычеркиванием столбца и строки, на которых стоит этот элемент (10) и выясним знак.
«плюс, если сумма номеров всех строк и столбцов, в которых расположен минор M четна, и минус, если эта сумма нечетна.»
А минор мы взяли состоящий из одного единственного элемента 10, который стоит в первом столбце третьей строки.
Итак:
Четвертое слагаемое этой суммы равно 0, именно поэтому стоит выбирать строки или столбцы с максимальным числом нулевых элементов.
Ответ:
-1228
Пример:
Вычислить определитель:
Решение:
Выберем первый столбец, т.к. два элемента в нем равны 0. Разложим определитель по первому столбцу.
Каждый из определителей третьего порядка разложим по первой второй строке
Каждый из определителей второго порядка разложим по первому столбцу
Ответ:
48
Замечание:
при решении этой задачи не использовались формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Использовалось только разложение по строке или столбцу. Которое приводит к понижению порядка определителей.
