Bibliographische Beschreibung: Maksimenko O. V., Pastor V. S., Vorfolomeeva P. V., Mozikova K. A., Nikolaeva M. E., Shmeleva O. V. Zum Konzept des Goldenen Schnitts // Junger Wissenschaftler. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 35-39..03.2019).



„Die Geometrie hat zwei Schätze:

einer davon ist der Satz des Pythagoras,

das andere ist die Teilung des Segments im mittleren und extremen Verhältnis "

Johannes Kepler

Stichworte: Goldener Schnitt, goldene Proportionen, wissenschaftliches Phänomen.

Der Zweck unserer Arbeit ist es, die Informationsquellen zum "Goldenen Schnitt" in verschiedenen Wissensgebieten zu untersuchen, Muster zu identifizieren und Verbindungen zwischen den Wissenschaften zu finden, um die praktische Bedeutung des Goldenen Schnitts zu identifizieren.

Die Relevanz dieser Studie wird durch die jahrhundertealte Geschichte der Verwendung des Goldenen Schnitts in Mathematik und Kunst bestimmt. Was die Alten rätselten, bleibt aktuell und weckt das Interesse der Zeitgenossen.

Zu allen Zeiten haben Menschen versucht, Muster in der Welt um sie herum zu finden. Sie umgaben sich mit Objekten der aus ihrer Sicht „richtigen“ Form. Erst mit der Entwicklung der Mathematik gelang es den Menschen, den „Goldenen Schnitt“ zu messen, der später als „Goldener Schnitt“ bekannt wurde.

Goldener Schnitt- harmonische Proportion

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Teilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment zum größeren Teil in derselben Weise verhält wie der größere Teil selbst zum kleineren; oder mit anderen Worten, das kleinere Segment verhält sich zum größeren wie das größere zu allem (Abb. 1).

a: b = b: c

Reis. 1. Aufteilung des Segments nach goldenen Proportionen

Lassen Sie uns Sie daran erinnern, was der Goldene Schnitt ist. Die umfassendste Definition des Goldenen Schnitts besagt, dass der kleinere Teil mit dem größeren zusammenhängt, wie der größere mit dem Ganzen. Sein ungefährer Wert ist 1,6180339887. In gerundeten Prozentsätzen korrelieren die Anteile der Teile des Ganzen mit 62 % zu 38 %. Dieses Verhältnis wirkt in den Formen von Raum und Zeit.

goldenes Dreieck uRechteck

Neben der Unterteilung des Segments in ungleiche Teile (goldener Schnitt) sollten Sie auch das goldene Dreieck und das goldene Rechteck berücksichtigen.

Ein goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen im Goldenen Schnitt liegen (Abb. 2).

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Seine Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt ihn proportional zum goldenen Schnitt (Abb. 3).

Abb.2. goldenes Rechteck

Abb.3 Goldenes Dreieck

Pentagramm

Bei einem regelmäßigen fünfzackigen Stern wird jedes Segment durch ein Segment geteilt, das es im goldenen Schnitt schneidet, d. h. das Verhältnis des blauen Segments zu grün, rot zu blau, grün zu lila beträgt 1,618 (Abb. 4).

Abb.4. Pentagramm-Hygieia

Pythagoras behauptete, das Pentagramm oder, wie er es nannte, Hygieia, sei eine mathematische Perfektion, da es den Goldenen Schnitt verberge. Das Verhältnis des blauen Segments zu grün, rot zu blau, grün zu lila ist der goldene Schnitt.

Fibonacci-Reihe

Die Zahlenreihe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. ist als Fibonacci-Reihe bekannt. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist, und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Teilung.

Also 21:34 = 0,617

34: 55 = 0,618.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (6. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten.

goldene Proportionen einTeile des menschlichen Körpers

1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk Ästhetische Forschung.

Zeising maß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt (Abb. 5).

Abb. 5 Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Goldener Schnitt einTierwelt

Es ist erstaunlich, wie in vielen Bereichen des menschlichen Wissens nur ein mathematisches Konzept zu finden ist. Es scheint alles auf der Welt zu durchdringen, verbindet Harmonie und Chaos, Mathematik und Kunst.

Biologische Studien haben gezeigt, dass, angefangen bei Viren und Pflanzen bis hin zum menschlichen Körper, sich überall der goldene Schnitt zeigt, der die Proportionalität und Harmonie ihrer Struktur charakterisiert. Der Goldene Schnitt ist als universelles Gesetz lebender Systeme anerkannt.

Bei einer Eidechse fallen auf den ersten Blick für unsere Augen angenehme Proportionen auf - die Länge ihres Schwanzes verhält sich zur Länge des restlichen Körpers wie 62 zu 38 (Abb. 6).

Abb.6 Goldene Proportionen in Körperteilen einer Eidechse

Goldener Schnitt eindie Architektur

In Büchern über den „Goldenen Schnitt“ findet sich der Hinweis, dass in der Architektur wie in der Malerei alles von der Position des Betrachters abhängt, und wenn gewisse Proportionen an einem Gebäude einerseits den „Goldenen Schnitt“ zu bilden scheinen, dann sehen sie aus anderen Blickwinkeln anders aus. Der "Goldene Schnitt" gibt das entspannteste Verhältnis der Größen bestimmter Längen an.

Eines der schönsten Werke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (Abb. 7). Das Verhältnis der Höhe des Gebäudes zu seiner Länge beträgt 0,618. Wenn wir den Parthenon nach dem „goldenen Schnitt“ teilen, erhalten wir bestimmte Vorsprünge der Fassade.

Ein weiteres Beispiel aus der antiken Architektur ist die Cheopspyramide (Abb. 8).

Die Proportionen der Großen Pyramide werden im "Goldenen Schnitt" beibehalten

Den alten Baumeistern gelang es, dieses majestätische Denkmal mit nahezu perfekter technischer Präzision und Symmetrie zu errichten.

Abb.7. Parthenon

Abb.8. Die Cheopspyramide

Goldener Schnitt einSkulptur

Die Proportionen des "Goldenen Schnitts" erwecken den Eindruck von Harmonie der Schönheit, weshalb die Bildhauer sie in ihren Werken verwendeten. So besteht beispielsweise die berühmte Statue des Apollo Belvedere aus Teilen, die nach goldenen Schnitten geteilt sind (Abb. 9).

Abb.9 Statue des Apollo Belvedere

Goldener Schnitt einmalen

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Schauen wir uns das Gemälde „La Gioconda“ genauer an. Die Komposition des Porträts basiert auf goldenen Dreiecken (Abb. 10).

Abb. 10 Leonardo da Vinci „Gioconda“

Ein weiteres Beispiel für den Goldenen Schnitt in der Malerei ist Raffaels Gemälde Das Massaker an den Unschuldigen (Abb. 11). Auf der vorbereitenden Skizze Raffaels werden rote Linien vom semantischen Zentrum der Komposition gezogen. Wenn Sie diese Kurvenstücke auf natürliche Weise mit einer gepunkteten Linie verbinden, erhalten Sie mit sehr hoher Genauigkeit ... eine goldene Spirale!

Abb.11. Raffael „Massaker an den Unschuldigen“

Goldener Schnitt einliterarische Werke

Die Formen der zeitlichen Kunst demonstrieren uns auf ihre Weise das Prinzip der goldenen Teilung. Auch in einzelnen Werken des russischen Klassikers gilt die Regel des Goldenen Schnitts. In der Geschichte "Die Pik-Dame" gibt es also 853 Zeilen, und der Höhepunkt fällt auf die 535. Zeile (853:535 = 1,6) - das ist der Punkt des Goldenen Schnitts.

Goldener Schnitt einSpielfilm

Filmregisseur Sergei Eisenstein hat das Drehbuch für seinen Film „Panzerkreuzer Potemkin“ bewusst auf die Regel des Goldenen Schnitts abgestimmt und das Band in fünf Teile geteilt.

Fazit

Der Goldene Schnitt war im alten Ägypten und Babylon, in Indien und China bekannt. Der große Pythagoras schuf eine geheime Schule, in der die mystische Essenz des „Goldenen Schnitts“ studiert wurde. Euklid wendete es an und schuf seine Geometrie und Phidias - seine unsterblichen Skulpturen. Platon sagte, dass das Universum nach dem „Goldenen Schnitt“ aufgebaut ist. Und Aristoteles fand die Entsprechung des „Goldenen Schnitts“ zum ethischen Gesetz. Die höchste Harmonie des „Goldenen Schnitts“ wird von Leonardo da Vinci und Michelangelo gepredigt, denn Schönheit und „Goldener Schnitt“ sind ein und dasselbe. Und christliche Mystiker werden Pentagramme des "Goldenen Schnitts" auf die Wände ihrer Klöster malen, um dem Teufel zu entkommen. Gleichzeitig werden Wissenschaftler – von Pacioli bis Einstein – suchen, aber nie seine genaue Bedeutung finden. Eine endlose Reihe nach dem Komma - 1.6180339887 ... Eine seltsame, mysteriöse, unerklärliche Sache: Diese göttliche Proportion begleitet alle Lebewesen auf mystische Weise. Die unbelebte Natur kennt den „goldenen Schnitt“ nicht. Aber Sie werden diese Proportion sicherlich in den Kurven von Muscheln und in Form von Blumen und in Form von Käfern und in einem schönen menschlichen Körper sehen. Alles Lebendige und alles Schöne – alles gehorcht dem göttlichen Gesetz, dessen Name der „Goldene Schnitt“ ist. Was ist also der „Goldene Schnitt“? Was ist diese perfekte, göttliche Kombination? Vielleicht ist es das Gesetz der Schönheit? Oder ist es immer noch ein mystisches Geheimnis? Wissenschaftliches Phänomen oder ethisches Prinzip? Die Antwort ist noch unbekannt. Genauer gesagt - nein, es ist bekannt. Der "goldene Schnitt" ist sowohl das als auch ein anderes und das dritte. Nur nicht einzeln, sondern gleichzeitig ... Und das ist sein wahres Geheimnis, sein großes Geheimnis.

Literatur:

1. Vilenkin N. Ya., Zhokhov V. I. und andere Mathematik - 6. - M .: Mnemosyne, 2015
2. Korbalan F. Goldener Schnitt. Die mathematische Sprache der Schönheit. (Die Welt der Mathematik T.1). - M.: DeAgostini, 2014
3. Timerding G. E. Der Goldene Schnitt. -M.: Librokom, 2009

Stichworte: Goldener Schnitt, goldene Proportionen, wissenschaftliches Phänomen.

Anmerkung: Der Goldene Schnitt ist eine universelle Manifestation struktureller Harmonie. Es findet sich in der Natur, der Wissenschaft, der Kunst – in allem, womit der Mensch in Berührung kommen kann. Die Autoren des Artikels erforschen die Literatur, finden Verbindungen zwischen Wissenschaften im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt, enthüllen die praktische Bedeutung der goldenen Proportionen.

Goldener Schnitt- das ist eine solche proportionale Teilung des Segments in ungleiche Teile, bei der das kleinere Segment zum größeren Segment so viel verhält wie das größere zu allem.

a:b = b:c oder c:b = b:a.

Dieser Anteil beträgt:

Beispielsweise wird bei einem regelmäßigen fünfzackigen Stern jedes Segment durch ein Segment geteilt, das es im goldenen Schnitt schneidet (d. h. das Verhältnis des blauen Segments zu grün, rot zu blau, grün zu violett). 1.618

Es ist allgemein anerkannt, dass Pythagoras das Konzept des Goldenen Schnitts in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt hat. Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten.

1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, seine Arbeit "Ästhetische Forschung".
Zeising maß etwa zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt.

Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken innerhalb des Durchschnittsverhältnisses von 13:8 = 1,625 und nähern sich dem goldenen Schnitt etwas näher als die Proportionen des weiblichen Körpers, in Bezug auf die sich der Durchschnittswert der Proportion im Verhältnis 8:5 ausdrückt = 1,6.

Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1: 1, im Alter von 13 Jahren 1,6 und im Alter von 21 Jahren das gleiche wie beim Mann.
Die Proportionen des Goldenen Schnitts manifestieren sich auch in Bezug auf andere Körperteile - die Länge der Schulter, des Unterarms und der Hand, der Hand und der Finger usw.
Zeising prüfte die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne, poetische Metren wurden untersucht.

Zeising definierte den Goldenen Schnitt, zeigte, wie er sich in Strecken und in Zahlen ausdrückt. Als die Zahlen für die Längen der Segmente ermittelt wurden, sah Zeising, dass sie sich auf Fibonacci-Reihe.

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als die Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen ist 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Teilung.

Also 21: 34 = 0,617 und 34: 55 = 0,618. (oder 1.618 beim Teilen der größeren Zahl durch die kleinere).

Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematisches Ereignis bleiben können, wenn nicht alle Erforscher des Goldenen Schnitts in der Pflanzen- und Tierwelt, von der Kunst ganz zu schweigen, ausnahmslos als arithmetischer Ausdruck des Gesetzes des Goldenen Schnitts auf diese Reihe gestoßen wären.

Der Goldene Schnitt in der Kunst

Bereits 1925 zeigte der Kunstkritiker L. L. Sabaneev, nachdem er 1770 Musikwerke von 42 Autoren analysiert hatte, dass die überwiegende Mehrheit der herausragenden Werke leicht in Teile unterteilt werden kann, entweder nach Thema, nach Intonation oder nach modalem System, die in Beziehung zueinander stehen andere Goldener Schnitt.

Je talentierter der Komponist war, desto mehr goldene Schnitte wurden in seinen Werken gefunden. Bei Arensky, Beethoven, Borodin, Haydn, Mozart, Skrjabin, Chopin und Schubert wurden goldene Schnitte in 90 % aller Werke gefunden. Laut Sabaneev führt der Goldene Schnitt zum Eindruck einer besonderen Harmonie einer musikalischen Komposition.

Im Kino baute S. Eisenstein den Film Panzerkreuzer Potemkin künstlich nach den Regeln des „Goldenen Schnitts“. Er zerbrach das Band in fünf Teile. In den ersten drei spielt sich die Handlung auf dem Schiff ab. In den letzten beiden - in Odessa, wo sich der Aufstand entfaltet. Dieser Übergang zur Stadt erfolgt genau an der Stelle des Goldenen Schnitts. Ja, und in jedem Teil gibt es einen Wendepunkt, der nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts erfolgt.

Goldener Schnitt in Architektur, Bildhauerei, Malerei

Eines der schönsten Werke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (V Jahrhundert v. Chr.).

Die Abbildungen zeigen eine Reihe von Mustern, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind. Die Proportionen des Gebäudes können durch verschiedene Grade der Zahl Ф = 0,618 ... ausgedrückt werden.

Auf dem Grundriss des Parthenon sieht man auch die „goldenen Rechtecke“:

Wir können den Goldenen Schnitt im Gebäude der Kathedrale Notre Dame (Notre Dame de Paris) und in der Pyramide von Cheops sehen:

Nicht nur die ägyptischen Pyramiden wurden nach den perfekten Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut; das gleiche Phänomen findet sich in den mexikanischen Pyramiden.

Der Goldene Schnitt wurde von vielen antiken Bildhauern verwendet. Der goldene Anteil der Statue des Apollo Belvedere ist bekannt: Die Körpergröße der abgebildeten Person wird durch die Nabellinie im goldenen Schnitt geteilt.

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Schauen wir uns das Gemälde „La Gioconda“ genauer an. Die Komposition des Porträts basiert auf „goldenen Dreiecken“.

Der goldene Schnitt in Schriftarten und Haushaltsgegenständen

Der goldene Schnitt in der Tierwelt

Biologische Studien haben gezeigt, dass, angefangen bei Viren und Pflanzen bis hin zum menschlichen Körper, sich überall der goldene Schnitt zeigt, der die Proportionalität und Harmonie ihrer Struktur charakterisiert. Der Goldene Schnitt ist als universelles Gesetz lebender Systeme anerkannt.

Es wurde festgestellt, dass die Zahlenreihe der Fibonacci-Zahlen die strukturelle Organisation vieler lebender Systeme charakterisiert. Beispielsweise ist eine spiralförmige Blattanordnung auf einem Ast ein Bruch (Anzahl der Windungen an einem Stamm/Anzahl der Blätter in einem Zyklus, zB 2/5; 3/8; 5/13), der der Fibonacci-Reihe entspricht.

Der „goldene“ Anteil der fünfblättrigen Blüten von Apfel, Birne und vielen anderen Pflanzen ist bekannt. Die Träger des genetischen Codes – DNA- und RNA-Moleküle – haben eine Doppelhelixstruktur; seine Abmessungen entsprechen fast vollständig den Zahlen der Fibonacci-Reihe.

Goethe betonte die Tendenz der Natur zur Spirale.

Die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich in Spiralen. Eine verängstigte Rentierherde verstreut sich in einer Spirale.

Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen.

Blumen und Samen von Sonnenblumen, Kamille, Flocken in Ananasfrüchten, Nadelzapfen werden in logarithmische ("goldene") Spiralen "verpackt", die sich gegeneinander kräuseln, und die Nummern von "rechten" und "linken" Spiralen beziehen sich immer aufeinander , als Nachbarzahlen Fibonacci.

Betrachten Sie einen Chicorée-Shooting. Aus dem Hauptstamm wurde ein Ast gebildet. Hier ist das erste Blatt. Der Vorgang macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt, gibt ein Blatt frei, ist aber kürzer als der erste, macht wieder einen Ausstoß in den Raum, aber von geringerer Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und stößt erneut aus.

Wenn der erste Ausreißer als 100 Einheiten angenommen wird, dann entspricht der zweite 62 Einheiten, der dritte 38, der vierte 24 und so weiter. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Im Wachstum, der Eroberung des Raumes, behielt die Pflanze gewisse Proportionen. Seine Wachstumsimpulse nahmen proportional zum goldenen Schnitt allmählich ab.

Bei vielen Schmetterlingen entspricht das Verhältnis der Größe der thorakalen und ventralen Körperteile dem Goldenen Schnitt. Mit gefalteten Flügeln bildet der Nachtschmetterling ein regelmäßiges gleichseitiges Dreieck. Aber es lohnt sich, die Flügel auszubreiten, und Sie werden das gleiche Prinzip sehen, den Körper in 2,3,5,8 zu teilen. Auch die Libelle entsteht nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts: Das Verhältnis der Schwanz- und Körperlängen ist gleich dem Verhältnis der Gesamtlänge zur Schwanzlänge.

Bei einer Eidechse verhält sich die Länge ihres Schwanzes zur Länge des restlichen Körpers wie 62 zu 38. Sie können die goldenen Proportionen erkennen, wenn Sie sich das Ei eines Vogels genau ansehen.

Viktor Lawrus

Eine Person unterscheidet Objekte um sich herum nach ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine vitale Notwendigkeit diktiert oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, die auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild von Schönheit und Harmonie bei. Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionellen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Goldener Schnitt - Harmonischer Anteil

In Mathematik Anteil(lat. proportio) die Gleichheit zweier Relationen nennen: a : b = c : d.

Liniensegment AB kann wie folgt in zwei Teile geteilt werden:

in zwei gleiche Teile AB : AC = AB : Sonne;

in zwei ungleiche Teile in beliebigem Verhältnis (solche Teile bilden keine Proportionen);

also wann AB : AC = AC : Sonne.

Letzteres ist die goldene Teilung oder Teilung des Segments im extremen und durchschnittlichen Verhältnis.

Der Goldene Schnitt ist eine solche proportionale Teilung eines Segments in ungleiche Teile, bei der sich das gesamte Segment zum größeren Teil in derselben Weise verhält wie der größere Teil selbst zum kleineren; oder mit anderen Worten, das kleinere Segment verhält sich zum größeren wie das größere zu allem

a : b = b : c oder mit : b = b : a.

Reis. ein. Geometrische Darstellung des Goldenen Schnitts

Die praktische Bekanntschaft mit dem Goldenen Schnitt beginnt mit dem Teilen eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt mit Kompass und Lineal.

Reis. 2. Teilung einer Strecke nach dem Goldenen Schnitt. BC = 1/2 AB; CD = BC

Von einem Punkt BEIM eine Senkrechte wird gleich der Hälfte wiederhergestellt AB. Punkt erhalten Mit durch eine Linie mit einem Punkt verbunden SONDERN. Auf der resultierenden Linie wird ein Segment gezeichnet Sonne, endet mit einem Punkt D. Liniensegment ANZEIGE auf eine Gerade übertragen AB. Der resultierende Punkt E teilt das Segment AB im Goldenen Schnitt.

Segmente des Goldenen Schnitts werden durch einen unendlichen irrationalen Bruch ausgedrückt AE= 0,618 ... wenn AB als Einheit nehmen SEIN\u003d 0,382 ... Aus praktischen Gründen werden häufig ungefähre Werte von 0,62 und 0,38 verwendet. Wenn das Segment AB als 100 Teile genommen, dann ist der größte Teil des Segments 62 und der kleinere 38 Teile.

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts werden durch die Gleichung beschrieben:

x 2 - x - 1 = 0.

Lösung dieser Gleichung:

Die Eigenschaften des Goldenen Schnitts schufen um diese Zahl herum eine romantische Aura des Mysteriums und einer fast mystischen Anbetung.

Der zweite Goldene Schnitt

Die bulgarische Zeitschrift „Vaterland“ (Nr. 10, 1983) veröffentlichte einen Artikel von Tsvetan Tsekov-Karandash „Über den zweiten goldenen Schnitt“, der sich an den Hauptteil anschließt und ein anderes Verhältnis von 44: 56 angibt.

Ein solches Verhältnis findet sich in der Architektur und findet auch in der Konstruktion von Bildkompositionen in einem länglichen Querformat statt.

Reis. 3. Konstruktion des zweiten Goldenen Schnitts

Die Aufteilung erfolgt wie folgt (siehe Abb. 3). Liniensegment AB wird nach dem Goldenen Schnitt geteilt. Von einem Punkt Mit die Senkrechte wird wiederhergestellt CD. Radius AB Es gibt einen Punkt D, die durch eine Linie mit einem Punkt verbunden ist SONDERN. Rechter Winkel ACD wird halbiert. Von einem Punkt Mit Eine Linie wird gezeichnet, bis sie sich mit einer Linie schneidet ANZEIGE. Punkt E teilt das Segment ANZEIGE im Verhältnis zu 56:44.

Reis. 4. Teilung eines Rechtecks ​​durch eine Linie des zweiten Goldenen Schnitts

Auf Abb. 4 zeigt die Position der Linie des zweiten goldenen Schnitts. Es befindet sich in der Mitte zwischen der goldenen Schnittlinie und der Mittellinie des Rechtecks.

goldenes Dreieck

Um Segmente des Goldenen Schnitts der aufsteigenden und absteigenden Reihe zu finden, können Sie verwenden Pentagramm.

Reis. 5. Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks und Pentagramms

Um ein Pentagramm zu bauen, musst du ein normales Fünfeck bauen. Die Bauweise wurde von dem deutschen Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471...1528) entwickelt. Lassen Ö- der Mittelpunkt des Kreises EIN- ein Punkt auf dem Kreis und E- Mitte des Segments OA. Senkrecht zum Radius OA, an der Stelle restauriert Ö, schneidet den Kreis in einem Punkt D. Legen Sie mit einem Kompass ein Segment auf dem Durchmesser beiseite CE = Ed. Die Länge einer Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, ist Gleichstrom. Segmente auf den Kreis legen Gleichstrom und erhalten Sie fünf Punkte, um ein regelmäßiges Fünfeck zu zeichnen. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks teilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Ihre Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt sie proportional zum goldenen Schnitt.

Reis. 6. Konstruktion des goldenen Dreiecks

Wir ziehen eine gerade Linie AB. ab Punkt SONDERN Legen Sie dreimal ein Segment darauf Ö beliebigen Wert, durch den resultierenden Punkt R Zeichnen Sie eine Senkrechte zur Linie AB, auf der Senkrechten rechts und links des Punktes R Segmente beiseite legen Ö. Punkte erhalten d und d 1 Verbinde mit geraden Linien zu einem Punkt SONDERN. Liniensegment dd 1 auf der Linie beiseite legen Anzeige 1 , einen Punkt bekommen Mit. Sie teilte die Linie Anzeige 1 im Verhältnis zum Goldenen Schnitt. Linien Anzeige 1 und dd 1 wird verwendet, um ein "goldenes" Rechteck zu bauen.

Geschichte des Goldenen Schnitts

Es ist allgemein anerkannt, dass das Konzept der goldenen Teilung von Pythagoras, einem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker (6. Jahrhundert v. Chr.), in die wissenschaftliche Verwendung eingeführt wurde. Es wird angenommen, dass Pythagoras sein Wissen über die goldene Teilung von den Ägyptern und Babyloniern entlehnt hat. Tatsächlich weisen die Proportionen der Cheops-Pyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Herstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier fand heraus, dass beim Relief aus dem Tempel des Pharao Sethos I. in Abydos und beim Relief, das den Pharao Ramses darstellt, die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus dem Grab seines Namens, hält Messinstrumente in den Händen, in denen die Proportionen der goldenen Teilung fixiert sind.

Die Griechen waren geschickte Geometer. Sogar das Rechnen wurde ihren Kindern mit Hilfe geometrischer Figuren beigebracht. Das Quadrat von Pythagoras und die Diagonale dieses Quadrats waren die Grundlage für die Konstruktion dynamischer Rechtecke.

Reis. 7. Dynamische Rechtecke

Auch Platon (427...347 v. Chr.) wusste um die Goldene Teilung. Sein Dialog „Timaeus“ widmet sich den mathematisch-ästhetischen Anschauungen der Schule des Pythagoras und insbesondere den Fragen der Goldenen Teilung.

In der Fassade des antiken griechischen Tempels des Parthenon gibt es goldene Proportionen. Bei seinen Ausgrabungen wurden Kompasse gefunden, die von Architekten und Bildhauern der Antike verwendet wurden. Der pompejanische Kompass (Museum in Neapel) enthält auch die Proportionen der goldenen Teilung.

Reis. acht. Antike Kompasse im goldenen Schnitt

In der uns überlieferten antiken Literatur wurde die goldene Teilung erstmals in Euklids Elementen erwähnt. Im 2. Buch der „Anfänge" wird eine geometrische Konstruktion der goldenen Teilung gegeben. Nach Euklid beschäftigten sich Hypsicles (II. Jahrhundert v. Chr.), Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.) Und andere mit dem Studium der Goldenen Teilung. Im mittelalterlichen Europa mit der goldenen Teilung Wir trafen uns durch arabische Übersetzungen von Euklids Elementen. Der Übersetzer J. Campano aus Navarra (3. Jahrhundert) kommentierte die Übersetzung. Die Geheimnisse der Golden Division wurden eifersüchtig gehütet und streng geheim gehalten. Sie waren nur den Eingeweihten bekannt.

Während der Renaissance stieg das Interesse an der goldenen Teilung unter Wissenschaftlern und Künstlern im Zusammenhang mit ihrer Verwendung sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst, insbesondere in der Architektur Leonardo da Vinci, ein Künstler und Wissenschaftler, sah, dass italienische Künstler große empirische Erfahrung, aber wenig Wissen hatten . Er konzipierte und begann ein Buch über Geometrie zu schreiben, aber zu dieser Zeit erschien ein Buch des Mönchs Luca Pacioli, und Leonardo gab seine Idee auf. Laut Zeitgenossen und Wissenschaftshistorikern war Luca Pacioli eine echte Koryphäe, der größte Mathematiker Italiens zwischen Fibonacci und Galileo. Luca Pacioli war Schüler des Künstlers Piero della Francesca, der zwei Bücher schrieb, von denen eines den Titel On Perspective in Painting trug. Er gilt als Begründer der darstellenden Geometrie.

Luca Pacioli war sich der Bedeutung der Wissenschaft für die Kunst bewusst. 1496 kam er auf Einladung des Herzogs von Moreau nach Mailand, wo er Vorlesungen über Mathematik hielt. Auch Leonardo da Vinci wirkte zu dieser Zeit am Hof ​​der Moro in Mailand. 1509 wurde in Venedig Luca Paciolis Divine Proportion mit brillant ausgeführten Illustrationen veröffentlicht, weshalb angenommen wird, dass sie von Leonardo da Vinci stammen. Das Buch war eine begeisterte Hymne an den Goldenen Schnitt. Unter den vielen Vorteilen des Goldenen Schnitts versäumte es der Mönch Luca Pacioli nicht, dessen „göttliche Essenz“ als Ausdruck der göttlichen Dreifaltigkeit von Gott dem Sohn, Gott dem Vater und Gott dem Heiligen Geist zu nennen (man verstand, dass der kleine Segment ist die Personifikation von Gott dem Sohn, das größere Segment ist die Personifikation von Gott dem Vater und das gesamte Segment ist der Gott des Heiligen Geistes).

Auch Leonardo da Vinci widmete dem Studium der Goldenen Teilung große Aufmerksamkeit. Er fertigte Abschnitte eines stereometrischen Körpers an, der aus regelmäßigen Fünfecken bestand, und jedes Mal erhielt er Rechtecke mit Seitenverhältnissen in goldener Teilung. Also gab er dieser Division den Namen Goldener Schnitt. Es ist also immer noch das beliebteste.

Zur gleichen Zeit arbeitete in Nordeuropa, in Deutschland, Albrecht Dürer an denselben Problemen. Er skizziert eine Einleitung zum ersten Entwurf einer Abhandlung über Proportionen. Dürer schreibt. „Es ist notwendig, dass derjenige, der etwas weiß, es anderen beibringen sollte, die es brauchen. Das habe ich mir vorgenommen."

Einem Brief Dürers nach zu urteilen, traf er Luca Pacioli während seines Aufenthalts in Italien. Albrecht Dürer entwickelt ausführlich die Theorie der Proportionen des menschlichen Körpers. Dürer wies dem Goldenen Schnitt einen wichtigen Platz in seinem Verhältnissystem zu. Die Körpergröße einer Person wird in goldenen Proportionen durch die Gürtellinie sowie durch die Linie geteilt, die durch die Spitzen der Mittelfinger der gesenkten Hände, den unteren Teil des Gesichts gezogen wird - durch den Mund usw. Bekannter Proportionalkompass Dürer.

Großer Astronom des 16. Jahrhunderts Johannes Kepler nannte den Goldenen Schnitt einen der Schätze der Geometrie. Er macht erstmals auf die Bedeutung des Goldenen Schnitts für die Botanik (Pflanzenwachstum und -struktur) aufmerksam.

Kepler nannte den Goldenen Schnitt sich selbst fortsetzend: „Er ist so angeordnet“, schrieb er, „dass die beiden jüngeren Glieder dieses unendlichen Anteils sich zum dritten Glied addieren und zwei beliebige letzte Glieder, wenn sie zusammengezählt werden, ergeben nächsten Term, und die gleiche Proportion bleibt bis unendlich."

Die Konstruktion einer Reihe von Segmenten des Goldenen Schnitts kann sowohl in Richtung des Anstiegs (steigende Reihe) als auch in Richtung des Abfalls (absteigende Reihe) erfolgen.

Wenn Sie sich auf einer geraden Linie beliebiger Länge befinden, verschieben Sie das Segment m, legen Sie ein Segment beiseite M. Basierend auf diesen beiden Segmenten bauen wir eine Segmentskala des goldenen Anteils der aufsteigenden und absteigenden Reihe auf

Reis. neun. Erstellen einer Skala von Segmenten des Goldenen Schnitts

In den folgenden Jahrhunderten wurde die Regel des Goldenen Schnitts zu einem akademischen Kanon, und als mit der Zeit in der Kunst ein Kampf mit dem akademischen Alltag begann, „hat man in der Hitze des Kampfes das Kind mit dem Wasser rausgeschmissen. ” Mitte des 19. Jahrhunderts wurde der Goldene Schnitt wieder „entdeckt“. 1855 veröffentlichte der deutsche Forscher des Goldenen Schnitts, Professor Zeising, sein Werk Ästhetische Forschung. Bei Zeising musste genau das, was passierte, dem Forscher passieren, der das Phänomen als solches betrachtet, ohne Verbindung mit anderen Phänomenen. Er verabsolutierte die Proportion des Goldenen Schnitts und erklärte ihn für universell für alle Phänomene der Natur und der Kunst. Zeising hatte zahlreiche Anhänger, aber es gab auch Gegner, die seine Proportionslehre zur „mathematischen Ästhetik“ erklärten.

Reis. zehn. Goldene Proportionen in Teilen des menschlichen Körpers

Zeising hat einen tollen Job gemacht. Er maß ungefähr zweitausend menschliche Körper und kam zu dem Schluss, dass der Goldene Schnitt das durchschnittliche statistische Gesetz ausdrückt. Die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt ist der wichtigste Indikator für den Goldenen Schnitt. Die Proportionen des männlichen Körpers schwanken innerhalb des Durchschnittsverhältnisses von 13:8 = 1,625 und nähern sich dem goldenen Schnitt etwas näher als die Proportionen des weiblichen Körpers, in Bezug auf die sich der Durchschnittswert der Proportion im Verhältnis 8:5 ausdrückt = 1,6. Bei einem Neugeborenen beträgt das Verhältnis 1: 1, im Alter von 13 Jahren 1,6 und im Alter von 21 Jahren das gleiche wie beim Mann. Die Proportionen des Goldenen Schnitts manifestieren sich auch in Bezug auf andere Körperteile - die Länge der Schulter, des Unterarms und der Hand, der Hand und der Finger usw.

Reis. elf. Goldene Proportionen in der menschlichen Figur

Zeising prüfte die Gültigkeit seiner Theorie an griechischen Statuen. Er entwickelte die Proportionen des Apollo Belvedere bis ins kleinste Detail. Griechische Vasen, architektonische Strukturen verschiedener Epochen, Pflanzen, Tiere, Vogeleier, Musiktöne, poetische Metren wurden untersucht. Zeising definierte den Goldenen Schnitt, zeigte, wie er sich in Strecken und in Zahlen ausdrückt. Als die Längenangaben der Segmente ermittelt wurden, erkannte Zeising, dass es sich um eine Fibonacci-Reihe handelte, die endlos in die eine oder andere Richtung fortgesetzt werden konnte. Sein nächstes Buch trug den Titel „Goldene Teilung als morphologisches Grundgesetz in Natur und Kunst“. 1876 ​​wurde in Russland ein kleines Buch, fast eine Broschüre, veröffentlicht, das Zeisings Arbeit skizzierte. Der Autor flüchtete unter den Initialen Yu.F.V. In dieser Ausgabe wird kein einziges Gemälde erwähnt.

Am Ende des XIX - Anfang des XX Jahrhunderts. Viele rein formalistische Theorien erschienen über die Verwendung des Goldenen Schnitts in Kunstwerken und Architektur. Mit der Entwicklung des Designs und der technischen Ästhetik weitete sich das Gesetz des Goldenen Schnitts auf die Gestaltung von Autos, Möbeln etc. aus.

Fibonacci-Reihe

Der Name des italienischen Mathematikermönchs Leonardo aus Pisa, besser bekannt als Fibonacci (Sohn des Bonacci), ist indirekt mit der Geschichte des Goldenen Schnitts verbunden. Er reiste viel in den Osten, führte Europa in indische (arabische) Ziffern ein. 1202 erschien sein mathematisches Werk The Book of the Abacus (Counting Board), in dem alle damals bekannten Probleme gesammelt wurden. Eine der Aufgaben lautete "Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr von einem Paar geboren." In Anbetracht dieses Themas baute Fibonacci die folgende Zahlenreihe auf:

Eine Reihe von Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 usw. bekannt als die Fibonacci-Reihe. Die Besonderheit der Zahlenfolge besteht darin, dass jedes ihrer Mitglieder, beginnend mit dem dritten, gleich der Summe der beiden vorherigen 2 + 3 = 5 ist; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34 usw., und das Verhältnis benachbarter Zahlen der Reihe nähert sich dem Verhältnis der goldenen Teilung. Also 21:34 = 0,617 und 34:55 = 0,618. Diese Beziehung wird symbolisiert F. Nur dieses Verhältnis - 0,618: 0,382 - ergibt eine kontinuierliche Teilung eines geraden Liniensegments im Goldenen Schnitt, dessen Zunahme oder Abnahme bis ins Unendliche, wenn das kleinere Segment mit dem größeren in Beziehung steht, wie das größere mit allem.

Fibonacci befasste sich auch mit den praktischen Bedürfnissen des Handels: Was ist die kleinste Anzahl von Gewichten, die zum Wiegen einer Ware verwendet werden können? Fibonacci beweist, dass folgendes Gewichtssystem optimal ist: 1, 2, 4, 8, 16...

Verallgemeinerter Goldener Schnitt

Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematisches Ereignis bleiben können, wenn nicht alle Erforscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, ausnahmslos auf diese Reihe als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes der goldenen Teilung gestoßen wären .

Wissenschaftler haben die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiterentwickelt. Yu Matiyasevich löst Hilberts 10. Problem mit Fibonacci-Zahlen. Es gibt elegante Methoden, um eine Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mit Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt zu lösen. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Fachzeitschrift herausgibt.

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte.

Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Gewichtsreihe 1, 2, 4, 8, 16 … sind auf den ersten Blick völlig verschieden. Aber die Algorithmen für ihre Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ist es möglich eine allgemeine mathematische Formel zu finden, aus der „Binärreihe und die Fibonacci-Reihe? Oder gibt uns diese Formel vielleicht neue numerische Sätze mit einigen neuen einzigartigen Eigenschaften?

Lassen Sie uns in der Tat den numerischen Parameter einstellen S, die beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Stellen Sie sich eine Zahlenreihe vor, S+ 1, deren erste Terme Einheiten sind, und jeder der folgenden ist gleich der Summe der beiden Terme des vorherigen und desjenigen, der vom vorherigen durch getrennt ist S Schritte. Wenn ein n wir bezeichnen den ten Term dieser Reihe mit φ S ( n), dann erhalten wir die allgemeine Formel φ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Es ist offensichtlich, dass bei S= 0 aus dieser Formel erhalten wir eine "binäre" Reihe, mit S= 1 - Fibonacci-Reihe, mit S\u003d 2, 3, 4. neue Zahlenreihen, die angerufen werden S-Fibonacci-Zahlen.

Generell Gold S-Anteil ist die positive Wurzel der goldenen Gleichung S-Abschnitte x S+1 - x S - 1 = 0.

Es ist leicht zu zeigen, wann S= 0 erhalten wir eine Teilung des Segments in zwei Hälften, und wann S= 1 - der bekannte klassische Goldene Schnitt.

Beziehungen der Nachbarn S-Fibonacci-Zahlen mit absoluter mathematischer Genauigkeit stimmen im Limit mit Golden überein S-Proportionen! Mathematiker sagen in solchen Fällen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten S-Fibonacci-Zahlen.

Fakten, die die Existenz von Gold bestätigen S-Abschnitte in der Natur, der belarussische Wissenschaftler E.M. Soroko in dem Buch "Structural Harmony of Systems" (Minsk, "Science and Technology", 1984). So zeigt sich beispielsweise, dass gut untersuchte binäre Legierungen nur dann besondere, ausgeprägte funktionelle Eigenschaften (thermisch stabil, hart, verschleißfest, oxidationsbeständig etc.) aufweisen, wenn die spezifischen Gewichte der Ausgangskomponenten zueinander in Beziehung gesetzt werden von einem aus Gold S-Proportionen. Dies erlaubte dem Autor, eine Hypothese aufzustellen, dass Gold S-Abschnitte sind numerische Invarianten selbstorganisierender Systeme. Experimentell bestätigt, kann diese Hypothese von grundlegender Bedeutung für die Entwicklung der Synergetik sein – einem neuen Wissenschaftsgebiet, das Prozesse in selbstorganisierenden Systemen untersucht.

Mit goldenen Codes S-Proportionen können jede reelle Zahl als Summe von Goldgraden ausdrücken S-Anteile mit ganzzahligen Koeffizienten.

Der grundlegende Unterschied zwischen dieser Methode der Codierung von Zahlen besteht darin, dass die Basen der neuen Codes golden sind S-Proportionen, S> 0 erweisen sich als irrationale Zahlen. Die neuen Zahlensysteme mit irrationalen Basen stellen also gewissermaßen die historisch etablierte Hierarchie der Beziehungen zwischen rationalen und irrationalen Zahlen „auf den Kopf“. Tatsache ist, dass zuerst die natürlichen Zahlen „entdeckt“ wurden; dann sind ihre Verhältnisse rationale Zahlen. Und erst später – nachdem die Pythagoräer inkommensurable Segmente entdeckten – tauchten irrationale Zahlen auf. Beispielsweise wurden in Dezimal-, Quinär-, Binär- und anderen klassischen Positionszahlensystemen natürliche Zahlen - 10, 5, 2 - als eine Art Grundprinzip gewählt, aus dem alle anderen natürlichen Zahlen sowie rationale und irrationale Zahlen hervorgingen nach bestimmten Regeln konstruiert.

Eine Art Alternative zu den bestehenden Nummerierungsmethoden ist ein neues, irrationales System als Grundprinzip, dessen Anfang als irrationale Zahl gewählt wird (die, wie wir uns erinnern, die Wurzel der Gleichung des goldenen Schnitts ist); andere reelle Zahlen werden dadurch bereits ausgedrückt.

In einem solchen Zahlensystem ist jede natürliche Zahl immer als endliche Zahl darstellbar – und nicht als unendlich, wie bisher angenommen! - Summen von Graden eines der goldenen S-Proportionen. Dies ist einer der Gründe, warum die „irrationale“ Arithmetik mit ihrer erstaunlichen mathematischen Einfachheit und Eleganz die besten Eigenschaften der klassischen Binär- und „Fibonacci“-Arithmetik übernommen zu haben scheint.

Gestaltungsprinzipien in der Natur

Alles, was Gestalt annahm, formte sich, wuchs, strebte danach, einen Platz im Raum einzunehmen und sich selbst zu erhalten. Realisiert wird dieses Streben vor allem in zwei Varianten - Aufwärtswachsen oder sich über die Erdoberfläche ausbreiten und spiralförmig winden.

Die Schale ist spiralförmig gedreht. Wenn Sie es auseinanderfalten, erhalten Sie eine Länge, die etwas geringer ist als die Länge der Schlange. Eine kleine zehn Zentimeter große Muschel hat eine Spirale von 35 cm Länge Spiralen kommen in der Natur sehr häufig vor. Das Konzept des Goldenen Schnitts wird unvollständig sein, ganz zu schweigen von der Spirale.

Reis. 12. Spirale von Archimedes

Die Form der spiralförmig gekräuselten Schale zog die Aufmerksamkeit von Archimedes auf sich. Er studierte es und leitete die Gleichung der Spirale ab. Die nach dieser Gleichung gezeichnete Spirale trägt seinen Namen. Die Zunahme ihres Schrittes ist immer gleichmäßig. Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technik weit verbreitet.

Schon Goethe betonte die Tendenz der Natur zur Spiralität. Die spiralförmige und spiralförmige Anordnung von Blättern an Ästen wurde vor langer Zeit bemerkt. Die Spirale wurde in der Anordnung von Sonnenblumenkernen, in Tannenzapfen, Ananas, Kakteen usw. gesehen. Die gemeinsame Arbeit von Botanikern und Mathematikern hat Licht auf diese erstaunlichen Naturphänomene geworfen. Es stellte sich heraus, dass sich in der Anordnung von Blättern auf einem Ast (Phylotaxis), Sonnenblumenkernen und Tannenzapfen die Fibonacci-Reihe manifestiert und sich daher das Gesetz des Goldenen Schnitts manifestiert. Die Spinne spinnt ihr Netz spiralförmig. Ein Hurrikan dreht sich in Spiralen. Eine verängstigte Rentierherde verstreut sich in einer Spirale. Das DNA-Molekül ist zu einer Doppelhelix verdrillt. Goethe nannte die Spirale „die Kurve des Lebens“.

Zwischen den Kräutern am Straßenrand wächst eine unscheinbare Pflanze - Chicorée. Schauen wir es uns genauer an. Aus dem Hauptstamm wurde ein Ast gebildet. Hier ist das erste Blatt.

Reis. dreizehn. Chicoree

Der Vorgang macht einen starken Ausstoß in den Raum, stoppt, gibt ein Blatt frei, ist aber kürzer als der erste, macht wieder einen Ausstoß in den Raum, aber von geringerer Kraft, gibt ein noch kleineres Blatt frei und stößt erneut aus. Wenn der erste Ausreißer als 100 Einheiten angenommen wird, dann ist der zweite 62 Einheiten, der dritte 38, der vierte 24 und so weiter. Auch die Länge der Blütenblätter unterliegt dem Goldenen Schnitt. Im Wachstum, der Eroberung des Raumes, behielt die Pflanze gewisse Proportionen. Seine Wachstumsimpulse nahmen proportional zum goldenen Schnitt allmählich ab.

Reis. vierzehn. lebendig gebärende Eidechse

Bei der Eidechse sind auf den ersten Blick für unsere Augen angenehme Proportionen eingefangen - die Länge ihres Schwanzes verhält sich zur Länge des restlichen Körpers mit 62 zu 38.

Sowohl in der Pflanzen- als auch in der Tierwelt bricht immer wieder die formbildende Tendenz der Natur durch - Symmetrie in Bezug auf Wuchs- und Bewegungsrichtung. Hier erscheint der Goldene Schnitt in den Proportionen von Teilen senkrecht zur Wachstumsrichtung.

Die Aufteilung in symmetrische Teile und goldene Proportionen hat die Natur vorgenommen. In Teilen manifestiert sich eine Wiederholung der Struktur des Ganzen.

Reis. fünfzehn. Vogel-Ei

Der große Goethe, ein Dichter, Naturforscher und Künstler (er malte und malte in Aquarell), träumte davon, eine einheitliche Lehre von der Form, Bildung und Transformation organischer Körper zu schaffen. Er war es, der den Begriff Morphologie in den wissenschaftlichen Gebrauch einführte.

Pierre Curie hat zu Beginn unseres Jahrhunderts eine Reihe tiefgreifender Symmetrievorstellungen formuliert. Er argumentierte, dass man die Symmetrie eines Körpers nicht berücksichtigen könne, ohne die Symmetrie der Umgebung zu berücksichtigen.

Die Muster der "goldenen" Symmetrie manifestieren sich in den Energieübergängen von Elementarteilchen, in der Struktur einiger chemischer Verbindungen, in Planeten- und Weltraumsystemen, in den Genstrukturen lebender Organismen. Diese Muster befinden sich, wie oben angegeben, in der Struktur einzelner Organe einer Person und des Körpers als Ganzes und manifestieren sich auch in Biorhythmen und der Funktion des Gehirns und der visuellen Wahrnehmung.

Goldener Schnitt und Symmetrie

Der Goldene Schnitt kann nicht ohne Verbindung zur Symmetrie separat betrachtet werden. Der große russische Kristallograph G.V. Wulff (1863...1925) betrachtete den Goldenen Schnitt als eine der Manifestationen der Symmetrie.

Die goldene Teilung ist keine Manifestation der Asymmetrie, sondern etwas Gegenteiliges zur Symmetrie, sondern nach modernen Vorstellungen eine asymmetrische Symmetrie. Die Wissenschaft der Symmetrie umfasst solche Konzepte wie statisch und dynamische Symmetrie. Statische Symmetrie kennzeichnet Ruhe, Gleichgewicht und dynamische Symmetrie kennzeichnet Bewegung, Wachstum. So wird in der Natur die statische Symmetrie durch die Struktur von Kristallen repräsentiert und in der Kunst charakterisiert sie Frieden, Ausgeglichenheit und Unbeweglichkeit. Dynamische Symmetrie drückt Aktivität aus, charakterisiert Bewegung, Entwicklung, Rhythmus, sie zeugt von Leben. Statische Symmetrie ist durch gleiche Segmente, gleiche Größen gekennzeichnet. Die dynamische Symmetrie ist durch eine Zunahme oder Abnahme von Segmenten gekennzeichnet und wird in den Werten des goldenen Schnitts einer zunehmenden oder abnehmenden Reihe ausgedrückt.

Goldene Proportionen in der Literatur. Poesie und der Goldene Schnitt

Vieles in der Struktur poetischer Werke macht diese Kunstform mit Musik verwandt. Ein klarer Rhythmus, ein regelmäßiger Wechsel von betonten und unbetonten Silben, eine geordnete Dimensionalität von Gedichten, ihr emotionaler Reichtum machen die Poesie zu einer Schwester der musikalischen Werke. Jeder Vers hat seine eigene musikalische Form – seinen eigenen Rhythmus und seine eigene Melodie. Es ist zu erwarten, dass in der Struktur von Gedichten einige Merkmale musikalischer Werke, Muster musikalischer Harmonie und folglich des Goldenen Schnitts auftreten werden.

Beginnen wir mit der Größe des Gedichts, dh der Anzahl der Zeilen darin. Es scheint, dass sich dieser Parameter des Gedichts willkürlich ändern kann. Es stellte sich jedoch heraus, dass dies nicht der Fall war. Zum Beispiel die Analyse von Gedichten von A.S. Puschkin zeigte unter diesem Gesichtspunkt, dass die Größe der Verse sehr ungleichmäßig verteilt ist; Es stellte sich heraus, dass Puschkin eindeutig Größen von 5, 8, 13, 21 und 34 Linien (Fibonacci-Zahlen) bevorzugt.

Viele Forscher haben festgestellt, dass Gedichte wie Musikstücke sind; Sie haben auch Höhepunkte, die das Gedicht proportional zum goldenen Schnitt teilen. Betrachten wir zum Beispiel ein Gedicht von A.S. Puschkin „Schuhmacher“:

Ein Schuhmacher suchte einmal nach einem Bild
Und er wies auf den Fehler in den Schuhen hin;
Der Künstler nahm sofort den Pinsel und korrigierte sich:
Hier, in die Seite gestemmt, fuhr der Schuhmacher fort:
„Ich finde, das Gesicht ist ein bisschen schief …
Ist diese Brust nicht zu nackt?
Hier unterbrach Apelles ungeduldig:
"Richter, mein Freund, nicht über dem Stiefel!"

Ich habe einen Freund im Auge behalten:
Ich weiß nicht, um welches Thema es sich handelt.
Er war ein Kenner, obwohl er streng in Worten ist,
Aber der Teufel trägt ihn, um das Licht zu richten:
Probieren Sie es aus, um die Stiefel zu beurteilen!

Analysieren wir dieses Gleichnis. Das Gedicht besteht aus 13 Zeilen. Es hebt zwei semantische Teile hervor: den ersten in 8 Zeilen und den zweiten (die Moral des Gleichnisses) in 5 Zeilen (13, 8, 5 - Fibonacci-Zahlen).

Eines der letzten Gedichte von Puschkin "Ich schätze keine hochkarätigen Rechte ..." besteht aus 21 Zeilen und es werden zwei semantische Teile unterschieden: in 13 und 8 Zeilen.

Ich schätze keine hochkarätigen Rechte,
Da wird keinem schwindelig.
Ich beschwere mich nicht darüber, dass die Götter sich geweigert haben
Ich bin in der süßen Menge herausfordernder Steuern
Oder die Könige daran hindern, miteinander zu kämpfen;
Und wenig Kummer für mich, ist die Presse frei
Tölpel zum Narren halten oder sensible Zensur
In Zeitschriftenplänen ist der Joker peinlich.
All dies, sehen Sie, Worte, Worte, Worte.
Andere, bessere Rechte liegen mir am Herzen:
Ein anderer, besser, ich brauche Freiheit:
Verlasse dich auf den König, verlasse dich auf das Volk -
Ist es uns allen egal? Gott ist mit ihnen.
Niemand
Geben Sie keinen Bericht ab, nur für sich selbst
Diene und bitte; für Macht, für Livree
Beuge weder das Gewissen, noch die Gedanken, noch den Hals;
Nach Lust und Laune hier und da wandern,
Staunen über die göttliche Schönheit der Natur,
Und vor den Kreaturen der Kunst und Inspiration
Zitternd vor Freuden der Zärtlichkeit,
Hier ist Glück! Stimmt...

Charakteristisch ist, dass der erste Teil dieses Verses (13 Zeilen) semantisch in 8 und 5 Zeilen unterteilt ist, das heißt, das gesamte Gedicht ist nach den Gesetzen des Goldenen Schnitts aufgebaut.

Von unzweifelhaftem Interesse ist die Analyse des Romans „Eugen Onegin“ von N. Vasyutinskiy. Dieser Roman besteht aus 8 Kapiteln mit jeweils durchschnittlich etwa 50 Versen. Das vollkommenste, raffinierteste und emotional reichhaltigste ist das achte Kapitel. Es hat 51 Verse. Zusammen mit Jewgenijs Brief an Tatjana (60 Zeilen) entspricht dies genau der Fibonacci-Zahl 55!

N. Vasyutinskiy erklärt:

„Der Höhepunkt des Kapitels ist Eugenes Erklärung seiner Liebe zu Tatyana – die Zeile „Werde blass und verblasse … das ist Glückseligkeit!“ Diese Zeile teilt das gesamte achte Kapitel in zwei Teile – in die ersten 477 Zeilen und in die zweite - 295 Linien Ihr Verhältnis ist 1,617 "Die subtilste Entsprechung zum Wert des Goldenen Schnitts! Dies ist ein großes Wunder der Harmonie, das vom Genie Puschkins vollbracht wurde!"

Lermontovs berühmtes Gedicht "Borodino" ist in zwei Teile gegliedert: eine an den Erzähler gerichtete Einleitung, die nur eine Strophe einnimmt ("Sag mir, Onkel, es ist nicht ohne Grund ..."), und der Hauptteil, der ein unabhängiges Ganzes darstellt, die in zwei gleichwertige Teile geteilt ist. Im ersten wird die Erwartung des Kampfes mit zunehmender Spannung beschrieben, im zweiten mit einer allmählichen Abnahme der Spannung gegen Ende des Gedichts. Die Grenze zwischen diesen Teilen ist der Höhepunkt der Arbeit und fällt genau auf den Punkt, an dem sie durch den goldenen Schnitt geteilt wird.

Der Hauptteil des Gedichts besteht aus 13 sieben Zeilen, dh 91 Zeilen. Indem wir es durch den Goldenen Schnitt teilen (91:1,618 = 56,238), stellen wir sicher, dass der Teilungspunkt am Anfang von Vers 57 liegt, wo es einen kurzen Satz gibt: "Nun, es war ein Tag!". Es ist dieser Satz, der den "Höhepunkt der aufgeregten Erwartung" darstellt, der den ersten Teil des Gedichts (Erwartung der Schlacht) vervollständigt und seinen zweiten Teil (die Beschreibung der Schlacht) eröffnet.

Daher spielt der Goldene Schnitt eine sehr bedeutsame Rolle in der Poesie und hebt den Höhepunkt des Gedichts hervor.

Der goldene Schnitt in Architektur, Bildhauerei, Malerei, Fotografie

Eines der schönsten Werke der antiken griechischen Architektur ist der Parthenon (V Jahrhundert v. Chr.).

Die Abbildungen zeigen eine Reihe von Mustern, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind. Die Proportionen des Gebäudes können durch verschiedene Grade der Zahl Ф = 0,618 ... ausgedrückt werden.

Auf dem Grundriss des Parthenon sieht man auch die „goldenen Rechtecke“:

Wir können den Goldenen Schnitt im Gebäude der Kathedrale Notre Dame (Notre Dame de Paris) und in der Pyramide von Cheops sehen:

Die Proportionen der Cheopspyramide, Tempel, Basreliefs, Haushaltsgegenstände und Dekorationen aus dem Grab von Tutanchamun weisen darauf hin, dass die ägyptischen Handwerker bei ihrer Erstellung die Verhältnisse der goldenen Teilung verwendeten. Der französische Architekt Le Corbusier fand heraus, dass beim Relief aus dem Tempel des Pharao Sethos I. in Abydos und beim Relief, das den Pharao Ramses darstellt, die Proportionen der Figuren den Werten der goldenen Teilung entsprechen. Der Architekt Khesira, abgebildet auf einem Relief einer Holztafel aus dem Grab seines Namens, hält Messinstrumente in den Händen, in denen die Proportionen der goldenen Teilung fixiert sind.

Was die Pyramiden betrifft, sind nicht nur die ägyptischen Pyramiden in Übereinstimmung mit den perfekten Proportionen des Goldenen Schnitts gebaut; das gleiche Phänomen findet sich in den mexikanischen Pyramiden. Auf dem Querschnitt der Pyramide ist eine treppenähnliche Form zu sehen, mit 16 Stufen in der ersten Stufe, 42 Stufen in der zweiten und 68 Stufen in der dritten.
Diese Zahlen basieren auf dem Fibonacci-Verhältnis wie folgt:

16 x 1,618 = 26

26 x 1,618 = 42

Die Architektur der Basilius-Kathedrale trägt viele goldene Proportionen:

Der Goldene Schnitt wurde von vielen antiken Bildhauern verwendet. Der goldene Anteil der Statue des Apollo Belvedere ist bekannt: Die Körpergröße der abgebildeten Person wird durch die Nabellinie im goldenen Schnitt geteilt.

Bereits in der Renaissance entdeckten Künstler, dass jedes Bild bestimmte Punkte hat, die unsere Aufmerksamkeit unwillkürlich auf sich ziehen, die sogenannten visuellen Zentren. In diesem Fall spielt es keine Rolle, welches Format das Bild hat - horizontal oder vertikal. Es gibt nur vier solcher Punkte, sie teilen die Größe des Bildes horizontal und vertikal im goldenen Schnitt, d.h. sie befinden sich in einem Abstand von etwa 3/8 und 5/8 von den entsprechenden Rändern der Ebene.

Diese Entdeckung unter den Künstlern dieser Zeit wurde der "Goldene Schnitt" des Bildes genannt. Um die Aufmerksamkeit auf das Hauptelement des Fotos zu lenken, ist es daher notwendig, dieses Element mit einem der visuellen Zentren zu kombinieren.

Auf dem Bild I.I. Shishkin "Ship Grove"-Motive des Goldenen Schnitts sind sichtbar. Die hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge ungefähr im goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein von der Sonne beleuchteter Hügel. Sie teilt im goldenen Schnitt die rechte Bildhälfte horizontal. Links von der Hauptkiefer befinden sich viele Kiefern - wenn Sie möchten, können Sie das Bild erfolgreich in den Proportionen des goldenen Schnitts weiter teilen.

Die Anwesenheit von hellen Vertikalen und Horizontalen im Bild, die es in Bezug auf den goldenen Schnitt teilen, verleiht ihm gemäß der Intention des Künstlers den Charakter von Ausgeglichenheit und Ruhe. Wenn ein Künstler ein Bild mit einer sich schnell entwickelnden Handlung schafft, wird ein solches geometrisches Kompositionsschema (mit einem Vorherrschen von Vertikalen und Horizontalen) inakzeptabel.

Das Gefühl von Dynamik und Aufregung manifestiert sich vielleicht am stärksten in einer anderen einfachen geometrischen Figur - einer Spirale. Die mehrfigurige Komposition, die 1509 - 1510 von Raffael geschaffen wurde, als der berühmte Maler seine Fresken im Vatikan schuf, zeichnet sich durch die Dynamik und Dramatik der Handlung aus. Rafael brachte seine Idee nie zur Vollendung, seine Skizze wurde jedoch von einem unbekannten italienischen Grafiker Marcantinio Raimondi gestochen, der auf der Grundlage dieser Skizze die Gravur Massacre of the Innocents schuf.

Wenn man auf Raffaels vorbereitender Skizze gedanklich Linien zieht, die vom semantischen Zentrum der Komposition – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen – entlang der Figuren eines Kindes, einer Frau, die es an sich klammert, eines Kriegers mit einem erhobenes Schwert, und dann entlang der Figuren derselben Gruppe auf den rechten Teilen der Skizze (in der Abbildung sind diese Linien rot gezeichnet), und dann diese Stücke der Kurve mit einer gepunkteten Linie verbinden, dann entsteht eine goldene Spirale mit sehr hoher Genauigkeit erhalten. Dies kann überprüft werden, indem das Verhältnis der Längen der von der Spirale geschnittenen Segmente zu den geraden Linien gemessen wird, die durch den Anfang der Kurve verlaufen.

Ob Raffael die goldene Spirale bei der Entstehung der Komposition „Massacre of the Innocents“ tatsächlich gemalt oder nur „gefühlt“ hat, ist nicht bekannt. Wir können jedoch mit Zuversicht sagen, dass der Graveur Raimondi diese Spirale gesehen hat. Dies wird durch die neuen Elemente der Komposition belegt, die er hinzugefügt hat, indem er die Drehung der Spirale an den Stellen betont, an denen sie nur durch eine gepunktete Linie angedeutet ist. Diese Elemente sind in Raimondis letztem Stich zu sehen: Der Bogen der Brücke, der sich vom Kopf der Frau erstreckt, befindet sich auf der linken Seite der Komposition und der liegende Körper des Kindes in seiner Mitte.

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Schauen wir uns das Gemälde „La Gioconda“ genauer an. Die Komposition des Porträts basiert auf „goldenen Dreiecken“.

Auch das moderne Modelbusiness setzt auf ideale Proportionen, denn „alles Neue ist ein vergessenes Altes“:

Informationsquellen:

Kovalev F.V. Goldener Schnitt in der Malerei. K.: Vyscha-Schule, 1989.

Kepler I. Über sechseckige Schneeflocken. -M., 1982.

Dürer A. Tagebücher, Briefe, Abhandlungen - L., M., 1957.

Tsekov-Karandash Ts. Über den zweiten Goldenen Schnitt. - Sofia, 1983.

Stakhov A. Codes des Goldenen Schnitts.

Die Geometrie ist eine exakte und ziemlich komplexe Wissenschaft, die mit all dem eine Art Kunst ist. Linien, Ebenen, Proportionen – all das hilft, viele wirklich schöne Dinge zu schaffen. Und kurioserweise basiert diese auf Geometrie in ihren unterschiedlichsten Ausprägungen. In diesem Artikel werden wir uns eine sehr ungewöhnliche Sache ansehen, die direkt damit zusammenhängt. Der Goldene Schnitt ist genau der geometrische Ansatz, der besprochen wird.

Die Form des Objekts und seine Wahrnehmung

Menschen konzentrieren sich meistens auf die Form eines Objekts, um es unter Millionen von anderen zu erkennen. Durch die Form bestimmen wir, was vor uns liegt oder weit weg steht. Wir erkennen Menschen zunächst an der Körper- und Gesichtsform. Daher können wir mit Zuversicht sagen, dass die Form selbst, ihre Größe und ihr Aussehen eines der wichtigsten Dinge in der menschlichen Wahrnehmung ist.

Für die Menschen ist die Form von allem aus zwei Gründen interessant: Entweder wird sie von einer vitalen Notwendigkeit diktiert, oder sie wird vom ästhetischen Vergnügen an der Schönheit verursacht. Die beste visuelle Wahrnehmung und ein Gefühl von Harmonie und Schönheit kommt am häufigsten, wenn eine Person eine Form beobachtet, bei deren Konstruktion Symmetrie und ein spezielles Verhältnis verwendet wurden, das als Goldener Schnitt bezeichnet wird.

Das Konzept des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt ist also der Goldene Schnitt, der auch eine harmonische Teilung ist. Um dies klarer zu erklären, betrachten Sie einige Merkmale des Formulars. Nämlich: die Form ist etwas Ganzes, aber das Ganze wiederum besteht immer aus einigen Teilen. Diese Teile haben höchstwahrscheinlich unterschiedliche Eigenschaften, zumindest unterschiedliche Größen. Nun, solche Dimensionen stehen untereinander und im Verhältnis zum Ganzen immer in einem bestimmten Verhältnis.

Mit anderen Worten können wir also sagen, dass der Goldene Schnitt das Verhältnis zweier Größen ist, das eine eigene Formel hat. Die Verwendung dieses Verhältnisses beim Erstellen einer Form hilft, sie für das menschliche Auge so schön und harmonisch wie möglich zu gestalten.

Aus der alten Geschichte des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt wird derzeit oft in verschiedenen Lebensbereichen verwendet. Aber die Geschichte dieses Konzepts reicht bis in die Antike zurück, als Wissenschaften wie Mathematik und Philosophie gerade erst aufkamen. Als wissenschaftliches Konzept kam der Goldene Schnitt zur Zeit des Pythagoras, nämlich im 6. Jahrhundert v. Chr., zur Anwendung. Aber schon vorher wurde das Wissen um ein solches Verhältnis in der Praxis im alten Ägypten und in Babylon verwendet. Ein eindrucksvoller Beweis dafür sind die Pyramiden, für deren Bau sie einen solchen goldenen Schnitt verwendeten.

neue Periode

Die Renaissance war ein neuer Atemzug für die harmonische Teilung, insbesondere dank Leonardo da Vinci. Dieses Verhältnis wird zunehmend sowohl in der Geometrie als auch in der Kunst verwendet. Wissenschaftler und Künstler begannen, sich eingehender mit dem Goldenen Schnitt zu befassen und Bücher zu erstellen, die sich mit diesem Thema befassen.

Eines der wichtigsten historischen Werke im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt ist das Buch von Luca Pancioli mit dem Titel The Divine Proportion. Historiker vermuten, dass die Illustrationen dieses Buches von Leonardo pre-Vinci selbst angefertigt wurden.

Goldener Schnitt

Die Mathematik gibt eine sehr klare Definition der Proportion, die besagt, dass es sich um die Gleichheit zweier Verhältnisse handelt. Mathematisch kann dies durch die folgende Gleichheit ausgedrückt werden: a: b \u003d c: d, wobei a, b, c, d einige spezifische Werte sind.

Wenn wir den Anteil eines in zwei Teile geteilten Segments betrachten, können wir nur wenige Situationen treffen:

• Das Segment ist in zwei absolut gleiche Teile unterteilt, was bedeutet, dass AB: AC \u003d AB: BC, wenn AB der genaue Anfang und das Ende des Segments ist und C der Punkt ist, der das Segment in zwei gleiche Teile teilt.
• Das Segment ist in zwei ungleiche Teile geteilt, die in sehr unterschiedlichen Proportionen zueinander stehen können, was bedeutet, dass sie hier absolut disproportioniert sind.
• Das Segment wird so geteilt, dass AB:AC = AC:BC.

Was den Goldenen Schnitt betrifft, so ist dies eine solche proportionale Aufteilung des Segments in ungleiche Teile, wenn sich das gesamte Segment auf den größeren Teil bezieht, genauso wie sich der größere Teil selbst auf den kleineren bezieht. Es gibt eine andere Formulierung: Das kleinere Segment verhält sich zum größeren wie das größere zum gesamten Segment. Mathematisch gesehen sieht das so aus: a:b = b:c oder c:b = b:a. Dies ist die Form der Formel des Goldenen Schnitts.

Goldener Schnitt in der Natur

Der Goldene Schnitt, von dem wir jetzt Beispiele betrachten werden, bezieht sich auf die unglaublichen Phänomene in der Natur. Das sind sehr schöne Beispiele dafür, dass Mathematik nicht nur aus Zahlen und Formeln besteht, sondern eine Wissenschaft, die mehr als nur ein reales Abbild der Natur und unseres Lebens im Allgemeinen hat.

Für lebende Organismen ist Wachstum eine der wichtigsten Lebensaufgaben. Ein solcher Wunsch, seinen Platz im Raum einzunehmen, wird tatsächlich in mehreren Formen verwirklicht - Aufwärtswachstum, fast horizontale Ausbreitung entlang des Bodens oder spiralförmig auf einer bestimmten Stütze. Und so unglaublich es auch ist, viele Pflanzen wachsen nach dem Goldenen Schnitt.

Eine weitere fast unglaubliche Tatsache sind die Verhältnisse im Körper von Eidechsen. Ihr Körper sieht für das menschliche Auge angenehm genug aus, und dies ist dank des gleichen goldenen Schnitts möglich. Genauer gesagt verhält sich die Länge ihres Schwanzes zur Länge des gesamten Körpers wie 62:38.

Interessante Fakten über die Regeln des Goldenen Schnitts

Der Goldene Schnitt ist ein wirklich unglaubliches Konzept, was bedeutet, dass wir im Laufe der Geschichte viele wirklich interessante Fakten über diesen Anteil finden können. Wir stellen Ihnen einige davon vor:

Der goldene Schnitt im menschlichen Körper

In diesem Abschnitt muss eine sehr bedeutende Person erwähnt werden, nämlich S. Zeising. Dies ist ein deutscher Forscher, der auf dem Gebiet der Erforschung des Goldenen Schnitts großartige Arbeit geleistet hat. Er veröffentlichte eine Arbeit mit dem Titel Ästhetische Forschung. In seiner Arbeit stellte er den Goldenen Schnitt als ein absolutes Konzept dar, das für alle Phänomene sowohl in der Natur als auch in der Kunst universell ist. Hier können wir uns an den goldenen Schnitt der Pyramide erinnern, zusammen mit den harmonischen Proportionen des menschlichen Körpers und so weiter.

Zeising war es, der beweisen konnte, dass der Goldene Schnitt tatsächlich das durchschnittliche statistische Gesetz für den menschlichen Körper ist. Dies zeigte sich in der Praxis, denn während seiner Arbeit musste er viele menschliche Körper vermessen. Historiker glauben, dass mehr als zweitausend Menschen an dieser Erfahrung teilgenommen haben. Hauptindikator für den Goldenen Schnitt ist nach Zeisings Forschung die Teilung des Körpers durch den Nabelpunkt. So liegt ein männlicher Körper mit einem durchschnittlichen Verhältnis von 13:8 etwas näher am Goldenen Schnitt als ein weiblicher Körper, bei dem der Goldene Schnitt 8:5 beträgt. Auch an anderen Körperstellen, wie zum Beispiel der Hand, kann der Goldene Schnitt beobachtet werden.

Zur Konstruktion des Goldenen Schnitts

Tatsächlich ist die Konstruktion des Goldenen Schnitts eine einfache Sache. Wie wir sehen können, haben sogar alte Menschen dies ganz einfach bewältigt. Was können wir über das moderne Wissen und die Technologien der Menschheit sagen? In diesem Artikel werden wir nicht zeigen, wie dies einfach auf einem Blatt Papier und mit einem Bleistift in der Hand gemacht werden kann, aber wir werden mit Zuversicht sagen, dass dies tatsächlich möglich ist. Darüber hinaus kann dies auf mehr als eine Weise erfolgen.

Da dies eine ziemlich einfache Geometrie ist, ist der Goldene Schnitt sogar in der Schule ziemlich einfach zu konstruieren. Daher können Informationen dazu leicht in Fachbüchern gefunden werden. Durch das Studium des Goldenen Schnitts ist die 6. Klasse in der Lage, die Prinzipien seines Aufbaus vollständig zu verstehen, was bedeutet, dass selbst Kinder intelligent genug sind, um eine solche Aufgabe zu meistern.

Der Goldene Schnitt in der Mathematik

Die erste praktische Bekanntschaft mit dem Goldenen Schnitt beginnt mit einer einfachen Teilung eines geraden Liniensegments, alle in den gleichen Proportionen. Meistens geschieht dies mit einem Lineal, einem Zirkel und natürlich einem Bleistift.

Segmente des Goldenen Schnitts werden als unendlicher irrationaler Bruchteil AE \u003d 0,618 ... ausgedrückt, wenn AB als Einheit genommen wird, BE \u003d 0,382 ... Um diese Berechnungen praktischer zu gestalten, verwenden sie sehr oft nicht genau , aber ungefähre Werte, nämlich - 0,62 und 0,38. Wenn das Segment AB als 100 Teile angenommen wird, entspricht sein größerer Teil 62 und der kleinere 38 Teilen.

Die Haupteigenschaft des Goldenen Schnitts kann durch die Gleichung ausgedrückt werden: x 2 -x-1=0. Beim Lösen erhalten wir folgende Nullstellen: x 1,2 =. Obwohl die Mathematik eine exakte und strenge Wissenschaft ist, ebenso wie ihre Schnittgeometrie, sind es gerade solche Eigenschaften wie die Gesetze des Goldenen Schnitts, die diesem Thema Rätsel aufgeben.

Harmonie in der Kunst durch den Goldenen Schnitt

Betrachten wir zum Abschluss noch einmal kurz das bisher Gesagte.

Grundsätzlich fallen viele Kunstwerke unter die Regel des Goldenen Schnitts, bei dem das Verhältnis nahe bei 3/8 und 5/8 liegt. Das ist die grobe Formel für den Goldenen Schnitt. Der Artikel hat bereits viele Beispiele für die Verwendung des Abschnitts erwähnt, aber wir werden ihn noch einmal durch das Prisma der alten und modernen Kunst betrachten. Also, die auffälligsten Beispiele aus alten Zeiten:

Was den ohnehin schon bewussten Umgang mit Proportionen anbelangt, so findet dieser seit Leonardo da Vinci in fast allen Lebensbereichen Anwendung – von der Wissenschaft bis zur Kunst. Auch Biologie und Medizin haben bewiesen, dass der Goldene Schnitt auch in lebenden Systemen und Organismen funktioniert.

Kandidat der technischen Wissenschaften V. BELYANIN, leitender Forscher des russischen Forschungszentrums "Kurchatov Institute", E. ROMANOVA, Student von MADI

Wissenschaft und Leben // Illustrationen

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Der Goldene Schnitt wird in der Schule nicht „bestanden“. Und als einer der Autoren des folgenden Artikels (V. Belyanin, Kandidat der technischen Wissenschaften) mit einem Bewerber, der im Rahmen der Vorbereitung auf die Prüfungen am Institut in das MADI eintreten wollte, über den Goldenen Schnitt sprach, wurde die Aufgabe unerwartet geweckt Großes Interesse und viele Fragen, auf die es "unterwegs" keine Antworten gab. Wir beschlossen, sie gemeinsam zu suchen, und dann wurden die Feinheiten im Goldenen Schnitt entdeckt, die Forschern zuvor entgangen waren. Gemeinsame Kreativität hat zu einer Arbeit geführt, die die kreativen Möglichkeiten junger Menschen einmal mehr bestätigt und Hoffnung weckt, dass die Sprache der Wissenschaft nicht verloren geht.

Die Muster der Mathematik müssen, wie die Muster des Künstlers oder die Muster des Dichters, schön sein; ideen, wie farben oder worte, müssen harmonisch kombiniert werden. Schönheit ist das erste Kriterium: Für hässliche Mathematik ist kein Platz auf der Welt.
J. H. Hardy

Die Schönheit eines mathematischen Problems ist einer der wichtigsten Stimuli für seine endlose Entwicklung und der Grund für die Generierung zahlreicher Anwendungen. Manchmal vergehen Dutzende, Hunderte und manchmal Tausende von Jahren, aber Menschen finden immer wieder unerwartete Wendungen in einer bekannten Lösung und ihrer Interpretation. Eines dieser langlebigen und faszinierenden Probleme stellte sich als das Problem des Goldenen Schnitts (GS) heraus, der die Elemente der Anmut und Harmonie der Welt um uns herum widerspiegelt. Es sei übrigens daran erinnert, dass, obwohl die Proportion selbst schon Euklid bekannt war, der Begriff „goldener Schnitt“ von Leonardo da Vinci eingeführt wurde (siehe „Wissenschaft und Leben“).

Geometrisch impliziert der Goldene Schnitt die Aufteilung eines Segments in zwei ungleiche Teile, sodass der größere Teil das durchschnittliche Verhältnis zwischen dem gesamten Segment und dem kleineren Teil ist (Abb. 1).

Algebraisch wird dies wie folgt ausgedrückt:

Die Untersuchung dieses Anteils noch vor seiner Lösung zeigt, dass zwischen den Segmenten a und b Es gibt mindestens zwei überraschende Korrelationen. Zum Beispiel ist es einfach, aus Anteil (1) einen Ausdruck zu erhalten,

die das Verhältnis zwischen den Segmenten festlegt a, b, ihre Differenz und Summe. Daher können wir über den Goldenen Schnitt anders sagen: Zwei Segmente stehen in einem harmonischen Verhältnis, wenn sich ihre Differenz zum kleineren Segment in der gleichen Weise verhält wie das größere Segment zu ihrer Summe.

Die zweite Beziehung wird erhalten, wenn das Anfangssegment gleich eins genommen wird: a + b= 1, was in der Mathematik sehr häufig verwendet wird. In diesem Fall

a 2 - b 2 = a - b = ab.

Diese Ergebnisse implizieren zwei überraschende Beziehungen zwischen den Segmenten a und b:

a 2 - b 2 = a - b = ab,(2)

die in Zukunft verwendet werden.

Wenden wir uns nun der Lösung von Anteil (1) zu. In der Praxis werden zwei Möglichkeiten verwendet.

1. Bezeichnen Sie die Beziehung a/b durch. Dann erhalten wir die Gleichung

x 2 - x - 1 = 0, (3)

Normalerweise wird nur die positive Wurzel berücksichtigt. x 1, die eine einfache und visuelle Aufteilung des Segments in einem bestimmten Verhältnis gibt. In der Tat, wenn wir ein ganzes Segment als Einheit nehmen, dann verwenden wir den Wert dieser Wurzel x 1 bekommen wir a ≈ 0,618,b≈ 0,382.

Es ist die positive Wurzel x 1 Gleichung (3) wird am häufigsten aufgerufen Goldener Schnitt oder Anteil am Goldenen Schnitt. Die entsprechende geometrische Teilung des Segments wird aufgerufen Goldener Schnitt(Punkt Mit in Abb. ein).

Der Einfachheit halber bezeichnen wir im Folgenden x 1 = D. Eine allgemein anerkannte Bezeichnung für den Goldenen Schnitt gibt es noch nicht. Dies liegt offenbar daran, dass es manchmal als eine andere Zahl verstanden wird, worauf weiter unten noch eingegangen wird.

Normalerweise die negative Wurzel beiseite gelassen x 2 führt zu einer weniger sichtbaren Teilung des Segments in zwei ungleiche Teile. Der Punkt ist, dass es einen Teilungspunkt gibt Mit, die außerhalb des Segments liegt (die sogenannte externe Sparte). In der Tat, wenn a + b= 1, dann mit der Wurzel x 2 bekommen wir a ≈ -1,618, b≈ 2,618. Daher das Segment a muss in negativer Richtung zurückgestellt werden (Abb. 2).

2. Die zweite Möglichkeit zur Lösung von Anteil (1) unterscheidet sich nicht grundlegend von der ersten. Wir nehmen die unbekannte Beziehung an b/a und bezeichne es mit j. Dann erhalten wir die Gleichung

j 2 + j -1 = 0 , (4)

die irrationale Wurzeln hat

Wenn ein a + b= 1, dann mit der Wurzel j 1 bekommen wir a = j 1 ≈ 0,618, b≈ 0,382. Für die Wurzel j 2 bekommen a ≈ -1,618, b≈ 2,618. Geometrische Teilung eines Segments im Verhältnis zum Goldenen Schnitt durch Wurzeln j 1 und j 2 ist völlig identisch mit der vorherigen Version und entspricht Abb. 1 und 2.

positive Wurzel j 1 gibt direkt die gewünschte Lösung des Problems an und wird auch genannt Goldener Schnitt .

Der Einfachheit halber bezeichnen wir den Wert der Wurzel j 1 = d.

So wird in der Literatur der Goldene Schnitt mathematisch durch die Zahl ausgedrückt D 1.618 oder Zahl d 0,618, zwischen denen zwei erstaunliche Beziehungen bestehen:

Dd= 1 und D - d = 1. (5)

Es ist bewiesen, dass es kein anderes ähnliches Zahlenpaar mit diesen Eigenschaften gibt.

Unter Verwendung beider Notationen für den Goldenen Schnitt schreiben wir die Lösungen der Gleichungen (3) und (4) in symmetrischer Form: = D, = -d, = d, = -D.

Ungewöhnliche Eigenschaften des Goldenen Schnitts sind in der Literatur ausführlich beschrieben. Sie sind so erstaunlich, dass sie die Gedanken vieler herausragender Denker eroberten und eine Aura des Mysteriums um sie herum schufen.

Der Goldene Schnitt findet sich in der Konfiguration von Pflanzen und Mineralien, der Struktur der Teile des Universums und der Tonleiter. Es spiegelt die globalen Prinzipien der Natur wider und durchdringt alle Organisationsebenen von lebenden und nicht lebenden Objekten. Es wird in der Architektur, Bildhauerei, Malerei, Wissenschaft, Computertechnik und beim Design von Haushaltsgegenständen verwendet. Kreationen, die die Konfiguration des Goldenen Schnitts tragen, wirken verhältnismäßig und konsistent, immer angenehm für das Auge, und die mathematische Sprache des Goldenen Schnitts selbst ist nicht weniger elegant und elegant.

Zusätzlich zu den Gleichheiten (5) können wir aus Relation (2) drei interessante Relationen unterscheiden, die eine gewisse Perfektion haben und sehr attraktiv und ästhetisch ansprechend aussehen:

(6)

Die Größe und Tiefe der Natur spürt man nicht nur beim Betrachten der Sterne oder Berggipfel, sondern auch beim Blick in erstaunliche Formeln, die von Mathematikern wegen ihrer Schönheit hoch geschätzt werden. Dazu gehören elegante Verhältnisse des Goldenen Schnitts, Eulers fantastische Formel e iπ = -1 (wobei ich= √-1), die Formel, die die berühmte Napier-Zahl (die Basis der natürlichen Logarithmen) definiert: e = lim(1 + 1/ n) n = 2,718 bei n→ ∞ und viele andere.

Nach dem Lösen des Anteils (1) erscheint seine Idee ziemlich einfach, aber wie so oft bei vielen scheinbar einfachen Problemen sind viele Feinheiten darin verborgen. Eine dieser bemerkenswerten Feinheiten, an denen die Forscher bisher vorbeigegangen sind, ist die Verbindung der Wurzeln der Gleichungen (3) und (4) mit den Ecken von drei wunderbaren Dreiecken.

Um dies zu sehen, betrachten wir, wie ein eindimensionales Segment, das proportional zum Goldenen Schnitt geteilt ist, leicht in ein zweidimensionales Bild in Form eines Dreiecks umgewandelt werden kann. Verwenden Sie dazu zunächst Abb. 1, auf dem Segment beiseite legen AB Segmentlänge a zweimal - vom Punkt SONDERN auf den Punkt BEIM und umgekehrt von dem Punkt BEIM zur Seite SONDERN. Wir bekommen zwei Punkte Mit 1 und Mit 2 Teilen des Segments AB von verschiedenen Enden im Verhältnis zum goldenen Schnitt (Abb. 3). Gleiche Segmente zählen AC 1 und Sonne 2 Radien und Punkte SONDERN und BEIM Zeichnen Sie in den Mittelpunkten der Kreise zwei Bögen, bis sie sich am oberen Punkt schneiden Mit. Indem man die Punkte verbindet SONDERN und Mit, und auch BEIM und MIT, erhalten Sie ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit den Parteien AB = a + b = 1, AC = = Sonne = a = d≈ 0,618. Der Wert der Winkel an den Scheitelpunkten SONDERN und BEIM bezeichnen α am Scheitelpunkt Mit- β. Lassen Sie uns diese Winkel berechnen.

Nach dem Kosinussatz

(AB) 2 = 2(AC) 2 (1 - cos β).

Ersetzen der numerischen Werte der Segmente AB und AC in diese Formel bekommen wir

Ebenso erhalten wir

(8)

Die Ausgabe des Goldenen Schnitts auf einem zweidimensionalen Bild ermöglichte es, die Wurzeln der Gleichungen (3) und (4) mit den Winkeln des Dreiecks zu verbinden ABC, die aufgerufen werden kann das erste Dreieck des Goldenen Schnitts.

Führen wir eine ähnliche Konstruktion mit Abb. 2. Wenn auf der Fortsetzung des Segments AB von dem Punkt verschieben BEIM rechts ein Segment gleicher Größe wie das Segment a, und rotieren um Mittelpunkte SONDERN und BEIM oben beide Segmente als Radien, bevor sie sich berühren, erhalten wir zweites Dreieck Goldener Schnitt(Abb. 4) . In diesem gleichschenkligen Dreieck die Seite AB = a + b= 1, Seite AC = Sonne = D≈1,618, und daher erhalten wir nach der Formel des Kosinussatzes

(9)

Spitzenwinkel a Mit ist gleich 36 o und ist durch das Verhältnis (8) mit dem Goldenen Schnitt verbunden. Wie im vorherigen Fall stehen die Winkel dieses Dreiecks in Beziehung zu den Wurzeln der Gleichungen (3) und (4).

Das zweite Dreieck des Goldenen Schnitts dient als Hauptbestandteil eines regelmäßigen konvexen Fünfecks und legt die Proportionen eines regelmäßigen Sternfünfecks (Pentagramm) fest, dessen Eigenschaften im Buch ausführlich besprochen werden.

Das Sternfünfeck ist eine symmetrische Figur, und gleichzeitig manifestiert sich ein asymmetrischer goldener Schnitt in den Verhältnissen seiner Segmente. Eine solche Kombination von Gegensätzen zieht immer mit einer tiefen Einheit an, deren Kenntnis es einem erlaubt, in die verborgenen Gesetze der Natur einzudringen und ihre außergewöhnliche Tiefe und Harmonie zu verstehen. Die Pythagoräer, die von der Konsonanz der Segmente im Sternenfünfeck erobert wurden, wählten es als Symbol ihrer wissenschaftlichen Gemeinschaft.

Seit der Zeit des Astronomen I. Kepler (XVII. Jahrhundert) wurden manchmal unterschiedliche Standpunkte darüber geäußert, was grundlegender ist - der Satz des Pythagoras oder der Goldene Schnitt. Der Satz des Pythagoras liegt am Fundament der Mathematik, er ist einer ihrer Eckpfeiler. Der Goldene Schnitt liegt der Harmonie und Schönheit des Universums zugrunde. Auf den ersten Blick ist es leicht verständlich und hat nicht viel Gründlichkeit. Dennoch wurden einige seiner unerwarteten und tiefgreifenden Eigenschaften erst in jüngster Zeit verstanden, was auf die Notwendigkeit hinweist, seine verborgene Subtilität und mögliche Universalität zu respektieren. Der Satz des Pythagoras und der Goldene Schnitt sind in ihrer Entwicklung eng miteinander verflochten und haben geometrische und algebraische Eigenschaften. Zwischen ihnen gibt es keinen Abgrund, keine grundlegenden Unterschiede. Sie konkurrieren nicht, sie haben unterschiedliche Zwecke.

Es ist möglich, dass beide Blickwinkel gleich sind, da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, das verschiedene Merkmale des Goldenen Schnitts enthält. Mit anderen Worten, es gibt eine geometrische Figur, die zwei erstaunliche mathematische Tatsachen ziemlich vollständig kombiniert - den Satz des Pythagoras und den Goldenen Schnitt.

Um ein solches Dreieck zu konstruieren, genügt es, die Seite zu verlängern Sonne Dreieck ABC(Abb. 4) vor dem Kreuzen an der Stelle E mit einer an einem Punkt wiederhergestellten Senkrechten SONDERN auf die Seite AB(Abb. 5).

In einem inneren gleichschenkligen Dreieck AS Winkel φ (Winkel AS) ist gleich 144 o, und der Winkel ψ (Winkel EAC und AES) ist gleich 18 o. Seite AC = CE = SW = D. Mit dem Satz des Pythagoras ist es einfach, die Beinlänge zu bestimmen

Mit diesem Ergebnis kommen wir leicht zu der Beziehung

Es wird also eine direkte Verbindung der Wurzel gefunden j 2 Gleichungen (4) - die letzte der Wurzeln der Gleichungen (3) und (4) - mit einem Winkel von 144 o. Aus diesem Grund das Dreieck AS kann angerufen werden das dritte Dreieck des Goldenen Schnitts.

Wenn in einem wunderbaren rechtwinkligen Dreieck AVE Zeichne eine Winkelhalbierende TAXI bis zur Kreuzung mit der Seite EV am Punkt F, wir werden das an der Seite sehen AB Es gibt vier Winkel: 36 o, 72 o, 108 o und 144 o, mit denen die Wurzeln der Gleichungen des Goldenen Schnitts direkt verbunden sind (Beziehungen (7) - (10)). Somit enthält das dargestellte rechtwinklige Dreieck die gesamte Galaxie gleichseitiger Dreiecke, die die Merkmale des Goldenen Schnitts aufweisen. Außerdem ist es sehr bemerkenswert, dass auf der Hypotenuse zwei beliebige Segmente liegen EU= D und CF= 1,0 stehen im Goldenen Schnitt mit FB = d. Der Winkel ψ bezieht sich auf die Nullstellen D und d Gleichungen (3) und (4) durch die Beziehungen

.

Die obigen Konstruktionen von gleichschenkligen Dreiecken, deren Winkel den Wurzeln der Gleichungen des Goldenen Schnitts zugeordnet sind, basieren auf dem Anfangssegment AB und seine Teile a und b. Mit dem Goldenen Schnitt können Sie jedoch nicht nur die oben beschriebenen Dreiecke modellieren, sondern auch verschiedene andere geometrische Formen, die Elemente harmonischer Beziehungen tragen.

Wir geben zwei Beispiele für solche Konstruktionen. Betrachten Sie zunächst das Segment AB in Abb. gezeigt. 1. Lassen Sie den Punkt Mit- Mittelpunkt des Kreises, Segment b- Radius. Lassen Sie uns einen Radius zeichnen b Kreis und Tangenten an einen Punkt SONDERN(Abb. 6). Berührungspunkte verbinden E und F mit einem Punkt Mit. Das Ergebnis ist eine asymmetrische Raute AECF, bei der die Diagonale AC teilt es in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke AS und ACF.

Lassen Sie uns einen von ihnen genauer betrachten, zum Beispiel ein Dreieck AS. In diesem Dreieck ist der Winkel AES- gerade, Hypotenuse AC = a, Bein CE = b und Bein AE = √ab≈ 0,486, was aus Beziehung (2) folgt. Also das Bein AE ist das geometrische Mittel (proportional) zwischen den Segmenten a und b, das heißt, es drückt das geometrische Symmetriezentrum zwischen den Zahlen aus a≈ 0,618 und b ≈ 0,382.

Lassen Sie uns die Werte der Winkel dieses Dreiecks finden:

Wie in den vorherigen Fällen sind die Winkel δ und ε durch einen Kosinus mit den Wurzeln der Gleichungen (3) und (4) verbunden.

Beachten Sie, dass eine asymmetrische Raute wie eine Raute ist AECF, erhalten durch Ziehen von Tangenten vom Punkt BEIM zu einem Radiuskreis a und auf einen Punkt zentriert SONDERN.

Asymmetrische Raute AECF auf andere Weise im Buch bei der Analyse von Formungs- und Wachstumsphänomenen bei Wildtieren gewonnen. Rechtwinkliges Dreieck AES in dieser Arbeit als "lebendes" Dreieck bezeichnet, da es in der Lage ist, visuelle Bilder zu erzeugen, die verschiedenen Strukturelementen der Natur entsprechen, und als Schlüssel zur Konstruktion geometrischer Schemata für den Beginn der Entwicklung einiger lebender Organismen dient.

Das zweite Beispiel bezieht sich auf das erste und dritte Dreieck des Goldenen Schnitts. Wir bilden eine Raute aus den ersten beiden gleichen Dreiecken des Goldenen Schnitts mit Innenwinkeln von 72 o und 108 o. In ähnlicher Weise kombinieren wir zwei gleiche dritte Dreiecke des Goldenen Schnitts zu einer Raute mit Innenwinkeln von 36 o und 144 o. Wenn die Seiten dieser Rauten einander gleich sind, können sie eine unendliche Ebene ohne Lücken und Überlappungen füllen. Der entsprechende Algorithmus zum Füllen der Ebene wurde Ende der 1970er Jahre von R. Penrose, einem theoretischen Physiker der Universität Oxford, entwickelt. Außerdem hat sich herausgestellt, dass es in dem resultierenden Mosaik unmöglich ist, eine Elementarzelle mit einer ganzzahligen Anzahl von Rhomben jedes Typs herauszugreifen, deren Übersetzung es ermöglichen würde, das gesamte Mosaik zu erhalten. Das Bemerkenswerteste war jedoch, dass bei der unendlichen Penrose-Kachelung das Verhältnis der Anzahl der "schmalen" Rauten zur Anzahl der "breiten" Rauten genau gleich dem Wert des Goldenen Schnitts ist d = 0,61803...!

In diesem Beispiel sind auf erstaunliche Weise alle durch Winkel ausgedrückten Wurzeln des Goldenen Schnitts mit einem der Fälle verbunden, in denen eine unendliche Ebene mit zwei elementaren Figuren - Rauten - nicht trivial gefüllt wird.

Abschließend stellen wir fest, dass die verschiedenen oben angeführten Beispiele für die Verbindung zwischen den Wurzeln der Gleichungen des Goldenen Schnitts und den Winkeln von Dreiecken die Tatsache veranschaulichen, dass der Goldene Schnitt ein umfassenderes Problem ist als bisher angenommen. Wenn früher der Geltungsbereich des Goldenen Schnitts letztendlich als das Verhältnis von Segmenten und verschiedenen Folgen angesehen wurde, die mit den numerischen Werten seiner Wurzeln (Fibonacci-Zahlen) verbunden sind, stellt man nun fest, dass der Goldene Schnitt eine Vielzahl geometrischer Objekte erzeugen kann , und die Wurzeln der Gleichungen haben einen expliziten trigonometrischen Ausdruck.

Die Autoren sind sich bewusst, dass der oben geäußerte Standpunkt zur Eleganz mathematischer Verhältnisse, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind, persönliche ästhetische Erfahrungen widerspiegelt. In der modernen philosophischen Literatur werden die Begriffe Ästhetik und Schönheit recht breit interpretiert und eher auf einer intuitiven Ebene verwendet. Diese Konzepte beziehen sich hauptsächlich auf die Kunst. Der Inhalt wissenschaftlicher Kreativität in ästhetischer Hinsicht wird in der Literatur praktisch nicht berücksichtigt. Zu den ästhetischen Parametern wissenschaftlicher Forschung gehören in erster Näherung ihre vergleichsweise Einfachheit, ihre inhärente Symmetrie und die Fähigkeit, visuelle Bilder zu erzeugen. Alle diese ästhetischen Parameter werden durch eine Aufgabe erfüllt, die als "goldener Schnitt" bezeichnet wird. Im Allgemeinen sind die Probleme der Ästhetik in der Wissenschaft noch lange nicht gelöst, obwohl sie von großem Interesse sind.

Es ist intuitiv zu spüren, dass der Goldene Schnitt immer noch seine Geheimnisse verbirgt. Einige von ihnen liegen möglicherweise an der Oberfläche und warten auf den ungewöhnlichen Blick ihrer neuen Forscher. Die Kenntnis der Eigenschaften des Goldenen Schnitts kann kreativen Menschen als gute Grundlage dienen, ihnen Selbstvertrauen geben Wissenschaft und in Leben.

LITERATUR

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3. Vasyutinskiy N. A. Goldener Schnitt.- M.: Junge Garde, 1990. - 238 S.

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6. Popkov V. V., Shipitsyn E. V. Der goldene Schnitt im Carnot-Zyklus// UFN, 2000, V. 170, Nr. 11.

7. Konstantinow I. Fantasie mit einem Dodekaeder// Wissenschaft und Leben, 2001, Nr. 2.

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