In der letzten Lektion haben wir gelernt, wie man Dezimalbrüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen“). Gleichzeitig schätzten sie, wie stark die Berechnungen im Vergleich zu den üblichen „zweistöckigen“ Brüchen vereinfacht werden.

Bei Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen tritt dieser Effekt leider nicht auf. In einigen Fällen erschwert die Dezimalschreibweise diese Operationen sogar.

Lassen Sie uns zunächst eine neue Definition einführen. Wir werden ihm noch oft begegnen, nicht nur in dieser Stunde.

Der signifikante Teil einer Zahl ist alles zwischen der ersten und der letzten Ziffer ungleich Null, einschließlich der Trailer. Wir sprechen nur über Zahlen, der Dezimalpunkt wird nicht berücksichtigt.

Die Ziffern, die im signifikanten Teil der Zahl enthalten sind, werden als signifikante Ziffern bezeichnet. Sie können sich wiederholen und sogar gleich Null sein.

Betrachten Sie beispielsweise mehrere Dezimalbrüche und schreiben Sie die entsprechenden signifikanten Teile aus:

1. 91,25 → 9125 (signifikante Zahlen: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (signifikante Zahlen: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (signifikante Ziffern: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (signifikante Zahlen: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (es gibt nur eine signifikante Zahl: 3).

Bitte beachten Sie: Nullen innerhalb des signifikanten Teils der Zahl gehen nirgendwo hin. Etwas Ähnliches ist uns schon begegnet, als wir gelernt haben, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln (siehe die Lektion „Dezimalbrüche“).

Dieser Punkt ist so wichtig, und hier werden so oft Fehler gemacht, dass ich demnächst einen Test zu diesem Thema veröffentlichen werde. Unbedingt üben! Und wir werden, bewaffnet mit dem Konzept eines bedeutenden Teils, tatsächlich zum Thema der Lektion übergehen.

Dezimale Multiplikation

Die Multiplikationsoperation besteht aus drei aufeinanderfolgenden Schritten:

1. Notieren Sie für jeden Bruchteil den signifikanten Teil. Sie erhalten zwei gewöhnliche ganze Zahlen - ohne Nenner und Dezimalpunkte;
2. Multiplizieren Sie diese Zahlen auf beliebige Weise. Direkt, wenn die Zahlen klein sind, oder in einer Spalte. Wir erhalten den wesentlichen Teil des gewünschten Bruchteils;
3. Finden Sie heraus, wo und um wie viele Stellen der Dezimalpunkt in den ursprünglichen Brüchen verschoben wird, um den entsprechenden signifikanten Teil zu erhalten. Führen Sie Rückwärtsverschiebungen an dem signifikanten Teil durch, der im vorherigen Schritt erhalten wurde.

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass Nullen an den Seiten des signifikanten Teils niemals berücksichtigt werden. Das Ignorieren dieser Regel führt zu Fehlern.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Wir arbeiten mit dem ersten Ausdruck: 0,28 12,5.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile für die Zahlen aus diesem Ausdruck ausschreiben: 28 und 125;
2. Ihr Produkt: 28 125 = 3500;
3. Im ersten Multiplikator wird der Dezimalpunkt um 2 Ziffern nach rechts verschoben (0,28 → 28) und im zweiten um eine weitere Ziffer. Insgesamt ist eine Verschiebung um drei Stellen nach links erforderlich: 3500 → 3,500 = 3,5.

Betrachten wir nun den Ausdruck 6.3 1.08.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile aufschreiben: 63 und 108;
2. Ihr Produkt: 63 108 = 6804;
3. Wieder zwei Verschiebungen nach rechts: um 2 bzw. 1 Stelle. Insgesamt - wieder 3 Ziffern nach rechts, also wird die Rückwärtsverschiebung 3 Ziffern nach links sein: 6804 → 6,804. Diesmal gibt es keine Nullen am Ende.

Wir kommen zum dritten Ausdruck: 132,5 0,0034.

1. Bedeutende Teile: 1325 und 34;
2. Ihr Produkt: 1325 34 = 45.050;
3. Im ersten Bruch geht der Dezimalpunkt um 1 Ziffer nach rechts und im zweiten um bis zu 4. Gesamt: 5 nach rechts. Wir verschieben um 5 nach links: 45050 → .45050 = 0.4505. Null wurde am Ende entfernt und vorne hinzugefügt, um keinen „nackten“ Dezimalpunkt zu hinterlassen.

Der folgende Ausdruck: 0,0108 1600,5.

1. Wir schreiben wichtige Teile: 108 und 16 005;
2. Wir multiplizieren sie: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Wir zählen die Zahlen nach dem Komma: In der ersten Zahl gibt es 4, in der zweiten - 1. Insgesamt - wieder 5. Wir haben: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Am Ende wurde die „zusätzliche“ Null entfernt.

Schließlich der letzte Ausdruck: 5,25 10.000.

1. Bedeutende Teile: 525 und 1;
2. Wir multiplizieren sie: 525 1 = 525;
3. Der erste Bruch wird um 2 Stellen nach rechts verschoben, und der zweite Bruch wird um 4 Stellen nach links verschoben (10.000 → 1,0000 = 1). Summe 4 − 2 = 2 Ziffern nach links. Wir führen eine Rückverschiebung um 2 Ziffern nach rechts durch: 525, → 52 500 (wir mussten Nullen hinzufügen).

Beachten Sie das letzte Beispiel: Da sich der Dezimalpunkt in verschiedene Richtungen bewegt, erfolgt die gesamte Verschiebung durch die Differenz. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Hier ist ein weiteres Beispiel:

Betrachten wir die Zahlen 1,5 und 12 500. Wir haben: 1,5 → 15 (Verschiebung um 1 nach rechts); 12 500 → 125 (Verschiebung 2 nach links). Wir „schreiten“ 1 Ziffer nach rechts und dann 2 Ziffern nach links. Als Ergebnis sind wir 2 − 1 = 1 Stelle nach links gegangen.

Dezimalteilung

Die Teilung ist vielleicht die schwierigste Operation. Natürlich können Sie hier analog zur Multiplikation vorgehen: Teilen Sie die signifikanten Teile und „verschieben“ Sie dann den Dezimalpunkt. Aber in diesem Fall gibt es viele Feinheiten, die das Einsparpotenzial zunichte machen.

Schauen wir uns also einen generischen Algorithmus an, der etwas länger, aber viel zuverlässiger ist:

1. Wandle alle Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um. Mit ein wenig Übung dauert dieser Schritt nur wenige Sekunden;
2. Teilen Sie die resultierenden Brüche auf klassische Weise. Mit anderen Worten, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem "umgekehrten" zweiten (siehe Lektion " Multiplikation und Division von numerischen Brüchen");
3. Geben Sie das Ergebnis nach Möglichkeit als Dezimalzahl zurück. Auch dieser Schritt geht schnell, denn oft hat der Nenner schon eine Zehnerpotenz.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Wir betrachten den ersten Ausdruck. Lassen Sie uns zuerst Obi-Brüche in Dezimalzahlen umwandeln:

Das Gleiche machen wir mit dem zweiten Ausdruck. Der Zähler des ersten Bruchs wird wieder in Faktoren zerlegt:

Im dritten und vierten Beispiel gibt es einen wichtigen Punkt: Nach dem Wegfall der Dezimalschreibweise erscheinen kürzbare Brüche. Wir werden diese Kürzung jedoch nicht durchführen.

Das letzte Beispiel ist interessant, weil der Zähler des zweiten Bruchs eine Primzahl ist. Hier gibt es einfach nichts zu faktorisieren, also betrachten wir es als „blank through“:

Manchmal ergibt die Division eine ganze Zahl (ich spreche vom letzten Beispiel). In diesem Fall wird der dritte Schritt überhaupt nicht durchgeführt.

Außerdem entstehen beim Dividieren oft „hässliche“ Brüche, die sich nicht in Dezimalzahlen umwandeln lassen. Hier unterscheidet sich die Division von der Multiplikation, bei der die Ergebnisse immer in Dezimalform ausgedrückt werden. Natürlich wird auch in diesem Fall der letzte Schritt wieder nicht durchgeführt.

Beachten Sie auch das 3. und 4. Beispiel. Dabei kürzen wir bewusst keine gewöhnlichen Brüche aus Dezimalzahlen. Andernfalls wird es das umgekehrte Problem verkomplizieren - die endgültige Antwort wieder in Dezimalform darzustellen.

Denken Sie daran: Die Grundeigenschaft eines Bruchs (wie jede andere Regel in der Mathematik) an sich bedeutet nicht, dass er überall und immer und bei jeder Gelegenheit angewendet werden muss.

In diesem Lernprogramm werden wir uns jede dieser Operationen einzeln ansehen.

Unterrichtsinhalt

Dezimalstellen hinzufügen

Wie wir wissen, hat eine Dezimalzahl einen ganzzahligen Teil und einen Bruchteil. Beim Addieren von Dezimalzahlen werden die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addiert.

Addieren wir zum Beispiel die Dezimalstellen 3,2 und 5,3. Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen.

Zuerst schreiben wir diese beiden Brüche in eine Spalte, wobei die ganzzahligen Teile unter den ganzzahligen Teilen stehen müssen und die gebrochenen unter den gebrochenen. In der Schule wird diese Anforderung genannt "Komma unter Komma".

Schreiben wir die Brüche so in eine Spalte, dass das Komma unter dem Komma steht:

Wir fangen an, die Bruchteile zu addieren: 2 + 3 \u003d 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile: 3 + 5 = 8. Wir schreiben die Acht in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu folgen wir wieder der Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 8.5. Der Ausdruck 3,2 + 5,3 ist also gleich 8,5

Tatsächlich ist nicht alles so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch hier gibt es Fallstricke, über die wir jetzt sprechen werden.

Stellen in Dezimalstellen

Dezimalzahlen haben wie gewöhnliche Zahlen ihre eigenen Ziffern. Das sind Zehntelstellen, Hundertstelstellen, Tausendstelstellen. In diesem Fall beginnen die Ziffern nach dem Komma.

Die erste Nachkommastelle ist für die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle für die Hundertstelstelle, die dritte Nachkommastelle für die Tausendstelstelle zuständig.

Dezimalziffern speichern einige nützliche Informationen. Insbesondere geben sie an, wie viele Zehntel, Hundertstel und Tausendstel in einer Dezimalzahl enthalten sind.

Betrachten Sie zum Beispiel die Dezimalzahl 0,345

Die Position, an der sich das Tripel befindet, wird aufgerufen zehnter Platz

Die Position, an der sich die Vier befindet, wird aufgerufen Hundertstel Stelle

Die Position, an der sich die Fünf befindet, wird aufgerufen Tausendstel

Schauen wir uns diese Figur an. Wir sehen, dass es in der Kategorie der Zehntel eine Drei gibt. Dies deutet darauf hin, dass der Dezimalbruch 0,345 drei Zehntel enthält.

Wenn wir die Brüche addieren, erhalten wir den ursprünglichen Dezimalbruch 0,345

Es ist ersichtlich, dass wir zuerst die Antwort erhalten haben, sie aber in einen Dezimalbruch umgewandelt haben und 0,345 erhalten haben.

Beim Addieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Prinzipien und Regeln wie beim Addieren gewöhnlicher Zahlen. Die Addition von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise: Zehntel werden zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert.

Daher muss beim Addieren von Dezimalbrüchen die Regel befolgt werden "Komma unter Komma". Das Komma unter dem Komma gibt genau die Reihenfolge an, in der Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert werden.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4

Zunächst addieren wir die Nachkommastellen 5 + 4 = 9. Wir schreiben die Neun in die Nachkommastellen unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 1 + 3 = 4. Wir schreiben die vier in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu beachten wir wieder die Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 4.9. Der Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4 ist also 4,9

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,51 + 1,22

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die Regel "Komma unter Komma" beachten.

Addiere zuerst den Bruchteil, nämlich die Hundertstel 1+2=3. Wir schreiben das Tripel in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere nun Zehntel von 5+2=7. Die sieben schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 3+1=4 hinzu. Wir schreiben die vier im ganzen Teil unserer Antwort auf:

Wir trennen den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma, wobei wir die „Komma unter dem Komma“-Regel beachten:

Habe die Antwort 4.73. Der Wert des Ausdrucks 3,51 + 1,22 ist also 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Wie bei gewöhnlichen Zahlen gilt auch beim Addieren von Dezimalbrüchen . In diesem Fall wird eine Ziffer in die Antwort geschrieben und der Rest auf die nächste Ziffer übertragen.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27

Diesen Ausdruck schreiben wir in eine Spalte:

Addiere Hundertstel von 5+7=12. Die Zahl 12 passt nicht in den hundertsten Teil unserer Antwort. Deshalb schreiben wir im hundertsten Teil die Zahl 2 und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die Zehntel von 6+2=8 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 9. Wir schreiben die Zahl 9 in das Zehntel unserer Antwort:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 2+3=5 hinzu. Wir schreiben die Zahl 5 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Habe die Antwort 5.92. Der Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27 ist also 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8

Schreiben Sie diesen Ausdruck in eine Spalte

Wir addieren die Bruchteile 5 + 8 = 13. Die Zahl 13 passt nicht in den Bruchteil unserer Antwort, also schreiben wir zuerst die Zahl 3 auf und übertragen die Einheit auf die nächste Ziffer, bzw. übertragen sie auf die ganze Zahl Teil:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 9+2=11 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 12. Wir schreiben die Zahl 12 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 12.3. Der Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8 ist also 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Bei der Addition von Dezimalbrüchen muss die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich sein. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese Stellen im Bruchteil mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 12,725 + 1,7

Bevor wir diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben, lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Der Dezimalbruch 12,725 hat drei Stellen nach dem Komma, während der Bruch 1,7 nur eine hat. Also musst du im Bruch 1,7 am Ende zwei Nullen hinzufügen. Dann erhalten wir den Bruchteil 1.700. Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und mit der Berechnung beginnen:

Addiere Tausendstel von 5+0=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den tausendsten Teil unserer Antwort:

Addiere Hundertstel von 2+0=2. Wir schreiben die Zahl 2 in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere Zehntel von 7+7=14. Die Zahl 14 passt nicht in ein Zehntel unserer Antwort. Deshalb schreiben wir zuerst die Zahl 4 auf und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 12+1=13 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 14. Wir schreiben die Zahl 14 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 14.425. Der Wert des Ausdrucks 12,725+1,700 ist also 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Subtraktion von Dezimalstellen

Beim Subtrahieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Addieren: „ein Komma unter einem Komma“ und „gleich viele Stellen nach einem Komma“.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die „Komma unter Komma“-Regel beachten:

Wir berechnen den Bruchteil 5−2=3. Wir schreiben die Zahl 3 in den zehnten Teil unserer Antwort:

Berechnen Sie den ganzzahligen Teil 2−2=0. Wir schreiben Null in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben die Antwort 0,3. Der Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2 ist also gleich 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7,353 - 3,1

Dieser Ausdruck hat eine andere Anzahl von Nachkommastellen. Beim Bruch 7,353 gibt es drei Nachkommastellen und beim Bruch 3,1 nur eine. Das bedeutet, dass beim Bruch 3.1 zwei Nullen am Ende hinzugefügt werden müssen, damit die Anzahl der Stellen in beiden Brüchen gleich ist. Dann bekommen wir 3.100.

Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und berechnen:

Habe die Antwort 4.253. Der Wert des Ausdrucks 7,353 − 3,1 ist also 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Wie bei gewöhnlichen Zahlen müssen Sie manchmal eine vom benachbarten Bit ausleihen, wenn eine Subtraktion unmöglich wird.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39

Subtrahiere Hundertstel von 6−9. Subtrahieren Sie von der Zahl 6 nicht die Zahl 9. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Aus der Zahl 6 wird durch Ausleihen von der Nachbarziffer die Zahl 16. Jetzt können wir die Hundertstel von 16−9=7 berechnen. Wir schreiben die sieben in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Ziehe jetzt Zehntel ab. Da wir eine Einheit in die Kategorie der Zehntel genommen haben, hat sich die Zahl, die sich dort befand, um eine Einheit verringert. Mit anderen Worten, die zehnte Stelle ist jetzt nicht die Zahl 4, sondern die Zahl 3. Berechnen wir die Zehntel von 3−3=0. Wir schreiben Null in den zehnten Teil unserer Antwort:

Subtrahiere nun die ganzzahligen Teile 3−2=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.07. Der Wert des Ausdrucks 3,46−2,39 ist also gleich 1,07

3,46−2,39=1,07

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3−1,2

Dieses Beispiel subtrahiert eine Dezimalzahl von einer ganzen Zahl. Schreiben wir diesen Ausdruck so in eine Spalte, dass der ganzzahlige Teil des Dezimalbruchs 1,23 unter der Zahl 3 steht

Lassen Sie uns nun die Anzahl der Nachkommastellen gleich machen. Setzen Sie dazu nach der Zahl 3 ein Komma und fügen Sie eine Null hinzu:

Jetzt Zehntel subtrahieren: 0−2. Subtrahieren Sie nicht die Zahl 2 von 0. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Indem Sie eins von der benachbarten Ziffer leihen, wird aus 0 die Zahl 10. Jetzt können Sie die Zehntel von 10−2=8 berechnen. Die acht schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Subtrahiere nun die ganzen Teile. Früher befand sich die Zahl 3 in der ganzen Zahl, aber wir haben uns eine Einheit davon geliehen. Als Ergebnis wurde daraus die Zahl 2. Daher subtrahieren wir 1 von 2. 2−1=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.8. Der Wert des Ausdrucks 3−1,2 ist also 1,8

Dezimale Multiplikation

Dezimalzahlen zu multiplizieren ist einfach und macht sogar Spaß. Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, musst du sie wie normale Zahlen multiplizieren und die Kommas ignorieren.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen zählen, dann rechts in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen zählen und ein Komma setzen.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5

Wir multiplizieren diese Dezimalbrüche als gewöhnliche Zahlen, wobei wir die Kommas ignorieren. Um die Kommas zu ignorieren, können Sie sich vorübergehend vorstellen, dass sie ganz fehlen:

Wir haben 375. Bei dieser Zahl muss der ganze Teil vom Bruchteil mit einem Komma getrennt werden. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Bruchteilen von 2,5 und 1,5 zählen. Beim ersten Bruch steht eine Nachkommastelle, beim zweiten Bruch ebenfalls eine. Insgesamt zwei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 375 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 3,75. Der Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5 ist also 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7

Lassen Sie uns diese Dezimalstellen multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren:

Wir haben 34695. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 12,85 und 2,7 berechnen. Beim Bruch 12,85 stehen zwei Nachkommastellen, beim Bruch 2,7 eine Stelle – also insgesamt drei Stellen.

Wir kehren zur Nummer 34695 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Ich habe die Antwort 34.695 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7 ist also 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer regulären Zahl

Manchmal gibt es Situationen, in denen Sie einen Dezimalbruch mit einer regulären Zahl multiplizieren müssen.

Um eine Dezimalzahl und eine gewöhnliche Zahl zu multiplizieren, müssen Sie sie unabhängig vom Komma in der Dezimalzahl multiplizieren. Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Stellen nach dem Dezimalkomma im Dezimalbruch zählen, dann in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts zählen und ein Komma setzen.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,54 mit 2

Wir multiplizieren den Dezimalbruch 2,54 mit der üblichen Zahl 2, wobei wir das Komma ignorieren:

Wir haben die Nummer 508. In dieser Nummer müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,54 zählen. Der Bruch 2,54 hat zwei Nachkommastellen.

Wir kehren zur Nummer 508 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 5.08. Der Wert des Ausdrucks 2,54 × 2 ist also 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit regulären Zahlen. Es ist notwendig, die Multiplikation durchzuführen, wobei das Komma im Dezimalbruch ignoriert wird, und dann in der Antwort den ganzzahligen Teil vom Bruchteil zu trennen und rechts die gleiche Anzahl von Ziffern zu zählen, wie es Ziffern nach dem Dezimalkomma in der Dezimalzahl gab Fraktion.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,88 mit 10

Lassen Sie uns den Dezimalbruch 2,88 mit 10 multiplizieren und dabei das Komma im Dezimalbruch ignorieren:

Wir haben 2880. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,88 zählen. Wir sehen, dass im Bruch 2,88 zwei Nachkommastellen stehen.

Wir kehren zur Nummer 2880 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 28.80. Wir verwerfen die letzte Null - wir erhalten 28,8. Der Wert des Ausdrucks 2,88 × 10 ist also 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass sich das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts verschiebt, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 2,88 × 10 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, schauen wir uns sofort den Faktor 10 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um eine Stelle nach rechts, wir erhalten 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Versuchen wir, 2,88 mit 100 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 100 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um zwei Stellen nach rechts, wir erhalten 288

2,88 x 100 = 288

Versuchen wir, 2,88 mit 1000 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 1000 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir beim Bruch 2,88 das Komma um drei Stellen nach rechts. Die dritte Ziffer fehlt, also fügen wir eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Multiplizieren von Dezimalstellen mit 0,1 0,01 und 0,001

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 funktioniert genauso wie das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl. Es ist notwendig, Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu multiplizieren und ein Komma in die Antwort zu setzen, wobei rechts so viele Ziffern zu zählen sind, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Multiplizieren Sie beispielsweise 3,25 mit 0,1

Wir multiplizieren diese Brüche wie gewöhnliche Zahlen und ignorieren dabei die Kommas:

Wir haben 325. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 3,25 und 0,1 berechnen. Beim Bruch 3,25 gibt es zwei Nachkommastellen, beim Bruch 0,1 eine Nachkommastelle. Insgesamt drei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 325 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern rechts zählen und ein Komma setzen. Nachdem wir drei Ziffern gezählt haben, stellen wir fest, dass die Zahlen zu Ende sind. In diesem Fall müssen Sie eine Null hinzufügen und ein Komma setzen:

Wir haben die Antwort 0,325 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 3,25 × 0,1 ist also 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach links wandert, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 3,25 × 0,1 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, betrachten wir sofort den Faktor 0,1. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um eine Stelle nach links. Wenn wir das Komma um eine Ziffer nach links verschieben, sehen wir, dass vor der Drei keine Ziffer mehr steht. Fügen Sie in diesem Fall eine Null hinzu und setzen Sie ein Komma. Als Ergebnis erhalten wir 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,01 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,01 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um zwei Stellen nach links, wir erhalten 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,001 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,001 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um drei Stellen nach links, wir erhalten 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Verwechseln Sie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,001 und 0,001 nicht mit dem Multiplizieren mit 10, 100, 1000. Ein häufiger Fehler, den die meisten Menschen machen.

Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 wird das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Und beim Multiplizieren mit 0,1, 0,01 und 0,001 wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Wenn es anfangs schwierig ist, sich zu erinnern, können Sie die erste Methode verwenden, bei der die Multiplikation wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt wird. In der Antwort müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennen, indem Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Dividieren einer kleineren Zahl durch eine größere. Fortgeschrittenes Level.

In einer der vorherigen Lektionen haben wir gesagt, dass beim Teilen einer kleineren Zahl durch eine größere ein Bruch erhalten wird, in dessen Zähler der Dividende und in dessen Nenner der Divisor steht.

Um zum Beispiel einen Apfel in zwei Teile zu teilen, musst du 1 (ein Apfel) in den Zähler und 2 (zwei Freunde) in den Nenner schreiben. Das Ergebnis ist ein Bruchteil. Also bekommt jeder Freund einen Apfel. Mit anderen Worten, ein halber Apfel. Ein Bruchteil ist die Antwort auf ein Problem wie man einen apfel zwischen zwei teilt

Es stellt sich heraus, dass Sie dieses Problem weiter lösen können, wenn Sie 1 durch 2 dividieren. Schließlich bedeutet ein Bruchstrich in jedem Bruch eine Division, was bedeutet, dass diese Division auch in einem Bruch erlaubt ist. Aber wie? Wir sind daran gewöhnt, dass der Dividenden immer größer als der Divisor ist. Und hier ist im Gegenteil der Dividenden kleiner als der Divisor.

Alles wird klar, wenn wir uns daran erinnern, dass ein Bruch Zerkleinern, Teilen, Teilen bedeutet. Das bedeutet, dass das Gerät in beliebig viele Teile zerlegt werden kann und nicht nur in zwei Teile.

Wenn Sie eine kleinere Zahl durch eine größere teilen, erhalten Sie einen Dezimalbruch, bei dem der ganzzahlige Teil 0 (Null) ist. Der Bruchteil kann alles sein.

Teilen wir also 1 durch 2. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Man kann nicht einfach so in zwei geteilt werden. Wenn Sie eine Frage stellen "wie viele zwei sind in einer" , dann ist die Antwort 0. Daher schreiben wir privat 0 und setzen ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir wie üblich den Quotienten mit dem Divisor, um den Rest herauszuziehen:

Der Moment ist gekommen, in dem die Einheit in zwei Teile geteilt werden kann. Fügen Sie dazu rechts neben der empfangenen eine weitere Null hinzu:

Wir haben 10. Wir teilen 10 durch 2, wir bekommen 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt nehmen wir den letzten Rest heraus, um die Berechnung abzuschließen. Multipliziere 5 mit 2, wir bekommen 10

Wir haben die Antwort 0,5 bekommen. Der Bruch ist also 0,5

Ein halber Apfel kann auch mit dem Dezimalbruch 0,5 geschrieben werden. Wenn wir diese beiden Hälften (0,5 und 0,5) addieren, erhalten wir wieder den ursprünglichen einen ganzen Apfel:

Dieser Punkt kann auch verstanden werden, wenn wir uns vorstellen, wie 1 cm in zwei Teile geteilt wird. Wenn Sie 1 Zentimeter in 2 Teile teilen, erhalten Sie 0,5 cm

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4:5

Wie viele Fünfer sind vier? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben Null unter die Vier. Subtrahieren Sie diese Null sofort vom Dividenden:

Beginnen wir nun damit, die vier in 5 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu addieren wir rechts von 4 Null und teilen 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben die Acht privat.

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 8 mit 5 multiplizieren und erhalten 40:

Wir haben die Antwort 0,8 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 4: 5 ist also 0,8

Beispiel 3 Finden Sie den Wert von Ausdruck 5: 125

Wie viele Zahlen 125 sind in fünf? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben 0 unter die fünf. Ziehe sofort von den fünf 0 ab

Beginnen wir nun damit, die fünf in 125 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu schreiben wir rechts von diesen fünf eine Null:

Teilen Sie 50 durch 125. Wie viele Zahlen 125 sind 50? Gar nicht. Also schreiben wir in den Quotienten wieder 0

Wir multiplizieren 0 mit 125, wir erhalten 0. Wir schreiben diese Null unter 50. Subtrahieren Sie sofort 0 von 50

Jetzt teilen wir die Zahl 50 in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von 50 eine weitere Null:

Teilen Sie 500 durch 125. Wie viele Zahlen sind 125 in der Zahl 500. In der Zahl 500 gibt es vier Zahlen 125. Wir schreiben die vier privat:

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 4 mit 125 multiplizieren und erhalten 500

Wir haben die Antwort 0,04 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 5: 125 ist also 0,04

Division von Zahlen ohne Rest

Setzen wir also ein Komma in den Quotienten nach der Einheit, um anzuzeigen, dass die Division der ganzzahligen Teile beendet ist, und fahren wir mit dem Bruchteil fort:

Null zum Rest addieren 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat:

40−40=0. Im Rest 0 erhalten. Damit ist die Teilung vollständig abgeschlossen. Die Division von 9 durch 5 ergibt eine Dezimalzahl von 1,8:

9: 5 = 1,8

Beispiel 2. Teilen Sie 84 ohne Rest durch 5

Zuerst teilen wir wie gewohnt 84 durch 5 mit Rest:

Privat erhalten 16 und 4 weitere in der Bilanz. Jetzt dividieren wir diesen Rest durch 5. Wir setzen ein Komma in das Private und addieren 0 zum Rest 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht im Quotienten nach dem Komma:

und vervollständigen Sie das Beispiel, indem Sie prüfen, ob noch ein Rest vorhanden ist:

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine normale Zahl

Ein Dezimalbruch besteht bekanntlich aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Wenn Sie einen Dezimalbruch durch eine normale Zahl dividieren, benötigen Sie zunächst:

• dividiere den ganzzahligen Teil des Dezimalbruchs durch diese Zahl;
• Nachdem der ganzzahlige Teil dividiert wurde, müssen Sie sofort ein Komma in den privaten Teil setzen und die Berechnung wie bei einer normalen Division fortsetzen.

Teilen wir zum Beispiel 4,8 durch 2

Schreiben wir dieses Beispiel als Ecke:

Jetzt teilen wir den ganzen Teil durch 2. Vier geteilt durch zwei ist zwei. Wir schreiben die Zwei privat und setzen sofort ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und sehen, ob bei der Division ein Rest übrig bleibt:

4−4=0. Der Rest ist Null. Wir schreiben noch keine Null, da die Lösung noch nicht abgeschlossen ist. Dann rechnen wir weiter, wie bei der gewöhnlichen Division. Nehmen Sie 8 ab und teilen Sie es durch 2

8: 2 = 4. Wir schreiben die Vier in den Quotienten und multiplizieren ihn gleich mit dem Divisor:

Habe die Antwort 2.4. Ausdruckswert 4,8: ​​2 entspricht 2,4

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 8,43:3

Wir teilen 8 durch 3, wir erhalten 2. Setzen Sie sofort ein Komma nach den beiden:

Nun multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor 2 × 3 = 6. Wir schreiben die Sechs unter die Acht und finden den Rest:

Wir teilen 24 durch 3, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat. Wir multiplizieren es sofort mit dem Divisor, um den Rest der Division zu finden:

24−24=0. Der Rest ist Null. Null ist noch nicht aufgezeichnet. Nehmen Sie die letzten drei des Dividenden und dividieren Sie durch 3, wir erhalten 1. Multiplizieren Sie sofort 1 mit 3, um dieses Beispiel zu vervollständigen:

Habe die Antwort 2.81. Der Wert des Ausdrucks 8,43: 3 ist also gleich 2,81

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl

Um einen Dezimalbruch in einen Dezimalbruch zu teilen, verschieben Sie im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, die nach dem Dezimalkomma im Divisor stehen, und dividieren Sie dann durch eine reguläre Zahl.

Teilen Sie zum Beispiel 5,95 durch 1,7

Lassen Sie uns diesen Ausdruck als Ecke schreiben

Jetzt verschieben wir im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, wie es im Divisor nach dem Komma gibt. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also müssen wir im Dividenden und im Divisor das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Übertragen:

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben wurde, wurde aus dem Dezimalbruch 5,95 ein Bruch 59,5. Und der Dezimalbruch 1,7 verwandelte sich nach dem Verschieben des Dezimalkommas um eine Ziffer nach rechts in die übliche Zahl 17. Und wir wissen bereits, wie man den Dezimalbruch durch die übliche Zahl dividiert. Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Das Komma wird nach rechts verschoben, um die Trennung zu erleichtern. Dies ist möglich, da sich beim Multiplizieren oder Dividieren des Dividenden und des Divisors mit derselben Zahl der Quotient nicht ändert. Was bedeutet das?

Dies ist eines der interessanten Merkmale der Teilung. Nennt sich Privateigentum. Betrachten Sie Ausdruck 9: 3 = 3. Wenn in diesem Ausdruck der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Quotient 3 nicht.

Lassen Sie uns den Dividenden und den Divisor mit 2 multiplizieren und sehen, was passiert:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, hat sich der Quotient nicht verändert.

Dasselbe passiert, wenn wir im Dividenden und im Divisor ein Komma führen. Im vorherigen Beispiel, wo wir 5,91 durch 1,7 dividiert haben, haben wir das Komma im Dividenden und Divisor um eine Stelle nach rechts verschoben. Nach dem Verschieben des Kommas wurde der Bruch 5,91 in den Bruch 59,1 und der Bruch 1,7 in die übliche Zahl 17 umgewandelt.

Tatsächlich fand innerhalb dieses Prozesses eine Multiplikation mit 10 statt, die so aussah:

5,91 × 10 = 59,1

Daher hängt die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor davon ab, womit der Dividende und der Divisor multipliziert werden. Mit anderen Worten, die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor bestimmt, wie viele Stellen im Dividenden und im Divisor das Komma nach rechts verschoben wird.

Dezimalteilung durch 10, 100, 1000

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Teilen wir zum Beispiel 2,1 durch 10. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie es Nullen im Divisor gibt.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 2.1: 10. Wir schauen uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach links verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach links und sehen, dass keine Ziffern mehr übrig sind. In diesem Fall fügen wir vor der Zahl eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 0,21

Versuchen wir, 2,1 durch 100 zu teilen. Die Zahl 100 enthält zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 100 = 0,021

Versuchen wir, 2,1 durch 1000 zu teilen. Die Zahl 1000 enthält drei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 1000 = 0,0021

Dezimalteilung durch 0,1, 0,01 und 0,001

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 0,1, 0,01 und 0,001 erfolgt auf die gleiche Weise wie bei . Im Dividenden und im Divisor müssen Sie das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie im Divisor nach dem Komma stehen.

Teilen wir zum Beispiel 6,3 durch 0,1. Zunächst verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um eine Stelle nach rechts.

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschoben wurde, wird aus dem Dezimalbruch 6,3 die übliche Zahl 63, und aus dem Dezimalbruch 0,1 wird nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Ziffer nach rechts eins. Und 63 durch 1 zu teilen ist sehr einfach:

Der Wert des Ausdrucks 6,3: 0,1 ist also gleich 63

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 6.3:0.1. Schauen wir uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach rechts verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach rechts und erhalten 63

Versuchen wir, 6,3 durch 0,01 zu teilen. Der Divisor 0,01 hat zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach rechts verschieben. Aber im Dividenden gibt es nur eine Nachkommastelle. In diesem Fall muss am Ende noch eine Null hinzugefügt werden. Als Ergebnis erhalten wir 630

Versuchen wir, 6,3 durch 0,001 zu teilen. Der Divisor von 0,001 hat drei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach rechts verschieben:

6,3: 0,001 = 6300

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

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Wie normale Zahlen.

2. Wir zählen die Anzahl der Dezimalstellen für den 1. Dezimalbruch und für den 2. Dezimalbruch. Wir addieren ihre Zahl.

3. Im Endergebnis zählen wir von rechts nach links so viele Ziffern, wie sie sich im obigen Absatz herausgestellt haben, und setzen ein Komma.

Regeln zum Multiplizieren von Dezimalzahlen.

1. Multipliziere ohne auf das Komma zu achten.

2. Im Produkt trennen wir so viele Nachkommastellen, wie in beiden Faktoren zusammen Nachkommastellen vorhanden sind.

Um einen Dezimalbruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie:

1. Multipliziere Zahlen, ignoriere das Komma;

2. Als Ergebnis setzen wir ein Komma, damit rechts davon so viele Ziffern stehen wie in einem Dezimalbruch.

Multiplikation von Dezimalbrüchen mit einer Spalte.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wir schreiben Dezimalbrüche in eine Spalte und multiplizieren sie als natürliche Zahlen, wobei wir die Kommas ignorieren. Jene. Wir betrachten 3,11 als 311 und 0,01 als 1.

Das Ergebnis ist 311. Als nächstes zählen wir die Anzahl der Dezimalstellen (Ziffern) für beide Brüche. Es gibt 2 Stellen in der 1. Dezimalstelle und 2 in der 2.. Die Gesamtzahl der Stellen nach dem Komma:

2 + 2 = 4

Wir zählen von rechts nach links vier Zeichen des Ergebnisses. Im Endergebnis gibt es weniger Ziffern, als Sie mit einem Komma trennen müssen. In diesem Fall ist es notwendig, die fehlende Anzahl von Nullen auf der linken Seite hinzuzufügen.

In unserem Fall fehlt die 1. Ziffer, also fügen wir links 1 Null hinzu.

Beachten Sie:

Wenn Sie einen beliebigen Dezimalbruch mit 10, 100, 1000 usw. multiplizieren, wird das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie es Nullen nach der Eins gibt.

zum Beispiel:

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Beachten Sie:

Um eine Dezimalzahl mit 0,1 zu multiplizieren; 0,01; 0,001; usw. müssen Sie in diesem Bruch das Komma um so viele Stellen nach links verschieben, wie Nullen vor der Einheit stehen.

Wir zählen null ganze Zahlen!

Zum Beispiel:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

Der Dezimalbruch wird verwendet, wenn Sie Operationen mit nicht ganzzahligen Zahlen ausführen müssen. Das mag irrational erscheinen. Aber diese Art von Zahlen erleichtert die mathematischen Operationen, die mit ihnen durchgeführt werden müssen, erheblich. Dieses Verständnis kommt mit der Zeit, wenn ihr Schreiben vertraut wird und das Lesen keine Schwierigkeiten bereitet und die Regeln der Dezimalbrüche gemeistert werden. Außerdem wiederholen alle Aktionen die bereits bekannten, aus denen gelernt wird natürliche Zahlen. Sie müssen sich nur einige Funktionen merken.

Dezimaldefinition

Eine Dezimalzahl ist eine spezielle Darstellung einer nicht ganzzahligen Zahl mit einem Nenner, der durch 10 teilbar ist, und die Antwort ist eins und möglicherweise Nullen. Mit anderen Worten, wenn der Nenner 10, 100, 1000 usw. ist, ist es bequemer, die Zahl mit einem Komma umzuschreiben. Dann steht der ganzzahlige Teil davor und dann der Bruchteil. Darüber hinaus hängt die Aufzeichnung der zweiten Hälfte der Zahl vom Nenner ab. Die Anzahl der Ziffern im Bruchteil muss gleich dem Nenner sein.

Das Obige lässt sich mit diesen Zahlen veranschaulichen:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Gründe für die Verwendung von Dezimalzahlen

Mathematiker brauchten Dezimalzahlen aus mehreren Gründen:

Aufnahme vereinfachen. Ein solcher Bruch befindet sich entlang einer Linie ohne Bindestrich zwischen Nenner und Zähler, wobei die Übersichtlichkeit nicht leidet.

Einfachheit im Vergleich. Es reicht aus, nur die Zahlen zu korrelieren, die an denselben Stellen stehen, während man sie bei gewöhnlichen Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner bringen müsste.

Vereinfachung der Berechnungen.

Taschenrechner sind nicht für die Einführung gewöhnlicher Brüche ausgelegt, sie verwenden für alle Operationen die Dezimalschreibweise.

Wie liest man solche Zahlen richtig?

Die Antwort ist einfach: Genau wie eine gewöhnliche gemischte Zahl mit einem Nenner, der ein Vielfaches von 10 ist. Die einzigen Ausnahmen sind Brüche ohne ganzzahligen Wert, dann müssen Sie beim Lesen „null ganze Zahlen“ sagen.

Beispielsweise sollte 45/1000 wie ausgesprochen werden fünfundvierzig Tausendstel, während 0,045 klingen wird null Komma fünfundvierzig Tausendstel.

Eine gemischte Zahl mit einem ganzzahligen Teil gleich 7 und einem Bruch von 17/100, die als 7,17 geschrieben wird, wird in beiden Fällen als gelesen sieben Komma siebzehn Hundertstel.

Die Rolle der Ziffern bei der Notation von Brüchen

Es ist wahr, die Entladung zu beachten - das ist es, was die Mathematik erfordert. Dezimalzahlen und ihre Bedeutung können sich erheblich ändern, wenn Sie eine Ziffer an der falschen Stelle schreiben. Dies war jedoch schon früher der Fall.

Um die Ziffern des ganzzahligen Teils eines Dezimalbruchs zu lesen, müssen Sie nur die Regeln anwenden, die für natürliche Zahlen bekannt sind. Und auf der rechten Seite werden sie gespiegelt und anders gelesen. Wenn im ganzen Teil "Zehner" erklingen, sind es nach dem Dezimalpunkt bereits "Zehntel".

Dies ist in dieser Tabelle deutlich zu sehen.

Dezimalstellentabelle

Klasse	Tausende			Einheiten			,	Fraktion
Entladung	hundert	Dez.	Einheiten	hundert	Dez.	Einheiten		Zehntel	Hundertstel	Tausendstel	Zehntausendstel

Wie schreibe ich eine gemischte Zahl als Dezimalzahl?

Wenn der Nenner eine Zahl gleich 10 oder 100 und andere enthält, dann ist die Frage, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, einfach. Dazu reicht es aus, alle seine Bestandteile auf andere Weise neu zu schreiben. Folgende Punkte helfen dabei:

schreiben Sie den Zähler des Bruchs etwas beiseite, in diesem Moment befindet sich der Dezimalpunkt rechts nach der letzten Ziffer;

Bewegen Sie das Komma nach links, das Wichtigste hier ist, die Zahlen richtig zu zählen - Sie müssen es um so viele Stellen verschieben, wie der Nenner Nullen enthält.

wenn es nicht genug davon gibt, sollten Nullen an leeren Stellen erscheinen;

Nullen am Ende des Zählers werden nicht mehr benötigt und können durchgestrichen werden;

Fügen Sie vor dem Komma einen ganzzahligen Teil hinzu. Wenn es nicht vorhanden war, wird hier auch eine Null angezeigt.

Beachtung. Sie können Nullen, die von anderen Zahlen umgeben sind, nicht durchstreichen.

Wie man in einer Situation ist, in der der Nenner eine Zahl enthält, die nicht nur aus Eins und Nullen besteht, wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt, kann man etwas weiter unten lesen. Dies sind wichtige Informationen, die Sie unbedingt lesen sollten.

Wie konvertiert man einen Bruch in eine Dezimalzahl, wenn der Nenner eine beliebige Zahl ist?

Hier gibt es zwei Möglichkeiten:

Wenn der Nenner als Zahl mit beliebiger Zehnerpotenz dargestellt werden kann.

Wenn eine solche Operation nicht durchgeführt werden kann.

Wie kann ich es überprüfen? Du musst den Nenner faktorisieren. Wenn im Produkt nur 2 und 5 vorhanden sind, ist alles in Ordnung, und der Bruch lässt sich leicht in eine endgültige Dezimalzahl umwandeln. Ansonsten, wenn 3, 7 und andere erscheinen Primzahlen, dann wird das Ergebnis unendlich sein. Es ist üblich, einen solchen Dezimalbruch zu runden, um die Verwendung bei mathematischen Operationen zu erleichtern. Dies wird etwas weiter unten besprochen.

Untersuchen, wie solche Dezimalbrüche erhalten werden, Klasse 5. Beispiele werden hier sehr hilfreich sein.

Lassen Sie die Nenner Zahlen enthalten: 40, 24 und 75. Die Zerlegung in Primfaktoren für sie wird wie folgt sein:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

In diesen Beispielen kann nur die erste Fraktion als Endfraktion dargestellt werden.

Algorithmus zum Umwandeln eines gewöhnlichen Bruchs in eine endgültige Dezimalzahl

Überprüfe die Zerlegung des Nenners in Primfaktoren und achte darauf, dass er aus 2 und 5 besteht.

Addiere zu diesen Zahlen so viele 2 und 5, dass sie eine gleiche Zahl werden. Sie geben den Wert des zusätzlichen Multiplikators an.

Multipliziere Nenner und Zähler mit dieser Zahl. Das Ergebnis ist ein gewöhnlicher Bruch, unter dessen Strich gewissermaßen 10 steht.

Wenn in der Aufgabe diese Aktionen mit einer gemischten Zahl ausgeführt werden, muss sie zuerst als dargestellt werden falscher Bruch. Und handeln Sie erst dann nach dem beschriebenen Szenario.

Darstellung eines gewöhnlichen Bruchs als gerundete Dezimalzahl

Diese Art, einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, wird jemandem noch einfacher erscheinen. Weil es nicht viel Action hat. Du musst nur den Zähler durch den Nenner dividieren.

Jeder Zahl mit einem Dezimalteil rechts vom Dezimalkomma können unendlich viele Nullen zugeordnet werden. Diese Eigenschaft sollte verwendet werden.

Schreiben Sie zuerst den ganzen Teil auf und setzen Sie ein Komma dahinter. Wenn der Bruch richtig ist, schreibe Null.

Dann ist es notwendig, die Division des Zählers durch den Nenner durchzuführen. Damit sie die gleiche Anzahl von Ziffern haben. Weisen Sie also rechts vom Zähler die erforderliche Anzahl von Nullen zu.

Erfüllen Aufteilung in eine Spalte bis die gewünschte Anzahl von Ziffern gewählt wurde. Wenn Sie zum Beispiel auf Hundertstel aufrunden müssen, dann sollten davon 3 in der Antwort enthalten sein, im Allgemeinen sollte es eine Ziffer mehr geben, als Sie am Ende benötigen.

Notieren Sie die Zwischenlösung nach dem Komma und runden Sie sie gemäß den Regeln. Wenn die letzte Ziffer zwischen 0 und 4 liegt, müssen Sie sie einfach verwerfen. Und wenn es gleich 5-9 ist, muss das davor um eins erhöht werden, wobei das letzte verworfen wird.

Rückkehr von dezimal zu normal

In der Mathematik gibt es Probleme, wenn es bequemer ist, Dezimalbrüche in Form von gewöhnlichen Brüchen darzustellen, bei denen es einen Zähler mit einem Nenner gibt. Sie können aufatmen: Diese Operation ist immer möglich.

Für dieses Verfahren müssen Sie Folgendes tun:

Schreiben Sie den ganzzahligen Teil auf, wenn er gleich Null ist, muss nichts geschrieben werden.

zeichne eine Bruchlinie;

Schreiben Sie darüber die Zahlen von rechts. Wenn die ersten Nullen sind, müssen sie durchgestrichen werden.

Schreibe unter den Strich eine Einheit mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen im ursprünglichen Bruch gibt.

Das ist alles, was Sie tun müssen, um eine Dezimalzahl in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln.

Was kann man mit Dezimalzahlen machen?

In der Mathematik werden das bestimmte Aktionen mit Dezimalbrüchen sein, die zuvor für andere Zahlen durchgeführt wurden.

Sie sind:

Vergleich;

Addition und Subtraktion;

Multiplikation und Division.

Die erste Aktion, der Vergleich, ist ähnlich wie bei natürlichen Zahlen. Um zu bestimmen, welcher größer ist, müssen Sie die Ziffern des ganzzahligen Teils vergleichen. Wenn sich herausstellt, dass sie gleich sind, wechseln sie zum Bruch und vergleichen sie auf die gleiche Weise nach Ziffern. Die Zahl mit der größten Ziffer in der höchsten Ordnung ist die Antwort.

Dezimalstellen addieren und subtrahieren

Dies sind vielleicht die einfachsten Schritte. Weil sie nach den Regeln für natürliche Zahlen ausgeführt werden.



Um also Dezimalbrüche zu addieren, müssen sie untereinander geschrieben werden, wobei Kommas in eine Spalte gesetzt werden. Bei einem solchen Datensatz erscheinen ganzzahlige Teile links von den Kommas und Bruchteile rechts. Und jetzt müssen Sie die Zahlen Stück für Stück hinzufügen, wie es bei natürlichen Zahlen der Fall ist, indem Sie das Komma nach unten verschieben. Sie müssen mit dem Addieren von der kleinsten Ziffer des Bruchteils der Zahl beginnen. Wenn in der rechten Hälfte nicht genügend Zahlen vorhanden sind, fügen Sie Nullen hinzu.

Die Subtraktion funktioniert auf die gleiche Weise. Und hier gilt die Regel, die die Möglichkeit beschreibt, eine Einheit aus der höchsten Ziffer zu nehmen. Hat der gekürzte Bruch weniger Nachkommastellen als der Subtrahend, dann werden ihm einfach Nullen zugeordnet.

Etwas komplizierter ist die Situation bei Aufgaben, bei denen Sie Multiplikationen und Divisionen von Dezimalbrüchen durchführen müssen.

Wie multipliziert man Dezimalzahlen in verschiedenen Beispielen?

Die Regel zum Multiplizieren von Dezimalbrüchen mit einer natürlichen Zahl lautet wie folgt:

schreibe sie in eine Spalte und ignoriere das Komma;

vermehren sich, als ob sie natürlich wären;

Trennen Sie mit einem Komma so viele Ziffern, wie es im Bruchteil der ursprünglichen Zahl gab.

Ein Sonderfall ist ein Beispiel, bei dem eine natürliche Zahl gleich 10 hoch beliebig ist. Um eine Antwort zu erhalten, müssen Sie dann nur das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie es Nullen in einem anderen Faktor gibt. Mit anderen Worten, beim Multiplizieren mit 10 verschiebt sich das Komma um eine Ziffer, um 100 - es gibt zwei davon und so weiter. Wenn der Bruchteil nicht genügend Ziffern enthält, müssen Sie Nullen in leere Positionen schreiben.

Die Regel, die verwendet wird, wenn Sie in der Aufgabe Dezimalbrüche mit einem anderen der gleichen Zahl multiplizieren müssen:

schreiben Sie sie untereinander auf und ignorieren Sie die Kommas;

multiplizieren, als ob sie natürliche Zahlen wären;

Trennen Sie mit einem Komma so viele Ziffern, wie es in den Nachkommastellen der beiden ursprünglichen Brüche zusammen waren.

Als Sonderfall werden Beispiele unterschieden, bei denen einer der Faktoren gleich 0,1 oder 0,01 ist und so weiter. In ihnen müssen Sie das Komma um die Anzahl der Ziffern in den angezeigten Faktoren nach links verschieben. Das heißt, wenn es mit 0,1 multipliziert wird, wird das Komma um eine Position verschoben.

Wie dividiert man einen Dezimalbruch in verschiedenen Aufgaben?

Die Division von Dezimalbrüchen durch eine natürliche Zahl erfolgt nach folgender Regel:

schreiben Sie sie für die Teilung in einer Spalte auf, als ob sie natürlich wären;

teile nach der üblichen Regel, bis der ganze Teil endet;

setzen Sie ein Komma in die Antwort;

teile die Bruchkomponente weiter, bis der Rest null ist;

Bei Bedarf können Sie die gewünschte Anzahl von Nullen zuweisen.

Wenn der ganzzahlige Teil gleich Null ist, wird er auch nicht in der Antwort enthalten sein.

Unabhängig davon gibt es eine Unterteilung in Zahlen gleich zehn, hundert und so weiter. Bei solchen Aufgaben müssen Sie das Komma um die Anzahl der Nullen im Divisor nach links verschieben. Es kommt vor, dass der ganzzahlige Teil nicht genügend Ziffern enthält, dann werden stattdessen Nullen verwendet. Es ist ersichtlich, dass diese Operation ähnlich der Multiplikation mit 0,1 und ähnlichen Zahlen ist.

Um eine Division von Dezimalzahlen durchzuführen, müssen Sie diese Regel verwenden:

wandle den Divisor in eine natürliche Zahl um und schiebe dazu das Komma darin nach rechts ans Ende;

Verschieben Sie das Komma und im Teilbaren durch die gleiche Anzahl von Ziffern;

Folgen Sie dem vorherigen Szenario.

sticht hervor Division durch 0,1; 0,01 und andere ähnliche Nummern. In solchen Beispielen wird das Komma um die Anzahl der Nachkommastellen nach rechts verschoben. Wenn sie vorbei sind, müssen Sie die fehlende Anzahl von Nullen zuweisen. Es ist erwähnenswert, dass diese Aktion die Division durch 10 und ähnliche Zahlen wiederholt.



Fazit: Auf die Praxis kommt es an

Nichts beim Lernen ist einfach oder mühelos. Es braucht Zeit und Übung, um neues Material zuverlässig zu beherrschen. Mathematik ist da keine Ausnahme.

Damit das Thema Dezimalbrüche keine Schwierigkeiten bereitet, musst du möglichst viele Beispiele damit lösen. Schließlich gab es eine Zeit, in der die Addition natürlicher Zahlen verwirrend war. Und jetzt ist alles in Ordnung.

Daher, um einen altbekannten Satz zu paraphrasieren: Entscheiden, entscheiden und nochmals entscheiden. Dann werden Aufgaben mit solchen Zahlen einfach und natürlich wie ein anderes Puzzle ausgeführt.

Übrigens sind Rätsel anfangs schwer zu lösen, und dann müssen Sie die üblichen Bewegungen ausführen. Dasselbe gilt für mathematische Beispiele: Wenn Sie denselben Weg mehrmals gegangen sind, denken Sie nicht mehr darüber nach, wohin Sie abbiegen sollen.