Das System sei gegeben, ∆≠0. (ein)
Gauss-Methode ist eine Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten.

Das Wesen der Gauß-Methode besteht darin, (1) in ein System mit einer Dreiecksmatrix zu transformieren, aus der dann nacheinander (umgekehrt) die Werte aller Unbekannten gewonnen werden. Betrachten wir eines der Rechenschemata. Diese Schaltung wird als Einzelteilungsschaltung bezeichnet. Werfen wir also einen Blick auf dieses Diagramm. Sei a 11 ≠ 0 (führendes Element) die erste Gleichung durch a 11 teilen. Werden
(2)
Unter Verwendung von Gleichung (2) ist es einfach, die Unbekannten x 1 aus den verbleibenden Gleichungen des Systems auszuschließen (dazu reicht es aus, Gleichung (2) von jeder Gleichung subtrahieren, die vorläufig mit dem entsprechenden Koeffizienten bei x 1 multipliziert wird), das ist, im ersten Schritt erhalten wir
.
Mit anderen Worten, bei Schritt 1 ist jedes Element der nachfolgenden Zeilen, beginnend mit der zweiten, gleich der Differenz zwischen dem ursprünglichen Element und dem Produkt seiner „Projektion“ auf die erste Spalte und die erste (transformierte) Zeile.
Danach führen wir unter Beibehaltung der ersten Gleichung über den Rest der Gleichungen des im ersten Schritt erhaltenen Systems eine ähnliche Transformation durch: Wir wählen eine Gleichung mit einem führenden Element aus und verwenden sie, um x 2 davon auszuschließen die restlichen Gleichungen (Schritt 2).
Nach n Schritten erhalten wir statt (1) ein äquivalentes System
(3)
So erhalten wir im ersten Schritt ein Dreieckssystem (3). Dieser Schritt wird vorwärts aufgerufen.
In der zweiten Stufe (Rückwärtsbewegung) finden wir nacheinander aus (3) die Werte x n , x n -1 , …, x 1 .
Lassen Sie uns die erhaltene Lösung als x 0 bezeichnen. Dann ist die Differenz ε=b-A x 0 heißt Residuum.
Ist ε=0, so ist die gefundene Lösung x 0 richtig.

Berechnungen nach der Gauß-Methode werden in zwei Schritten durchgeführt:

1. Die erste Stufe wird als direkter Verfahrensablauf bezeichnet. Im ersten Schritt wird das ursprüngliche System in eine Dreiecksform umgewandelt.
2. Die zweite Stufe wird als Umkehrung bezeichnet. In der zweiten Stufe wird ein Dreieckssystem gelöst, das dem ursprünglichen entspricht.

Die Koeffizienten a 11 , a 22 , ... werden führende Elemente genannt.
Bei jedem Schritt wurde angenommen, dass das führende Element von Null verschieden ist. Wenn dies nicht der Fall ist, kann jedes andere Element als Führungselement verwendet werden, als ob die Gleichungen des Systems neu angeordnet würden.

Zweck der Gauß-Methode

Das Gauß-Verfahren ist zum Lösen linearer Gleichungssysteme bestimmt. Bezieht sich auf direkte Lösungsmethoden.

Arten der Gauß-Methode

1. Klassische Gauß-Methode;
2. Modifikationen der Gauß-Methode. Eine der Modifikationen der Gaußschen Methode ist die Schaltung mit der Wahl des Hauptelements. Ein Merkmal des Gauß-Verfahrens bei der Wahl des Hauptelements ist eine solche Permutation der Gleichungen, dass im k-ten Schritt das führende Element das größte Element in der k-ten Spalte ist.
3. Jordan-Gauß-Verfahren;

Der Unterschied zwischen der Jordan-Gauß-Methode und der klassischen Gauss-Methode besteht darin, die Rechteckregel anzuwenden, wenn die Richtung der Lösungssuche entlang der Hauptdiagonalen verläuft (Transformation in die Identitätsmatrix). Beim Gauß-Verfahren erfolgt die Richtung der Lösungssuche entlang der Spalten (Transformation in ein System mit Dreiecksmatrix).
Veranschaulichen Sie den Unterschied Jordan-Gauß-Verfahren aus der Gauß-Methode an Beispielen.

Beispiel für eine Gauss-Lösung
Lösen wir das System:

Zur Vereinfachung der Berechnungen tauschen wir die Zeilen aus:

Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (2). Fügen Sie die 3. Zeile zur 2. hinzu

Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Fügen Sie die 2. Reihe zur 1. hinzu

Ab der 1. Zeile drücken wir x 3 aus:
Ab der 2. Zeile drücken wir x 2 aus:
Ab der 3. Zeile drücken wir x 1 aus:

Ein Beispiel für eine Lösung nach dem Jordan-Gauß-Verfahren
Wir werden dasselbe SLAE mit der Jordano-Gauss-Methode lösen.

Wir werden sequentiell das auflösende Element des RE wählen, das auf der Hauptdiagonalen der Matrix liegt.
Das Freigabeelement ist gleich (1).



NO \u003d SE - (A * B) / RE
RE - Aktivierungselement (1), A und B - Matrixelemente, die ein Rechteck mit Elementen von STE und RE bilden.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Das Freigabeelement ist gleich (3).
Anstelle des Auflösungselements erhalten wir 1 und in die Spalte selbst schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente der Matrix, einschließlich der Elemente der Spalte B, werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Wählen Sie dazu vier Zahlen aus, die sich an den Eckpunkten des Rechtecks ​​befinden und immer das aktivierende Element des RE enthalten.

x 1	x2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Das Freigabeelement ist (-4).
Anstelle des Auflösungselements erhalten wir 1 und in die Spalte selbst schreiben wir Nullen.
Alle anderen Elemente der Matrix, einschließlich der Elemente der Spalte B, werden durch die Rechteckregel bestimmt.
Wählen Sie dazu vier Zahlen aus, die sich an den Eckpunkten des Rechtecks ​​befinden und immer das aktivierende Element des RE enthalten.
Lassen Sie uns die Berechnung jedes Elements in Form einer Tabelle darstellen:

x 1	x2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Antworten: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementierung der Gauß-Methode

Die Gauss-Methode ist in vielen Programmiersprachen implementiert, insbesondere: Pascal, C++, PHP, Delphi, und es gibt auch eine Online-Implementierung der Gauss-Methode.

Mit der Gauß-Methode

Anwendung der Gauß-Methode in der Spieltheorie

In der Spieltheorie wird beim Auffinden der maximal optimalen Strategie eines Spielers ein Gleichungssystem aufgestellt, das nach der Gauß-Methode gelöst wird.

Anwendung der Gauß-Methode beim Lösen von Differentialgleichungen

Um nach einer bestimmten Lösung für eine Differentialgleichung zu suchen, finden Sie zuerst die Ableitungen des entsprechenden Grades für die geschriebene bestimmte Lösung (y = f (A, B, C, D)), die in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden. Um die Variablen A, B, C, D zu finden, wird ferner ein Gleichungssystem erstellt, das durch das Gauß-Verfahren gelöst wird.

Anwendung der Jordano-Gauß-Methode in der linearen Programmierung

Bei der linearen Programmierung, insbesondere bei der Simplex-Methode, wird zur Transformation einer Simplex-Tabelle bei jeder Iteration die Rechteckregel verwendet, die die Jordan-Gauß-Methode verwendet.

Gegeben sei ein System linearer algebraischer Gleichungen, die gelöst werden müssen (finde solche Werte der Unbekannten хi, die jede Gleichung des Systems in eine Gleichheit verwandeln).

Wir wissen, dass ein System linearer algebraischer Gleichungen:

1) Habe keine Lösungen (be unvereinbar).
2) Unendlich viele Lösungen haben.
3) Haben Sie eine eindeutige Lösung.

Wie wir uns erinnern, sind die Cramersche Regel und die Matrixmethode ungeeignet, wenn das System unendlich viele Lösungen hat oder inkonsistent ist. Gauss-Methode – das leistungsstärkste und vielseitigste Werkzeug zum Finden von Lösungen für beliebige lineare Gleichungssysteme, welche in jedem Fall führen Sie uns zur Antwort! Der Algorithmus des Verfahrens funktioniert in allen drei Fällen gleich. Wenn die Cramer- und Matrizenmethode die Kenntnis von Determinanten erfordern, dann erfordert die Anwendung der Gauß-Methode nur die Kenntnis von Rechenoperationen, was sie auch für Schulkinder zugänglich macht Grundschule.

Erweiterte Matrixtransformationen ( dies ist die Matrix des Systems - eine Matrix, die nur aus den Koeffizienten der Unbekannten besteht, plus einer Spalte mit freien Termen) Systeme linearer algebraischer Gleichungen im Gauß-Verfahren:

1) mit troky Matrizen kann neu anordnen setzt.

2) wenn es (oder sind) proportionale (als Sonderfall - identische) Zeilen in der Matrix gibt, dann folgt es löschen aus der Matrix alle diese Zeilen bis auf eine.

3) Wenn während der Transformationen eine Nullzeile in der Matrix auftaucht, folgt dies auch löschen.

4) die Zeile der Matrix kann multiplizieren (dividieren) auf eine andere Zahl als Null.

5) in die Zeile der Matrix, können Sie füge eine weitere Zeichenfolge hinzu, die mit einer Zahl multipliziert wird, von Null verschieden.

Beim Gauß-Verfahren verändern elementare Transformationen die Lösung des Gleichungssystems nicht.

Die Gauß-Methode besteht aus zwei Stufen:

1. "Direkte Bewegung" - Bringen Sie die erweiterte Matrix des Systems linearer algebraischer Gleichungen mithilfe elementarer Transformationen in eine "dreieckige" Stufenform: Die Elemente der erweiterten Matrix, die sich unterhalb der Hauptdiagonale befinden, sind gleich Null (Bewegung von oben nach unten ). Zum Beispiel zu dieser Art:

Führen Sie dazu die folgenden Schritte aus:

1) Betrachten wir die erste Gleichung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen und der Koeffizient bei x 1 ist gleich K. Die zweite, dritte usw. Wir wandeln die Gleichungen wie folgt um: Wir teilen jede Gleichung (Koeffizienten für Unbekannte, einschließlich freier Terme) durch den Koeffizienten für Unbekannte x 1, der in jeder Gleichung enthalten ist, und multiplizieren mit K. Danach subtrahieren wir die erste von der zweiten Gleichung ( Koeffizienten für Unbekannte und freie Terme). Wir erhalten bei x 1 in der zweiten Gleichung den Koeffizienten 0. Von der dritten transformierten Gleichung subtrahieren wir die erste Gleichung, bis alle Gleichungen außer der ersten mit unbekanntem x 1 keinen Koeffizienten 0 haben.

2) Fahren Sie mit der nächsten Gleichung fort. Sei dies die zweite Gleichung und der Koeffizient bei x 2 ist gleich M. Mit allen "untergeordneten" Gleichungen gehen wir wie oben beschrieben vor. Somit werden "unter" der Unbekannten x 2 in allen Gleichungen Nullen sein.

3) Wir gehen zur nächsten Gleichung über und so weiter, bis ein letzter unbekannter und transformierter freier Term übrig bleibt.

1. Die "umgekehrte Bewegung" der Gauß-Methode besteht darin, eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen zu erhalten (die "Bottom-up"-Bewegung). Aus der letzten "unteren" Gleichung erhalten wir eine erste Lösung - die Unbekannte x n. Dazu lösen wir die Elementargleichung A * x n \u003d B. Im obigen Beispiel x 3 \u003d 4. Wir ersetzen den gefundenen Wert in der „oberen“ nächsten Gleichung und lösen ihn in Bezug auf die nächste Unbekannte. Zum Beispiel x 2 - 4 \u003d 1, d.h. x 2 \u003d 5. Und so weiter, bis wir alle Unbekannten gefunden haben.

Beispiel.

Wir lösen das lineare Gleichungssystem mit der Gauß-Methode, wie einige Autoren raten:

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems und bringen sie mit elementaren Transformationen auf eine Stufenform:

Wir betrachten die obere linke "Stufe". Da sollten wir eine Einheit haben. Das Problem ist, dass es in der ersten Spalte überhaupt keine Einsen gibt, also kann nichts durch Umordnen der Zeilen gelöst werden. In solchen Fällen muss die Einheit durch eine elementare Transformation organisiert werden. Dies kann in der Regel auf mehrere Arten erfolgen. Machen wir es so:
1 Schritt . Zur ersten Zeile addieren wir die zweite Zeile, multipliziert mit -1. Das heißt, wir haben die zweite Zeile gedanklich mit -1 multipliziert und die Addition der ersten und zweiten Zeile durchgeführt, während sich die zweite Zeile nicht geändert hat.

Jetzt oben links "minus eins", was perfekt zu uns passt. Wer +1 erhalten möchte, kann eine zusätzliche Aktion ausführen: Multiplizieren Sie die erste Zeile mit -1 (ändern Sie ihr Vorzeichen).

2 Schritt . Die erste Zeile multipliziert mit 5 wurde zur zweiten Zeile addiert.Die erste Zeile multipliziert mit 3 wurde zur dritten Zeile addiert.

3 Schritt . Die erste Zeile wurde mit -1 multipliziert, im Prinzip steht dies für Schönheit. Auch das Vorzeichen der dritten Zeile wurde geändert und an die zweite Stelle verschoben, somit hatten wir auf der zweiten „Stufe“ die gewünschte Einheit.

4 Schritt . Fügen Sie zur dritten Zeile die zweite Zeile hinzu, multipliziert mit 2.

5 Schritt . Die dritte Zeile wird durch 3 geteilt.

Ein Zeichen, das auf einen Fehler in Berechnungen hinweist (seltener ein Tippfehler), ist ein „schlechtes“ Endergebnis. Das heißt, wenn wir unten etwas wie (0 0 11 | 23) und dementsprechend 11x 3 = 23, x 3 = 23/11 erhalten, können wir mit hoher Wahrscheinlichkeit sagen, dass in der Grundschule ein Fehler gemacht wurde Transformationen.

Wir machen einen umgekehrten Schritt, bei der Gestaltung von Beispielen wird das System selbst oft nicht umgeschrieben und die Gleichungen werden „direkt aus der gegebenen Matrix genommen“. Ich erinnere Sie daran, dass die umgekehrte Bewegung „von unten nach oben“ funktioniert. In diesem Beispiel stellte sich das Geschenk heraus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, also x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Antworten: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lassen Sie uns dasselbe System mit dem vorgeschlagenen Algorithmus lösen. Wir bekommen

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Teilen Sie die zweite Gleichung durch 5 und die dritte durch 3. Wir erhalten:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Multiplizieren Sie die zweite und dritte Gleichung mit 4, wir erhalten:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten und dritten Gleichung, wir haben:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Teilen Sie die dritte Gleichung durch 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Multipliziere die dritte Gleichung mit 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Subtrahieren Sie die zweite Gleichung von der dritten Gleichung, wir erhalten die „gestufte“ erweiterte Matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da sich im Berechnungsprozess ein Fehler angesammelt hat, erhalten wir also x 3 \u003d 0,96 oder ungefähr 1.

x 2 \u003d 3 und x 1 \u003d -1.

Wenn Sie auf diese Weise lösen, kommen Sie bei den Berechnungen nie durcheinander und erhalten trotz der Berechnungsfehler das Ergebnis.

Diese Methode zur Lösung eines linearen algebraischen Gleichungssystems ist leicht programmierbar und berücksichtigt nicht die Besonderheiten der Koeffizienten für Unbekannte, da man es in der Praxis (bei wirtschaftlichen und technischen Berechnungen) mit nicht ganzzahligen Koeffizienten zu tun hat.

Wünsch dir Glück! Wir sehen uns in der Klasse! Tutor Dmitry Aistrakhanov.

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Heute beschäftigen wir uns mit dem Gauß-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen. Was diese Systeme sind, können Sie im vorherigen Artikel nachlesen, der der Lösung desselben SLAE mit der Cramer-Methode gewidmet ist. Die Gauß-Methode erfordert keine besonderen Kenntnisse, nur Sorgfalt und Konsequenz sind erforderlich. Trotz der Tatsache, dass aus mathematischer Sicht die Schulvorbereitung für ihre Anwendung ausreicht, bereitet die Beherrschung dieser Methode den Schülern oft Schwierigkeiten. In diesem Artikel werden wir versuchen, sie auf nichts zu reduzieren!

Gauss-Methode

M Gauss-Methode ist die universellste Methode zur Lösung von SLAE (mit Ausnahme sehr großer Systeme). Im Gegensatz zu dem zuvor besprochenen ist es nicht nur für Systeme geeignet, die eine eindeutige Lösung haben, sondern auch für Systeme, die eine unendliche Anzahl von Lösungen haben. Hier gibt es drei Möglichkeiten.

1. Das System hat eine eindeutige Lösung (die Determinante der Hauptmatrix des Systems ist ungleich Null);
2. Das System hat unendlich viele Lösungen;
3. Es gibt keine Lösungen, das System ist inkonsistent.

Wir haben also ein System (es soll eine Lösung haben) und wir werden es mit der Gaußschen Methode lösen. Wie es funktioniert?

Die Gaußsche Methode besteht aus zwei Stufen - direkt und invers.

Direkte Gauß-Methode

Zuerst schreiben wir die erweiterte Matrix des Systems. Dazu fügen wir der Hauptmatrix eine Spalte mit freien Mitgliedern hinzu.

Die ganze Essenz der Gaußschen Methode besteht darin, die gegebene Matrix durch elementare Transformationen in eine gestufte (oder, wie sie sagen, dreieckige) Form zu bringen. In dieser Form sollten unter (oder über) der Hauptdiagonalen der Matrix nur Nullen stehen.

Was kann getan werden:

1. Sie können die Zeilen der Matrix neu anordnen;
2. Wenn es identische (oder proportionale) Zeilen in der Matrix gibt, können Sie alle bis auf eine davon löschen;
3. Sie können eine Zeichenfolge mit einer beliebigen Zahl (außer Null) multiplizieren oder dividieren;
4. Nulllinien werden entfernt;
5. Sie können eine Zeichenfolge multipliziert mit einer Zahl ungleich Null zu einer Zeichenfolge hinzufügen.

Reverse-Gauß-Methode

Nachdem wir das System auf diese Weise transformiert haben, ist man unbekannt xn bekannt, und es ist möglich, alle verbleibenden Unbekannten in umgekehrter Reihenfolge zu finden, indem die bereits bekannten x in die Gleichungen des Systems bis zur ersten eingesetzt werden.

Wenn das Internet immer zur Hand ist, können Sie das Gleichungssystem mit der Gauß-Methode lösen online. Alles, was Sie tun müssen, ist die Quoten in den Online-Rechner einzugeben. Aber Sie müssen zugeben, es ist viel angenehmer zu erkennen, dass das Beispiel nicht von einem Computerprogramm, sondern von Ihrem eigenen Gehirn gelöst wurde.

Ein Beispiel für die Lösung eines Gleichungssystems mit der Gauß-Methode

Und jetzt - ein Beispiel, damit alles klar und verständlich wird. Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem, das nach der Gauß-Methode gelöst werden muss:

Lassen Sie uns zuerst die erweiterte Matrix schreiben:

Schauen wir uns nun die Transformationen an. Denken Sie daran, dass wir eine dreieckige Form der Matrix erreichen müssen. Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (3). Multiplizieren Sie die 2. Zeile mit (-1). Addieren wir die 2. Zeile zur 1. und erhalten:

Dann multiplizieren Sie die 3. Reihe mit (-1). Fügen wir die 3. Zeile zur 2. hinzu:

Multiplizieren Sie die 1. Reihe mit (6). Multiplizieren Sie die 2. Reihe mit (13). Fügen wir die 2. Zeile zur 1. hinzu:

Voila - das System wird in die entsprechende Form gebracht. Es bleibt, die Unbekannten zu finden:

Das System in diesem Beispiel hat eine einzigartige Lösung. Wir werden die Lösung von Systemen mit unendlich vielen Lösungen in einem separaten Artikel betrachten. Vielleicht wissen Sie zunächst nicht, wo Sie mit Matrizentransformationen anfangen sollen, aber nach entsprechender Übung werden Sie es in den Griff bekommen und die Gaußsche SLAE wie Nüsse klicken. Und wenn Sie plötzlich auf einen SLAU stoßen, der sich als zu harte Nuss herausstellt, wenden Sie sich an unsere Autoren! Sie können dies tun, indem Sie eine Bewerbung in der Korrespondenz hinterlassen. Gemeinsam lösen wir jedes Problem!

Eine der einfachsten Möglichkeiten, ein System linearer Gleichungen zu lösen, ist eine Technik, die auf der Berechnung der Determinanten ( Cramersche Regel). Sein Vorteil ist, dass Sie die Lösung sofort aufzeichnen können. Dies ist besonders praktisch, wenn die Systemkoeffizienten keine Zahlen, sondern einige Parameter sind. Ihr Nachteil ist die Umständlichkeit der Berechnungen bei einer großen Anzahl von Gleichungen, außerdem ist die Cramersche Regel nicht direkt auf Systeme anwendbar, in denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt. In solchen Fällen wird es normalerweise verwendet Gauss-Methode.

Systeme linearer Gleichungen, die denselben Lösungssatz haben, werden aufgerufen gleichwertig. Offensichtlich ändert sich der Lösungssatz eines linearen Systems nicht, wenn irgendwelche Gleichungen vertauscht werden oder wenn eine der Gleichungen mit einer Zahl ungleich Null multipliziert wird oder wenn eine Gleichung zu einer anderen hinzugefügt wird.

Gauss-Methode (Methode der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten) liegt darin, dass das System mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes Stufensystem reduziert wird. Zunächst mit Hilfe der 1. Gleichung x 1 aller nachfolgenden Gleichungen des Systems. Dann eliminieren wir mit der 2. Gleichung x 2 der 3. und alle folgenden Gleichungen. Dieser Prozess, genannt direkte Gauss-Methode, wird fortgesetzt, bis nur noch eine Unbekannte auf der linken Seite der letzten Gleichung verbleibt x n. Danach wird es gemacht Gaußsche Umkehrung– Lösen der letzten Gleichung, finden wir x n; danach berechnen wir mit diesem Wert aus der vorletzten Gleichung x n-1 usw. Zuletzt finden wir x 1 aus der ersten Gleichung.

Gaußsche Transformationen werden bequem ausgeführt, indem Transformationen nicht mit den Gleichungen selbst, sondern mit den Matrizen ihrer Koeffizienten durchgeführt werden. Betrachten Sie die Matrix:

namens erweitertes Matrixsystem, weil es neben der Hauptmatrix des Systems eine Spalte mit freien Mitgliedern enthält. Das Gauß-Verfahren basiert darauf, die Hauptmatrix des Systems durch elementare Zeilentransformationen (!) der erweiterten Matrix des Systems auf eine Dreiecksform (bzw. Trapezform bei nichtquadratischen Systemen) zu bringen.

Beispiel 5.1. Lösen Sie das System mit der Gauß-Methode:

Entscheidung. Lassen Sie uns die erweiterte Matrix des Systems schreiben und mit der ersten Zeile danach die restlichen Elemente auf Null setzen:

wir erhalten Nullen in der 2., 3. und 4. Zeile der ersten Spalte:

Jetzt müssen alle Elemente in der zweiten Spalte unter der 2. Zeile gleich Null sein. Dazu kannst du die zweite Zeile mit -4/7 multiplizieren und zur 3. Zeile addieren. Um jedoch nicht mit Brüchen umzugehen, erstellen wir eine Einheit in der 2. Zeile der zweiten Spalte und nur

Um nun eine Dreiecksmatrix zu erhalten, müssen Sie das Element der vierten Zeile der 3. Spalte auf Null setzen, dazu können Sie die dritte Zeile mit 8/54 multiplizieren und zur vierten hinzufügen. Um jedoch nicht mit Brüchen umzugehen, tauschen wir die 3. und 4. Zeile sowie die 3. und 4. Spalte und setzen erst danach das angegebene Element zurück. Beachten Sie, dass beim Umordnen der Spalten die entsprechenden Variablen vertauscht werden, und dies muss beachtet werden; andere elementare Transformationen mit Spalten (Addition und Multiplikation mit einer Zahl) können nicht durchgeführt werden!

Die letzte vereinfachte Matrix entspricht einem Gleichungssystem, das dem ursprünglichen entspricht:

Von hier aus finden wir unter Verwendung des umgekehrten Verlaufs der Gauß-Methode aus der vierten Gleichung x 3 = -1; ab dem dritten x 4 = -2, ab dem zweiten x 2 = 2 und aus der ersten Gleichung x 1 = 1. In Matrixform wird die Antwort geschrieben als

Wir haben den Fall betrachtet, dass das System definitiv ist, d.h. wenn es nur eine Lösung gibt. Mal sehen, was passiert, wenn das System inkonsistent oder unbestimmt ist.

Beispiel 5.2. Untersuchen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems

Wir schreiben ein vereinfachtes Gleichungssystem:

Hier in der letzten Gleichung hat sich herausgestellt, dass 0=4, also Widerspruch. Daher hat das System keine Lösung, d.h. Sie ist unvereinbar. à

Beispiel 5.3. Untersuchen und lösen Sie das System mit der Gaußschen Methode:

Entscheidung. Wir schreiben und transformieren die erweiterte Matrix des Systems:

Als Ergebnis der Transformationen wurden in der letzten Zeile nur Nullen erhalten. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Gleichungen um eins verringert hat:

Somit bleiben nach Vereinfachungen zwei Gleichungen und vier Unbekannte, d.h. zwei unbekannte "zusätzlich". Lassen Sie "überflüssig" oder, wie sie sagen, freie Variablen, Wille x 3 und x 4 . Dann

Vorausgesetzt x 3 = 2a und x 4 = b, wir bekommen x 2 = 1–a und x 1 = 2b–a; oder in Matrixform

Eine so geschriebene Lösung wird aufgerufen Allgemeines, da durch Angabe der Parameter a und b unterschiedlichen Werten ist es möglich, alle möglichen Lösungen des Systems zu beschreiben. a

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn die Menge ihrer Lösungen gleich ist.

Elementare Transformationen des Gleichungssystems sind:

1. Streichung aus dem System trivialer Gleichungen, d.h. diejenigen, für die alle Koeffizienten gleich Null sind;
2. Multiplizieren einer beliebigen Gleichung mit einer Zahl ungleich Null;
3. Addition einer beliebigen i-ten Gleichung einer beliebigen j-ten Gleichung, multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

Die Variable x i heißt frei, wenn diese Variable nicht erlaubt ist und das ganze Gleichungssystem erlaubt ist.

Satz. Elementare Transformationen transformieren das Gleichungssystem in ein äquivalentes.

Die Bedeutung des Gauß-Verfahrens besteht darin, das ursprüngliche Gleichungssystem zu transformieren und ein äquivalentes zulässiges oder äquivalentes inkonsistentes System zu erhalten.

Die Gauß-Methode besteht also aus den folgenden Schritten:

1. Betrachten Sie die erste Gleichung. Wir wählen den ersten Nicht-Null-Koeffizienten und dividieren die ganze Gleichung durch ihn. Wir erhalten eine Gleichung, in die eine Variable x i mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
2. Subtrahieren wir diese Gleichung von allen anderen und multiplizieren sie mit Zahlen, so dass die Koeffizienten für die Variable x i in den verbleibenden Gleichungen auf Null gesetzt werden. Wir erhalten ein bezüglich der Variablen x i aufgelöstes und dem ursprünglichen äquivalentes System;
3. Wenn triviale Gleichungen auftauchen (selten, aber es passiert; zum Beispiel 0 = 0), löschen wir sie aus dem System. Als Ergebnis werden die Gleichungen eins weniger;
4. Wir wiederholen die vorherigen Schritte nicht mehr als n Mal, wobei n die Anzahl der Gleichungen im System ist. Jedes Mal, wenn wir eine neue Variable zur „Verarbeitung“ auswählen. Wenn widersprüchliche Gleichungen auftreten (z. B. 0 = 8), ist das System inkonsistent.

Als Ergebnis erhalten wir nach wenigen Schritten entweder ein erlaubtes System (evtl. mit freien Variablen) oder ein inkonsistentes. Zulässige Systeme fallen in zwei Fälle:

1. Die Anzahl der Variablen ist gleich der Anzahl der Gleichungen. Das System ist also definiert;
2. Die Anzahl der Variablen ist größer als die Anzahl der Gleichungen. Wir sammeln alle freien Variablen auf der rechten Seite - wir erhalten Formeln für erlaubte Variablen. Diese Formeln sind in die Antwort geschrieben.

Das ist alles! Das lineare Gleichungssystem ist gelöst! Dies ist ein ziemlich einfacher Algorithmus, und um ihn zu beherrschen, müssen Sie sich nicht an einen Mathematiklehrer wenden. Betrachten Sie ein Beispiel:

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten und dritten - wir erhalten die erlaubte Variable x 1;
2. Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit (−1) und dividieren die dritte Gleichung durch (−3) – wir erhalten zwei Gleichungen, in denen die Variable x 2 mit einem Koeffizienten von 1 eintritt;
3. Wir addieren die zweite Gleichung zur ersten und subtrahieren von der dritten. Holen wir uns die erlaubte Variable x 2 ;
4. Schließlich subtrahieren wir die dritte Gleichung von der ersten - wir erhalten die erlaubte Variable x 3 ;
5. Wir haben ein autorisiertes System erhalten, wir schreiben die Antwort auf.

Die allgemeine Lösung eines gemeinsamen linearen Gleichungssystems ist ein neues System, das dem ursprünglichen äquivalent ist, in dem alle zulässigen Variablen durch freie ausgedrückt werden.

Wann könnte eine allgemeine Lösung erforderlich sein? Wenn Sie weniger Schritte als k machen müssen (k ist die Anzahl der Gleichungen insgesamt). Die Gründe, warum der Prozess jedoch bei irgendeinem Schritt l endet< k , может быть две:

1. Nach dem l-ten Schritt erhalten wir ein System, das keine Gleichung mit der Zahl (l + 1) enthält. Das ist sogar gut so, denn. Das aufgelöste System wird trotzdem empfangen - sogar ein paar Schritte früher.
2. Nach dem l-ten Schritt erhält man eine Gleichung, bei der alle Koeffizienten der Variablen gleich Null sind und der freie Koeffizient von Null verschieden ist. Dies ist eine inkonsistente Gleichung, und daher ist das System inkonsistent.

Es ist wichtig zu verstehen, dass das Auftreten einer inkonsistenten Gleichung durch die Gauß-Methode ein ausreichender Grund für eine Inkonsistenz ist. Gleichzeitig stellen wir fest, dass als Ergebnis des l-ten Schritts triviale Gleichungen nicht verbleiben können - sie werden alle direkt im Prozess gelöscht.

Beschreibung der Schritte:

1. Subtrahiere die erste Gleichung mal 4 von der zweiten. Und fügen Sie auch die erste Gleichung zur dritten hinzu - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Wir subtrahieren die dritte Gleichung, multipliziert mit 2, von der zweiten – wir erhalten die widersprüchliche Gleichung 0 = −5.

Das System ist also inkonsistent, da eine inkonsistente Gleichung gefunden wurde.

Aufgabe. Untersuchen Sie die Kompatibilität und finden Sie die allgemeine Lösung des Systems:

Beschreibung der Schritte:

1. Wir subtrahieren die erste Gleichung von der zweiten (nach Multiplikation mit zwei) und der dritten - wir erhalten die zulässige Variable x 1;
2. Subtrahiere die zweite Gleichung von der dritten. Da alle Koeffizienten in diesen Gleichungen gleich sind, wird die dritte Gleichung trivial. Gleichzeitig multiplizieren wir die zweite Gleichung mit (−1);
3. Wir subtrahieren die zweite Gleichung von der ersten Gleichung - wir erhalten die erlaubte Variable x 2. Das gesamte Gleichungssystem ist nun auch aufgelöst;
4. Da die Variablen x 3 und x 4 frei sind, verschieben wir sie nach rechts, um die erlaubten Variablen auszudrücken. Das ist die Antwort.

Das System ist also verbunden und unbestimmt, da es zwei erlaubte Variablen (x 1 und x 2) und zwei freie (x 3 und x 4) gibt.