1.21. ABFALLENDE, GEZWUNGENE SCHWINGUNGEN

Die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen und ihre Lösung. Dämpfungskoeffizient. logarithmischer DezDämpfungsband.Q-FaktorKörper System.aperiodischer Prozess. Die Differentialgleichung erzwungener Schwingungen und ihre Lösung.Amplitude und Phase erzwungener Schwingungen. Der Prozess der Herstellung von Schwingungen. Resonanzfall.Eigenschwingungen.

Die Dämpfung von Schwingungen ist die allmähliche Abnahme der Schwingungsamplitude im Laufe der Zeit aufgrund des Energieverlusts durch das schwingungsfähige System.

Eigenschwingungen ohne Dämpfung sind eine Idealisierung. Die Gründe für das Verblassen können unterschiedlich sein. In einem mechanischen System werden Schwingungen durch das Vorhandensein von Reibung gedämpft. Wenn die gesamte im schwingenden System gespeicherte Energie aufgebraucht ist, hören die Schwingungen auf. Daher die Amplitude gedämpfte Schwingungen nimmt ab, bis er Null wird.

Gedämpfte Schwingungen sowie natürliche Schwingungen in Systemen unterschiedlicher Natur können aus einem einzigen Blickwinkel betrachtet werden - Gemeinsamkeiten. Allerdings bedürfen Merkmale wie Amplitude und Periode einer Neudefinition, andere erfordern Ergänzungen und Präzisierungen gegenüber den gleichen Merkmalen für ungedämpfte Eigenschwingungen. Die allgemeinen Zeichen und Konzepte gedämpfter Schwingungen sind wie folgt:

Die Differentialgleichung muss unter Berücksichtigung der Abnahme der Schwingungsenergie im Verlauf der Schwingungen erhalten werden.

Die Schwingungsgleichung ist die Lösung einer Differentialgleichung.

Die Amplitude gedämpfter Schwingungen ist zeitabhängig.

Frequenz und Periode hängen vom Dämpfungsgrad der Schwingungen ab.

Phase und Anfangsphase haben die gleiche Bedeutung wie bei ungedämpften Schwingungen.

Mechanisch gedämpfte Schwingungen.

Mechanisches System : Federpendel, das Reibungskräften ausgesetzt ist.

Auf das Pendel wirkende Kräfte :

Elastische Kraft., wobei k der Federsteifigkeitskoeffizient ist, х die Auslenkung des Pendels aus der Gleichgewichtslage ist.

Widerstandskraft. Betrachten Sie die Widerstandskraft proportional zur Bewegungsgeschwindigkeit v (eine solche Abhängigkeit ist typisch für eine große Klasse von Widerstandskräften): . Das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtung der Widerstandskraft der Richtung der Körpergeschwindigkeit entgegengesetzt ist. Der Widerstandsbeiwert r ist numerisch gleich der Widerstandskraft, die bei einer Einheitsgeschwindigkeit des Körpers auftritt:

Gesetz der Bewegung Federpendel ist Newtons zweites Gesetz:

m a = F Ex. + F widerstehen.

In Anbetracht dessen und schreiben wir Newtons zweites Gesetz in der Form:

. (21.1)

Wenn wir alle Terme der Gleichung durch m dividieren und sie alle auf die rechte Seite verschieben, erhalten wir Differentialgleichung gedämpfte Schwingungen:

Lassen Sie uns angeben, wo β – Dämpfungsfaktor , , wo ω 0 ist die Frequenz ungedämpfter freier Schwingungen ohne Energieverluste im schwingungsfähigen System.

In der neuen Notation hat die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen die Form:

. (21.2)

Dies ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.

Diese lineare Differentialgleichung wird durch eine Variablenänderung gelöst. Wir stellen die Funktion x in Abhängigkeit von der Zeit t in der Form dar:

.

Lassen Sie uns die erste und zweite zeitliche Ableitung dieser Funktion finden, vorausgesetzt, dass die Funktion z auch eine Funktion der Zeit ist:

, .

Ersetzen Sie die Ausdrücke in der Differentialgleichung:

Wir bringen gleiche Terme in die Gleichung und reduzieren jeden Term um , wir erhalten die Gleichung:

.

Lassen Sie uns die Menge bezeichnen .

Gleichungslösung sind die Funktionen , .

Zurück zur Variablen x erhalten wir die Formeln für die Gleichungen gedämpfter Schwingungen:

Auf diese Weise , Gleichung gedämpfter Schwingungen ist eine Lösung der Differentialgleichung (21.2):

Gedämpfte Schwingungsfrequenz :

(daher hat nur die echte Wurzel eine physikalische Bedeutung).

Periode gedämpfter Schwingungen :

(21.5)

Die Bedeutung, die dem Begriff einer Periode für ungedämpfte Schwingungen beigemessen wurde, ist für gedämpfte Schwingungen nicht geeignet, da das schwingungsfähige System durch den Verlust von Schwingungsenergie nie wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt. Bei Reibung sind die Schwingungen langsamer: .

Die Periode gedämpfter Schwingungen wird das minimale Zeitintervall genannt, in dem das System zweimal die Gleichgewichtsposition in derselben Richtung passiert.

Für die Mechanik des Federpendels gilt:

, .

Amplitude gedämpfter Schwingungen :

Für Federpendel.

Die Amplitude gedämpfter Schwingungen ist kein konstanter Wert, sondern ändert sich mit der Zeit umso schneller, je größer der Koeffizient β ist. Daher muss die zuvor für ungedämpfte freie Schwingungen gegebene Definition der Amplitude für gedämpfte Schwingungen geändert werden.

Für kleine Dämpfung Amplitude gedämpfter Schwingungen als größte Abweichung von der Gleichgewichtslage für den Zeitraum bezeichnet.

Grafiken die Offset-Zeit- und Amplitude-Zeit-Kurven sind in den Abbildungen 21.1 und 21.2 dargestellt.

Abbildung 21.1 - Die Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit für gedämpfte Schwingungen.

Abbildung 21.2 - Abhängigkeiten der Amplitude von der Zeit für gedämpfte Schwingungen

Eigenschaften gedämpfter Schwingungen.

1. Dämpfungsfaktor β .

Die Änderung der Amplitude gedämpfter Schwingungen erfolgt nach dem Exponentialgesetz:

Die Schwingungsamplitude nehme „e“-mal über der Zeit τ ab („e“ ist die Basis des natürlichen Logarithmus, e ≈ 2,718). Dann einerseits , und andererseits, nachdem die Amplituden A zat gemalt wurden. (t) und A bei. (t+τ) haben wir . Diese Beziehungen implizieren βτ = 1, also .

Zeitintervall τ , für die die Amplitude um das „e“-fache abnimmt, wird als Relaxationszeit bezeichnet.

Dämpfungsfaktor β ein Wert ist, der umgekehrt proportional zur Relaxationszeit ist.

2. Logarithmisches Dämpfungsdekrement δ - eine physikalische Größe, die numerisch gleich dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Amplituden ist, die zeitlich durch eine Periode getrennt sind.

Wenn die Dämpfung klein ist, d.h. der Wert von β klein ist, dann ändert sich die Amplitude geringfügig über die Periode, und das logarithmische Dekrement kann wie folgt definiert werden:

,

wo A ist. (t) und A bei. (t + NT) - Schwingungsamplituden zum Zeitpunkt e und nach N Perioden, d. h. zum Zeitpunkt (t + NT).

3. Qualitätsfaktor Q schwingendes System ist eine dimensionslose physikalische Größe gleich dem Produkt aus dem Wert (2π) νа dem Verhältnis der Energie W(t) des Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt zum Energieverlust über eine Periode gedämpfter Schwingungen:

.

Da die Energie proportional zum Quadrat der Amplitude ist, dann

Für kleine Werte des logarithmischen Dekrements δ ist der Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems gleich

,

wobei N e die Anzahl der Schwingungen ist, bei denen die Amplitude um das „e“-fache abnimmt.

Die Güte eines Federpendels ist also: Je größer die Güte eines schwingungsfähigen Systems, desto geringer die Dämpfung, desto länger dauert der periodische Vorgang in einem solchen System. Qualitätsfaktor des schwingungsfähigen Systems - dimensionslose Größe, die die Dissipation von Energie in der Zeit charakterisiert.

4. Mit zunehmendem Koeffizienten β nimmt die Frequenz gedämpfter Schwingungen ab und die Periode nimmt zu. Bei ω 0 = β wird die Frequenz der gedämpften Schwingungen gleich Null ω zat. = 0 und T zat. = ∞. In diesem Fall verlieren die Schwingungen ihren periodischen Charakter und werden aufgerufen aperiodisch.

Bei ω 0 = β nehmen die für die Abnahme der Schwingungsenergie verantwortlichen Systemparameter die genannten Werte an kritisch . Für ein Federpendel wird die Bedingung ω 0 = β geschrieben als:, woraus wir den Wert finden Kritischer Luftwiderstandsbeiwert:

.

Reis. 21.3. Die Abhängigkeit der Amplitude aperiodischer Schwingungen von der Zeit

Erzwungene Schwingungen.

Alle realen Schwingungen werden gedämpft. Damit über einen ausreichend langen Zeitraum reale Schwingungen auftreten können, ist es erforderlich, die Energie des schwingungsfähigen Systems durch Einwirkung einer äußeren periodisch wechselnden Kraft periodisch wieder aufzufüllen

Betrachten Sie das Phänomen der Schwingungen, wenn das Äußere (zwingen) Kraft ändert sich mit der Zeit gemäß dem harmonischen Gesetz. In diesem Fall entstehen in den Systemen Schwingungen, deren Natur bis zu einem gewissen Grad die Natur der treibenden Kraft wiederholt. Solche Schwankungen werden genannt gezwungen .

Allgemeine Anzeichen erzwungener mechanischer Schwingungen.

1. Betrachten wir die erzwungenen mechanischen Schwingungen eines Federpendels, auf das von außen eingewirkt wird (zwingend ) periodische Kraft . Die Kräfte, die auf ein aus dem Gleichgewicht geratenes Pendel wirken, entwickeln sich im schwingungsfähigen System selbst. Dies sind die Federkraft und die Widerstandskraft.

Gesetz der Bewegung (Newtons zweites Gesetz) wird wie folgt geschrieben:

(21.6)

Teile beide Seiten der Gleichung durch m, berücksichtige das und erhalte Differentialgleichung erzwungene Schwingungen:

Bezeichne ( β – Dämpfungsfaktor ), (ω 0 ist die Frequenz ungedämpfter freier Schwingungen), die pro Masseneinheit wirkende Kraft. In diesen Notationen Differentialgleichung erzwungene Schwingungen nehmen die Form an:

(21.7)

Dies ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einer rechten Seite ungleich Null. Die Lösung einer solchen Gleichung ist die Summe zweier Lösungen

.

ist die allgemeine Lösung einer homogenen Differentialgleichung, d.h. Differentialgleichung ohne die rechte Seite, wenn sie gleich Null ist. Wir kennen eine solche Lösung – das ist die Gleichung gedämpfter Schwingungen, aufgeschrieben auf eine Konstante, deren Wert durch die Anfangsbedingungen des schwingungsfähigen Systems bestimmt wird:

Woher .

Wir haben bereits besprochen, dass die Lösung in Form von Sinusfunktionen geschrieben werden kann.

Betrachtet man den Vorgang der Pendelschwingungen nach einer ausreichend langen Zeitspanne Δt nach dem Einschalten der Antriebskraft (Bild 21.2), so hören die gedämpften Schwingungen im System praktisch auf. Und dann ist die Lösung der Differentialgleichung mit der rechten Seite die Lösung.

Eine Lösung ist eine bestimmte Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung, d.h. Gleichungen mit der rechten Seite. Aus der Theorie der Differentialgleichungen ist bekannt, dass bei Änderung der rechten Seite nach dem harmonischen Gesetz die Lösung eine harmonische Funktion (sin oder cos) mit einer Änderungsfrequenz ist, die der Änderungsfrequenz Ω der rechten Seite entspricht:

wobei A ampl. – Amplitude der erzwungenen Schwingungen, φ 0 – Phasenverschiebung , jene. Phasendifferenz zwischen der Phase der Antriebskraft und der Phase der erzwungenen Schwingungen. Und Amplitude A amp. , und die Phasenverschiebung φ 0 hängen von den Parametern des Systems (β, ω 0) und von der Frequenz der Antriebskraft Ω ab.

Erzwungene Schwingungsdauer gleich (21.9)

Zeitplan der erzwungenen Schwingungen in Abbildung 4.1.

Abb.21.3. Zeitplan der erzwungenen Schwingungen

Harmonisch sind auch die stetigen erzwungenen Schwingungen.

Abhängigkeiten der Amplitude erzwungener Schwingungen und Phasenverschiebung von der Frequenz äußerer Einwirkung. Resonanz.

1. Kehren wir zum mechanischen System eines Federpendels zurück, auf das eine äußere Kraft einwirkt, die sich nach einem harmonischen Gesetz ändert. Für ein solches System haben die Differentialgleichung bzw. ihre Lösung die Form:

, .

Analysieren wir die Abhängigkeit der Schwingungsamplitude und Phasenverschiebung von der Frequenz der äußeren Antriebskraft, finden wir dazu die erste und zweite Ableitung von x und setzen sie in die Differentialgleichung ein.

Lassen Sie uns die Vektordiagrammmethode verwenden. Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass die Summe der drei Schwingungen auf der linken Seite der Gleichung (Abbildung 4.1) gleich der Schwingung auf der rechten Seite sein sollte. Das Vektordiagramm wird für eine beliebige Zeit t erstellt. Es kann daraus bestimmt werden.

Abbildung 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Unter Berücksichtigung des Wertes , , erhalten wir Formeln für φ 0 und A ampl. Mechanisches System:

,

.

2. Wir untersuchen die Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der treibenden Kraft und der Größe der Widerstandskraft in einem schwingenden mechanischen System und erstellen aus diesen Daten einen Graphen . Die Ergebnisse der Studie sind in Abbildung 21.5 dargestellt, sie zeigen, dass bei einer bestimmten Frequenz der Antriebskraft die Amplitude der Schwingungen nimmt stark zu. Und diese Erhöhung ist um so größer, je kleiner der Dämpfungskoeffizient β ist. Bei wird die Schwingungsamplitude unendlich groß.

Das Phänomen eines starken Amplitudenanstiegs erzwungene Schwingungen mit einer Frequenz gleich der Antriebskraft heißt Resonanz.

(21.12)

Die Kurven in Abbildung 21.5 geben die Beziehung wieder und gerufen werden Amplitudenresonanzkurven .

Abbildung 21.5 - Diagramme der Abhängigkeit der Amplitude erzwungener Schwingungen von der Frequenz der Antriebskraft.

Die Amplitude der Resonanzschwingungen nimmt die Form an:

Erzwungene Schwingungen sind ungedämpft Schwankungen. Die unvermeidlichen Energieverluste durch Reibung werden durch die Energiezufuhr aus einer externen Quelle einer periodisch wirkenden Kraft kompensiert. Es gibt Systeme, bei denen ungedämpfte Schwingungen nicht durch periodische äußere Einflüsse entstehen, sondern durch die Fähigkeit solcher Systeme, den Energiefluss aus einer konstanten Quelle zu regulieren. Solche Systeme werden genannt selbstschwingend, und der Vorgang ungedämpfter Schwingungen in solchen Systemen ist Eigenschwingungen.

Bei einem selbstschwingenden System können drei charakteristische Elemente unterschieden werden – ein schwingfähiges System, eine Energiequelle und eine Rückkopplungsvorrichtung zwischen dem schwingfähigen System und der Quelle. Als Schwingungssystem kann jedes mechanische System verwendet werden, das in der Lage ist, seine eigenen gedämpften Schwingungen auszuführen (z. B. ein Pendel einer Wanduhr).

Die Energiequelle kann die Verformungsenergie der Feder oder die potentielle Energie der Last im Gravitationsfeld sein. Die Rückkopplungsvorrichtung ist ein Mechanismus, durch den das selbstoszillierende System den Energiefluss von der Quelle reguliert. Auf Abb. 21.6 zeigt ein Diagramm des Zusammenwirkens verschiedener Elemente eines selbstschwingenden Systems.

Ein Beispiel für ein mechanisches selbstschwingendes System ist ein Uhrwerk mit Anker verschieben (Abb. 21.7.). Ein Laufrad mit schrägen Zähnen ist starr an einer Zahntrommel befestigt, durch die eine Kette mit einem Gewicht geschleudert wird. Am oberen Ende des Pendels ist ein Anker (Anker) mit zwei Platten aus hartem Material befestigt, die entlang eines Kreisbogens gebogen sind, der auf der Pendelachse zentriert ist. Bei einer Armbanduhr wird das Gewicht durch eine Feder und das Pendel durch einen Balancer ersetzt - ein Handrad, das an einer Spiralfeder befestigt ist.

Abbildung 21.7. Uhrwerk mit Pendel.

Der Balancer führt Torsionsschwingungen um seine Achse aus. Das schwingfähige System in der Uhr ist ein Pendel oder Balancer. Die Energiequelle ist ein angehobenes Gewicht oder eine gewickelte Feder. Die Rückkopplungsvorrichtung ist ein Anker, der es dem Laufrad ermöglicht, sich in einem Halbzyklus um einen Zahn zu drehen.

Die Rückmeldung erfolgt durch das Zusammenspiel des Ankers mit dem Laufrad. Bei jeder Pendelschwingung schiebt der Laufradzahn die Ankergabel in Richtung der Pendelbewegung und überträgt dabei einen bestimmten Energieanteil auf diese, der die Energieverluste durch Reibung kompensiert. Somit wird die potentielle Energie des Gewichts (oder der gedrehten Feder) allmählich in getrennten Portionen auf das Pendel übertragen.

Mechanische Eigenschwingungssysteme sind in unserem Leben und in der Technik weit verbreitet. Selbstschwingungen werden von Dampfmaschinen, Verbrennungsmotoren, elektrischen Glocken, Saiten von Streichinstrumenten, Luftsäulen in den Pfeifen von Blasinstrumenten, Stimmbändern beim Sprechen oder Singen usw. ausgeführt.

In realen schwingungsfähigen Systemen treten neben quasielastischen Kräften auch Widerstandskräfte des Mediums auf. Das Vorhandensein von Reibungskräften führt zu einer Dissipation (Dissipation) von Energie und einer Abnahme der Schwingungsamplitude. Durch die Verlangsamung der Bewegung erhöhen die Reibungskräfte die Periode, d.h. verringert die Schwingungsfrequenz. Solche Schwingungen sind nicht harmonisch.

Schwingungen mit zeitlich kontinuierlich abnehmender Amplitude aufgrund von Energiedissipation werden als Schwingungen bezeichnet Fading . Bei ausreichend niedrigen Geschwindigkeiten ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit des Körpers und richtet sich gegen die Bewegung

wobei r der Reibungskoeffizient ist, der von den Eigenschaften des Mediums, der Form und Größe des sich bewegenden Körpers abhängt. Die Differentialgleichung gedämpfter Schwingungen bei Vorhandensein von Reibungskräften hat die Form:

oder
(21)

wo
- Dämpfungskoeffizient,

- Eigenkreisfrequenz freier Schwingungen ohne Reibungskräfte.

Die allgemeine Lösung von Gleichung (21) bei geringer Dämpfung (
) ist ein:

Sie unterscheidet sich von der Harmonischen (8) dadurch, dass die Schwingungsamplitude:

(23)

eine abnehmende Funktion der Zeit ist, und die Kreisfrequenz bezogen auf die Eigenfrequenz und Dämpfungsfaktor Verhältnis:

. (24)

Die Periode gedämpfter Schwingungen ist gleich:

. (25)

Die Abhängigkeit der Auslenkung X von t gedämpften Schwingungen ist in Abb.4 dargestellt.

C der Grad der Amplitudenabnahme wird durch den Dämpfungskoeffizienten bestimmt .

Während
Amplitude (23) nimmt um den Faktor e ≈ 2,72 ab. Diesmal natürlicher Verfall heißt Entspannungs Zeit. Daher ist der Dämpfungsfaktor der Kehrwert der Relaxationszeit:

.(26)

Die Abnahmerate der Schwingungsamplitude ist gekennzeichnet durch logarithmisches Dämpfungsdekrement. Seien A(t) und A(t+T) die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Schwingungen, die Zeitpunkten entsprechen, die sich um eine Periode unterscheiden. Dann die Beziehung:

(27)

namens Dämpfungsdekrement, die zeigt, wie oft die Amplitude der Schwingungen in einer Zeit gleich der Periode abnimmt. Der natürliche Logarithmus dieses Verhältnisses ist:

(28)

heißt logarithmischer Dämpfungsfaktor. Dabei ist N e die Anzahl der Schwingungen, die während der Zeit durchgeführt werden, in der die Amplitude um den Faktor e abnimmt, d. h. während der Erholungszeit.

Das logarithmische Dämpfungsdekrement ist also der Kehrwert der Anzahl der Schwingungen, wonach die Schwingungsamplitude um den Faktor e abnimmt.

Die Abnahmegeschwindigkeit der Energie des schwingungsfähigen Systems wird durch die Güte Q charakterisiert. Qualitätsfaktor des schwingungsfähigen Systems- ein Wert proportional zum Verhältnis der Gesamtenergie E(t) des schwingungsfähigen Systems zur Energie (- E) im Zeitraum T verloren:

(29)

Die Gesamtenergie des schwingungsfähigen Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt und für jeden Wert von X hat die Form:

(30)

Da die Energie proportional zum Quadrat der Amplitude ist, nimmt die Energie gedämpfter Schwingungen proportional zum Wert ab
, Du kannst schreiben:

. (31)

Dann sieht der Ausdruck für die Güte des schwingungsfähigen Systems laut Definition so aus:

Dabei wird berücksichtigt, dass bei niedrigen Dämpfungen (1): 1. -2   ​​​​2.

Daher ist der Gütefaktor proportional zur Anzahl der Schwingungen N e , die das System während der Relaxationszeit ausführt.

Die Güte schwingender Systeme kann sehr unterschiedlich sein, zum Beispiel beträgt die Güte eines physikalischen Pendels Q~ 10 2 , während die Güte eines Atoms, das ebenfalls ein schwingendes System ist, Q~ 10 8 erreicht.

Abschließend bemerken wir, dass wenn der Dämpfungskoeffizient β=ω 0 ist, die Periode unendlich wird T =∞ (kritische Dämpfung). Bei weiterer Erhöhung von β wird die Periode T imaginär, und die Dämpfung der Bewegung erfolgt schwingungsfrei, wie man so sagt, aperiodisch. Dieser Bewegungsfall ist in Fig.5 dargestellt. Die kritische Dämpfung (Beruhigung) tritt in kürzester Zeit auf und ist wichtig bei Messinstrumenten, beispielsweise bei ballistischen Galvanometern .

BEIM GEZWUNGEN VASKULATION UND RESONANZ

Wenn eine elastische Kraft F y \u003d -kX auf einen Körper mit der Masse m wirkt, ist die Reibungskraft
und äußere periodische Kraft
, dann führt es erzwungene Schwingungen aus. Die Differentialgleichung der Bewegung hat in diesem Fall die Form:

wo
,
- Dämpfungskoeffizient,
- Eigenfrequenz freier ungedämpfter Schwingungen des Körpers, F 0 - Amplitude, ω - Frequenz der periodischen Kraft.

Im Anfangsmoment übersteigt die Arbeit der äußeren Kraft die Energie, die für die Reibung aufgewendet wird (Abb. 6). Die Energie und die Amplitude der Schwingungen des Körpers nehmen zu, bis die gesamte Energie, die durch die äußere Kraft übertragen wird, vollständig für die Überwindung der Reibung verbraucht ist, die proportional zur Geschwindigkeit ist. Daher stellt sich ein Gleichgewicht ein, in dem die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist. Dieser Zustand kennzeichnet den stationären Zustand des Systems.

In diesem Zustand ist die Bewegung des Körpers harmonisch mit einer Frequenz gleich der Frequenz der externen Erregung, aber aufgrund der Trägheit des Körpers werden seine Schwingungen in Bezug auf den Momentanwert der externen Periodik phasenverschoben Gewalt:

X = ACos(ωt + φ). (34)

Anders als bei freien Schwingungen hängen die Amplitude A und die Phase  erzwungener Schwingungen nicht von den Anfangsbedingungen der Bewegung ab, sondern werden nur von den Eigenschaften des schwingenden Systems, der Amplitude und Frequenz der treibenden Kraft bestimmt:

, (35)

. (36)

Es ist ersichtlich, dass Amplitude und Phasenverschiebung von der Frequenz der Antriebskraft abhängen (Abb. 7, 8).

Ein charakteristisches Merkmal erzwungener Schwingungen ist das Vorhandensein von Resonanz. Phänomen ein starker Anstieg der Amplitude erzwungener Schwingungen, wenn sich die Frequenz der Antriebskraft der Eigenfrequenz freier ungedämpfter Schwingungen des Körpers ω 0 nähert, wird genannt mechanische Resonanz . Schwingungsamplitude des Körpers bei Resonanzfrequenz
erreicht den Maximalwert:

(37)

Zu den Resonanzkurven (siehe Abb. 7) seien folgende Bemerkungen gemacht. Wenn ω → 0, dann kommen alle Kurven (siehe auch (35)) auf denselben von Null verschiedenen Grenzwert
, die sogenannte statistische Abweichung. Ist ω→ ∞, dann gehen alle Kurven asymptotisch gegen Null.

Unter der Bedingung geringer Dämpfung (β 2 ‹‹ω 0 2) ist die Resonanzamplitude (siehe (37))

(37a)

Unter dieser Bedingung nehmen wir das Verhältnis der Resonanzverschiebung zur statischen Abweichung:

woraus ersichtlich ist, dass die relative Zunahme der Schwingungsamplitude bei Resonanz durch die Güte des schwingungsfähigen Systems bestimmt wird. Hier ist der Qualitätsfaktor tatsächlich der Gewinn der Antwort
System und kann bei geringer Dämpfung große Werte erreichen.

Dieser Umstand bestimmt die große Bedeutung des Resonanzphänomens in Physik und Technik. Es wird verwendet, wenn sie Schwingungen verstärken wollen, zum Beispiel in der Akustik - um den Klang von Musikinstrumenten zu verbessern, in der Funktechnik - um das gewünschte Signal von vielen anderen, die sich in der Frequenz unterscheiden, zu isolieren. Wenn Resonanz zu einer unerwünschten Überhöhung der Schwingungen führen kann, wird ein System mit niedriger Güte verwendet.

VERWANDTE SCHWINGUNGEN

Das zweite schwingungsfähige System, das mit dem ersten elastisch verbunden ist, kann als Quelle einer äußeren periodischen Kraft dienen. Beide Schwingungssysteme können aufeinander einwirken. So zum Beispiel der Fall zweier gekoppelter Pendel (Abb. 9).

Das System kann sowohl gleichphasige (Abb. 9b) als auch gegenphasige (Abb. 9c) Schwingungen ausführen. Solche Schwingungen werden als Normaltyp oder Normalmodus bezeichnet und sind durch ihre eigene Normalfrequenz gekennzeichnet. Bei gleichphasigen Schwingungen ist die Verschiebung der Pendel zu allen Zeiten X 1 \u003d X 2 und die Frequenz ω 1 ist genau gleich der Frequenz eines einzelnen Pendels
. Dies liegt daran, dass die Lichtfeder in einem freien Zustand ist und keinen Einfluss auf die Bewegung hat. Bei gegenphasigen Schwingungen zu jeder Zeit - X 1 \u003d X 2. Die Frequenz solcher Schwingungen ist größer als und gleich
, da die Feder, die die Steifigkeit k hat und die Verbindung ausführt, immer in einem gestreckten, dann in einem komprimierten Zustand ist.

L
Jeder Zustand unseres gekoppelten Systems, einschließlich der anfänglichen Verschiebung X (Abb. 9a), kann als Überlagerung zweier Normalmoden dargestellt werden:

Setzen wir das System aus dem Anfangszustand X 1 = 0 in Bewegung,
, X 2 \u003d 2A,
,

dann werden die Auslenkungen der Pendel durch die Ausdrücke beschrieben:

Auf Abb. 10 zeigt die Veränderung der Auslenkung einzelner Pendel über die Zeit.

Die Schwingungsfrequenz der Pendel ist gleich der mittleren Frequenz zweier Normalmoden:

, (39)

und ihre Amplitude ändert sich gemäß dem Sinus- oder Kegelgesetz mit einer niedrigeren Frequenz, die gleich der halben Frequenzdifferenz der Normalmoden ist:

. (40)

Eine langsame Amplitudenänderung mit einer Frequenz, die gleich der halben Differenz zwischen den Frequenzen der Normalmoden ist, wird als bezeichnet “ schlägt ” zwei Schwingungen mit fast gleicher Frequenz. Die Frequenz der „Schwebungen“ ist gleich der Differenz ω 1 – ω 2 Frequenzen (und nicht der Hälfte dieser Differenz), da die maximale Amplitude 2A zweimal in einer der Frequenz entsprechenden Periode erreicht wird

Daher ist die Schlagperiode gleich:

(41)

Wenn die Pendel schlagen, wird Energie ausgetauscht. Ein vollständiger Energieaustausch ist jedoch nur möglich, wenn beide Massen gleich sind und das Verhältnis (ω 1 + ω 2 / ω 1 -ω 2) gleich einer ganzen Zahl ist. Ein wichtiger Punkt, der zu beachten ist, ist, dass, obwohl einzelne Pendel Energie austauschen können, kein Energieaustausch zwischen normalen Modi stattfindet.

Das Vorhandensein solcher schwingender Systeme, die miteinander wechselwirken und ihre Energie aufeinander übertragen können, bilden die Grundlage der Wellenbewegung.

Ein in ein elastisches Medium eingebrachter schwingender Stoffkörper nimmt die ihm benachbarten Teilchen des Mediums mit und versetzt sie in Schwingbewegung. Aufgrund des Vorhandenseins elastischer Bindungen zwischen den Partikeln breiten sich die Schwingungen mit einer für ein gegebenes Medium charakteristischen Geschwindigkeit durch das gesamte Medium aus.

Der Vorgang der Schwingungsausbreitung in einem elastischen Medium wird genannt Welle .

Es gibt zwei Haupttypen von Wellen: Längs- und Querwellen. Bei Longitudinalwellen Teilchen des Mediums schwingen entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle und in Querrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle steht. Nicht jedes elastische Medium kann eine Transversalwelle ausbreiten. Eine transversale elastische Welle ist nur in solchen Medien möglich, in denen eine elastische Scherverformung stattfindet. Beispielsweise breiten sich in Gasen und Flüssigkeiten nur longitudinale elastische Wellen (Schall) aus.

Der Ort der Punkte des Mediums, den die Schwingung zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht hat, wird bezeichnet Wellenfront . Die Wellenfront trennt den bereits am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind. Abhängig von der Form der Front sind Wellen eben, kugelförmig, zylindrisch usw.

Die Gleichung für eine sich verlustfrei in einem homogenen Medium ausbreitende ebene Welle lautet:
, (42)

wobei ξ(X,t) die Verschiebung von Partikeln des Mediums mit der Koordinate X von der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t ist, A die Amplitude ist,
- Wellenphase,
- kreisförmige Schwingungsfrequenz der Partikel des Mediums, v - Geschwindigkeit der Wellenausbreitung.

Wellenlänge λ der Abstand zwischen Punkten, die mit einer Phasendifferenz von 2π oszillieren, wird mit anderen Worten bezeichnet, die Wellenlänge ist der Weg, den eine beliebige Phase der Welle in einer Schwingungsperiode zurücklegt:

Phasengeschwindigkeit, d.h. Ausbreitungsgeschwindigkeit dieser Phase:

λ / T (44)

Wellennummer ist die Anzahl der Wellenlängen, die auf eine Länge von 2π-Einheiten passen:

k = ω / v = 2π / λ. (45)

Setzt man diese Bezeichnungen in (42) ein, Gleichung für monochromatische Wellen in der Ebene kann dargestellt werden als:

(46)

Beachten Sie, dass die Wellengleichung (46) eine doppelte Periodizität in Koordinaten und Zeit aufweist. Tatsächlich fallen die Phasen der Schwingungen zusammen, wenn sich die Koordinate um λ ändert und wenn sich die Zeit um eine Periode T ändert. Daher ist es unmöglich, eine Welle auf einer Ebene graphisch darzustellen. Oft wird die Zeit t festgelegt und die Abhängigkeit der Verschiebung ξ von der X-Koordinate in der Grafik dargestellt, d.h. momentane Verteilung der Verschiebungen von Partikeln des Mediums entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle (Abb. 11). Die Phasendifferenz Δφ der Schwingungen der Punkte des Mediums hängt vom Abstand ΔX \u003d X 2 - X 1 zwischen diesen Punkten ab:

(47)

Wenn sich die Welle entgegengesetzt zur X-Richtung ausbreitet, wird die Rückwärtswellengleichung geschrieben als:

ξ (X,t) = ACos(ωt + kX). (48)

STEHENDE WELLEN sind das Ergebnis einer besonderen Art der Welleninterferenz. Sie entstehen, wenn sich zwei Wanderwellen mit gleichen Frequenzen und Amplituden aufeinander ausbreiten.

Die Gleichungen zweier ebener Wellen, die sich entlang der X-Achse in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, lauten:

ξ 1 \u003d ACos (ωt - kX)

ξ 2 = ACos(ωt + kX). (49)

Wenn wir diese Gleichungen mit der Formel der Kosinussumme addieren und berücksichtigen, dass k = 2π / λ, erhalten wir die Stehwellengleichung:

. (50)

Cos ωt Multiplikator zeigt, dass an den Stellen des Mediums mit Amplitude Schwingungen gleicher Frequenz ω auftreten
, abhängig von der X-Koordinate des betrachteten Punktes. An Stellen in der Umgebung, an denen:
, (51)

die Schwingungsamplitude erreicht einen Maximalwert von 2A. Diese Punkte werden aufgerufen Bäuche.

Aus Ausdruck (51) kann man die Antiknotenkoordinaten finden:
(52)

An den Stellen wo
(53) die Schwingungsamplitude verschwindet. Diese Punkte werden aufgerufen Knoten.

Knotenkoordinaten:
. (54)

R die Abstände zwischen benachbarten Bäuchen und benachbarten Knoten sind gleich und gleich λ/2. Der Abstand zwischen dem Knoten und dem benachbarten Bauch ist gleich λ / 4. Beim Durchgang durch den Knoten der Multiplikator
ändert das Vorzeichen, also unterscheiden sich die Phasen der Schwingungen auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens um π, d.h. Punkte, die auf gegenüberliegenden Seiten des Knotens liegen, schwingen gegenphasig. Zwischen zwei benachbarten Knoten eingeschlossene Punkte schwingen mit unterschiedlichen Amplituden, aber mit gleichen Phasen.

Die Verteilung von Knoten und Bäuchen in einer stehenden Welle hängt von den Bedingungen ab, die an der Grenzfläche zwischen zwei Medien stattfinden, an denen Reflexion auftritt. Erfolgt die Reflexion der Welle an einem dichteren Medium, so ändert sich die Phase der Schwingungen am Reflexionsort der Welle ins Gegenteil, oder wie man so sagt, die Hälfte der Welle geht verloren. Als Ergebnis der Addition von Schwingungen mit entgegengesetzten Richtungen ist daher die Verschiebung an der Grenze Null, d. h. es gibt einen Knoten (Abb. 12). Wenn eine Welle von der Grenze eines weniger dichten Mediums reflektiert wird, bleibt die Phase der Schwingungen am Ort der Reflexion unverändert und es werden Schwingungen mit gleichen Phasen in der Nähe der Grenze hinzugefügt - es entsteht ein Schwingungsbauch.

Bei einer stehenden Welle gibt es keine Phasenbewegung, keine Wellenausbreitung, keine Energieübertragung, daher der Name dieser Wellenart.

Eine Abnahme der Energie des Schwingungssystems führt zu einer allmählichen Abnahme der Schwingungsamplitude, weil

In diesem Fall sagen sie das Schwankungen werden gedämpft .

Eine ähnliche Situation entwickelt sich im Schwingkreis. Die reale Spule, die Teil der Schaltung ist, hat immer einen aktiven Widerstand. Wenn Strom durch den aktiven Widerstand der Spule fließt, wird Joulesche Wärme freigesetzt. In diesem Fall nimmt die Energie der Schaltung ab, was zu einer Abnahme der Amplitude von Ladungs-, Spannungs- und Stromschwingungen führt.

Unsere Aufgabe- Finden Sie heraus, nach welchem ​​Gesetz die Abnahme der Schwingungsamplitude erfolgt, nach welchem ​​Gesetz sich der Schwingungswert selbst ändert, mit welcher Frequenz gedämpfte Schwingungen auftreten, wie lange die Schwingungen „ausklingen“.

§1 Schwingungsdämpfung in Systemen mit viskoser Reibung

Stellen Sie sich ein schwingungsfähiges System vor, in dem die Kraft der viskosen Reibung wirkt. Ein Beispiel für ein solches Schwingungssystem ist ein mathematisches Pendel, das in der Luft schwingt.

In diesem Fall, wenn das System durch aus dem Gleichgewicht gebracht wird

Auf das Pendel wirken zwei Kräfte ein: eine quasielastische Kraft und eine Widerstandskraft (viskose Reibungskraft).

Das zweite Newtonsche Gesetz wird wie folgt geschrieben:

(1)

Wir wissen, dass bei niedrigen Geschwindigkeiten die viskose Reibungskraft proportional zur Bewegungsgeschwindigkeit ist:

Wir berücksichtigen, dass die Geschwindigkeitsprojektion die erste Ableitung der Körperkoordinate und die Beschleunigungsprojektion die zweite Ableitung der Koordinate ist:

Dann nimmt Gleichung (2) die Form an:

erhalten wir die Bewegungsgleichung in folgender Form:

(3)

wobei d der Dämpfungskoeffizient ist, hängt er vom Reibungskoeffizienten r ab,

w 0 - zyklische Frequenz idealer Schwingungen (ohne Reibung).

Betrachten Sie vor dem Lösen von Gleichung (3) den Schwingkreis. Der aktive Widerstand der Spule ist in Reihe mit der Kapazität C und der Induktivität L geschaltet.

Schreiben wir das zweite Kirchhoffsche Gesetz auf

Berücksichtigen wir das, , .

Dann nimmt Kirchhoffs zweites Gesetz die Form an:

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch:

Wir führen die Notation ein

Endlich bekommen wir

Beachten Sie die mathematische Identität der Differentialgleichungen (3) und (3'). Es gibt nichts Überraschendes. Wir haben bereits die absolute mathematische Identität des Schwingungsvorgangs des Pendels und der elektromagnetischen Schwingungen im Stromkreis gezeigt. Offensichtlich laufen auch die Vorgänge der Schwingungsdämpfung im Kreislauf und in Systemen mit viskoser Reibung in gleicher Weise ab.

Durch Lösen von Gleichung (3) erhalten wir Antworten auf alle obigen Fragen.

Wir kennen die Lösung dieser Gleichung

Dann erhalten wir für die gewünschte Gleichung (3) das Endergebnis

Es ist leicht einzusehen, dass sich die Ladung eines Kondensators in einem realen Schwingkreis gesetzmäßig ändert

Analyse des Ergebnisses:

1 Durch die gemeinsame Wirkung der quasielastischen Kraft und der Widerstandskraft wird das System kann sein eine oszillierende Bewegung machen. Dazu muss die Bedingung w 0 2 - d 2 > 0 erfüllt sein, dh die Reibung im System muss klein sein.

2 Die Frequenz der gedämpften Schwingungen w stimmt nicht mit der Schwingungsfrequenz des Systems ohne Reibung überein w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Über die Zeit bleibt die Frequenz gedämpfter Schwingungen unverändert.

Wenn der Dämpfungskoeffizient d klein ist, liegt die Frequenz gedämpfter Schwingungen nahe bei der Eigenfrequenz w 0 .

Diese Amplitudenabnahme erfolgt exponentiell.

4 Wenn w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

wo .

Durch direkte Substitution lässt sich leicht verifizieren, dass Funktion (4) tatsächlich eine Lösung von Gleichung (3) ist. Offensichtlich ist die Summe zweier Exponentialfunktionen keine periodische Funktion. Aus physikalischer Sicht bedeutet dies, dass es zu keinen Schwingungen im System kommt. Nachdem das System aus der Gleichgewichtsposition entfernt wurde, kehrt es langsam dorthin zurück. Ein solcher Vorgang wird aufgerufen aperiodisch .

§2 Wie schnell klingen Schwingungen in Systemen mit viskoser Reibung ab?

Verringerung der Dämpfung

Mengenwert . Es ist ersichtlich, dass der Wert von d die Dämpfungsrate der Schwingungen charakterisiert. Aus diesem Grund wird d Dämpfungsfaktor genannt.

Bei elektrischen Schwingungen im Stromkreis hängt der Dämpfungskoeffizient von den Parametern der Spule ab: Je größer der aktive Widerstand der Spule ist, desto schneller nehmen die Amplitude der Ladung auf dem Kondensator, die Spannung und der Strom ab.

Die Funktion ist das Produkt einer abnehmenden Exponentialfunktion und einer harmonischen Funktion, also Die Funktion ist nicht harmonisch. Aber es hat eine gewisse "Wiederholbarkeit", die darin besteht, dass die Maxima, Minima, Nullstellen der Funktion in regelmäßigen Abständen auftreten. Der Graph der Funktion ist eine Sinuskurve, die durch zwei Exponenten begrenzt ist.

Lassen Sie uns das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Amplituden finden, die durch ein Zeitintervall von einer Periode getrennt sind. Diese Beziehung heißt Dämpfungsdekrement

Bitte beachten Sie, dass das Ergebnis nicht davon abhängt, ob Sie zwei aufeinanderfolgende Perioden betrachten – zu Beginn der oszillierenden Bewegung oder nach einiger Zeit. Für jede Periode ändert sich die Amplitude der Schwingungen nicht die gleiche Größe, aber gleich oft !!

Das ist leicht zu sehen für alle unterschiedlichen Zeitintervalle nimmt die Amplitude der gedämpften Schwingungen um die gleiche Anzahl von Malen ab.

Entspannungs Zeit

Die Entspannungszeit wird aufgerufen die Zeit, in der die Amplitude gedämpfter Schwingungen um das e-fache abnimmt:

Dann .

Von hier aus ist es nicht schwierig, die physikalische Bedeutung des Dämpfungskoeffizienten festzustellen:

Der Dämpfungsfaktor ist also der Kehrwert der Relaxationszeit. Angenommen, im Schwingkreis ist der Dämpfungskoeffizient gleich . Das bedeutet, dass nach einer Zeit s die Schwingungsamplitude um abnimmt e einmal.

Logarithmisches Dämpfungsdekrement

Häufig ist die Dämpfungsrate von Schwingungen durch ein logarithmisches Dämpfungsdekrement gekennzeichnet. Nehmen Sie dazu den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der durch eine Zeitspanne getrennten Amplituden.

Lassen Sie uns die physikalische Bedeutung des logarithmischen Dämpfungsdekrements herausfinden.

Sei N die Anzahl der Schwingungen, die das System während der Relaxationszeit ausführt, d. h. die Anzahl der Schwingungen, während der die Schwingungsamplitude abnimmt e einmal. Offensichtlich, .

Es ist ersichtlich, dass das logarithmische Dämpfungsdekrement der Kehrwert der Anzahl der Schwingungen ist, nach denen die Amplitude abnimmt e einmal.

Angenommen, dies bedeutet, dass nach 100 Schwingungen die Amplitude um abnimmt e einmal.

Qualitätsfaktor des schwingungsfähigen Systems

Neben dem logarithmischen Dämpfungsdekrement und der Relaxationszeit kann die Dämpfungsrate von Schwingungen durch einen Wert wie gekennzeichnet werden Gütefaktor des Schwingsystems . Unter dem Qualitätsfaktor

Das lässt sich zeigen für schwach gedämpfte Schwingungen

Die Energie des schwingungsfähigen Systems zu einem beliebigen Zeitpunkt ist gleich . Der Energieverlust über einen Zeitraum kann als Differenz zwischen der Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt und der Energie nach einer Zeit gleich dem Zeitraum ermittelt werden:

Dann

Die Exponentialfunktion kann zu einer Reihe entwickelt werden beim<< 1. после подстановки получаем .

Beim Widerruf haben wir eine Einschränkung auferlegt<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Die von uns erhaltenen Formeln für die Güte des Systems sagen noch nichts aus. Nehmen wir an, die Berechnungen ergeben einen Wert des Qualitätsfaktors Q = 10. Was bedeutet das? Wie schnell klingen Schwingungen ab? Ist das gut oder schlecht?

Es wird normalerweise bedingt angenommen, dass Schwingungen praktisch aufgehört haben, wenn ihre Energie um das 100-fache abgenommen hat (Amplitude - um 10). Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Schwingungen das System bis zu diesem Moment gemacht hat:

Wir können die zuvor gestellte Frage beantworten: N = 8.

Welches Schwingsystem ist besser – mit großer oder kleiner Güte? Die Antwort auf diese Frage hängt davon ab, was Sie aus dem oszillierenden System herausholen möchten.

Wenn Sie möchten, dass das System vor dem Stoppen so viele Schwingungen wie möglich macht, muss der Qualitätsfaktor des Systems erhöht werden. Wie? Da die Güte durch die Parameter des schwingungsfähigen Systems selbst bestimmt wird, ist es notwendig, diese Parameter richtig zu wählen.

So sollte das in der St. Isaaks-Kathedrale installierte Foucault-Pendel schwach gedämpfte Schwingungen ausführen. Dann

Der einfachste Weg, den Qualitätsfaktor eines Pendels zu erhöhen, besteht darin, es schwerer zu machen.

In der Praxis treten oft umgekehrte Probleme auf: Es ist notwendig, die entstandenen Schwingungen so schnell wie möglich zu löschen (z. Vorrichtungen, die eine zunehmende Dämpfung im System ermöglichen, werden als Dämpfer (oder Stoßdämpfer) bezeichnet. Beispielsweise ist ein Autostoßdämpfer in erster Näherung ein mit Öl (viskose Flüssigkeit) gefüllter Zylinder, in dem sich ein Kolben mit vielen kleinen Löchern bewegen kann. Die Kolbenstange ist mit der Karosserie verbunden und der Zylinder ist mit der Radachse verbunden. Die entstandenen Schwingungen des Körpers klingen schnell ab, da der sich bewegende Kolben auf seinem Weg durch die zähflüssige Flüssigkeit, die den Zylinder füllt, auf großen Widerstand stößt.

§ 3 Schwingungsdämpfung in Systemen mit trockener Reibung

Die Dämpfung von Schwingungen erfolgt grundsätzlich anders, wenn die Gleitreibungskraft im System wirkt. Sie ist der Grund für den Stopp des Federpendels, das auf jeder Oberfläche schwingt.

Angenommen, ein Federpendel, das sich auf einer horizontalen Oberfläche befindet, wurde in eine oszillierende Bewegung versetzt, indem die Feder zusammengedrückt und die Last gelöst wird, dh aus der Extremposition. Beim Bewegen einer Last von einer Extremposition in eine andere wird sie durch die Schwerkraft und die Reaktionskraft des Trägers (vertikal), die Elastizitätskraft und die Gleitreibungskraft (entlang der Oberfläche) beeinflusst.

Beachten Sie, dass bei der Bewegung von links nach rechts die Reibungskraft in Richtung und Modul unverändert bleibt.

Damit können wir behaupten, dass sich das Federpendel während der ersten Hälfte der Periode in einem konstanten Kraftfeld befindet.

Die Verschiebung der Gleichgewichtslage lässt sich aus der Bedingung berechnen, dass die Resultierende in der Gleichgewichtslage gleich Null ist:
Wichtig ist, dass während der ersten Hälfte der Schwingungsdauer des Pendels harmonisch !

Bei Bewegung in die entgegengesetzte Richtung – von rechts nach links – ändert die Reibungskraft ihre Richtung, bleibt aber während des gesamten Übergangs in Größe und Richtung konstant. Diese Situation entspricht wiederum den Schwingungen eines Pendels in einem konstanten Kraftfeld. Nur ist dieses Feld jetzt anders! Es änderte die Richtung. Folglich änderte sich auch die Gleichgewichtslage bei der Bewegung von rechts nach links. Jetzt hat es sich um den Betrag D nach rechts verschoben l 0 .

Lassen Sie uns die Abhängigkeit der Körperkoordinate von der Zeit darstellen. Da die Bewegung für jede Hälfte der Periode eine harmonische Schwingung ist, besteht der Graph aus Hälften von Sinuskurven, von denen jede relativ zu ihrer Gleichgewichtsposition aufgebaut ist. Wir führen den Betrieb von "Nählösungen" durch.

Lassen Sie uns anhand eines konkreten Beispiels zeigen, wie das geht.

Die Masse der an der Feder befestigten Last sei 200 g, die Federsteifigkeit sei 20 N/m und der Reibungskoeffizient zwischen der Last und der Tischoberfläche sei 0,1. Durch Spannen der Feder wurde das Pendel in Schwingung versetzt

6,5cm.

Im Gegensatz zu schwingungsfähigen Systemen mit viskoser Reibung nimmt bei Systemen mit trockener Reibung die Schwingungsamplitude mit der Zeit nach einem linearen Gesetz ab - für jede Periode nimmt sie um zwei Breiten der Stagnationszone ab.

Eine weitere Besonderheit ist, dass Schwingungen in Systemen mit trockener Reibung auch theoretisch nicht unbegrenzt auftreten können. Sie hören auf, sobald der Körper in der „Stagnationszone“ stoppt.

§4 Beispiele zur Problemlösung

Aufgabe 1 Die Art der Amplitudenänderung gedämpfter Schwingungen in Systemen mit viskoser Reibung

Die Amplitude der gedämpften Schwingungen des Pendels während der Zeit t 1 = 5 min nahm um das 2-fache ab. In welcher Zeit t 2 nimmt die Schwingungsamplitude um das 8-fache ab? Nach welcher Zeit t 3 können wir davon ausgehen, dass die Schwingungen des Pendels aufgehört haben?

Entscheidung:

Die Amplitude von Schwingungen in Systemen mit viskoser Reibung über die Zeit

exponentiell abnimmt, wobei die Schwingungsamplitude zum Anfangszeitpunkt ist, ist der Dämpfungsfaktor.

1 Schreiben wir das Gesetz der Amplitudenänderung zweimal auf

2 Wir lösen gemeinsam Gleichungen. Wenn wir den Logarithmus jeder Gleichung nehmen, erhalten wir

Wir dividieren die zweite Gleichung nicht die erste und finden die Zeit t 2

4

Nach Transformationen erhalten wir

Teilen Sie die letzte Gleichung durch Gleichung (*)

Aufgabe 2 Dauer gedämpfter Schwingungen in Systemen mit viskoser Reibung

Bestimmen Sie die Periode der gedämpften Schwingungen des Systems T, wenn die Periode der Eigenschwingungen T 0 \u003d 1 s ist, und das logarithmische Dämpfungsdekrement. Wie viele Schwingungen wird dieses System machen, bevor es vollständig zum Stillstand kommt?

Entscheidung:

1 Die Periode gedämpfter Schwingungen in einem System mit viskoser Reibung ist größer als die Periode natürlicher Schwingungen (ohne Reibung im System). Die Frequenz gedämpfter Schwingungen ist dagegen kleiner als die Eigenfrequenz und gleich , wobei der Dämpfungskoeffizient ist.

2 Drücken Sie die zyklische Häufigkeit durch die Periode aus. und berücksichtigen, dass das logarithmische Dämpfungsdekrement gleich ist:

3 Nach Transformationen erhalten wir .

Die Energie des Systems ist gleich der maximalen potentiellen Energie des Pendels

Nach Transformationen erhalten wir

5 Wir drücken den Dämpfungskoeffizienten in Form eines logarithmischen Dekrements aus und erhalten

Die Anzahl der Schwingungen, die das System vor dem Stoppen ausführt, ist gleich

Aufgabe 3 Die Anzahl der Schwingungen des Pendels bis zur Halbierung der Amplitude

Das logarithmische Dämpfungsdekrement des Pendels ist gleich q = 3×10 -3 . Bestimmen Sie die Anzahl der vollständigen Schwingungen, die das Pendel ausführen muss, damit die Amplitude seiner Schwingungen um das Zweifache abnimmt.

Entscheidung:

3 Es ist leicht zu sehen, dass dies das logarithmische Dämpfungsdekrement ist. Wir bekommen

Ermitteln der Anzahl der Schwingungen

Aufgabe 4 Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems

Bestimmen Sie den Qualitätsfaktor des Pendels, wenn während der Zeit, in der 10 Schwingungen durchgeführt wurden, die Amplitude um das Zweifache abgenommen hat. Wie lange dauert es, bis das Pendel stehen bleibt?

Entscheidung:

1 Die Amplitude von Schwingungen in Systemen mit viskoser Reibung nimmt exponentiell mit der Zeit ab, wobei die Amplitude der Schwingungen zum Anfangszeitpunkt der Dämpfungskoeffizient ist.

Da die Oszillationsamplitude um das Zweifache abnimmt, erhalten wir

2 Die Schwingungsdauer lässt sich darstellen als Produkt der Schwingungsdauer mit ihrer Anzahl:

Ersetzen Sie den resultierenden Zeitwert in den Ausdruck (*)

3 Es ist leicht zu sehen, dass dies das logarithmische Dämpfungsdekrement ist. Wir erhalten das logarithmische Dämpfungsdekrement gleich

4 Gütefaktor des schwingungsfähigen Systems

Die Energie des Systems ist gleich der maximalen potentiellen Energie des Pendels

Nach Transformationen erhalten wir

Finden Sie die Zeit, nach der die Schwingungen aufhören .

Aufgabe 5 Schwingungen eines Magneten

Vasya Lisichkin, ein in der ganzen Schule bekannter Experimentator, beschloss, die magnetische Figur seines Lieblingsliteraturhelden Kolobok entlang der Kühlschrankwand vibrieren zu lassen. Er befestigte die Figur an einer Feder mit der Steifigkeit k = 10 N/m, dehnte sie um 10 cm und ließ sie los. Wie viele Schwingungen macht der Lebkuchenmann, wenn die Masse der Figur m = 10 g beträgt, der Reibungskoeffizient zwischen Figur und Wand μ = 0,4 beträgt und sie mit der Kraft F = 0,5 N von der Wand gerissen werden kann? .

Entscheidung:

1 Beim Bewegen von der extrem unteren in die extrem obere Position, wenn die Geschwindigkeit der Last nach oben gerichtet ist, wird die Gleitreibungskraft nach unten gerichtet und ist numerisch gleich . Somit befindet sich das Federpendel in einem konstanten Kraftfeld, das durch Schwerkraft und Reibung erzeugt wird. In einem konstanten Kraftfeld verschiebt das Pendel seine Gleichgewichtslage:

wo ist die Dehnung der Feder in der neuen "Gleichgewichtslage".

2 Beim Bewegen von der äußersten oberen zur äußersten unteren Position, wenn die Geschwindigkeit der Last nach unten gerichtet ist, wird die Gleitreibungskraft nach oben gerichtet und ist numerisch gleich . Damit befindet sich das Federpendel wieder in einem konstanten Kraftfeld, das durch Schwerkraft und Reibung entsteht. In einem konstanten Kraftfeld verschiebt das Pendel seine Gleichgewichtslage:

wo ist die Verformung der Feder in der neuen "Gleichgewichtslage", das "-" Zeichen besagt, dass in dieser Lage die Feder komprimiert ist.

3 Die Stagnationszone wird durch Federverformungen von - 1 cm bis 3 cm begrenzt und beträgt 4 cm Die Mitte der Stagnationszone, in der die Federverformung 1 cm beträgt, entspricht der reibungsfreien Position der Last Gewalt. In der Stagnationszone hat die elastische Kraft der Feder einen geringeren Modul als die resultierende maximale Haftreibungskraft und Schwerkraft. Wenn das Pendel in der Stagnationszone stoppt, hören die Schwingungen auf.

4 Für jede Periode wird die Verformung der Feder um zwei Breiten der Stagnationszone verringert, d. h. um 8 cm. Nach einer Schwingung wird die Verformung der Feder gleich 10 cm - 8 cm = 2 cm. Das bedeutet, dass die Kolobok-Figur nach einer Schwingung in die Stagnationszone eintritt und ihre Schwingungen aufhören.

§5 Aufgaben zur selbstständigen Lösung

Test "Gedämpfte Schwingungen"

1 Unter Schwingungsdämpfung versteht man ...

A) Abnahme der Schwingungsfrequenz; B) Abnahme der Schwingungsdauer;

C) Abnahme der Schwingungsamplitude; D) Abnahme der Schwingungsphase.

2 Der Grund für die Dämpfung freier Schwingungen ist

A) die Wirkung auf das System von Zufallsfaktoren, die Schwingungen hemmen;

B) die Wirkung einer sich periodisch ändernden äußeren Kraft;

C) das Vorhandensein einer Reibungskraft im System;

D) eine allmähliche Abnahme der quasielastischen Kraft, die dazu neigt, das Pendel in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen.

?

A) 5cm; B) 4 cm; c) 3cm;

D) Eine Antwort ist nicht möglich, da die Uhrzeit unbekannt ist.

6 Zwei identische Pendel, die sich in unterschiedlich viskosen Medien befinden, schwingen. Die Amplitude dieser Schwingungen ändert sich im Laufe der Zeit, wie in der Abbildung gezeigt. Welches Medium hat mehr Reibung?

7 Zwei Pendel, die sich in derselben Umgebung befinden, schwingen. Die Amplitude dieser Schwingungen ändert sich im Laufe der Zeit, wie in der Abbildung gezeigt. Welches Pendel hat die größte Masse?

C) Es ist unmöglich, eine Antwort zu geben, da der Maßstab nicht entlang der Koordinatenachsen eingestellt ist und es unmöglich ist, Berechnungen durchzuführen.

8 Welche Abbildung zeigt korrekt die Abhängigkeit der Koordinate gedämpfter Schwingungen in einem System mit viskoser Reibung von der Zeit?

A) 1; B) 2; EIN 3; D) Alle Grafiken sind korrekt.

9 Stellen Sie einen Zusammenhang her zwischen den physikalischen Größen, die die Schwingungsdämpfung in Systemen mit viskoser Reibung charakterisieren, und ihrer Definition und physikalischen Bedeutung. Füllen Sie den Tisch

A) Dies ist das Verhältnis der Schwingungsamplituden nach einer Zeit gleich der Periode;

B) Dies ist der natürliche Logarithmus des Verhältnisses der Schwingungsamplituden nach einer Zeit gleich der Periode;

C) Dies ist die Zeit, in der die Amplitude der Schwingungen abnimmt e einmal;

G) D) E)

G) Dieser Wert ist der Kehrwert der Anzahl der Schwingungen, für die die Amplitude der Schwingungen abnimmt e einmal;

H) Dieser Wert zeigt an, wie oft die Schwingungsamplitude über eine Zeit gleich der Schwingungsdauer abnimmt.

10 Machen Sie eine richtige Aussage.

Güte bedeutet ...

A) das Verhältnis der um den Faktor 2p erhöhten Gesamtenergie des Systems E zur über eine Periode dissipierten Energie W;

B) das Verhältnis der Amplituden nach einer Zeitdauer gleich der Periode;

C) die Anzahl der Schwingungen, die das System in dem Moment macht, in dem die Amplitude um das e-fache abnimmt.

Der Gütefaktor errechnet sich nach der Formel ...

SONDERN) B)C)

Die Güte eines schwingungsfähigen Systems hängt ab von…

A) die Energie des Systems;

B) Energieverluste für den Zeitraum;

C) Parameter des Schwingungssystems und Reibung darin.

Je größer die Güte des schwingungsfähigen Systems ist, desto ...

A) Schwingungen klingen langsamer ab;

B) Fluktuationen klingen schneller ab.

11 Das mathematische Pendel wird in Schwingbewegung versetzt, wobei die Aufhängung im ersten Fall um 15°, im zweiten um 10° aus der Gleichgewichtslage abgelenkt wird. In welchem ​​Fall macht das Pendel mehr Schwingungen, bevor es stoppt?

A) Bei einer Auslenkung des Aufhängers um 15°;

B) Bei einer Auslenkung des Aufhängers um 10°;

C) In beiden Fällen macht das Pendel die gleiche Anzahl von Schwingungen.

12 Kugeln mit gleichem Radius sind an zwei gleich langen Fäden befestigt - Aluminium und Kupfer. Die Pendel werden in oszillierende Bewegung versetzt und lenken sie im gleichen Winkel aus. Welches der Pendel macht die meisten Schwingungen, bevor es anhält?

A) Aluminium; B) Kupfer;

C) Beide Pendel machen die gleiche Anzahl von Schwingungen.

13 Ein auf einer horizontalen Fläche befindliches Federpendel wurde durch Dehnung der Feder um 9 cm in Schwingung versetzt und befand sich nach drei vollständigen Schwingungen in einem Abstand von 6 cm von der Position der unverformten Feder. Wie weit wird das Pendel nach den nächsten drei Schwingungen von der Position der unverformten Feder entfernt sein?

A) 5cm; B) 4 cm; c) 3cm.

gedämpfte Schwingungen

Gedämpfte Schwingungen eines Federpendels

gedämpfte Schwingungen- Schwankungen, deren Energie mit der Zeit abnimmt. Ein unendlich fortschreitender Artenprozeß ist in der Natur unmöglich. Freie Schwingungen jedes Oszillators verblassen früher oder später und hören auf. In der Praxis hat man es daher meist mit gedämpften Schwingungen zu tun. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Amplitude von Schwingungen EIN ist eine fallende Funktion. Typischerweise tritt eine Dämpfung unter Einwirkung der Widerstandskräfte des Mediums auf, die am häufigsten als lineare Abhängigkeit von der Schwingungsgeschwindigkeit oder ihrem Quadrat ausgedrückt wird.

In der Akustik: Dämpfung - Verringerung des Signalpegels bis zur vollständigen Unhörbarkeit.

Gedämpfte Schwingungen eines Federpendels

Es gebe ein System bestehend aus einer Feder (die dem Hookeschen Gesetz gehorcht), deren eines Ende starr befestigt ist, und auf deren anderem sich ein Massekörper befindet m. Schwingungen treten in einem Medium auf, in dem die Widerstandskraft mit einem Koeffizienten proportional zur Geschwindigkeit ist c(siehe viskose Reibung).

Die Wurzeln davon werden durch die folgende Formel berechnet

Lösungen

Abhängig vom Wert des Dämpfungskoeffizienten wird die Lösung in drei mögliche Optionen unterteilt.

• Aperiodizität

Wenn , dann gibt es zwei reelle Wurzeln, und die Lösung der Differentialgleichung hat die Form:

In diesem Fall klingen die Schwingungen von Anfang an exponentiell ab.

• Aperiodizitätsgrenze

Wenn , sind die beiden reellen Wurzeln gleich und die Lösung der Gleichung lautet:

In diesem Fall kann es zu einem vorübergehenden Anstieg, aber dann zu einem exponentiellen Abfall kommen.

• Schwache Dämpfung

Wenn , dann sind die Lösung der charakteristischen Gleichung zwei komplexe konjugierte Wurzeln

Dann ist die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung

Wo liegt die Eigenfrequenz gedämpfter Schwingungen.

Die Konstanten und werden jeweils aus den Anfangsbedingungen bestimmt:

siehe auch

• Verringerung der Dämpfung

Literatur

Lit.: Saveliev I. V., Kurs Allgemeine Physik: Mechanik, 2001.

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

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