Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird als bezeichnet Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Vollflächig ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in einer Pyramide alle Seitenkanten gleich lang sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis eingeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist regelmäßig, was bedeutet, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist und alle Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke sind. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Der lineare Winkel ist der Winkel a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen SO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir SO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Entscheidung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, musst du die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Basen sind 2 cm bzw. 8 cm, das heißt die Flächen der Basen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Seiten der Basis 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo SONDERN 1 E senkrecht von einem Punkt SONDERN 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von SONDERN 1 an AC. SONDERN 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Lassen Sie uns die Aussage verwenden, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Satz über die Fläche der orthogonalen Projektion einer flachen Figur erhalten wir:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, haben wir nach dem Satz des Pythagoras oder From

Betrachten Sie die Eigenschaften von Pyramiden, bei denen die Seitenflächen senkrecht zur Basis stehen.

Wenn ein zwei benachbarte Seitenflächen einer Pyramide stehen senkrecht zur Grundfläche, dann die gemeinsame seitliche Kante dieser Flächen ist die Höhe der Pyramide. Wenn die Aufgabe das sagt der Rand der Pyramide ist ihre Höhe, dann sprechen wir über diese Art von Pyramiden.

Die zur Basis senkrechten Flächen der Pyramide sind rechtwinklige Dreiecke.

Wenn die Basis der Pyramide ein Dreieck ist

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide wird allgemein als Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen gesucht.

Die Basis der Pyramide ist eine orthogonale Projektion einer Fläche, die nicht senkrecht zur Basis ist (in diesem Fall SBC). Nach dem Satz der orthogonalen Projektionsfläche ist die Grundfläche also gleich dem Produkt der Fläche dieser Fläche durch den Kosinus des Winkels zwischen ihr und der Grundebene.

Wenn die Basis der Pyramide ein rechtwinkliges Dreieck ist

In diesem Fall Alle Flächen der Pyramide sind rechtwinklige Dreiecke.

Die Dreiecke SAB und SAC sind rechtwinklig, da SA die Höhe der Pyramide ist. Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Dass das Dreieck SBC rechtwinklig ist, folgt aus dem Satz über drei Lote (AB ist die Projektion der Schräge SB auf die Ebene der Basis. Da AB nach der Bedingung senkrecht auf BC steht, steht SB auch senkrecht auf BC ).

Der Winkel zwischen der SBC-Seitenfläche und der Basis ist in diesem Fall der ABS-Winkel.

Die Seitenfläche ist gleich der Summe der Flächen rechtwinkliger Dreiecke:

Denn in diesem Fall

Wenn die Basis der Pyramide ein gleichschenkliges Dreieck ist

Der Winkel zwischen der Ebene der Seitenfläche BCS und der Ebene der Basis ist dabei der Winkel AFS, wobei AF die Höhe, Mittellinie und Winkelhalbierende des gleichschenkligen Dreiecks ABC ist.

Ähnlich - wenn an der Basis der Pyramide ein gleichseitiges Dreieck ABC liegt.

Wenn die Basis der Pyramide ein Parallelogramm ist

In diesem Fall ist die Basis der Pyramide eine orthogonale Projektion der Seitenflächen, die nicht senkrecht auf der Basis stehen.

Wenn wir die Basis in zwei Dreiecke teilen, dann

wobei α und β jeweils die Winkel zwischen den ADS- und CDS-Ebenen und der Basisebene sind.

Sind BF und BK die Höhen des Parallelogramms, so ist der Winkel BFS der Neigungswinkel der CDS-Seitenfläche zur Basisebene und der Winkel BKS der Neigungswinkel der ADS-Fläche.

(Die Zeichnung ist für den Fall gemacht, wenn B ein stumpfer Winkel ist).

Wenn die Basis der Pyramide die Raute ABCD ist, dann sind die Winkel BFS und BKS gleich. Dreiecke ABS und CBS sowie ADS und CDS sind auch hier gleich.

Wenn die Grundfläche der Pyramide ein Rechteck ist

Dabei ist der Winkel zwischen der Ebene der Seitenfläche SAD und der Ebene des Bodens der Winkel SAB,

und der Winkel zwischen der Ebene der Seitenfläche SCD und der Ebene der Basis ist der Winkel SCB

(nach dem Satz der drei Senkrechten).

Zur Erinnerung: Der Apothem ist die Höhe der Seitenfläche der Pyramide, gezeichnet von der Spitze bis zum Rand der Basis.
Satz 5 . Wenn alle Seitenflächen der Pyramide im gleichen Winkel zur Ebene der Basis geneigt sind, kann in die Basis einer solchen Pyramide ein Kreis eingeschrieben werden, und die von der Spitze zur Basis abgesenkte Höhe fällt in die Mitte der in die Basis eingeschriebene Kreis.
Dieser Satz kann auch wie folgt formuliert werden:
Satz 5.1 . Wenn alle Apotheme einer Pyramide gleich sind, kann in die Basis einer solchen Pyramide ein Kreis eingeschrieben werden, und die von der Spitze zur Basis abgesenkte Höhe fällt in die Mitte des in die Basis eingeschriebenen Kreises.
Beweisen wir den Satz am Beispiel einer viereckigen Pyramide. Gegeben sei die Pyramide KABCD, K sei die Spitze, ABCD sei die Basis. Zeichne die Höhe des KO der Pyramide. In jeder Seitenfläche zeichnen wir eine Höhe von der Spitze der Pyramide bis zur Seite der Basis. In der Ebene der Basis verbinden wir den Punkt O (die Basis der Höhe) mit dem Punkt der Basis dieser Höhen - Apothem. OP, OT, OM und OE sind jeweils senkrecht zu AB, BC, CD und AD (Drei-Senkrechten-Satz). Definitionsgemäß sind die Winkel KRO, KTO, KMO, KEO die linearen Winkel der Flächenwinkel zwischen den entsprechenden Seitenflächen und der Grundfläche ABCD. Die Höhe von KO steht senkrecht zur Grundfläche, also senkrecht zu jeder geraden Linie in dieser Ebene, d.h. senkrecht zu den Geraden OR, OT, OM und OE. Das besagt, dass die Dreiecke KRO, KTO, KMO, KEO rechteckig sind.
Nach Bedingung (Satz 5) sind die Winkel KRO, KTO, KMO, KEO gleich. Betrachten Sie die Dreiecke KRO, KTO, KMO, KEO, sie sind rechteckig und gleich (entlang des Schenkels und des spitzen Winkels ist KO üblich und die Winkel KRO, KTO, KMO, KEO sind bedingt gleich).
Nach Bedingung (Satz 5.1) sind KR, KT, KM und KE gleich, also sind die Dreiecke KRO, KTO, KMO, KEO rechteckig und haben gleiche Schenkel und Hypotenuse.
Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass ihre jeweiligen Seiten OR, OT, OM und OE gleich sind, was bedeutet, dass es einen Punkt im Viereck ABCD gibt, der von seinen Seiten gleich weit entfernt ist, d.h. ihm kann ein Kreis einbeschrieben werden .

Satz 6 . Wenn alle Seitenkanten der Pyramide im gleichen Winkel zur Ebene der Basis geneigt sind, kann in der Nähe der Basis einer solchen Pyramide ein Kreis beschrieben werden, und die von der Spitze zur Basis abgesenkte Höhe fällt auf die Mitte der Kreis in der Nähe der Basis beschrieben.
Dieser Satz kann auch wie folgt formuliert werden:
Satz 6.1 . Wenn alle Seitenkanten der Pyramide gleich sind, kann nahe der Basis einer solchen Pyramide ein Kreis umschrieben werden, und die von der Spitze zur Basis abgesenkte Höhe fällt auf die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis.
Beweisen wir den Satz am Beispiel einer viereckigen Pyramide. Gegeben sei die Pyramide KABCD, K sei die Spitze, ABCD sei die Basis. Zeichne die Höhe des KO der Pyramide. Verbinden Sie in der Ebene der Basis den Punkt O (die Basis der Höhe) mit allen Eckpunkten der Basis A, B, C und D. Der Winkel KBO ist der Winkel zwischen der Kante KB und der Ebene der Basis (der Winkel zwischen der Linie und der Ebene ist der Winkel zwischen dieser Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene). Ebenso beweisen wir, dass die Winkel KSO, KAO und KDO die Winkel sind, die die entsprechenden Kanten KS, KA und KD mit der Grundebene bilden. Die Höhe von KO steht senkrecht zur Grundfläche, also senkrecht zu jeder geraden Linie in dieser Ebene, d.h. senkrecht zu den Linien OA, OB, OC und OD. Das besagt, dass die Dreiecke KAO, KBO, KCO, KDO rechteckig sind.
Die Winkel KVO, KSO, KAO und KDO sind gleich (nach den Bedingungen von Theorem 6). Betrachten Sie die Dreiecke KAO, KBO, KSO, KDO, sie sind rechteckig und gleich (entlang des Schenkels und des spitzen Winkels ist KO üblich und die Winkel KAO, KVO, KSO, KDO sind bedingt gleich).
Zum Beweis von Theorem 6.1 betrachten wir auch die Dreiecke KAO, KBO, KCO, KDO, sie sind rechteckig und in Bein und Hypotenuse gleich (KO - allgemein, KA=KV=KS=KD gemäß der Hypothese des Theorems).
Aus der Gleichheit dieser Dreiecke folgt, dass ihre jeweiligen Seiten OA, OB, OS und OD gleich sind, was bedeutet, dass es einen Punkt an der Basis gibt, der von den Eckpunkten des Vierecks ABCD gleich weit entfernt ist, d.h. ein Kreis umschrieben werden kann um es herum.