So finden Sie den Knoten zweier Zahlen. Nod und Nok von Zahlen - der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen

Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache sind wichtige arithmetische Konzepte, mit denen Sie ganz einfach mit gewöhnlichen Brüchen arbeiten können. LCM und werden am häufigsten verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden.

Grundlegendes Konzept

Der Teiler einer ganzen Zahl X ist eine andere ganze Zahl Y, durch die X ohne Rest teilbar ist. Beispielsweise ist der Teiler von 4 2 und 36 ist 4, 6, 9. Ein Vielfaches der ganzen Zahl X ist eine Zahl Y, die ohne Rest durch X teilbar ist. Beispielsweise ist 3 ein Vielfaches von 15 und 6 ein Vielfaches von 12.

Für jedes Zahlenpaar können wir ihre gemeinsamen Teiler und Vielfachen finden. Zum Beispiel ist für 6 und 9 das gemeinsame Vielfache 18 und der gemeinsame Teiler 3. Offensichtlich können Paare mehrere Teiler und Vielfache haben, also werden der größte Teiler des ggT und das kleinste Vielfache des LCM in den Berechnungen verwendet .

Der kleinste Teiler macht keinen Sinn, da er für jede Zahl immer eins ist. Auch das größte Vielfache ist bedeutungslos, da die Folge der Vielfachen gegen unendlich strebt.

GCD finden

Es gibt viele Methoden, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, von denen die bekanntesten sind:

  • sequentielle Aufzählung von Teilern, Auswahl gemeinsamer für ein Paar und Suche nach dem größten von ihnen;
  • Zerlegung von Zahlen in unteilbare Faktoren;
  • Euklids Algorithmus;
  • binärer Algorithmus.

Heute sind in Bildungseinrichtungen die beliebtesten Methoden der Zerlegung in Primfaktoren und der Euklidische Algorithmus. Letzteres wiederum wird zum Lösen diophantischer Gleichungen verwendet: Die Suche nach ggT ist erforderlich, um die Gleichung auf die Möglichkeit zu prüfen, sie in ganze Zahlen aufzulösen.

Suche nach dem NOC

Auch das kleinste gemeinsame Vielfache wird durch iteratives Aufzählen oder Zerlegen in unteilbare Faktoren exakt bestimmt. Außerdem ist es einfach, das LCM zu finden, wenn der größte Teiler bereits bestimmt wurde. Für die Zahlen X und Y stehen LCM und GCD in folgender Beziehung:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

Wenn zum Beispiel ggT(15,18) = 3, dann ist LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Die naheliegendste Verwendung von LCM besteht darin, den gemeinsamen Nenner zu finden, der das kleinste gemeinsame Vielfache von ist gegebene Brüche.

Koprime-Zahlen

Wenn ein Zahlenpaar keine gemeinsamen Teiler hat, dann wird ein solches Paar teilerfremd genannt. Das GCM für solche Paare ist immer gleich eins, und basierend auf der Verbindung von Teilern und Vielfachen ist das GCM für Koprime gleich ihrem Produkt. Zum Beispiel sind die Zahlen 25 und 28 Teilerfremde, weil sie keine gemeinsamen Teiler haben, und LCM(25, 28) = 700, was ihrem Produkt entspricht. Zwei beliebige unteilbare Zahlen sind immer teilerfremd.

Gemeinsamer Teiler und Mehrfachrechner

Mit unserem Rechner können Sie GCD und LCM für beliebig viele Zahlen zur Auswahl berechnen. Aufgaben zur Berechnung gemeinsamer Teiler und Vielfacher finden sich in Arithmetik der Klassen 5 und 6, jedoch sind ggT und LCM die Schlüsselbegriffe der Mathematik und werden in der Zahlentheorie, Planimetrie und kommunikativen Algebra verwendet.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

Gemeinsamer Nenner von Brüchen

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird verwendet, um den gemeinsamen Nenner mehrerer Brüche zu finden. Angenommen, in einer arithmetischen Aufgabe müssen 5 Brüche summiert werden:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Um Brüche zu addieren, muss der Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, was sich auf das Problem reduziert, das LCM zu finden. Wählen Sie dazu 5 Zahlen im Taschenrechner aus und geben Sie die Nennerwerte in die entsprechenden Zellen ein. Das Programm berechnet LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Jetzt müssen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Bruch berechnen, die als Verhältnis von LCM zum Nenner definiert sind. Die zusätzlichen Multiplikatoren würden also folgendermaßen aussehen:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Danach multiplizieren wir alle Brüche mit dem entsprechenden zusätzlichen Faktor und erhalten:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Wir können solche Brüche einfach addieren und erhalten das Ergebnis in Form von 159/360. Wir reduzieren den Bruch um 3 und sehen die endgültige Antwort - 53/120.

Lösung linearer diophantischer Gleichungen

Lineare diophantische Gleichungen sind Ausdrücke der Form ax + by = d. Wenn das Verhältnis d / ggT(a, b) eine ganze Zahl ist, dann ist die Gleichung in ganzen Zahlen lösbar. Lassen Sie uns ein paar Gleichungen auf die Möglichkeit einer ganzzahligen Lösung überprüfen. Überprüfen Sie zuerst die Gleichung 150x + 8y = 37. Mit einem Taschenrechner finden wir ggT (150,8) = 2. Teilen Sie 37/2 = 18,5. Die Zahl ist keine ganze Zahl, daher hat die Gleichung keine ganzzahligen Wurzeln.

Lassen Sie uns die Gleichung 1320x + 1760y = 10120 überprüfen. Verwenden Sie einen Taschenrechner, um ggT(1320, 1760) = 440 zu finden. Teilen Sie 10120/440 = 23. Als Ergebnis erhalten wir eine ganze Zahl, daher ist die diophantische Gleichung in ganzzahligen Koeffizienten lösbar .

Fazit

GCD und LCM spielen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, und die Konzepte selbst werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik häufig verwendet. Verwenden Sie unseren Rechner, um die größten Teiler und kleinsten Vielfachen einer beliebigen Anzahl von Zahlen zu berechnen.

Definition. Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler (ggT) diese Nummern.

Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Solche Zahlen werden genannt teilerfremd.

Definition. Die natürlichen Zahlen werden genannt teilerfremd wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) 1 ist.

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen auszuschreiben.

Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, löschen wir diejenigen, die nicht in der Erweiterung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweien).
Übrig bleiben die Faktoren 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Auch der größte gemeinsame Teiler von drei oder mehr Zahlen wird gefunden.

Finden größter gemeinsamer Teiler

2) von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen streichen, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine von ihnen teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebenen Zahlen.
Zum Beispiel ist der größte gemeinsame Teiler von 15, 45, 75 und 180 15, da er alle anderen Zahlen teilt: 45, 75 und 180.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinsten natürlichen Zahlen, die ein Vielfaches von a und b sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann gefunden werden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in einfache Faktoren: 75 \u003d 3 * 5 * 5 und 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Lassen Sie uns die Faktoren aufschreiben, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der zweiten Zahl hinzufügen (d. h. wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.

Finde auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.

Zu Finde das kleinste gemeinsame Vielfache mehrere natürliche Zahlen benötigen Sie:
1) sie in Primfaktoren zerlegen;
2) schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung einer der Zahlen enthalten sind;
3) füge ihnen die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Zum Beispiel wäre das kleinste gemeinsame Vielfache von 12, 15, 20 und 60 60, da es durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist.

Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler beschäftigten sich mit der Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Eine Zahl gleich der Summe aller ihrer Teiler (ohne die Zahl selbst), nannten sie die perfekte Zahl. Zum Beispiel sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 496, 8128, 33 550 336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei vollkommenen Zahlen. Die vierte - 8128 - wurde im 1. Jahrhundert bekannt. n. e. Die fünfte – 33 550 336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. 1983 waren bereits 27 vollkommene Zahlen bekannt. Aber bis jetzt wissen Wissenschaftler nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ob es die größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der alten Mathematiker an Primzahlen rührt daher, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die restlichen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen - in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns entlang der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden die Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es die letzte (größte) Primzahl? Der altgriechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Anfänge“, das zweitausend Jahre lang das Hauptlehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, das heißt, hinter jeder Primzahl steht eine gerade Zahl größere Primzahl.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker zur gleichen Zeit, Eratosthenes, eine solche Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu irgendeiner Zahl auf und strich dann die Einheit durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann alle Zahlen nach 2 durch (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, z. B. 4, 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach 2 alle Zahlen nach 3 durchgestrichen (Zahlen, die Vielfache von 3 sind, also 6, 9, 12 usw.). am Ende blieben nur die Primzahlen undurchgestrichen.

Mathematische Ausdrücke und Aufgaben erfordern viel Zusatzwissen. NOC ist eines der wichtigsten, das in diesem Thema besonders häufig verwendet wird.Das Thema wird in der High School studiert, während es nicht besonders schwierig ist, Material zu verstehen, wird es für eine Person, die mit Potenzen und dem Einmaleins vertraut ist, nicht schwierig sein, es auszuwählen die notwendigen Zahlen und finden Sie das Ergebnis.

Definition

Ein gemeinsames Vielfaches ist eine Zahl, die gleichzeitig vollständig in zwei Zahlen (a und b) geteilt werden kann. Meistens wird diese Zahl durch Multiplizieren der ursprünglichen Zahlen a und b erhalten. Die Zahl muss ohne Abweichungen durch beide Zahlen gleichzeitig teilbar sein.

NOC ist ein Kurzname, der sich aus den Anfangsbuchstaben zusammensetzt.

Möglichkeiten, eine Nummer zu bekommen

Um das LCM zu finden, ist die Methode des Multiplizierens von Zahlen nicht immer geeignet, sie eignet sich viel besser für einfache einstellige oder zweistellige Zahlen. Es ist üblich, in Faktoren zu unterteilen, je größer die Zahl, desto mehr Faktoren gibt es.

Beispiel 1

Als einfachstes Beispiel nehmen Schulen normalerweise einfache, einstellige oder zweistellige Zahlen. Zum Beispiel müssen Sie die folgende Aufgabe lösen, finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 7 und 3, die Lösung ist ganz einfach, multiplizieren Sie sie einfach. Als Ergebnis gibt es die Zahl 21, es gibt einfach keine kleinere Zahl.

Beispiel #2

Die zweite Option ist viel schwieriger. Die Nummern 300 und 1260 sind angegeben, das Auffinden des LCM ist Pflicht. Zur Lösung der Aufgabe werden folgende Aktionen angenommen:

Zerlegung der ersten und zweiten Zahl in die einfachsten Faktoren. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Die erste Etappe ist abgeschlossen.

In der zweiten Stufe wird mit den bereits gewonnenen Daten gearbeitet. Jede der erhaltenen Zahlen muss an der Berechnung des Endergebnisses teilnehmen. Für jeden Faktor wird die größte Anzahl von Vorkommen aus den ursprünglichen Zahlen genommen. LCM ist eine gemeinsame Zahl, daher müssen die Faktoren aus den Zahlen bis zuletzt wiederholt werden, auch wenn sie in einer Instanz vorhanden sind. Beide Anfangszahlen haben in ihrer Zusammensetzung die Zahlen 2, 3 und 5, in unterschiedlichem Grad, 7 ist nur in einem Fall.

Um das Endergebnis zu berechnen, müssen Sie jede Zahl in der größten ihrer repräsentierten Potenzen in die Gleichung aufnehmen. Es bleibt nur zu multiplizieren und die Antwort zu erhalten, mit der richtigen Füllung passt die Aufgabe ohne Erklärung in zwei Schritte:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Das ist die ganze Aufgabe, wenn Sie versuchen, die gewünschte Zahl durch Multiplikation zu berechnen, dann wird die Antwort definitiv nicht richtig sein, da 300 * 1260 = 378.000.

Untersuchung:

6300 / 300 = 21 - wahr;

6300 / 1260 = 5 ist richtig.

Die Korrektheit des Ergebnisses wird durch Überprüfung bestimmt - Teilen des LCM durch beide ursprünglichen Zahlen, wenn die Zahl in beiden Fällen eine ganze Zahl ist, dann ist die Antwort richtig.

Was bedeutet NOC in der Mathematik

Wie Sie wissen, gibt es in der Mathematik keine einzige nutzlose Funktion, diese ist keine Ausnahme. Der häufigste Zweck dieser Zahl ist es, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. Was normalerweise in den Klassen 5-6 der High School studiert wird. Es ist auch zusätzlich ein gemeinsamer Teiler für alle Vielfachen, wenn solche Bedingungen im Problem sind. Ein solcher Ausdruck kann nicht nur ein Vielfaches von zwei Zahlen finden, sondern auch von einer viel größeren Zahl - drei, fünf und so weiter. Je mehr Zahlen - desto mehr Aktionen in der Aufgabe, aber die Komplexität nimmt nicht zu.

Bei den Zahlen 250, 600 und 1500 müssen Sie beispielsweise deren Gesamt-LCM ermitteln:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dieses Beispiel beschreibt die Faktorisierung im Detail, ohne Reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Um einen Ausdruck zu bilden, müssen alle Faktoren angegeben werden, in diesem Fall sind 2, 5, 3 angegeben - für alle diese Zahlen ist es erforderlich, den maximalen Grad zu bestimmen.

Achtung: Alle Multiplikatoren müssen auf volle Vereinfachung gebracht werden, wenn möglich, Zerlegung auf das Niveau von einstelligen Zahlen.

Untersuchung:

1) 3000 / 250 = 12 - wahr;

2) 3000 / 600 = 5 - wahr;

3) 3000 / 1500 = 2 ist richtig.

Diese Methode erfordert keine Tricks oder genialen Fähigkeiten, alles ist einfach und klar.

Ein anderer Weg

In der Mathematik hängt vieles zusammen, vieles lässt sich auf zwei oder mehr Arten lösen, dasselbe gilt für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, LCM. Die folgende Methode kann bei einfachen zweistelligen und einstelligen Zahlen verwendet werden. Es wird eine Tabelle erstellt, in der der Multiplikator vertikal, der Multiplikator horizontal eingetragen und das Produkt in den sich kreuzenden Zellen der Spalte angegeben wird. Sie können die Tabelle anhand einer Linie widerspiegeln, eine Zahl wird genommen und die Ergebnisse der Multiplikation dieser Zahl mit ganzen Zahlen werden in einer Reihe geschrieben, von 1 bis unendlich, manchmal reichen 3-5 Punkte aus, die zweite und die folgenden Zahlen werden unterzogen zum selben Rechenvorgang. Alles passiert, bis ein gemeinsames Vielfaches gefunden wird.

Angesichts der Zahlen 30, 35, 42 müssen Sie das LCM finden, das alle Zahlen verbindet:

1) Vielfache von 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 usw.

2) Vielfache von 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 usw.

3) Vielfache von 42: 84, 126, 168, 210, 252 usw.

Es fällt auf, dass alle Nummern recht unterschiedlich sind, die einzige gemeinsame Nummer unter ihnen ist 210, also wird es die LCM sein. Unter den mit dieser Berechnung verbundenen Prozessen gibt es auch den größten gemeinsamen Teiler, der nach ähnlichen Prinzipien berechnet wird und häufig in benachbarten Problemen vorkommt. Der Unterschied ist klein, aber signifikant genug, LCM beinhaltet die Berechnung einer Zahl, die durch alle gegebenen Anfangswerte teilbar ist, und GCD geht von der Berechnung des größten Werts aus, durch den die Anfangszahlen geteilt werden.

Größter gemeinsamer Teiler

Bestimmung 2

Wenn eine natürliche Zahl a durch eine natürliche Zahl $b$ teilbar ist, dann heißt $b$ ein Teiler von $a$ und die Zahl $a$ heißt ein Vielfaches von $b$.

Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Die Zahl $c$ wird gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ genannt.

Die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $a$ und $b$ ist endlich, da keiner dieser Teiler größer als $a$ sein kann. Das bedeutet, dass es unter diesen Teilern den größten gibt, der als größter gemeinsamer Teiler der Zahlen $a$ und $b$ bezeichnet wird, und die Notation verwendet wird, um ihn zu bezeichnen:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​oder \ D \ (a;b)$

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden:

  1. Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

Beispiel 1

Finden Sie den ggT der Zahlen $121$ und $132,$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Wählen Sie die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

    $gcd=2\cdot 11=22$

Beispiel 2

Finden Sie den ggT der Monome $63$ und $81$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür:

    Zerlegen wir Zahlen in Primfaktoren

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Wir wählen die Zahlen aus, die in der Erweiterung dieser Zahlen enthalten sind

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Lassen Sie uns das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen finden. Die resultierende Zahl ist der gewünschte größte gemeinsame Teiler.

    $gcd=3\cdot 3=9$

Sie können den ggT zweier Zahlen auf andere Weise finden, indem Sie die Menge der Teiler von Zahlen verwenden.

Beispiel 3

Finde den ggT der Zahlen $48$ und $60$.

Entscheidung:

Finde den Teilersatz von $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Lassen Sie uns nun die Menge der Teiler von $60$ finden:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Finden wir den Schnittpunkt dieser Mengen: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - diese Menge bestimmt die Menge der gemeinsamen Teiler der Zahlen $48$ und $60 $. Das größte Element in diesem Set ist die Zahl $12$. Der größte gemeinsame Teiler von 48 $ und 60 $ ist also 12 $.

Definition von NOC

Bestimmung 3

gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen$a$ und $b$ sind natürliche Zahlen, die ein Vielfaches von $a$ und $b$ sind.

Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, die durch das Original ohne Rest teilbar sind. Zum Beispiel sind die gemeinsamen Vielfachen für die Zahlen $25$ und $50$ die Zahlen $50,100,150,200$ usw.

Das kleinste gemeinsame Vielfache wird als kleinstes gemeinsames Vielfaches bezeichnet und mit LCM$(a;b)$ oder K$(a;b).$ bezeichnet

Um das LCM von zwei Zahlen zu finden, benötigen Sie:

  1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen
  2. Schreiben Sie die Faktoren auf, die Teil der ersten Zahl sind, und fügen Sie die Faktoren hinzu, die Teil der zweiten Zahl sind und nicht zur ersten gehören

Beispiel 4

Finden Sie das LCM der Zahlen $99$ und $77$.

Wir werden gemäß dem vorgestellten Algorithmus finden. Dafür

    Zahlen in Primfaktoren zerlegen

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Schreiben Sie die Faktoren auf, die in der ersten enthalten sind

    Fügen Sie ihnen Faktoren hinzu, die Teil des zweiten sind und nicht zum ersten gehören

    Finden Sie das Produkt der in Schritt 2 gefundenen Zahlen. Die resultierende Zahl ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache

    $LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Das Erstellen von Teilerlisten von Zahlen ist oft sehr zeitaufwändig. Es gibt einen Weg, GCD zu finden, der als Euklid-Algorithmus bezeichnet wird.

    Aussagen, auf denen Euklids Algorithmus basiert:

    Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind und $a\vdots b$, dann ist $D(a;b)=b$

    Wenn $a$ und $b$ natürliche Zahlen sind, so dass $b

Mit $D(a;b)= D(a-b;b)$ können wir die betrachteten Zahlen sukzessive verringern, bis wir ein Zahlenpaar erreichen, bei dem die eine durch die andere teilbar ist. Dann ist die kleinere dieser Zahlen der gesuchte größte gemeinsame Teiler der Zahlen $a$ und $b$.

Eigenschaften von GCD und LCM

  1. Jedes gemeinsame Vielfache von $a$ und $b$ ist durch K$(a;b)$ teilbar
  2. Wenn $a\vdots b$ ist, dann ist K$(a;b)=a$

    3. Wenn K$(a;b)=k$ und $m$-natürliche Zahl, dann ist K$(am;bm)=km$

    Wenn $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ ist, dann ist K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    Wenn $a\vdots c$ und $b\vdots c$ , dann ist $\frac(ab)(c)$ ein gemeinsames Vielfaches von $a$ und $b$

    Für beliebige natürliche Zahlen $a$ und $b$ die Gleichheit

    $D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

    Jeder gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist ein Teiler von $D(a;b)$

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen steht in direktem Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler dieser Zahlen. Das Verbindung zwischen GCD und NOC ist durch den folgenden Satz definiert.

Satz.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei positiven ganzen Zahlen a und b ist gleich dem Produkt von a und b dividiert durch den größten gemeinsamen Teiler von a und b, d. h. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Nachweisen.

Lassen M ist ein Vielfaches der Zahlen a und b. Das heißt, M ist durch a teilbar, und gemäß der Definition der Teilbarkeit gibt es eine ganze Zahl k, so dass die Gleichheit M = a·k wahr ist. Aber M ist auch durch b teilbar, dann ist a k durch b teilbar.

Bezeichne ggT(a, b) als d . Dann können wir die Gleichungen a=a 1 ·d und b=b 1 ·d aufschreiben, und a 1 =a:d und b 1 =b:d werden teilerfremde Zahlen sein. Daher kann die im vorherigen Absatz erhaltene Bedingung, dass a k durch b teilbar ist, wie folgt umformuliert werden: a 1 d k ist durch b 1 d teilbar, und dies ist aufgrund der Teilbarkeitseigenschaften äquivalent zu der Bedingung, dass a 1 k durch b eins teilbar ist.

Wir müssen auch zwei wichtige Folgerungen aus dem betrachteten Theorem aufschreiben.

    Gemeinsame Vielfache zweier Zahlen sind gleich Vielfache ihres kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

    Dies ist wahr, da jedes gemeinsame Vielfache von M Zahlen a und b durch die Gleichheit M=LCM(a, b) t für einen ganzzahligen Wert t definiert ist.

    Das kleinste gemeinsame Vielfache der teilerfremden positiven Zahlen a und b ist gleich ihrem Produkt.

    Der Grund für diese Tatsache ist ziemlich offensichtlich. Da a und b teilerfremd sind, ist ggT(a, b)=1 , also LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches von drei oder mehr Zahlen

Das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von drei oder mehr Zahlen kann auf das sukzessive Finden des LCM von zwei Zahlen reduziert werden. Wie das geht, zeigt der folgende Satz: a 1 , a 2 , …, a k stimmen mit gemeinsamen Vielfachen der Zahlen m k-1 überein und a k stimmen also mit Vielfachen von m k überein. Und da das kleinste positive Vielfache der Zahl m k die Zahl m k selbst ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k m k .

Referenzliste.

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  • Winogradov I.M. Grundlagen der Zahlentheorie.
  • Michelowitsch Sh.Kh. Zahlentheorie.
  • Kulikov L. Ya. ua Aufgabensammlung der Algebra und Zahlentheorie: Lehrbuch für Studierende der fiz.-mat. Spezialgebiete pädagogischer Institute.

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