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Prüfungsvorbereitungskurs für die Klassen 10-11, sowie für Lehrkräfte. Alles, was Sie brauchen, um Teil 1 der Prüfung in Mathematik (die ersten 12 Aufgaben) und Aufgabe 13 (Trigonometrie) zu lösen. Und das sind mehr als 70 Punkte im Einheitlichen Staatsexamen, und darauf kann weder ein Hundertpunkte-Student noch ein Humanist verzichten.

Die ganze notwendige Theorie. Schnelle Lösungen, Fallen und Geheimnisse der Prüfung. Alle relevanten Aufgaben von Teil 1 der Bank of FIPI-Aufgaben wurden analysiert. Der Kurs entspricht vollständig den Anforderungen des USE-2018.

Der Kurs beinhaltet 5 große Themen zu je 2,5 Stunden. Jedes Thema ist von Grund auf neu, einfach und übersichtlich.

Hunderte von Prüfungsaufgaben. Textprobleme und Wahrscheinlichkeitstheorie. Einfache und leicht zu merkende Problemlösungsalgorithmen. Geometrie. Theorie, Referenzmaterial, Analyse aller Arten von USE-Aufgaben. Stereometrie. Schlaue Tricks zum Lösen, nützliche Spickzettel, Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Trigonometrie von Grund auf - zu Aufgabe 13. Verstehen statt pauken. Visuelle Erklärung komplexer Konzepte. Algebra. Wurzeln, Potenzen und Logarithmen, Funktion und Ableitung. Basis zur Lösung komplexer Probleme des 2. Teils der Prüfung.

Das Volumen des Prismas. Probleme lösen

Geometrie ist das mächtigste Werkzeug zur Verfeinerung unserer geistigen Fähigkeiten und ermöglicht es uns, richtig zu denken und zu argumentieren.

G. Galileo

Das Ziel des Unterrichts:

• das Lösen von Problemen zur Berechnung des Prismenvolumens zu lehren, die Informationen, die die Schüler über das Prisma und seine Elemente haben, zu verallgemeinern und zu systematisieren, um die Fähigkeit zu entwickeln, Probleme mit erhöhter Komplexität zu lösen;
• entwickeln logisches Denken, die Fähigkeit, unabhängig zu arbeiten, die Fähigkeiten der gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle, die Fähigkeit zu sprechen und zuzuhören;
• Entwickeln Sie die Gewohnheit der ständigen Beschäftigung, einiger nützlicher Taten, der Erziehung zu Reaktionsfähigkeit, Fleiß und Genauigkeit.

Art des Unterrichts: ein Unterricht in der Anwendung von Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten.

Ausstattung: Kontrollkarten, Beamer, Präsentation „Unterricht. Prism-Volume“, Computer.

Während des Unterrichts

• Seitliche Rippen des Prismas (Abb. 2).
• Die Seitenfläche des Prismas (Abbildung 2, Abbildung 5).
• Die Höhe des Prismas (Abbildung 3, Abbildung 4).
• Direktes Prisma (Abb. 2,3,4).
• Geneigtes Prisma (Abbildung 5).
• Richtiges Prisma (Abb. 2, Abb. 3).
• Diagonalschnitt eines Prismas (Abb. 2).
• Prismendiagonale (Abbildung 2).
• Senkrechter Schnitt des Prismas (pi3, fig4).
• Die Fläche der Seitenfläche des Prismas.
• Die Gesamtfläche des Prismas.
• Das Volumen des Prismas.

1. HAUSAUFGABEN ÜBERPRÜFEN (8 min)

Hefte tauschen, Lösung auf den Folien überprüfen und markieren (10 markieren, wenn die Aufgabe zusammengesetzt ist)

Zeichne ein Problem und löse es. An der Tafel verteidigt der Student sein erarbeitetes Problem. Abbildung 6 und Abbildung 7.





Kapitel 2, §3
Aufgabe.2. Die Längen aller Kanten eines regelmäßigen dreieckigen Prismas sind einander gleich. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn seine Oberfläche cm 2 beträgt (Abb. 8)



Kapitel 2, §3
Aufgabe 5. Die Grundfläche des geraden Prismas ABCA 1B 1C1 ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC (Winkel ABC=90°), AB=4cm. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Radius des umschriebenen Dreiecks ABC 2,5 cm und die Höhe des Prismas 10 cm beträgt. (Abbildung 9).



Kapitel 2, § 3
Aufgabe 29. Die Seitenlänge der Grundfläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas beträgt 3 cm. Die Diagonale des Prismas bildet mit der Ebene der Seitenfläche einen Winkel von 30°. Berechnen Sie das Volumen des Prismas (Abbildung 10).



2. Gemeinsame Arbeit des Lehrers mit der Klasse (2-3 Min.).

Zweck: Zusammenfassung der Ergebnisse des theoretischen Warm-ups (Schüler geben einander Noten ab), Lernen, wie man Probleme zum Thema löst.

3. KÖRPERLICHE MINUTE (3 min)
4. PROBLEMLÖSUNG (10 min)

In dieser Phase organisiert der Lehrer Frontalarbeit zur Wiederholung von Methoden zur Lösung planimetrischer Probleme, Planimetrieformeln. Die Klasse ist in zwei Gruppen aufgeteilt, einige lösen Probleme, andere arbeiten am Computer. Dann ändern sie sich. Die Studierenden sind eingeladen, alle Nr. 8 (mündlich), Nr. 9 (mündlich) zu lösen. Nachdem sie in Gruppen eingeteilt wurden und übertreten, um die Probleme Nr. 14, Nr. 30, Nr. 32 zu lösen.

Kapitel 2, §3, Seite 66-67

Aufgabe 8. Alle Kanten eines regelmäßigen dreieckigen Prismas sind einander gleich. Finden Sie das Volumen des Prismas, wenn die Querschnittsfläche der Ebene, die durch die Kante der unteren Basis und die Mitte der Seite der oberen Basis verläuft, cm beträgt (Abb. 11).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 9. Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein Quadrat, und seine Seitenkanten sind doppelt so groß wie die Seite der Grundfläche. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Radius des Kreises, der in der Nähe des Prismenabschnitts von einer Ebene umschrieben wird, die durch die Seite der Basis und die Mitte der gegenüberliegenden Seitenkante verläuft, cm beträgt (Abb. 12).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 14.Die Basis eines geraden Prismas ist ein Rhombus, dessen Diagonale gleich seiner Seite ist. Berechnen Sie den Umfang des Schnitts durch eine Ebene, die durch die große Diagonale der unteren Basis verläuft, wenn das Volumen des Prismas gleich ist und alle Seitenflächen quadratisch sind (Abb. 13).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 30.ABCA 1 B 1 C 1 ist ein regelmäßiges dreieckiges Prisma, dessen Kanten alle gleich sind, der Punkt etwa in der Mitte der Kante BB 1. Berechnen Sie den Radius des Kreises, der durch die AOS-Ebene in den Schnitt des Prismas eingeschrieben ist, wenn das Volumen des Prismas gleich ist (Abb. 14).



Kapitel 2, §3, Seite 66-67
Aufgabe 32.In einem regelmäßigen viereckigen Prisma ist die Summe der Flächen der Basen gleich der Fläche der Seitenfläche. Berechnen Sie das Volumen des Prismas, wenn der Durchmesser des Kreises, der in der Nähe des Prismenabschnitts von einer Ebene umschrieben wird, die durch zwei Scheitelpunkte der unteren Basis und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt der oberen Basis verläuft, 6 cm beträgt (Abb. 15).



Beim Lösen von Problemen vergleichen die Schüler ihre Antworten mit denen, die der Lehrer zeigt. Dies ist ein Beispiel für die Lösung eines Problems mit detaillierten Kommentaren ... Einzelarbeit eines Lehrers mit „starken“ Schülern (10 Min.).

5. Eigenständiges Arbeiten der Studierenden am Test am Computer

1. Die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas ist , und die Höhe ist 5. Finden Sie das Volumen des Prismas.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Kreuze die richtige Aussage an.

1) Das Volumen eines geraden Prismas, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2) Das Volumen eines regelmäßigen dreieckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d 0,25a 2 h berechnet - wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

3) Das Volumen eines geraden Prismas entspricht der Hälfte des Produkts aus der Fläche der Basis und der Höhe.

4) Das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d a 2 h berechnet, wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

5) Das Volumen eines regelmäßigen sechseckigen Prismas wird nach der Formel V \u003d 1,5a 2 h berechnet, wobei a die Seite der Basis und h die Höhe des Prismas ist.

3. Die Seite der Basis eines regelmäßigen dreieckigen Prismas ist gleich. Durch die Seite der unteren Basis und die gegenüberliegende Oberseite der oberen Basis wird eine Ebene gezogen, die in einem Winkel von 45° zur Basis verläuft. Finden Sie das Volumen des Prismas.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Die Basis eines geraden Prismas ist eine Raute, deren Seite 13 ist, und eine der Diagonalen ist 24. Finden Sie das Volumen des Prismas, wenn die Diagonale der Seitenfläche 14 ist.

Im Schullehrplan für den Studiengang Festkörpergeometrie beginnt das Studium dreidimensionaler Figuren meist mit einem einfachen geometrischen Körper - einem Prismenpolyeder. Die Rolle seiner Basen übernehmen 2 gleiche Polygone, die in parallelen Ebenen liegen. Ein Sonderfall ist ein regelmäßiges viereckiges Prisma. Seine Grundflächen sind 2 identische regelmäßige Vierecke, zu denen die Seiten senkrecht stehen und die Form von Parallelogrammen (oder Rechtecken, wenn das Prisma nicht geneigt ist) haben.

Wie sieht ein prisma aus

Ein regelmäßiges viereckiges Prisma ist ein Sechseck, an dessen Basis sich 2 Quadrate befinden und dessen Seitenflächen durch Rechtecke dargestellt werden. Ein anderer Name für diese geometrische Figur ist ein gerades Parallelepiped.

Die Abbildung, die ein viereckiges Prisma darstellt, ist unten gezeigt.

Kann man auch auf dem Bild sehen die wichtigsten Elemente, aus denen ein geometrischer Körper besteht. Sie werden allgemein bezeichnet als:

Manchmal findet man in Geometrieaufgaben das Konzept eines Abschnitts. Die Definition wird so lauten: Ein Schnitt sind alle Punkte eines Volumenkörpers, die zur Schnittebene gehören. Der Schnitt ist senkrecht (schneidet die Kanten der Figur in einem Winkel von 90 Grad). Bei einem rechteckigen Prisma wird auch ein Diagonalschnitt berücksichtigt (es können maximal 2 Schnitte gebaut werden), der durch 2 Kanten und die Diagonalen der Basis verläuft.

Wird der Schnitt so gezeichnet, dass die Schnittebene weder zu den Grund- noch zu den Seitenflächen parallel ist, entsteht ein Prismenstumpf.

Verschiedene Verhältnisse und Formeln werden verwendet, um die reduzierten prismatischen Elemente zu finden. Einige von ihnen sind aus dem Verlauf der Planimetrie bekannt (um beispielsweise die Fläche der Basis eines Prismas zu ermitteln, reicht es aus, sich an die Formel für die Fläche eines Quadrats zu erinnern).

Oberfläche und Volumen

Um das Volumen eines Prismas mithilfe der Formel zu bestimmen, müssen Sie die Fläche seiner Basis und Höhe kennen:

V = Sprim h

Da die Basis eines regulären tetraedrischen Prismas ein Quadrat mit einer Seite ist a, Sie können die Formel in einer detaillierteren Form schreiben:

V = a² h

Wenn wir über einen Würfel sprechen - ein regelmäßiges Prisma mit gleicher Länge, Breite und Höhe, wird das Volumen wie folgt berechnet:

Um zu verstehen, wie man die seitliche Oberfläche eines Prismas findet, muss man sich seinen Schwung vorstellen.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Seitenfläche aus 4 gleichen Rechtecken besteht. Seine Fläche errechnet sich aus dem Produkt des Umfangs der Basis und der Höhe der Figur:

Seite = Pos h

Da der Umfang ein Quadrat ist P = 4a, die Formel hat die Form:

Seite = 4a h

Für Würfel:

Seite = 4a²

Um die Gesamtfläche eines Prismas zu berechnen, fügen Sie der Seitenfläche 2 Grundflächen hinzu:

Svoll = SSeite + 2SBasis

Angewendet auf ein viereckiges regelmäßiges Prisma hat die Formel die Form:

Svoll = 4a h + 2a²

Für die Oberfläche eines Würfels:

Svoll = 6a²

Mit Kenntnis des Volumens oder der Oberfläche können Sie die einzelnen Elemente eines geometrischen Körpers berechnen.

Prismenelemente finden

Oft gibt es Probleme, bei denen das Volumen angegeben ist oder der Wert der Seitenfläche bekannt ist, wo es notwendig ist, die Länge der Seite der Basis oder die Höhe zu bestimmen. In solchen Fällen können Formeln abgeleitet werden:

• Grundseitenlänge: a = Seite / 4h = √(V / h);
• Höhe bzw. Seitenrippenlänge: h = Seite / 4a = V / a²;
• Grundfläche: Sprim = V/h;
• Seitenfläche: Seite gr = Seite / 4.

Um zu bestimmen, wie viel Fläche eine Diagonale hat, müssen Sie die Länge der Diagonale und die Höhe der Figur kennen. Für ein Quadrat d = a√2. Deshalb:

Sdiag = ah√2

Um die Diagonale des Prismas zu berechnen, wird die Formel verwendet:

dPreis = √(2a² + h²)

Um zu verstehen, wie die obigen Verhältnisse anzuwenden sind, können Sie einige einfache Aufgaben üben und lösen.

Beispiele für Probleme mit Lösungen

Hier sind einige der Aufgaben, die in den staatlichen Abschlussprüfungen in Mathematik vorkommen.

Übung 1.

Sand wird in eine Kiste gegossen, die wie ein regelmäßiges viereckiges Prisma geformt ist. Die Höhe des Sandes beträgt 10 cm. Wie hoch wird der Sand sein, wenn Sie ihn in einen Behälter mit der gleichen Form, aber mit einer doppelt so langen Basislänge bringen?

Es soll wie folgt argumentiert werden. Die Sandmenge im ersten und zweiten Behälter änderte sich nicht, d. h. sein Volumen darin ist gleich. Sie können die Länge der Basis definieren als a. In diesem Fall beträgt das Volumen des Stoffes für das erste Kästchen:

V₁ = ha² = 10a²

Für die zweite Box ist die Länge der Basis 2a, aber die Höhe des Sandspiegels ist unbekannt:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Soweit V₁ = V₂, können die Ausdrücke gleichgesetzt werden:

10a² = 4ha²

Nachdem wir beide Seiten der Gleichung um a² reduziert haben, erhalten wir:

Als Ergebnis wird die neue Sandebene sein h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Aufgabe 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ist ein regelmäßiges Prisma. Es ist bekannt, dass BD = AB₁ = 6√2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Körpers.

Um besser verständlich zu machen, welche Elemente bekannt sind, können Sie eine Figur zeichnen.

Da es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt, können wir daraus schließen, dass die Grundfläche ein Quadrat mit einer Diagonale von 6√2 ist. Die Diagonale der Seitenfläche hat den gleichen Wert, daher hat die Seitenfläche auch die Form eines Quadrats gleich der Grundfläche. Es stellt sich heraus, dass alle drei Dimensionen – Länge, Breite und Höhe – gleich sind. Wir können daraus schließen, dass ABCDA₁B₁C₁D₁ ein Würfel ist.

Die Länge einer beliebigen Kante wird durch die bekannte Diagonale bestimmt:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Die Gesamtoberfläche ergibt sich aus der Würfelformel:

Svoll = 6a² = 6 6² = 216

Aufgabe 3.

Das Zimmer wird renoviert. Es ist bekannt, dass sein Boden die Form eines Quadrats mit einer Fläche von 9 m² hat. Die Raumhöhe beträgt 2,5 m. Was kostet das Tapezieren eines Raumes am wenigsten, wenn 1 m² 50 Rubel kostet?

Da der Boden und die Decke Quadrate sind, dh regelmäßige Vierecke, und seine Wände senkrecht zu horizontalen Flächen stehen, können wir daraus schließen, dass es sich um ein regelmäßiges Prisma handelt. Es ist notwendig, die Fläche seiner Seitenfläche zu bestimmen.

Die Raumlänge beträgt a = √9 = 3 m.

Der Platz wird tapeziert Seite = 4 3 2,5 = 30 m².

Die niedrigsten Tapetenkosten für diesen Raum betragen 50 30 = 1500 Rubel.

Um Probleme für ein rechteckiges Prisma zu lösen, reicht es also aus, die Fläche und den Umfang eines Quadrats und eines Rechtecks ​​berechnen zu können, sowie die Formeln zur Bestimmung des Volumens und der Oberfläche zu kennen.

So finden Sie die Fläche eines Würfels

Was ist das Volumen eines Prismas und wie findet man es?

Das Volumen eines Prismas ist das Produkt aus Grundfläche mal Höhe.

Wir wissen jedoch, dass die Basis eines Prismas ein Dreieck, ein Quadrat oder ein anderes Polyeder haben kann.

Um das Volumen eines Prismas zu ermitteln, müssen Sie daher nur die Fläche der Basis des Prismas berechnen und diese Fläche dann mit ihrer Höhe multiplizieren.

Das heißt, wenn sich an der Basis des Prismas ein Dreieck befindet, müssen Sie zuerst die Fläche des Dreiecks ermitteln. Wenn die Basis des Prismas ein Quadrat oder ein anderes Polygon ist, müssen Sie zuerst die Fläche des Quadrats oder eines anderen Polygons ermitteln.

Es sollte daran erinnert werden, dass die Höhe des Prismas eine Senkrechte ist, die zu den Basen des Prismas gezogen wird.

Was ist ein prisma

Erinnern wir uns nun an die Definition eines Prismas.

Ein Prisma ist ein Polygon, dessen zwei Flächen (Grundflächen) in parallelen Ebenen liegen und alle Kanten außerhalb dieser Flächen parallel sind.

Einfach gesagt dann:

Ein Prisma ist jede geometrische Figur, die zwei gleiche Grundflächen und flache Flächen hat.

Der Name eines Prismas hängt von der Form seiner Basis ab. Wenn die Basis eines Prismas ein Dreieck ist, wird ein solches Prisma als dreieckig bezeichnet. Ein polyedrisches Prisma ist eine geometrische Figur, deren Basis ein Polyeder ist. Ein Prisma ist auch eine Art Zylinder.

Welche Arten von Prismen gibt es?

Wenn wir uns die obige Abbildung ansehen, können wir sehen, dass Prismen gerade, regelmäßig und schräg sind.

Die Übung

1. Was ist das richtige Prisma?
2. Warum heißt es so?
3. Wie heißt ein Prisma, dessen Grundflächen regelmäßige Polygone sind?
4. Wie hoch ist diese Figur?
5. Wie heißt ein Prisma, dessen Kanten nicht senkrecht sind?
6. Definieren Sie ein dreieckiges Prisma.
7. Kann ein Prisma ein Parallelepiped sein?
8. Welche geometrische Figur wird als halbregelmäßiges Vieleck bezeichnet?

Aus welchen Elementen besteht ein Prisma?

Ein Prisma besteht aus Elementen wie der unteren und oberen Basis, Seitenflächen, Kanten und Scheitelpunkten.

Beide Grundflächen des Prismas liegen in Ebenen und sind parallel zueinander.
Die Seitenflächen der Pyramide sind Parallelogramme.
Die Seitenfläche der Pyramide ist die Summe der Seitenflächen.
Die gemeinsamen Seiten der Seitenflächen sind nichts anderes als die Seitenkanten dieser Figur.
Die Höhe der Pyramide ist das Segment, das die Ebenen der Basen verbindet und senkrecht zu ihnen steht.

Prismeneigenschaften

Eine geometrische Figur, wie ein Prisma, hat eine Reihe von Eigenschaften. Schauen wir uns diese Eigenschaften genauer an:

Erstens werden die Basen eines Prismas als gleiche Polygone bezeichnet;
Zweitens sind die Seitenflächen des Prismas in Form eines Parallelogramms dargestellt;
Drittens hat diese geometrische Figur parallele und gleiche Kanten;
Viertens beträgt die Gesamtfläche des Prismas:

Betrachten Sie nun einen Satz, der eine Formel liefert, mit der die Seitenfläche berechnet und bewiesen werden kann.

Haben Sie jemals über eine so interessante Tatsache nachgedacht, dass ein Prisma nicht nur ein geometrischer Körper sein kann, sondern auch andere Objekte um uns herum. Sogar eine gewöhnliche Schneeflocke kann sich je nach Temperaturregime in ein Eisprisma verwandeln und die Form einer sechseckigen Figur annehmen.

Aber Calcitkristalle haben ein so einzigartiges Phänomen, dass sie in Fragmente zerfallen und die Form eines Parallelepipeds annehmen. Und was am meisten überrascht, egal wie klein die Calcit-Kristalle zerkleinert werden, das Ergebnis ist immer das gleiche, sie verwandeln sich in winzige Quader.

Es stellt sich heraus, dass das Prisma nicht nur in der Mathematik an Popularität gewonnen hat und seinen geometrischen Körper demonstriert, sondern auch im Bereich der Kunst, da es die Grundlage für Gemälde von so großen Künstlern wie P. Picasso, Braque, Griss und anderen darstellt.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

In einem regulären dreieckigen Prisma ABCA_1B_1C_1 sind die Seiten der Basis 4 , und die Seitenkanten 10 . Finden Sie die Schnittfläche des Prismas durch die Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten AB, AC, A_1B_1 und A_1C_1 verläuft.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Betrachten Sie die folgende Abbildung.

Segment MN ist die Mittellinie des Dreiecks A_1B_1C_1, also MN = \frac12 B_1C_1=2. Ebenfalls, KL=\frac12BC=2. Außerdem ist MK = NL = 10. Dies impliziert, dass das Viereck MNLK ein Parallelogramm ist. Seit MK\parallel AA_1, dann MK\perp ABC und MK\perp KL. Daher ist das Viereck MNLK ein Rechteck. S_(MNLK) = MK\cdot KL= 10\cdot 2 = 20.

Antworten

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Das Volumen eines regulären viereckigen Prismas ABCDA_1B_1C_1D_1 beträgt 24 . Punkt K ist die Mitte der Kante CC_1. Finden Sie das Volumen der Pyramide KBCD.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Gemäß der Bedingung ist KC die Höhe der Pyramide KBCD . CC_1 ist die Höhe des Prismas ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Da K der Mittelpunkt von CC_1 ist, dann KC=\frac12CC_1. Dann sei CC_1=H KC=\frac12H. Beachten Sie auch das S_(BCD)=\frac12S_(ABCD). Dann, V_(KBCD)= \frac13S_(BCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac13\cdot\frac12S_(ABCD)\cdot\frac(H)(2)= \frac(1)(12)\cdot S_(ABCD)\cdot H= \frac(1)(12)V_(ABCDA_1B_1C_1D_1). Somit, V_(KBCD)=\frac(1)(12)\cdot24=2.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Finden Sie die seitliche Oberfläche eines regelmäßigen sechseckigen Prismas, dessen Basisseite 6 und seine Höhe 8 beträgt.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Fläche der Seitenfläche des Prismas ergibt sich aus der Formel S-Seite. = P Haupt. · h = 6a\cdot h, wobei P main. und h sind jeweils der Umfang der Basis und die Höhe des Prismas, gleich 8 , und a ist die Seite eines regelmäßigen Sechsecks, gleich 6 . Daher S-Seite. = 6\cdot 6\cdot 8 = 288.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Wasser wird in ein Gefäß gegossen, das wie ein regelmäßiges dreieckiges Prisma geformt ist. Der Wasserstand erreicht 40 cm, wie hoch wird der Wasserstand sein, wenn man es in ein anderes Gefäß gleicher Form gießt, dessen Grundfläche doppelt so groß ist wie das erste? Geben Sie Ihre Antwort in Zentimetern an.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Sei a die Seite des Bodens des ersten Gefäßes, dann ist 2 a die Seite des Bodens des zweiten Gefäßes. Bedingt ist, dass das Flüssigkeitsvolumen V im ersten und zweiten Gefäß gleich ist. Mit H ist das Niveau bezeichnet, auf das die Flüssigkeit im zweiten Gefäß angestiegen ist. Dann V= \frac12\cdot a^2\cdot\sin60^(\circ)\cdot40= \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40, und, V=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H. Von hier \frac(a^2\sqrt3)(4)\cdot40=\frac((2a)^2\sqrt3)(4)\cdot H, 40=4H, H=10.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

In einem regulären sechseckigen Prisma ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 sind alle Kanten 2 . Finde den Abstand zwischen den Punkten A und E_1 .

Lösung anzeigen

Entscheidung

Das Dreieck AEE_1 ist rechtwinklig, da die Kante EE_1 senkrecht zur Ebene der Basis des Prismas ist, wird der Winkel AEE_1 ein rechter Winkel sein.

Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2. Finden Sie AE aus dem Dreieck AFE unter Verwendung des Kosinussatzes. Jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Sechsecks ist 120^(\circ). Dann AE^2= AF^2+FE^2-2\cdot AF\cdot FE\cdot\cos120^(\circ)= 2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\links (-\frac12 \rechts).

Daher ist AE^2=4+4+4=12,

AE_1^2=12+4=16,

AE_1=4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 8
Thema: Prisma

Zustand

Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas, dessen Basis eine Raute mit Diagonalen gleich ist 4\sqrt5 und 8 und eine Seitenkante gleich 5 .

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Fläche der Seitenfläche eines geraden Prismas ergibt sich aus der Formel S-Seite. = P Haupt. · h = 4a\cdot h, wobei P main. und h, jeweils der Umfang der Basis und die Höhe des Prismas, gleich 5, und a ist die Seite der Raute. Lassen Sie uns die Seite der Raute finden, indem wir die Tatsache nutzen, dass die Diagonalen der Raute ABCD senkrecht aufeinander stehen und der Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt ist.