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Quadratische Gleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Im Begriff "quadratische Gleichung" ist das Schlüsselwort "quadratisch". Das bedeutet, dass die Gleichung unbedingt eine Variable (dasselbe X) im Quadrat enthalten muss, und gleichzeitig sollte es keine Xs dritten (oder höheren) Grades geben.

Die Lösung vieler Gleichungen wird auf die Lösung quadratischer Gleichungen reduziert.

Lassen Sie uns lernen festzustellen, dass wir eine quadratische Gleichung haben und keine andere.

Beispiel 1

Werde den Nenner los und multipliziere jeden Term der Gleichung mit

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben und die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von x anordnen

Jetzt können wir mit Zuversicht sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Diese Gleichung ist, obwohl sie ursprünglich darin enthalten war, kein Quadrat!

Beispiel 3

Multiplizieren wir alles mit:

Unheimlich? Der vierte und zweite Grad ... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4

Es scheint so zu sein, aber lasst uns einen genaueren Blick darauf werfen. Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben:

Sie sehen, es ist geschrumpft – und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun selbst zu bestimmen, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

1. Quadrat;
2. Quadrat;
3. nicht quadratisch;
4. nicht quadratisch;
5. nicht quadratisch;
6. Quadrat;
7. nicht quadratisch;
8. Quadrat.

Mathematiker unterteilen alle quadratischen Gleichungen bedingt in die folgenden Typen:

• Vervollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, bei denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben sind Gleichungen, bei denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)

• Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

  Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer x zum Quadrat enthalten !!! Sonst ist es keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Aufteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Eine solche Aufteilung ist auf die Lösungsmethoden zurückzuführen. Betrachten wir jeden von ihnen genauer.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf das Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind viel einfacher!

Unvollständige quadratische Gleichungen sind von folgenden Typen:

1. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
2. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
3. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Da wir wissen, wie man die Quadratwurzel zieht, lassen Sie uns diese Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn man zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert, wird das Ergebnis immer eine positive Zahl sein, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache ist, dass Sie immer wissen und sich daran erinnern sollten, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Löse die Gleichung

Jetzt bleibt es, die Wurzel aus dem linken und rechten Teil zu extrahieren. Erinnerst du dich schließlich, wie man die Wurzeln extrahiert?

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 7:

Löse die Gleichung

Autsch! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, in denen es keine Wurzeln gibt, haben Mathematiker ein spezielles Symbol entwickelt - (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antworten:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir die Wurzel nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Löse die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antworten:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Hier verzichten wir auf Beispiele.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass die vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Formgleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist ein bisschen komplizierter (nur ein bisschen) als die angegebenen.

Erinnern, jede quadratische Gleichung kann mit der Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Die restlichen Methoden werden dir helfen, es schneller zu machen, aber wenn du Probleme mit quadratischen Gleichungen hast, meistere zuerst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit der Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist sehr einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern.

Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel Besondere Aufmerksamkeit sollte dem Schritt geschenkt werden. Die Diskriminante () gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
• Wenn, dann können wir die Wurzel der Diskriminante im Schritt nicht ziehen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Gehen wir zurück zu unseren Gleichungen und schauen uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 9:

Löse die Gleichung

Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also zwei Wurzeln.

Schritt 3

Antworten:

Beispiel 10:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also eine Wurzel.

Antworten:

Beispiel 11:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Dies bedeutet, dass wir nicht in der Lage sein werden, die Wurzel aus der Diskriminante zu ziehen. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antworten: Keine Wurzeln

2. Lösung quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine solche Art von Gleichungen, die als reduziert bezeichnet werden (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Die Summe der Wurzeln gegeben quadratische Gleichung ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Löse die Gleichung

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist, d.h. Wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns das System erstellen und lösen:

• und. Die Summe ist;
• und. Die Summe ist;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antworten: ; .

Beispiel 13:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 14:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Antworten:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. MITTELSTUFE

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei - unbekannt, - einige Zahlen, außerdem.

Die Zahl heißt die höchste oder erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, a - Freies Mitglied.

Wieso den? Denn wenn, wird die Gleichung sofort linear, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. Dabei wird die Stuhlgleichung als unvollständig bezeichnet. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen

Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Zunächst analysieren wir die Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind einfacher.

Folgende Arten von Gleichungen können unterschieden werden:

I. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Betrachten Sie nun die Lösung für jeden dieser Untertypen.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine Zahl zum Quadrat kann nicht negativ sein, denn die Multiplikation zweier negativer oder zweier positiver Zahlen ergibt immer eine positive Zahl. So:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache, an die Sie sich erinnern sollten, ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln.

Um kurz zu schreiben, dass das Problem keine Lösungen hat, verwenden wir das leere Set-Icon.

Antworten:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antworten:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Wir faktorisieren die linke Seite der Gleichung und finden die Wurzeln:

Antworten:

Methoden zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit der Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Hast du die Wurzel der Diskriminante in der Wurzelformel bemerkt? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen besonders auf Schritt 2 achten. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

• Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel:
• Wenn, dann hat die Gleichung dieselbe Wurzel, aber tatsächlich eine Wurzel:

  Solche Wurzeln nennt man Doppelwurzeln.

• Wenn, dann wird die Wurzel der Diskriminante nicht gezogen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Wurzeln? Wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung zu. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem speziellen Fall, der eine quadratische Gleichung ist, . Und das bedeutet, dass die Wurzeln der quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der x-Achse (Achse) sind. Die Parabel kann die Achse überhaupt nicht kreuzen, oder sie kann sie an einem (wenn die Spitze der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten schneiden.

Außerdem ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet und wenn - dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Antworten: .

Antworten:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antworten: .

2. Satz von Vieta

Die Verwendung des Vieta-Theorems ist sehr einfach: Sie müssen nur ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist, und die Summe ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Satz von Vieta nur auf angewendet werden kann gegebenen quadratischen Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns solche Zahlenpaare auswählen, deren Produkt gleich ist, und prüfen, ob ihre Summe gleich ist:

• und. Die Summe ist;
• und. Die Summe ist;
• und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antworten: ; .

Beispiel #2:

Entscheidung:

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: insgesamt geben.

und: insgesamt geben. Um es zu bekommen, müssen Sie nur die Vorzeichen der angeblichen Wurzeln ändern: und schließlich das Produkt.

Antworten:

Beispiel #3:

Entscheidung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Also ist die Summe der Wurzeln Unterschiede ihrer Module.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur zu bedenken, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die betragsmäßig kleinere Wurzel negativ sein: . Wir überprüfen:

Antworten:

Beispiel #4:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur Wurzeln und für die erste Bedingung geeignet:

Antworten:

Beispiel #5:

Löse die Gleichung.

Entscheidung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Aber da ihr Produkt positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln minus sind.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antworten:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu erfinden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber das Vieta-Theorem wird benötigt, um das Finden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Um es für Sie rentabel zu machen, müssen Sie die Aktionen zum Automatismus bringen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber schummeln Sie nicht: Sie können die Diskriminante nicht verwenden! Nur Satz von Vieta:

Lösungen für Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie gewohnt beginnen wir die Auswahl mit dem Produkt:

Nicht geeignet wegen der Menge;

: Die Menge ist, was Sie brauchen.

Antworten: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe sollte stimmen, aber das Produkt ist gleich.

Aber da es nicht sein sollte, aber, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antworten: ; .

Aufgabe 3.

Hm... Wo ist es?

Es ist notwendig, alle Begriffe in einen Teil zu überführen:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Ja, halt! Die Gleichung ist nicht gegeben. Aber der Satz von Vieta ist nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Also musst du zuerst die Gleichung bringen. Wenn Sie es nicht aufbringen können, lassen Sie diese Idee fallen und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch die Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Aufbringen einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Bußgeld. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist es einfacher zu verstehen: Immerhin - eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antworten: ; .

Aufgabe 4.

Die freie Laufzeit ist negativ. Was ist daran so besonders? Und die Tatsache, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern die Differenz zwischen ihren Modulen: Diese Differenz ist gleich, aber das Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon hat ein Minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist, das heißt. Dies bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, da.

Antworten: ; .

Aufgabe 5.

Was muss zuerst getan werden? Das ist richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus, und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine von ihnen ist minus. Welche? Ihre Summe muss gleich sein, was bedeutet, dass bei einem Minus eine größere Wurzel entsteht.

Antworten: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:

1. Der Satz von Vieta wird nur in den gegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
2. Unter Verwendung des Vieta-Theorems können Sie die Wurzeln mündlich durch Auswahl finden.
3. Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Terms gefunden wurde, dann gibt es keine ganzzahligen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch die Diskriminante).

3. Vollquadrat-Auswahlmethode

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, als Terme aus den Formeln der abgekürzten Multiplikation - dem Quadrat der Summe oder Differenz - dargestellt werden, kann die Gleichung nach der Änderung der Variablen als unvollständige quadratische Gleichung des Typs dargestellt werden.

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: .

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: .

Entscheidung:

Antworten:

Im Allgemeinen sieht die Transformation wie folgt aus:

Dies impliziert: .

Erinnert es dich an nichts? Es ist die Diskriminante! Genau so wurde die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei die Unbekannte ist, sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, ist der freie Term.

Vervollständige die quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

• wenn der Koeffizient, hat die Gleichung die Form: ,
• wenn es sich um einen freien Term handelt, hat die Gleichung die Form: ,
• wenn und hat die Gleichung die Form: .

1. Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Unbekanntes ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

• wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
• wenn, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit der Diskriminante

1) Bringen wir die Gleichung auf die Standardform: ,

2) Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

• wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
• wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (eine Gleichung der Form, wo) ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d.h. , a.

2.3. Vollständig quadratische Lösung

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: \(x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 \)

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
hat die Form
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und \(a \neq 0 \).

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a \neq 0 \), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach \(c \neq 0 \) zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Da \(c \neq 0 \), dann \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Wenn \(-\frac(c)(a)>0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzelne Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \)

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)

Nun schreiben wir unter Verwendung der Schreibweise der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Jene. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Nachdem Sie eine allgemeine Vorstellung von Gleichheiten erhalten und sich mit einem ihrer Typen - numerischen Gleichheiten - vertraut gemacht haben, können Sie über eine andere Form der Gleichheit sprechen, die aus praktischer Sicht sehr wichtig ist - über Gleichungen. In diesem Artikel werden wir analysieren was ist die gleichung, und was die Wurzel der Gleichung genannt wird. Hier geben wir die entsprechenden Definitionen an und geben auch verschiedene Beispiele für Gleichungen und ihre Wurzeln.

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Was ist eine Gleichung?

Das gezielte Kennenlernen von Gleichungen beginnt meist im Mathematikunterricht der 2. Klasse. Zu diesem Zeitpunkt folgendes Gleichungsdefinition:

Definition.

Die gleichung ist eine Gleichheit, die eine unbekannte zu findende Zahl enthält.

Unbekannte Zahlen in Gleichungen werden normalerweise mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet, z. B. p, t, u usw., aber die Buchstaben x, y und z werden am häufigsten verwendet.

Somit wird die Gleichung vom Standpunkt der Notationsform bestimmt. Mit anderen Worten, Gleichheit ist eine Gleichung, wenn sie den angegebenen Notationsregeln folgt – sie enthält einen Buchstaben, dessen Wert gefunden werden muss.

Lassen Sie uns Beispiele für die allerersten und einfachsten Gleichungen geben. Beginnen wir mit Gleichungen wie x=8 , y=3 usw. Gleichungen, die neben Zahlen und Buchstaben auch Vorzeichen von Rechenoperationen enthalten, sehen etwas komplizierter aus, zum Beispiel x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .

Die Vielfalt der Gleichungen wächst nach der Bekanntschaft mit - Gleichungen mit Klammern beginnen aufzutauchen, zum Beispiel 2 (x−1)=18 und x+3 (x+2 (x−2))=3 . Ein unbekannter Buchstabe kann mehrmals in einer Gleichung vorkommen, z. B. x+3+3 x−2−x=9 , und Buchstaben können auf der linken Seite der Gleichung, auf ihrer rechten Seite oder auf beiden Seiten der Gleichung stehen Gleichung, zum Beispiel x (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 oder 3 x−4=2 (x+12) .

Außerdem lernt man nach dem Studium natürlicher Zahlen ganze Zahlen kennen, rationale, reelle Zahlen, neue mathematische Objekte werden untersucht: Grade, Wurzeln, Logarithmen usw., während immer mehr neue Arten von Gleichungen auftauchen, die diese Dinge enthalten. Beispiele finden Sie im Artikel. Hauptarten von Gleichungen in der Schule studiert.

In Klasse 7 beginnen sie, zusammen mit Buchstaben, die bestimmte Zahlen bedeuten, Buchstaben zu berücksichtigen, die unterschiedliche Werte annehmen können, sie werden Variablen genannt (siehe Artikel). In diesem Fall wird das Wort „Variable“ in die Definition der Gleichung eingeführt, und es wird so:

Definition.

Gleichung Nennen Sie eine Gleichheit, die eine Variable enthält, deren Wert gefunden werden soll.

Beispielsweise ist die Gleichung x+3=6 x+7 eine Gleichung mit der Variablen x , und 3 z−1+z=0 ist eine Gleichung mit der Variablen z .

Im Algebraunterricht in derselben 7. Klasse kommt es zu einem Treffen mit Gleichungen, die in ihrem Datensatz nicht eine, sondern zwei verschiedene unbekannte Variablen enthalten. Sie werden Gleichungen mit zwei Variablen genannt. In Zukunft ist das Vorhandensein von drei oder mehr Variablen im Gleichungsdatensatz erlaubt.

Definition.

Gleichungen mit eins, zwei, drei usw. Variablen- Dies sind Gleichungen, die jeweils eine, zwei, drei, ... unbekannte Variablen in ihrem Datensatz enthalten.

Beispielsweise ist die Gleichung 3.2 x+0.5=1 eine Gleichung mit einer Variablen x, eine Gleichung der Form x−y=3 wiederum ist eine Gleichung mit zwei Variablen x und y. Und noch ein Beispiel: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27 . Es ist klar, dass eine solche Gleichung eine Gleichung mit drei Unbekannten x, y und z ist.

Was ist die Wurzel der Gleichung?

Die Definition der Wurzel der Gleichung steht in direktem Zusammenhang mit der Definition der Gleichung. Wir werden einige Überlegungen anstellen, die uns helfen zu verstehen, was die Wurzel der Gleichung ist.

Angenommen, wir haben eine Gleichung mit einem Buchstaben (Variable). Wenn anstelle des im Datensatz dieser Gleichung enthaltenen Buchstabens eine bestimmte Zahl eingesetzt wird, wird die Gleichung zu einer numerischen Gleichheit. Darüber hinaus kann die resultierende Gleichheit sowohl wahr als auch falsch sein. Wenn wir beispielsweise anstelle des Buchstabens a in der Gleichung a+1=5 die Zahl 2 einsetzen, erhalten wir eine falsche numerische Gleichheit 2+1=5 . Wenn wir in dieser Gleichung die Zahl 4 anstelle von a einsetzen, erhalten wir die korrekte Gleichung 4+1=5.

In der Praxis sind in der überwiegenden Mehrheit der Fälle solche Werte der Variablen von Interesse, deren Einsetzen in die Gleichung die richtige Gleichheit ergibt, diese Werte werden als Wurzeln oder Lösungen dieser Gleichung bezeichnet.

Definition.

Wurzel der Gleichung- Dies ist der Wert des Buchstabens (Variable), bei dessen Ersetzung sich die Gleichung in die richtige numerische Gleichheit verwandelt.

Beachten Sie, dass die Wurzel einer Gleichung mit einer Variablen auch als Lösung der Gleichung bezeichnet wird. Mit anderen Worten, die Lösung einer Gleichung und die Wurzel der Gleichung sind dasselbe.

Lassen Sie uns diese Definition an einem Beispiel erläutern. Dazu kehren wir zu der oben geschriebenen Gleichung a+1=5 zurück. Gemäß der stimmhaften Definition der Wurzel der Gleichung ist die Zahl 4 die Wurzel dieser Gleichung, da wir beim Ersetzen dieser Zahl anstelle des Buchstabens a die korrekte Gleichheit 4 + 1 = 5 erhalten und die Zahl 2 nicht ihre Wurzel, da sie einer falschen Gleichheit der Form 2+1= 5 entspricht.

An diesem Punkt stellen sich eine Reihe natürlicher Fragen: „Hat jede Gleichung eine Wurzel, und wie viele Wurzeln hat eine gegebene Gleichung?“ Wir werden sie beantworten.

Es gibt sowohl Gleichungen mit Wurzeln als auch Gleichungen ohne Wurzeln. Zum Beispiel hat die Gleichung x+1=5 eine Wurzel 4 und die Gleichung 0 x=5 hat keine Wurzeln, da wir unabhängig davon, welche Zahl wir anstelle der Variablen x in diese Gleichung einsetzen, die falsche Gleichheit 0= erhalten 5.

Was die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung betrifft, so gibt es sowohl Gleichungen mit einer endlichen Anzahl von Wurzeln (eins, zwei, drei usw.) als auch Gleichungen mit unendlich vielen Wurzeln. Zum Beispiel hat die Gleichung x – 2 = 4 eine einzelne Wurzel 6 , die Wurzeln der Gleichung x 2 = 9 sind zwei Zahlen –3 und 3 , die Gleichung x (x – 1) (x – 2) = 0 hat drei Wurzeln 0 , 1 und 2 , und die Lösung der Gleichung x=x ist eine beliebige Zahl, das heißt, sie hat unendlich viele Wurzeln.

Ein paar Worte sollten über die akzeptierte Notation der Wurzeln der Gleichung gesagt werden. Wenn die Gleichung keine Wurzeln hat, dann schreiben sie normalerweise „die Gleichung hat keine Wurzeln“ oder verwenden das Zeichen der leeren Menge ∅. Wenn die Gleichung Wurzeln hat, werden sie durch Kommas getrennt oder geschrieben als Elemente setzen in geschweiften Klammern. Wenn zum Beispiel die Wurzeln der Gleichung die Zahlen −1, 2 und 4 sind, dann schreibe −1, 2, 4 oder (−1, 2, 4) . Es ist auch möglich, die Wurzeln der Gleichung in Form von einfachen Gleichungen zu schreiben. Wenn zum Beispiel der Buchstabe x in die Gleichung eintritt und die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen 3 und 5 sind, dann können Sie x=3, x=5 schreiben, und die Indizes x 1 =3, x 2 =5 werden oft hinzugefügt auf die Variable, als ob Zahlen die Wurzeln der Gleichung anzeigen würden. Eine unendliche Menge von Wurzeln einer Gleichung wird normalerweise in der Form geschrieben, auch wenn möglich, wird die Notation von Mengen von natürlichen Zahlen N, ganzen Zahlen Z, reellen Zahlen R verwendet. Wenn zum Beispiel die Wurzel der Gleichung mit der Variablen x eine ganze Zahl ist, dann schreibe , und wenn die Wurzeln der Gleichung mit der Variablen y eine beliebige reelle Zahl von 1 bis einschließlich 9 sind, dann schreibe .

Bei Gleichungen mit zwei, drei und mehr Variablen wird in der Regel der Begriff „Gleichungswurzel“ nicht verwendet, in diesen Fällen heißt es „Lösung der Gleichung“. Wie nennt man die Lösung von Gleichungen mit mehreren Variablen? Lassen Sie uns eine angemessene Definition geben.

Definition.

Lösen einer Gleichung mit zwei, drei usw. Variablen Call ein Paar, drei usw. Werte der Variablen, was diese Gleichung zu einer echten numerischen Gleichheit macht.

Wir zeigen erklärende Beispiele. Stellen Sie sich eine Gleichung mit zwei Variablen x+y=7 vor. Wir ersetzen die Zahl 1 anstelle von x und die Zahl 2 anstelle von y, während wir die Gleichheit 1+2=7 haben. Offensichtlich ist es falsch, daher ist das Wertepaar x=1 , y=2 keine Lösung der geschriebenen Gleichung. Wenn wir ein Wertepaar x=4 , y=3 nehmen, dann kommen wir nach dem Einsetzen in die Gleichung zur richtigen Gleichheit 4+3=7 , daher ist dieses Variablenwertepaar per Definition eine Lösung zur Gleichung x+y=7 .

Gleichungen mit mehreren Variablen können wie Gleichungen mit einer Variablen keine Wurzeln haben, können eine endliche Anzahl von Wurzeln haben oder können unendlich viele Wurzeln haben.

Paare, Dreier, Vierer usw. Variablenwerte werden oft kurz geschrieben, wobei ihre Werte durch Kommas getrennt in Klammern aufgeführt werden. Dabei entsprechen die in Klammern geschriebenen Zahlen den Variablen in alphabetischer Reihenfolge. Lassen Sie uns diesen Punkt verdeutlichen, indem wir zur vorherigen Gleichung x+y=7 zurückkehren. Die Lösung dieser Gleichung x=4 , y=3 kann kurz als (4, 3) geschrieben werden.

Die größte Aufmerksamkeit im Schulunterricht in Mathematik, Algebra und den Anfängen der Analysis wird dem Finden der Wurzeln von Gleichungen mit einer Variablen gewidmet. Wir werden die Regeln dieses Prozesses im Artikel ausführlich analysieren. Lösung von Gleichungen.

Referenzliste.

• Mathematik. 2 Zellen Proz. für Allgemeinbildung Institutionen mit adj. zu einem Elektron. Träger. Um 14 Uhr, Teil 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova und andere] - 3. Aufl. - M.: Bildung, 2012. - 96 S.: mit Abb. - (Schule von Russland). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
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Gleichung eingeben

Ausdruck D= b 2 - 4ac namens diskriminierend quadratische Gleichung. Wenn einD = 0, dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel; wenn d> 0, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln.
Für den Fall wann D = 0 , wird manchmal gesagt, dass eine quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat.
Verwendung der Notation D= b 2 - 4ac, Formel (2) kann umgeschrieben werden als

Wenn ein b= 2k, dann nimmt Formel (2) die Form an:

wo k= b / 2 .
Die letzte Formel ist besonders praktisch, wenn b / 2 ist eine ganze Zahl, d.h. Koeffizient b- gerade Zahl.
Beispiel 1: löse die Gleichung 2 x 2 - 5x + 2 = 0 . Hier a=2, b=-5, c=2. Wir haben D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Als D > 0 , dann hat die Gleichung zwei Wurzeln. Finden wir sie durch die Formel (2)

So x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
also x 1 = 2 und x 2 = 1 / 2 sind die Wurzeln der gegebenen Gleichung.
Beispiel 2: löse die Gleichung 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Hier a=2, b=-3, c=5. Diskriminante finden D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Als D 0 , dann hat die Gleichung keine echten Wurzeln.

Unvollständige quadratische Gleichungen. Wenn in einer quadratischen Gleichung Axt 2 +bx+c =0 zweiter Koeffizient b oder kostenloses Mitglied c gleich Null ist, dann wird die quadratische Gleichung aufgerufen unvollständig. Unvollständige Gleichungen werden unterschieden, weil Sie die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung nicht verwenden können, um ihre Wurzeln zu finden - es ist einfacher, die Gleichung zu lösen, indem Sie ihre linke Seite in Faktoren faktorisieren.
Beispiel 1: löse die Gleichung 2 x 2 - 5x = 0 .
Wir haben x(2x - 5) = 0 . Also entweder x = 0 , oder 2 x - 5 = 0 , also x = 2.5 . Die Gleichung hat also zwei Wurzeln: 0 und 2.5
Beispiel 2: löse die Gleichung 3 x 2 - 27 = 0 .
Wir haben 3 x 2 = 27 . Daher sind die Wurzeln dieser Gleichung 3 und -3 .

Satz von Vieta. Wenn die gegebene quadratische Gleichung x 2 +px+q =0 echte Wurzeln hat, dann ist ihre Summe gleich - p, und das Produkt ist q, also

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term).

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Keine Wurzeln haben;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn d< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo damit an, nachdem 50-70 Gleichungen gelöst wurden - im Allgemeinen nicht so viele.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Herausnehmen des gemeinsamen Teilers aus der Klammer

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.