Bei gleichzeitiger Einwirkung mehrerer Kräfte auf einen Körper bewegt sich der Körper mit einer Beschleunigung, die die Vektorsumme der Beschleunigungen ist, die bei der Einwirkung jeder Kraft einzeln auftreten würden. Die auf den Körper wirkenden Kräfte, an einem Punkt aufgebracht, addieren sich nach der Vektoradditionsregel.

Die Vektorsumme aller gleichzeitig auf einen Körper wirkenden Kräfte wird als Vektorsumme bezeichnet resultierende Kraft.

Die durch den Kraftvektor verlaufende Gerade heißt Wirkungslinie der Kraft. Werden die Kräfte an unterschiedlichen Punkten des Körpers angesetzt und wirken sie nicht parallel zueinander, so wird die Resultierende am Schnittpunkt der Wirkungslinien der Kräfte angesetzt. Wirken die Kräfte parallel zueinander, dann gibt es keinen Angriffspunkt der resultierenden Kraft, und die Wirkungslinie wird durch die Formel bestimmt: (siehe Abbildung).

Moment der Macht. Gleichgewichtszustand des Hebels

Das Hauptmerkmal der Wechselwirkung von Körpern in der Dynamik ist das Auftreten von Beschleunigungen. Oft ist es jedoch notwendig zu wissen, unter welchen Bedingungen sich ein Körper, auf den mehrere unterschiedliche Kräfte wirken, in einem Gleichgewichtszustand befindet.

Es gibt zwei Arten von mechanischen Uhrwerken - Übersetzung und Rotation.

Wenn die Bewegungsbahnen aller Körperpunkte gleich sind, dann die Bewegung progressiv. Wenn die Bahnen aller Punkte des Körpers Bögen aus konzentrischen Kreisen sind (Kreise mit einem Mittelpunkt - dem Rotationspunkt), dann ist die Bewegung rotierend.

Gleichgewicht nicht rotierender Körper: Ein nicht rotierender Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die geometrische Summe der auf den Körper wirkenden Kräfte Null ist.

Gleichgewicht eines Körpers mit fester Rotationsachse

Wenn die Wirkungslinie der auf den Körper ausgeübten Kraft durch die Rotationsachse des Körpers verläuft, wird diese Kraft durch die elastische Kraft von der Seite der Rotationsachse ausgeglichen.

Wenn die Wirkungslinie der Kraft die Rotationsachse nicht schneidet, kann diese Kraft nicht durch die elastische Kraft von der Seite der Rotationsachse ausgeglichen werden und der Körper dreht sich um die Achse.

Die Drehung eines Körpers um eine Achse unter Einwirkung einer Kraft kann durch Einwirkung einer zweiten Kraft gestoppt werden. Die Erfahrung zeigt, dass, wenn zwei Kräfte separat die Drehung des Körpers in entgegengesetzte Richtungen verursachen, der Körper bei ihrer gleichzeitigen Wirkung im Gleichgewicht ist, wenn die Bedingung erfüllt ist:

, wobei d 1 und d 2 die kürzesten Abstände von den Wirkungslinien der Kräfte F 1 und F 2 sind. Der Abstand d heißt Schulter der Stärke, und das Produkt des Kraftmoduls durch den Arm ist Moment der Kraft:

.

Wenn den Momenten der Kräfte, die den Körper dazu bringen, sich im Uhrzeigersinn um eine Achse zu drehen, ein positives Vorzeichen und den Momenten der Kräfte, die die Drehung gegen den Uhrzeigersinn verursachen, ein negatives Vorzeichen zugewiesen wird, dann kann die Gleichgewichtsbedingung für einen Körper mit einer Drehachse sein formuliert als Momentenregeln: Ein Körper mit fester Rotationsachse befindet sich im Gleichgewicht, wenn die algebraische Summe der Momente aller auf den Körper wirkenden Kräfte um diese Achse Null ist:

Die SI-Einheit des Drehmoments ist ein Kraftmoment von 1 N, dessen Wirkungslinie 1 m von der Drehachse entfernt ist. Diese Einheit heißt Newtonmeter.

Die allgemeine Bedingung für das Gleichgewicht eines Körpers:Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die geometrische Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte und die algebraische Summe der Momente dieser Kräfte um die Rotationsachse gleich Null sind.

Unter dieser Bedingung befindet sich der Körper nicht unbedingt in Ruhe. Es kann sich gleichmäßig und geradlinig bewegen oder rotieren.

Unterrichtsziele:

Lehrreich. Zwei Bedingungen für das Gleichgewicht von Körpern untersuchen, Gleichgewichtstypen (stabil, instabil, indifferent). Finden Sie heraus, unter welchen Bedingungen Körper stabiler sind.

Entwicklung: Die Entwicklung des kognitiven Interesses an Physik fördern, die Fähigkeit entwickeln, Vergleiche anzustellen, zu verallgemeinern, die Hauptsache hervorzuheben, Schlussfolgerungen zu ziehen.

Lehrreich: Disziplin, Aufmerksamkeit, die Fähigkeit, ihren Standpunkt auszudrücken und zu verteidigen, zu kultivieren.

Unterrichtsplan:

1. Wissensaktualisierung

2. Was ist statisch

3. Was ist Gleichgewicht. Arten von Gleichgewicht

4. Schwerpunkt

5. Problemlösung

Unterrichtsfortschritt:

1. Aktualisierung des Wissens.

Lehrer: Hallo!

Studenten: Hallo!

Lehrer: Wir reden weiter über Kräfte. Vor Ihnen befindet sich ein unregelmäßig geformter Körper (Stein), der an einem Faden aufgehängt und an einer schiefen Ebene befestigt ist. Welche Kräfte wirken auf diesen Körper?

Studenten: Der Körper wird beeinflusst von: der Spannkraft des Fadens, der Schwerkraft, der Kraft, die dazu neigt, den Stein abzureißen, entgegengesetzt zur Spannkraft des Fadens, der Reaktionskraft des Trägers.

Lehrer: Kräfte gefunden, was machen wir als nächstes?

Studenten: Schreiben Sie das zweite Newtonsche Gesetz auf.

Es gibt keine Beschleunigung, also ist die Summe aller Kräfte Null.

Lehrer: Was sagt es?

Studenten: Dies zeigt an, dass der Körper in Ruhe ist.

Lehrer: Oder man kann sagen, dass sich der Körper in einem Zustand des Gleichgewichts befindet. Das Gleichgewicht eines Körpers ist der Ruhezustand dieses Körpers. Heute werden wir über das Gleichgewicht der Körper sprechen. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: "Gleichgewichtsbedingungen für Körper. Arten von Gleichgewicht."

2. Bildung neuer Erkenntnisse und Handlungsmethoden.

Lehrer: Das Teilgebiet der Mechanik, das sich mit dem Gleichgewicht absolut starrer Körper befasst, heißt Statik. Es gibt keinen einzigen Körper um uns herum, der nicht von Kräften beeinflusst würde. Unter dem Einfluss dieser Kräfte werden die Körper verformt.

Bei der Aufklärung der Gleichgewichtsbedingungen für verformte Körper müssen Größe und Art der Verformung berücksichtigt werden, was die gestellte Aufgabe erschwert. Um die Grundgesetze des Gleichgewichts zu verdeutlichen, wurde daher der Einfachheit halber das Konzept eines absolut starren Körpers eingeführt.

Ein absolut starrer Körper ist ein Körper, bei dem die Verformungen, die unter Einwirkung von auf ihn einwirkenden Kräften auftreten, vernachlässigbar sind. Notieren Sie die Definitionen von Statik, Gleichgewicht von Körpern und absolut starren Körpern vom Bildschirm (Folie 2).

Und die Tatsache, dass wir herausgefunden haben, dass der Körper im Gleichgewicht ist, wenn die geometrische Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null ist, ist die erste Bedingung für das Gleichgewicht. Schreiben Sie 1 Gleichgewichtszustand auf:

Ist die Summe der Kräfte gleich Null, so ist auch die Summe der Projektionen dieser Kräfte auf die Koordinatenachsen gleich Null. Insbesondere für die Projektionen äußerer Kräfte auf die X-Achse können wir schreiben.

Nullgleichheit der Summe der auf einen starren Körper wirkenden äußeren Kräfte ist für sein Gleichgewicht notwendig, aber nicht ausreichend. Beispielsweise wurden zwei gleiche und entgegengesetzt gerichtete Kräfte an unterschiedlichen Stellen auf das Brett aufgebracht. Die Summe dieser Kräfte ist Null. Wird das Board im Gleichgewicht sein?

Studenten: Das Board dreht sich zum Beispiel wie das Lenkrad eines Fahrrads oder Autos.

Lehrer: Recht. Ebenso drehen zwei gleich große und entgegengesetzt gerichtete Kräfte das Lenkrad eines Fahrrads oder Autos. Warum passiert dies?

Studenten: ???

Lehrer: Jeder Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Summe aller auf seine Elemente wirkenden Kräfte gleich Null ist. Aber wenn die Summe der äußeren Kräfte gleich Null ist, dann ist die Summe aller Kräfte, die auf jedes Element des Körpers ausgeübt werden, möglicherweise nicht gleich Null. In diesem Fall befindet sich der Körper nicht im Gleichgewicht. Daher müssen wir eine weitere Bedingung für das Gleichgewicht von Körpern herausfinden. Dazu führen wir ein Experiment durch. (Zwei Schüler werden gerufen.) Einer der Schüler wendet die Kraft näher an der Drehachse der Tür an, der andere Schüler näher am Griff. Sie üben Kräfte in verschiedene Richtungen aus. Was ist passiert?

Studenten: Derjenige, der die Kraft näher am Griff anwendete, gewann.

Lehrer: Wo ist die Wirkungslinie der vom ersten Jünger angewandten Kraft?

Studenten: Näher an der Drehachse der Tür.

Lehrer: Wo ist die Wirkungslinie der vom zweiten Schüler aufgebrachten Kraft?

Studenten: Näher an der Türklinke.

Lehrer: Was können wir noch bemerken?

Studenten: Dass die Abstände von der Rotationsachse zu den Kraftangriffslinien unterschiedlich sind.

Lehrer: Was bestimmt also noch das Ergebnis der Krafteinwirkung?

Studenten: Das Ergebnis der Kraftwirkung hängt vom Abstand der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft ab.

Lehrer: Wie groß ist der Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft?

Studenten: Schulter. Die Schulter ist eine Senkrechte, die von der Rotationsachse zur Wirkungslinie dieser Kraft gezogen wird.

Lehrer: Wie verhalten sich in diesem Fall Kräfte und Schultern zueinander?

Studenten: Nach der Gleichgewichtsregel eines Hebels sind die auf ihn wirkenden Kräfte umgekehrt proportional zu den Schultern dieser Kräfte. .

Lehrer: Was ist das Produkt aus dem Modul der Kraft, die den Körper und seinen Arm dreht?

Studenten: Moment der Macht.

Lehrer: Das Moment der Kraft, das auf die ersten Schüler ausgeübt wird, ist also , und das Moment der Kraft, das auf die zweiten Schüler ausgeübt wird, ist

Nun können wir die zweite Gleichgewichtsbedingung formulieren: Ein Festkörper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die algebraische Summe der auf ihn einwirkenden Momente äußerer Kräfte um eine beliebige Achse Null ist (Folie 3).

Lassen Sie uns das Konzept des Schwerpunkts einführen. Der Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der resultierenden Gewichtskraft (der Punkt, durch den die Resultierende aller parallel wirkenden Gewichtskräfte auf einzelne Elemente des Körpers verläuft). Es gibt auch das Konzept des Massenschwerpunkts.

Der Massenmittelpunkt eines Systems materieller Punkte wird als geometrischer Punkt bezeichnet, dessen Koordinaten durch die Formel bestimmt werden:

; dasselbe für .

Der Schwerpunkt fällt mit dem Massenmittelpunkt des Systems zusammen, wenn sich dieses System in einem homogenen Gravitationsfeld befindet.

Schau auf den Bildschirm. Versuchen Sie, den Schwerpunkt dieser Figuren zu finden. (Folie 4)

(Demonstrieren Sie mit Hilfe einer Stange mit Aussparungen und Schiebern und einer Kugel Arten von Balance.)

Auf Folie 5 sehen Sie, was Sie erlebt haben. Notieren Sie die Gleichgewichtsstabilitätsbedingungen aus den Folien 6,7,8:

1. Körper befinden sich in einem stabilen Gleichgewichtszustand, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage eine Kraft oder ein Kraftmoment auftritt, die den Körper in die Gleichgewichtslage zurückführt.

2. Körper befinden sich in einem instabilen Gleichgewichtszustand, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage eine Kraft oder ein Kraftmoment auftritt, die den Körper aus der Gleichgewichtslage bringt.

3. Körper befinden sich in einem Zustand des indifferenten Gleichgewichts, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage weder eine Kraft noch ein Kraftmoment auftritt, das die Lage des Körpers verändert.

Sehen Sie sich nun Folie 9 an. Was können Sie über die Stabilitätsbedingungen in allen drei Fällen sagen?

Studenten: Im ersten Fall, wenn der Drehpunkt höher als der Schwerpunkt liegt, ist die Waage stabil.

Im zweiten Fall, wenn der Drehpunkt mit dem Schwerpunkt zusammenfällt, ist das Gleichgewicht indifferent.

Im dritten Fall, wenn der Schwerpunkt höher als der Drehpunkt liegt, ist das Gleichgewicht instabil.

Lehrer: Betrachten wir nun Körper, die einen Stützbereich haben. Als Stützfläche wird die Kontaktfläche des Körpers mit der Stütze verstanden. (Folie 10).

Betrachten wir, wie sich die Lage der Wirkungslinie der Schwerkraft in Bezug auf die Rotationsachse des Körpers ändert, wenn der Körper mit der Stützfläche geneigt wird. (Folie 11)

Beachten Sie, dass sich die Position des Schwerpunkts ändert, wenn sich der Körper dreht. Und jedes System neigt immer dazu, die Position des Schwerpunkts zu senken. So befinden sich geneigte Körper in einem stabilen Gleichgewichtszustand, während die Wirkungslinie der Schwerkraft durch den Stützbereich verläuft. Sehen Sie sich Folie 12 an.

Wenn die Durchbiegung eines Körpers mit Stützfläche den Schwerpunkt erhöht, ist das Gleichgewicht stabil. Im stabilen Gleichgewicht verläuft eine vertikale Linie, die durch den Schwerpunkt verläuft, immer durch den Stützbereich.

Zwei Körper, die das gleiche Gewicht und die gleiche Auflagefläche, aber unterschiedliche Höhen haben, haben unterschiedliche Grenzneigungswinkel. Wird dieser Winkel überschritten, kippen die Körper um. (Folie 13)

Bei einem niedrigeren Schwerpunkt muss mehr Arbeit aufgewendet werden, um die Karosserie zu kippen. Daher kann die Kipparbeit als Maß für seine Stabilität dienen (Folie 14).

Gekippte Strukturen befinden sich also in einer stabilen Gleichgewichtsposition, da die Wirkungslinie der Schwerkraft durch den Bereich ihrer Unterstützung verläuft. Zum Beispiel der Schiefe Turm von Pisa.

Das Schwanken oder Kippen des menschlichen Körpers beim Gehen erklärt sich auch aus dem Wunsch, eine stabile Position beizubehalten. Die Stützfläche wird durch die Fläche innerhalb der um die äußersten Kontaktpunkte mit dem Stützkörper gezogenen Linie bestimmt. wenn die Person steht. Die Wirkungslinie der Schwerkraft verläuft durch die Stütze. Wenn eine Person ihr Bein anhebt, um das Gleichgewicht zu halten, beugt sie sich vor und überträgt die Wirkungslinie der Schwerkraft in eine neue Position, sodass sie erneut durch den Stützbereich verläuft. (Folie 15)

Für die Stabilität verschiedener Strukturen wird die Stützfläche vergrößert oder der Schwerpunkt der Struktur abgesenkt, wodurch eine kraftvolle Stütze entsteht, oder die Stützfläche wird vergrößert und gleichzeitig wird der Schwerpunkt der Struktur abgesenkt .

Die Stabilität des Transports wird durch die gleichen Bedingungen bestimmt. Von den beiden Transportmitteln Auto und Bus ist also ein Auto stabiler auf einer geneigten Straße.

Bei gleicher Neigung dieser Verkehrsmittel in der Nähe des Busses verläuft die Schwerpunktlinie näher an der Kante der Auflagefläche.

Probleme lösen

Aufgabe: An den Ecken eines Rechtecks ​​mit den Seiten 0,4 m und 0,8 m befinden sich materielle Punkte mit den Massen m, 2 m, 3 m und 4 m. Finden Sie den Schwerpunkt des Systems dieser materiellen Punkte.

x s -? bei mit -?

Den Schwerpunkt eines Systems aus materiellen Punkten zu finden bedeutet, seine Koordinaten im XOY-Koordinatensystem zu finden. Richten wir den Ursprung der Koordinaten XOY an der Spitze des Rechtecks ​​aus, das den materiellen Massenpunkt enthält m, und richten Sie die Koordinatenachsen entlang der Seiten des Rechtecks. Die Koordinaten des Schwerpunkts des Systems der materiellen Punkte sind:

Hier ist die Koordinate auf der OX-Achse eines Punktes mit der Masse . Wie aus der Zeichnung hervorgeht, denn dieser Punkt befindet sich im Ursprung. Die Koordinate ist ebenfalls gleich Null, die Koordinaten von Punkten mit Massen auf der OX-Achse sind gleich und gleich der Seitenlänge des Rechtecks. Wenn wir die Werte der Koordinaten ersetzen, erhalten wir

Die Koordinate auf der OY-Achse eines Punktes mit Masse ist Null, =0. Die Koordinaten von Punkten mit Massen auf dieser Achse sind gleich und gleich der Seitenlänge des Rechtecks. Wenn wir diese Werte ersetzen, erhalten wir

Testfragen:

1. Bedingungen für das Gleichgewicht des Körpers?

1 Gleichgewichtszustand:

Ein starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die geometrische Summe der auf ihn einwirkenden äußeren Kräfte Null ist.

2 Gleichgewichtsbedingung: Ein Festkörper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die algebraische Summe der auf ihn einwirkenden Momente äußerer Kräfte um eine beliebige Achse gleich Null ist.

2. Nennen Sie die Arten von Waagen.

Körper befinden sich in einem stabilen Gleichgewichtszustand, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage eine Kraft oder ein Kraftmoment auftritt, die den Körper in die Gleichgewichtslage zurückführt.

Körper befinden sich in einem instabilen Gleichgewichtszustand, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage eine Kraft oder ein Kraftmoment auftritt, die den Körper aus der Gleichgewichtslage bringt.

Körper befinden sich in einem Zustand des indifferenten Gleichgewichts, wenn bei der geringsten Abweichung von der Gleichgewichtslage weder eine Kraft noch ein Kraftmoment auftritt, das die Lage des Körpers verändert.

Hausaufgaben:

Liste der verwendeten Literatur:

1. Physik. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / G. Ya. Myakishev, B. B. Bukhovtsev, N. N. Sotsky; ed. V. I. Nikolaev, N. A. Parfenteva. - 19. Aufl. - M.: Aufklärung, 2010. - 366 S.: Abb.
2. Maron A.E., Maron E.A. „Sammlung qualitativer Probleme der Physik 10 Zellen, M.: Enlightenment, 2006
3. LA Kirik, L. E. Gendenshtein, Yu. I. Dik. Methodische Materialien für den Lehrer Klasse 10, M.: Ileksa, 2005.-304s:, 2005
4. L. E. Gendenshtein, Yu. I. Dik. Physik Klasse 10.-M.: Mnemosyne, 2010

In Physik für die 9. Klasse (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
Aufgabe №6
zum Kapitel " LABORARBEITEN».

Der Zweck der Arbeit: Ermittlung des Verhältnisses zwischen den Momenten der Kräfte, die auf die Arme des Hebels wirken, wenn er sich im Gleichgewicht befindet. Dazu werden an einem Hebelarm ein oder mehrere Gewichte aufgehängt und am anderen ein Dynamometer befestigt (Abb. 179).

Dieses Dynamometer misst den Kraftmodul F, der aufgebracht werden muss, damit der Hebel im Gleichgewicht ist. Dann wird mit Hilfe des gleichen Dynamometers der Gewichtsmodul der Ware P gemessen. Die Hebelarmlängen werden mit einem Lineal gemessen. Danach werden die absoluten Werte der Momente M 1 und M 2 der Kräfte P und F bestimmt:

Der Rückschluss auf den Fehler der experimentellen Überprüfung der Momentenregel kann durch Vergleich mit Eins gezogen werden

Beziehung:

Messung:

1) Lineal; 2) Dynamometer.

Materialien: 1) Stativ mit Kupplung; 2) Hebel; 3) eine Reihe von Waren.

Arbeitsauftrag

1. Montieren Sie den Arm auf einem Stativ und balancieren Sie ihn mithilfe der Gleitmuttern an seinen Enden in einer horizontalen Position aus.

2. Hängen Sie irgendwann eine Last an einen der Arme des Hebels.

3. Befestigen Sie ein Dynamometer am anderen Arm des Hebels und bestimmen Sie die aufzuwendende Kraft.

leben Sie in Richtung des Hebels, damit er im Gleichgewicht ist.

4. Messen Sie mit einem Lineal die Länge der Hebelarme.

5. Bestimmen Sie mit einem Dynamometer das Gewicht der Last R.

6. Finden Sie die Absolutwerte der Momente der Kräfte P und F

7. Tragen Sie die gefundenen Werte in die Tabelle ein:

				M 1 \u003d Pl 1, Nm

8. Vergleichen Sie das Verhältnis

mit Eins und ziehen eine Schlussfolgerung über den Fehler der experimentellen Überprüfung der Momentenregel.

Der Hauptzweck der Arbeit besteht darin, die Beziehung zwischen den Momenten der Kräfte herzustellen, die auf einen Körper mit einer festen Rotationsachse in seinem Gleichgewicht wirken. In unserem Fall verwenden wir einen Hebel als einen solchen Körper. Damit sich ein solcher Körper im Gleichgewicht befindet, ist es nach der Momentenregel erforderlich, dass die algebraische Summe der Kräftemomente um die Rotationsachse gleich Null ist.

Stellen Sie sich einen solchen Körper vor (in unserem Fall einen Hebel). Auf ihn wirken zwei Kräfte: das Gewicht der Lasten P und die Kraft F (die Elastizität der Feder des Dynamometers), damit der Hebel im Gleichgewicht ist und die Momente dieser Kräfte absolut gleich sein müssen. Die absoluten Werte der Momente der Kräfte F und P werden jeweils bestimmt:

Rückschlüsse auf den Fehler der experimentellen Überprüfung der Momentenregel lassen sich durch Vergleich des Verhältnisses mit Eins ziehen:

Messinstrumente: Lineal (Δl = ±0,0005 m), Dynamometer (ΔF = ±0,05 H). Die Masse der Gewichtstücke aus dem Satz Mechanik wird mit (0,1 ± 0,002) kg angenommen.

Abschluss der Arbeiten

Definition

Das Gleichgewicht des Körpers wird als solcher Zustand bezeichnet, wenn jede Beschleunigung des Körpers gleich Null ist, dh alle Einwirkungen von Kräften und Momenten auf den Körper sind ausgeglichen. In diesem Fall kann der Körper:

• in einem Zustand der Ruhe sein;
• bewegen Sie sich gleichmäßig und in einer geraden Linie;
• gleichmäßig um eine Achse drehen, die durch ihren Schwerpunkt geht.

Gleichgewichtsbedingungen des Körpers

Befindet sich der Körper im Gleichgewicht, sind zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt.

1. Die Vektorsumme aller auf den Körper wirkenden Kräfte ist gleich dem Nullvektor : $\sum_n((\overrightarrow(F))_n)=\overrightarrow(0)$
2. Die algebraische Summe aller auf den Körper wirkenden Kraftmomente ist gleich Null: $\sum_n(M_n)=0$

Die beiden Gleichgewichtsbedingungen sind notwendig, aber nicht hinreichend. Nehmen wir ein Beispiel. Stellen Sie sich ein Rad vor, das gleichmäßig rollt, ohne auf einer horizontalen Oberfläche zu rutschen. Beide Gleichgewichtsbedingungen sind erfüllt, aber der Körper bewegt sich.

Betrachten Sie den Fall, wenn sich der Körper nicht dreht. Damit sich der Körper nicht dreht und im Gleichgewicht ist, muss die Summe der Projektionen aller Kräfte auf eine beliebige Achse gleich Null sein, dh die Resultierende der Kräfte. Dann ist der Körper entweder in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig und geradlinig.

Ein Körper mit Rotationsachse befindet sich im Gleichgewicht, wenn die Kraftmomentenregel befolgt wird: Die Summe der Kräftemomente, die den Körper im Uhrzeigersinn drehen, muss gleich der Summe der Kräftemomente sein, die ihn gegen den Uhrzeigersinn drehen.

Um den richtigen Moment mit dem geringsten Aufwand zu erreichen, müssen Sie die Kraft so weit wie möglich von der Rotationsachse entfernt aufbringen, indem Sie denselben Kraftarm erhöhen und den Wert der Kraft entsprechend verringern. Beispiele für Körper, die eine Rotationsachse haben, sind: ein Hebel, Türen, Blöcke, eine Strebe und dergleichen.

Drei Arten von Gleichgewichtskörpern, die einen Drehpunkt haben

1. stabiles Gleichgewicht, wenn der Körper, nachdem er aus der Gleichgewichtsposition in die benachbarte nächste Position gebracht und in Ruhe gelassen wurde, in diese Position zurückkehrt;
2. instabiles Gleichgewicht, wenn der Körper, wenn er aus der Gleichgewichtsposition in eine benachbarte Position gebracht und in Ruhe gelassen wird, noch mehr von dieser Position abweicht;
3. indifferentes Gleichgewicht - wenn der Körper, in eine benachbarte Position gebracht und in Ruhe gelassen, in seiner neuen Position verbleibt.

Gleichgewicht eines Körpers mit fester Rotationsachse

1. stabil, wenn der Schwerpunkt C in der Gleichgewichtsposition die niedrigste Position aller möglichen nahen Positionen einnimmt und seine potentielle Energie den kleinsten Wert aller möglichen Werte in benachbarten Positionen hat;
2. instabil, wenn der Schwerpunkt C die höchste aller benachbarten Positionen einnimmt und die potentielle Energie den größten Wert hat;
3. gleichgültig, wenn der Schwerpunkt des Körpers C in allen nahegelegenen möglichen Positionen auf der gleichen Ebene liegt und sich die potentielle Energie während des Übergangs des Körpers nicht ändert.

Aufgabe 1

Ein Körper A mit der Masse m = 8 kg wird auf eine raue horizontale Tischfläche gestellt. Ein Faden wird an den Körper gebunden und über Block B geworfen (Abbildung 1, a). Welches Gewicht F kann an das Ende des am Block hängenden Fadens gebunden werden, um das Gleichgewicht des Körpers A nicht zu stören? Reibungszahl f = 0,4; ignoriere die Reibung am Block.

Lassen Sie uns das Körpergewicht ~A definieren: ~G = mg = 8$\cdot $9,81 = 78,5 N.

Wir nehmen an, dass alle Kräfte auf den Körper A wirken. Wenn der Körper auf eine horizontale Fläche gestellt wird, wirken nur zwei Kräfte auf ihn: das Gewicht G und die entgegengesetzt gerichtete Reaktion des Trägers RA (Abb. 1, b).

Wenn wir eine Kraft F anwenden, die entlang einer horizontalen Oberfläche wirkt, beginnt die Reaktion RA, die die Kräfte G und F ausgleicht, von der Vertikalen abzuweichen, aber der Körper A wird im Gleichgewicht sein, bis der Modul der Kraft F die überschreitet Maximalwert der Reibungskraft Rf max , entsprechend dem Grenzwert des Winkels $(\mathbf \varphi )$o (Abb. 1, c).

Nachdem wir die Reaktion RA in zwei Komponenten Rf max und Rn zerlegt haben, erhalten wir ein System von vier Kräften, die auf einen Punkt wirken (Abb. 1, d). Projiziert man dieses Kräftesystem auf die x- und y-Achsen, erhält man zwei Gleichgewichtsgleichungen:

$(\mathbf \Sigma )Fkx = 0, F - Rf max = 0$;

$(\mathbf \Sigma )Fky = 0, Rn - G = 0$.

Wir lösen das resultierende Gleichungssystem: F = Rf max, aber Rf max = f$\cdot $ Rn, und Rn = G, also F = f$\cdot $ G = 0,4$\cdot $ 78,5 = 31,4 H; m \u003d F / g \u003d 31,4 / 9,81 \u003d 3,2 kg.

Antwort: Ladungsmasse m = 3,2 kg

Aufgabe 2

Das in Abb. 2 dargestellte Körpersystem befindet sich in einem Gleichgewichtszustand. Gewicht der Ladung tg=6 kg. Winkel zwischen Vektoren $\widehat((\overrightarrow(F))_1(\overrightarrow(F))_2)=60()^\circ $. $\left|(\overrightarrow(F))_1\right|=\left|(\overrightarrow(F))_2\right|=F$. Finden Sie die Masse der Gewichte.

Die resultierende Kraft $(\overrightarrow(F))_1und\(\overrightarrow(F))_2$ ist betragsmäßig gleich dem Gewicht der Last und ihr entgegengesetzt gerichtet: $\overrightarrow(R)=(\overrightarrow (F))_1+(\overrightarrow (F))_2=\ -m\overrightarrow(g)$. Nach dem Kosinusgesetz ist $(\left|\overrightarrow(R)\right|)^2=(\left|(\overrightarrow(F))_1\right|)^2+(\left|(\overrightarrow( F) )_2\right|)^2+2\left|(\overrightarrow(F))_1\right|\left|(\overrightarrow(F))_2\right|(cos \widehat((\overrightarrow(F )) _1(\overrightarrow(F))_2)\ )$.

Daher $(\left(mg\right))^2=$; $F=\frac(mg)(\sqrt(2\left(1+(cos 60()^\circ \ )\right)))$;

Da die Blöcke beweglich sind, ist $m_g=\frac(2F)(g)=\frac(2m)(\sqrt(2\left(1+\frac(1)(2)\right)))=\frac( 2 \cdot 6)(\sqrt(3))=6,93\ kg\ $

Antwort: Die Masse jedes Gewichts beträgt 6,93 kg.

Lassen Sie uns herausfinden, unter welchen Bedingungen ein bezüglich eines Trägheitsbezugssystems ruhender Körper in Ruhe bleibt.

Befindet sich der Körper in Ruhe, dann ist seine Beschleunigung Null. Dann sollte nach dem zweiten Newtonschen Gesetz auch die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte gleich Null sein. Daher kann die erste Gleichgewichtsbedingung wie folgt formuliert werden:

Befindet sich der Körper in Ruhe, dann ist die Vektorsumme (resultierende) der auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null:

Beachten Sie, dass die Bedingung (1) allein nicht ausreicht, damit der Körper ruht. Wenn der Körper beispielsweise eine Anfangsgeschwindigkeit hatte, bewegt er sich mit derselben Geschwindigkeit weiter. Wie wir später sehen werden, kann ein ruhender Körper, selbst wenn die Vektorsumme der Kräfte, die auf einen ruhenden Körper einwirken, null ist, sich zu drehen beginnen.

In Fällen, in denen der im Anfangsmoment ruhende Körper als materieller Punkt betrachtet werden kann, reicht die erste Gleichgewichtsbedingung aus, damit der Körper in Ruhe bleibt. Betrachten Sie Beispiele.

Lassen Sie eine Last der Masse m an drei Seilen aufhängen und ruhen (Abb. 35.1). Knoten A, der die Kabel verbindet, kann als materieller Punkt angesehen werden, der sich im Gleichgewicht befindet.

Daher ist die Vektorsumme der am Knoten A angreifenden Fadenzugkräfte Null (Abb. 35.2):

Lassen Sie uns zwei Möglichkeiten zeigen, diese Gleichung bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

Wir verwenden Vektorprojektionen. Wir wählen die Koordinatenachsen und bezeichnen die Winkel zwischen den Kabeln 1, 2 und der Vertikalen, wie in Abbildung 35.2 gezeigt.

1. Erklären Sie, warum die folgenden Gleichungen in diesem Fall gelten:

Ox: -T 1 Sünde α 1 + T 2 Sünde α 2 \u003d 0,
Oy: T 1 cos α 1 + T 2 cos α 2 - T 3 = 0,
T3 = mg.

Verwenden Sie dieses Gleichungssystem für die folgenden Aufgaben.

2. Wie groß ist die Spannkraft jedes Kabels, wenn m = 10 kg, α 1 = α 2 = 30º?

3. Es ist bekannt, dass T 1 = 15 N, α 1 = 30º, α 2 = 45º. Was sind gleich: a) der Spannkraft des zweiten Seils T 2 ? 5) Ladungsmasse m?

4. Sei α 1 = α 2 . Wie groß sind diese Winkel, wenn die Spannkraft jedes Kabels: a) gleich dem Gewicht der Last ist? b) 10-faches Gewicht der Ladung?

Die auf die Aufhängungen wirkenden Kräfte können also das Gewicht der Ladung um ein Vielfaches übersteigen!

Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass sich drei Vektoren, deren Summe gleich Null ist, zu einem Dreieck „zusammenschließen“ (Abb. 35.3). Betrachten Sie ein Beispiel.

5. Eine Laterne der Masse m hängt an drei Seilen (Abb. 35.4). Bezeichnen wir die Module der Zugkräfte der Seile mit T 1 , T 2 , T 3 . Winkel α ≠ 0.
a) Zeichnen Sie die am Knoten A wirkenden Kräfte und erklären Sie, warum T 3 > mg und T 3 > T 2 .
b) Drücken Sie T 3 durch m, g und T 2 aus.
Hinweis. Die Kraftvektoren 1, 2 und 3 bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

2. Die zweite Bedingung für das Gleichgewicht des Körpers (die Momentenregel)

Lassen wir uns durch Erfahrung davon überzeugen, dass der erste Gleichgewichtszustand allein nicht ausreicht, damit der Körper in Ruhe bleibt.

Lassen Sie uns Erfahrung setzen
Wir befestigen zwei Fäden an einem Stück Pappe und ziehen sie mit gleicher Kraft in entgegengesetzte Richtungen (Abb. 35.5). Die Vektorsumme der auf den Karton ausgeübten Kräfte ist Null, aber er bleibt nicht in Ruhe, sondern beginnt sich zu drehen.

Die Bedingung für das Gleichgewicht eines auf einer Achse fixierten Körpers

Die zweite Gleichgewichtsbedingung für einen Körper ist eine Verallgemeinerung der Gleichgewichtsbedingung für einen auf einer Achse fixierten Körper. Es ist Ihnen aus dem Physik-Grundkurs der Schule bekannt. (Diese Bedingung ist eine Folge des Energieerhaltungssatzes in der Mechanik.) Erinnern Sie sich.

An einem auf der O-Achse fixierten Körper wirken die Kräfte 1 und 2 (Abb. 35.6). Ein Körper kann nur dann im Gleichgewicht sein, wenn

F 1 Liter 1 \u003d F 2 Liter 2 (2)

Hier sind l 1 und l 2 die Schultern der Kräfte, dann die Abstände von der Rotationsachse O zur Wirkungslinie der Kräfte 1 und 2.

Um die Schulter der Kraft zu finden, benötigen Sie die Wirkungslinie der Kraft und senken die Senkrechte von der Rotationsachse auf diese Linie. Seine Länge ist die Schulter der Stärke.

6. Übertragen Sie Abbildung 35.7 auf Ihr Notebook. Eine Zelle entspricht 1 m. Was sind die Armeen der Streitkräfte 1, 2, 3, 4?

Die rotierende Wirkung einer Kraft ist durch ein Kraftmoment gekennzeichnet. Der Modul des Kraftmoments ist gleich dem Produkt aus dem Kraftmodul und seinem Arm. Das Kraftmoment wird als positiv angesehen, wenn die Kraft dazu neigt, den Körper gegen den Uhrzeigersinn zu drehen, und als negativ, wenn es im Uhrzeigersinn ist. (Das Vorzeichen des Kraftmoments, das den Körper in eine Richtung dreht, fällt also mit dem Vorzeichen des Drehwinkels in die gleiche Richtung auf dem Einheitskreis zusammen, den Sie aus dem Schulmathematikkurs kennen.)

Beispielsweise sind die Momente der in Bild 35.8 gezeigten Kräfte bezogen auf den Punkt O wie folgt:

M 1 \u003d F 1 l 1; M 2 \u003d -F 2 l 2.

Das Kraftmoment wird in Newton * Meter (N * m) gemessen.

7. Wie groß sind die Momente der in Bild 35.7 gezeigten Kräfte um den Punkt O? Eine Zelle entspricht einem Abstand von 1 m sowie einer Kraft von 1 N.

Schreiben wir die Beziehung (2) mit den Momenten der Kräfte um:
M1 + M2 = 0. (3)
Diese Beziehung wird Momentenregel genannt.

Wirken mehrere Kräfte auf einen ruhenden, auf einer Achse fixierten Körper, so bleibt dieser nur unter der Bedingung in Ruhe, dass die algebraische Summe der Momente aller dieser Kräfte gleich Null ist:

M1 + M2 + ... + Mn = 0.

Beachten Sie, dass dieser Zustand allein nicht ausreicht, damit sich der Körper ausruhen kann. Wenn die algebraische Summe der Momente der auf den Körper ausgeübten Kräfte gleich Null ist, der Körper sich aber im Anfangsmoment dreht, dreht er sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit weiter.

Um dies zu überprüfen, drehen Sie das Fahrradrad eines erhöhten Fahrrads oder Oberteils. Danach drehen sie sich ziemlich lange: Nur eine kleine Reibungskraft bremst sie ab. Ja, und unsere Erde dreht sich seit Milliarden von Jahren um ihre Achse, obwohl keine Kräfte die Erde um die Achse drehen!

Die Gleichgewichtsbedingung für einen Körper, der nicht auf einer Achse fixiert ist

Betrachten wir nun die Kraft, die von der Seite der Achse auf den auf der Achse fixierten Körper wirkt. Der oben betrachtete Körper (Abb. 35.6) befindet sich also tatsächlich im Gleichgewicht unter der Wirkung von drei Kräften: 1, 2 und 3 (Abb. 35.9, a).

Und nun stellen wir fest, dass sich ein ruhender Körper um keine Achse dreht.

Daher kann die zweite Gleichgewichtsbedingung für einen nicht auf einer Achse fixierten Körper wie folgt formuliert werden:

Damit der Körper in Ruhe bleibt, muss die algebraische Summe der Momente aller auf den Körper um eine beliebige Achse wirkenden Kräfte gleich Null sein:

M 1 + M 2 + … + M n = 0. (4)

(Wir gehen davon aus, dass alle auf den Körper wirkenden Kräfte in der gleichen Ebene liegen.)

Beispielsweise kann ein Stück Pappe, das unter der Wirkung der Kräfte 1, 2 und 3 (Abb. 35.9, b) aufliegt, mit einer Nadel an einem beliebigen Punkt O 1 fixiert werden. Der Körper "bemerkt" die neue Rotationsachse O 1 nicht: er bleibt in Ruhe wie er war.

Bei der Lösung von Problemen wird die Achse, relativ zu der die Momente der Kräfte gefunden werden, oft durch den Angriffspunkt der Kraft oder Kräfte gezogen, die nicht in der Bedingung angegeben sind: Dann sind ihre Momente relativ zu dieser Achse gleich Null. Beispielsweise ist es bei der folgenden Aufgabe zweckmäßig, das untere Ende der Stange als eine solche Achse zu nehmen.

Beachten Sie, dass eine Sekunde Gleichgewichtszustand auch nicht ausreicht, damit der Körper in Ruhe bleibt.

Ein im Anfangsmoment ruhender Körper bleibt nur dann in Ruhe, wenn sowohl die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte als auch die algebraische Summe der Momente dieser Kräfte um eine beliebige Achse gleich Null sind. (Genau genommen setzt dies auch voraus, dass das Gleichgewicht stabil ist (siehe § 36).)

8. Das obere Ende eines ruhenden Lichtstabes der Länge L wird von einem horizontalen Seil gehalten (Abb. 35.10). Das untere Ende der Stange ist klappbar (die Stange kann sich um das untere Ende drehen). Der Winkel zwischen dem Stab und der Vertikalen ist α. An der Mitte des Stabes hängt eine Last der Masse m. Reibung im Scharnier kann vernachlässigt werden. Tragen Sie in die Zeichnung das Gewicht der Last m und die Zugkraft des Seils ein, die auf die Stange wirken. Was ist gleich:
a) die Schulter und das Schwerkraftmoment relativ zum Punkt O?
b) Arm und Kraftmoment bezogen auf Punkt O?
c) Kraftmodul?

Wie kann man den Kraftangriffspunkt verschieben?

Verschieben wir den Angriffspunkt der Kräfte von A nach B entlang der Wirkungslinie der Kraft (Abb. 35.11).

Dabei:
- die Vektorsumme der auf den Körper wirkenden Kräfte ändert sich nicht;
- Das Moment dieser Kraft relativ zu einer beliebigen Achse ändert sich nicht, da sich die Schulter l dieser Kraft nicht geändert hat.

So kann der Kraftangriffspunkt entlang der Wirkungslinie verlagert werden, ohne das Gleichgewicht des Körpers zu stören.

9. Erklären Sie, warum ein Körper unter der Wirkung von drei nicht parallelen Kräften nur dann in Ruhe sein kann, wenn sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden (Abb. 35.12).

Bitte beachten Sie: Der Schnittpunkt der Wirkungslinien dieser Kräfte kann (und ist oft!) Außerhalb des Körpers liegen.

10. Kehren wir zu Aufgabe 8 zurück (Abb. 35.10).
a) Finden Sie den Schnittpunkt der Wirkungslinien des Gewichts der Last und der Spannung des Seils.
b) Ermitteln Sie grafisch die Richtung der Kraft, die von der Seite des Gelenks auf die Stange wirkt.
c) Wo muss der Befestigungspunkt des horizontal gerichteten Seils verlegt werden, damit die von der Scharnierseite auf die Stange wirkende Kraft entlang der Stange geleitet wird?

3. Schwerpunkt

Der Schwerpunkt ist der Punkt, an dem die Schwerkraft angreift. Wir bezeichnen den Schwerpunkt mit dem Buchstaben C. Der Schwerpunkt eines homogenen Körpers mit regelmäßiger geometrischer Form fällt mit seinem geometrischen Mittelpunkt zusammen.

Zum Beispiel der Schwerpunkt eines homogenen:

• die Scheibe fällt mit der Mitte der Scheibe zusammen (Abb. 35.13, a);
• ein Rechteck (insbesondere ein Quadrat) fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen (Abb. 35.13, b);
• ein rechteckiges Parallelepiped (insbesondere ein Würfel) fällt mit dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen, die gegenüberliegende Eckpunkte verbinden;
• dünner Stab fällt mit seiner Mitte zusammen (Abb. 35.13, c).

Für Körper beliebiger Form wird die Lage des Schwerpunkts empirisch gefunden:

Befindet sich ein an einem Punkt aufgehängter Körper im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt auf derselben Senkrechten wie der Aufhängepunkt(Abb. 35.13, d).

Wenn sich der Schwerpunkt und der Aufhängungspunkt nicht auf derselben Vertikalen befinden, ist die algebraische Summe der Schwerkraftmomente und der von der Seite der Aufhängung wirkenden Kraft nicht gleich Null (z. B. relativ zu der Schwerpunkt).

Die algebraische Summe der Momente der auf alle Körperteile wirkenden Gewichtskräfte, bezogen auf den Schwerpunkt des Körpers, ist gleich Null. (Sonst wäre es nicht möglich, es an einer Stelle aufzuhängen.)

Dies wird bei der Berechnung der Position des Schwerpunkts verwendet.

11. An den Enden eines Lichtstabes der Länge l sind Kugeln der Masse m1 und m2 befestigt. In welcher Entfernung von der ersten Kugel liegt der Schwerpunkt dieses Systems?

12. Ein horizontal angeordneter homogener Balken mit einer Länge von 1 m und einer Masse von 100 kg hängt an zwei vertikalen Kabeln. Das blaue Kabel wird in einem Abstand von 20 cm vom linken Ende des Balkens befestigt, das grüne in einem Abstand von 30 cm von seinem rechten Ende. Zeichnen Sie in die Zeichnung die auf den Balken und seine Schultern wirkenden Kräfte relativ zum Schwerpunkt des Balkens ein. Was ist gleich:
a) Kräfteschultern? b) Zugkräfte von Kabeln?

Zusätzliche Fragen und Aufgaben

13. Auf gleicher Höhe in einem Abstand von 1 m voneinander werden die Enden eines nicht dehnbaren Kabels mit einer Länge von 2 m befestigt.Was ist die maximale Masse der Last, die an der Mitte des Kabels aufgehängt werden kann, damit das Kabel Spannung 100 N nicht übersteigt?

14. Die Laterne ist an zwei Seilen aufgehängt. Die Zugkräfte der Kabel betragen 10 N und 20 N, und der Winkel zwischen den Kabeln beträgt 120º. Wie groß ist die Masse m der Laterne?
Hinweis. Wenn die Summe dreier Vektoren Null ist, dann bilden sie ein Dreieck.

15. Die Kräfte 1 und 2 werden auf ein auf der O-Achse befestigtes Stück Pappe an den Punkten A 1 und A 2 aufgebracht (Abb. 35.14). Es ist bekannt, dass OA 1 = 15 cm, OA 2 = 20 cm, F 1 = 20 N, F 2 = 30 N, α = 60º, β = 30º.

a) Was sind die Waffen der Streitkräfte 1 und 2?
b) Wie groß sind die Momente dieser Kräfte (unter Berücksichtigung des Vorzeichens)?
c) Kann der Karton ruhig bleiben? Und wenn nicht, in welche Richtung beginnt es sich zu drehen?

16. Zwei Personen tragen ein zylindrisches Rohr mit einer Masse von 30 kg und einer Länge von 4 m. Die erste Person hält das Rohr in einem Abstand von 1,2 m vom Ende. In welchem ​​Abstand vom anderen Ende hält die zweite Person, Augenlid, das Rohr, wenn die Last auf seiner Schulter 100 N beträgt?

17. Ein 1 m langer Lichtstab wird auf einer horizontalen Achse befestigt. Wenn am linken Ende der Stange ein Gewicht und am rechten Ende ein Gewicht von 1 kg aufgehängt wird, befindet sich die Stange im Gleichgewicht. Und wenn dieselbe Last am rechten Ende der Stange aufgehängt wird, befindet sich die Stange im Gleichgewicht, wenn an ihrem linken Ende ein Gewicht mit einer Masse von 16 kg aufgehängt wird.
a) Wie schwer ist die Ladung?
b) Wie weit ist die Achse vom Stabmittelpunkt entfernt?