Abschnitte: Mathematik

Ziel: Lernen Sie Operationen zur Multiplikation und Division von algebraischen Brüchen durchzuführen.

Unterrichtsform: Lektion lernen neues Material.

Lehrmethode: problematisch, mit einer eigenständigen Suche nach einer Lösung.

Ausrüstung: Computer, Beamer, Handout für den Unterricht, Tisch.

Während des Unterrichts

Der Unterricht wird mit einer Computerpräsentation durchgeführt. (Anhang 1)

Ich. Unterrichtsorganisation.

1. Vorbereitung des technischen Teils.

2. Karten für die Arbeit zu zweit und selbstständiges Arbeiten.

Ich. Grundkenntnisse aktualisieren, um sich auf das Studium eines neuen Themas vorzubereiten.

Oral:

(Die Antworten werden mithilfe eines Computers angezeigt.)

1. Multiplizieren:

2. Bruchteil kürzen:

3. Brüche multiplizieren:

Wie heißen diese Nummern? (Reziproke Zahlen)

Finden Sie den Kehrwert einer Zahl

Welche zwei Zahlen heißen Kehrwerte? (Zwei Zahlen heißen Kehrwerte, wenn ihr Produkt 1 ist.)

Finden Sie den Kehrwert:

Brüche dividieren:

Wir sprechen die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von gewöhnlichen Brüchen aus. Ein Poster mit den Regeln hängt an der Tafel.

ΙΙΙ. Neues Thema

Unter Bezugnahme auf das Plakat sagt die Lehrerin: a, b, c, d- in diesem Fall Zahlen. Und wenn das algebraische Ausdrücke sind, wie nennt man solche Brüche? (Algebraische Brüche)

Die Regeln für ihre Multiplikation und Division bleiben gleich.

Aktionen ausführen:

Das erste und zweite Beispiel alleine, gefolgt von den Schülern, die die Lösung an die Tafel schreiben. Der Lehrer zeigt die Lösung des dritten Beispiels an der Tafel.

ΙV. Verankerung

1) Arbeit am Aufgabenbuch: Nr. 5.2 (b, c), Nr. 5.11 (a, b). Seite 32

2) Arbeiten Sie zu zweit an Karten:

(Entscheidungen und Antworten werden durch den Projektor reflektiert.)

V. Zusammenfassung der Lektion

Selbstständige Arbeit.

Multiplikation oder Division durchführen:

Ι Option		ΙΙ Variante

Die Schüler geben ihre Arbeitshefte ab.

VI. Hausaufgaben

Nr. 5.8; Nr. 5.10; Nr. 5.13(a, b).

Beispiel.

Finden Sie das Produkt von algebraischen Brüchen und.

Entscheidung.

Bevor wir die Multiplikation von Brüchen durchführen, zerlegen wir das Polynom in den Zähler des ersten Bruchs und den Nenner des zweiten. Dabei helfen uns die entsprechenden abgekürzten Multiplikationsformeln: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 und x 2 −1=(x−1) (x+1) . Auf diese Weise, .

Offensichtlich kann der resultierende Bruchteil reduziert werden (Wir haben diesen Vorgang im Artikel über die Kürzung algebraischer Brüche besprochen).

Es bleibt nur, das Ergebnis in Form eines algebraischen Bruchs zu schreiben, für den Sie das Monom mit dem Polynom im Nenner multiplizieren müssen: .

Normalerweise wird die Lösung ohne Erklärung als Folge von Gleichungen geschrieben:

Antworten:

.

Manchmal sollten bei algebraischen Brüchen, die multipliziert oder dividiert werden müssen, einige Transformationen durchgeführt werden, um die Implementierung dieser Operationen einfacher und schneller zu machen.

Beispiel.

Teile einen algebraischen Bruch durch einen Bruch.

Entscheidung.

Vereinfachen wir die Form eines algebraischen Bruchs, indem wir den Bruchkoeffizienten loswerden. Dazu multiplizieren wir seinen Zähler und Nenner mit 7, was es uns ermöglicht, die Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs zu machen, den wir haben .

Jetzt ist klar geworden, dass der Nenner des resultierenden Bruchs und der Nenner des Bruchs, durch den wir dividieren müssen, entgegengesetzte Ausdrücke sind. Ändern Sie die Vorzeichen des Zählers und Nenners des Bruchs , den wir haben .

In diesem Artikel setzen wir unser Studium der grundlegenden Operationen fort, die mit algebraischen Brüchen durchgeführt werden können. Hier betrachten wir Multiplikation und Division: Zuerst leiten wir die notwendigen Regeln her und veranschaulichen sie dann mit Problemlösungen.

Wie man algebraische Brüche richtig dividiert und multipliziert

Um algebraische Brüche zu multiplizieren oder einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen wir die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Brüche anwenden. Werfen wir einen Blick auf ihren Wortlaut.

Wenn wir einen gewöhnlichen Bruch mit einem anderen multiplizieren müssen, führen wir die Multiplikation von Zählern und Nennern getrennt durch, danach schreiben wir den letzten Bruch auf und setzen die entsprechenden Produkte an ihre Stellen. Ein Beispiel für eine solche Berechnung:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

Und wenn wir gewöhnliche Brüche dividieren müssen, tun wir dies, indem wir mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren, zum Beispiel:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

Die Multiplikation und Division algebraischer Brüche folgt denselben Prinzipien. Formulieren wir die Regel:

Bestimmung 1

Um zwei oder mehr algebraische Brüche zu multiplizieren, musst du Zähler und Nenner separat multiplizieren. Das Ergebnis ist ein Bruch, dessen Zähler das Produkt der Zähler und der Nenner das Produkt der Nenner ist.

In wörtlicher Form kann die Regel geschrieben werden als a b · c d = a · c b · d. Hier a , b , c und d werden bestimmte Polynome, und b und d kann nicht Null sein.

Bestimmung 2

Um einen algebraischen Bruch durch einen anderen zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren.

Diese Regel kann auch als a b geschrieben werden: c d = a b d c = a d b c . Buchstaben a , b , c und d hier bezeichnen Polynome, von denen a , b , c und d kann nicht Null sein.

Lassen Sie uns separat darauf eingehen, was ein inverser algebraischer Bruch ist. Es ist ein Bruch, der, wenn er mit dem Original multipliziert wird, als Ergebnis eine Einheit ergibt. Das heißt, solche Brüche sind gegenseitig reziproken Zahlen ähnlich. Andernfalls können wir sagen, dass der inverse algebraische Bruch aus denselben Werten besteht wie der ursprüngliche, aber Zähler und Nenner sind vertauscht. In Bezug auf den Bruch a b + 1 a 3 ist der Bruch a 3 a b + 1 also umgekehrt.

Lösen von Problemen zur Multiplikation und Division von algebraischen Brüchen

In diesem Abschnitt werden wir sehen, wie die oben genannten Regeln in der Praxis richtig angewendet werden. Beginnen wir mit einem einfachen und anschaulichen Beispiel.

Beispiel 1

Zustand: Multipliziere den Bruch 1 x + y mit 3 x y x 2 + 5 und dividiere dann einen Bruch durch einen anderen.

Entscheidung

Machen wir zuerst die Multiplikation. Gemäß der Regel müssen Sie die Zähler und Nenner separat multiplizieren:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Wir haben ein neues Polynom erhalten, das auf die Standardform gebracht werden muss. Wir beenden die Berechnungen:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Sehen wir uns nun an, wie man einen Bruch richtig durch einen anderen dividiert. Gemäß der Regel müssen wir diese Aktion ersetzen, indem wir mit dem Kehrwert x 2 + 5 3 x y multiplizieren:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Wir bringen den resultierenden Bruch in die Standardform:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Antworten: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2 .

Sehr oft werden beim Teilen und Multiplizieren gewöhnlicher Brüche Ergebnisse erhalten, die reduziert werden können, z. B. 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. Wenn wir diese Operationen an algebraischen Brüchen durchführen, können wir auch reduzierbare Ergebnisse erhalten. Dazu ist es sinnvoll, zunächst Zähler und Nenner des ursprünglichen Polynoms in getrennte Faktoren zu zerlegen. Lesen Sie bei Bedarf den Artikel erneut, wie Sie es richtig machen. Schauen wir uns ein Beispiel für ein Problem an, bei dem es notwendig ist, die Kürzung von Brüchen durchzuführen.

Beispiel 2

Zustand: Multipliziere die Brüche x 2 + 2 x + 1 18 x 3 und 6 x x 2 - 1.

Entscheidung

Bevor wir das Produkt berechnen, zerlegen wir den Zähler des ersten Anfangsbruchs und den Nenner des zweiten in separate Faktoren. Dazu benötigen wir Formeln zur abgekürzten Multiplikation. Wir berechnen:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1

Wir haben einen Bruch, der gekürzt werden kann:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Wie das geht, haben wir in einem Artikel über die Kürzung algebraischer Brüche beschrieben.

Wenn wir das Monom und das Polynom im Nenner multiplizieren, erhalten wir das gewünschte Ergebnis:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Hier ist eine Abschrift der gesamten Lösung ohne Erklärung:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Antworten: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .

In einigen Fällen ist es praktisch, die ursprünglichen Brüche vor dem Multiplizieren oder Dividieren umzuwandeln, damit weitere Berechnungen schneller und einfacher werden.

Beispiel 3

Zustand: dividiere 2 1 7 x - 1 durch 12 x 7 - x .

Lösung: Beginnen wir damit, den algebraischen Bruch 2 1 7 · x - 1 zu vereinfachen, um den Bruchkoeffizienten loszuwerden. Dazu multiplizieren wir beide Teile des Bruchs mit sieben (diese Aktion ist aufgrund der Haupteigenschaft des algebraischen Bruchs möglich). Als Ergebnis erhalten wir Folgendes:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Wir sehen, dass der Nenner des Bruchs 12 x 7 - x, durch den wir den ersten Bruch dividieren müssen, und der Nenner des resultierenden Bruchs einander entgegengesetzte Ausdrücke sind. Durch Ändern der Vorzeichen von Zähler und Nenner 12 x 7 - x erhalten wir 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7.

Nach all den Umformungen können wir endlich direkt zur Division algebraischer Brüche übergehen:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Antworten: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Wie man einen algebraischen Bruch mit einem Polynom multipliziert oder dividiert

Um eine solche Aktion auszuführen, können wir die gleichen Regeln verwenden, die wir oben angegeben haben. Zuerst müssen Sie das Polynom als algebraischen Bruch mit einer Einheit im Nenner darstellen. Diese Aktion ähnelt der Umwandlung einer natürlichen Zahl in einen gewöhnlichen Bruch. Beispielsweise kann man das Polynom ersetzen x 2 + x − 4 auf der x 2 + x − 4 1. Die resultierenden Ausdrücke sind identisch gleich.

Beispiel 4

Zustand: dividiere den algebraischen Bruch durch das Polynom x + 4 5 x x y: x 2 - 16 .

Entscheidung

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Antworten: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y .

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Videolektion „Multiplikation und Division von algebraischen Brüchen. Potenzieren eines algebraischen Bruchs “ist ein Hilfsmittel für den Unterricht in Mathematik zu diesem Thema. Mit Hilfe einer Videolektion ist es für einen Lehrer einfacher, die Fähigkeit der Schüler zur Durchführung von Multiplikationen und Divisionen von algebraischen Brüchen zu trainieren. Die Anschauungshilfe enthält eine ausführliche, verständliche Beschreibung von Beispielen, in denen die Operationen Multiplikation und Division durchgeführt werden. Das Material kann während der Erklärung des Lehrers demonstriert werden oder ein separater Teil des Unterrichts werden.

Um die Fähigkeit zu bilden, Aufgaben zum Multiplizieren und Dividieren von algebraischen Brüchen zu lösen, werden wichtige Kommentare während der Beschreibung der Lösung gegeben, Punkte, die auswendig gelernt und vertieft werden müssen, werden durch Farbe, Fettdruck und Zeiger hervorgehoben. Mit Hilfe einer Videolektion kann der Lehrer die Effektivität des Unterrichts steigern. Diese visuelle Hilfe hilft Ihnen, Ihre Lernziele schnell und effektiv zu erreichen.

Das Video-Tutorial beginnt mit einer Einführung in das Thema. Danach wird angegeben, dass die Operationen der Multiplikation und Division mit algebraischen Brüchen ähnlich wie Operationen mit gewöhnlichen Brüchen durchgeführt werden. Der Bildschirm zeigt die Regeln für Multiplikation, Division und Potenzierung von Brüchen. Die Multiplikation von Brüchen wird mit wörtlichen Parametern demonstriert. Es wird darauf hingewiesen, dass beim Multiplizieren von Brüchen sowohl Zähler als auch Nenner multipliziert werden. So erhält man den resultierenden Bruch a/b c/d=ac/bd. Die Division von Brüchen wird am Beispiel des Ausdrucks a/b:c/d demonstriert. Es wird darauf hingewiesen, dass zur Durchführung der Divisionsoperation das Produkt des Zählers des Dividenden und des Nenners des Divisors in den Zähler geschrieben werden muss. Der Nenner des Quotienten ist das Produkt aus dem Nenner des Dividenden und dem Zähler des Divisors. Somit verwandelt sich die Operation der Division in die Operation des Multiplizierens des Bruchs des Dividenden und des Kehrwerts des Divisors. Das Potenzieren mit einem Bruch entspricht einem Bruch, bei dem Zähler und Nenner mit der angegebenen Potenz potenziert werden.

Nachfolgend finden Sie eine Beispiellösung. In Beispiel 1 müssen Sie die Aktionen (5x-5y) / (x-y) (x 2 -y 2) / 10x ausführen. Zur Lösung dieses Beispiels wird der Zähler des im Produkt enthaltenen zweiten Bruchs in Faktoren zerlegt. Unter Verwendung der Formeln der abgekürzten Multiplikation wird eine Transformation x 2 -y 2 \u003d (x + y) (x-y) durchgeführt. Dann werden die Zähler der Brüche und die Nenner multipliziert. Nach Durchführung der Operationen ist klar, dass es im Zähler und im Nenner Faktoren gibt, die man mit Hilfe der Haupteigenschaft des Bruchs kürzen kann. Als Ergebnis von Transformationen wird ein Bruchteil (x + y) 2 / 2x erhalten. Es berücksichtigt auch die Ausführung der Aktionen 7a 3 b 5 /(3a – 3b)·(6b 2 – 12ab + 6a 2)/49a 4 b 5 . Alle Zähler und Nenner werden für die Möglichkeit der Faktorisierung, Zuordnung gemeinsamer Faktoren berücksichtigt. Dann werden Zähler und Nenner multipliziert. Nach der Multiplikation werden Reduktionen vorgenommen. Das Ergebnis der Transformation ist der Bruch 2(a-b)/7a.

Es wird ein Beispiel betrachtet, in dem die Aktionen (x 3 -1) / 8y: (x 2 + x + 1) / 16y 2 ausgeführt werden müssen. Um den Ausdruck zu lösen, wird vorgeschlagen, den Zähler des ersten Bruchs mit der abgekürzten Multiplikationsformel x 3 -1 \u003d (x-1) (x 2 + x + 1) umzuwandeln. Nach der Bruchteilungsregel wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert. Nach der Multiplikation von Zähler und Nenner erhält man einen Bruch, der in Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthält. Sie schrumpfen. Das Ergebnis ist ein Bruch (x-1) 2y. Hier wird auch die Lösung des Beispiels (a 4 -b 4)/(ab+2b-3a-6):(b-a)(a+2) beschrieben. Ähnlich wie im vorherigen Beispiel wird die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet, um den Zähler umzurechnen. Der Nenner des Bruchs wird ebenfalls umgewandelt. Dann wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Nach der Multiplikation werden Transformationen durchgeführt, Reduktionen von Zähler und Nenner durch gemeinsame Faktoren. Das Ergebnis ist ein Bruchteil - (a + b) (a 2 + b 2) / (b-3). Die Aufmerksamkeit der Schüler wird darauf gelenkt, wie sich die Vorzeichen von Zähler und Nenner bei der Multiplikation ändern.

Im dritten Beispiel müssen Sie Operationen mit Brüchen ((x+2)/(3x 2 -6x)) 3:((x 2 +4x+4)/(x 2 -4x+4)) 2 durchführen. Bei der Lösung dieses Beispiels wird die Regel angewendet, einen Bruch zu potenzieren. Sowohl der erste als auch der zweite Bruch werden potenziert. Sie werden umgewandelt, indem Zähler und Nenner potenziert werden. Um die Nenner von Brüchen umzurechnen, wird außerdem die abgekürzte Multiplikationsformel verwendet, die den gemeinsamen Faktor hervorhebt. Um den ersten Bruch durch den zweiten zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren. Zähler und Nenner bilden kürzbare Ausdrücke. Nach der Umrechnung erhält man einen Bruch (x-2) / 27x 3 (x + 2).

Videolektion „Multiplikation und Division von algebraischen Brüchen. Das Potenzieren eines algebraischen Bruchs “wird verwendet, um die Effektivität eines traditionellen Mathematikunterrichts zu erhöhen. Das Material kann für einen Lehrer nützlich sein, der Fernunterricht anbietet. Eine detaillierte, klare Beschreibung der Lösung von Beispielen hilft Schülern, die das Thema selbstständig beherrschen oder zusätzlichen Unterricht benötigen.

In dieser Lektion betrachten wir die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren algebraischer Brüche sowie Beispiele für die Anwendung dieser Regeln. Die Multiplikation und Division algebraischer Brüche unterscheidet sich nicht von der Multiplikation und Division gewöhnlicher Brüche. Das Vorhandensein von Variablen führt jedoch zu etwas komplexeren Möglichkeiten, die resultierenden Ausdrücke zu vereinfachen. Trotz der Tatsache, dass das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen einfacher ist als das Addieren und Subtrahieren, muss das Studium dieses Themas sehr verantwortungsbewusst angegangen werden, da es viele "Fallstricke" darin gibt, die normalerweise nicht beachtet werden. Im Rahmen der Lektion werden wir nicht nur die Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen studieren, sondern auch die Nuancen analysieren, die bei ihrer Anwendung auftreten können.

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Multiplikation und Division algebraischer Brüche

Die Regeln für die Multiplikation und Division algebraischer Brüche sind den Regeln für die Multiplikation und Division gewöhnlicher Brüche absolut ähnlich. Erinnern Sie sich an sie:

Das heißt, um Brüche zu multiplizieren, müssen ihre Zähler (dies wird der Zähler des Produkts sein) und ihre Nenner (dies wird der Nenner des Produkts sein) multipliziert werden.

Die Division durch einen Bruch ist die Multiplikation mit einem invertierten Bruch, das heißt, um zwei Brüche zu dividieren, muss der erste von ihnen (der Dividende) mit dem invertierten zweiten (dem Divisor) multipliziert werden.

Trotz der Einfachheit dieser Regeln machen viele Leute in einer Reihe von Sonderfällen Fehler, wenn sie Beispiele zu diesem Thema lösen. Schauen wir uns diese Sonderfälle genauer an:

In all diesen Regeln haben wir die folgende Tatsache verwendet: .

Lassen Sie uns einige Beispiele für die Multiplikation und Division gewöhnlicher Brüche lösen, um uns daran zu erinnern, wie die angegebenen Regeln anzuwenden sind.

Beispiel 1

Notiz: Beim Kürzen von Brüchen haben wir die Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren verwendet. Erinnere dich daran Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch sich selbst teilbar sind. Die restlichen Nummern werden angerufen Bestandteil . Die Zahl ist weder prim noch zusammengesetzt. Beispiele für Primzahlen: .

Beispiel 2

Betrachten wir nun einen der Spezialfälle mit gewöhnlichen Brüchen.

Beispiel 3

Wie du siehst, ist das Multiplizieren und Dividieren gewöhnlicher Brüche bei richtiger Anwendung der Regeln nicht schwierig.

Betrachten Sie die Multiplikation und Division von algebraischen Brüchen.

Beispiel 4

Beispiel 5

Beachten Sie, dass es möglich und sogar notwendig ist, Brüche nach der Multiplikation gemäß den gleichen Regeln zu kürzen, die wir zuvor in den Lektionen über die Kürzung algebraischer Brüche betrachtet haben. Betrachten wir einige einfache Beispiele für Spezialfälle.

Beispiel 6

Beispiel 7

Betrachten wir nun einige komplexere Beispiele für die Multiplikation und Division von Brüchen.

Beispiel 8

Beispiel 9

Beispiel 10

Beispiel 11

Beispiel 12

Beispiel 13

Bisher haben wir Brüche betrachtet, bei denen sowohl Zähler als auch Nenner Monome sind. In einigen Fällen ist es jedoch erforderlich, Brüche zu multiplizieren oder zu dividieren, deren Zähler und Nenner Polynome sind. In diesem Fall bleiben die Regeln gleich, und zur Reduktion müssen die Formeln der abgekürzten Multiplikation und der Klammern verwendet werden.

Beispiel 14

Beispiel 15

Beispiel 16

Beispiel 17

Beispiel 18