§ 1.7. mechanische Wellen

Als Welle bezeichnet man die sich im Raum ausbreitenden Schwingungen eines Stoffes oder Feldes. Fluktuationen von Materie erzeugen elastische Wellen (ein Sonderfall ist Schall).

mechanische Welle ist die Ausbreitung von Schwingungen der Teilchen des Mediums über die Zeit.

Wellen in einem kontinuierlichen Medium breiten sich aufgrund der Wechselwirkung zwischen Teilchen aus. Kommt ein Teilchen in Schwingbewegung, so überträgt sich diese Bewegung aufgrund der elastischen Verbindung auf benachbarte Teilchen und die Welle breitet sich aus. In diesem Fall bewegen sich die schwingenden Teilchen selbst nicht mit der Welle, sondern zögern um ihre Gleichgewichtspositionen.

Longitudinalwellen sind Wellen, bei denen die Richtung der Teilchenschwingung x mit der Ausbreitungsrichtung der Welle zusammenfällt . Longitudinalwellen breiten sich in Gasen, Flüssigkeiten und Festkörpern aus.

P
Oper Wellen- Dies sind Wellen, bei denen die Richtung der Teilchenschwingungen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle ist . Transversalwellen breiten sich nur in festen Medien aus.

Wellen haben zwei Periodizitäten - in Zeit und Raum. Zeitliche Periodizität bedeutet, dass jedes Teilchen des Mediums um seine Gleichgewichtslage schwingt, und diese Bewegung wiederholt sich mit einer Schwingungsperiode T. Periodizität im Raum bedeutet, dass die Schwingungsbewegung der Teilchen des Mediums in bestimmten Abständen zwischen ihnen wiederholt wird.

Die Periodizität des Wellenprozesses im Raum wird durch eine Größe charakterisiert, die als Wellenlänge bezeichnet und bezeichnet wird .

Die Wellenlänge ist die Entfernung, über die sich eine Welle in einem Medium während einer Periode der Teilchenschwingung ausbreitet. .

Von hier
, wo - Schwingungsdauer der Teilchen, - Oszillationsfrequenz, - Geschwindigkeit der Wellenausbreitung, abhängig von den Eigenschaften des Mediums.

Zu Wie schreibt man die Wellengleichung? Lassen Sie ein Stück Schnur, das sich am Punkt O (der Quelle der Welle) befindet, gemäß dem Kosinusgesetz schwingen

Ein Punkt B befinde sich in einem Abstand x von der Quelle (Punkt O). Eine Welle, die sich mit der Geschwindigkeit v ausbreitet, braucht Zeit, um sie zu erreichen.
. Das bedeutet, dass am Punkt B später Schwingungen einsetzen
. Also. Nach dem Einsetzen in diese Gleichung die Ausdrücke für
und eine Reihe von mathematischen Transformationen erhalten wir

,
. Führen wir die Notation ein:
. Dann. Aufgrund der Willkür der Wahl des Punktes B wird diese Gleichung die erforderliche ebene Wellengleichung sein
.

Der Ausdruck unter dem Kosinuszeichen heißt Phase der Welle
.

E Wenn zwei Punkte unterschiedlich weit von der Quelle der Welle entfernt sind, sind ihre Phasen unterschiedlich. Zum Beispiel die Phasen der Punkte B und C, die sich in Abständen befinden und von der Quelle der Welle, jeweils gleich sein

Die Phasendifferenz der am Punkt B und am Punkt C auftretenden Schwingungen wird bezeichnet
und es wird gleich sein

Man sagt in solchen Fällen, dass zwischen den an den Punkten B und C auftretenden Schwingungen eine Phasenverschiebung Δφ besteht. Es wird gesagt, dass Schwingungen an den Punkten B und C in Phase auftreten, wenn
. Wenn ein
, dann treten die Schwingungen an den Punkten B und C gegenphasig auf. In allen anderen Fällen gibt es einfach eine Phasenverschiebung.

Der Begriff "Wellenlänge" kann auch anders definiert werden:

Daher wird k die Wellenzahl genannt.

Wir haben die Notation eingeführt
und das gezeigt
. Dann

.

Die Wellenlänge ist der Weg, den eine Welle in einer Schwingungsperiode zurücklegt.

Lassen Sie uns zwei wichtige Konzepte in der Wellentheorie definieren.

Wellenoberfläche ist der Ort der Punkte im Medium, die in der gleichen Phase schwingen. Die Wellenoberfläche kann durch jeden Punkt des Mediums gezogen werden, daher gibt es unendlich viele davon.

Wellenoberflächen können beliebig geformt sein und sind im einfachsten Fall eine Reihe von Ebenen (wenn die Wellenquelle eine unendliche Ebene ist) parallel zueinander oder eine Reihe von konzentrischen Kugeln (wenn die Wellenquelle ein Punkt ist).

Wellenfront(Wellenfront) - der Ort der Punkte, zu denen Schwankungen zum Zeitpunkt der Zeit gelangen . Die Wellenfront trennt den am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind. Daher ist die Wellenfront eine der Wellenoberflächen. Es trennt zwei Bereiche: 1 - die die Welle bis zum Zeitpunkt t erreicht hat, 2 - hat sie nicht erreicht.

Es gibt zu jedem Zeitpunkt nur eine Wellenfront, und sie bewegt sich ständig, während die Wellenoberflächen stationär bleiben (sie passieren die Gleichgewichtspositionen von Teilchen, die in der gleichen Phase schwingen).

Ebene Welle- Dies ist eine Welle, bei der die Wellenoberflächen (und die Wellenfront) parallele Ebenen sind.

sphärische Welle ist eine Welle, deren Wellenflächen konzentrische Kugeln sind. Kugelwellengleichung:
.

Jeder Punkt des Mediums, der von zwei oder mehr Wellen erreicht wird, nimmt an den Schwingungen teil, die von jeder Welle separat verursacht werden. Was wird die resultierende Schwingung sein? Sie hängt von mehreren Faktoren ab, insbesondere von den Eigenschaften des Mediums. Wenn sich die Eigenschaften des Mediums durch den Prozess der Wellenausbreitung nicht ändern, wird das Medium als linear bezeichnet. Die Erfahrung zeigt, dass sich Wellen in einem linearen Medium unabhängig voneinander ausbreiten. Wir werden Wellen nur in linearen Medien betrachten. Und wie groß wird die Schwankung des Punktes sein, der zwei Wellen gleichzeitig erreicht? Um diese Frage zu beantworten, ist es notwendig zu verstehen, wie man die Amplitude und Phase der Schwingung findet, die durch diese Doppelwirkung verursacht wird. Um die Amplitude und Phase der resultierenden Schwingung zu bestimmen, ist es notwendig, die durch jede Welle verursachten Verschiebungen zu finden und sie dann zu addieren. Wie? Geometrisch!

Das Prinzip der Überlagerung (Überlagerung) von Wellen: Wenn sich mehrere Wellen in einem linearen Medium ausbreiten, breitet sich jede von ihnen aus, als ob es keine anderen Wellen gäbe, und die resultierende Verschiebung eines Teilchens des Mediums ist zu jedem Zeitpunkt gleich der geometrischen Summe der Verschiebungen, die die Teilchen erhalten, die an jeder der Komponenten der Wellenprozesse teilnehmen.

Ein wichtiges Konzept der Wellentheorie ist das Konzept Kohärenz - zeitlich und räumlich koordinierter Fluss mehrerer Schwingungs- oder Wellenprozesse. Wenn die Phasendifferenz der am Beobachtungspunkt ankommenden Wellen nicht von der Zeit abhängt, werden solche Wellen genannt kohärent. Offensichtlich können nur Wellen gleicher Frequenz kohärent sein.

R Betrachten wir das Ergebnis der Addition zweier kohärenter Wellen, die an einem Punkt im Raum (Beobachtungspunkt) B ankommen. Um mathematische Berechnungen zu vereinfachen, nehmen wir an, dass die von den Quellen S 1 und S 2 emittierten Wellen die gleiche Amplitude und haben Anfangsphasen gleich Null. Am Beobachtungspunkt (Punkt B) verursachen die von den Quellen S 1 und S 2 kommenden Wellen Schwingungen der Teilchen des Mediums:
und
. Die resultierende Schwankung am Punkt B wird als Summe gefunden.

Üblicherweise werden Amplitude und Phase der resultierenden Schwingung, die am Beobachtungspunkt auftritt, mit der Methode der Vektordiagramme ermittelt, wobei jede Schwingung als Vektor dargestellt wird, der mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Die Länge des Vektors ist gleich der Amplitude der Schwingung. Anfänglich bildet dieser Vektor mit der gewählten Richtung einen Winkel, der gleich der Anfangsphase der Schwingungen ist. Dann wird die Amplitude der resultierenden Schwingung durch die Formel bestimmt.

Für unseren Fall, zwei Schwingungen mit Amplituden zu addieren
,
und Phasen
,

.

Daher hängt die Amplitude der am Punkt B auftretenden Schwingungen vom Gangunterschied ab
von der Quelle bis zum Beobachtungspunkt (
ist der Gangunterschied zwischen den am Beobachtungspunkt ankommenden Wellen). An den Stellen, an denen Interferenzminima oder -maxima zu beobachten sind
. Und dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Brennpunkten an den Punkten S 1 und S 2 .

An jenen Punkten im Raum, für die
, die Amplitude der resultierenden Schwingungen ist maximal und gleich
. Als
, dann ist die Schwingungsamplitude an den Stellen maximal, für die.

an jenen Punkten im Raum, für die
, die Amplitude der resultierenden Schwingungen wird minimal und gleich sein
.Schwingungsamplitude wird an den Punkten minimal sein, für die .

Das Phänomen der Energieumverteilung, das sich aus der Addition einer endlichen Anzahl kohärenter Wellen ergibt, wird als Interferenz bezeichnet.

Das Phänomen, dass sich Wellen um Hindernisse biegen, wird Beugung genannt.

Manchmal wird als Beugung jede Abweichung der Wellenausbreitung in der Nähe von Hindernissen von den Gesetzen der geometrischen Optik bezeichnet (wenn die Abmessungen der Hindernisse der Wellenlänge entsprechen).

B
Aufgrund der Beugung können Wellen in den Bereich eines geometrischen Schattens eindringen, Hindernisse umgehen, durch kleine Löcher in Bildschirmen dringen usw. Wie lässt sich der Wellenschlag im Bereich des geometrischen Schattens erklären? Das Phänomen der Beugung lässt sich mit dem Huygens-Prinzip erklären: Jeder Punkt, den eine Welle erreicht, ist eine Quelle von Sekundärwellen (in einem homogenen kugelförmigen Medium), und die Einhüllende dieser Wellen legt die Position der Wellenfront im nächsten Moment fest Zeit.

Setzen Sie Lichtstörungen ein, um zu sehen, was sich als nützlich erweisen könnte

Welle wird der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen im Raum genannt.

Wellenoberfläche ist der Ort der Punkte, an denen Schwingungen in der gleichen Phase auftreten.

Wellenfront wird der Ort der Punkte genannt, den die Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt erreicht t. Die Wellenfront trennt den am Wellenprozess beteiligten Teil des Raumes von dem Bereich, in dem noch keine Schwingungen entstanden sind.

Bei einer Punktquelle ist die Wellenfront eine sphärische Oberfläche, die am Ort der Quelle S zentriert ist. 1, 2, 3 - Wellenoberflächen; 1 - Wellenfront. Die Gleichung einer sphärischen Welle, die sich entlang des von der Quelle ausgehenden Strahls ausbreitet: . Hier - Wellenausbreitungsgeschwindigkeit, - Wellenlänge; SONDERN- Schwingungsamplitude; - kreisförmige (zyklische) Schwingungsfrequenz; - Verschiebung von der Gleichgewichtsposition eines Punktes, der sich in einem Abstand r von einer Punktquelle zum Zeitpunkt t befindet.

Ebene Welle ist eine Welle mit einer flachen Wellenfront. Die Gleichung einer ebenen Welle, die sich entlang der positiven Richtung der Achse ausbreitet j:
, wo x- Verschiebung von der Gleichgewichtsposition eines Punktes in einem Abstand y von der Quelle zum Zeitpunkt t.

Im Physikkurs der 7. Klasse hast du dich mit mechanischen Schwingungen beschäftigt. Oft kommt es vor, dass sich Schwingungen, die an einem Ort entstanden sind, in benachbarte Raumregionen ausbreiten. Erinnern Sie sich zum Beispiel an die Ausbreitung der Schwingungen eines ins Wasser geworfenen Kieselsteins oder an die Schwingungen der Erdkruste, die sich vom Epizentrum eines Erdbebens ausbreiten. In solchen Fällen spricht man von Wellenbewegung - Wellen (Abb. 17.1). In diesem Abschnitt lernen Sie die Eigenschaften der Wellenbewegung kennen.

Erzeuge mechanische Wellen

Nehmen wir ein ziemlich langes Seil, dessen eines Ende wir an einer vertikalen Oberfläche befestigen und das andere auf und ab bewegen (oszillieren). Vibrationen von der Hand breiten sich entlang des Seils aus und beziehen nach und nach immer weiter entfernte Punkte in die Schwingungsbewegung ein – eine mechanische Welle läuft entlang des Seils (Abb. 17.2).

Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung von Schwingungen in einem elastischen Medium*.

Jetzt befestigen wir eine lange weiche Feder horizontal und wenden eine Reihe aufeinanderfolgender Schläge auf ihr freies Ende an - in der Feder läuft eine Welle, die aus Kondensationen und Verdünnung der Federwindungen besteht (Abb. 17.3).

Die oben beschriebenen Wellen sind sichtbar, aber die meisten mechanischen Wellen sind unsichtbar, wie z. B. Schallwellen (Abbildung 17.4).

Auf den ersten Blick sind alle mechanischen Wellen völlig verschieden, aber die Gründe für ihre Entstehung und Ausbreitung sind die gleichen.

Wir finden heraus, wie und warum sich eine mechanische Welle in einem Medium ausbreitet

Jede mechanische Welle wird von einem schwingenden Körper erzeugt - der Quelle der Welle. Durch eine Schwingungsbewegung verformt die Wellenquelle die ihr am nächsten liegenden Schichten des Mediums (staucht und dehnt sie oder verschiebt sie). Dadurch entstehen elastische Kräfte, die auf benachbarte Schichten des Mediums einwirken und diese zu erzwungenen Schwingungen zwingen. Diese Schichten wiederum verformen die nächsten Schichten und bringen diese zum Schwingen. Nach und nach werden alle Schichten des Mediums in oszillierende Bewegung verwickelt – eine mechanische Welle breitet sich im Medium aus.

Reis. 17.6. Bei einer Longitudinalwelle schwingen die Schichten des Mediums entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle

Unterscheiden Sie zwischen transversalen und longitudinalen mechanischen Wellen

Vergleichen wir die Wellenausbreitung entlang eines Seils (siehe Abb. 17.2) und in einer Feder (siehe Abb. 17.3).

Einzelne Teile des Seils bewegen (schwingen) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle (in Abb. 17.2 breitet sich die Welle von rechts nach links aus und Teile des Seils bewegen sich auf und ab). Solche Wellen nennt man transversal (Abb. 17.5). Bei der Ausbreitung von Transversalwellen werden einige Schichten des Mediums relativ zu anderen verschoben. Die Verschiebungsverformung wird nur in Festkörpern vom Auftreten elastischer Kräfte begleitet, sodass sich Transversalwellen in Flüssigkeiten und Gasen nicht ausbreiten können. Transversalwellen breiten sich also nur in Festkörpern aus.

Wenn sich eine Welle in einer Feder ausbreitet, bewegen sich (schwingen) die Windungen der Feder entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle. Solche Wellen werden Longitudinalwellen genannt (Abb. 17.6). Bei der Ausbreitung einer Longitudinalwelle kommt es im Medium zu Druck- und Zugverformungen (entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle nimmt die Dichte des Mediums zu oder ab). Solche Verformungen in jedem Medium gehen mit dem Auftreten elastischer Kräfte einher. Daher breiten sich Longitudinalwellen in Festkörpern, in Flüssigkeiten und in Gasen aus.

Wellen auf der Oberfläche einer Flüssigkeit sind weder längs noch quer. Sie haben einen komplexen Längs-Quer-Charakter, während sich die Flüssigkeitspartikel auf Ellipsen bewegen. Das lässt sich leicht überprüfen, wenn man einen Lichtchip ins Meer wirft und seine Bewegung auf der Wasseroberfläche beobachtet.

Die grundlegenden Eigenschaften von Wellen herausfinden

1. Schwingbewegungen von einem Punkt des Mediums zum anderen werden nicht sofort übertragen, sondern mit einer gewissen Verzögerung, sodass sich die Wellen im Medium mit einer endlichen Geschwindigkeit ausbreiten.

2. Die Quelle mechanischer Wellen ist ein schwingender Körper. Wenn sich eine Welle ausbreitet, werden die Vibrationen von Teilen des Mediums erzwungen, sodass die Vibrationsfrequenz jedes Teils des Mediums gleich der Vibrationsfrequenz der Wellenquelle ist.

3. Mechanische Wellen können sich im Vakuum nicht ausbreiten.

4. Wellenbewegung wird nicht von Materietransport begleitet - Teile des Mediums schwingen nur um die Gleichgewichtslagen.

5. Mit dem Eintreffen der Welle beginnen sich Teile des Mediums zu bewegen (erhalten kinetische Energie). Das bedeutet, dass bei der Ausbreitung der Welle Energie übertragen wird.

Die Übertragung von Energie ohne Übertragung von Materie ist die wichtigste Eigenschaft jeder Welle.

Denken Sie an die Ausbreitung von Wellen auf der Wasseroberfläche (Abb. 17.7). Welche Beobachtungen bestätigen die grundlegenden Eigenschaften der Wellenbewegung?

Wir erinnern an die physikalischen Größen, die die Schwingungen charakterisieren

Eine Welle ist die Ausbreitung von Schwingungen, daher charakterisieren die physikalischen Größen, die Schwingungen charakterisieren (Frequenz, Periode, Amplitude), auch die Welle. Erinnern wir uns also an das Material der 7. Klasse:

	Schwingungen charakterisierende physikalische Größen
	Schwingungsfrequenz ν	Schwingungsperiode T	Schwingungsamplitude A
Definieren	Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit	Zeit einer Schwingung	die maximale Entfernung, um die ein Punkt von seiner Gleichgewichtsposition abweicht
Formel zu bestimmen
	N ist die Anzahl der Schwingungen pro Zeitintervall t
Einheit im SI		Sekunde (n)

Beachten Sie! Wenn sich eine mechanische Welle ausbreitet, schwingen alle Teile des Mediums, in dem sich die Welle ausbreitet, mit der gleichen Frequenz (ν), die gleich der Schwingungsfrequenz der Wellenquelle ist, also der Periode

Schwingungen (T) für alle Punkte des Mediums ist auch gleich, weil

Aber die Amplitude der Schwingungen nimmt mit der Entfernung von der Quelle der Welle allmählich ab.

Wir ermitteln die Länge und Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle

Denken Sie an die Ausbreitung einer Welle entlang eines Seils. Lassen Sie das Seilende eine vollständige Schwingung ausführen, dh die Laufzeit der Welle ist gleich einer Periode (t = T). Während dieser Zeit breitete sich die Welle über eine bestimmte Distanz λ aus (Abb. 17.8, a). Dieser Abstand wird als Wellenlänge bezeichnet.

Die Wellenlänge λ ist die Entfernung, über die sich die Welle in einer Zeit ausbreitet, die der Periode T entspricht:

wobei v die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist. Die Einheit der Wellenlänge in SI ist das Meter:

Es ist leicht zu erkennen, dass die Punkte des Seils, die sich im Abstand von einer Wellenlänge befinden, synchron schwingen - sie haben die gleiche Schwingungsphase (Abb. 17.8, b, c). Beispielsweise bewegen sich die Punkte A und B des Seils gleichzeitig nach oben, erreichen gleichzeitig den Kamm einer Welle, beginnen dann gleichzeitig mit der Abwärtsbewegung und so weiter.

Reis. 17.8. Die Wellenlänge ist gleich der Entfernung, die die Welle während einer Schwingung zurücklegt (dies ist auch die Entfernung zwischen den beiden nächsten Wellenbergen oder den beiden nächsten Wellentälern).

Mit der Formel λ = vT können wir die Ausbreitungsgeschwindigkeit bestimmen

erhalten wir die Formel für den Zusammenhang zwischen Länge, Frequenz und Geschwindigkeit der Wellenausbreitung - die Wellenformel:

Wenn eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht, ändert sich ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit, aber die Frequenz bleibt gleich, da die Frequenz durch die Quelle der Welle bestimmt wird. Wenn also eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht, ändert sich nach der Formel v = λν die Wellenlänge.

Wellenformel

Probleme lösen lernen

Aufgabe. Die Transversalwelle breitet sich entlang der Schnur mit einer Geschwindigkeit von 3 m/s aus. Auf Abb. 1 zeigt die Position der Schnur zu einem bestimmten Zeitpunkt und die Richtung der Wellenausbreitung. Unter der Annahme, dass die Seitenlänge des Käfigs 15 cm beträgt, bestimmen Sie:

1) Amplitude, Periode, Frequenz und Wellenlänge;

Analyse eines physikalischen Problems, Lösung

Die Welle ist transversal, sodass die Punkte der Schnur senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle oszillieren (sie bewegen sich relativ zu einigen Gleichgewichtspositionen auf und ab).

1) Aus Abb. 1 sehen wir, dass die maximale Abweichung von der Gleichgewichtsposition (Amplitude A der Welle) gleich 2 Zellen ist. Also A \u003d 2 15 cm \u003d 30 cm.

Der Abstand zwischen Berg und Tal beträgt jeweils 60 cm (4 Zellen), der Abstand zwischen den beiden nächstgelegenen Bergbergen (Wellenlänge) ist doppelt so groß. Also λ = 2 60 cm = 120 cm = 1,2 m.

Wir finden die Frequenz ν und die Periode T der Welle mit der Wellenformel:

2) Um die Bewegungsrichtung der Schnurpunkte herauszufinden, führen wir eine zusätzliche Konstruktion durch. Lassen Sie die Welle in einem kurzen Zeitintervall Δt über eine kleine Strecke laufen. Da sich die Welle nach rechts verschiebt und ihre Form sich nicht mit der Zeit ändert, nehmen die Pinch-Punkte die in Abb. 2 gepunktet.

Die Welle ist transversal, das heißt, die Punkte der Schnur bewegen sich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Von Abb. 2 sehen wir, dass Punkt K nach einem Zeitintervall Δt unterhalb seiner Anfangsposition sein wird, daher ist seine Geschwindigkeit nach unten gerichtet; Punkt B wird sich höher bewegen, daher ist die Geschwindigkeit seiner Bewegung nach oben gerichtet; Punkt C wird sich nach unten bewegen, daher ist die Geschwindigkeit seiner Bewegung nach unten gerichtet.

Antwort: A = 30 cm; T = 0,4 s; v = 2,5 Hz; = 1,2 m; K und C - nach unten, B - nach oben.

Zusammenfassen

Die Ausbreitung von Schwingungen in einem elastischen Medium nennt man mechanische Welle. Eine mechanische Welle, bei der Teile des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, heißt transversal; Eine Welle, bei der Teile des Mediums entlang der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen, wird als Longitudinal bezeichnet.

Die Welle breitet sich im Raum nicht augenblicklich, aber mit einer bestimmten Geschwindigkeit aus. Wenn sich eine Welle ausbreitet, wird Energie ohne Übertragung von Materie übertragen. Die Distanz, über die sich die Welle in einer Zeit gleich der Periode ausbreitet, wird als Wellenlänge bezeichnet - dies ist die Distanz zwischen den beiden nächstgelegenen Punkten, die synchron schwingen (die gleiche Schwingungsphase haben). Die Länge λ, Frequenz ν und Geschwindigkeit v der Wellenausbreitung hängen zusammen durch die Wellenformel: v = λν.

Testfragen

1. Definieren Sie eine mechanische Welle. 2. Beschreiben Sie den Entstehungs- und Ausbreitungsmechanismus einer mechanischen Welle. 3. Nennen Sie die Haupteigenschaften der Wellenbewegung. 4. Welche Wellen werden Longitudinalwellen genannt? quer? In welchen Umgebungen verbreiten sie sich? 5. Was ist die Wellenlänge? Wie ist es definiert? 6. Wie hängen Länge, Frequenz und Geschwindigkeit der Wellenausbreitung zusammen?

Übung Nummer 17

1. Bestimmen Sie die Länge jeder Welle in Abb. ein.

2. Im Ozean erreicht die Wellenlänge 270 m und ihre Periode beträgt 13,5 s. Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer solchen Welle.

3. Stimmen die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle und die Bewegungsgeschwindigkeit der Punkte des Mediums überein, in denen sich die Welle ausbreitet?

4. Warum breitet sich eine mechanische Welle im Vakuum nicht aus?

5. Infolge der von Geologen erzeugten Explosion breitete sich eine Welle in der Erdkruste mit einer Geschwindigkeit von 4,5 km / s aus. Von den tiefen Schichten der Erde reflektiert, wurde die Welle 20 s nach der Explosion auf der Erdoberfläche aufgezeichnet. In welcher Tiefe liegt das Gestein, dessen Dichte stark von der Dichte der Erdkruste abweicht?

6. In Abb. Fig. 2 zeigt zwei Seile, entlang denen sich eine Transversalwelle ausbreitet. Jedes Seil zeigt die Schwingungsrichtung eines seiner Punkte. Bestimmen Sie die Richtungen der Wellenausbreitung.

7. In Abb. 3 zeigt die Position von zwei Filamenten, entlang denen sich die Welle ausbreitet, wobei die Ausbreitungsrichtung jeder Welle gezeigt wird. Bestimme für jeden Fall a und b: 1) Amplitude, Periode, Wellenlänge; 2) die Richtung, in der sich die Punkte A, B und C der Schnur zu einem bestimmten Zeitpunkt bewegen; 3) die Anzahl der Schwingungen, die ein beliebiger Punkt der Schnur in 30 s ausführt. Beachten Sie, dass die Seite des Käfigs 20 cm beträgt.

8. Ein Mann, der am Meeresufer stand, stellte fest, dass der Abstand zwischen benachbarten Wellenbergen 15 m beträgt. Außerdem berechnete er, dass 16 Wellenberge in 75 Sekunden das Ufer erreichen. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung.

Das ist Lehrbuchstoff.

Themen des USE-Kodierers: mechanische Wellen, Wellenlänge, Schall.

mechanische Wellen - Dies ist der Prozess der Ausbreitung von Schwingungen von Teilchen eines elastischen Mediums (fest, flüssig oder gasförmig) im Raum.

Das Vorhandensein elastischer Eigenschaften im Medium ist eine notwendige Bedingung für die Ausbreitung von Wellen: Die Verformung, die an einem beliebigen Ort aufgrund der Wechselwirkung benachbarter Teilchen auftritt, wird sukzessive von einem Punkt des Mediums auf einen anderen übertragen. Verschiedene Arten von Verformungen entsprechen verschiedenen Arten von Wellen.

Längs- und Querwellen.

Die Welle wird gerufen längs, wenn die Teilchen des Mediums parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Eine Longitudinalwelle besteht aus abwechselnden Zug- und Druckdehnungen. Auf Abb. Fig. 1 zeigt eine Longitudinalwelle, die eine Schwingung flacher Schichten des Mediums ist; die Richtung, entlang der die Schichten oszillieren, fällt mit der Richtung der Wellenausbreitung zusammen (d. h. senkrecht zu den Schichten).

Eine Welle heißt transversal, wenn die Teilchen des Mediums senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen. Eine Transversalwelle wird durch Scherverformungen einer Schicht des Mediums relativ zu einer anderen verursacht. Auf Abb. 2 oszilliert jede Schicht in sich selbst, und die Welle breitet sich senkrecht zu den Schichten aus.

In Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen können sich Longitudinalwellen ausbreiten: In all diesen Medien kommt es zu einer elastischen Reaktion auf Kompression, wodurch Kompression und Verdünnung nacheinander ablaufen.

Flüssigkeiten und Gase haben jedoch im Gegensatz zu Feststoffen keine Elastizität gegenüber der Scherung der Schichten. Daher können sich Transversalwellen in Festkörpern ausbreiten, nicht jedoch in Flüssigkeiten und Gasen*.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Teilchen des Mediums während des Durchgangs der Welle in der Nähe konstanter Gleichgewichtspositionen oszillieren, d. h. im Mittel an ihrem Platz bleiben. Die Welle also
Übertragung von Energie ohne Übertragung von Materie.

Am einfachsten zu lernen harmonische Wellen. Sie werden durch einen äußeren Einfluss auf die Umgebung verursacht, der sich gemäß dem harmonischen Gesetz ändert. Wenn sich eine harmonische Welle ausbreitet, führen die Teilchen des Mediums harmonische Schwingungen mit einer Frequenz aus, die gleich der Frequenz der äußeren Einwirkung ist. In Zukunft beschränken wir uns auf Oberwellen.

Betrachten wir den Prozess der Wellenausbreitung genauer. Nehmen wir an, ein Teilchen des Mediums (Teilchen ) begann mit einer Periode zu schwingen. Wenn es auf ein benachbartes Teilchen einwirkt, zieht es dieses mit sich. Das Teilchen wiederum zieht das Teilchen mit sich usw. Es entsteht also eine Welle, in der alle Teilchen mit einer Periode schwingen.

Teilchen haben jedoch Masse, d.h. sie haben Trägheit. Es dauert einige Zeit, um ihre Geschwindigkeit zu ändern. Folglich wird das Teilchen in seiner Bewegung dem Teilchen etwas hinterherhinken, das Teilchen wird dem Teilchen hinterherhinken usw. Wenn das Teilchen nach einiger Zeit die erste Schwingung beendet und mit der zweiten beginnt, befindet sich das Teilchen in einem bestimmten Abstand vom Teilchen , beginnt seine erste Schwingung.

Für eine Zeit, die der Periode der Teilchenschwingungen entspricht, breitet sich die Störung des Mediums also über eine Entfernung aus . Diese Entfernung wird genannt Wellenlänge. Die Schwingungen des Teilchens sind identisch mit den Schwingungen des Teilchens, die Schwingungen des nächsten Teilchens sind identisch mit den Schwingungen des Teilchens usw. Die Schwingungen reproduzieren sich sozusagen in der Ferne räumliche Schwingungsdauer; Sie ist neben der Zeitspanne das wichtigste Merkmal des Wellenverlaufs. Bei einer Longitudinalwelle ist die Wellenlänge gleich dem Abstand zwischen benachbarten Kompressionen oder Verdünnungen (Abb. 1). In der Querrichtung - der Abstand zwischen benachbarten Buckeln oder Vertiefungen (Abb. 2). Im Allgemeinen ist die Wellenlänge gleich dem Abstand (entlang der Richtung der Wellenausbreitung) zwischen zwei nächsten Teilchen des Mediums, die auf die gleiche Weise schwingen (dh mit einer Phasendifferenz gleich ).

Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Wellenlänge zur Schwingungsdauer der Teilchen des Mediums:

Die Frequenz der Welle ist die Frequenz der Teilchenschwingungen:

Daraus ergibt sich der Zusammenhang von Wellengeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz:

. (1)

Klang.

Schallwellen im weiteren Sinne werden alle Wellen bezeichnet, die sich in einem elastischen Medium ausbreiten. Im engeren Sinne Klang so genannte Schallwellen im Frequenzbereich von 16 Hz bis 20 kHz, die vom menschlichen Ohr wahrgenommen werden. Unterhalb dieses Bereichs liegt die Fläche Infrasound, oben - Bereich Ultraschall.

Die Hauptmerkmale des Klangs sind Volumen und Höhe.
Die Lautstärke des Schalls wird durch die Amplitude der Druckschwankungen in der Schallwelle bestimmt und in speziellen Einheiten gemessen - Dezibel(dB). Die Lautstärke von 0 dB ist also die Hörschwelle, 10 dB das Ticken einer Uhr, 50 dB ein normales Gespräch, 80 dB ein Schrei, 130 dB die obere Hörgrenze (sog Schmerzgrenze).

Ton - Dies ist der Ton, den ein Körper erzeugt, der harmonische Schwingungen erzeugt (z. B. eine Stimmgabel oder eine Saite). Die Tonhöhe wird durch die Frequenz dieser Schwingungen bestimmt: Je höher die Frequenz, desto höher erscheint uns der Ton. Indem wir also an der Saite ziehen, erhöhen wir die Frequenz ihrer Schwingungen und dementsprechend die Tonhöhe.

Die Schallgeschwindigkeit in verschiedenen Medien ist unterschiedlich: Je elastischer das Medium ist, desto schneller breitet sich der Schall darin aus. In Flüssigkeiten ist die Schallgeschwindigkeit größer als in Gasen und in Feststoffen größer als in Flüssigkeiten.
Zum Beispiel beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft ungefähr 340 m / s (es ist praktisch, sich daran als "ein Drittel eines Kilometers pro Sekunde" zu erinnern) *. Im Wasser breitet sich Schall mit einer Geschwindigkeit von etwa 1500 m/s und in Stahl mit etwa 5000 m/s aus.
beachte das Frequenz Schall aus einer bestimmten Quelle ist in allen Medien gleich: Die Teilchen des Mediums führen erzwungene Schwingungen mit der Frequenz der Schallquelle aus. Nach Formel (1) schließen wir dann, dass sich beim Übergang von einem Medium zum anderen mit der Schallgeschwindigkeit auch die Länge der Schallwelle ändert.

Bei Wellen jeglicher Herkunft lassen sich unter bestimmten Bedingungen vier nachfolgend aufgeführte Phänomene beobachten, die wir am Beispiel von Schallwellen in der Luft und Wellen an der Wasseroberfläche betrachten.

Reflexion von Wellen. Machen wir ein Experiment mit einem Tonfrequenz-Stromgenerator, an den ein Lautsprecher (Lautsprecher) angeschlossen ist, wie in Abb. "a". Wir hören ein Pfeifen. Am anderen Ende des Tisches platzieren wir ein Mikrofon, das mit einem Oszilloskop verbunden ist. Da auf dem Bildschirm eine Sinuswelle mit kleiner Amplitude erscheint, bedeutet dies, dass das Mikrofon einen schwachen Ton wahrnimmt.

Legen wir nun ein Brett auf den Tisch, wie in Abb. "b" gezeigt. Da die Amplitude auf dem Oszilloskopbildschirm zugenommen hat, bedeutet dies, dass der Ton, der das Mikrofon erreicht, lauter geworden ist. Dies und viele andere Experimente deuten darauf hin Mechanische Wellen jeglicher Herkunft können an der Grenzfläche zwischen zwei Medien reflektiert werden.

Brechung von Wellen. Wenden wir uns der Abbildung zu, die die Wellen zeigt, die auf den seichten Küstenabschnitten laufen (Draufsicht). Grau-gelbe Farbe zeigt das sandige Ufer und blau - den tiefen Teil des Meeres. Dazwischen befindet sich eine Sandbank - seichtes Wasser.

Wellen, die durch tiefes Wasser wandern, breiten sich in Richtung des roten Pfeils aus. Anstelle des Auflaufens wird die Welle gebrochen, dh sie ändert die Ausbreitungsrichtung. Daher ist der blaue Pfeil, der die neue Wellenausbreitungsrichtung anzeigt, anders positioniert.

Das zeigen diese und viele andere Beobachtungen Mechanische Wellen beliebiger Herkunft können gebrochen werden, wenn sich die Ausbreitungsbedingungen beispielsweise an der Grenzfläche zwischen zwei Medien ändern.

Beugung von Wellen. Aus dem Lateinischen übersetzt bedeutet „diffractus“ „gebrochen“. In der Physik Beugung ist die Abweichung von Wellen von der geradlinigen Ausbreitung im selben Medium, was zu ihrer Abrundung von Hindernissen führt.

Betrachten Sie nun ein weiteres Wellenmuster auf der Meeresoberfläche (Blick vom Ufer). Wellen, die von weitem auf uns zulaufen, werden von einem großen Felsen auf der linken Seite verdeckt, aber gleichzeitig umrunden sie ihn teilweise. Der kleinere Felsen rechts ist überhaupt kein Hindernis für die Wellen: Sie gehen vollständig um ihn herum und breiten sich in die gleiche Richtung aus.

Das zeigen Erfahrungen Beugung zeigt sich am deutlichsten, wenn die Länge der einfallenden Welle größer ist als die Abmessungen des Hindernisses. Hinter ihm breitet sich die Welle aus, als gäbe es kein Hindernis.

Welleninterferenz. Wir haben die Phänomene betrachtet, die mit der Ausbreitung einer einzelnen Welle verbunden sind: Reflexion, Brechung und Beugung. Betrachten Sie nun die Ausbreitung bei der Überlagerung zweier oder mehrerer Wellen übereinander - Interferenzphänomen(vom lateinischen „inter“ - gegenseitig und „ferio“ - ich schlage). Lassen Sie uns dieses Phänomen experimentell untersuchen.

Schließen Sie zwei parallel geschaltete Lautsprecher an den Tonfrequenz-Stromgenerator an. Der Schallempfänger wird wie im ersten Experiment ein Mikrofon sein, das mit einem Oszilloskop verbunden ist.

Beginnen wir damit, das Mikrofon nach rechts zu bewegen. Das Oszilloskop zeigt, dass der Ton schwächer und stärker wird, obwohl sich das Mikrofon von den Lautsprechern entfernt. Bringen wir das Mikrofon zurück in die Mittellinie zwischen den Lautsprechern und bewegen es dann nach links, wieder weg von den Lautsprechern. Das Oszilloskop zeigt uns wieder die Dämpfung, dann die Verstärkung des Tons.

Dies und viele andere Experimente zeigen das im Weltraum, wo sich mehrere Wellen ausbreiten, kann ihre Interferenz zum Auftreten von abwechselnden Bereichen mit Verstärkung und Dämpfung von Schwingungen führen.

Wenn an irgendeiner Stelle eines festen, flüssigen oder gasförmigen Mediums Teilchenschwingungen angeregt werden, ist das Ergebnis der Wechselwirkung der Atome und Moleküle des Mediums die Übertragung von Schwingungen von einem Punkt zum anderen mit endlicher Geschwindigkeit.

Bestimmung 1

Welle ist der Vorgang der Ausbreitung von Schwingungen im Medium.

Es gibt folgende Arten von mechanischen Wellen:

Bestimmung 2

Querwelle: Teilchen des Mediums werden senkrecht zur Ausbreitungsrichtung einer mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellen, die sich entlang einer Schnur oder einem Gummiband unter Spannung ausbreiten (Abbildung 2.6.1);

Bestimmung 3

Längswelle: Die Teilchen des Mediums werden in Ausbreitungsrichtung der mechanischen Welle verschoben.

Beispiel: Wellenausbreitung in einem Gas oder einem elastischen Stab (Bild 2.6.2).

Interessanterweise enthalten die Wellen auf der Flüssigkeitsoberfläche sowohl transversale als auch longitudinale Komponenten.

Bemerkung 1

Wir weisen auf eine wichtige Klarstellung hin: Wenn sich mechanische Wellen ausbreiten, übertragen sie Energie, bilden sich, übertragen aber keine Masse, d.h. bei beiden Wellenarten findet keine Materieübertragung in Wellenausbreitungsrichtung statt. Während der Ausbreitung oszillieren die Teilchen des Mediums um die Gleichgewichtslagen. In diesem Fall übertragen Wellen, wie wir bereits gesagt haben, Energie, nämlich die Energie von Schwingungen, von einem Punkt des Mediums zu einem anderen.

Figur 2. 6. ein . Ausbreitung einer Transversalwelle entlang eines unter Spannung stehenden Gummibandes.

Figur 2. 6. 2. Ausbreitung einer Longitudinalwelle entlang eines elastischen Stabes.

Ein charakteristisches Merkmal mechanischer Wellen ist ihre Ausbreitung in materiellen Medien, anders als beispielsweise Lichtwellen, die sich auch im Vakuum ausbreiten können. Für das Auftreten eines mechanischen Wellenimpulses wird ein Medium benötigt, das die Fähigkeit besitzt, kinetische und potentielle Energien zu speichern: d.h. das Medium muss inerte und elastische Eigenschaften haben. In realen Umgebungen sind diese Eigenschaften über das gesamte Volumen verteilt. Beispielsweise hat jedes kleine Element eines Festkörpers Masse und Elastizität. Das einfachste eindimensionale Modell eines solchen Körpers ist ein Satz aus Kugeln und Federn (Abbildung 2.6.3).

Figur 2. 6. 3 . Das einfachste eindimensionale Modell eines starren Körpers.

In diesem Modell werden inerte und elastische Eigenschaften getrennt. Die Kugeln haben Masse m, und Federn - Steifigkeit k . Ein solch einfaches Modell ermöglicht es, die Ausbreitung von longitudinalen und transversalen mechanischen Wellen in einem Festkörper zu beschreiben. Wenn sich eine Longitudinalwelle ausbreitet, werden die Kugeln entlang der Kette verschoben und die Federn gedehnt oder zusammengedrückt, was eine Dehnungs- oder Kompressionsverformung ist. Tritt eine solche Verformung in einem flüssigen oder gasförmigen Medium auf, geht sie mit einer Verdichtung oder Verdünnung einher.

Bemerkung 2

Eine Besonderheit von Longitudinalwellen ist, dass sie sich in jedem Medium ausbreiten können: fest, flüssig und gasförmig.

Wenn in dem angegebenen Modell eines starren Körpers eine oder mehrere Kugeln eine Verschiebung senkrecht zur gesamten Kette erfahren, kann man vom Auftreten einer Schubverformung sprechen. Federn, die infolge einer Verschiebung eine Verformung erfahren haben, neigen dazu, die verschobenen Teilchen in die Gleichgewichtsposition zurückzubringen, und die nächsten unverdrängten Teilchen werden beginnen, von elastischen Kräften beeinflusst zu werden, die dazu neigen, diese Teilchen aus der Gleichgewichtsposition abzulenken. Das Ergebnis ist das Auftreten einer Querwelle in Richtung entlang der Kette.

In einem flüssigen oder gasförmigen Medium tritt keine elastische Scherverformung auf. Die Verschiebung einer Flüssigkeits- oder Gasschicht in einigem Abstand relativ zur benachbarten Schicht führt nicht zum Auftreten von Tangentialkräften an der Grenze zwischen den Schichten. Die Kräfte, die an der Grenze einer Flüssigkeit und eines Festkörpers wirken, sowie die Kräfte zwischen benachbarten Schichten einer Flüssigkeit, sind immer entlang der Normalen zur Grenze gerichtet – das sind Druckkräfte. Dasselbe gilt für das gasförmige Medium.

Bemerkung 3

Somit ist das Auftreten von Transversalwellen in flüssigen oder gasförmigen Medien unmöglich.

Aus praktischer Sicht sind vor allem einfache Oberwellen oder Sinuswellen interessant. Sie sind durch die Teilchenschwingungsamplitude A, die Frequenz f und die Wellenlänge λ gekennzeichnet. Sinuswellen breiten sich in homogenen Medien mit einer konstanten Geschwindigkeit υ aus.

Lassen Sie uns einen Ausdruck schreiben, der die Abhängigkeit der Verschiebung y (x, t) der Teilchen des Mediums von der Gleichgewichtsposition in einer Sinuswelle von der Koordinate x auf der Achse O X, entlang der sich die Welle ausbreitet, und von der Zeit t zeigt:

y (x, t) = A cos ω t - x υ = A cos ω t - k x .

Im obigen Ausdruck ist k = ω υ die sogenannte Wellenzahl und ω = 2 π f die Kreisfrequenz.

Figur 2. 6. 4 zeigt "Schnappschüsse" einer Scherwelle zum Zeitpunkt t und t + Δt. Während des Zeitintervalls Δ t bewegt sich die Welle entlang der Achse O X in einem Abstand υ Δ t . Solche Wellen nennt man Wanderwellen.

Figur 2. 6. 4 . "Schnappschüsse" einer wandernden Sinuswelle zu einem bestimmten Zeitpunkt t und t + ∆t.

Bestimmung 4

Wellenlängeλ ist der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten auf der Achse O X oszillieren in den gleichen Phasen.

Die Strecke, deren Wert die Wellenlänge λ ist, die die Welle in einer Periode T zurücklegt. Die Formel für die Wellenlänge lautet also: λ = υ T, wobei υ die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.

Mit Ablauf der Zeit t ändert sich die Koordinate x ein beliebiger Punkt auf dem Graphen, der den Wellenverlauf darstellt (z. B. Punkt A in Abbildung 2 .6 .4), während der Wert des Ausdrucks ω t - k x unverändert bleibt. Nach einer Zeit Δ t bewegt sich Punkt A entlang der Achse O X etwas Abstand Δ x = υ Δ t . Auf diese Weise:

ω t - k x = ω (t + ∆ t) - k (x + ∆ x) = c o n s t oder ω ∆ t = k ∆ x .

Aus diesem Ausdruck folgt:

υ = ∆ x ∆ t = ω k oder k = 2 π λ = ω υ .

Es wird deutlich, dass eine wandernde Sinuswelle eine doppelte Periodizität hat – in Zeit und Raum. Die Zeitperiode ist gleich der Schwingungsperiode T der Teilchen des Mediums und die räumliche Periode ist gleich der Wellenlänge λ.

Bestimmung 5

Wellennummer k = 2 π λ ist das räumliche Analogon der Kreisfrequenz ω = - 2 π T .

Lassen Sie uns betonen, dass die Gleichung y (x, t) = A cos ω t + k x eine Beschreibung einer Sinuswelle ist, die sich in der Richtung entgegen der Richtung der Achse ausbreitet O X, mit der Geschwindigkeit υ = - ω k .

Bei der Ausbreitung einer Wanderwelle schwingen alle Teilchen des Mediums harmonisch mit einer bestimmten Frequenz ω. Das bedeutet, dass wie bei einem einfachen Schwingungsvorgang die durchschnittliche potentielle Energie, die der Vorrat eines bestimmten Volumens des Mediums ist, die durchschnittliche kinetische Energie im selben Volumen ist, proportional zum Quadrat der Schwingungsamplitude.

Bemerkung 4

Aus dem Vorstehenden können wir schließen, dass bei der Ausbreitung einer Wanderwelle ein Energiefluss auftritt, der proportional zur Geschwindigkeit der Welle und zum Quadrat ihrer Amplitude ist.

Wanderwellen bewegen sich in einem Medium mit bestimmten Geschwindigkeiten, die von der Wellenart, den trägen und elastischen Eigenschaften des Mediums abhängen.

Die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen in einer gespannten Schnur oder einem Gummiband ausbreiten, hängt von der linearen Masse μ (oder Masse pro Längeneinheit) und der Spannkraft ab T:

Die Geschwindigkeit, mit der sich Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium ausbreiten, wird unter Beteiligung von Größen wie der Dichte des Mediums ρ (oder der Masse pro Volumeneinheit) und dem Kompressionsmodul berechnet B(gleich dem Proportionalitätskoeffizienten zwischen der Druckänderung Δ p und der relativen Volumenänderung Δ V V , mit entgegengesetztem Vorzeichen genommen):

∆ p = - B ∆ V V .

Somit wird die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen in einem unendlichen Medium durch die Formel bestimmt:

Beispiel 1

Bei einer Temperatur von 20 °C beträgt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen in Wasser υ ≈ 1480 m/s, in verschiedenen Stahlsorten υ ≈ 5 - 6 km/s.

Wenn es sich um Longitudinalwellen handelt, die sich in elastischen Stäben ausbreiten, enthält die Formel für die Wellengeschwindigkeit nicht den Kompressionsmodul, sondern den Elastizitätsmodul:

Für Stahl Unterschied E aus B unwesentlich, kann aber bei anderen Materialien 20 - 30 % oder mehr betragen.

Figur 2. 6. 5 . Modell von Longitudinal- und Transversalwellen.

Angenommen, eine mechanische Welle, die sich in einem bestimmten Medium ausbreitet, stößt auf ihrem Weg auf ein Hindernis: In diesem Fall ändert sich die Art ihres Verhaltens dramatisch. Beispielsweise wird die Welle an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen mechanischen Eigenschaften teilweise reflektiert und dringt teilweise in das zweite Medium ein. Eine Welle, die entlang eines Gummibandes oder einer Schnur läuft, wird vom festen Ende reflektiert, und es entsteht eine Gegenwelle. Wenn beide Enden der Saite befestigt sind, treten komplexe Schwingungen auf, die das Ergebnis der Überlagerung (Überlagerung) zweier Wellen sind, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten und an den Enden Reflexionen und Rückreflexionen erfahren. So „funktionieren“ die Saiten aller Saitenmusikinstrumente, an beiden Enden fixiert. Ein ähnlicher Vorgang tritt beim Klang von Blasinstrumenten auf, insbesondere bei Orgelpfeifen.

Wenn die Wellen, die sich entlang der Saite in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten, eine Sinusform haben, dann bilden sie unter bestimmten Bedingungen eine stehende Welle.

Angenommen, eine Zeichenfolge der Länge l ist so festgelegt, dass sich eines ihrer Enden am Punkt x \u003d 0 und das andere am Punkt x 1 \u003d L befindet (Abbildung 2.6.6). Es gibt Spannung in der Saite T.

Bild 2 . 6 . 6 . Entstehung einer stehenden Welle in einer an beiden Enden befestigten Schnur.

Zwei Wellen mit gleicher Frequenz laufen gleichzeitig in entgegengesetzter Richtung entlang der Saite:

• y 1 (x, t) = A cos (ω t + k x) ist eine Welle, die sich von rechts nach links ausbreitet;
• y 2 (x, t) = A cos (ω t – k x) ist eine Welle, die sich von links nach rechts ausbreitet.

Der Punkt x = 0 ist eines der festen Enden der Saite: An diesem Punkt erzeugt die einfallende Welle y 1 durch Reflexion eine Welle y 2 . Beim Reflektieren vom festen Ende tritt die reflektierte Welle mit der einfallenden gegenphasig ein. Gemäß dem Überlagerungsprinzip (das eine experimentelle Tatsache ist) werden die Schwingungen, die durch gegenläufige Wellen an allen Punkten der Saite erzeugt werden, summiert. Aus dem Obigen folgt, dass die endgültige Fluktuation an jedem Punkt als die Summe der Fluktuationen definiert ist, die durch die Wellen y 1 und y 2 separat verursacht werden. Auf diese Weise:

y \u003d y 1 (x, t) + y 2 (x, t) \u003d (- 2 A sin ω t) sin k x.

Der obige Ausdruck ist eine Beschreibung einer stehenden Welle. Lassen Sie uns einige Konzepte einführen, die auf ein solches Phänomen wie eine stehende Welle anwendbar sind.

Bestimmung 6

Knoten sind Punkte der Unbeweglichkeit in einer stehenden Welle.

Bäuche– Punkte, die sich zwischen den Knoten befinden und mit der maximalen Amplitude schwingen.

Wenn wir diesen Definitionen folgen, müssen beide festen Enden der Saite Knoten sein, damit eine stehende Welle auftritt. Die obige Formel erfüllt diese Bedingung am linken Ende (x = 0) . Damit die Bedingung am rechten Ende (x = L) erfüllt ist, muss k L = n π sein, wobei n eine beliebige ganze Zahl ist. Aus dem Gesagten können wir schließen, dass eine stehende Welle nicht immer in einer Saite auftritt, sondern nur, wenn die Länge L string ist gleich einer ganzen Zahl von halben Wellenlängen:

l = n λ n 2 oder λ n = 2 l n (n = 1 , 2 , 3 , . . .) .

Die Wertemenge λ n der Wellenlängen entspricht der Menge möglicher Frequenzen f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

In dieser Notation ist υ = T μ die Geschwindigkeit, mit der sich Transversalwellen entlang der Saite ausbreiten.

Bestimmung 7

Jede der Frequenzen f n und die damit verbundene Art der Saitenschwingung wird als Normalmodus bezeichnet. Die niedrigste Frequenz f 1 wird als Grundfrequenz bezeichnet, alle anderen (f 2 , f 3 , ...) werden als Harmonische bezeichnet.

Figur 2. 6. 6 veranschaulicht den Normalmodus für n = 2.

Eine stehende Welle hat keinen Energiefluss. Die Energie der Schwingungen, die in dem Segment der Saite zwischen zwei benachbarten Knoten "eingeschlossen" ist, wird nicht auf den Rest der Saite übertragen. In jedem dieser Segmente wird eine Periode (zweimal pro Periode) T) Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt, ähnlich wie bei einem gewöhnlichen schwingungsfähigen System. Allerdings gibt es hier einen Unterschied: Wenn ein Gewicht an einer Feder oder einem Pendel eine einzige Eigenfrequenz f 0 = ω 0 2 π hat, dann ist die Saite durch das Vorhandensein unendlich vieler Eigenfrequenzen f n gekennzeichnet. Figur 2. 6. Fig. 7 zeigt mehrere Varianten von stehenden Wellen in einer beidseitig fixierten Saite.

Figur 2. 6. 7. Die ersten fünf normalen Schwingungsmodi einer an beiden Enden befestigten Saite.

Nach dem Superpositionsprinzip werden stehende Wellen unterschiedlicher Art (mit unterschiedlichen Werten n) gleichzeitig in den Schwingungen der Saite vorhanden sein können.

Figur 2. 6. acht . Modell der normalen Moden einer Saite.

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