Anweisung

Wählen Sie eine radikale Zahl für einen solchen Faktor, dessen Entfernung unter Wurzel gültiger Ausdruck - andernfalls verliert die Operation . Zum Beispiel, wenn unter dem Zeichen Wurzel mit einem Exponenten gleich drei (Kubikwurzel) wert ist Anzahl 128, dann kann unter dem Schild zum Beispiel herausgenommen werden, Anzahl 5. Gleichzeitig die Wurzel Anzahl 128 muss durch 5 Kubik geteilt werden: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Wenn das Vorhandensein einer Bruchzahl unter dem Zeichen Wurzel nicht den Bedingungen des Problems widerspricht, ist es in dieser Form möglich. Wenn Sie eine einfachere Option benötigen, zerlegen Sie zuerst den Wurzelausdruck in solche ganzzahligen Faktoren, von denen die Kubikwurzel eine ganze Zahl ist Anzahl m. Zum Beispiel: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Verwenden Sie , um die Faktoren der Wurzelzahl auszuwählen, wenn es nicht möglich ist, den Grad der Zahl im Kopf zu berechnen. Dies gilt insbesondere für Wurzel m mit einem Exponenten größer als zwei. Wenn Sie Zugang zum Internet haben, können Sie Berechnungen mit in die Suchmaschinen von Google und Nigma integrierten Rechnern durchführen. Zum Beispiel, wenn Sie den größten ganzzahligen Faktor finden müssen, der aus dem Vorzeichen der Kubik herausgenommen werden kann Wurzel für die Nummer 250, gehen Sie dann auf die Google-Website und geben Sie die Abfrage "6 ^ 3" ein, um zu prüfen, ob es möglich ist, unter dem Zeichen herauszunehmen Wurzel sechs. Die Suchmaschine zeigt ein Ergebnis gleich 216 an. Leider kann 250 nicht ohne Rest davon geteilt werden Anzahl. Geben Sie dann die Abfrage 5^3 ein. Das Ergebnis ist 125, und das ermöglicht es Ihnen, 250 in die Faktoren 125 und 2 aufzuteilen, was bedeutet, dass es aus dem Vorzeichen genommen wird Wurzel Anzahl 5 dort verlassen Anzahl 2.

Quellen:

• wie man es unter der Wurzel herausholt
• Die Quadratwurzel des Produkts

Unter herausnehmen Wurzel Einer der Faktoren ist in Situationen erforderlich, in denen Sie einen mathematischen Ausdruck vereinfachen müssen. Es gibt Fälle, in denen es unmöglich ist, die erforderlichen Berechnungen mit einem Taschenrechner durchzuführen. Zum Beispiel, wenn anstelle von Zahlen Buchstaben von Variablen verwendet werden.

Anweisung

Zerlegen Sie den radikalen Ausdruck in einfache Faktoren. Sehen Sie, welcher der Faktoren gleich oft wiederholt wird, was in den Indikatoren angegeben ist Wurzel, oder mehr. Zum Beispiel musst du die Wurzel der Zahl a in die vierte Potenz ziehen. In diesem Fall kann die Zahl als a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 dargestellt werden. Indikator Wurzel in diesem Fall entsprechen Faktor a3. Es muss aus dem Schild genommen werden.

Extrahieren Sie die Wurzel der resultierenden Radikale nach Möglichkeit separat. Extraktion Wurzel ist die algebraische Operation, die zur Potenzierung invers ist. Extraktion Wurzel eine willkürliche Potenz aus einer Zahl, finde eine Zahl, die, wenn sie mit dieser willkürlichen Potenz potenziert wird, zu einer gegebenen Zahl führt. Wenn Extraktion Wurzel nicht hergestellt werden kann, lassen Sie den Wurzelausdruck unter dem Vorzeichen stehen Wurzel wie es ist. Als Ergebnis der oben genannten Aktionen werden Sie eine Entfernung von unten vornehmen Schild Wurzel.

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beachten Sie

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie den Wurzelausdruck als Faktoren schreiben - ein Fehler in diesem Stadium führt zu falschen Ergebnissen.

Hilfreicher Rat

Beim Ziehen von Wurzeln ist es zweckmäßig, spezielle Tabellen oder Tabellen mit logarithmischen Wurzeln zu verwenden - dies verkürzt die Zeit zum Finden der richtigen Lösung erheblich.

Quellen:

• Wurzelextraktionszeichen im Jahr 2019

Die Vereinfachung algebraischer Ausdrücke ist in vielen Zweigen der Mathematik erforderlich, einschließlich der Lösung von Gleichungen höheren Grades, der Differenzierung und Integration. Dies verwendet mehrere Methoden, einschließlich Faktorisierung. Um diese Methode anzuwenden, müssen Sie einen Common finden und herausnehmen Faktor hinter Klammern.

Anweisung

Herausnehmen des gemeinsamen Faktors für Klammern- eine der gebräuchlichsten Zersetzungsmethoden. Diese Technik wird verwendet, um die Struktur langer algebraischer Ausdrücke zu vereinfachen, d.h. Polynome. Das Allgemeine kann eine Zahl, ein Monom oder ein Binom sein, und um es zu finden, wird das Distributivgesetz der Multiplikation verwendet.

Zahl: Sehen Sie sich die Koeffizienten jedes Polynoms genau an, um zu sehen, ob sie durch dieselbe Zahl geteilt werden können. Zum Beispiel ist im Ausdruck 12 z³ + 16 z² - 4 das Offensichtliche Faktor 4. Nach der Umrechnung erhalten Sie 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Mit anderen Worten, diese Zahl ist der kleinste gemeinsame ganzzahlige Teiler aller Koeffizienten.

Mononomial Bestimmen Sie, ob dieselbe Variable in jedem der Terme des Polynoms enthalten ist. Nehmen wir an, dass dies der Fall ist, schauen Sie sich nun die Koeffizienten an, wie im vorherigen Fall. Beispiel: 9 z^4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Jedes Element dieses Polynoms enthält die Variable z. Außerdem sind alle Koeffizienten Vielfache von 3. Daher ist der gemeinsame Faktor das Monom 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomial.Für Klammern Allgemeines Faktor aus zwei , einer Variablen und einer Zahl, die ein allgemeines Polynom ist. Daher, wenn Faktor-binomial nicht offensichtlich ist, müssen Sie mindestens eine Wurzel finden. Markieren Sie den freien Term des Polynoms, das ist der Koeffizient ohne Variable. Wenden Sie nun die Substitutionsmethode auf den gemeinsamen Ausdruck aller ganzzahligen Teiler des freien Terms an.

Betrachten Sie: z^4 – 2 z³ + z² – 4 z + 4. Prüfen Sie, ob einer der ganzzahligen Teiler von 4 z^4 – 2 z³ + z² – 4 z + 4 = 0 ist. Finden Sie z1 durch einfache Substitution = 1 und z2 = 2, also Klammern die Binome (z - 1) und (z - 2) können herausgenommen werden. Um den verbleibenden Ausdruck zu finden, verwenden Sie die sequentielle Division in eine Spalte.

Auf dem Kreis zeigte sie, wie Quadratwurzeln in einer Spalte gezogen werden können. Sie können die Wurzel mit beliebiger Genauigkeit berechnen, beliebig viele Ziffern in ihrer Dezimalschreibweise finden, auch wenn sie sich als irrational herausstellt. Der Algorithmus wurde erinnert, aber Fragen blieben. Es war nicht klar, woher die Methode stammt und warum sie das richtige Ergebnis liefert. Das stand nicht in den Büchern, oder vielleicht habe ich nur in den falschen Büchern gesucht. Infolgedessen habe ich es, wie vieles, was ich heute weiß und kann, selbst herausgebracht. Hier teile ich mein Wissen. Übrigens weiß ich immer noch nicht, wo die Begründung für den Algorithmus angegeben ist)))

Also erkläre ich Ihnen zuerst anhand eines Beispiels, „wie das System funktioniert“, und dann erkläre ich, warum es tatsächlich funktioniert.

Nehmen wir eine Zahl (die Zahl wird „von der Decke“ genommen, es ist mir gerade eingefallen).

1. Wir teilen seine Zahlen in Paare: diejenigen, die links vom Dezimalpunkt stehen, gruppieren wir zwei von rechts nach links und die rechts - zwei von links nach rechts. Wir bekommen .

2. Wir ziehen die Quadratwurzel aus der ersten Zifferngruppe links - in unserem Fall ist es (es ist klar, dass die genaue Wurzel nicht gezogen werden darf, wir nehmen die Zahl, deren Quadrat unserer durch die gebildeten Zahl am nächsten kommt erste Zifferngruppe, überschreitet diese aber nicht). In unserem Fall ist dies eine Zahl. Wir schreiben als Antwort - dies ist die höchste Ziffer der Wurzel.

3. Wir erhöhen die Zahl, die bereits in der Antwort steht – das ist – zum Quadrat und subtrahieren von der ersten Zahlengruppe links – von der Zahl. In unserem Fall bleibt es dabei

4. Rechts ordnen wir folgende Zweiergruppe zu: . Die bereits in der Antwort enthaltene Zahl wird mit multipliziert, wir erhalten .

5. Jetzt genau beobachten. Wir müssen der Zahl auf der rechten Seite eine Ziffer hinzufügen und die Zahl mit multiplizieren, d. h. mit derselben zugewiesenen Ziffer. Das Ergebnis sollte so nah wie möglich an sein, aber auch nicht mehr als diese Zahl. In unserem Fall wird dies eine Zahl sein, wir schreiben sie als Antwort rechts daneben. Dies ist die nächste Ziffer in der Dezimalschreibweise für unsere Quadratwurzel.

6. Subtrahieren wir das Produkt von , erhalten wir .

7. Als nächstes wiederholen wir die bekannten Operationen: Wir ordnen der resultierenden Zahl die folgende Gruppe von Ziffern rechts zu, multiplizieren mit, > weisen eine Ziffer rechts zu, sodass wir bei Multiplikation damit eine kleinere Zahl erhalten, die jedoch am nächsten kommt it - das ist die Ziffer - die nächste Ziffer in Dezimalschreibweise der Wurzel.

Die Berechnungen werden wie folgt geschrieben:

Und jetzt die versprochene Erklärung. Der Algorithmus basiert auf der Formel

Kommentare: 50

1. 2 Anton:

   Zu chaotisch und verwirrend. Zerlege alles und nummeriere sie. Plus: Erklären Sie, wo wir in jeder Aktion die erforderlichen Werte ersetzen. Ich habe noch nie die Wurzel in einer Spalte berechnet - ich habe es nur mit Mühe herausgefunden.

2. 5 Julia:

3. 6 :

   Rechts steht derzeit Julia, 23, das sind die ersten beiden (links) bereits erhaltenen Ziffern der Wurzel, die in der Antwort stehen. Wir multiplizieren mit 2 gemäß dem Algorithmus. Wir wiederholen die in Absatz 4 beschriebenen Schritte.

4. 7zzz:

   Fehler in „6. Von 167 subtrahieren wir das Produkt 43 * 3 = 123 (129 nada), wir erhalten 38.“
   Es ist nicht klar, wie nach dem Komma 08 herauskam ...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Und auch in der Vorrechnerzeit hat man uns in der Schule beigebracht, nicht nur das Quadrat, sondern auch die Kubikwurzel in einer Spalte zu ziehen, aber das ist eine mühseligere und mühsamere Arbeit. Es war einfacher, die Bradis-Tabellen oder den Rechenschieber zu verwenden, die wir bereits in der High School gelernt haben.

6. 10 :

   Alexander, du hast Recht, du kannst in eine Säule und große Wurzeln extrahieren. Ich werde nur darüber schreiben, wie man die Kubikwurzel findet.

7. 12 Sergej Walentinowitsch:

   Liebe Elisabeth Alexandrowna! In den späten 70er Jahren entwickelte ich ein Schema zur automatischen (dh nicht durch Auswahl) Berechnung von Quadraten. root auf der Felix-Addiermaschine. Bei Interesse kann ich eine Beschreibung schicken.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Ziehen der Quadratwurzel in eine Spalte)))
   Der Algorithmus wird vereinfacht, wenn Sie das 2. Zahlensystem verwenden, das in der Informatik studiert wird, aber auch in der Mathematik nützlich ist. EIN. Kolmogorov zitierte diesen Algorithmus in populären Vorlesungen für Schulkinder. Seinen Artikel findet man in der „Chebyshev Collection“ (Mathematical Journal, Link dazu im Internet suchen)
   Sagen Sie zu diesem Anlass:
   G. Leibniz hatte einst die Idee, vom 10er-Zahlensystem auf das binäre Zahlensystem umzusteigen, wegen seiner Einfachheit und Zugänglichkeit für Anfänger (Mittelschüler). Aber die etablierten Traditionen zu brechen, ist wie das Tor der Festung mit der Stirn zu brechen: Es ist möglich, aber es nützt nichts. So stellt sich heraus, wie der meistzitierte bärtige Philosoph der alten Zeit sagte: Die Traditionen aller toten Generationen unterdrücken das Bewusstsein der Lebenden.

   Bis zum nächsten Mal.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   )) Sergey Valentinovich, ja, ich bin interessiert ... ((

   Ich wette, dass dies eine Felix-Variante der babylonischen Methode ist, das quadratische Pferd durch sukzessive Annäherungen zu extrahieren. Dieser Algorithmus wurde durch die Newton-Methode (Tangentenmethode) überschrieben.

   Ich frage mich, ob ich einen Fehler in der Prognose gemacht habe?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Ja, der Algorithmus in Binär sollte einfacher sein, das ist ziemlich offensichtlich.

    Über Newtons Methode. Vielleicht ist es das, aber es ist trotzdem interessant

11. 20 Kyrill:

    Vielen Dank. Aber der Algorithmus existiert immer noch nicht, es ist nicht bekannt, woher er stammt, aber das Ergebnis ist korrekt. VIELEN DANK! Habe lange danach gesucht

12. 21 Alexander:

    Und wie wird das Ziehen der Wurzel aus der Zahl gehen, wo die zweite Gruppe von links nach rechts sehr klein ist? Die Lieblingsnummer aller ist beispielsweise 4 398 046 511 104. nach der ersten Subtraktion ist es unmöglich, alles nach dem Algorithmus fortzusetzen. Erkläre bitte.

13. 22 Alexej:

    Ja, so kenne ich das. Ich erinnere mich, es in dem Buch "Algebra" einer alten Ausgabe gelesen zu haben. Dann leitete er selbst analog ab, wie man die Kubikwurzel in derselben Spalte extrahiert. Aber da ist es schon komplizierter: Jede Ziffer wird nicht mehr in einer (wie bei einem Quadrat), sondern in zwei Subtraktionen bestimmt, und selbst dort müssen Sie jedes Mal lange Zahlen multiplizieren.

14. 23 Artem:

    Es gibt Tippfehler im Beispiel, die Quadratwurzel von 56789,321 zu ziehen. Die Zahlengruppe 32 ist den Zahlen 145 und 243 zweimal zugeordnet, in der Zahl 2388025 muss die zweite 8 durch 3 ersetzt werden. Dann ist die letzte Subtraktion wie folgt zu schreiben: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Wenn wir außerdem den Rest durch den doppelten Wert der Antwort (ohne Komma) dividieren, erhalten wir eine zusätzliche Anzahl signifikanter Ziffern (47975/(2*238305) = 0,100658819…), die der Antwort hinzugefügt werden sollten (√56789,321 = 238,305… = 238,305100659).

15. 24 Sergej:

    Anscheinend stammt der Algorithmus aus Isaac Newtons Buch „Allgemeine Arithmetik oder ein Buch über arithmetische Synthese und Analyse“. Hier ein Auszug daraus:

    ÜBER WURZELN

    Um die Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen, sollten Sie zunächst einen Punkt über ihre Zahlen durch eins setzen, beginnend bei Einheiten. Dann ist es notwendig, in den Quotienten oder an die Wurzel die Zahl zu schreiben, deren Quadrat gleich oder am nächsten an den Fehlern der Zahlen oder Zahlen ist, die dem ersten Punkt vorangehen. Nach Subtraktion dieses Quadrats werden die restlichen Stellen der Wurzel sukzessive gefunden, indem der Rest durch den doppelten Wert des bereits extrahierten Teils der Wurzel dividiert wird und jedes Mal vom Rest des Quadrats die letzte gefundene Ziffer und ihr Zehnerprodukt subtrahiert werden durch der benannte Teiler.

16. 25 Sergej:

    Korrigieren Sie den Titel des Buches „Allgemeine Arithmetik oder ein Buch über arithmetische Synthese und Analyse“

17. 26 Alexander:

    Danke für den interessanten Inhalt. Aber diese Methode scheint mir etwas komplizierter, als es zum Beispiel für einen Schuljungen notwendig ist. Ich verwende eine einfachere Methode, die auf der Erweiterung einer quadratischen Funktion mit den ersten beiden Ableitungen basiert. Seine Formel lautet:
    sqrt(x)=A1+A2-A3 wobei
    A1 ist eine ganze Zahl, deren Quadrat am nächsten bei x liegt;
    A2 ist ein Bruch, im Zähler x-A1, im Nenner 2*A1.
    Bei den meisten im Schulkurs vorkommenden Zahlen reicht dies aus, um ein auf das Hundertstel genaues Ergebnis zu erhalten.
    Wenn Sie ein genaueres Ergebnis benötigen, nehmen Sie
    A3 ist ein Bruch, im Zähler A2 zum Quadrat, im Nenner 2 * A1 + 1.
    Natürlich braucht man zum Anwenden eine Tabelle mit Quadraten von ganzen Zahlen, aber das ist in der Schule kein Problem. Sich an diese Formel zu erinnern ist ganz einfach.
    Allerdings verwirrt mich, dass ich A3 empirisch als Ergebnis von Experimenten mit einer Tabellenkalkulation bekommen habe und nicht ganz verstehe, warum dieser Begriff eine solche Form hat. Vielleicht könnt ihr raten?

18. 27 Alexander:

    Ja, diese Überlegungen habe ich auch angestellt, aber der Teufel steckt im Detail. Du schreibst:
    „weil a2 und b schon ziemlich verschieden sind.“ Die Frage ist genau, wie wenig.
    Diese Formel funktioniert gut bei den Zahlen der zweiten Zehn und viel schlechter (nicht bis Hundertstel, nur bis Zehntel) bei den Zahlen der ersten Zehn. Warum dies geschieht, ist ohne Einbeziehung von Derivaten bereits schwer zu verstehen.

19. 28 Alexander:

    Ich werde klarstellen, wo ich den Vorteil der von mir vorgeschlagenen Formel sehe. Es bedarf nicht der nicht ganz natürlichen Aufspaltung von Zahlen in Ziffernpaare, die erfahrungsgemäß oft mit Fehlern durchgeführt wird. Ihre Bedeutung ist offensichtlich, aber für eine mit Analyse vertraute Person ist sie trivial. Funktioniert gut bei Zahlen von 100 bis 1000, die in der Schule am häufigsten vorkommen.

20. 29 Alexander:

    Übrigens habe ich etwas gegraben und den genauen Ausdruck für A3 in meiner Formel gefunden:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 Wassil Stryschak:

    In unserer Zeit, dem weit verbreiteten Einsatz von Computertechnologie, lohnt sich die Frage, aus praktischer Sicht ein quadratisches Pferd aus einer Zahl zu extrahieren, nicht. Aber für Liebhaber der Mathematik sind natürlich verschiedene Möglichkeiten zur Lösung dieses Problems interessant. Im Schullehrplan sollte die Methode dieser Berechnung ohne Einwerbung zusätzlicher Mittel gleichberechtigt mit Multiplikation und Division in einer Spalte erfolgen. Der Berechnungsalgorithmus sollte nicht nur einprägsam, sondern auch verständlich sein. Die in diesem Material zur Diskussion gestellte klassische Methode mit der Offenlegung des Wesens entspricht voll und ganz den oben genannten Kriterien.
    Ein wesentlicher Nachteil des von Alexander vorgeschlagenen Verfahrens ist die Verwendung einer Tabelle von Quadraten ganzer Zahlen. Auf welche Mehrheit der im Schulkurs anzutreffenden Zahlen es sich beschränkt, schweigt der Autor. Was die Formel angeht, so beeindruckt sie mich im Großen und Ganzen angesichts der relativ hohen Genauigkeit der Berechnung.

22. 31 Alexander:

    für 30 Vasil Stryzhak
    Ich habe nichts vermisst. Die Quadrattabelle wird bis 1000 angenommen. Zu meiner Schulzeit hat man sie einfach in der Schule auswendig gelernt und sie stand in allen Mathematiklehrbüchern. Ich habe dieses Intervall explizit benannt.
    Was die Computertechnologie betrifft, wird sie nicht hauptsächlich im Mathematikunterricht verwendet, es sei denn, es gibt ein spezielles Thema für die Verwendung eines Taschenrechners. Rechner sind jetzt in Geräten eingebaut, die für die Verwendung in der Prüfung verboten sind.

23. 32 Wassil Stryschak:

    Alexander, danke für die Klarstellung!Ich dachte, dass es für die vorgeschlagene Methode theoretisch notwendig ist, sich die Quadrattabelle aller zweistelligen Zahlen zu merken oder zu verwenden.Dann können Sie für Wurzelzahlen, die nicht im Intervall von 100 bis 10000 enthalten sind, verwenden die Methode, sie um die erforderliche Anzahl von Bestellungen zu erhöhen oder zu verringern, indem das Komma verschoben wird.

24. 33 Wassil Stryschak:

25. 39 ALEXANDER:

    MEIN ERSTES PROGRAMM IN DER SPRACHE "YAMB" AUF DER SOWJETISCHEN MASCHINE "ISKRA 555" WURDE GESCHRIEBEN, UM DIE QUADRATWURZEL AUS EINER ZAHL NACH DER EXTRAKTION NACH EINEM SPALTENALGORITHMUS ZU EXTRAHIEREN! und jetzt habe ich vergessen, wie man es manuell extrahiert!

Betrachten wir diesen Algorithmus anhand eines Beispiels. Lass uns finden

1. Schritt. Wir teilen die Zahl unter der Wurzel in zwei Ziffern (von rechts nach links):

2. Schritt. Wir ziehen die Quadratwurzel aus dem ersten Gesicht, dh aus der Zahl 65 erhalten wir die Zahl 8. Unter das erste Gesicht schreiben wir das Quadrat der Zahl 8 und subtrahieren. Wir schreiben das zweite Gesicht (59) dem Rest zu:

(die Zahl 159 ist der erste Rest).

3. Schritt. Wir verdoppeln die gefundene Wurzel und schreiben das Ergebnis auf die linke Seite:

4. Schritt. Wir trennen im Rest (159) eine Ziffer rechts, links erhalten wir die Zehnerzahl (ist gleich 15). Dann teilen wir 15 durch die verdoppelte erste Ziffer der Wurzel, also durch 16, da 15 nicht durch 16 teilbar ist, dann erhalten wir im Quotienten Null, die wir als zweite Ziffer der Wurzel schreiben. Im Quotienten haben wir also die Zahl 80, die wir wieder verdoppeln und das nächste Gesicht abreißen

(die Zahl 15901 ist der zweite Rest).

5. Schritt. Wir trennen im zweiten Rest eine Ziffer von rechts und dividieren die resultierende Zahl 1590 durch 160. Das Ergebnis (Zahl 9) wird als dritte Ziffer der Wurzel geschrieben und der Zahl 160 zugeordnet. Die resultierende Zahl 1609 wird mit 9 multipliziert und wir finden den folgenden Rest (1420):

Weitere Aktionen werden in der im Algorithmus angegebenen Reihenfolge ausgeführt (die Wurzel kann mit der erforderlichen Genauigkeit gezogen werden).

Kommentar. Wenn der Wurzelausdruck ein Dezimalbruch ist, wird sein ganzzahliger Teil von rechts nach links in zwei Ziffern geteilt, der Bruchteil wird von links nach rechts in zwei Ziffern geteilt und die Wurzel wird gemäß dem angegebenen Algorithmus extrahiert.

LEHRMATERIAL

1. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Zahl: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Was ist eine Quadratwurzel?

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Dieses Konzept ist sehr einfach. Natürlich, würde ich sagen. Mathematiker versuchen, für jede Aktion eine Reaktion zu finden. Es gibt Addition und Subtraktion. Es gibt Multiplikation und es gibt Division. Es gibt Quadrierung ... Also gibt es auch Quadratwurzel ziehen! Das ist alles. Diese Aktion ( die Quadratwurzel ziehen) in der Mathematik wird durch dieses Symbol gekennzeichnet:

Die Ikone selbst heißt das schöne Wort " Radikale".

Wie extrahiert man die Wurzel? Es ist besser zu überlegen Beispiele.

Was ist die Quadratwurzel von 9? Und welche Zahl zum Quadrat ergibt 9? 3 zum Quadrat gibt uns 9! Jene:

Was ist die Quadratwurzel aus Null? Kein Problem! Welche Zahl ergibt das Quadrat von Null? Ja, er selbst gibt null! Meint:

Erwischt Was ist eine Quadratwurzel? Dann überlegen wir Beispiele:

Antworten (in Unordnung): 6; ein; 4; neun; 5.

Beschlossen? Wirklich, es ist viel einfacher!

Aber... Was macht ein Mensch, wenn er eine Aufgabe mit Wurzeln sieht?

Ein Mensch beginnt sich zu sehnen ... Er glaubt nicht an die Einfachheit und Leichtigkeit der Wurzeln. Obwohl er es zu wissen scheint was ist quadratwurzel...

Dies liegt daran, dass eine Person beim Studium der Wurzeln mehrere wichtige Punkte ignoriert hat. Dann rächen sich diese Modeerscheinungen brutal an Tests und Prüfungen ...

Punkt eins. Wurzeln müssen durch Sehen erkannt werden!

Was ist die Quadratwurzel von 49? Sieben? Recht! Woher wusstest du, dass es sieben sind? Sieben quadriert und 49? Korrekt! Bitte beachte, dass die Wurzel extrahieren von 49 mussten wir die umgekehrte Operation durchführen - Quadrat 7! Und stellen Sie sicher, dass wir nichts verpassen. Oder sie könnten es verpassen...

Darin liegt die Schwierigkeit Wurzelextraktion. Quadrieren beliebig viele sind problemlos möglich. In einer Spalte die Zahl mit sich selbst multiplizieren – fertig. Aber für Wurzelextraktion Es gibt keine so einfache und störungsfreie Technologie. Konto für aufsammeln Beantworte und überprüfe es auf Treffer durch Quadrieren.

Dieser komplexe kreative Prozess – das Auswählen einer Antwort – wird erheblich vereinfacht, wenn Sie erinnern Quadrate beliebter Zahlen. Wie ein Einmaleins. Wenn Sie beispielsweise 4 mit 6 multiplizieren müssen, addieren Sie die vier nicht 6 Mal, oder? Die Antwort erscheint sofort 24. Obwohl, nicht jeder hat es, ja ...

Für eine freie und erfolgreiche Arbeit mit Wurzeln reicht es aus, die Quadrate der Zahlen von 1 bis 20 zu kennen. Außerdem dort und zurück. Jene. Sie sollten in der Lage sein, sowohl beispielsweise 11 zum Quadrat als auch die Quadratwurzel von 121 leicht zu benennen. Um sich dieses Gedächtnis zu merken, gibt es zwei Möglichkeiten. Die erste besteht darin, die Tabelle der Quadrate zu lernen. Dies hilft sehr mit Beispielen. Die zweite besteht darin, weitere Beispiele zu lösen. Es ist großartig, sich an die Tabelle der Quadrate zu erinnern.

Und keine Taschenrechner! Nur zur Überprüfung. Sonst bremst du bei der Prüfung gnadenlos ...

So, was ist quadratwurzel und wie Wurzeln extrahieren- Ich denke, es ist verständlich. Lassen Sie uns jetzt herausfinden, AUS WAS Sie sie extrahieren können.

Punkt zwei. Wurzel, ich kenne dich nicht!

Aus welchen Zahlen kann man Quadratwurzeln ziehen? Ja, fast alle. Es ist einfacher zu verstehen, was es ist verboten extrahieren sie.

Versuchen wir, diese Wurzel zu berechnen:

Dazu müssen Sie eine Zahl nehmen, deren Quadrat uns -4 ergibt. Wir wählen aus.

Was ist nicht ausgewählt? 2 2 ergibt +4. (-2) 2 ergibt wieder +4! Das war's ... Es gibt keine Zahlen, die quadriert eine negative Zahl ergeben! Obwohl ich die Zahlen kenne. Aber ich werde es dir nicht sagen.) Geh aufs College und finde es selbst heraus.

Die gleiche Geschichte wird mit jeder negativen Zahl sein. Daher das Fazit:

Ein Ausdruck, in dem eine negative Zahl unter dem Quadratwurzelzeichen steht - Es ist nicht sinnvoll! Dies ist eine verbotene Operation. So verboten wie die Division durch Null. Behalten Sie diese Tatsache im Hinterkopf! Oder anders gesagt:

Sie können keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen ziehen!

Aber von allem anderen - Sie können. Zum Beispiel ist es möglich, zu berechnen

Das ist auf den ersten Blick sehr schwierig. Nimm Brüche auf, aber quadriere ... Keine Sorge. Wenn wir uns mit den Eigenschaften der Wurzeln befassen, werden solche Beispiele auf dieselbe Tabelle von Quadraten reduziert. Das Leben wird einfacher!

Ok Brüche. Aber wir stoßen immer noch auf Ausdrücke wie:

Nichts Schlimmes. Alles das selbe. Die Quadratwurzel aus zwei ist die Zahl, die quadriert eine Zwei ergibt. Nur die Anzahl ist völlig ungerade ... Hier ist sie:

Interessanterweise endet dieser Bruch nie... Solche Zahlen nennt man irrational. Bei Quadratwurzeln ist dies die häufigste Sache. Aus diesem Grund werden übrigens Ausdrücke mit Wurzeln aufgerufen irrational. Es ist klar, dass es unpraktisch ist, ständig einen solchen unendlichen Bruch zu schreiben. Daher belassen sie es anstelle eines unendlichen Bruchs so:

Wenn Sie beim Lösen des Beispiels etwas erhalten, das nicht extrahierbar ist, wie zum Beispiel:

dann lassen wir es so. Dies wird die Antwort sein.

Sie müssen klar verstehen, was sich unter den Symbolen befindet

Natürlich, wenn die Wurzel aus der Zahl gezogen wird glatt, müssen Sie tun. Die Beantwortung der Aufgabe im Formular zum Beispiel

eine ziemlich vollständige Antwort.

Und natürlich müssen Sie die ungefähren Werte aus dem Gedächtnis kennen:

Dieses Wissen hilft sehr, die Situation bei komplexen Aufgaben einzuschätzen.

Punkt drei. Der schlauste.

Die Hauptverwirrung in der Arbeit mit den Wurzeln wird gerade durch diese Modeerscheinung gebracht. Er ist es, der Selbstzweifel gibt ... Lassen Sie uns mit dieser Modeerscheinung richtig umgehen!

Zunächst ziehen wir wieder die Quadratwurzel aus ihren Vieren. Was, habe ich dich schon mit dieser Wurzel erwischt?) Nichts, jetzt wird es interessant!

Welche Zahl ergibt das Quadrat von 4? Nun, zwei, zwei - ich höre unzufriedene Antworten ...

Recht. Zwei. Aber auch minus zwei wird 4 zum Quadrat geben ... Inzwischen die Antwort

richtig und die Antwort

gröbster Fehler. So.

Also, was ist der Deal?

Tatsächlich (-2) 2 = 4. Und unter der Definition der Quadratwurzel von vier minus zwei ganz passend... Das ist auch die Quadratwurzel aus vier.

Aber! Im Schulunterricht Mathematik ist es üblich, Quadratwurzeln zu berücksichtigen nur nicht negative Zahlen! Dh null und alle positiv. Sogar ein spezieller Begriff wurde geprägt: aus der Nummer a- Das nicht negativ Zahl, deren Quadrat ist a. Negative Ergebnisse beim Ziehen der arithmetischen Quadratwurzel werden einfach verworfen. In der Schule alle Quadratwurzeln - Arithmetik. Auch wenn es nicht ausdrücklich erwähnt wird.

Okay, das ist verständlich. Es ist noch besser, nicht mit negativen Ergebnissen herumzuspielen ... Es ist noch keine Verwirrung.

Die Verwirrung beginnt beim Lösen quadratischer Gleichungen. Beispielsweise müssen Sie die folgende Gleichung lösen.

Die Gleichung ist einfach, wir schreiben die Antwort (wie gelehrt):

Diese Antwort (übrigens ganz richtig) ist nur eine abgekürzte Notation zwei Antworten:

Halt halt! Etwas höher schrieb ich, dass die Quadratwurzel eine Zahl ist stets nicht negativ! Und hier ist eine der Antworten - Negativ! Störung. Dies ist das erste (aber nicht das letzte) Problem, das Misstrauen gegenüber den Wurzeln hervorruft ... Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Schreiben wir die Antworten (rein zum Verständnis!) so auf:

Die Klammern ändern nichts am Wesen der Antwort. Ich habe einfach mit Klammern getrennt Zeichen aus Wurzel. Nun sieht man deutlich, dass die Wurzel selbst (in Klammern) immer noch eine nicht-negative Zahl ist! Und die Zeichen sind das Ergebnis der Lösung der Gleichung. Schließlich müssen wir beim Lösen einer Gleichung schreiben alles x, was, wenn es in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird, das richtige Ergebnis liefert. Die Wurzel aus fünf (positiv!) eignet sich für unsere Gleichung sowohl mit Plus als auch mit Minus.

So. Wenn Sie Ziehe einfach die Quadratwurzel von allem, was Sie stets werden eine nicht-negativ Ergebnis. Zum Beispiel:

Weil es - arithmetische Quadratwurzel.

Aber wenn Sie eine quadratische Gleichung lösen wie:

dann stets es stellt sich heraus zwei Antwort (mit Plus und Minus):

Weil es die Lösung einer Gleichung ist.

Hoffnung, was ist quadratwurzel mit deinen Punkten hast du es richtig gemacht. Nun bleibt herauszufinden, was man mit den Wurzeln machen kann, welche Eigenschaften sie haben. Und was sind die Modeerscheinungen und Unterwasserboxen ... entschuldigen Sie, Steine!)

All dies - in den nächsten Lektionen.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Tatsache 1.
\(\bullet\) Nehmen Sie eine nicht-negative Zahl \(a\) (zB \(a\geqslant 0\) ). Dann (rechnen) Quadratwurzel aus der Zahl \(a\) wird eine solche nicht-negative Zahl \(b\) genannt, beim Quadrieren erhalten wir die Zahl \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(wie )\quad a=b^2\] Aus der Definition folgt, dass \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Diese Einschränkungen sind eine wichtige Bedingung für die Existenz einer Quadratwurzel und sollten beachtet werden!
Denken Sie daran, dass jede Zahl quadriert ein nicht negatives Ergebnis ergibt. Das heißt, \(100^2=10000\geqslant 0\) und \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Was ist \(\sqrt(25)\) ? Wir wissen, dass \(5^2=25\) und \((-5)^2=25\) . Da wir per Definition eine nicht-negative Zahl finden müssen, ist \(-5\) nicht geeignet, also \(\sqrt(25)=5\) (da \(25=5^2\) ).
Das Finden des Werts \(\sqrt a\) wird als Ziehen der Quadratwurzel der Zahl \(a\) bezeichnet, und die Zahl \(a\) wird als Wurzelausdruck bezeichnet.
\(\bullet\) Basierend auf der Definition können die Ausdrücke \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , etc. keinen Sinn machen.

Tatsache 2.
Für schnelle Berechnungen ist es hilfreich, die Tabelle der Quadrate natürlicher Zahlen von \(1\) bis \(20\) zu lernen: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Tatsache 3.
Was kann man mit Quadratwurzeln machen?
\(\Patrone\) Die Summe oder Differenz der Quadratwurzeln ist NICHT GLEICH der Quadratwurzel der Summe oder Differenz, d.h. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Wenn Sie also beispielsweise \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) berechnen müssen, müssen Sie zunächst die Werte \(\sqrt(25)\) und \(\sqrt (49)\ ) und dann addieren. Somit, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Wenn beim Hinzufügen von \(\sqrt a+\sqrt b\) die Werte \(\sqrt a\) oder \(\sqrt b\) nicht gefunden werden, dann wird ein solcher Ausdruck nicht weiter konvertiert und bleibt so wie er ist. Zum Beispiel können wir in der Summe \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) \(\sqrt(49)\) finden - das ist \(7\) , aber \(\sqrt 2\) kann es nicht sein in irgendeiner Weise konvertiert, Deshalb \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Außerdem kann dieser Ausdruck leider in keiner Weise vereinfacht werden.\(\bullet\) Das Produkt/der Quotient der Quadratwurzeln ist gleich der Quadratwurzel des Produkts/Quotienten, d.h. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sofern beide Teile der Gleichheit sinnvoll sind)
Beispiel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Unter Verwendung dieser Eigenschaften ist es praktisch, die Quadratwurzeln großer Zahlen zu finden, indem man sie faktorisiert.
Betrachten Sie ein Beispiel. Finden Sie \(\sqrt(44100)\) . Da \(44100:100=441\) , dann \(44100=100\cdot 441\) . Nach dem Teilbarkeitskriterium ist die Zahl \(441\) durch \(9\) teilbar (da ihre Quersumme 9 ist und durch 9 teilbar ist), also \(441:9=49\) , das heißt \(441=9\ cdot 49\) .
Somit haben wir: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Schauen wir uns ein anderes Beispiel an: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Am Beispiel des Ausdrucks \(5\sqrt2\) (kurz für den Ausdruck \(5\cdot \sqrt2\) ) zeigen wir, wie man Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingibt. Da \(5=\sqrt(25)\) dann \ Beachten Sie auch, dass bspw.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Warum so? Lassen Sie uns mit Beispiel 1) erklären. Wie Sie bereits verstanden haben, können wir die Zahl \(\sqrt2\) nicht irgendwie konvertieren. Stellen Sie sich vor, dass \(\sqrt2\) eine Zahl \(a\) ist. Dementsprechend ist der Ausdruck \(\sqrt2+3\sqrt2\) nichts anderes als \(a+3a\) (eine Zahl \(a\) plus drei weitere gleiche Zahlen \(a\) ). Und wir wissen, dass dies gleich vier solcher Zahlen \(a\) ist, also \(4\sqrt2\) .

Tatsache 4.
\(\bullet\) Es wird oft gesagt „kann die Wurzel nicht ziehen“, wenn es nicht möglich ist, das Zeichen \(\sqrt () \ \) der Wurzel (Wurzel) loszuwerden, wenn man den Wert einer Zahl findet. Beispielsweise können Sie die Zahl \(16\) rooten, weil \(16=4^2\) , also \(\sqrt(16)=4\) . Aber die Wurzel aus der Zahl \(3\) zu ziehen, also \(\sqrt3\) zu finden, ist unmöglich, weil es keine solche Zahl gibt, die quadriert \(3\) ergibt.
Solche Zahlen (oder Ausdrücke mit solchen Zahlen) sind irrational. Zum Beispiel Zahlen \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) usw. sind irrational.
Также иррациональными являются числа \(\pi\) (число “пи”, приблизительно равное \(3,14\) ), \(e\) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\) ) usw.
\(\bullet\) Bitte beachten Sie, dass jede Zahl entweder rational oder irrational ist. Und zusammen bilden alle rationalen und alle irrationalen Zahlen eine Menge namens Menge reeller (reeller) Zahlen. Diese Menge wird mit dem Buchstaben \(\mathbb(R)\) bezeichnet.
Das bedeutet, dass alle Zahlen, die wir derzeit kennen, reelle Zahlen genannt werden.

Tatsache 5.
\(\bullet\) Modul einer reellen Zahl \(a\) ist eine nicht negative Zahl \(|a|\) gleich dem Abstand vom Punkt \(a\) zu \(0\) auf der reellen Zahl Linie. Beispielsweise sind \(|3|\) und \(|-3|\) gleich 3, da die Abstände von den Punkten \(3\) und \(-3\) zu \(0\) gleich sind gleich und gleich \(3 \) .
\(\bullet\) Wenn \(a\) eine nicht negative Zahl ist, dann \(|a|=a\) .
Beispiel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann \(|a|=-a\) .
Beispiel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sie sagen, dass das Modul für negative Zahlen das Minus „frisst“ und positive Zahlen sowie die Zahl \(0\) das Modul unverändert lässt.
SONDERN diese Regel gilt nur für Zahlen. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\) (или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\) , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля wir können nicht. In diesem Fall bleibt dieser Ausdruck so: \(|x|\) . \(\bullet\) Es gelten folgende Formeln: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( vorausgesetzt ) a\geqslant 0\] Der folgende Fehler wird oft gemacht: Sie sagen, dass \(\sqrt(a^2)\) und \((\sqrt a)^2\) dasselbe sind. Dies gilt nur, wenn \(a\) eine positive Zahl oder Null ist. Aber wenn \(a\) eine negative Zahl ist, dann ist das nicht wahr. Es genügt, ein solches Beispiel zu betrachten. Nehmen wir statt \(a\) die Zahl \(-1\). Dann ist \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , aber der Ausdruck \((\sqrt (-1))^2\) existiert überhaupt nicht (weil er existiert unmöglich, unter dem Wurzelzeichen negative Zahlen einzugeben!).
Deshalb machen wir Sie darauf aufmerksam, dass \(\sqrt(a^2)\) nicht gleich \((\sqrt a)^2\) ist! Beispiel 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), da \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Da \(\sqrt(a^2)=|a|\) , dann \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (der Ausdruck \(2n\) bezeichnet eine gerade Zahl)
Das heißt, wenn die Wurzel aus einer Zahl gezogen wird, die in einem gewissen Grad ist, wird dieser Grad halbiert.
Beispiel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (beachten Sie, dass wenn das Modul nicht gesetzt ist, sich herausstellt, dass die Wurzel der Zahl gleich \(-25 ist \) ; aber wir erinnern uns , was dies per Definition der Wurzel nicht sein kann: Beim Wurzelziehen sollten wir immer eine positive Zahl oder Null erhalten)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (da jede Zahl mit gerader Potenz nicht negativ ist)

Tatsache 6.
Wie vergleicht man zwei Quadratwurzeln?
\(\bullet\) Wahr für Quadratwurzeln: wenn \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aBeispiel:
1) vergleiche \(\sqrt(50)\) und \(6\sqrt2\) . Zuerst transformieren wir den zweiten Ausdruck in \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Seit \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt \(\sqrt(50)\) ?
Da \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) und \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Vergleiche \(\sqrt 2-1\) und \(0,5\) . Angenommen \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((addiere eins auf beiden Seiten))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((Quadrat beider Teile))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Wir sehen, dass wir eine falsche Ungleichung erhalten haben. Daher war unsere Annahme falsch und \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Beachten Sie, dass das Hinzufügen einer bestimmten Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung ihr Vorzeichen nicht beeinflusst. Die Multiplikation/Division beider Teile der Ungleichung mit einer positiven Zahl ändert ebenfalls nichts an ihrem Vorzeichen, aber die Multiplikation/Division mit einer negativen Zahl kehrt das Vorzeichen der Ungleichung um!
Beide Seiten einer Gleichung/Ungleichung können NUR quadriert werden, WENN beide Seiten nicht negativ sind. Bei der Ungleichung aus dem vorherigen Beispiel können Sie beispielsweise beide Seiten quadrieren, bei der Ungleichung \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Beachte das \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Die ungefähre Bedeutung dieser Zahlen zu kennen, hilft Ihnen beim Zahlenvergleich! \(\bullet\) Um die Wurzel (falls sie gezogen wird) aus einer großen Zahl zu ziehen, die nicht in der Quadrattabelle steht, müssen Sie zuerst bestimmen, zwischen welchen „Hunderten“ sie liegt, dann zwischen welchen „Zehnern“. und bestimmen Sie dann die letzte Ziffer dieser Zahl. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie es funktioniert.
Nimm \(\sqrt(28224)\) . Wir wissen, dass \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) und so weiter. Beachten Sie, dass \(28224\) zwischen \(10\,000\) und \(40\,000\) liegt. Daher liegt \(\sqrt(28224)\) zwischen \(100\) und \(200\) .
Lassen Sie uns nun feststellen, zwischen welchen „Zehnern“ unsere Zahl liegt (also beispielsweise zwischen \(120\) und \(130\) ). Aus der Quadrattabelle wissen wir auch, dass \(11^2=121\) , \(12^2=144\) usw., dann \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Wir sehen also, dass \(28224\) zwischen \(160^2\) und \(170^2\) liegt. Daher liegt die Zahl \(\sqrt(28224)\) zwischen \(160\) und \(170\) .
Versuchen wir, die letzte Ziffer zu bestimmen. Erinnern wir uns, welche einstelligen Zahlen beim Quadrieren am Ende \ (4 \) ergeben? Dies sind \(2^2\) und \(8^2\) . Daher endet \(\sqrt(28224)\) entweder mit 2 oder 8. Lassen Sie uns das überprüfen. Finden Sie \(162^2\) und \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Also \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Um die Prüfung in Mathematik adäquat zu lösen, ist es zunächst notwendig, den theoretischen Stoff zu studieren, der zahlreiche Theoreme, Formeln, Algorithmen usw. vorstellt. Auf den ersten Blick mag dies recht einfach erscheinen. Allerdings ist es eine ziemlich schwierige Aufgabe, eine Quelle zu finden, in der die Theorie für das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik für Studierende jeder Vorbereitungsstufe einfach und verständlich dargestellt wird. Schulbücher können nicht immer zur Hand sein. Und auch im Internet kann es schwierig sein, die Grundformeln für die Prüfung in Mathematik zu finden.

Warum ist das Theoriestudium in Mathematik nicht nur für Examen so wichtig?

1. Weil es den Horizont erweitert. Das Studium von theoretischem Material in der Mathematik ist für alle nützlich, die Antworten auf eine Vielzahl von Fragen zur Welterkenntnis erhalten möchten. Alles in der Natur ist geordnet und hat eine klare Logik. Genau das spiegelt sich in der Wissenschaft wider, durch die es möglich ist, die Welt zu verstehen.
2. Weil es den Intellekt entwickelt. Durch das Studium von Referenzmaterialien für die Prüfung in Mathematik sowie durch das Lösen verschiedener Probleme lernt eine Person, logisch zu denken und zu argumentieren, Gedanken richtig und klar zu formulieren. Er entwickelt die Fähigkeit zu analysieren, zu verallgemeinern und Schlussfolgerungen zu ziehen.

Wir laden Sie ein, alle Vorteile unseres Ansatzes zur Systematisierung und Präsentation von Unterrichtsmaterialien persönlich zu bewerten.