Zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten der quadratischen Gleichung gibt es zusätzlich zu den Wurzelformeln andere nützliche Beziehungen, die durch gegeben sind Satz von Vieta. In diesem Artikel geben wir eine Formulierung und einen Beweis des Satzes von Vieta für eine quadratische Gleichung. Als nächstes betrachten wir einen Satz, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist. Danach werden wir die Lösungen der charakteristischsten Beispiele analysieren. Schließlich schreiben wir die Vieta-Formeln auf, die die Verbindung zwischen den echten Wurzeln definieren algebraische Gleichung Grad n und seine Koeffizienten.

Seitennavigation.

Satz von Vieta, Formulierung, Beweis

Aus den Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 +b x+c=0 der Form , wobei D=b 2 −4 a c , sind die Beziehungen x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Diese Ergebnisse werden bestätigt Satz von Vieta:

Satz.

Wenn ein x 1 und x 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung a x 2 +b x+c=0 sind, dann ist die Summe der Wurzeln gleich dem Verhältnis der Koeffizienten b und a, genommen mit entgegengesetztem Vorzeichen, und dem Produkt von die Wurzeln sind gleich dem Verhältnis der Koeffizienten c und a, also .

Nachweisen.

Wir werden den Satz von Vieta nach folgendem Schema beweisen: Wir bilden die Summe und das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung unter Verwendung der bekannten Wurzelformeln, danach transformieren wir die resultierenden Ausdrücke und stellen sicher, dass sie gleich −b sind /a bzw. c/a.

Beginnen wir mit der Summe der Wurzeln, komponieren Sie sie. Jetzt bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner, wir haben. Im Zähler des resultierenden Bruchs, nach dem: . Schließlich erhalten wir nach 2 . Dies beweist die erste Beziehung des Satzes von Vieta für die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Kommen wir zum zweiten.

Wir bilden das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung:. Nach der Regel der Multiplikation von Brüchen kann das letzte Produkt geschrieben werden als. Jetzt multiplizieren wir die Klammer mit der Klammer im Zähler, aber es ist schneller, dieses Produkt zu reduzieren Differenz der Quadrate Formel, So . Dann erinnern wir uns an und führen den nächsten Übergang durch. Und da die Formel D=b 2 −4 a·c der Diskriminante der quadratischen Gleichung entspricht, dann kann b 2 −4·a·c anstelle von D in den letzten Bruch eingesetzt werden, wir erhalten . Nachdem wir die Klammern geöffnet und gleiche Terme gekürzt haben, gelangen wir zum Bruch , und seine Kürzung um 4·a ergibt . Dies beweist die zweite Beziehung des Satzes von Vieta für das Produkt von Wurzeln.

Wenn wir die Erläuterungen weglassen, wird der Beweis des Vieta-Theorems eine knappe Form annehmen:
,
.

Es bleibt nur zu beachten, dass die quadratische Gleichung eine Wurzel hat, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass die Gleichung in diesem Fall zwei identische Wurzeln hat, dann gelten auch die Gleichungen aus dem Satz von Vieta. Tatsächlich ist für D=0 die Wurzel der quadratischen Gleichung , dann und , und da D=0 , das heißt, b 2 −4·a·c=0 , womit b 2 =4·a·c , dann .

In der Praxis wird der Satz von Vieta am häufigsten in Bezug auf die reduzierte quadratische Gleichung (mit dem höchsten Koeffizienten a gleich 1) der Form x 2 +p·x+q=0 verwendet. Manchmal wird sie nur für quadratische Gleichungen dieser Art formuliert, was die Allgemeinheit nicht einschränkt, da jede quadratische Gleichung durch eine äquivalente Gleichung ersetzt werden kann, indem man ihre beiden Teile durch eine Zahl a ungleich Null dividiert. Hier ist die entsprechende Formulierung des Satzes von Vieta:

Satz.

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q \u003d 0 ist gleich dem Koeffizienten bei x mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist der freie Term, dh x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q .

Satz invers zum Satz von Vieta

Die zweite Formulierung des Satzes von Vieta, die im vorherigen Absatz gegeben wurde, zeigt, dass, wenn x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind, die Beziehungen x 1 +x 2 = − sind p , x 1 x 2 = q. Andererseits folgt aus den geschriebenen Beziehungen x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, dass x 1 und x 2 die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 sind. Mit anderen Worten, die Behauptung, die dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, ist wahr. Wir formulieren es in Form eines Satzes und beweisen es.

Satz.

Wenn die Zahlen x 1 und x 2 so sind, dass x 1 + x 2 = –p und x 1 x 2 = q, dann sind x 1 und x 2 die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 .

Nachweisen.

Nach dem Ersetzen der Koeffizienten p und q in der Gleichung x 2 + p x + q = 0 ihres Ausdrucks durch x 1 und x 2 wird sie in eine äquivalente Gleichung umgewandelt.

Wir setzen die Zahl x 1 anstelle von x in die resultierende Gleichung ein, wir haben die Gleichheit x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0, was für jedes x 1 und x 2 die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ist, da x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Daher ist x 1 die Wurzel der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, was bedeutet, dass x 1 die Wurzel der äquivalenten Gleichung x 2 +p x+q=0 ist.

Wenn in der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 ersetzen Sie die Zahl x 2 anstelle von x, dann erhalten wir die Gleichheit x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Dies ist die richtige Gleichung, weil x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Daher ist x 2 auch die Wurzel der Gleichung x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, und damit die Gleichungen x 2 +p x+q=0 .

Damit ist der Beweis des gegenteiligen Satzes zum Satz von Vieta abgeschlossen.

Beispiele für die Verwendung des Satzes von Vieta

Es ist an der Zeit, über die praktische Anwendung des Satzes von Vieta und seines Umkehrsatzes zu sprechen. In diesem Unterabschnitt werden wir die Lösungen einiger der typischsten Beispiele analysieren.

Wir beginnen mit der Anwendung eines umgekehrten Satzes zum Satz von Vieta. Es ist bequem, es zu verwenden, um zu überprüfen, ob die gegebenen zwei Zahlen die Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. In diesem Fall werden ihre Summe und Differenz berechnet, wonach die Gültigkeit der Beziehungen überprüft wird. Wenn diese beiden Beziehungen erfüllt sind, wird aufgrund des Satzes, der dem Satz von Vieta entgegengesetzt ist, geschlussfolgert, dass diese Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind. Wenn mindestens eine der Beziehungen nicht erfüllt ist, sind diese Zahlen nicht die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Dieser Ansatz kann beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet werden, um die gefundenen Wurzeln zu überprüfen.

Beispiel.

Welches der Zahlenpaare 1) x 1 =−5, x 2 =3 oder 2) oder 3) ist ein Wurzelpaar der quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0?

Entscheidung.

Die Koeffizienten der gegebenen quadratischen Gleichung 4 x 2 −16 x+9=0 sind a=4 , b=−16 , c=9 . Nach dem Satz von Vieta muss die Summe der Wurzeln der quadratischen Gleichung gleich −b/a sein, also 16/4=4, und das Produkt der Wurzeln muss gleich c/a sein, also 9 /4.

Lassen Sie uns nun die Summe und das Produkt der Zahlen in jedem der drei angegebenen Paare berechnen und sie mit den gerade erhaltenen Werten vergleichen.

Im ersten Fall haben wir x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Der resultierende Wert unterscheidet sich von 4, daher kann keine weitere Überprüfung durchgeführt werden, aber aus dem Satz, der Umkehrung des Satzes von Vieta, können wir sofort schließen, dass das erste Zahlenpaar kein Paar Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung ist .

Kommen wir zum zweiten Fall. Hier ist also die erste Bedingung erfüllt. Wir prüfen die zweite Bedingung: , der resultierende Wert unterscheidet sich von 9/4 . Daher ist das zweite Zahlenpaar kein Wurzelpaar einer quadratischen Gleichung.

Der letzte Fall bleibt. Hier und . Beide Bedingungen sind erfüllt, also sind diese Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung.

Antworten:

Der Satz, die Umkehrung des Satzes von Vieta, kann in der Praxis verwendet werden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung auszuwählen. Normalerweise werden ganzzahlige Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ausgewählt, da dies in anderen Fällen ziemlich schwierig ist. Gleichzeitig nutzen sie die Tatsache, dass, wenn die Summe zweier Zahlen gleich dem zweiten Koeffizienten der quadratischen Gleichung ist, genommen mit einem Minuszeichen, und das Produkt dieser Zahlen gleich dem freien Term ist, dann sind diese Zahlen die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Nehmen wir die quadratische Gleichung x 2 −5 x+6=0 . Damit die Zahlen x 1 und x 2 die Wurzeln dieser Gleichung sind, müssen zwei Gleichungen x 1 + x 2 \u003d 5 und x 1 x 2 \u003d 6 erfüllt sein. Es bleibt, solche Zahlen zu wählen. In diesem Fall ist das ganz einfach: Solche Zahlen sind 2 und 3, da 2+3=5 und 2 3=6 . Somit sind 2 und 3 die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung.

Der Satz, die Umkehrung des Satzes von Vieta, lässt sich besonders bequem anwenden, um die zweite Wurzel der reduzierten quadratischen Gleichung zu finden, wenn eine der Wurzeln bereits bekannt oder offensichtlich ist. In diesem Fall wird die zweite Wurzel aus einer der Relationen gefunden.

Nehmen wir zum Beispiel die quadratische Gleichung 512 x 2 −509 x−3=0 . Hier ist leicht zu erkennen, dass die Einheit die Wurzel der Gleichung ist, da die Summe der Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung Null ist. Also x 1 = 1 . Die zweite Wurzel x 2 ergibt sich beispielsweise aus der Beziehung x 1 x 2 = c/a. Wir haben 1 x 2 =−3/512 , also x 2 =−3/512 . Wir haben also beide Wurzeln der quadratischen Gleichung definiert: 1 und −3/512.

Es ist klar, dass die Wahl der Wurzeln nur in den einfachsten Fällen sinnvoll ist. In anderen Fällen können Sie, um die Wurzeln zu finden, die Formeln der Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Diskriminante anwenden.

Eine weitere praktische Anwendung des Satzes, der Umkehrung des Satzes von Vieta, ist die Erstellung quadratischer Gleichungen für gegebene Wurzeln x 1 und x 2. Dazu reicht es aus, die Summe der Wurzeln zu berechnen, die den Koeffizienten von x mit dem entgegengesetzten Vorzeichen der gegebenen quadratischen Gleichung ergibt, und das Produkt der Wurzeln, das den freien Term ergibt.

Beispiel.

Schreiben Sie eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln die Zahlen −11 und 23 sind.

Entscheidung.

Bezeichne x 1 =−11 und x 2 =23 . Wir berechnen die Summe und das Produkt dieser Zahlen: x 1 + x 2 \u003d 12 und x 1 x 2 \u003d −253. Daher sind diese Zahlen die Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten -12 und dem freien Term -253. Das heißt, x 2 – 12·x – 253 = 0 ist die gewünschte Gleichung.

Antworten:

x 2 −12 x−253=0 .

Der Satz von Vieta wird sehr oft bei der Lösung von Aufgaben im Zusammenhang mit den Vorzeichen der Wurzeln quadratischer Gleichungen verwendet. Wie hängt der Satz von Vieta mit den Vorzeichen der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +p x+q=0 zusammen? Hier sind zwei relevante Aussagen:

• Wenn der Achsenabschnitt q eine positive Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann sind entweder beide positiv oder beide negativ.
• Wenn der freie Term q eine negative Zahl ist und die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat, dann haben sie unterschiedliche Vorzeichen, d. h. eine Wurzel ist positiv und die andere negativ.

Diese Aussagen folgen aus der Formel x 1 x 2 =q, sowie den Regeln zur Multiplikation positiver, negativer Zahlen und Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen. Betrachten Sie Beispiele für ihre Anwendung.

Beispiel.

R ist positiv. Gemäß der Diskriminanzformel finden wir D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , den Wert des Ausdrucks r 2 +8 ist positiv für jedes reelle r , also D>0 für jedes reelle r . Daher hat die ursprüngliche quadratische Gleichung zwei Wurzeln für alle reellen Werte des Parameters r.

Lassen Sie uns nun herausfinden, wann die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben. Wenn die Vorzeichen der Wurzeln unterschiedlich sind, ist ihr Produkt negativ, und nach dem Satz von Vieta ist das Produkt der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung gleich dem freien Term. Daher interessieren uns diejenigen Werte von r, für die der freie Term r−1 negativ ist. Um die für uns interessanten Werte von r zu finden, müssen wir also Löse eine lineare Ungleichung r−1<0 , откуда находим r<1 .

Antworten:

bei r<1 .

Vieta-Formeln

Oben haben wir über den Satz von Vieta für eine quadratische Gleichung gesprochen und die Beziehungen analysiert, die er behauptet. Aber es gibt Formeln, die die reellen Wurzeln und Koeffizienten nicht nur von quadratischen Gleichungen, sondern auch von kubischen Gleichungen, Quadrupelgleichungen und im Allgemeinen verbinden. algebraische Gleichungen Grad n. Sie heißen Vieta-Formeln.

Wir schreiben die Vieta-Formeln für eine algebraische Gleichung vom Grad n der Form, wobei wir davon ausgehen, dass sie n reelle Wurzeln x 1, x 2, ..., x n hat (darunter können dieselben sein):

Holen Sie sich Vieta Formeln ermöglicht Polynomialer Faktorisierungssatz, sowie die Definition gleicher Polynome durch die Gleichheit aller ihrer zugehörigen Koeffizienten. Also sind das Polynom und seine Erweiterung in lineare Faktoren der Form gleich. Durch Öffnen der Klammern im letzten Produkt und Gleichsetzen der entsprechenden Koeffizienten erhalten wir die Vieta-Formeln.

Insbesondere für n=2 haben wir bereits bekannte Vieta-Formeln für die quadratische Gleichung .

Für eine kubische Gleichung haben die Vieta-Formeln die Form

Es bleibt nur noch anzumerken, dass auf der linken Seite der Vieta-Formeln die sogenannten Elementarformeln stehen Symmetrische Polynome.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 2010.- 368 S. : krank. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Die Essenz dieser Technik besteht darin, die Wurzeln ohne die Hilfe der Diskriminante zu finden. Für eine Gleichung der Form x2 + bx + c = 0, bei der es zwei reelle verschiedene Wurzeln gibt, sind zwei Aussagen wahr.

Die erste Aussage besagt, dass die Summe der Wurzeln dieser Gleichung gleich dem Wert des Koeffizienten der Variablen x ist (in diesem Fall ist es b), aber mit entgegengesetztem Vorzeichen. Optisch sieht das so aus: x1 + x2 = −b.

Die zweite Aussage ist nicht mehr mit der Summe verbunden, sondern mit dem Produkt derselben zwei Wurzeln. Dieses Produkt wird einem freien Koeffizienten gleichgesetzt, d.h. c. Oder x1 * x2 = c. Beide Beispiele werden im System gelöst.

Der Satz von Vieta vereinfacht die Lösung erheblich, hat aber eine Einschränkung. Eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln mit dieser Technik gefunden werden können, muss reduziert werden. In der obigen Gleichung für den Koeffizienten a ist die Eins vor x2 gleich eins. Jede Gleichung kann auf eine ähnliche Form reduziert werden, indem der Ausdruck durch den ersten Koeffizienten dividiert wird, aber diese Operation ist nicht immer rational.

Beweis des Satzes

Zunächst sollten wir uns daran erinnern, wie es traditionell üblich ist, die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu suchen. Die erste und zweite Wurzel werden gefunden, nämlich: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Allgemein durch 2a teilbar, aber wie bereits erwähnt, kann der Satz nur für a = 1 angewendet werden.

Aus dem Satz von Vieta ist bekannt, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit einem Minuszeichen ist. Das bedeutet, dass x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Dasselbe gilt für das Produkt unbekannter Wurzeln: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. D = b2-4c (wieder mit a=1). Es stellt sich heraus, dass das Ergebnis ist: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Aus dem obigen einfachen Beweis kann nur eine Schlussfolgerung gezogen werden: Der Satz von Vieta ist vollständig bestätigt.

Zweite Formulierung und Beweis

Der Satz von Vieta hat eine andere Interpretation. Genauer gesagt handelt es sich nicht um eine Interpretation, sondern um eine Formulierung. Tatsache ist, dass, wenn die gleichen Bedingungen wie im ersten Fall erfüllt sind: es gibt zwei verschiedene reelle Wurzeln, dann kann der Satz in einer anderen Formel geschrieben werden.

Diese Gleichheit sieht folgendermaßen aus: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Wenn sich die Funktion P(x) an zwei Punkten x1 und x2 schneidet, dann kann sie geschrieben werden als P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Für den Fall, dass P den zweiten Grad hat, und genau so sieht der ursprüngliche Ausdruck aus, dann ist R eine Primzahl, nämlich 1. Diese Aussage gilt deshalb, weil sonst die Gleichheit nicht gilt. Der Koeffizient x2 beim Öffnen von Klammern sollte nicht größer als eins sein, und der Ausdruck sollte quadratisch bleiben.

Der Satz von Vieta wird oft verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu testen. Hat man die Wurzeln gefunden, kann man mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte \(p\ ) und \(q\ ). Und wenn sie sich als die gleichen wie in der ursprünglichen Gleichung herausstellen, werden die Wurzeln richtig gefunden.

Verwenden wir zum Beispiel , lösen die Gleichung \(x^2+x-56=0\) und erhalten die Wurzeln: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Lassen Sie uns überprüfen, ob wir beim Lösen einen Fehler gemacht haben. In unserem Fall \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Beide Aussagen konvergierten, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.

Dieser Test kann mündlich durchgeführt werden. Es dauert 5 Sekunden und bewahrt Sie vor dummen Fehlern.

Inverses Vieta-Theorem

Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).

Oder ganz einfach: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann durch Lösen des Systems \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.

Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln einer quadratischen Gleichung finden, besonders wenn diese Wurzeln sind. Diese Fähigkeit ist wichtig, da sie viel Zeit spart.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).

Entscheidung : Mit dem inversen Satz von Vieta erhalten wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Betrachten Sie die zweite Gleichung des \(x_1 \cdot x_2=6\)-Systems. In welche zwei kann die Zahl \(6\) zerlegt werden? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\), und \(-6\) und \(- ein\). Und welches Paar zu wählen ist, zeigt die erste Gleichung des Systems: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, weil \(2+3=5\).
Antworten : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Beispiele . Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung, indem Sie die Umkehrung des Satzes von Vieta verwenden:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Entscheidung :
a) \(x^2-15x+14=0\) - in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - in welche Faktoren zerlegt sich \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren zerlegt sich \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben zusammen \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - in welche Faktoren zerlegt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergeben sie zusammen \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).

Es ist nicht notwendig, den letzten Term in alle möglichen Faktoren zu zerlegen (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort prüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.

Wichtig! Der Satz von Vieta und der umgekehrte Satz funktionieren nur mit , also einem, dessen Koeffizient vor \(x^2\) gleich eins ist. Wenn wir zunächst eine nicht reduzierte Gleichung haben, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \ (x ^ 2 \) dividieren.

zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen Satz von Vieta verwenden. Aber wir können nicht, weil der Koeffizient vor \(x^2\) gleich \(2\) ist. Lassen Sie uns es loswerden, indem wir die ganze Gleichung durch \(2\) dividieren.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Bereit. Jetzt können wir beide Theoreme verwenden.

Antworten auf häufig gestellte Fragen

Frage: Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes lösen?
Antworten: Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder die Gleichung überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend . Glücklicherweise haben 80 % der Gleichungen im Mathekurs der Schule ganzzahlige Lösungen.

Quadratische Funktion.

Die durch die Formel y = ax2 + bx + c gegebene Funktion, wobei x und y Variablen und a, b, c gegebene Zahlen sind, wobei a ungleich 0 ist.
namens quadratische Funktion

Auswahl eines vollen Quadrats.

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, die Bedingungen für ihre Existenz und Zahlen.

ist die Diskriminante der quadratischen Gleichung.

Vietas direkter und inverser Satz.

Zerlegung eines quadratischen Trinoms in lineare Faktoren.

Satz. Lassen

x 1 und x 2 - Wurzeln eines quadratischen Trinomsx 2 + px + q. Dann wird dieses Trinom wie folgt in lineare Faktoren zerlegt:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).

Nachweisen. Ersatz statt

p und qihre Ausdrücke durchx 1 und x 2 und verwenden Sie die Gruppierungsmethode:

x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). Der Satz ist bewiesen.

Quadratische Gleichung. Quadratisches Trinomdiagramm

Gleichung eingeben

heißt quadratische Gleichung. Die Zahl D = b 2 - 4ac ist die Diskriminante dieser Gleichung.
Wenn ein

dann die Zahlen

sind die Wurzeln (oder Lösungen) der quadratischen Gleichung. Wenn D = 0, dann fallen die Wurzeln zusammen:

Wenn d< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Gültige Formeln:

- Vieta-Formeln; a
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
Faktorisierungsformel.
Der Graph einer quadratischen Funktion (quadratisches Trinom) y \u003d ax 2 + bx + c ist eine Parabel. Die Lage der Parabel in Abhängigkeit von den Vorzeichen des Koeffizienten a und der Diskriminante D ist in Abb. 1 dargestellt.


Die Zahlen x 1 und x 2 auf der x-Achse sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + + c \u003d 0; Koordinaten des Parabelscheitels (Punkt A) in allen Fällen

der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse hat die Koordinaten (0; c).
Wie eine Gerade und ein Kreis teilt eine Parabel eine Ebene in zwei Teile. In einem dieser Teile erfüllen die Koordinaten aller Punkte die Ungleichung y > ax 2 + bx + c, und im anderen das Gegenteil. Das Ungleichheitszeichen in dem ausgewählten Teil der Ebene wird bestimmt, indem es an irgendeinem Punkt in diesem Teil der Ebene gefunden wird.
Betrachten Sie das Konzept einer Tangente an eine Parabel (oder einen Kreis). Eine Gerade y - kx + 1 heißt Tangente an eine Parabel (oder einen Kreis), wenn sie einen gemeinsamen Punkt mit dieser Kurve hat.


Am Tangentialpunkt M(x; y) ist für eine Parabel die Gleichung kx + 1 = ax 2 + bx + c erfüllt (für einen Kreis die Gleichung (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Indem wir die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung gleich Null setzen (da die Gleichung eine eindeutige Lösung haben muss), kommen wir zu den Bedingungen für die Berechnung der Koeffizienten der Tangente.

Satz von Vieta

Seien und bezeichnen Sie die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung
(1) .
Dann ist die Summe der Wurzeln gleich dem Koeffizienten at mit entgegengesetztem Vorzeichen. Das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term:
;
.

Eine Anmerkung zu mehreren Wurzeln

Wenn die Diskriminante von Gleichung (1) Null ist, dann hat diese Gleichung eine Wurzel. Aber um umständliche Formulierungen zu vermeiden, wird allgemein akzeptiert, dass in diesem Fall Gleichung (1) zwei mehrfache oder gleiche Wurzeln hat:
.

Beweis eins

Lassen Sie uns die Wurzeln von Gleichung (1) finden. Wenden Sie dazu die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung an:
;
;
.

Suche nach der Summe der Wurzeln:
.

Um das Produkt zu finden, wenden wir die Formel an:
.
Dann

.

Der Satz ist bewiesen.

Beweis zwei

Wenn die Zahlen und die Wurzeln der quadratischen Gleichung (1) sind, dann
.
Wir öffnen die Klammern.

.
Somit nimmt Gleichung (1) die Form an:
.
Vergleichen wir mit (1) finden wir:
;
.

Der Satz ist bewiesen.

Inverses Vieta-Theorem

Es seien beliebige Zahlen. Dann sind und die Wurzeln der quadratischen Gleichung
,
wo
(2) ;
(3) .

Beweis des Umkehrsatzes von Vieta

Betrachten Sie die quadratische Gleichung
(1) .
Wir müssen beweisen, dass if und , then und die Wurzeln von Gleichung (1) sind.

Ersetzen Sie (2) und (3) in (1):
.
Wir gruppieren die Terme der linken Seite der Gleichung:
;
;
(4) .

Ersatz in (4) :
;
.

Ersatz in (4) :
;
.
Die Gleichung ist erfüllt. Das heißt, die Zahl ist die Wurzel von Gleichung (1).

Der Satz ist bewiesen.

Satz von Vieta für die vollständige quadratische Gleichung

Betrachten Sie nun die vollständige quadratische Gleichung
(5) ,
wobei , und einige Zahlen sind. Und .

Wir dividieren Gleichung (5) durch:
.
Das heißt, wir haben die obige Gleichung erhalten
,
wo ; .

Dann hat das Vieta-Theorem für die vollständige quadratische Gleichung die folgende Form.

Seien und bezeichnen Sie die Wurzeln der vollständigen quadratischen Gleichung
.
Dann werden die Summe und das Produkt der Wurzeln durch die Formeln bestimmt:
;
.

Satz von Vieta für eine kubische Gleichung

Ebenso können wir Verbindungen zwischen den Wurzeln einer kubischen Gleichung herstellen. Betrachten Sie die kubische Gleichung
(6) ,
wobei , , , einige Zahlen sind. Und .
Teilen wir diese Gleichung durch:
(7) ,
wo , , .
Seien , , die Wurzeln von Gleichung (7) (und Gleichung (6)). Dann

.

Durch Vergleich mit Gleichung (7) finden wir:
;
;
.

Satz von Vieta für eine Gleichung n-ten Grades

Auf die gleiche Weise finden Sie Verbindungen zwischen den Wurzeln , , ... , , für die Gleichung n-ten Grades
.

Der Satz von Vieta für eine Gleichung n-ten Grades hat die folgende Form:
;
;
;

.

Um diese Formeln zu erhalten, schreiben wir die Gleichung in der folgenden Form:
.
Dann setzen wir die Koeffizienten bei , , , ... gleich und vergleichen den freien Term.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: ein Lehrbuch für die 8. Klasse von Bildungseinrichtungen, Moskau, Bildung, 2006.