Ganz am Anfang dieses Artikels haben wir das Konzept der trigonometrischen Funktionen besprochen. Der Hauptzweck ihres Zwecks ist das Studium der Grundlagen der Trigonometrie und das Studium periodischer Prozesse. Und wir haben aus gutem Grund einen trigonometrischen Kreis gezeichnet, denn in den meisten Fällen werden trigonometrische Funktionen als das Verhältnis der Seiten eines Dreiecks oder seiner bestimmten Segmente in einem Einheitskreis definiert. Ich erwähnte auch die unbestreitbar große Bedeutung der Trigonometrie im modernen Leben. Aber die Wissenschaft steht nicht still, daher können wir den Anwendungsbereich der Trigonometrie erheblich erweitern und ihre Bestimmungen auf reelle und manchmal auf komplexe Zahlen übertragen.
Formeln der Trigonometrie es gibt mehrere Arten. Betrachten wir sie der Reihe nach.
Beziehungen trigonometrischer Funktionen des gleichen Winkels
Ausdrücke trigonometrischer Funktionen durcheinander
(Die Wahl des Zeichens vor der Wurzel wird dadurch bestimmt, in welchem der Kreisviertel die Ecke liegt?)
Im Folgenden sind die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Winkeln aufgeführt:
Doppel-, Dreifach- und Halbwinkelformeln.
Ich stelle fest, dass sie alle aus den vorherigen Formeln folgen.
Formeln zum Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke:
Hier kommen wir zur Betrachtung eines solchen Konzepts wie grundlegende trigonometrische Identitäten.
Eine trigonometrische Identität ist eine Gleichheit, die aus trigonometrischen Beziehungen besteht und für alle Werte der darin enthaltenen Winkel gilt.
Betrachten Sie die wichtigsten trigonometrischen Identitäten und ihre Beweise:
Die erste Identität folgt aus der Definition der Tangente.
Nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel x an der Spitze A.
Um die Identitäten zu beweisen, ist es notwendig, den Satz des Pythagoras zu verwenden:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Jetzt dividieren wir beide Teile der Gleichheit durch (AB) 2 und erinnern uns an die Definitionen von sin und cos des Winkels, wir erhalten die zweite Identität:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
sin x = (BC)/(AB)
cos x = (AC)/(AB)
sin 2 x + cos 2 x = 1
Um die dritte und vierte Identität zu beweisen, verwenden wir den vorherigen Beweis.
Dazu dividieren wir beide Teile der zweiten Identität durch cos 2 x:
sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
sin 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
Basierend auf der ersten Identität tg x \u003d sin x / cos x erhalten wir die dritte:
1 + tg2x = 1/cos2x
Nun dividieren wir die zweite Identität durch sin 2 x:
Sünde 2 x/ Sünde 2 x + cos 2 x/ Sünde 2 x = 1/ Sünde 2 x
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x ist nichts anderes als 1/tg 2 x, also erhalten wir die vierte Identität:
1 + 1/tg2x = 1/sin2x
Es ist Zeit, sich an den Satz über die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks zu erinnern, der besagt, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks \u003d 180 0 ist. Es stellt sich heraus, dass am Scheitelpunkt B des Dreiecks ein Winkel vorhanden ist, dessen Wert 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x beträgt.
Erinnern Sie sich noch einmal an die Definitionen für sin und cos und wir erhalten die fünfte und sechste Identität:
sin x = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 - x) = sin x
Lassen Sie uns nun Folgendes tun:
cos x = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)
sin(90 0 - x) = cos x
Wie Sie sehen, ist hier alles elementar.
Es gibt andere Identitäten, die bei der Lösung mathematischer Identitäten verwendet werden, ich werde sie nur als Referenz geben, weil sie alle aus dem oben Gesagten stammen.
sin 2x \u003d 2sin x * cos x
cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1
tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3 x
cos3x \u003d 4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)
Die "Sünden"-Anfrage wird hierher umgeleitet; siehe auch andere Bedeutungen. Die "sec"-Anforderung wird hierher umgeleitet; siehe auch andere Bedeutungen. "Sinus" leitet hier weiter; siehe auch andere Bedeutungen ... Wikipedia
Reis. 1 Graphen trigonometrischer Funktionen: Sinus, Cosinus, Tangens, Sekante, Kosekan, Kotangens Trigonometrische Funktionen sind eine Art Elementarfunktionen. Normalerweise beinhalten sie Sinus (sin x), Cosinus (cos x), Tangens (tg x), Kotangens (ctg x), ... ... Wikipedia
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Geodätische Messungen (XVII Jahrhundert) ... Wikipedia
In der Trigonometrie bezieht die Formel für den Tangens eines halben Winkels den Tangens eines halben Winkels auf die trigonometrischen Funktionen eines vollen Winkels: Verschiedene Variationen dieser Formel sind wie folgt ... Wikipedia
- (von griechisch τρίγονο (Dreieck) und griechisch μετρειν (Maß), d. h. die Messung von Dreiecken) ein Zweig der Mathematik, der trigonometrische Funktionen und ihre Anwendungen auf die Geometrie untersucht. Dieser Begriff erschien erstmals 1595 als ... ... Wikipedia
- (lat. solutio triangulorum) ein historischer Begriff, der die Lösung des trigonometrischen Hauptproblems bedeutet: Finden Sie unter Verwendung bekannter Daten über ein Dreieck (Seiten, Winkel usw.) den Rest seiner Eigenschaften. Das Dreieck befindet sich auf ... ... Wikipedia
Bücher
- Eine Reihe von Tischen. Algebra und die Anfänge der Analysis. 10. Klasse. 17 Tabellen + Methodik, . Die Tabellen sind auf dickem polygrafischem Karton im Format 680 x 980 mm gedruckt. Das Kit enthält eine Broschüre mit methodischen Empfehlungen für Lehrer. Studienalbum mit 17 Blättern.…
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Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.
Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.
Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.
Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.
Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:
In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.
Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.
Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:
Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.
In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (Sie benötigen natürlich noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). . Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Mittwoch, 4. Juli 2018
Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.
Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.
Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur weitere Brücken.
So sehr sich Mathematiker auch hinter dem Satz „wohlgemerkt, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf Mathematiker selbst an.
Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den ganzen Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedene Stapel, in die wir Scheine gleichen Werts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.
Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...
Und jetzt habe ich die interessanteste Frage: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.
Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.
Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.
Sonntag, 18. März 2018
Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.
Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.
Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu finden. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.
1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.
2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.
3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.
4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.
Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist noch nicht alles.
Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. In verschiedenen Zahlensystemen ist die Summe der Ziffern derselben Zahl also unterschiedlich. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.
Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist genauso, als würde man bei der Bestimmung der Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern ganz andere Ergebnisse erhalten.
Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.
Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.
Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.
Autsch! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?
Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.
Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,
Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:
Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.
1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.
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Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion (`sin x, cos x, tg x` oder `ctg x`) enthält, wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und wir werden ihre Formeln weiter betrachten.
Die einfachsten Gleichungen sind `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, wobei `x` der zu findende Winkel ist, `a` eine beliebige Zahl. Lassen Sie uns die Wurzelformeln für jeden von ihnen schreiben.
1. Gleichung „sin x=a“.
Für `|a|>1` hat es keine Lösungen.
Mit `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Gleichung `cos x=a`
Für `|a|>1` gibt es - wie beim Sinus - keine Lösungen unter reellen Zahlen.
Mit `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Graphen. 
3. Gleichung „tg x=a“.
Hat unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.
Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Gleichung „ctg x=a“.
Es hat auch unendlich viele Lösungen für beliebige Werte von `a`.
Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle
Für Nebenhöhlen: 
Für Kosinus: 
Für Tangens und Kotangens: 
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:
Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen
Die Lösung einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:
- Verwenden, um es in das einfachste umzuwandeln;
- Lösen Sie die resultierende einfache Gleichung unter Verwendung der obigen Formeln für die Wurzeln und Tabellen.
Betrachten wir die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen.
algebraische Methode.
Bei dieser Methode erfolgt die Ersetzung einer Variablen und ihre Substitution in Gleichheit.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
Ersetzen: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,
wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorisierung.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `sin x+cos x=1`.
Entscheidung. Alle Gleichheitsterme nach links verschieben: `sin x+cos x-1=0`. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:
`sünde x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Antwort: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reduktion auf eine homogene Gleichung
Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung in eine von zwei Formen bringen:
`a sin x+b cos x=0` (homogene Gleichung ersten Grades) oder `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogene Gleichung zweiten Grades).
Teilen Sie dann beide Teile durch `cos x \ne 0` für den ersten Fall und durch `cos^2 x \ne 0` für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für `tg x`: `a tg x+b=0` und `a tg^2 x + b tg x +c =0`, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Entscheidung. Schreiben wir die rechte Seite als `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.
Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, deren linker und rechter Teil durch `cos^2 x \ne 0` geteilt wird, erhalten wir:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x - 2=0`. Führen wir die Ersetzung `tg x=t` ein, als Ergebnis `t^2 + t - 2=0`. Die Wurzeln dieser Gleichung sind `t_1=-2` und `t_2=1`. Dann:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Antworten. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Gehe zur halben Ecke
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Entscheidung. Bei Anwendung der Doppelwinkelformeln lautet das Ergebnis: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Mit der oben beschriebenen algebraischen Methode erhalten wir:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Antworten. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Einführung eines Hilfswinkels
In der trigonometrischen Gleichung `a sin x + b cos x =c`, wo a,b,c Koeffizienten und x eine Variable sind, dividieren wir beide Teile durch `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich die Summe ihrer Quadrate ist 1 und ihr Betrag ist höchstens 1. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , dann:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: `3 sin x+4 cos x=2`.
Entscheidung. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch `sqrt (3^2+4^2)`, erhalten wir:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))‘
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Bezeichne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Da `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` ist, nehmen wir als Hilfswinkel `\varphi=arcsin 4/5`. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Mit der Winkelsummenformel für den Sinus schreiben wir unsere Gleichheit in folgender Form:
`sin(x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Antworten. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Bruchrationale trigonometrische Gleichungen
Dies sind Gleichheiten mit Brüchen, in deren Zählern und Nennern sich trigonometrische Funktionen befinden.
Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Entscheidung. Multipliziere und dividiere die rechte Seite der Gleichung mit `(1+cos x)`. Als Ergebnis erhalten wir:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Da der Nenner nicht Null sein kann, erhalten wir `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Den Zähler des Bruchs mit Null gleichsetzen: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Dann `sin x=0` oder `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Da ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ist, sind die Lösungen `x=2\pi n, n \in Z` und `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Antworten. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Ingenieurwissenschaften verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für die Prüfung. Versuchen Sie also, sich alle Formeln trigonometrischer Gleichungen zu merken - sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!
Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, die Essenz zu verstehen und daraus schließen zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.
