Monom ist ein Ausdruck, der das Produkt von zwei oder mehr Faktoren ist, von denen jeder eine Zahl ist, die durch einen Buchstaben, eine Ziffer oder eine Potenz (mit einem nicht negativen ganzzahligen Exponenten) ausgedrückt wird:

2a, a 3 x, 4ABC, -7x

Da das Produkt identischer Faktoren als Grad geschrieben werden kann, ist ein einzelner Grad (mit einem nicht negativen ganzzahligen Exponenten) auch ein Monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Da eine Zahl (ganz oder gebrochen), ausgedrückt durch einen Buchstaben oder Zahlen, als Produkt dieser Zahl mit Eins geschrieben werden kann, kann auch jede einzelne Zahl als Monom betrachtet werden:

x, 16, -a,

Standardform eines Monoms

Standardform eines Monoms- Dies ist ein Monom, das nur einen numerischen Faktor hat, der überhaupt geschrieben werden muss. Alle Variablen sind alphabetisch geordnet und nur einmal im Monom enthalten.

Zahlen, Variablen und Grade von Variablen beziehen sich auch auf Monome der Standardform:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - Monome der Standardform.

Der numerische Faktor eines Standardformmonoms wird aufgerufen Monomkoeffizient. Monomkoeffizienten gleich 1 und -1 werden normalerweise nicht geschrieben.

Wenn das Monom der Standardform keinen numerischen Faktor enthält, wird angenommen, dass der Koeffizient des Monoms 1 ist:

x 3 = 1 x 3

Wenn im Monom der Standardform kein Zahlenfaktor steht und davor ein Minuszeichen steht, dann wird angenommen, dass der Koeffizient des Monoms -1 ist:

-x 3 = -1 x 3

Reduktion eines Monoms auf Standardform

Um das Monom in die Standardform zu bringen, benötigen Sie:

1. Zahlenfaktoren multiplizieren, wenn es mehrere gibt. Potenziere einen numerischen Faktor, wenn er einen Exponenten hat. Setzen Sie den Zahlenmultiplikator an die erste Stelle.
2. Multiplizieren Sie alle identischen Variablen, sodass jede Variable nur einmal im Monom vorkommt.
3. Variablen nach dem numerischen Faktor in alphabetischer Reihenfolge anordnen.

Beispiel. Drücken Sie das Monom in Standardform aus:

a) 3 ja 2 (-2) j 5 x; b) 6 v. Chr 0,5 ab 3

Entscheidung:

a) 3 ja 2 (-2) j 5 x= 3 (-2) x 2 xjj 5 = -6x 3 j 6
b) 6 v. Chr 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Grad eines Monoms

Grad eines Monoms ist die Summe der Exponenten aller darin enthaltenen Buchstaben.

Wenn ein Monom eine Zahl ist, dh keine Variablen enthält, wird sein Grad als gleich Null angesehen. Zum Beispiel:

5, -7, 21 - Monome nullten Grades.

Um den Grad eines Monoms zu finden, müssen Sie daher den Exponenten jedes der darin enthaltenen Buchstaben bestimmen und diese Exponenten addieren. Wenn der Exponent des Buchstabens nicht angegeben ist, ist er gleich eins.

Beispiele:

Wie geht es dir? x der Exponent ist nicht angegeben, was bedeutet, dass er gleich 1 ist. Das Monom enthält keine anderen Variablen, was bedeutet, dass sein Grad gleich 1 ist.

Das Monom enthält nur eine Variable zweiten Grades, was bedeutet, dass der Grad dieses Monoms 2 ist.

3) ab 3 c 2 d

Indikator a gleich 1 ist, der Indikator b- 3, Anzeige c- 2, Anzeige d- 1. Der Grad dieses Monoms ist gleich der Summe dieser Indikatoren.

Grad eines Monoms

Für ein Monom gibt es den Begriff seines Grades. Lassen Sie uns herausfinden, was es ist.

Definition.

Grad eines Monoms Standardform ist die Summe der Exponenten aller Variablen, die in ihrem Datensatz enthalten sind; Wenn der Monomeintrag keine Variablen enthält und von Null verschieden ist, wird sein Grad als Null angesehen. Die Zahl Null wird als Monom betrachtet, dessen Grad nicht definiert ist.

Die Definition des Grades eines Monoms erlaubt uns, Beispiele zu geben. Der Grad des Monoms a ist gleich eins, da a eine 1 ist. Der Grad des Monoms 5 ist Null, da es nicht Null ist und seine Notation keine Variablen enthält. Und das Produkt 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ist ein Monom achten Grades, da die Summe der Exponenten aller Variablen a, x und y 2+1+3+2=8 ist.

Übrigens ist der Grad eines Monoms, das nicht in Standardform geschrieben ist, gleich dem Grad des entsprechenden Monoms in Standardform. Um das Gesagte zu veranschaulichen, berechnen wir den Grad des Monoms 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Dieses Monom in Standardform hat die Form −6·x 8 ·y 4 , sein Grad ist 8+4=12 . Somit ist der Grad des ursprünglichen Monoms 12.

Monomkoeffizient

Ein Monom in Standardform mit mindestens einer Variablen in seiner Notation ist ein Produkt mit einem einzigen numerischen Faktor - einem numerischen Koeffizienten. Dieser Koeffizient wird als Monomkoeffizient bezeichnet. Lassen Sie uns die obige Argumentation in Form einer Definition formalisieren.

Definition.

Monomkoeffizient ist der numerische Faktor des in der Standardform geschriebenen Monoms.

Jetzt können wir Beispiele für die Koeffizienten verschiedener Monome geben. Die Zahl 5 ist per Definition der Koeffizient des Monoms 5 a 3, ebenso hat das Monom (−2.3) x y z den Koeffizienten −2.3 .

Die Koeffizienten von Monomen gleich 1 und −1 verdienen besondere Aufmerksamkeit. Der Punkt hier ist, dass sie normalerweise nicht explizit in der Aufzeichnung vorhanden sind. Es wird angenommen, dass der Koeffizient von Monomen der Standardform, die keinen numerischen Faktor in ihrer Notation haben, gleich eins ist. Zum Beispiel Monome a , x z 3 , a t x usw. haben den Koeffizienten 1, da a als 1 a, x z 3 als 1 x z 3 usw. betrachtet werden kann.

Ebenso gilt der Koeffizient von Monomen, deren Einträge in der Standardform keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, als minus eins. Zum Beispiel die Monome −x , −x 3 y z 3 usw. Koeffizient −1 haben, da −x=(−1) x , −x 3 y z 3 = (−1) x 3 y z 3 usw.

Übrigens wird das Konzept des Koeffizienten eines Monoms oft als Monome der Standardform bezeichnet, bei denen es sich um Zahlen ohne Buchstabenfaktoren handelt. Die Koeffizienten solcher Monomzahlen werden als diese Zahlen betrachtet. So wird beispielsweise der Koeffizient des Monoms 7 als gleich 7 angesehen.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., erg. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

In dieser Lektion geben wir eine strenge Definition eines Monoms und betrachten verschiedene Beispiele aus dem Lehrbuch. Erinnere dich an die Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis. Lassen Sie uns die Standardform eines Monoms, den Koeffizienten eines Monoms und seinen wörtlichen Teil definieren. Betrachten wir zwei grundlegende typische Operationen an Monomen, nämlich die Reduktion auf eine Standardform und die Berechnung eines bestimmten numerischen Werts eines Monoms für gegebene Werte der darin enthaltenen Literalvariablen. Lassen Sie uns die Regel für die Reduktion des Monoms auf die Standardform formulieren. Lassen Sie uns lernen, wie man typische Probleme mit beliebigen Monomen löst.

Gegenstand:Monome. Arithmetische Operationen auf Monomen

Lektion:Das Konzept eines Monoms. Standardform eines Monoms

Betrachten Sie einige Beispiele:

3. ;

Lassen Sie uns Gemeinsamkeiten für die gegebenen Ausdrücke finden. In allen drei Fällen ist der Ausdruck das Produkt aus Zahlen und potenzierten Variablen. Auf dieser Grundlage geben wir Definition eines Monoms : Ein Monom ist ein algebraischer Ausdruck, der aus einem Produkt von Potenzen und Zahlen besteht.

Nun geben wir Beispiele für Ausdrücke, die keine Monome sind:

Lassen Sie uns den Unterschied zwischen diesen Ausdrücken und den vorherigen finden. Es besteht darin, dass in den Beispielen 4-7 Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen vorkommen, während dies in den Beispielen 1-3, die Monome sind, nicht der Fall ist.

Hier noch ein paar Beispiele:

Ausdruck Nummer 8 ist ein Monom, da er das Produkt einer Potenz und einer Zahl ist, während Beispiel 9 kein Monom ist.

Finden wir es jetzt heraus Aktionen auf Monome .

1. Vereinfachung. Betrachten Sie Beispiel #3 ;und Beispiel #2 /

Im zweiten Beispiel sehen wir nur einen Koeffizienten - , jede Variable kommt nur einmal vor, also die Variable " a„“ wird nur einmal dargestellt, als „“, ebenso kommen die Variablen „“ und „“ nur einmal vor.

Im Beispiel Nr. 3 dagegen gibt es zwei verschiedene Koeffizienten - und wir sehen die Variable "" zweimal - als "" und als "", ebenso kommt die Variable "" zweimal vor. Das heißt, dieser Ausdruck sollte vereinfacht werden, also kommen wir zu Die erste Aktion, die an Monomen durchgeführt wird, besteht darin, das Monom in die Standardform zu bringen . Dazu bringen wir den Ausdruck aus Beispiel 3 in die Standardform, dann definieren wir diese Operation und lernen, wie man ein beliebiges Monom in die Standardform bringt.

Betrachten Sie also ein Beispiel:

Der erste Schritt bei der Normierung besteht immer darin, alle Zahlenfaktoren zu multiplizieren:

;

Das Ergebnis dieser Aktion wird aufgerufen Monomkoeffizient .

Als nächstes müssen Sie die Grade multiplizieren. Wir multiplizieren die Grade der Variablen " X„nach der Regel zum Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis, die besagt, dass sich die Exponenten beim Multiplizieren addieren:

Lassen Sie uns nun die Potenzen multiplizieren beim»:

;

Hier also ein vereinfachter Ausdruck:

;

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Lassen Sie uns formulieren Standardisierungsregel :

Multiplizieren Sie alle numerischen Faktoren;

Setzen Sie den resultierenden Koeffizienten an die erste Stelle;

Multiplizieren Sie alle Grade, dh erhalten Sie den Buchstabenteil.

Das heißt, jedes Monom ist durch einen Koeffizienten und einen Buchstabenteil gekennzeichnet. Mit Blick auf die Zukunft stellen wir fest, dass Monome mit demselben Buchstabenteil ähnlich genannt werden.

Jetzt müssen Sie verdienen Technik zum Reduzieren von Monomen auf die Standardform . Betrachten Sie Beispiele aus dem Lehrbuch:

Aufgabe: Bringe das Monom in die Standardform, nenne den Koeffizienten und den Buchstabenteil.

Um die Aufgabe abzuschließen, verwenden wir die Regel, das Monom in die Standardform und die Eigenschaften der Grade zu bringen.

1. ;

3. ;

Anmerkungen zum ersten Beispiel: Lassen Sie uns zunächst feststellen, ob dieser Ausdruck wirklich ein Monom ist, dazu prüfen wir, ob er Multiplikationsoperationen von Zahlen und Potenzen enthält und ob er Additions-, Subtraktions- oder Divisionsoperationen enthält. Wir können sagen, dass dieser Ausdruck ein Monom ist, da die obige Bedingung erfüllt ist. Außerdem multiplizieren wir gemäß der Regel, das Monom in die Standardform zu bringen, die numerischen Faktoren:

- wir haben den Koeffizienten des gegebenen Monoms gefunden;

; ; ; das heißt, der wörtliche Teil des Ausdrucks wird empfangen:;

schreibe die Antwort auf: ;

Anmerkungen zum zweiten Beispiel: Nach der Regel führen wir aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

2) Potenzen multiplizieren:

Variablen und werden in einer einzigen Kopie dargestellt, dh sie können mit nichts multipliziert werden, sie werden ohne Änderungen neu geschrieben, der Grad wird multipliziert:

schreibe die Antwort auf:

;

In diesem Beispiel ist der Monomkoeffizient gleich Eins und der Literalteil ist .

Anmerkungen zum dritten Beispiel: aÄhnlich wie in den vorherigen Beispielen führen wir die folgenden Aktionen aus:

1) Numerische Faktoren multiplizieren:

;

2) Potenzen multiplizieren:

;

schreibe die Antwort auf: ;

In diesem Fall ist der Koeffizient des Monoms gleich "", und der wörtliche Teil .

Jetzt bedenke zweite Standardoperation auf Monomen . Da ein Monom ein algebraischer Ausdruck ist, der aus wörtlichen Variablen besteht, die bestimmte Zahlenwerte annehmen können, haben wir einen arithmetischen Zahlenausdruck, der berechnet werden soll. Das heißt, die folgende Operation an Polynomen ist Berechnung ihres spezifischen Zahlenwertes .

Betrachten Sie ein Beispiel. Das Monom ist gegeben:

Dieses Monom wurde bereits auf die Standardform reduziert, sein Koeffizient ist gleich eins und der wörtliche Teil

Wir haben bereits gesagt, dass ein algebraischer Ausdruck nicht immer berechnet werden kann, das heißt, die Variablen, die in ihn eingehen, dürfen keinen Wert annehmen. Im Fall eines Monoms können die darin enthaltenen Variablen beliebig sein, dies ist ein Merkmal des Monoms.

In dem gegebenen Beispiel ist es also erforderlich, den Wert des Monoms für , , , zu berechnen.

1. Ein ganzzahliger positiver Koeffizient. Nehmen wir das Monom +5a, da die positive Zahl +5 dann als gleichbedeutend mit der arithmetischen Zahl 5 angesehen wird

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Also +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc und so weiter.

Anhand dieser Beispiele können wir feststellen, dass ein positiver ganzzahliger Koeffizient angibt, wie oft der Literalfaktor (oder: das Produkt von Literalfaktoren) des Monoms durch den Term wiederholt wird.

Daran sollte man sich so weit gewöhnen, dass es in der Vorstellung sofort auftaucht, dass z. B. im Polynom

3a + 4a² + 5a³

die Sache reduziert sich darauf, dass zuerst a² als Term 3 mal wiederholt wird, dann a³ 4 mal als Term wiederholt wird und dann a 5 mal als Term wiederholt wird.

Also: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ usw.

2. Positiver Bruchkoeffizient. Nehmen wir das Monom +a. Da die positive Zahl + mit der arithmetischen Zahl übereinstimmt, ist +a = a ∙ , was bedeutet: Sie müssen drei Viertel der Zahl a nehmen, also

Daher: Ein gebrochener positiver Koeffizient zeigt an, wie oft und welcher Teil des wörtlichen Multiplikators des Monoms durch den Term wiederholt wird.

Polynom sollte leicht dargestellt werden als:

und dergleichen.

3. Negativer Koeffizient. Wenn wir die Multiplikation relativer Zahlen kennen, können wir leicht feststellen, dass zum Beispiel (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) oder (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) oder allgemein a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); auch a ∙ (–) = (–a) ∙ (+) usw.

Wenn wir also ein Monom mit einem negativen Koeffizienten nehmen, zum Beispiel –3a, dann

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a wird dreimal als Term genommen).

Aus diesen Beispielen sehen wir, dass der negative Koeffizient angibt, wie oft der Buchstabenteil des Monoms oder sein bestimmter Bruchteil, genommen mit einem Minuszeichen, durch den Begriff wiederholt wird.

Monome sind eine der wichtigsten Arten von Ausdrücken, die im Rahmen eines Schulalgebrakurses studiert werden. In diesem Material erklären wir Ihnen, was diese Ausdrücke sind, definieren ihre Standardform und zeigen Beispiele und behandeln verwandte Konzepte, wie den Grad eines Monoms und seinen Koeffizienten.

Was ist ein monom

Schulbücher geben normalerweise die folgende Definition dieses Konzepts:

Bestimmung 1

Monomere umfassen Zahlen, Variablen sowie deren Grade mit einem natürlichen Indikator und verschiedene Arten von Produkten, die daraus bestehen.

Basierend auf dieser Definition können wir Beispiele für solche Ausdrücke geben. Alle Zahlen 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 beziehen sich also auf Monome. Alle Variablen, zum Beispiel x , a , b , p , q , t , y , z sind ebenfalls per Definition Monome. Dazu gehören auch die Potenzen von Variablen und Zahlen, zum Beispiel 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 und t 15, sowie Ausdrücke wie 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z usw. Bitte beachten Sie, dass ein Monom entweder eine Zahl oder Variable oder mehrere enthalten kann und dass sie mehrmals als Teil eines Polynoms erwähnt werden können.

Solche Arten von Zahlen wie ganze Zahlen, rationale Zahlen, natürliche Zahlen gehören auch zu Monomen. Sie können hier auch reelle und komplexe Zahlen einfügen. Ausdrücke wie 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 sind also auch Monome.

Was ist die Standardform eines Monoms und wie konvertiert man einen Ausdruck in sie?

Zur Vereinfachung der Arbeit werden alle Monome zunächst auf eine spezielle Form reduziert, die als Standardform bezeichnet wird. Lassen Sie uns genau sagen, was das bedeutet.

Bestimmung 2

Die Standardform des Monoms Sie nennen es eine solche Form, in der es das Produkt eines numerischen Faktors und natürlicher Potenzen verschiedener Variablen ist. Der numerische Faktor, auch Monomkoeffizient genannt, wird normalerweise zuerst von der linken Seite geschrieben.

Der Übersichtlichkeit halber wählen wir mehrere Monome der Standardform: 6 (dies ist ein Monom ohne Variablen), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Dazu gehört auch der Ausdruck x y(hier ist der Koeffizient gleich 1), − x 3(hier ist der Koeffizient - 1).

Nun geben wir Beispiele für Monome, die in Standardform gebracht werden müssen: 4 ein 2 ein 3(hier müssen Sie die gleichen Variablen kombinieren), 5 x (− 1) 3 y 2(Hier müssen Sie die numerischen Faktoren auf der linken Seite kombinieren).

Wenn ein Monom mehrere in Buchstaben geschriebene Variablen hat, werden die Buchstabenfaktoren normalerweise in alphabetischer Reihenfolge geschrieben. Zum Beispiel der bevorzugte Eintrag 6 ein b 4 c z 2, wie b 4 6 ein z 2 c. Die Reihenfolge kann jedoch anders sein, wenn der Zweck der Berechnung dies erfordert.

Jedes Monom kann auf die Standardform reduziert werden. Dazu müssen Sie alle notwendigen identischen Transformationen durchführen.

Der Begriff des Grades eines Monoms

Der begleitende Begriff des Grades eines Monoms ist sehr wichtig. Lassen Sie uns die Definition dieses Konzepts aufschreiben.

Bestimmung 3

Grad eines Monoms, in Standardform geschrieben, ist die Summe der Exponenten aller Variablen, die in seinem Datensatz enthalten sind. Wenn es keine einzige Variable darin gibt und das Monom selbst von 0 verschieden ist, dann ist sein Grad null.

Lassen Sie uns Beispiele für die Grade des Monoms geben.

Beispiel 1

Das Monom a hat also Grad 1, weil a = a 1 . Wenn wir ein Monom 7 haben, dann hat es einen Nullgrad, da es keine Variablen hat und von 0 verschieden ist. Und hier ist der Eintrag 7 ein 2 x y 3 ein 2 ist ein Monom 8. Grades, da die Summe der Exponenten aller Grade der darin enthaltenen Variablen gleich 8 ist: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Das standardisierte Monom und das ursprüngliche Polynom haben denselben Grad.

Beispiel 2

Lassen Sie uns zeigen, wie man den Grad eines Monoms berechnet 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. In Standardform kann es geschrieben werden als − 6 x 8 y 4. Wir berechnen den Grad: 8 + 4 = 12 . Daher ist der Grad des ursprünglichen Polynoms auch gleich 12 .

Das Konzept eines Monomkoeffizienten

Wenn wir ein standardisiertes Monom haben, das mindestens eine Variable enthält, dann sprechen wir von einem Produkt mit einem numerischen Faktor. Dieser Faktor wird numerischer Koeffizient oder Monomkoeffizient genannt. Schreiben wir die Definition auf.

Bestimmung 4

Der Koeffizient eines Monoms ist der auf die Standardform reduzierte numerische Faktor eines Monoms.

Nehmen Sie zum Beispiel die Koeffizienten verschiedener Monome.

Beispiel 3

Also im Ausdruck 8 ein 3 der Koeffizient ist die Zahl 8 und in (− 2 , 3) ​​​​x y z Sie werden − 2 , 3 .

Besonderes Augenmerk sollte auf Koeffizienten gleich eins und minus eins gelegt werden. Sie werden in der Regel nicht explizit angegeben. Es wird angenommen, dass in einem Monom der Standardform, in dem es keinen numerischen Faktor gibt, der Koeffizient beispielsweise in den Ausdrücken a, x z 3, a t x 1 ist, da sie als 1 a, x z 3 betrachtet werden können - als 1 x z 3 usw.

In ähnlicher Weise können wir bei Monomen, die keinen numerischen Faktor haben und mit einem Minuszeichen beginnen, den Koeffizienten -1 berücksichtigen.

Beispiel 4

Beispielsweise haben die Ausdrücke − x, − x 3 y z 3 einen solchen Koeffizienten, da sie als − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 usw. dargestellt werden können.

Wenn ein Monom überhaupt keinen einzigen wörtlichen Multiplikator hat, dann kann man auch in diesem Fall von einem Koeffizienten sprechen. Die Koeffizienten solcher Monomzahlen werden diese Zahlen selbst sein. So ist beispielsweise der Koeffizient des Monoms 9 gleich 9.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter