Beim Addieren und Subtrahieren von algebraischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern führen die Brüche zunächst zu gemeinsamer Nenner. Das bedeutet, dass sie einen solchen einzigen Nenner finden, der durch den ursprünglichen Nenner jedes algebraischen Bruchs geteilt wird, der Teil dieses Ausdrucks ist.
Wie Sie wissen, ändert sich der Wert des Bruchs nicht, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl außer Null multipliziert (oder dividiert) werden. Dies ist die Haupteigenschaft eines Bruchs. Wenn also Brüche zu einem gemeinsamen Nenner führen, wird der ursprüngliche Nenner jedes Bruchs mit dem fehlenden Faktor zu einem gemeinsamen Nenner multipliziert. In diesem Fall muss mit diesem Faktor und dem Zähler des Bruchs multipliziert werden (er ist für jeden Bruch unterschiedlich).
Gegeben ist zum Beispiel die folgende Summe algebraischer Brüche:
Es ist erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, dh zwei algebraische Brüche zu addieren. Dazu müssen zunächst die Term-Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Der erste Schritt besteht darin, ein Monom zu finden, das sowohl durch 3x als auch durch 2y teilbar ist. In diesem Fall ist es wünschenswert, dass es das kleinste ist, d. h. das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) für 3x und 2y findet.
Für numerische Koeffizienten und Variablen wird das LCM separat durchsucht. LCM(3, 2) = 6 und LCM(x, y) = xy. Außerdem werden die gefundenen Werte multipliziert: 6xy.
Jetzt müssen wir bestimmen, mit welchem Faktor wir 3x multiplizieren müssen, um 6xy zu erhalten:
6xy ÷ 3x = 2y
Das bedeutet, dass beim Reduzieren des ersten algebraischen Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner dessen Zähler mit 2y multipliziert werden muss (der Nenner wurde bereits multipliziert, wenn er auf einen gemeinsamen Nenner reduziert wird). Der Faktor für den Zähler des zweiten Bruchs wird ähnlich gesucht. Es wird gleich 3x sein.
Somit erhalten wir: 
Außerdem kann man bereits wie bei Brüchen mit gleichem Nenner vorgehen: Die Zähler werden addiert und ein gemeinsamer Teil in den Nenner geschrieben: 
Nach Transformationen wird ein vereinfachter Ausdruck erhalten, der ein algebraischer Bruch ist, der die Summe zweier ursprünglicher ist: 
Algebraische Brüche im ursprünglichen Ausdruck können Nenner enthalten, die Polynome und keine Monome sind (wie im obigen Beispiel). In diesem Fall, bevor Sie einen gemeinsamen Nenner finden, faktorisieren Sie die Nenner (wenn möglich). Ferner wird der gemeinsame Nenner aus verschiedenen Faktoren gesammelt. Steht der Faktor in mehreren Anfangsnennern, so wird er einmal genommen. Wenn der Faktor in den ursprünglichen Nennern unterschiedliche Grade hat, wird er mit einem größeren genommen. Zum Beispiel: 
Hier kann das Polynom a 2 - b 2 als Produkt (a - b)(a + b) dargestellt werden. Der Faktor 2a – 2b wird zu 2(a – b) erweitert. Somit ist der gemeinsame Nenner gleich 2(a - b)(a + b).
Ursprünglich wollte ich gemeinsame Nennermethoden in den Abschnitt "Addieren und Subtrahieren von Brüchen" aufnehmen. Aber es gab so viele Informationen, und ihre Bedeutung ist so groß (schließlich haben nicht nur Zahlenbrüche gemeinsame Nenner), dass es besser ist, dieses Thema separat zu untersuchen.
Nehmen wir also an, wir haben zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Und wir wollen dafür sorgen, dass die Nenner gleich werden. Die Haupteigenschaft eines Bruchs kommt zur Rettung, die, ich möchte Sie daran erinnern, so klingt:
Ein Bruch ändert sich nicht, wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden.
Wenn Sie also die Faktoren richtig wählen, sind die Nenner der Brüche gleich - diesen Vorgang nennt man Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Und die gewünschten Zahlen, die die Nenner "nivellieren", werden als zusätzliche Faktoren bezeichnet.
Warum muss man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen? Hier sind nur einige Gründe:
- Addition und Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Es gibt keine andere Möglichkeit, diesen Vorgang auszuführen;
- Bruchvergleich. Manchmal vereinfacht die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner diese Aufgabe erheblich;
- Lösen von Problemen mit Anteilen und Prozentsätzen. Prozentsätze sind eigentlich gewöhnliche Ausdrücke, die Brüche enthalten.
Es gibt viele Möglichkeiten, Zahlen zu finden, bei denen die Nenner gleich sind, wenn sie multipliziert werden. Wir werden nur drei davon betrachten - in der Reihenfolge zunehmender Komplexität und gewissermaßen Effizienz.
Multiplikation "kreuz und quer"
Der einfachste und zuverlässigste Weg, der die Nenner garantiert angleicht. Wir werden "voraus" handeln: Wir multiplizieren den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich dem Produkt der ursprünglichen Nenner. Schau mal:
Betrachten Sie als zusätzliche Faktoren die Nenner benachbarter Brüche. Wir bekommen:
Ja, so einfach ist das. Wenn Sie gerade anfangen, Brüche zu lernen, ist es besser, mit dieser Methode zu arbeiten - so versichern Sie sich gegen viele Fehler und erhalten garantiert das Ergebnis.
Der einzige Nachteil dieser Methode ist, dass Sie viel zählen müssen, da die Nenner "voraus" multipliziert werden und dadurch sehr große Zahlen erhalten werden können. Das ist der Preis der Zuverlässigkeit.
Gemeinsame Teilermethode
Diese Technik hilft, die Berechnungen stark zu reduzieren, wird aber leider selten verwendet. Die Methode ist wie folgt:
- Schauen Sie sich die Nenner an, bevor Sie „durch“ (d. h. „kreuz und quer“) gehen. Vielleicht ist einer von ihnen (der größere) durch den anderen teilbar.
- Die aus einer solchen Division resultierende Zahl ist ein zusätzlicher Faktor für einen Bruch mit kleinerem Nenner.
- Gleichzeitig muss ein Bruch mit großem Nenner überhaupt nicht multipliziert werden - das ist die Ersparnis. Gleichzeitig wird die Fehlerwahrscheinlichkeit stark reduziert.
Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
Beachten Sie, dass 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Da in beiden Fällen ein Nenner ohne Rest durch den anderen teilbar ist, verwenden wir die Methode der gemeinsamen Teiler. Wir haben:
Beachten Sie, dass der zweite Bruch überhaupt nicht multipliziert wurde. Tatsächlich haben wir die Anzahl der Berechnungen halbiert!
Übrigens habe ich die Brüche in diesem Beispiel aus einem bestimmten Grund genommen. Wenn Sie interessiert sind, versuchen Sie, sie mit der Criss-Cross-Methode zu zählen. Nach der Reduzierung werden die Antworten dieselben sein, aber es wird viel mehr Arbeit geben.
Das ist die Stärke der Methode der gemeinsamen Teiler, aber sie kann wiederum nur angewendet werden, wenn einer der Nenner ohne Rest durch den anderen dividiert wird. Was recht selten vorkommt.
Methode des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
Wenn wir Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, versuchen wir im Wesentlichen, eine Zahl zu finden, die durch jeden der Nenner teilbar ist. Dann bringen wir die Nenner beider Brüche auf diese Zahl.
Es gibt viele solcher Zahlen, und die kleinste von ihnen ist nicht unbedingt gleich dem direkten Produkt der Nenner der ursprünglichen Brüche, wie es bei der "Kreuz"-Methode angenommen wird.
Für die Nenner 8 und 12 ist beispielsweise die Zahl 24 gut geeignet, da 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Diese Zahl ist viel kleiner als das Produkt 8 12 = 96 .
Die kleinste Zahl, die durch jeden der Nenner teilbar ist, wird ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) genannt.
Notation: Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b wird mit LCM(a ; b ) bezeichnet. Zum Beispiel LCM(16; 24) = 48 ; LCM(8; 12) = 24 .
Wenn Sie eine solche Zahl finden, ist die Gesamtzahl der Berechnungen minimal. Schau dir die Beispiele an:
Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
Beachten Sie, dass 234 = 117 2; 351 = 117 3 . Die Faktoren 2 und 3 sind teilerfremd (haben keine gemeinsamen Teiler außer 1), und der Faktor 117 ist üblich. Also LCM(234; 351) = 117 2 3 = 702.
Ebenso 15 = 5 3; 20 = 5 4 . Die Faktoren 3 und 4 sind teilerfremd, und Faktor 5 ist üblich. Also LCM(15; 20) = 5 3 4 = 60.
Nun bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:
Beachten Sie, wie nützlich das Faktorisieren der ursprünglichen Nenner war:
- Nachdem wir die gleichen Faktoren gefunden hatten, gelangten wir sofort zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen, was im Allgemeinen ein nicht triviales Problem ist;
- Aus der resultierenden Erweiterung können Sie herausfinden, welche Faktoren für jeden der Brüche „fehlen“. Zum Beispiel 234 3 \u003d 702, daher beträgt der zusätzliche Faktor für den ersten Bruchteil 3.
Um abzuschätzen, wie viel Gewinn die Methode der kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergibt, versuchen Sie, dieselben Beispiele mit der Kreuzmethode zu berechnen. Natürlich ohne Taschenrechner. Ich denke, danach werden Kommentare überflüssig sein.
Denken Sie nicht, dass solche komplexen Brüche nicht in echten Beispielen vorkommen werden. Sie treffen sich ständig, und die oben genannten Aufgaben sind nicht die Grenze!
Das einzige Problem ist, wie man dieses NOC findet. Manchmal wird alles in wenigen Sekunden gefunden, buchstäblich „mit dem Auge“, aber im Allgemeinen ist dies ein komplexes Rechenproblem, das einer gesonderten Betrachtung bedarf. Hier werden wir darauf nicht eingehen.
Um Beispiele mit Brüchen zu lösen, musst du in der Lage sein, den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Nachfolgend finden Sie eine detaillierte Anleitung.
Wie man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet - Konzept
Der kleinste gemeinsame Nenner (LCD) ist in einfachen Worten die kleinste Zahl, die durch die Nenner aller Brüche eines gegebenen Beispiels teilbar ist. Mit anderen Worten, es wird das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) genannt. NOZ wird nur verwendet, wenn die Nenner der Brüche unterschiedlich sind.
So finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner - Beispiele
Betrachten wir Beispiele für das Auffinden von NOZ.
Berechnen Sie: 3/5 + 2/15.
Lösung (Aktionsfolge):
- Wir schauen uns die Nenner von Brüchen an, achten darauf, dass sie unterschiedlich sind und die Ausdrücke so weit wie möglich gekürzt werden.
- Wir finden die kleinste Zahl, die sowohl durch 5 als auch durch 15 teilbar ist. Diese Zahl ist 15. Somit ist 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Wir haben den Nenner herausgefunden. Was wird im Zähler stehen? Ein zusätzlicher Multiplikator hilft uns dabei, dies herauszufinden. Ein zusätzlicher Faktor ist die Zahl, die man erhält, wenn man die NOZ durch den Nenner eines bestimmten Bruchs dividiert. Für 3/5 ist der zusätzliche Faktor 3, da 15/5 = 3. Für den zweiten Bruch ist der zusätzliche Faktor 1, da 15/15 = 1.
- Nachdem wir den zusätzlichen Faktor herausgefunden haben, multiplizieren wir ihn mit den Zählern der Brüche und addieren die resultierenden Werte. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Antwort: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Wenn im Beispiel nicht 2, sondern 3 oder mehr Brüche addiert oder subtrahiert werden, dann muss die NOZ nach so vielen Brüchen wie angegeben durchsucht werden.
Berechne: 1/2 - 5/12 + 3/6
Lösung (Aktionsfolge):
- Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Nenner. Die Mindestzahl, die durch 2, 12 und 6 teilbar ist, ist 12.
- Wir erhalten: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Wir suchen weitere Multiplikatoren. Für 1/2 - 6; für 5/12 - 1; für 3/6 - 2.
- Wir multiplizieren mit den Zählern und weisen die entsprechenden Vorzeichen zu: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12.
Antwort: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12.
