Bevor wir uns entscheiden Arithmetische Progressionsprobleme, überlegen Sie, was eine Zahlenfolge ist, da eine arithmetische Folge ein Sonderfall einer Zahlenfolge ist.
Eine Zahlenfolge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Element eine eigene fortlaufende Nummer hat. Die Elemente dieser Menge heißen Folgenglieder. Die Ordnungszahl eines Sequenzelements wird durch einen Index angegeben:
Das erste Element der Sequenz;
Das fünfte Element der Sequenz;
- "ntes" Element der Sequenz, d.h. das Element "in der Warteschlange stehen" bei Nummer n.
Es besteht eine Abhängigkeit zwischen dem Wert eines Sequenzelements und seiner Ordnungszahl. Daher können wir eine Folge als eine Funktion betrachten, deren Argument die Ordnungszahl eines Elements der Folge ist. Mit anderen Worten, das kann man sagen die Folge ist eine Funktion des natürlichen Arguments:
Die Reihenfolge kann auf drei Arten angegeben werden:
1 . Die Reihenfolge kann über eine Tabelle festgelegt werden. In diesem Fall setzen wir einfach den Wert jedes Mitglieds der Sequenz.
Zum Beispiel entschied sich jemand für ein persönliches Zeitmanagement und berechnete zunächst, wie viel Zeit er während der Woche mit VKontakte verbringt. Indem er die Zeit in eine Tabelle schreibt, erhält er eine Sequenz, die aus sieben Elementen besteht:
Die erste Zeile der Tabelle enthält die Nummer des Wochentages, die zweite - die Zeit in Minuten. Wir sehen das, das heißt, am Montag hat jemand 125 Minuten auf VKontakte verbracht, das heißt am Donnerstag - 248 Minuten, und das heißt, am Freitag nur 15.
2 . Die Reihenfolge kann mit der n-ten Gliedformel angegeben werden.
Dabei wird die Abhängigkeit des Werts eines Folgenelements von seiner Nummer direkt als Formel ausgedrückt.
Zum Beispiel wenn, dann
Um den Wert eines Sequenzelements mit einer bestimmten Nummer zu finden, setzen wir die Elementnummer in die Formel für das n-te Element ein.
Dasselbe tun wir, wenn wir den Wert einer Funktion finden müssen, wenn der Wert des Arguments bekannt ist. Wir ersetzen stattdessen den Wert des Arguments in der Gleichung der Funktion:
Wenn zum Beispiel 
, dann
Ich bemerke noch einmal, dass in einer Folge im Gegensatz zu einer beliebigen numerischen Funktion nur eine natürliche Zahl ein Argument sein kann.
3 . Die Folge kann mit einer Formel angegeben werden, die die Abhängigkeit des Werts des Folgeglieds mit der Nummer n vom Wert der vorherigen Glieder ausdrückt. In diesem Fall reicht es nicht aus, nur die Nummer eines Folgenglieds zu kennen, um seinen Wert zu finden. Wir müssen das erste Mitglied oder die ersten paar Mitglieder der Sequenz angeben.
Betrachten Sie beispielsweise die Reihenfolge 
, 
Wir können die Werte der Mitglieder einer Sequenz finden der Reihe nach, ab dem dritten:
Das heißt, jedes Mal, um den Wert des n-ten Glieds der Folge zu finden, kehren wir zu den beiden vorherigen zurück. Diese Art der Sequenzierung wird aufgerufen wiederkehrend, vom lateinischen Wort wiederkehrend- Komm zurück.
Jetzt können wir eine arithmetische Folge definieren. Eine arithmetische Folge ist ein einfacher Sonderfall einer Zahlenfolge.
Arithmetische Progression wird eine Zahlenfolge genannt, bei der jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, ergänzt um dieselbe Nummer.
Die Nummer wird angerufen die Differenz einer arithmetischen Progression. Die Differenz einer arithmetischen Progression kann positiv, negativ oder null sein.
Wenn title="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} zunehmend.
Zum Beispiel 2; 5; acht; elf;...
Wenn , dann ist jeder Term der arithmetischen Progression kleiner als der vorherige, und die Progression ist abnehmend.
Zum Beispiel 2; -ein; -4; -7;...
Wenn , dann haben alle Mitglieder der Progression die gleiche Zahl, und die Progression ist stationär.
Zum Beispiel 2;2;2;2;...
Die Haupteigenschaft einer arithmetischen Folge:
Schauen wir uns das Bild an.
Wir sehen das
, und gleichzeitig
Addiert man diese beiden Gleichheiten, erhält man:
.
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch 2:
Jedes Mitglied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist also gleich dem arithmetischen Mittel zweier benachbarter:
Außerdem, weil
, und gleichzeitig
, dann
, und daher
Jedes Mitglied der arithmetischen Folge beginnend mit title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
te Mitgliedsformel.
Wir sehen, dass für die Glieder der arithmetischen Folge folgende Beziehungen gelten:
und endlich,
Wir haben bekommen Formel des n-ten Terms.
WICHTIG! Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge kann durch und ausgedrückt werden. Wenn Sie den ersten Term und den Unterschied einer arithmetischen Folge kennen, können Sie jedes seiner Mitglieder finden.
Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge.
In einer willkürlichen arithmetischen Folge sind die Summen der Terme mit gleichem Abstand von den Extremen einander gleich:
Betrachten Sie eine arithmetische Folge mit n Mitgliedern. Die Summe der n Mitglieder dieser Folge sei gleich .
Ordnen Sie die Terme der Progression zuerst in aufsteigender Reihenfolge der Zahlen und dann in absteigender Reihenfolge:
Paaren wir es:
Die Summe in jeder Klammer ist , die Anzahl der Paare ist n.
Wir bekommen:
So, Die Summe von n Mitgliedern einer arithmetischen Folge kann mit den Formeln gefunden werden:
Prüfen arithmetische Progressionsaufgaben lösen.
1 . Die Reihenfolge ergibt sich aus der Formel des n-ten Terms: . Beweisen Sie, dass diese Folge eine arithmetische Folge ist.
Lassen Sie uns beweisen, dass die Differenz zwischen zwei benachbarten Gliedern der Folge gleich der gleichen Zahl ist.
Wir haben festgestellt, dass die Differenz zweier benachbarter Glieder der Folge nicht von ihrer Anzahl abhängt und eine Konstante ist. Daher ist diese Folge per Definition eine arithmetische Folge.
2 . Bei einer arithmetischen Progression -31; -27;...
a) Finden Sie die 31 Terme der Progression.
b) Bestimmen Sie, ob die Zahl 41 in dieser Progression enthalten ist.
a) Wir sehen das ;
Schreiben wir die Formel für den n-ten Term für unsere Progression auf.
Im Allgemeinen 
In unserem Fall 
, Deshalb 
Wenn jede natürliche Zahl n einer reellen Zahl entsprechen ein , dann sagen sie das gegeben Zahlenfolge :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein , . . . .
Eine Zahlenfolge ist also eine Funktion eines natürlichen Arguments.
Anzahl a 1 namens das erste Glied der Folge , Anzahl a 2 — das zweite Glied der Folge , Anzahl a 3 — Dritter usw. Anzahl ein namens ntes Glied der Folge , und die natürliche Zahl n — seine Nummer .
Von zwei benachbarten Mitgliedern ein und ein +1 Mitgliedssequenzen ein +1 namens anschließend (gegenüber ein ), a ein — Bisherige (gegenüber ein +1 ).
Um eine Sequenz anzugeben, müssen Sie eine Methode angeben, mit der Sie ein Sequenzmitglied mit einer beliebigen Nummer finden können.
Oft wird die Reihenfolge mit angegeben n-te Termformeln , also eine Formel, mit der Sie ein Sequenzmitglied anhand seiner Nummer bestimmen können.
Zum Beispiel,
Die Folge positiver ungerader Zahlen kann durch die Formel angegeben werden
ein= 2n- 1,
und die Reihenfolge des Wechselns 1 und -1 - Formel
b n = (-1)n +1 . ◄
Die Reihenfolge kann bestimmt werden wiederkehrende Formel, das heißt, eine Formel, die jedes Glied der Folge ausdrückt, beginnend mit einigen, durch die vorherigen (ein oder mehrere) Glieder.
Zum Beispiel,
Wenn a 1 = 1 , a ein +1 = ein + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Wenn ein eine 1= 1, eine 2 = 1, ein +2 = ein + ein +1 , dann werden die ersten sieben Glieder der Zahlenfolge wie folgt gesetzt:
eine 1 = 1,
eine 2 = 1,
eine 3 = eine 1 + eine 2 = 1 + 1 = 2,
eine 4 = eine 2 + eine 3 = 1 + 2 = 3,
eine 5 = eine 3 + eine 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sequenzen können sein Finale und endlos .
Die Sequenz wird aufgerufen ultimative wenn es eine endliche Anzahl von Mitgliedern hat. Die Sequenz wird aufgerufen endlos wenn es unendlich viele Mitglieder hat.
Zum Beispiel,
Folge zweistelliger natürlicher Zahlen:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
Finale.
Primzahlenfolge:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endlos. ◄
Die Sequenz wird aufgerufen zunehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, größer ist als das vorherige.
Die Sequenz wird aufgerufen abnehmend , wenn jedes seiner Mitglieder, beginnend mit dem zweiten, kleiner ist als das vorherige.
Zum Beispiel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . ist eine aufsteigende Folge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . ist eine absteigende Folge. ◄
Eine Folge, deren Elemente mit zunehmender Zahl nicht abnehmen oder umgekehrt nicht zunehmen, heißt monotone Folge .
Monotone Folgen sind insbesondere steigende Folgen und fallende Folgen.
Arithmetische Progression
Arithmetische Progression Es wird eine Sequenz aufgerufen, deren jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich der vorherigen ist, zu der dieselbe Nummer hinzugefügt wird.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ein, . . .
ist eine arithmetische Folge, wenn für jede natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:
ein +1 = ein + d,
wo d - irgendeine Zahl.
Somit ist die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Mitglied einer gegebenen arithmetischen Folge immer konstant:
eine 2 - a 1 = eine 3 - a 2 = . . . = ein +1 - ein = d.
Anzahl d namens die Differenz einer arithmetischen Progression.
Um eine arithmetische Progression festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und ihre Differenz anzugeben.
Zum Beispiel,
Wenn a 1 = 3, d = 4 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
eine 1 =3,
eine 2 = eine 1 + d = 3 + 4 = 7,
eine 3 = eine 2 + d= 7 + 4 = 11,
eine 4 = eine 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Für eine arithmetische Progression mit dem ersten Term a 1 und Unterschied d Sie n
ein = eine 1 + (n- 1)d.
Zum Beispiel,
Finde den dreißigsten Term einer arithmetischen Folge
1, 4, 7, 10, . . .
eine 1 =1, d = 3,
eine 30 = eine 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
ein n-1 = eine 1 + (n- 2)d,
ein= eine 1 + (n- 1)d,
ein +1 = a 1 + nd,
dann offensichtlich
| ein=
| ein n-1 + ein n+1
|
| 2
|
jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem arithmetischen Mittel der vorhergehenden und nachfolgenden Glieder.
Die Zahlen a, b und c sind genau dann aufeinanderfolgende Mitglieder einer arithmetischen Folge, wenn eine von ihnen gleich dem arithmetischen Mittel der beiden anderen ist.
Zum Beispiel,
ein = 2n- 7 , ist eine arithmetische Folge.
Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:
ein = 2n- 7,
ein n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
ein n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Somit,
| ein n+1 + ein n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = ein,
|
| 2
| 2
|
◄
Beachten Sie, dass n -ten Glied einer arithmetischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden a 1 , aber auch alle vorherigen ein k
ein = ein k + (n- k)d.
Zum Beispiel,
zum a 5 kann geschrieben werden
eine 5 = eine 1 + 4d,
eine 5 = eine 2 + 3d,
eine 5 = eine 3 + 2d,
eine 5 = eine 4 + d. ◄
ein = ein n-k + kd,
ein = ein n+k - kd,
dann offensichtlich
| ein=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
Jedes Mitglied einer arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich der Hälfte der Summe der Mitglieder dieser arithmetischen Folge, die in gleichem Abstand von ihr sind.
Außerdem gilt für jede arithmetische Progression die Gleichheit:
ein m + ein n = ein k + ein l,
m + n = k + l.
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = eine 10 = eine 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) eine 10= 28 = (19 + 37)/2 = (eine 7 + eine 13)/2;
4) eine 2 + eine 12 = eine 5 + eine 9, als
eine 2 + eine 12= 4 + 34 = 38,
eine 5 + eine 9 = 13 + 25 = 38. ◄
Sn= ein 1 + ein 2 + ein 3 + . . .+ ein,
Erste n Mitglieder einer arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Extremglieder mal der Anzahl der Glieder:
Daraus folgt insbesondere, dass wenn es notwendig ist, die Terme zu summieren
ein k, ein k +1 , . . . , ein,
dann behält die vorherige Formel ihre Struktur:
Zum Beispiel,
in arithmetischer Folge 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Wenn eine arithmetische Progression angegeben ist, dann die Mengen a 1 , ein, d, n undS n durch zwei Formeln verknüpft:
Wenn also die Werte von drei dieser Größen angegeben sind, dann werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Eine arithmetische Folge ist eine monotone Folge. Dabei:
- Wenn d > 0 , dann nimmt es zu;
- Wenn d < 0 , dann nimmt er ab;
- Wenn d = 0 , dann ist die Folge stationär.
Geometrischer Verlauf
geometrischer Verlauf Es wird eine Folge aufgerufen, deren jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen ist, multipliziert mit derselben Zahl.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
ist eine geometrische Folge, wenn für jede natürliche Zahl n Bedingung ist erfüllt:
b n +1 = b n · q,
wo q ≠ 0 - irgendeine Zahl.
Somit ist das Verhältnis des nächsten Glieds dieser geometrischen Folge zum vorherigen eine konstante Zahl:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Anzahl q namens Nenner einer geometrischen Folge.
Um eine geometrische Folge festzulegen, genügt es, ihren ersten Term und Nenner anzugeben.
Zum Beispiel,
Wenn b 1 = 1, q = -3 , dann werden die ersten fünf Terme der Folge wie folgt gefunden:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 und Nenner q Sie n -ten Term kann durch die Formel gefunden werden:
b n = b 1 · q n -1 .
Zum Beispiel,
Finden Sie den siebten Term einer geometrischen Folge 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
Mrd.-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
dann offensichtlich
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
jedes Mitglied der geometrischen Folge, beginnend mit dem zweiten, ist gleich dem geometrischen Mittel (proportional) der vorherigen und nachfolgenden Mitglieder.
Da auch die Umkehrung gilt, gilt folgende Behauptung:
Die Zahlen a, b und c sind aufeinanderfolgende Glieder einer geometrischen Folge genau dann, wenn das Quadrat einer von ihnen gleich dem Produkt der anderen beiden ist, d. h. eine der Zahlen das geometrische Mittel der anderen beiden ist.
Zum Beispiel,
Lassen Sie uns beweisen, dass die durch die Formel gegebene Folge b n= -3 2 n , ist eine geometrische Progression. Nehmen wir die obige Aussage. Wir haben:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Somit,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
was die geforderte Behauptung beweist. ◄
Beachten Sie, dass n ter Term einer geometrischen Folge kann nicht nur durch gefunden werden b 1 , sondern auch alle vorherigen Terme b k , wofür es genügt, die Formel zu verwenden
b n = b k · q n - k.
Zum Beispiel,
zum b 5 kann geschrieben werden
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
dann offensichtlich
b n 2 = b n - k· b n + k
das Quadrat jedes Mitglieds einer geometrischen Folge, beginnend mit der zweiten, ist gleich dem Produkt der Mitglieder dieser Folge, die gleich weit davon entfernt sind.
Außerdem gilt für jede geometrische Folge die Gleichheit:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Zum Beispiel,
exponentiell
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , als
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
Sn= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
Erste n Mitglieder einer geometrischen Folge mit einem Nenner q ≠ 0 berechnet nach der Formel:
Und wann q = 1 - laut Formel
Sn= nb 1
Beachten Sie, dass, wenn wir die Terme summieren müssen
b k, b k +1 , . . . , b n,
dann wird die Formel verwendet:
| Sn- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Zum Beispiel,
exponentiell 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Wenn eine geometrische Progression angegeben ist, dann die Mengen b 1 , b n, q, n und Sn durch zwei Formeln verknüpft:
Wenn also die Werte von drei beliebigen dieser Größen angegeben sind, werden die entsprechenden Werte der anderen beiden Größen aus diesen Formeln bestimmt, die zu einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten kombiniert werden.
Für eine geometrische Progression mit dem ersten Term b 1 und Nenner q folgendes passiert Monotonieeigenschaften :
- die Progression steigt, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
b 1 > 0 und q> 1;
b 1 < 0 und 0 < q< 1;
- Eine Progression ist abnehmend, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
b 1 > 0 und 0 < q< 1;
b 1 < 0 und q> 1.
Wenn ein q< 0 , dann ist die geometrische Folge vorzeichenwechselnd: Ihre ungeradzahligen Terme haben dasselbe Vorzeichen wie ihr erster Term, und geradzahlige Terme haben das entgegengesetzte Vorzeichen. Es ist klar, dass ein alternierender geometrischer Verlauf nicht monoton ist.
Produkt der ersten n Terme einer geometrischen Folge können durch die Formel berechnet werden:
Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Zum Beispiel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf
Stufenlos abnehmender geometrischer Verlauf heißt eine unendliche geometrische Folge, deren Nennermodul kleiner als ist 1 , also
|q| < 1 .
Beachten Sie, dass eine unendlich abnehmende geometrische Folge keine abnehmende Sequenz sein muss. Das passt zum Fall
1 < q< 0 .
Bei einem solchen Nenner ist die Folge vorzeichenwechselnd. Zum Beispiel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression Nennen Sie die Zahl, zu der die Summe der ersten ist n Bedingungen der Progression mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl n . Diese Zahl ist immer endlich und wird durch die Formel ausgedrückt
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Zum Beispiel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Beziehung zwischen arithmetischen und geometrischen Progressionen
Arithmetische und geometrische Progressionen sind eng miteinander verbunden. Betrachten wir nur zwei Beispiele.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , dann
b ein 1 , b ein 2 , b ein 3 , . . . b d .
Zum Beispiel,
1, 3, 5, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz 2 und
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner q , dann
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz log aq .
Zum Beispiel,
2, 12, 72, . . . ist eine geometrische Folge mit einem Nenner 6 und
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — Arithmetische Progression mit Differenz lg 6 . ◄
Was ist die Essenz der Formel?
Mit dieser Formel können Sie finden irgendein NACH SEINER NUMMER" n" .
Natürlich müssen Sie den ersten Term kennen eine 1 und Verlaufsunterschied d Nun, ohne diese Parameter können Sie keinen bestimmten Verlauf aufschreiben.
Es reicht nicht, diese Formel auswendig zu lernen (oder zu betrügen). Es ist notwendig, seine Essenz zu assimilieren und die Formel bei verschiedenen Problemen anzuwenden. Ja, und zur rechten Zeit nicht vergessen, ja ...) Wie nicht vergessen- Ich weiß nicht. Und hier wie man sich erinnert Bei Bedarf gebe ich dir einen Tipp. Für diejenigen, die die Lektion bis zum Ende meistern.)
Beschäftigen wir uns also mit der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Was ist eine Formel im Allgemeinen - stellen wir uns vor.) Was eine arithmetische Progression, eine Elementnummer, eine Progressionsdifferenz ist - wurde in der vorherigen Lektion klar gesagt. Schau mal rein, falls du es nicht gelesen hast. Da ist alles einfach. Es bleibt herauszufinden, was ntes Mitglied.
Die Progression im Allgemeinen kann als eine Reihe von Zahlen geschrieben werden:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
eine 1- bezeichnet den ersten Term einer arithmetischen Folge, eine 3- drittes Mitglied eine 4- vierte, und so weiter. Wenn wir an der fünften Amtszeit interessiert sind, nehmen wir an, wir arbeiten mit eine 5, wenn einhundertzwanzigste - von eine 120.
Wie allgemein definieren irgendein Mitglied einer arithmetischen Folge, s irgendein Anzahl? Sehr einfach! So:
ein
Das ist es n-tes Glied einer arithmetischen Folge. Unter dem Buchstaben n sind alle Mitgliedernummern auf einmal versteckt: 1, 2, 3, 4 und so weiter.
Und was gibt uns ein solcher Rekord? Denken Sie nur, statt einer Zahl haben sie einen Buchstaben aufgeschrieben ...
Diese Notation gibt uns ein mächtiges Werkzeug für die Arbeit mit arithmetischen Progressionen. Verwendung der Notation ein, können wir schnell finden irgendein Mitglied irgendein arithmetische Progression. Und eine Reihe von Aufgaben, die nach und nach gelöst werden müssen. Sie werden weiter sehen.
In der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
eine 1- das erste Glied der arithmetischen Folge;
n- Mitgliedsnummer.
Die Formel verbindet die Schlüsselparameter jeder Progression: ein ; a 1 ; d und n. Um diese Parameter drehen sich alle Rätsel nacheinander.
Die n-te Termformel kann auch verwendet werden, um eine bestimmte Progression zu schreiben. Beispielsweise kann in der Aufgabe gesagt werden, dass die Progression durch die Bedingung gegeben ist:
ein n = 5 + (n-1) 2.
Ein solches Problem kann sogar verwirren ... Es gibt keine Reihe, keinen Unterschied ... Aber wenn man die Bedingung mit der Formel vergleicht, kann man das in dieser Progression leicht herausfinden a 1 \u003d 5 und d \u003d 2.
Und es kann noch wütender sein!) Wenn wir die gleiche Bedingung nehmen: ein n = 5 + (n-1) 2, ja, öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche ein? Wir erhalten eine neue Formel:
an = 3 + 2n.
Das Nur nicht allgemein, sondern für einen bestimmten Verlauf. Hier liegt die Falle. Manche Leute denken, dass das erste Glied eine Drei ist. Obwohl das erste Mitglied in Wirklichkeit eine Fünf ist ... Etwas niedriger werden wir mit einer solchen modifizierten Formel arbeiten.
Bei Aufgaben zum Fortschreiten gibt es eine andere Notation - ein n+1. Dies ist, Sie haben es erraten, der „n plus das erste“ Glied der Progression. Seine Bedeutung ist einfach und harmlos.) Dies ist ein Mitglied der Progression, deren Anzahl um eins größer ist als die Anzahl n. Zum Beispiel, wenn wir bei einem Problem für ein fünfte Amtszeit also ein n+1 wird das sechste Mitglied. Und dergleichen.
Meistens die Bezeichnung ein n+1 kommt in rekursiven Formeln vor. Haben Sie keine Angst vor diesem schrecklichen Wort!) Dies ist nur eine Art, einen Begriff einer arithmetischen Folge auszudrücken durch das vorherige. Angenommen, wir erhalten eine arithmetische Progression in dieser Form unter Verwendung der rekursiven Formel:
ein n+1 = ein n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Vom vierten bis zum dritten, vom fünften bis zum vierten und so weiter. Und wie man sofort zählt, sagen wir den zwanzigsten Begriff, eine 20? Aber auf keinen Fall!) Während das 19. Semester nicht bekannt ist, kann das 20. nicht gezählt werden. Dies ist der grundlegende Unterschied zwischen der rekursiven Formel und der Formel des n-ten Terms. Rekursiv funktioniert nur durch Bisherige Begriff und die Formel des n-ten Begriffs - durch Erste und erlaubt sofort Finden Sie jedes Mitglied anhand seiner Nummer. Nicht die ganze Reihe von Zahlen der Reihe nach zählen.
In einer arithmetischen Folge kann eine rekursive Formel leicht in eine reguläre umgewandelt werden. Zählen Sie ein Paar aufeinanderfolgender Begriffe, berechnen Sie die Differenz d, Finden Sie ggf. den ersten Term eine 1, schreibe die Formel in der üblichen Form und arbeite damit. Im GIA sind solche Aufgaben oft zu finden.
Anwendung der Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Schauen wir uns zunächst die direkte Anwendung der Formel an. Am Ende der vorherigen Lektion gab es ein Problem:
Gegeben sei eine arithmetische Progression (a n). Finden Sie a 121, wenn a 1 = 3 und d = 1/6.
Dieses Problem lässt sich ganz ohne Formeln lösen, einfach anhand der Bedeutung der arithmetischen Folge. Füge hinzu, ja füge hinzu ... Ein oder zwei Stunden.)
Und laut Formel dauert die Lösung weniger als eine Minute. Sie können es timen.) Wir entscheiden.
Die Bedingungen liefern alle Daten für die Anwendung der Formel: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Es bleibt abzuwarten, was n. Kein Problem! Wir müssen finden eine 121. Hier schreiben wir:
Bitte pass auf! Anstelle eines Index n eine bestimmte Zahl erschien: 121. Was ziemlich logisch ist.) Uns interessiert das Glied der arithmetischen Folge Nummer einhunderteinundzwanzig. Das wird unser sein n. Es ist diese Bedeutung n= 121 setzen wir weiter in die Formel ein, in Klammern. Ersetzen Sie alle Zahlen in der Formel und berechnen Sie:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Das ist alles dazu. Genauso schnell konnte man das fünfhundertzehnte Mitglied und das tausenddrittste Mitglied finden. Wir setzen stattdessen n die gewünschte Nummer im Index des Buchstabens " a" und in Klammern, und wir betrachten.
Lassen Sie mich Sie an die Essenz erinnern: Diese Formel ermöglicht es Ihnen, zu finden irgendein Term einer arithmetischen Progression NACH SEINER NUMMER" n" .
Lassen Sie uns das Problem intelligenter lösen. Nehmen wir an, wir haben folgendes Problem:
Finden Sie den ersten Term der arithmetischen Folge (a n), wenn a 17 =-2; d=-0,5.
Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, werde ich den ersten Schritt vorschlagen. Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf! Ja Ja. Schreiben Sie handschriftlich direkt in Ihr Notizbuch:
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Und jetzt, wenn wir uns die Buchstaben der Formel ansehen, verstehen wir, welche Daten wir haben und was fehlt? Erhältlich d=-0,5, es gibt ein siebzehntes Mitglied ... Alles? Wenn Sie denken, das ist alles, dann können Sie das Problem nicht lösen, ja ...
Wir haben auch eine Nummer n! Im Zustand a 17 = –2 versteckt zwei Optionen. Dies ist sowohl der Wert des siebzehnten Elements (-2) als auch seine Nummer (17). Jene. n = 17. Diese „Kleinigkeit“ rutscht oft am Kopf vorbei, und ohne sie (ohne die „Kleinigkeit“, nicht den Kopf!) ist das Problem nicht zu lösen. Obwohl ... und auch ohne Kopf.)
Jetzt können wir unsere Daten einfach dumm in die Formel einsetzen:
ein 17 \u003d ein 1 + (17-1) (-0,5)
Oh ja, eine 17 wir wissen, dass es -2 ist. Okay, setzen wir es ein:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Das ist im Wesentlichen alles. Es bleibt, den ersten Term der arithmetischen Folge aus der Formel auszudrücken und zu berechnen. Sie erhalten die Antwort: eine 1 = 6.
Eine solche Technik – eine Formel schreiben und bekannte Daten einfach ersetzen – hilft bei einfachen Aufgaben sehr. Nun, Sie müssen natürlich in der Lage sein, eine Variable aus einer Formel auszudrücken, aber was tun!? Ohne diese Fähigkeit kann Mathematik überhaupt nicht studiert werden ...
Ein weiteres beliebtes Problem:
Finden Sie die Differenz der arithmetischen Folge (a n), wenn a 1 =2; a 15 = 12.
Was machen wir? Sie werden überrascht sein, wir schreiben die Formel!)
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Bedenken Sie, was wir wissen: a 1 = 2; a 15 = 12; und (besonderes Highlight!) n = 15. Fühlen Sie sich frei, in der Formel zu ersetzen:
12=2 + (15-1)d
Rechnen wir mal.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Dies ist die richtige Antwort.
Also Aufgaben ein n, eine 1 und d beschlossen. Es bleibt zu lernen, wie man die Nummer findet:
Die Zahl 99 ist Mitglied einer arithmetischen Folge (a n), wobei a 1 = 12; d=3. Finden Sie die Nummer dieses Mitglieds.
Wir setzen die bekannten Größen in die Formel des n-ten Terms ein:
ein n = 12 + (n-1) 3
Hier gibt es auf den ersten Blick zwei Unbekannte: ein n und n. Aber ein ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer n... Und dieses Mitglied der Progression kennen wir! Es ist 99. Wir kennen seine Nummer nicht. n, also muss diese Nummer auch gefunden werden. Setzen Sie den Progressionsterm 99 in die Formel ein:
99 = 12 + (n-1) 3
Wir drücken aus der Formel aus n, wir denken. Wir bekommen die Antwort: n = 30.
Und jetzt ein Problem zum gleichen Thema, aber kreativer):
Bestimmen Sie, ob die Zahl 117 ein Mitglied einer arithmetischen Folge ist (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Schreiben wir die Formel noch einmal. Was, es gibt keine Optionen? Hm ... Warum brauchen wir Augen?) Sehen wir das erste Mitglied der Progression? Wir sehen. Dies ist -3,6. Sie können sicher schreiben: ein 1 \u003d -3,6. Unterschied d kann aus der Serie bestimmt werden? Es ist einfach, wenn Sie wissen, was der Unterschied einer arithmetischen Progression ist:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Ja, wir haben das Einfachste gemacht. Es bleibt, sich mit einer unbekannten Nummer zu befassen n und eine unverständliche Zahl 117. Bei der vorherigen Aufgabe war zumindest bekannt, dass es sich um den Begriff der Progression handelte, der angegeben wurde. Aber hier wissen wir das nicht einmal ... How to be!? Nun, wie man ist, wie man ist ... Schalten Sie Ihre kreativen Fähigkeiten ein!)
Wir annehmen dass 117 schließlich ein Mitglied unserer Progression ist. Mit unbekannter Nummer n. Und, genau wie im vorigen Problem, versuchen wir, diese Nummer zu finden. Jene. wir schreiben die Formel (ja-ja!)) und ersetzen unsere Zahlen:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Wieder drücken wir aus der Formel ausn, wir zählen und erhalten:
Hoppla! Die Nummer stellte sich heraus Bruchteil! Einhunderteineinhalb. Und Bruchzahlen in Progressionen kann nicht sein. Welches Fazit ziehen wir? Ja! Nummer 117 ist nicht Mitglied unserer Progression. Es liegt irgendwo zwischen dem 101. und 102. Mitglied. Wenn sich herausstellte, dass die Zahl natürlich ist, d.h. positive ganze Zahl, dann wäre die Zahl ein Mitglied der Progression mit der gefundenen Zahl. Und in unserem Fall lautet die Antwort auf das Problem: Nein.
Aufgabe basierend auf einer realen Version des GIA:
Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:
ein n \u003d -4 + 6,8n
Finde den ersten und zehnten Term der Progression.
Hier wird die Progression auf ungewöhnliche Weise gesetzt. Eine Art Formel ... Es passiert.) Diese Formel (wie ich oben geschrieben habe) - auch die Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge! Sie lässt es auch zu Finden Sie jedes Mitglied der Progression anhand seiner Nummer.
Wir suchen das erste Mitglied. Der, der denkt. dass der erste Term minus vier ist, ist ein fataler Irrtum!) Weil die Formel in der Aufgabe modifiziert wird. Das erste Glied einer arithmetischen Progression darin versteckt. Nichts, wir werden es jetzt finden.)
Genau wie in den vorherigen Aufgaben ersetzen wir n=1 in diese Formel:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Hier! Der erste Term ist 2,8, nicht -4!
Ebenso suchen wir nach dem zehnten Term:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
Das ist alles dazu.
Und jetzt, für diejenigen, die bis zu diesen Zeilen gelesen haben, der versprochene Bonus.)
Angenommen, Sie haben in einer schwierigen Kampfsituation des GIA oder des Einheitlichen Staatsexamens die nützliche Formel des n-ten Glieds einer arithmetischen Folge vergessen. Etwas fällt mir ein, aber irgendwie unsicher... Ob n dort, bzw n+1, bzw n-1... Wie sein!?
Ruhig! Diese Formel lässt sich leicht ableiten. Nicht sehr streng, aber definitiv genug für Vertrauen und die richtige Entscheidung!) Für den Schluss reicht es, sich an die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge zu erinnern und ein paar Minuten Zeit zu haben. Sie müssen nur ein Bild zeichnen. Zur Klarheit.
Wir zeichnen eine numerische Achse und markieren die erste darauf. zweite, dritte usw. Mitglieder. Und beachten Sie den Unterschied d zwischen Mitgliedern. So:
Wir sehen uns das Bild an und denken: Was ist der zweite Term gleich? Zweite ein d:
a 2 = a 1 + 1 d
Was ist der dritte Begriff? Der dritte Term ist gleich erster Term plus zwei d.
a 3 = a 1 + 2 d
Verstehst du es? Ich habe nicht umsonst einige Worte fett gedruckt. Okay, noch ein Schritt.)
Was ist der vierte Begriff? Vierte Term ist gleich erster Term plus drei d.
a 4 = a 1 + 3 d
Es ist Zeit zu erkennen, dass die Anzahl der Lücken, d.h. d, stets eins weniger als die Nummer des gesuchten Mitglieds n. Das heißt, bis auf die Zahl n, Anzahl der Lücken Wille n-1. Die Formel lautet also (keine Optionen!):
| ein n = ein 1 + (n-1)d |
Im Allgemeinen sind visuelle Bilder sehr hilfreich bei der Lösung vieler Probleme in der Mathematik. Vernachlässigen Sie die Bilder nicht. Aber wenn es schwierig ist, ein Bild zu zeichnen, dann ... nur eine Formel!) Darüber hinaus können Sie mit der Formel des n-ten Begriffs das gesamte mächtige Arsenal der Mathematik mit der Lösung verbinden - Gleichungen, Ungleichungen, Systeme usw. Man kann kein Bild in eine Gleichung einfügen...
Aufgaben zur selbstständigen Entscheidung.
Zum Aufwärmen:
1. In arithmetischer Folge (a n) a 2 =3; ein 5 \u003d 5.1. Finde eine 3.
Hinweis: Laut Bild ist das Problem in 20 Sekunden gelöst ... Laut Formel gestaltet es sich schwieriger. Aber zum Beherrschen der Formel ist es nützlicher.) In Abschnitt 555 wird dieses Problem sowohl durch das Bild als auch durch die Formel gelöst. Spüre den Unterschied!)
Und das ist kein Aufwärmen mehr.)
2. In arithmetischer Progression (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Finde a 3 .
Was, Zurückhaltung, ein Bild zu zeichnen?) Immer noch! Es ist besser in der Formel, ja ...
3. Die arithmetische Progression ist durch die Bedingung gegeben:ein 1 \u003d -5,5; ein n+1 = ein n +0,5. Finden Sie das einhundertfünfundzwanzigste Glied dieser Progression.
Bei dieser Aufgabe wird die Progression wiederkehrend vorgegeben. Aber bis zum einhundertfünfundzwanzigsten Term hochzählen... Nicht jeder kann so etwas vollbringen.) Aber die Formel des n-ten Terms liegt in der Macht eines jeden!
4. Gegeben eine arithmetische Progression (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Finden Sie die Nummer des kleinsten positiven Glieds der Progression.
5. Finden Sie gemäß der Bedingung von Aufgabe 4 die Summe der kleinsten positiven und größten negativen Glieder der Progression.
6. Das Produkt des fünften und des zwölften Glieds einer ansteigenden arithmetischen Folge ist -2,5, und die Summe des dritten und des elften Glieds ist Null. Finden Sie eine 14 .
Nicht die einfachste Aufgabe, ja ...) Hier funktioniert die Methode "an den Fingern" nicht. Sie müssen Formeln schreiben und Gleichungen lösen.
Antworten (durcheinander):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Passiert? Es ist schön!)
Nicht alles klappt? Es passiert. Übrigens gibt es in der letzten Aufgabe einen subtilen Punkt. Aufmerksamkeit beim Lesen des Problems ist erforderlich. Und Logik.
Die Lösung all dieser Probleme wird ausführlich in Abschnitt 555 besprochen. Und das Fantasieelement für das vierte und das subtile Moment für das sechste sowie allgemeine Ansätze zur Lösung von Problemen für die Formel des n-ten Begriffs - alles ist gemalt. Empfehlen.
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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)
Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)
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Arithmetische und geometrische Progressionen
Theoretische Informationen
Theoretische Informationen
Arithmetische Progression |
Geometrischer Verlauf |
|
Definition |
Arithmetische Progression ein Es wird eine Sequenz aufgerufen, bei der jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Mitglied ist, das mit derselben Nummer hinzugefügt wird d (d- Progressionsdifferenz) |
geometrischer Verlauf b n Es wird eine Folge von Nicht-Null-Zahlen aufgerufen, von denen jeder Term, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen Term ist, multipliziert mit derselben Zahl q (q- Nenner der Progression) |
Wiederkehrende Formel |
Für alle natürlichen n |
Für alle natürlichen n |
n-te Termformel |
ein n = ein 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| charakteristische Eigenschaft |  |
|
| Summe der ersten n Terme |  |
 |
Beispiele für Aufgaben mit Kommentaren
Übung 1
In arithmetischer Folge ( ein) eine 1 = -6, eine 2
Nach der Formel des n-ten Terms:
eine 22 = eine 1+ d (22 - 1) = eine 1+ 21d
Nach Bedingung:
eine 1= -6, also eine 22= -6 + 21d.
Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:
d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2
eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Antworten : eine 22 = -48.
Aufgabe 2
Finden Sie den fünften Term der geometrischen Folge: -3; 6; ....
1. Weg (unter Verwendung der n-Term-Formel)
Nach der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Als b 1 = -3,
2. Weg (mit rekursiver Formel)
Da der Nenner der Progression -2 ist (q = -2), dann:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Antworten : b 5 = -48.
Aufgabe 3
In arithmetischer Folge ( ein n) ein 74 = 34; eine 76= 156. Finde den fünfundsiebzigsten Term dieser Progression.
Für eine arithmetische Folge hat die charakteristische Eigenschaft die Form 
.
Deshalb:
.
Ersetzen Sie die Daten in der Formel:
Antwort: 95.
Aufgabe 4
In arithmetischer Folge ( ein n) ein n= 3n - 4. Finde die Summe der ersten siebzehn Terme.
Um die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge zu finden, werden zwei Formeln verwendet:
.
Welche von ihnen ist in diesem Fall bequemer anzuwenden?
Durch die Bedingung ist die Formel des n-ten Mitglieds der ursprünglichen Progression bekannt ( ein) ein= 3n - 4. Kann sofort gefunden werden und eine 1, und eine 16 ohne d zu finden. Daher verwenden wir die erste Formel.
Antwort: 368.
Aufgabe 5
In arithmetischer Progression ein) eine 1 = -6; eine 2= -8. Finden Sie den zweiundzwanzigsten Term der Progression.
Nach der Formel des n-ten Terms:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = eine 1+ 21d.
Nach Bedingung, wenn eine 1= -6, dann eine 22= -6 + 21d. Es ist notwendig, den Unterschied der Progressionen zu finden:
d= eine 2 – eine 1 = -8 – (-6) = -2
eine 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Antworten : eine 22 = -48.
Aufgabe 6
Mehrere aufeinanderfolgende Terme einer geometrischen Progression werden aufgezeichnet:
Finden Sie den Term der Progression, gekennzeichnet durch den Buchstaben x .
Beim Lösen verwenden wir die Formel für den n-ten Term b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 für geometrische Verläufe. Das erste Mitglied der Progression. Um den Nenner der Progression q zu finden, müssen Sie einen dieser Terme der Progression nehmen und durch den vorherigen dividieren. In unserem Beispiel kannst du nehmen und durch dividieren. Wir erhalten das q \u003d 3. Anstelle von n ersetzen wir 3 in der Formel, da der dritte Term einer bestimmten geometrischen Folge gefunden werden muss.
Setzen wir die gefundenen Werte in die Formel ein, erhalten wir:
.
Antworten : .
Aufgabe 7
Wählen Sie aus den arithmetischen Progressionen, die durch die Formel des n-ten Terms gegeben sind, diejenige aus, für die die Bedingung erfüllt ist eine 27 > 9:
Da die angegebene Bedingung für den 27. Term der Progression erfüllt sein muss, setzen wir in jeder der vier Progressionen 27 anstelle von n ein. In der 4. Progression erhalten wir:
.
Antwort: 4.
Aufgabe 8
In arithmetischer Progression eine 1= 3, d = -1,5. Geben Sie den größten Wert von n an, für den die Ungleichung gilt ein > -6.
Online-Rechner.
Arithmetische Progressionslösung.
Gegeben: a n , d, n
Suche: eine 1
Dieses Mathematikprogramm findet \(a_1\) einer arithmetischen Folge basierend auf benutzerdefinierten Zahlen \(a_n, d \) und \(n \).
Die Zahlen \(a_n\) und \(d \) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden. Außerdem kann eine Bruchzahl als Dezimalbruch (\(2.5 \)) und als gewöhnlicher Bruch (\(-5\frac(2)(7) \)) eingegeben werden.
Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Prozess der Lösungsfindung.
Dieser Online-Rechner kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, bei der Überprüfung von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen und für Eltern zur Kontrolle der Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra nützlich sein. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.
Wenn Sie mit den Regeln für die Eingabe von Zahlen nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln für die Eingabe von Zahlen
Die Zahlen \(a_n\) und \(d \) können nicht nur als ganze Zahlen, sondern auch als Brüche angegeben werden.
Die Zahl \(n\) kann nur eine positive ganze Zahl sein.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie 2,5 oder wie 2,5 eingeben
Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Eingang:
Ergebnis: \(-\frac(2)(3) \)
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingang:
Ergebnis: \(-1\frac(2)(3) \)
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Numerische Folge
In der alltäglichen Praxis wird häufig die Nummerierung verschiedener Objekte verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der sie sich befinden. Beispielsweise sind die Häuser in jeder Straße nummeriert. In der Bibliothek werden Leserabonnements nummeriert und dann in speziellen Archiven in der Reihenfolge der vergebenen Nummern geordnet.
In einer Sparkasse können Sie anhand der Nummer des persönlichen Kontos des Einlegers dieses Konto leicht finden und sehen, welche Art von Einlage es hat. Lassen Sie es eine Einzahlung von a1 Rubel auf Konto Nr. 1, eine Einzahlung von a2 Rubel auf Konto Nr. 2 usw. geben. Es stellt sich heraus Zahlenfolge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., ein N
wobei N die Anzahl aller Konten ist. Dabei wird jeder natürlichen Zahl n von 1 bis N eine Zahl a n zugeordnet.
Auch Mathematik wird studiert unendliche Zahlenfolgen:
ein 1 , ein 2 , ein 3 , ..., ein n , ... .
Die Zahl a 1 wird aufgerufen das erste Glied der Folge, Zahl a 2 - das zweite Glied der Folge, Zahl a 3 - das dritte Glied der Folge usw.
Die Nummer a n wird aufgerufen n-tes (n-tes) Mitglied der Sequenz, und die natürliche Zahl n ist seine Anzahl.
Beispielsweise ist in der Folge der Quadrate der natürlichen Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... und 1 = 1 das erste Mitglied der Folge; und n = n 2 das n-te Glied der Folge ist; a n+1 = (n + 1) 2 ist das (n + 1)-te (en plus das erste) Glied der Folge. Oft lässt sich eine Folge durch die Formel ihres n-ten Terms spezifizieren. Beispielsweise liefert die Formel \(a_n=\frac(1)(n),\;n\in\mathbb(N)\) die Folge \(1,\;\frac(1)(2) ,\; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Arithmetische Progression
Die Länge eines Jahres beträgt ungefähr 365 Tage. Ein genauerer Wert ist \(365\frac(1)(4) \) Tage, also summiert sich alle vier Jahre ein Fehler von einem Tag.
Um diesen Fehler zu berücksichtigen, wird jedem vierten Jahr ein Tag hinzugefügt, und das verlängerte Jahr wird als Schaltjahr bezeichnet.
Im dritten Jahrtausend sind Schaltjahre beispielsweise 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
In dieser Sequenz ist jedes Mitglied, beginnend mit dem zweiten, gleich dem vorherigen, hinzugefügt mit der gleichen Nummer 4. Solche Sequenzen werden aufgerufen arithmetische Progressionen.
Definition.
Die Zahlenfolge a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... wird aufgerufen arithmetische Progression, wenn für alle natürlichen n die Gleichheit
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
wobei d eine Zahl ist.
Aus dieser Formel folgt a n+1 - a n = d. Die Zahl d heißt Differenz arithmetische Progression.
Per Definition einer arithmetischen Progression haben wir:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
wo
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), wobei \(n>1 \)
Somit ist jedes Glied der arithmetischen Folge, beginnend mit dem zweiten, gleich dem arithmetischen Mittel der beiden benachbarten Glieder. Dies erklärt den Namen "arithmetische" Progression.
Beachten Sie, dass wenn a 1 und d gegeben sind, die verbleibenden Terme der arithmetischen Folge mit der rekursiven Formel a n+1 = a n + d berechnet werden können. Auf diese Weise ist es nicht schwierig, die ersten Terme der Progression zu berechnen, jedoch werden beispielsweise für eine 100 bereits viele Berechnungen erforderlich sein. Üblicherweise wird dafür die n-te Termformel verwendet. Nach der Definition einer arithmetischen Progression
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
usw.
Allgemein,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
da das n-te Glied einer arithmetischen Folge aus dem ersten Glied durch Addition von (n-1) mal der Zahl d erhalten wird.
Diese Formel heißt Formel des n-ten Gliedes einer arithmetischen Folge.
Die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge
Lassen Sie uns die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 finden.
Wir schreiben diese Summe auf zwei Arten:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Wir addieren diese Gleichheiten Term für Term:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Es gibt 100 Begriffe in dieser Summe.
Daher ist 2S = 101 * 100, womit S = 101 * 50 = 5050.
Betrachten Sie nun eine beliebige arithmetische Folge
a 1 , a 2 , a 3 , ..., ein n , ...
Sei S n die Summe der ersten n Terme dieser Progression:
S n \u003d eine 1, eine 2, eine 3, ..., eine n
Dann die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ist
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Da \(a_n=a_1+(n-1)d \), dann ein n in dieser Formel ersetzen, erhalten wir eine andere Formel zum Finden die Summen der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
