Ein Zylinder ist ein geometrischer Körper, der von zwei parallelen Ebenen und einer zylindrischen Oberfläche begrenzt wird. In dem Artikel werden wir darüber sprechen, wie man die Fläche eines Zylinders findet, und mit der Formel werden wir zum Beispiel mehrere Probleme lösen.

Ein Zylinder hat drei Oberflächen: eine obere, eine untere und eine seitliche Oberfläche.

Die Ober- und Unterseite des Zylinders sind Kreise und leicht zu erkennen.

Es ist bekannt, dass die Fläche eines Kreises gleich πr 2 ist. Daher sieht die Formel für die Fläche zweier Kreise (Ober- und Unterseite des Zylinders) wie folgt aus: πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Die dritte Seitenfläche des Zylinders ist die gekrümmte Wand des Zylinders. Um diese Oberfläche besser darzustellen, versuchen wir, sie zu transformieren, um eine erkennbare Form zu erhalten. Stellen Sie sich vor, dass ein Zylinder eine gewöhnliche Blechdose ist, die keinen oberen und unteren Deckel hat. Machen wir einen vertikalen Einschnitt an der Seitenwand von oben nach unten (Schritt 1 in der Abbildung) und versuchen, die resultierende Figur so weit wie möglich zu öffnen (begradigen) (Schritt 2).

Nach der vollständigen Offenlegung des resultierenden Glases sehen wir eine bekannte Figur (Schritt 3), dies ist ein Rechteck. Die Fläche eines Rechtecks ​​lässt sich leicht berechnen. Doch kehren wir vorher noch kurz zum Originalzylinder zurück. Der Scheitelpunkt des ursprünglichen Zylinders ist ein Kreis, und wir wissen, dass der Umfang nach folgender Formel berechnet wird: L = 2πr. In der Abbildung ist er rot markiert.

Wenn die Seitenwand des Zylinders vollständig erweitert ist, sehen wir, dass der Umfang zur Länge des resultierenden Rechtecks ​​wird. Die Seiten dieses Rechtecks ​​sind der Umfang (L = 2πr) und die Höhe des Zylinders (h). Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner Seiten - S = Länge x Breite = L x h = 2πr x h = 2πrh. Als Ergebnis haben wir eine Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders erhalten.

Die Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders
S-Seite = 2prh

Vollständige Oberfläche eines Zylinders

Wenn wir schließlich die Fläche aller drei Flächen addieren, erhalten wir die Formel für die Gesamtfläche eines Zylinders. Die Oberfläche des Zylinders ist gleich der Fläche der Oberseite des Zylinders + der Fläche der Basis des Zylinders + der Fläche der Seitenfläche des Zylinders oder S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Manchmal wird dieser Ausdruck durch die identische Formel 2πr (r + h) geschrieben.

Die Formel für die Gesamtfläche eines Zylinders
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r ist der Radius des Zylinders, h ist die Höhe des Zylinders

Beispiele für die Berechnung der Oberfläche eines Zylinders

Um die obigen Formeln zu verstehen, versuchen wir anhand von Beispielen die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen.

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 2, die Höhe 3. Bestimmen Sie die Fläche der Seitenfläche des Zylinders.

Die Gesamtfläche wird nach folgender Formel berechnet: S-Seite. = 2prh

S-Seite = 2 * 3,14 * 2 * 3

S-Seite = 6,28 * 6

S-Seite = 37,68

Die Mantelfläche des Zylinders beträgt 37,68.

2. Wie findet man die Oberfläche eines Zylinders, wenn die Höhe 4 und der Radius 6 ist?

Die Gesamtoberfläche wird nach folgender Formel berechnet: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Ein Zylinder (abgeleitet aus dem Griechischen, von den Wörtern „Eisbahn“, „Walze“) ist ein geometrischer Körper, der außen von einer als Zylinderfläche bezeichneten Fläche und zwei Ebenen begrenzt wird. Diese Ebenen schneiden die Oberfläche der Figur und sind parallel zueinander.

Eine zylindrische Fläche ist eine Fläche, die durch eine gerade Linie im Raum erhalten wird. Diese Bewegungen sind derart, dass sich der ausgewählte Punkt dieser geraden Linie entlang einer flachen Kurve bewegt. Eine solche gerade Linie wird als Erzeugende bezeichnet, und eine gekrümmte Linie wird als Hilfslinie bezeichnet.

Der Zylinder besteht aus einem Paar Basen und einer zylindrischen Seitenfläche. Es gibt verschiedene Arten von Zylindern:

1. Runder, gerader Zylinder. Bei einem solchen Zylinder stehen die Basis und die Führung senkrecht zur Erzeugenden, und es gibt sie

2. Geneigter Zylinder. Er hat einen Winkel zwischen der erzeugenden Linie und der Basis, die nicht gerade ist.

3. Ein Zylinder mit einer anderen Form. Hyperbolisch, elliptisch, parabolisch und andere.

Die Fläche eines Zylinders sowie die Gesamtfläche eines Zylinders wird ermittelt, indem die Flächen der Basen dieser Figur und die Fläche der Seitenfläche addiert werden.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtfläche eines Zylinders für einen kreisförmigen, geraden Zylinder lautet:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Die Fläche der Seitenfläche ist etwas schwieriger zu finden als die Fläche des gesamten Zylinders; sie wird berechnet, indem die Länge der Erzeugenden mit dem Umfang des Abschnitts multipliziert wird, der durch die senkrecht zur Ebene stehende Ebene gebildet wird Erzeugerin.

Die Zylinderdaten für einen kreisrunden, geraden Zylinder werden durch die Entwicklung dieses Objektes erkannt.

Eine Abwicklung ist ein Rechteck mit der Höhe h und der Länge P, die gleich dem Umfang der Grundfläche ist.

Daraus folgt, dass die seitliche Fläche des Zylinders gleich der Fläche des Sweeps ist und mit dieser Formel berechnet werden kann:

Nehmen wir einen kreisrunden, geraden Zylinder, dann gilt dafür:

P = 2p R und Sb = 2p Rh.

Wenn der Zylinder geneigt ist, muss die Seitenfläche gleich dem Produkt aus der Länge seiner Mantellinie und dem Umfang des Abschnitts sein, der senkrecht zu dieser Mantellinie steht.

Leider gibt es keine einfache Formel, um die Mantelfläche eines geneigten Zylinders in Bezug auf seine Höhe und seine Basisparameter auszudrücken.

Um einen Zylinder zu berechnen, müssen Sie einige Fakten kennen. Wenn ein Schnitt mit seiner Ebene die Basen schneidet, dann ist ein solcher Schnitt immer ein Rechteck. Diese Rechtecke sind jedoch je nach Position des Abschnitts unterschiedlich. Eine der Seiten des axialen Schnitts der Figur, die senkrecht zu den Basen ist, ist gleich der Höhe und die andere gleich dem Durchmesser der Basis des Zylinders. Und die Fläche eines solchen Abschnitts ist jeweils gleich dem Produkt einer Seite des Rechtecks ​​​​durch die andere, senkrecht zur ersten, oder dem Produkt der Höhe dieser Figur durch den Durchmesser ihrer Basis.

Wenn der Schnitt senkrecht zu den Basen der Figur verläuft, aber nicht durch die Rotationsachse verläuft, entspricht die Fläche dieses Schnitts dem Produkt aus der Höhe dieses Zylinders und einer bestimmten Sehne. Um eine Sehne zu erhalten, müssen Sie an der Basis des Zylinders einen Kreis bauen, einen Radius zeichnen und darauf den Abstand festlegen, in dem sich der Abschnitt befindet. Und von diesem Punkt aus müssen Sie Senkrechte zum Radius vom Schnittpunkt mit dem Kreis zeichnen. Die Schnittpunkte sind mit der Mitte verbunden. Und die Basis des Dreiecks ist die gesuchte, nach der gesucht wird, klingt so: „Die Summe der Quadrate zweier Schenkel ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse“:

C2 = A2 + B2.

Wenn der Abschnitt die Basis des Zylinders nicht beeinflusst und der Zylinder selbst kreisförmig und gerade ist, wird die Fläche dieses Abschnitts als Fläche des Kreises ermittelt.

Die Fläche eines Kreises ist:

S env. = 2p R2.

Um R zu finden, müssen Sie seine Länge C durch 2p teilen:

R = C \ 2n, wobei n Pi ist, eine mathematische Konstante, die für die Arbeit mit Kreisdaten berechnet wurde und gleich 3,14 ist.

Es gibt eine große Anzahl von Problemen, die mit dem Zylinder verbunden sind. In ihnen müssen Sie den Radius und die Höhe des Körpers oder die Art seines Abschnitts finden. Außerdem müssen Sie manchmal die Fläche eines Zylinders und sein Volumen berechnen.

Welcher Körper ist ein Zylinder?

Im Laufe des Schullehrplans wird ein Kreis, also ein Zylinder, der im Grunde ein solcher ist, untersucht. Sie zeichnen aber auch das elliptische Erscheinungsbild dieser Figur aus. Aus dem Namen geht hervor, dass seine Basis eine Ellipse oder ein Oval sein wird.

Der Zylinder hat zwei Basen. Sie sind einander gleich und durch Segmente verbunden, die die entsprechenden Punkte der Basen kombinieren. Sie werden Zylindergeneratoren genannt. Alle Generatoren sind parallel zueinander und gleich. Sie bilden die Seitenfläche des Körpers.

Im Allgemeinen ist ein Zylinder ein geneigter Körper. Wenn die Generatoren mit den Basen einen rechten Winkel bilden, sprechen sie bereits von einer geraden Figur.

Interessanterweise ist ein Kreiszylinder ein Rotationskörper. Es wird erhalten, indem ein Rechteck um eine seiner Seiten gedreht wird.

Die Hauptelemente des Zylinders

Die Hauptelemente des Zylinders sind wie folgt.

1. Höhe. Es ist der kürzeste Abstand zwischen den Böden des Zylinders. Wenn es gerade ist, stimmt die Höhe mit der Erzeugenden überein.
2. Radius. Stimmt mit derjenigen überein, die in der Basis durchgeführt werden kann.
3. Achse. Dies ist eine gerade Linie, die die Mittelpunkte beider Basen enthält. Die Achse ist immer parallel zu allen Generatoren. Bei einem geraden Zylinder steht er senkrecht zu den Basen.
4. Axialschnitt. Es wird gebildet, wenn der Zylinder die Ebene schneidet, die die Achse enthält.
5. Tangentialebene. Sie verläuft durch einen der Generatoren und steht senkrecht auf dem Axialschnitt, der durch diese Erzeugende gezogen wird.

Wie verhält sich ein Zylinder zu einem Prisma, das ihm eingeschrieben oder in seiner Nähe umschrieben ist?

Manchmal gibt es Probleme, bei denen die Fläche eines Zylinders berechnet werden muss, während einige Elemente des damit verbundenen Prismas bekannt sind. Wie hängen diese Zahlen zusammen?

Wenn ein Prisma in einen Zylinder eingeschrieben ist, dann sind seine Basen gleiche Polygone. Außerdem sind sie in die entsprechenden Böden des Zylinders eingeschrieben. Die Seitenkanten des Prismas fallen mit den Generatoren zusammen.

Das beschriebene Prisma hat an seinen Basen regelmäßige Polygone. Sie werden in der Nähe der Kreise des Zylinders beschrieben, die seine Basen sind. Die Ebenen, die die Flächen des Prismas enthalten, berühren den Zylinder entlang der Generatoren.

Im Bereich der Mantelfläche und Basis für einen geraden Kreiszylinder

Klappt man die Seitenfläche auf, erhält man ein Rechteck. Seine Seiten stimmen mit der Erzeugenden und dem Umfang der Basis überein. Daher ist die Seitenfläche des Zylinders gleich dem Produkt dieser beiden Größen. Wenn Sie die Formel schreiben, erhalten Sie Folgendes:

S-Seite \u003d l * n,

wobei n die Erzeugende und l der Umfang ist.

Darüber hinaus wird der letzte Parameter nach folgender Formel berechnet:

l = 2 π*r,

hier ist r der Radius des Kreises, π ist die Zahl "pi", gleich 3,14.

Da die Basis ein Kreis ist, wird ihre Fläche mit dem folgenden Ausdruck berechnet:

S Haupt \u003d π * r 2.

Auf der Fläche der gesamten Oberfläche eines geraden Kreiszylinders

Da es aus zwei Basen und einer Seitenfläche gebildet wird, müssen diese drei Größen addiert werden. Das heißt, die Gesamtfläche des Zylinders wird nach folgender Formel berechnet:

S Etage = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Es wird oft in einer anderen Form geschrieben:

S Etage = 2 π * r (n + r).

Auf den Flächen eines geneigten Kreiszylinders

Was die Basen betrifft, sind alle Formeln gleich, weil sie immer noch Kreise sind. Aber die Seitenfläche ergibt kein Rechteck mehr.

Um die Seitenfläche eines geneigten Zylinders zu berechnen, müssen Sie die Werte der Erzeugenden und den Umfang des Abschnitts multiplizieren, der senkrecht zur ausgewählten Erzeugenden steht.

Die Formel sieht so aus:

S-Seite \u003d x * P,

wobei x die Länge der Erzeugenden des Zylinders ist, P der Umfang des Abschnitts ist.

Der Querschnitt ist übrigens besser so zu wählen, dass er eine Ellipse bildet. Dann werden die Berechnungen seines Umfangs vereinfacht. Die Länge der Ellipse wird mit einer Formel berechnet, die eine ungefähre Antwort gibt. Für die Aufgaben des Schulkurses reicht es aber oft:

l \u003d π * (a + b),

wobei "a" und "b" die Halbachsen der Ellipse sind, d. h. die Abstände vom Zentrum zu den nächsten und entferntesten Punkten.

Die Fläche der gesamten Oberfläche muss mit dem folgenden Ausdruck berechnet werden:

S Etage = 2 π * r2 + x * R.

Was sind einige Abschnitte eines geraden Kreiszylinders?

Wenn der Schnitt durch die Achse geht, dann wird seine Fläche als Produkt aus der Erzeugenden und dem Durchmesser der Basis bestimmt. Denn es hat die Form eines Rechtecks, dessen Seiten mit den bezeichneten Elementen zusammenfallen.

Um die Querschnittsfläche eines Zylinders zu ermitteln, der parallel zum axialen ist, benötigst du auch eine Formel für ein Rechteck. In dieser Situation fällt eine seiner Seiten immer noch mit der Höhe zusammen und die andere entspricht der Sehne der Basis. Letztere fällt mit der Schnittlinie entlang der Basis zusammen.

Wenn der Schnitt senkrecht zur Achse steht, sieht er aus wie ein Kreis. Darüber hinaus ist seine Fläche die gleiche wie an der Basis der Figur.

Es ist auch möglich, sich unter einem gewissen Winkel zur Achse zu schneiden. Dann wird im Schnitt ein Oval oder ein Teil davon erhalten.

Aufgabenbeispiele

Aufgabe Nummer 1. Gegeben ist ein gerader Zylinder, dessen Grundfläche 12,56 cm 2 beträgt. Die Gesamtfläche des Zylinders muss berechnet werden, wenn seine Höhe 3 cm beträgt.

Entscheidung. Es ist notwendig, die Formel für die Gesamtfläche eines kreisförmigen rechten Zylinders zu verwenden. Aber es fehlen Daten, nämlich der Radius der Basis. Aber die Fläche des Kreises ist bekannt. Daraus lässt sich leicht der Radius berechnen.

Es stellt sich heraus, dass sie gleich der Quadratwurzel des Quotienten ist, der durch Teilen der Grundfläche durch Pi erhalten wird. Teilen von 12,56 durch 3,14 ist 4. Die Quadratwurzel von 4 ist 2. Daher hat der Radius genau diesen Wert.

Antwort: S-Boden \u003d 50,24 cm 2.

Aufgabe Nummer 2. Ein Zylinder mit einem Radius von 5 cm wird durch eine Ebene parallel zur Achse abgeschnitten. Der Abstand vom Abschnitt zur Achse beträgt 3 cm, die Höhe des Zylinders beträgt 4 cm und ist erforderlich, um die Fläche des Abschnitts zu ermitteln.

Entscheidung. Die Schnittform ist rechteckig. Eine seiner Seiten stimmt mit der Höhe des Zylinders überein und die andere ist gleich der Sehne. Wenn der erste Wert bekannt ist, muss der zweite gefunden werden.

Dazu müssen Sie eine zusätzliche Konstruktion erstellen. An der Basis zeichnen wir zwei Segmente. Beide beginnen in der Mitte des Kreises. Der erste endet in der Mitte der Sehne und entspricht dem bekannten Abstand zur Achse. Der zweite steht am Ende des Akkords.

Du bekommst ein rechtwinkliges Dreieck. Darin sind die Hypotenuse und eines der Beine bekannt. Die Hypotenuse ist gleich dem Radius. Das zweite Bein entspricht der Hälfte des Akkords. Das unbekannte Bein, multipliziert mit 2, ergibt die erforderliche Akkordlänge. Lassen Sie uns seinen Wert berechnen.

Um das unbekannte Bein zu finden, müssen Sie die Hypotenuse und das bekannte Bein quadrieren, das zweite vom ersten subtrahieren und die Quadratwurzel ziehen. Die Quadrate sind 25 und 9. Ihre Differenz ist 16. Nach dem Ziehen der Quadratwurzel bleibt 4. Dies ist das gewünschte Bein.

Der Akkord ist gleich 4 * 2 = 8 (cm). Jetzt können Sie die Querschnittsfläche berechnen: 8 * 4 \u003d 32 (cm 2).

Antwort: S sec ist 32 cm 2.

Aufgabe Nummer 3. Es ist notwendig, die Fläche des axialen Abschnitts des Zylinders zu berechnen. Es ist bekannt, dass darin ein Würfel mit einer Kantenlänge von 10 cm eingeschrieben ist.

Entscheidung. Der Axialschnitt des Zylinders fällt mit einem Rechteck zusammen, das durch die vier Ecken des Würfels geht und die Diagonalen seiner Grundflächen enthält. Die Seite des Würfels ist die Erzeugende des Zylinders, und die Diagonale der Basis fällt mit dem Durchmesser zusammen. Das Produkt dieser beiden Größen ergibt den Bereich, den Sie in der Aufgabe herausfinden müssen.

Um den Durchmesser zu finden, müssen Sie wissen, dass die Grundfläche des Würfels ein Quadrat ist und seine Diagonale ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck bildet. Seine Hypotenuse ist die erforderliche Diagonale der Figur.

Um es zu berechnen, benötigen Sie die Formel des Satzes von Pythagoras. Sie müssen die Seite des Würfels quadrieren, mit 2 multiplizieren und die Quadratwurzel ziehen. Zehn hoch zwei ist hundert. Multipliziert mit 2 ergibt zweihundert. Die Quadratwurzel von 200 ist 10√2.

Der Schnitt ist wieder ein Rechteck mit den Seiten 10 und 10√2. Seine Fläche lässt sich leicht berechnen, indem man diese Werte multipliziert.

Antworten. S Sek \u003d 100√2 cm 2.

Stereometrie ist ein Zweig der Geometrie, der Formen im Raum untersucht. Die Hauptfiguren im Raum sind ein Punkt, eine Linie und eine Ebene. In der Stereometrie taucht eine neue Art der gegenseitigen Anordnung von Linien auf: Schräglinien. Dies ist einer der wenigen signifikanten Unterschiede zwischen Festkörpergeometrie und Planimetrie, da in vielen Fällen Stereometrieprobleme gelöst werden, indem verschiedene Ebenen betrachtet werden, in denen planimetrische Gesetze erfüllt sind.

In der Natur um uns herum gibt es viele Objekte, die physische Modelle dieser Figur sind. Zum Beispiel haben viele Maschinenteile die Form eines Zylinders oder einer Kombination davon, und die majestätischen Säulen von Tempeln und Kathedralen in Form von Zylindern betonen ihre Harmonie und Schönheit.

griechisch − kyulindros. alter Begriff. Im Alltag - eine Papyrusrolle, eine Walze, eine Eisbahn (Verb - drehen, rollen).

Bei Euklid entsteht ein Zylinder durch Drehen eines Rechtecks. Für Cavalieri - durch die Bewegung der Erzeugenden (mit einer willkürlichen Führung - "Zylinder").

Der Zweck dieses Essays ist es, einen geometrischen Körper zu betrachten - einen Zylinder.

Um dieses Ziel zu erreichen, sollten folgende Aufgaben berücksichtigt werden:

− Definitionen eines Zylinders geben;

- Betrachten Sie die Elemente des Zylinders;

− Untersuchung der Eigenschaften des Zylinders;

- die Querschnittstypen des Zylinders berücksichtigen;

- die Formel für die Fläche eines Zylinders herleiten;

− die Formel für das Volumen eines Zylinders herleiten;

− Probleme mit einem Zylinder lösen.

1.1. Zylinderdefinition

Betrachten wir eine Linie (Kurve, unterbrochene Linie oder gemischte Linie) l, die in einer Ebene α liegt, und eine gerade Linie S, die diese Ebene schneidet. Durch alle Punkte der gegebenen Linie l ziehen wir Linien parallel zur Linie S; die durch diese Geraden gebildete Fläche α wird Zylinderfläche genannt. Die Linie l wird Führung dieser Fläche genannt, die Linien s 1 , s 2 , s 3 ,... sind ihre Erzeuger.

Wenn die Führung eine unterbrochene Linie ist, besteht eine solche zylindrische Oberfläche aus einer Reihe flacher Streifen, die zwischen Paaren paralleler Linien eingeschlossen sind, und wird als prismatische Oberfläche bezeichnet. Die Erzeugenden, die durch die Eckpunkte der Führungspolylinie verlaufen, werden Kanten der prismatischen Oberfläche genannt, die flachen Streifen zwischen ihnen werden als Flächen bezeichnet.

Wenn wir eine beliebige zylindrische Fläche mit einer beliebigen Ebene schneiden, die nicht parallel zu ihren Erzeugenden ist, dann erhalten wir eine Linie, die auch als Richtschnur für diese Fläche genommen werden kann. Unter den Führungen sticht eine hervor, die aus dem Schnitt der Oberfläche durch eine Ebene senkrecht zu den Generatoren der Oberfläche erhalten wird. Ein solcher Abschnitt wird als normaler Abschnitt bezeichnet, und die entsprechende Führung wird als normale Führung bezeichnet.

Wenn die Führung eine geschlossene (konvexe) Linie (gestrichelte Linie oder Kurve) ist, wird die entsprechende Fläche als geschlossene (konvexe) prismatische oder zylindrische Fläche bezeichnet. Von den zylindrischen Flächen hat die einfachste ihren normalen Leitkreis. Lassen Sie uns eine geschlossene konvexe prismatische Oberfläche durch zwei Ebenen zerlegen, die parallel zueinander, aber nicht parallel zu den Generatoren liegen.

In den Abschnitten erhalten wir konvexe Polygone. Nun begrenzen der zwischen den Ebenen α und α" eingeschlossene Teil der prismatischen Fläche und die beiden in diesem Fall in diesen Ebenen gebildeten Polygonplatten den Körper, den sogenannten prismatischen Körper - das Prisma.

Ein zylindrischer Körper - ein Zylinder wird ähnlich wie ein Prisma definiert:
Ein Zylinder ist ein Körper, der seitlich von einer geschlossenen (konvexen) zylindrischen Oberfläche und an den Enden von zwei flachen parallelen Basen begrenzt wird. Beide Basen des Zylinders sind gleich, und alle Generatoren des Zylinders sind auch untereinander gleich, d.h. Segmente, die eine zylindrische Oberfläche zwischen den Ebenen der Basen bilden.

Ein Zylinder (genauer gesagt ein Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper, der aus zwei Kreisen besteht, die nicht in derselben Ebene liegen und durch Parallelübertragung zusammengefügt werden, und alle Segmente, die die entsprechenden Punkte dieser Kreise verbinden (Abb. 1). .

Die Kreise werden die Basen des Zylinders genannt, und die Segmente, die die entsprechenden Punkte der Kreise der Kreise verbinden, werden die Generatoren des Zylinders genannt.

Da die parallele Translation eine Bewegung ist, sind die Basen des Zylinders gleich.

Da bei der parallelen Translation die Ebene in eine parallele Ebene (oder in sich selbst) übergeht, liegen die Grundflächen des Zylinders in parallelen Ebenen.

Da bei der parallelen Translation die Punkte entlang paralleler (oder zusammenfallender) Linien um den gleichen Abstand verschoben werden, sind die Generatoren des Zylinders parallel und gleich.

Die Oberfläche eines Zylinders besteht aus Böden und einer Seitenfläche. Die Seitenfläche besteht aus Generatoren.

Ein Zylinder heißt gerade, wenn seine Generatoren senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen.

Einen geraden Zylinder kann man sich als geometrischen Körper vorstellen, der ein Rechteck beschreibt, wenn er sich um die Seite als Achse dreht (Abb. 2).

Reis. 2 − Gerader Zylinder

Im Folgenden betrachten wir nur einen geraden Zylinder und nennen ihn der Kürze halber einfach Zylinder.

Der Radius eines Zylinders ist der Radius seiner Grundfläche. Die Höhe eines Zylinders ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. Die Achse eines Zylinders ist eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft. Es ist parallel zu den Generatoren.

Ein Zylinder heißt gleichseitig, wenn seine Höhe gleich dem Durchmesser seiner Grundfläche ist.

Wenn die Basen des Zylinders flach sind (und daher die Ebenen, die sie enthalten, parallel sind), dann sagt man, dass der Zylinder auf einer Ebene steht. Stehen die Grundflächen eines auf einer Ebene stehenden Zylinders senkrecht zur Erzeugenden, so heißt der Zylinder gerade.

Ist insbesondere die Grundfläche eines auf einer Ebene stehenden Zylinders ein Kreis, so spricht man von einem kreisförmigen (runden) Zylinder; wenn eine Ellipse, dann elliptisch.

1. 3. Abschnitte des Zylinders

Der Schnitt des Zylinders durch eine Ebene parallel zu seiner Achse ist ein Rechteck (Abb. 3, a). Zwei seiner Seiten sind Erzeugende des Zylinders, und die anderen beiden sind parallele Akkorde der Basen.

a) b)

in) G)

Reis. 3 - Abschnitte des Zylinders

Insbesondere ist das Rechteck der Axialschnitt. Dies ist ein Schnitt des Zylinders durch eine Ebene, die durch seine Achse verläuft (Abb. 3, b).

Der Schnitt des Zylinders durch eine Ebene parallel zur Basis ist ein Kreis (Abb. 3, c).

Der Querschnitt des Zylinders mit einer zur Basis nicht parallelen Ebene und seiner Achse ist ein Oval (Abb. 3d).

Satz 1. Eine Ebene parallel zur Ebene der Basis des Zylinders schneidet seine Seitenfläche entlang eines Kreises, der gleich dem Umfang der Basis ist.

Nachweisen. Sei β eine Ebene parallel zur Ebene der Basis des Zylinders. Eine parallele Übertragung in Richtung der Zylinderachse, die die Ebene β mit der Ebene des Bodens des Zylinders verbindet, verbindet den Schnitt der Seitenfläche durch die Ebene β mit dem Umfang des Bodens. Der Satz ist bewiesen.

Der Bereich der Mantelfläche des Zylinders.

Als Fläche der Seitenfläche des Zylinders wird die Grenze bezeichnet, zu der die Fläche der Seitenfläche eines in den Zylinder eingeschriebenen regelmäßigen Prismas tendiert, wenn die Seitenzahl der Basis dieses Prismas unendlich zunimmt.

Theorem 2. Die Fläche der Mantelfläche des Zylinders ist gleich dem Produkt aus dem Umfang seiner Basis und der Höhe (S Seite.c = 2πRH, wobei R der Radius der Basis des Zylinders ist, H ist Höhe des Zylinders).

SONDERN) b)
Reis. 4 - Der Bereich der Mantelfläche des Zylinders

Nachweisen.

Seien P n bzw. H der Umfang der Basis und die Höhe eines regulären n-eckigen Prismas, das in einen Zylinder eingeschrieben ist (Abb. 4, a). Dann ist die Fläche der Seitenfläche dieses Prismas S Seite.c - P n H. Nehmen wir an, dass die Anzahl der Seiten des in die Basis eingeschriebenen Polygons unendlich wächst (Abb. 4, b). Dann tendiert der Umfang P n zum Umfang C = 2πR, wobei R der Radius der Basis des Zylinders ist, und die Höhe H ändert sich nicht. Somit tendiert die Fläche der Seitenfläche des Prismas zur Grenze 2πRH, d. H. Die Fläche der Seitenfläche des Zylinders ist gleich S Seite.c = 2πRH. Der Satz ist bewiesen.

Die Gesamtfläche des Zylinders.

Die Gesamtfläche eines Zylinders ist die Summe der Flächen der Mantelfläche und der beiden Grundflächen. Die Fläche jeder Basis des Zylinders ist gleich πR 2, daher wird die Fläche der gesamten Oberfläche des Zylinders S voll nach der Formel berechnet S Seite.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

r

T1

T

F

F1

F

T

a)

F

b)

Reis. 5 − Volle Oberfläche des Zylinders

Wenn die Seitenfläche des Zylinders entlang der Erzeugenden FT (Abb. 5, a) geschnitten und so entfaltet wird, dass alle Erzeugenden in derselben Ebene liegen, erhalten wir als Ergebnis ein Rechteck FTT1F1, das als Entwicklung der Seitenlinie bezeichnet wird Oberfläche des Zylinders. Die Seite FF1 des Rechtecks ​​ist eine Entwicklung des Umfangs der Basis des Zylinders, daher ist FF1=2πR, und seine Seite FT ist gleich der Mantellinie des Zylinders, d. h. FT = H (Abb. 5, b). Somit ist die Fläche FT∙FF1=2πRH des Zylinders Sweep gleich der Fläche seiner Seitenfläche.

1.5. Zylindervolumen

Wenn der geometrische Körper einfach ist, das heißt, er kann in eine endliche Anzahl dreieckiger Pyramiden unterteilt werden, dann ist sein Volumen gleich der Summe der Volumen dieser Pyramiden. Für einen beliebigen Körper ist das Volumen wie folgt definiert.

Ein gegebener Körper hat das Volumen V, wenn es einfache Körper gibt, die ihn enthalten, und einfache Körper, die darin enthalten sind und deren Volumen sich so wenig wie gewünscht von V unterscheiden.

Wenden wir diese Definition an, um das Volumen eines Zylinders mit dem Grundradius R und der Höhe H zu ermitteln.

Bei der Ableitung der Formel für die Kreisfläche wurden zwei n-Ecke (eines enthält einen Kreis, das andere enthält einen Kreis) so konstruiert, dass sich ihre Flächen bei unbegrenzter Zunahme von n der Fläche eines Kreises annähern unbegrenzt. Lassen Sie uns solche Polygone für den Kreis an der Basis des Zylinders konstruieren. Sei P ein Polygon, das einen Kreis enthält, und P" ein Polygon, das in einem Kreis enthalten ist (Abb. 6).

Reis. 7 - Zylinder mit einem darin beschriebenen und eingeschriebenen Prisma

Bauen wir zwei gerade Prismen mit den Basen P und P "und der Höhe H, gleiche Höhe Zylinder. Das erste Prisma enthält den Zylinder und das zweite Prisma ist im Zylinder enthalten. Da sich bei einer unbegrenzten Erhöhung von n die Flächen der Prismenbasen der Fläche der Basis des Zylinders S auf unbestimmte Zeit nähern, nähern sich ihre Volumina auf unbestimmte Zeit SH. Laut Definition das Volumen eines Zylinders

V = SH = πR 2 H.

Das Volumen eines Zylinders ist also gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

Aufgabe 1.

Der Axialschnitt eines Zylinders ist ein Quadrat mit der Fläche Q.

Finden Sie den Bereich der Basis des Zylinders.

Gegeben: Zylinder, Quadrat - Axialschnitt des Zylinders, S Quadrat = Q.

Fund: S Hauptzyl.

Die Seite des Quadrats ist . Er ist gleich dem Durchmesser der Basis. Also die Fläche der Basis ist .

Antwort: S Hauptzyl. =

Aufgabe 2.

In einen Zylinder ist ein regelmäßiges sechseckiges Prisma eingeschrieben. Finden Sie den Winkel zwischen der Diagonalen seiner Seitenfläche und der Achse des Zylinders, wenn der Radius der Basis gleich der Höhe des Zylinders ist.

Gegeben: ein Zylinder, ein regelmäßiges sechseckiges Prisma, das in einen Zylinder eingeschrieben ist, der Radius der Basis = die Höhe des Zylinders.

Gesucht: der Winkel zwischen der Diagonale seiner Seitenfläche und der Achse des Zylinders.

Lösung: Die Seitenflächen des Prismas sind Quadrate, da die Seite eines einem Kreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks gleich dem Radius ist.

Die Kanten des Prismas sind parallel zur Achse des Zylinders, sodass der Winkel zwischen der Diagonale der Fläche und der Achse des Zylinders gleich dem Winkel zwischen der Diagonale und der Seitenkante ist. Und dieser Winkel beträgt 45 °, da die Flächen quadratisch sind.

Antwort: Der Winkel zwischen der Diagonalen seiner Seitenfläche und der Achse des Zylinders = 45°.

Aufgabe 3.

Die Höhe des Zylinders beträgt 6 cm, der Radius der Basis 5 cm.

Finden Sie die Fläche eines Schnitts, der parallel zur Achse des Zylinders in einem Abstand von 4 cm davon gezeichnet ist.

Gegeben: H = 6cm, R = 5cm, OE = 4cm.

Suche: S Sek.

S Sek. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Dreieck OKM - gleichschenklig (OK = OM = R = 5 cm),

Dreieck OEK ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Aus dem OEK-Dreieck nach Satz des Pythagoras:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

S Sek. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.

Der Zweck dieses Aufsatzes ist erfüllt, wenn ein solcher geometrischer Körper wie ein Zylinder betrachtet wird.

Folgende Aufgaben kamen in Betracht:

− die Definition eines Zylinders gegeben ist;

− Elemente des Zylinders berücksichtigt werden;

− untersuchte die Eigenschaften des Zylinders;

− Arten von Zylinderabschnitten werden berücksichtigt;

− die Formel für die Fläche eines Zylinders hergeleitet wird;

− die Formel für das Volumen eines Zylinders hergeleitet wird;

− Probleme werden durch die Verwendung eines Zylinders gelöst.

1. Pogorelov A. V. Geometrie: Ein Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 von Bildungseinrichtungen, 1995.

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5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: Grades 10 - 11: Lehrbuch und Aufgabenbuch, 2000.

Es ist ein geometrischer Körper, der von zwei parallelen Ebenen und einer zylindrischen Oberfläche begrenzt wird.

Der Zylinder besteht aus einer Seitenfläche und zwei Böden. Die Formel für die Oberfläche eines Zylinders beinhaltet eine separate Berechnung der Fläche der Basen und der Mantelfläche. Da die Basen im Zylinder gleich sind, wird seine Gesamtfläche nach folgender Formel berechnet:

Wir werden ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Zylinders betrachten, nachdem wir alle erforderlichen Formeln kennen. Zuerst brauchen wir die Formel für die Grundfläche eines Zylinders. Da die Basis des Zylinders ein Kreis ist, müssen wir anwenden:
Wir erinnern uns, dass diese Berechnungen eine konstante Zahl Π = 3,1415926 verwenden, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser berechnet wird. Diese Zahl ist eine mathematische Konstante. Wir werden auch etwas später ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Basis eines Zylinders betrachten.

Zylinderseitenfläche

Die Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders ist das Produkt aus der Länge der Grundfläche und ihrer Höhe:

Betrachten Sie nun ein Problem, bei dem wir die Gesamtfläche eines Zylinders berechnen müssen. In einer gegebenen Figur beträgt die Höhe h = 4 cm, r = 2 cm. Lassen Sie uns die Gesamtfläche des Zylinders ermitteln.
Lassen Sie uns zuerst die Fläche der Basen berechnen:
Betrachten Sie nun ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders. Aufgeklappt ist es ein Rechteck. Seine Fläche wird mit der obigen Formel berechnet. Ersetzen Sie alle Daten darin:
Die Gesamtfläche eines Kreises ist die Summe der doppelten Fläche der Basis und der Seite:

So konnten wir unter Verwendung der Formeln für die Fläche der Basen und der Seitenfläche der Figur die Gesamtfläche des Zylinders ermitteln.
Der axiale Querschnitt des Zylinders ist ein Rechteck, dessen Seiten gleich der Höhe und dem Durchmesser des Zylinders sind.

Die Formel für die Fläche des Axialschnitts eines Zylinders ergibt sich aus der Berechnungsformel: