ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, nennt man algebraische Ausdrücke.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a2-2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch verschiedene Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable bezeichnet, und der algebraische Ausdruck selbst wird als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6.

Entscheidung.

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5. Anstelle von Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6. Wir ersetzen die angegebenen Werte. Denken Sie daran, dass der Modulus einer negativen Zahl gleich ihrer Gegenzahl ist und der Modulus einer positiven Zahl gleich dieser Zahl selbst ist. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte eines Buchstabens (Variable), für die der algebraische Ausdruck Sinn macht, heißen gültige Werte des Buchstabens (Variable).

Beispiele. Bei welchen Werten der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Entscheidung. Wir wissen, dass es unmöglich ist, durch Null zu dividieren, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn mit dem Wert des Buchstabens (Variable), der den Nenner des Bruchs auf Null setzt!

In Beispiel 1) ist dies der Wert a = 0. Wenn wir statt a 0 einsetzen, muss die Zahl 6 tatsächlich durch 0 geteilt werden, aber das geht nicht. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0 ist.

In Beispiel 2) ist der Nenner x - 4 = 0 bei x = 4, daher ist dieser Wert x = 4 und kann nicht genommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn für x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0 für x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht bei x = -2 keinen Sinn.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| \u003d 5, dann können Sie nicht x \u003d 5 und x \u003d -5 nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht keinen Sinn für x = -5 und für x = 5.
IV. Zwei Ausdrücke werden als identisch gleich bezeichnet, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind identisch, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für beliebige Werte von a und b gilt. Gleichheit 5 (a - b) = 5a - 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind zB die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Beispiele.

a) Konvertieren Sie den Ausdruck mit dem Distributivgesetz der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m – 2n + k).

Entscheidung. Erinnern Sie sich an das Distributivgesetz (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b) c=a c+b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man mit dieser gekürzten und subtrahierten Zahl separat multiplizieren und die zweite vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition in identisch gleich um:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Entscheidung. Wir wenden die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(Verschiebung: die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(Assoziativ: um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

in) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 Jahre · (-ein); 9) 3a · (-3) · 2s.

Entscheidung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

ein b=b ein(Verschiebung: Permutation von Faktoren verändert das Produkt nicht).
(ab) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren).

Lassen Sie uns das Problem lösen.

Der Student kaufte Hefte für 2 Kopeken. für ein Notizbuch und ein Lehrbuch für 8 Kopeken. Wie viel hat er für den gesamten Kauf bezahlt?

Um die Kosten aller Notebooks zu ermitteln, müssen Sie den Preis eines Notebooks mit der Anzahl der Notebooks multiplizieren. Dies bedeutet, dass die Kosten für Notebooks Kopeken entsprechen.

Die Kosten für den gesamten Kauf werden

Beachten Sie, dass es üblich ist, das Multiplikationszeichen vor einem durch einen Buchstaben ausgedrückten Multiplikator wegzulassen, es ist einfach impliziert. Daher kann der vorherige Eintrag wie folgt dargestellt werden:

Wir haben eine Formel zur Lösung des Problems erhalten. Es zeigt, dass es zur Lösung des Problems notwendig ist, den Preis eines Notebooks mit der Anzahl der gekauften Notebooks zu multiplizieren und die Kosten eines Lehrbuchs zum Produkt hinzuzufügen.

Anstelle des Wortes „Formel“ für solche Einträge wird auch der Name „algebraischer Ausdruck“ verwendet.

Ein algebraischer Ausdruck ist ein Datensatz, der aus Zahlen besteht, die durch Zahlen oder Buchstaben gekennzeichnet und durch Aktionszeichen verbunden sind.

Der Kürze halber sagen sie statt "algebraischer Ausdruck" manchmal einfach "Ausdruck".

Hier sind einige weitere Beispiele für algebraische Ausdrücke:

Aus diesen Beispielen sehen wir, dass ein algebraischer Ausdruck nur aus einem Buchstaben bestehen kann oder überhaupt keine durch Buchstaben gekennzeichneten Zahlen enthält (die letzten beiden Beispiele). In diesem letzteren Fall wird der Ausdruck auch als arithmetischer Ausdruck bezeichnet.

Geben wir dem Buchstaben den Wert 5 in dem algebraischen Ausdruck, den wir erhalten haben (das bedeutet, dass der Schüler 5 Notizbücher gekauft hat). Setzen wir stattdessen die Zahl 5 ein, erhalten wir:

das ist gleich 18 (also 18 Kopeken).

Die Zahl 18 ist der Wert dieses algebraischen Ausdrucks, wenn

Der Wert eines algebraischen Ausdrucks ist die Zahl, die erhalten wird, wenn wir die Daten ihrer Werte in diesem Ausdruck anstelle von Buchstaben ersetzen und die angegebenen Aktionen für die Zahlen ausführen.

Zum Beispiel können wir sagen: Der Wert des Ausdrucks bei ist 12 (12 Kopeken).

Der Wert desselben Ausdrucks für ist 14 (14 Kopeken) usw.

Wir sehen, dass die Bedeutung eines algebraischen Ausdrucks davon abhängt, welche Werte wir den darin enthaltenen Buchstaben geben. Es stimmt, manchmal kommt es vor, dass die Bedeutung eines Ausdrucks nicht von der Bedeutung der darin enthaltenen Buchstaben abhängt. Beispielsweise ist der Ausdruck für alle Werte von a gleich 6.

Suchen wir als Beispiel die numerischen Werte des Ausdrucks für verschiedene Werte der Buchstaben a und b.

Ersetzen Sie in diesem Ausdruck anstelle von a die Zahl 4 und anstelle von 6 die Zahl 2 und berechnen Sie den resultierenden Ausdruck:

Also, wenn der Wert des Ausdrucks For gleich 16 ist.

Auf die gleiche Weise stellen wir fest, dass, wenn der Wert des Ausdrucks 29 ist, wenn und gleich 2 ist usw.

Die Ergebnisse der Berechnungen können in Form einer Tabelle geschrieben werden, die deutlich zeigt, wie sich der Wert des Ausdrucks in Abhängigkeit von der Änderung der Werte der darin enthaltenen Buchstaben ändert.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit drei Zeilen erstellen. In die erste Zeile schreiben wir die Werte a, in die zweite - die Werte 6 und

im dritten - die Werte des Ausdrucks Wir bekommen eine solche Tabelle.

Der Algebra-Unterricht führt uns in verschiedene Arten von Ausdrücken ein. Wenn neues Material eintrifft, werden die Ausdrücke komplexer. Wenn Sie sich mit den Kräften vertraut machen, werden sie dem Ausdruck allmählich hinzugefügt und verkomplizieren ihn. Es passiert auch mit Brüchen und anderen Ausdrücken.

Um das Studium des Stoffes so bequem wie möglich zu gestalten, erfolgt dies über bestimmte Namen, um diese hervorheben zu können. Dieser Artikel gibt einen vollständigen Überblick über alle grundlegenden algebraischen Schulausdrücke.

Monome und Polynome

Ausdrücke Monome und Polynome werden im Schullehrplan ab der 7. Klasse studiert. Lehrbücher haben Definitionen dieser Art gegeben.

Bestimmung 1

Monome- Dies sind Zahlen, Variablen, ihre Grade mit einem natürlichen Indikator, alle mit ihrer Hilfe erstellten Arbeiten.

Bestimmung 2

Polynome heißt Summe der Monome.

Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 5, die Variable x, den Grad z 7, dann die Produkte der Form 5x und 7 x 2 7 z 7 gelten als Einzelmitglieder. Wenn die Summe der Monome der Form genommen wird 5+x oder z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, dann erhalten wir ein Polynom.

Um ein Monom von einem Polynom zu unterscheiden, achten Sie auf die Grade und ihre Definitionen. Das Konzept des Koeffizienten ist wichtig. Beim Reduzieren ähnlicher Terme werden diese in den freien Term des Polynoms oder den führenden Koeffizienten geteilt.

Meistens werden einige Aktionen an Monomen und Polynomen ausgeführt, wonach der Ausdruck reduziert wird, um ein Monom zu sehen. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division werden durchgeführt, wobei auf einen Algorithmus zur Durchführung von Operationen an Polynomen zurückgegriffen wird.

Wenn es eine Variable gibt, ist es möglich, das Polynom in ein Polynom zu teilen, die als Produkt dargestellt werden. Dieser Vorgang wird als Faktorisierung eines Polynoms bezeichnet.

Rationale (algebraische) Brüche

Das Konzept der rationalen Brüche wird in der 8. Klasse der High School studiert. Einige Autoren nennen sie algebraische Brüche.

Bestimmung 3

Rationeller algebraischer Bruch Sie nennen einen Bruch, in dem Polynome oder Monome Zahlen sind, die den Platz von Zähler und Nenner einnehmen.

Betrachten Sie das Beispiel des Schreibens rationaler Brüche des Typs 3 x + 2, 2 a + 3 b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 und 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4. Aufgrund der Definition können wir sagen, dass jeder Bruch ein rationaler Bruch ist.

Algebraische Brüche können addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert werden. Dies wird im Abschnitt über Operationen mit algebraischen Brüchen ausführlicher behandelt. Wenn es notwendig ist, einen Bruch umzuwandeln, nutzen sie oft die Eigenschaft der Kürzung und Kürzung auf einen gemeinsamen Nenner.

Rationale Ausdrücke

Im Schulkurs wird das Konzept der irrationalen Brüche untersucht, da mit rationalen Ausdrücken gearbeitet werden muss.

Bestimmung 4

Rationale Ausdrücke gelten als numerische und alphabetische Ausdrücke, bei denen rationale Zahlen und Buchstaben mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung mit einer ganzen Zahl verwendet werden.

Rationale Ausdrücke dürfen keine Zeichen haben, die zu der Funktion gehören, die zu Irrationalität führt. Rationale Ausdrücke enthalten keine Wurzeln, Exponenten mit gebrochenen irrationalen Exponenten, Exponenten mit Variablen im Exponenten, logarithmische Ausdrücke, trigonometrische Funktionen und so weiter.

Basierend auf der obigen Regel werden wir Beispiele für rationale Ausdrücke geben. Aus der obigen Definition haben wir, dass sowohl ein numerischer Ausdruck der Form 1 2 + 3 4 als auch 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 gelten als rational. Ausdrücke, die Buchstaben enthalten, werden auch als rational bezeichnet a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b , mit Variablen der Form a x 2 + b x + c und x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Alle rationalen Ausdrücke werden in ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke unterteilt.

Ganzzahlige rationale Ausdrücke

Bestimmung 5

Ganzzahlige rationale Ausdrücke sind solche Ausdrücke, die keine Unterteilung in Ausdrücke mit Variablen negativen Grades enthalten.

Aus der Definition haben wir, dass ein ganzer rationaler Ausdruck auch ein Ausdruck ist, der Buchstaben enthält, zum Beispiel a + 1 , ein Ausdruck, der mehrere Variablen enthält, zum Beispiel x 2 · y 3 − z + 3 2 und a + b 3 .

Ausdrücke wie x: (y − 1) und 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 können keine rationalen ganzen Zahlen sein, da sie durch einen Ausdruck mit Variablen dividiert werden können.

Bruchrationale Ausdrücke

Bestimmung 6

Bruchrationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der eine Division durch einen Ausdruck mit negativen Gradvariablen enthält.

Aus der Definition folgt, dass gebrochene rationale Ausdrücke 1 sein können: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 und 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Wenn wir Ausdrücke dieses Typs betrachten (2 x - x 2): 4 und a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, dann werden sie nicht als gebrochen rational betrachtet, da sie keine Ausdrücke mit Variablen enthalten der Nenner.

Ausdrücke mit Kräften

Bestimmung 7

Ausdrücke, die Potenzen in irgendeinem Teil der Notation enthalten, werden aufgerufen Machtausdrücke oder Machtausdrücke.

Für das Konzept geben wir ein Beispiel für einen solchen Ausdruck. Sie dürfen keine Variablen enthalten, zum Beispiel 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Charakteristisch sind auch Potenzausdrücke der Form 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3. Um sie zu lösen, müssen einige Transformationen durchgeführt werden.

Irrationale Ausdrücke, Ausdrücke mit Wurzeln

Die Wurzel, die einen Platz im Ausdruck hat, gibt ihm einen anderen Namen. Sie werden als irrational bezeichnet.

Bestimmung 8

Irrationale Ausdrücke Benennen Sie Ausdrücke, die Zeichen von Wurzeln im Datensatz haben.

Aus der Definition ist ersichtlich, dass es sich um Ausdrücke der Form 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x handelt + 1 + 6 x 2 + 5 x und x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Jeder von ihnen hat mindestens ein Root-Symbol. Die Wurzeln und Grade sind verbunden, sodass Sie Ausdrücke wie x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 sehen können.

Trigonometrische Ausdrücke

Bestimmung 9

trigonometrischer Ausdruck sind Ausdrücke, die sin, cos, tg und ctg und ihre Umkehrungen enthalten – arcsin, arccos, arctg und arcctg.

Beispiele für trigonometrische Funktionen liegen auf der Hand: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 und 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

Um mit solchen Funktionen zu arbeiten, müssen Eigenschaften, Grundformeln von direkten und inversen Funktionen verwendet werden. Der Artikel Transformation trigonometrischer Funktionen wird dieses Problem detaillierter aufzeigen.

Logarithmische Ausdrücke

Nachdem wir uns mit Logarithmen vertraut gemacht haben, können wir über komplexe logarithmische Ausdrücke sprechen.

Bestimmung 10

Ausdrücke, die Logarithmen haben, werden aufgerufen logarithmisch.

Ein Beispiel für solche Funktionen wäre log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Sie können solche Ausdrücke finden, wo es Grad und Logarithmen gibt. Das ist verständlich, denn aus der Definition des Logarithmus folgt, dass es sich um einen Exponenten handelt. Dann erhalten wir Ausdrücke wie x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Um das Studium des Materials zu vertiefen, sollten Sie sich auf das Material zur Transformation logarithmischer Ausdrücke beziehen.

Brüche

Es gibt Ausdrücke besonderer Art, die Brüche genannt werden. Da sie einen Zähler und einen Nenner haben, können sie nicht nur Zahlenwerte, sondern auch Ausdrücke beliebigen Typs enthalten. Betrachten Sie die Definition eines Bruchs.

Bestimmung 11

Schuss Sie nennen einen solchen Ausdruck, der einen Zähler und einen Nenner hat, in dem es sowohl numerische als auch alphabetische Bezeichnungen oder Ausdrücke gibt.

Beispiele für Brüche mit Zahlen im Zähler und Nenner sehen so aus: 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Zähler und Nenner können sowohl numerische als auch alphabetische Ausdrücke der Form (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 enthalten + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Ausdrücke wie 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 sind zwar keine Brüche, haben aber einen Bruch in ihrer Notation.

Allgemeiner Ausdruck

Seniorenklassen betrachten Aufgaben mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad, die alle kombinierten Aufgaben der Gruppe C im USE enthalten. Diese Ausdrücke sind besonders komplex und haben verschiedene Kombinationen von Wurzeln, Logarithmen, Potenzen und trigonometrischen Funktionen. Das sind Jobs wie x 2 - 1 sin x + π 3 oder sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Ihr Aussehen weist darauf hin, dass sie einer der oben genannten Arten zugeordnet werden kann. Meistens werden sie nicht als irgendwelche klassifiziert, da sie eine bestimmte kombinierte Lösung haben. Sie werden als Ausdrücke einer allgemeinen Form betrachtet, und es werden keine zusätzlichen Erläuterungen oder Ausdrücke zur Beschreibung verwendet.

Bei der Lösung eines solchen algebraischen Ausdrucks ist immer auf seine Notation, das Vorhandensein von Brüchen, Graden oder zusätzlichen Ausdrücken zu achten. Dies ist notwendig, um den Lösungsweg genau zu bestimmen. Wenn es keine Gewissheit in seinem Namen gibt, wird empfohlen, ihn einen Ausdruck eines allgemeinen Typs zu nennen und ihn gemäß dem oben beschriebenen Algorithmus zu lösen.

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Abschlusseigenschaften:

(1) ein m ⋅ ein n = ein m + n

Beispiel:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) ein m ein n = ein m − n

Beispiel:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 - 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = ein n ⋅ b n

Beispiel:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Beispiel:

$$(\left((\frac(a)(b)) \right)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = ein m ⋅ n

Beispiel:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Beispiele:

$$(a^( - 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( - 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Eigenschaften der Quadratwurzel:

(1) a b = a ⋅ b , für a ≥ 0 , b ≥ 0

Beispiel:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , für a ≥ 0 , b > 0

Beispiel:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , für a ≥ 0

Beispiel:

(4) a 2 = | ein | für irgendein a

Beispiele:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Rationale und irrationale Zahlen

Rationale Zahlen – Zahlen, die als gewöhnlicher Bruch m n dargestellt werden können, wobei m eine ganze Zahl ist (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n eine natürliche Zahl (ℕ = 1,   2,   3,   4 …).

Beispiele für rationale Zahlen:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Irrationale Zahlen - Zahlen, die nicht als gewöhnlicher Bruch m n dargestellt werden können, das sind unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche.

Beispiele für irrationale Zahlen:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Einfach ausgedrückt sind irrationale Zahlen Zahlen, die das Quadratwurzelzeichen in ihrer Notation enthalten. Aber nicht alles ist so einfach. Einige rationale Zahlen tarnen sich als irrationale, zum Beispiel enthält die Zahl 4 ein Quadratwurzelzeichen in ihrer Notation, aber wir wissen sehr wohl, dass wir die Notation 4 = 2 vereinfachen können. Das bedeutet, dass die Zahl 4 eine rationale Zahl ist.

Ebenso ist die Zahl 4 81 = 4 81 = 2 9 eine rationale Zahl.

Bei einigen Aufgaben musst du bestimmen, welche Zahlen rational und welche irrational sind. Die Aufgabe besteht darin, zu verstehen, welche Zahlen irrational sind und welche als solche verkleidet sind. Dazu müssen Sie in der Lage sein, den Faktor unter dem Quadratwurzelzeichen herauszuziehen und den Faktor unter dem Wurzelzeichen einzuführen.

Einfügen und Entfernen des Faktors für das Vorzeichen der Quadratwurzel

Indem Sie den Faktor aus dem Quadratwurzelzeichen entfernen, können Sie einige mathematische Ausdrücke erheblich vereinfachen.

Beispiel:

Vereinfachen Sie den Ausdruck 2 8 2 .

1 Weg (den Multiplikator unter dem Wurzelzeichen herausnehmen): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Methode 2 (Einführung eines Multiplikators unter dem Wurzelzeichen): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Abgekürzte Multiplikationsformeln (FSU)

Summe Quadrat

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Beispiel:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Das Quadrat der Differenz

(2) (a - b) 2 = ein 2 - 2 ein b + b 2

Beispiel:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Die Summe der Quadrate spielt keine Rolle

a 2 + b 2 ≠

Differenz der Quadrate

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Beispiel:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

Summenwürfel

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Beispiel:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

Unterschied Würfel

(5) (a - b) 3 = ein 3 - 3 ein 2 b + 3 ein b 2 - b 3

Beispiel:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Summe der Würfel

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Beispiel:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Unterschied der Würfel

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Beispiel:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Standardform der Zahl

Um zu verstehen, wie man eine beliebige rationale Zahl in die Standardform bringt, müssen Sie wissen, was die erste signifikante Ziffer der Zahl ist.

Die erste signifikante Ziffer einer Zahl Nennen Sie es die erste Nicht-Null-Ziffer auf der linken Seite.

Beispiele:
2 5 ; 3, 05; 0, 143; 0 , 00 1 2 . Die erste signifikante Stelle ist rot hervorgehoben.

So wandeln Sie eine Zahl in die Standardform um:

1. Verschieben Sie das Komma so, dass es unmittelbar nach der ersten signifikanten Ziffer steht.
2. Multiplizieren Sie die resultierende Zahl mit 10 n, wobei n eine Zahl ist, die wie folgt definiert ist:
3. n > 0, wenn das Komma nach links verschoben wurde (eine Multiplikation mit 10 n zeigt an, dass das Komma eigentlich rechts stehen sollte);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. der Absolutwert der Zahl n ist gleich der Anzahl der Stellen, um die das Komma verschoben wurde.

Beispiele:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Das Komma wurde um 1 Stelle nach links verschoben. Da das Komma nach links verschoben ist, ist der Exponent positiv.

Bereits auf die Standardform gebracht, brauchen Sie damit nichts zu tun. Sie kann als 3,05 ⋅ 10 0 geschrieben werden, aber da 10 0 = 1 ist, belassen wir die Zahl in ihrer ursprünglichen Form.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Das Komma wurde um 1 Stelle nach rechts verschoben. Da das Komma nach rechts verschoben ist, ist der Exponent negativ.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Das Komma ist um drei Stellen nach rechts verschoben. Da das Komma nach rechts verschoben ist, ist der Exponent negativ.

Algebraische Ausdrücke werden ab der 7. Klasse gelernt. Sie haben eine Reihe von Eigenschaften und werden zur Problemlösung verwendet. Lassen Sie uns dieses Thema genauer untersuchen und ein Beispiel für die Lösung des Problems betrachten.

Konzeptdefinition

Welche Ausdrücke nennt man algebraisch? Dies ist eine mathematische Notation, die sich aus Zahlen, Buchstaben und Zeichen arithmetischer Operationen zusammensetzt. Das Vorhandensein von Buchstaben ist der Hauptunterschied zwischen numerischen und algebraischen Ausdrücken. Beispiele:

• 4a+5;
• 6b-8;
• 5s:6*(8+5).

Ein Buchstabe in algebraischen Ausdrücken steht für eine Zahl. Daher wird es als Variable bezeichnet - im ersten Beispiel ist es der Buchstabe a, im zweiten - b und im dritten - c. Der algebraische Ausdruck selbst wird auch genannt variabler Ausdruck.

Ausdruckswert

Bedeutung eines algebraischen Ausdrucks ist die Zahl, die man erhält, wenn man alle arithmetischen Operationen ausführt, die in diesem Ausdruck angegeben sind. Aber um es zu bekommen, müssen die Buchstaben durch Zahlen ersetzt werden. Daher ist in den Beispielen immer angegeben, welche Zahl dem Buchstaben entspricht. Überlegen Sie, wie Sie den Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) finden, wenn a=3.

Ersetzen wir den Buchstaben a durch die Zahl 3. Wir erhalten folgenden Eintrag: 8*3-14*(5-3).

Die Lösung eines algebraischen Ausdrucks erfolgt wie bei numerischen Ausdrücken nach den Regeln zur Durchführung arithmetischer Operationen. Lassen Sie uns alles der Reihe nach lösen.

• 5-3=2.
• 8*3=24.
• 14*2=28.
• 24-28=-4.

Somit ist der Wert des Ausdrucks 8a-14*(5-a) mit a = 3 -4.

Der Wert einer Variablen heißt gültig, wenn der Ausdruck für ihn sinnvoll ist, d. h. es möglich ist, seine Lösung zu finden.

Ein Beispiel für eine gültige Variable für den Ausdruck 5:2a ist die Zahl 1. Wenn wir sie in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*1=2,5.

Die ungültige Variable für diesen Ausdruck ist 0. Wenn wir Null in den Ausdruck einsetzen, erhalten wir 5:2*0, also 5:0. Sie können nicht durch Null dividieren, daher ergibt der Ausdruck keinen Sinn.

Identitätsausdrücke

Wenn zwei Ausdrücke für beliebige Werte ihrer konstituierenden Variablen gleich sind, werden sie aufgerufen identisch.
Beispiel für identische Ausdrücke :
4(a+c) und 4a+4c.
Unabhängig von den Werten, die die Buchstaben a und c annehmen, sind die Ausdrücke immer gleich. Jeder Ausdruck kann durch einen anderen identischen ersetzt werden. Dieser Prozess wird als Identitätstransformation bezeichnet.

Ein Beispiel für eine identische Transformation .
4 * (5a + 14c) - dieser Ausdruck kann durch Anwendung des mathematischen Multiplikationsgesetzes durch einen identischen ersetzt werden. Um eine Zahl mit der Summe zweier Zahlen zu multiplizieren, musst du diese Zahl mit jedem Term multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

• 4*5a=20a.
• 4*14s=64s.
• 20a + 64s.

Somit ist der Ausdruck 4*(5a+14c) identisch mit 20a+64c.

Die Zahl, die in einem algebraischen Ausdruck vor der Literalvariablen steht, wird als Koeffizient bezeichnet. Koeffizient und Variable sind Multiplikatoren.

Probleme lösen

Algebraische Ausdrücke werden verwendet, um Probleme und Gleichungen zu lösen.
Betrachten wir die Aufgabe. Petya hat eine Zahl gefunden. Damit Klassenkamerad Sasha es erraten konnte, sagte Petya zu ihm: Zuerst habe ich 7 zu der Zahl addiert, dann 5 davon subtrahiert und mit 2 multipliziert. Als Ergebnis habe ich die Zahl 28 erhalten. Welche Zahl habe ich erraten?

Um das Problem zu lösen, müssen Sie die versteckte Nummer mit dem Buchstaben a kennzeichnen und dann alle angegebenen Aktionen damit ausführen.

• (a+7)-5.
• ((a+7)-5)*2=28.

Lassen Sie uns nun die resultierende Gleichung lösen.

Petya hat die Zahl 12 erraten.

Was haben wir gelernt?

Ein algebraischer Ausdruck ist ein Datensatz aus Buchstaben, Zahlen und Vorzeichen von Rechenoperationen. Jeder Ausdruck hat einen Wert, der gefunden wird, indem die gesamte Arithmetik im Ausdruck durchgeführt wird. Der Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck wird als Variable bezeichnet, und die Zahl davor wird als Koeffizient bezeichnet. Algebraische Ausdrücke werden verwendet, um Probleme zu lösen.