So finden Sie einen Punkt, der symmetrisch zu einer Linie ist. Die einfachsten Probleme mit einer geraden Linie in einer Ebene

Formulierung des Problems. Finden Sie die Koordinaten eines Punktes, der symmetrisch zu einem Punkt ist relativ zum Flugzeug.

Lösungsplan.

1. Wir finden die Gleichung einer geraden Linie, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht und durch einen Punkt geht . Da die Linie senkrecht auf der gegebenen Ebene steht, kann der Vektor der Normalen der Ebene als Richtungsvektor genommen werden, d.h.

Daher wird die Gleichung einer geraden Linie sein

2. Finden Sie einen Punkt Schnittpunkt der Linie und Flugzeuge (siehe Aufgabe 13).

3. Punkt ist der Mittelpunkt des Segments, wo der Punkt ist ein Punkt symmetrisch zu einem Punkt , Deshalb

Aufgabe 14. Finden Sie einen Punkt, der symmetrisch zu einem Punkt in Bezug auf die Ebene ist.

Die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht, lautet:

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie und der Ebene.

Woher - der Schnittpunkt der Linie und der Ebene ist also der Mittelpunkt der Strecke

Jene. .

Homogene Ebenenkoordinaten. Affine Transformationen in der Ebene.

Lassen M X und beim

M(X, beimMir (X, beim, 1) im Weltraum (Abb. 8).

Mir (X, beim

Mir (X, beim hu.

(hx, hy, h), h  0,

Kommentar

h(Zum Beispiel, h

In der Tat, in Anbetracht h

Kommentar

Beispiel 1

b) an der Ecke (Abb. 9).

1. Schritt.

2. Schritt. Winkeldrehung 

die Matrix der entsprechenden Transformation.

3. Schritt.Übertragung auf den Vektor A(a, b)

die Matrix der entsprechenden Transformation.

Beispiel 3

 entlang der x-Achse und

1. Schritt.

die Matrix der entsprechenden Transformation.

2. Schritt.

3. Schritt.

endlich bekommen

Kommentar

[R],[D],[M],[T],

Lassen M- beliebiger Punkt der Ebene mit Koordinaten X und beim berechnet in Bezug auf ein gegebenes geradliniges Koordinatensystem. Die homogenen Koordinaten dieses Punktes sind beliebige Tripel von gleichzeitig von Null verschiedenen Zahlen x 1, x 2, x 3, die den gegebenen Zahlen x und y durch die folgenden Beziehungen zugeordnet sind:

Bei der Lösung von Computergrafikproblemen werden homogene Koordinaten normalerweise wie folgt eingeführt: ein beliebiger Punkt M(X, beim) wird der Ebene ein Punkt zugewiesen Mir (X, beim, 1) im Weltraum (Abb. 8).

Beachten Sie, dass ein beliebiger Punkt auf der Linie den Ursprung, den Punkt 0(0, 0, 0), mit dem Punkt verbindet Mir (X, beim, 1) kann durch ein Zahlentripel der Form (hx, hy, h) gegeben werden.

Der Vektor mit den Koordinaten hx, hy ist der Richtungsvektor der Geraden, die die Punkte 0 (0, 0, 0) und verbindet Mir (X, beim, ein). Diese Gerade schneidet die Ebene z = 1 im Punkt (x, y, 1), der den Punkt (x, y) der Koordinatenebene eindeutig bestimmt hu.

Also zwischen einem beliebigen Punkt mit Koordinaten (x, y) und einem Satz von Zahlentripeln der Form

(hx, hy, h), h  0,

es wird eine (eindeutige) Korrespondenz hergestellt, die uns erlaubt, die Zahlen hx, hy, h als neue Koordinaten dieses Punktes zu betrachten.

Kommentar

Homogene Koordinaten, die in der projektiven Geometrie weit verbreitet sind, ermöglichen es, die sogenannten uneigentlichen Elemente (im Wesentlichen diejenigen, bei denen sich die projektive Ebene von der üblichen euklidischen Ebene unterscheidet) effektiv zu beschreiben. Weitere Einzelheiten zu den neuen Funktionen, die die eingeführten homogenen Koordinaten bieten, werden im vierten Abschnitt dieses Kapitels besprochen.

In der projektiven Geometrie wird für homogene Koordinaten die folgende Notation akzeptiert:

x: y: 1 oder allgemeiner x 1: x 2: x 3

(Denken Sie daran, dass es hier unbedingt erforderlich ist, dass die Zahlen x 1, x 2, x 3 nicht gleichzeitig verschwinden).

Die Verwendung homogener Koordinaten erweist sich selbst bei der Lösung einfachster Probleme als bequem.

Betrachten Sie beispielsweise Probleme im Zusammenhang mit der Skalierung. Wenn das Anzeigegerät nur mit ganzen Zahlen arbeitet (oder nur mit ganzen Zahlen arbeiten muss), dann für einen beliebigen Wert h(Zum Beispiel, h= 1) ein Punkt mit homogenen Koordinaten

kann man sich nicht vorstellen. Durch eine vernünftige Wahl von h kann man aber dafür sorgen, dass die Koordinaten dieses Punktes ganzzahlig sind. Insbesondere gilt für h = 10 für das betrachtete Beispiel

Betrachten wir einen anderen Fall. Damit die Ergebnisse der Transformation nicht zum arithmetischen Überlauf führen, kann man für einen Punkt mit Koordinaten (80000 40000 1000) zB h=0.001 nehmen. Als Ergebnis erhalten wir (80 40 1).

Die angegebenen Beispiele zeigen die Nützlichkeit der Verwendung homogener Koordinaten in Berechnungen. Der Hauptzweck der Einführung homogener Koordinaten in Computergrafiken ist jedoch ihre unbestrittene Bequemlichkeit bei der Anwendung auf geometrische Transformationen.

Mit Hilfe von Tripeln homogener Koordinaten und Matrizen dritter Ordnung lassen sich beliebige affine Transformationen der Ebene beschreiben.

In der Tat, in Anbetracht h= 1, vergleiche zwei Einträge: markiert mit * und folgende, Matrix:

Es ist leicht zu sehen, dass wir nach Multiplikation der Ausdrücke auf der rechten Seite der letzten Relation beide Formeln (*) und die korrekte numerische Gleichheit 1=1 erhalten.

Kommentar

Manchmal wird in der Literatur eine andere Notation verwendet - eine Notation nach Spalten:

Diese Notation entspricht der obigen Zeilennotation (und wird daraus durch Transposition erhalten).

Die Elemente einer beliebigen Matrix einer affinen Transformation haben keine explizite geometrische Bedeutung. Um eine bestimmte Abbildung zu implementieren, dh die Elemente der entsprechenden Matrix gemäß einer gegebenen geometrischen Beschreibung zu finden, sind daher spezielle Techniken erforderlich. Üblicherweise wird die Konstruktion dieser Matrix entsprechend der Komplexität des betrachteten Problems und den oben beschriebenen Sonderfällen in mehrere Phasen unterteilt.

In jeder Phase wird nach einer Matrix gesucht, die dem einen oder anderen der oben genannten Fälle A, B, C oder D entspricht, die wohldefinierte geometrische Eigenschaften haben.

Schreiben wir die entsprechenden Matrizen dritter Ordnung auf.

A. Rotationsmatrix, (Rotation)

B. Dilatationsmatrix

B. Reflexionsmatrix

D. Transfermatrix (Übersetzung)

Betrachten Sie Beispiele für affine Transformationen der Ebene.

Beispiel 1

Erstellen Sie eine Rotationsmatrix um Punkt A (a,b) an der Ecke (Abb. 9).

1. Schritt.Übertragung auf den Vektor - A (-a, -b), um das Rotationszentrum mit dem Ursprung auszurichten;

die Matrix der entsprechenden Transformation.

2. Schritt. Winkeldrehung 

die Matrix der entsprechenden Transformation.

3. Schritt.Übertragung auf den Vektor A(a, b) um das Rotationszentrum in seine vorherige Position zurückzubringen;

die Matrix der entsprechenden Transformation.

Wir multiplizieren die Matrizen in der gleichen Reihenfolge, wie sie geschrieben werden:

Als Ergebnis erhalten wir, dass die gewünschte Transformation (in Matrixschreibweise) wie folgt aussehen wird:

Die Elemente der resultierenden Matrix (insbesondere in der letzten Zeile) sind nicht leicht zu merken. Gleichzeitig kann jede der drei multiplizierten Matrizen einfach aus der geometrischen Beschreibung der entsprechenden Abbildung konstruiert werden.

Beispiel 3

Erstellen Sie eine Dehnungsmatrix mit Dehnungsfaktoren entlang der x-Achse und entlang der y-Achse und am Punkt A(a, b) zentriert.

1. Schritt.Übertragung auf den Vektor -А(-а, -b), um das Dehnungszentrum mit dem Ursprung abzugleichen;

die Matrix der entsprechenden Transformation.

2. Schritt. Strecken entlang der Koordinatenachsen mit den Koeffizienten  bzw. ; die Transformationsmatrix hat die Form

3. Schritt. Transfer zum Vektor A(a, b), um das Dehnungszentrum in seine vorherige Position zurückzubringen; die Matrix der entsprechenden Transformation ist

Multiplizieren Sie Matrizen in der gleichen Reihenfolge

endlich bekommen

Kommentar

In ähnlicher Weise argumentieren, dh die vorgeschlagene Transformation in Stufen aufteilen, die von Matrizen unterstützt werden[R],[D],[M],[T], man kann die Matrix jeder affinen Transformation aus ihrer geometrischen Beschreibung konstruieren.

Die Verschiebung wird durch Addition implementiert und die Skalierung und Rotation durch Multiplikation.

Skalierungstransformation (Dilatation) relativ zum Ursprung hat die Form:

oder in Matrixform:

wo Dx,Dj sind die Skalierungsfaktoren entlang der Achsen, und

- Skalierungsmatrix.

Für D > 1 erfolgt Expansion, für 0<=D<1- сжатие

Transformation drehen bezogen auf den Ursprung hat die Form:

oder in Matrixform:

wobei φ der Drehwinkel ist, und

- Rotationsmatrix.

Kommentar: Die Spalten und Zeilen der Rotationsmatrix sind zueinander orthogonale Einheitsvektoren. Tatsächlich sind die Quadrate der Längen der Zeilenvektoren gleich eins:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 und (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

und das Skalarprodukt von Zeilenvektoren ist

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Da das Skalarprodukt von Vektoren EIN · B = |EIN| ·| B| ·cosψ, wobei | EIN| - Vektorlänge EIN, |B| - Vektorlänge B, und ψ der kleinste positive Winkel zwischen ihnen ist, dann folgt aus der Gleichheit 0 des Skalarprodukts zweier Zeilenvektoren der Länge 1, dass der Winkel zwischen ihnen 90 ° beträgt.

Oh-oh-oh-oh-oh ... na ja, es ist blechern, als würde man den Satz vor sich hin lesen =) Dann hilft aber Entspannung, zumal ich heute passendes Zubehör gekauft habe. Fahren wir also mit dem ersten Abschnitt fort. Ich hoffe, dass ich am Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Gegenseitige Anordnung zweier Geraden

Der Fall, wenn der Saal im Chor mitsingt. Zwei Zeilen können:

1) Übereinstimmung;

2) parallel sein: ;

3) oder sich in einem einzigen Punkt schneiden: .

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das mathematische Zeichen der Schnittmenge , es wird sehr oft vorkommen. Der Eintrag bedeutet, dass sich die Linie mit der Linie am Punkt schneidet.

Wie bestimmt man die relative Position zweier Linien?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Linien fallen genau dann zusammen, wenn ihre jeweiligen Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt eine solche Zahl "Lambda", dass die Gleichheiten

Betrachten wir gerade Linien und stellen aus den entsprechenden Koeffizienten drei Gleichungen auf: . Aus jeder Gleichung folgt also, dass diese Geraden zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit -1 multiplizieren (Vorzeichen ändern) und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduzieren, erhalten Sie die gleiche Gleichung: .

Der zweite Fall, wenn die Linien parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten bei den Variablen proportional sind: , sondern.

Betrachten Sie als Beispiel zwei gerade Linien. Wir überprüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Es ist jedoch klar, dass.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten der Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt KEINEN solchen Wert von "Lambda", dass die Gleichheiten erfüllt sind

Für gerade Linien werden wir also ein System zusammenstellen:

Aus der ersten Gleichung folgt, dass , und aus der zweiten Gleichung: , also Das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten an den Variablen nicht proportional.

Fazit: Geraden schneiden sich

Bei praktischen Problemen kann das eben betrachtete Lösungsschema verwendet werden. Übrigens ist es dem Algorithmus zum Überprüfen von Vektoren auf Kollinearität sehr ähnlich, den wir in der Lektion betrachtet haben. Das Konzept der linearen (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis. Aber es gibt ein zivilisierteres Paket:

Beispiel 1

Finden Sie die relative Position der Linien heraus:

Entscheidung basierend auf der Untersuchung von Richtungsvektoren von Geraden:

a) Aus den Gleichungen finden wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, also sind die Vektoren nicht kollinear und die Linien schneiden sich.

Für alle Fälle werde ich einen Stein mit Hinweisen an die Kreuzung stellen:

Der Rest springt über den Stein und folgt weiter, direkt zu Kashchei the Deathless =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Die Linien haben denselben Richtungsvektor, was bedeutet, dass sie entweder parallel oder gleich sind. Hier ist die Determinante nicht notwendig.

Offensichtlich sind die Koeffizienten der Unbekannten proportional, während .

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren der Geraden:

Lassen Sie uns die Determinante berechnen, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt:
, daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Die Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätsfaktor "Lambda" ist direkt aus dem Verhältnis kollinearer Richtungsvektoren ersichtlich. Es kann jedoch auch durch die Koeffizienten der Gleichungen selbst gefunden werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind Null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (jede Zahl erfüllt sie im Allgemeinen).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antworten:

Sehr bald werden Sie lernen (oder sogar schon gelernt haben), das betrachtete Problem in Sekundenschnelle buchstäblich verbal zu lösen. Insofern sehe ich keinen Grund, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten, es ist besser, einen weiteren wichtigen Stein in die geometrische Grundlage zu legen:

Wie zeichnet man eine Linie parallel zu einer gegebenen?

Für die Unkenntnis dieser einfachsten Aufgabe wird die Nachtigall der Räuber streng bestraft.

Beispiel 2

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine parallele Linie, die durch den Punkt verläuft.

Entscheidung: Kennzeichnen Sie die unbekannte Zeile mit dem Buchstaben . Was sagt der Zustand dazu? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Linien parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtungsvektor der Linie "ce" auch geeignet ist, die Linie "te" zu konstruieren.

Wir entnehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung:

Antworten:

Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus:

Die analytische Verifizierung besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien denselben Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, dann sind die Vektoren kollinear).

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Die analytische Überprüfung ist in den meisten Fällen einfach mündlich durchzuführen. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an und viele von Ihnen werden schnell herausfinden, wie die Linien ohne Zeichnung parallel sind.

Beispiele für Selbstlösungen werden heute kreativ sein. Weil Sie immer noch mit Baba Yaga konkurrieren müssen, und Sie wissen, dass sie eine Liebhaberin aller möglichen Rätsel ist.

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Gerade, die durch einen Punkt parallel zur Geraden if verläuft

Es gibt einen rationalen und einen nicht sehr rationalen Lösungsweg. Der kürzeste Weg ist am Ende der Stunde.

Wir haben ein wenig mit parallelen Linien gearbeitet und werden später darauf zurückkommen. Der Fall der Linienüberschneidung ist von geringem Interesse, also betrachten wir ein Problem, das Ihnen aus dem Schullehrplan gut bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade im Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung Systeme linearer Gleichungen

Wie finde ich den Schnittpunkt von Geraden? Löse das System.

Hier ist für Sie geometrische Bedeutung eines Systems aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten sind zwei sich schneidende (meistens) gerade Linien in einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt von Linien

Entscheidung: Es gibt zwei Lösungsmöglichkeiten - grafisch und analytisch.

Der grafische Weg besteht darin, einfach die angegebenen Linien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung zu ermitteln:

Hier ist unser Punkt: . Zur Überprüfung sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung einer geraden Linie einsetzen, sie sollten sowohl dort als auch dort passen. Mit anderen Worten, die Koordinaten eines Punktes sind die Lösung des Systems . Tatsächlich haben wir eine grafische Lösung in Erwägung gezogen Systeme linearer Gleichungen mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, der Punkt ist nicht, dass Siebtklässler so entscheiden, der Punkt ist, dass es Zeit braucht, um eine korrekte und EXAKTE Zeichnung zu erstellen. Außerdem sind einige Linien nicht so einfach zu konstruieren, und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im dreißigsten Königreich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es zweckmäßiger, den Schnittpunkt durch das analytische Verfahren zu suchen. Lösen wir das System:

Zur Lösung des Systems wurde die Methode der termweisen Addition von Gleichungen verwendet. Um die relevanten Fähigkeiten zu entwickeln, besuchen Sie die Lektion Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antworten:

Die Überprüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Die Aufgabe kann bequem in mehrere Phasen unterteilt werden. Die Analyse des Zustands legt nahe, dass es notwendig ist:
1) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
2) Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden.
3) Finden Sie die relative Position der Linien heraus.
4) Wenn sich die Linien schneiden, dann finde den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Aktionsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Vollständige Lösung und Antwort am Ende des Tutorials:

Ein Paar Schuhe ist noch nicht abgenutzt, als wir zum zweiten Abschnitt der Lektion kamen:

Senkrechte Linien. Der Abstand von einem Punkt zu einer Linie.
Winkel zwischen Linien

Beginnen wir mit einer typischen und sehr wichtigen Aufgabe. Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zur gegebenen baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie zeichnet man eine Linie senkrecht zu einer gegebenen?

Beispiel 6

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Schreiben Sie eine Gleichung für eine senkrechte Linie, die durch einen Punkt geht.

Entscheidung: Es ist durch Annahme bekannt, dass . Es wäre schön, den Richtungsvektor der Geraden zu finden. Da die Linien senkrecht sind, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung „entfernen“ wir den Normalenvektor: , der der Richtungsvektor der Geraden sein wird.

Wir setzen die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammen:

Antworten:

Lassen Sie uns die geometrische Skizze entfalten:

Hmmm... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytischer Nachweis der Lösung:

1) Extrahieren Sie die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit hilfe Skalarprodukt von Vektoren wir schließen daraus, dass die Linien tatsächlich senkrecht stehen: .

Übrigens, Sie können normale Vektoren verwenden, es ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt .

Die Überprüfung ist wiederum leicht mündlich durchzuführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt von senkrechten Linien, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Es gibt mehrere Aktionen in der Aufgabe, daher ist es bequem, die Lösung Punkt für Punkt anzuordnen.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Abstand von Punkt zu Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, ihn auf dem kürzesten Weg zu erreichen. Es gibt keine Hindernisse und die optimalste Route ist die Bewegung entlang der Senkrechten. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer Linie ist die Länge des senkrechten Segments.

Der Abstand in der Geometrie wird traditionell mit dem griechischen Buchstaben „ro“ bezeichnet, zum Beispiel: - der Abstand vom Punkt „em“ zur geraden Linie „de“.

Abstand von Punkt zu Linie wird durch die Formel ausgedrückt

Beispiel 8

Finden Sie den Abstand von einem Punkt zu einer Linie

Entscheidung: Alles, was Sie brauchen, ist, die Zahlen sorgfältig in die Formel einzusetzen und die Berechnungen durchzuführen:

Antworten:

Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:

Der gefundene Abstand vom Punkt zur Linie ist genau die Länge des roten Segments. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 Einheit anfertigen. \u003d 1 cm (2 Zellen), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten Sie eine andere Aufgabe nach derselben Zeichnung:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten des Punktes zu finden, der bezüglich der Linie symmetrisch zum Punkt ist . Ich schlage vor, die Aktionen selbst durchzuführen, werde jedoch den Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen skizzieren:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zu einer Linie ist.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Linien: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten der Segmentmitte finden .

Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, ob der Abstand auch gleich 2,2 Einheiten ist.

Hier können bei Berechnungen Schwierigkeiten auftreten, aber im Turm hilft ein Mikrorechner sehr, mit dem Sie gewöhnliche Brüche zählen können. Habe schon oft beraten und werde es wieder weiterempfehlen.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel für eine unabhängige Lösung. Kleiner Hinweis: Es gibt unendlich viele Lösungsmöglichkeiten. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber versuchen Sie besser selbst zu raten, ich denke, Sie haben es geschafft, Ihren Einfallsreichtum gut zu zerstreuen.

Winkel zwischen zwei Geraden

Egal welche Ecke, dann der Pfosten:

In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als KLEINERER Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Linien betrachtet. Und sein „grüner“ Nachbar bzw gegensätzlich orientiert purpurrote Ecke.

Wenn die Linien senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.

Wie unterscheiden sich die Winkel? Orientierung. Erstens ist die Richtung des "Scrollens" der Ecke grundlegend wichtig. Zweitens wird ein negativ orientierter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, z. B. wenn .

Warum habe ich das gesagt? Es scheint, dass Sie mit dem üblichen Konzept eines Winkels auskommen können. Tatsache ist, dass in den Formeln, mit denen wir die Winkel finden, leicht ein negatives Ergebnis erhalten werden kann, und das sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. In der Zeichnung für einen negativen Winkel muss die Ausrichtung (im Uhrzeigersinn) unbedingt mit einem Pfeil angegeben werden.

Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Entscheidung und Methode eins

Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, dann orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner - das ist genau Skalarprodukt Richtungsvektoren von Geraden:

Wenn , dann verschwindet der Nenner der Formel, und die Vektoren sind orthogonal und die Linien senkrecht. Deshalb wurde ein Vorbehalt gegen die Nicht-Rechtwinkligkeit der Linien in der Formulierung gemacht.

Basierend auf dem Vorhergehenden wird die Lösung praktischerweise in zwei Schritten formalisiert:

1) Berechnen Sie das Skalarprodukt von Richtungsvektoren von Geraden:
Die Linien sind also nicht senkrecht.

2) Wir finden den Winkel zwischen den Linien durch die Formel:

Mit der Umkehrfunktion ist es einfach, den Winkel selbst zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arcustangens (siehe Abb. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antworten:

In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.

Nun, Minus, also Minus, es ist okay. Hier ist eine geometrische Darstellung:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich der Winkel als negativ herausstellte, da die erste Zahl im Problemzustand eine Gerade ist und die „Verdrehung“ des Winkels genau von ihr aus begann.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die geraden Linien vertauschen, dh die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung nehmen , und nehmen Sie die Koeffizienten aus der ersten Gleichung . Kurz gesagt, Sie müssen mit einem direkten beginnen .

Gegeben sei eine gerade Linie, die durch eine lineare Gleichung gegeben ist, und ein Punkt, der durch seine Koordinaten (x0, y0) gegeben ist und nicht auf dieser geraden Linie liegt. Es ist erforderlich, einen Punkt zu finden, der zu einem gegebenen Punkt in Bezug auf eine gegebene gerade Linie symmetrisch wäre, dh mit ihm zusammenfallen würde, wenn die Ebene entlang dieser geraden Linie gedanklich in zwei Hälften gebogen würde.

Anweisung

1. Es ist klar, dass beide Punkte – gegebener und gewünschter – auf derselben Geraden liegen müssen, und diese Gerade muss senkrecht auf der gegebenen stehen. Der erste Teil des Problems besteht also darin, die Gleichung einer geraden Linie zu finden, die senkrecht zu einer bestimmten Linie steht und gleichzeitig durch einen bestimmten Punkt verläuft.

2. Eine gerade Linie kann auf zwei Arten definiert werden. Die kanonische Gleichung einer Geraden sieht so aus: Ax + By + C = 0, wobei A, B und C Konstanten sind. Eine gerade Linie kann auch mithilfe einer linearen Funktion bestimmt werden: y \u003d kx + b, wobei k der Winkelexponent ist, b die Verschiebung ist.Diese beiden Methoden sind austauschbar und dürfen sich von einer zur anderen bewegen. Wenn Ax + By + C = 0, dann y = – (Ax + C)/B. Mit anderen Worten, in einer linearen Funktion y = kx + b ist der Winkelexponent k = -A/B und der Versatz b = -C/B. Für die anstehende Aufgabe ist es bequemer, auf der Grundlage der kanonischen Geradengleichung zu argumentieren.

3. Wenn zwei Linien senkrecht zueinander stehen und die Gleichung der ersten Linie Ax + By + C = 0 ist, dann sollte die Gleichung der 2. Linie Bx - Ay + D = 0 sein, wobei D eine Konstante ist. Um einen bestimmten Wert von D zu finden, muss man zusätzlich wissen, durch welchen Punkt die Senkrechte geht. In diesem Fall ist dies der Punkt (x0, y0) Folglich muss D die Gleichheit erfüllen: Bx0 – Ay0 + D = 0, also D = Ay0 – Bx0.

4. Später, nachdem die senkrechte Linie gefunden wurde, müssen die Koordinaten des Schnittpunkts mit der gegebenen berechnet werden. Dazu müssen Sie ein System linearer Gleichungen lösen: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Seine Lösung ergibt die Zahlen (x1, y1), die als Koordinaten von dienen Schnittpunkt der Linien.

5. Der gesuchte Punkt muss auf der erfassten Linie liegen und sein Abstand zum Schnittpunkt muss gleich dem Abstand vom Schnittpunkt zum Punkt (x0, y0) sein. Die Koordinaten eines zum Punkt (x0, y0) symmetrischen Punktes lassen sich also durch Lösen des Gleichungssystems ermitteln: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Aber machen wir es uns einfacher. Wenn die Punkte (x0, y0) und (x, y) vom Punkt (x1, y1) gleich weit entfernt sind und alle drei Punkte auf derselben Geraden liegen, dann gilt: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0, also x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Durch Einsetzen dieser Werte in die zweite Gleichung des ersten Systems und Vereinfachen der Ausdrücke kann leicht sichergestellt werden, dass die rechte Seite mit der linken Seite übereinstimmt. Außerdem macht es keinen Sinn, die erste Gleichung näher zu betrachten, weil bekannt ist, dass die Punkte (x0, y0) und (x1, y1) diese erfüllen, und der Punkt (x, y) sicherlich auf derselben Geraden liegt .

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zu einer Linie ist.

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Linien: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich besprochen.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Segments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Von Formeln für die Koordinaten der Segmentmitte finden .

Es ist nicht überflüssig zu überprüfen, ob der Abstand auch gleich 2,2 Einheiten ist.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Winkel zwischen zwei Geraden

Wenn die Linien senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.

Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen Linien

Entscheidung und Methode eins

Betrachten Sie zwei gerade Linien, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, dann orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner - das ist genau Skalarprodukt Richtungsvektoren von Geraden:

Basierend auf dem Vorhergehenden wird die Lösung praktischerweise in zwei Schritten formalisiert:

1) Berechnen Sie das Skalarprodukt von Richtungsvektoren von Geraden:

2) Wir finden den Winkel zwischen den Linien durch die Formel:

Mit der Umkehrfunktion ist es einfach, den Winkel selbst zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arcustangens (siehe Abb. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antworten:

In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.

Ich werde mich nicht verstecken, ich selbst wähle die geraden Linien in der Reihenfolge aus, in der der Winkel positiv ist. Es ist schöner, aber nicht mehr.

Um die Lösung zu überprüfen, können Sie einen Winkelmesser nehmen und den Winkel messen.

Methode zwei

Wenn die Linien durch Gleichungen mit Steigung und gegeben sind nicht senkrecht, dann orientiert Der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel gefunden werden:

Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Geraden wird durch die Gleichheit ausgedrückt, woraus übrigens eine sehr nützliche Beziehung der Steigungskoeffizienten senkrechter Geraden folgt: , die bei manchen Aufgaben verwendet wird.

Der Lösungsalgorithmus ist ähnlich wie im vorherigen Absatz. Aber zuerst schreiben wir unsere Zeilen in der erforderlichen Form um:

Damit sind die Steigungskoeffizienten:

1) Überprüfen Sie, ob die Linien senkrecht sind:
Die Linien sind also nicht senkrecht.

2) Wir verwenden die Formel:

Antworten:

Die zweite Methode ist geeignet, wenn die Gleichungen von Linien anfänglich mit einer Steigung eingestellt werden. Zu beachten ist, dass wenn mindestens eine Gerade parallel zur y-Achse verläuft, die Formel überhaupt nicht anwendbar ist, da für solche Geraden die Steigung nicht definiert ist (siehe Artikel Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene).

Es gibt auch eine dritte Lösung. Die Idee ist, den Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Linien mit der in der Lektion besprochenen Formel zu berechnen Skalarprodukt von Vektoren:

Hier sprechen wir nicht von einem orientierten Winkel, sondern „nur von einem Winkel“, das heißt, das Ergebnis wird sicherlich positiv sein. Der Haken ist, dass Sie einen stumpfen Winkel bekommen können (nicht den, den Sie brauchen). In diesem Fall müssen Sie reservieren, dass der Winkel zwischen den Linien kleiner ist, und den resultierenden Arkuskosinus von „Pi“ im Bogenmaß (180 Grad) subtrahieren.

Wer will, kann das Problem auf eine dritte Art lösen. Aber ich empfehle trotzdem, am ersten winkelorientierten Ansatz festzuhalten, weil er weit verbreitet ist.

Beispiel 11

Finden Sie den Winkel zwischen den Linien.

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Versuchen Sie es auf zwei Arten zu lösen.

Irgendwie starb das Märchen auf dem Weg .... Weil es keinen Kashchei den Unsterblichen gibt. Da bin ich, und nicht besonders gedämpft. Ehrlich gesagt hatte ich mir den Artikel viel länger vorgestellt. Aber trotzdem werde ich einen neu erworbenen Hut mit Brille nehmen und im Wasser des Septembersees schwimmen gehen. Lindert perfekt Müdigkeit und negative Energie.

Seh dich später!

Und denken Sie daran, Baba Yaga wurde nicht abgesagt =)

Lösungen und Antworten:

Beispiel 3:Entscheidung : Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden :

Wir werden die Gleichung der gewünschten geraden Linie mit dem Punkt zusammenstellen und Richtungsvektor . Da eine der Richtungsvektorkoordinaten Null ist, ist die Gleichung umschreiben in der Form:

Antworten :

Beispiel 5:Entscheidung :
1) Geradengleichung zwei Punkte machen :

2) Geradengleichung zwei Punkte machen :

3) Entsprechende Koeffizienten für Variablen unverhältnismäßig: , also schneiden sich die Geraden.
4) Finden Sie einen Punkt :

Notiz : hier wird die erste Gleichung des Systems mit 5 multipliziert, dann wird die 2. Glied für Glied von der 1. Gleichung subtrahiert.
Antworten :

Eine Gerade im Raum kann immer als Schnittlinie zweier nicht paralleler Ebenen definiert werden. Wenn die Gleichung einer Ebene die Gleichung der zweiten Ebene ist, dann ist die Gleichung der Geraden gegeben als

hier nicht kollinear
. Diese Gleichungen werden aufgerufen allgemeine Gleichungen Gerade im Raum.

Kanonische Gleichungen der Geraden

Jeder Nicht-Null-Vektor, der auf einer gegebenen Linie oder parallel dazu liegt, wird als Richtungsvektor dieser Linie bezeichnet.

Wenn der Punkt bekannt ist
Linie und ihr Richtungsvektor
, dann haben die kanonischen Gleichungen der Geraden die Form:

. (9)

Parametrische Gleichungen einer Geraden

Gegeben seien die kanonischen Gleichungen der Geraden

Daraus erhalten wir die Parametergleichungen der Geraden:

(10)

Diese Gleichungen sind nützlich, um den Schnittpunkt einer Linie und einer Ebene zu finden.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht
und
sieht aus wie:

Winkel zwischen Linien

Winkel zwischen Linien

und

gleich dem Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren ist. Daher kann es nach Formel (4) berechnet werden:

Zustand paralleler Linien:

Bedingung der Rechtwinkligkeit der Ebenen:

Abstand eines Punktes von einer Geraden

P gegebener Punkt
und direkt

Aus den kanonischen Geradengleichungen ist der Punkt bekannt
, die zur Linie gehören, und deren Richtungsvektor
. Dann der Punktabstand
von einer geraden Linie ist gleich der Höhe eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms und
. Somit,

Linienschnittbedingung

Zwei nicht parallele Linien

schneiden sich genau dann, wenn

Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene.

Lassen Sie die gerade Linie
und flach. Injektion zwischen ihnen kann durch die Formel gefunden werden

Aufgabe 73. Schreiben Sie die kanonischen Gleichungen der Linie

(11)

Entscheidung. Um die kanonischen Gleichungen der Geraden (9) aufzuschreiben, ist es notwendig, einen beliebigen Punkt der Geraden und den Richtungsvektor der Geraden zu kennen.

Lassen Sie uns den Vektor finden parallel zur gegebenen Linie. Da es senkrecht zu den Normalenvektoren dieser Ebenen stehen muss, d.h.

,
, dann

Aus den allgemeinen Gleichungen der Geraden haben wir das
,
. Dann

Seit dem Punkt
irgendein Punkt der Linie, dann müssen seine Koordinaten die Gleichungen der Linie erfüllen, und eine davon kann angegeben werden, zum Beispiel,
, finden wir die anderen beiden Koordinaten aus dem System (11):

Von hier,
.

Somit haben die kanonischen Gleichungen der gewünschten Linie die Form:

oder
.

Aufgabe 74.

und
.

Entscheidung. Aus den kanonischen Gleichungen der ersten Zeile sind die Koordinaten des Punktes bekannt
die zur Linie gehören, und die Koordinaten des Richtungsvektors
. Aus den kanonischen Gleichungen der zweiten Zeile sind auch die Koordinaten des Punktes bekannt
und Richtungsvektorkoordinaten
.

Der Abstand zwischen parallelen Linien ist gleich dem Abstand eines Punktes
aus der zweiten Zeile. Dieser Abstand wird durch die Formel berechnet

Lassen Sie uns die Koordinaten des Vektors finden
.

Berechne das Vektorprodukt
:

Aufgabe 75. Finden Sie einen Punkt symmetrischer Punkt
relativ gerade

Entscheidung. Wir schreiben die Gleichung der Ebene, die senkrecht zur gegebenen Linie steht und durch den Punkt geht . Als Normalvektor wir können den Richtungsvektor als gerade Linie nehmen. Dann
. Somit,

Lassen Sie uns einen Punkt finden
der Schnittpunkt der gegebenen Linie und der Ebene P. Dazu schreiben wir die parametrischen Gleichungen der Linie mit den Gleichungen (10), wir erhalten

Somit,
.

Lassen
Punkt symmetrisch zu Punkt
über diese Linie. Dann der Punkt
Mittelpunkt
. Um die Koordinaten eines Punktes zu finden wir verwenden die Formeln für die Koordinaten der Segmentmitte:

,
,
.

So,
.

Aufgabe 76. Schreiben Sie die Gleichung für eine Ebene, die durch eine gerade Linie geht
und

a) durch einen Punkt
;

b) senkrecht zur Ebene.

Entscheidung. Schreiben wir die allgemeinen Gleichungen dieser Geraden auf. Betrachten Sie dazu zwei Gleichungen:

Das bedeutet, dass die gewünschte Ebene zu einem Bündel von Ebenen mit Erzeugern gehört und ihre Gleichung in der Form (8) geschrieben werden kann:

Ein Fund
und aus der Bedingung, dass die Ebene durch den Punkt geht
, daher müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen. Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes
in die Gleichung eines Balkens von Ebenen:

Wert gefunden
wir setzen in Gleichung (12) ein. wir erhalten die Gleichung der gewünschten Ebene:

b) finden
und aus der Bedingung, dass die gewünschte Ebene senkrecht zur Ebene steht. Der Normalenvektor einer gegebenen Ebene
, dem Normalenvektor der gewünschten Ebene (siehe die Gleichung für ein Ebenenbündel (12).