In der letzten Lektion haben wir gelernt, wie man Dezimalbrüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen“). Gleichzeitig schätzten sie, wie stark die Berechnungen im Vergleich zu den üblichen „zweistöckigen“ Brüchen vereinfacht werden.

Bei Multiplikation und Division von Dezimalbrüchen tritt dieser Effekt leider nicht auf. In einigen Fällen erschwert die Dezimalschreibweise diese Operationen sogar.

Lassen Sie uns zunächst eine neue Definition einführen. Wir werden ihm noch oft begegnen, nicht nur in dieser Stunde.

Der signifikante Teil einer Zahl ist alles zwischen der ersten und der letzten Ziffer ungleich Null, einschließlich der Trailer. Wir sprechen nur über Zahlen, der Dezimalpunkt wird nicht berücksichtigt.

Die Ziffern, die im signifikanten Teil der Zahl enthalten sind, werden als signifikante Ziffern bezeichnet. Sie können sich wiederholen und sogar gleich Null sein.

Betrachten Sie beispielsweise mehrere Dezimalbrüche und schreiben Sie die entsprechenden signifikanten Teile aus:

1. 91,25 → 9125 (signifikante Zahlen: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (signifikante Zahlen: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (signifikante Ziffern: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (signifikante Zahlen: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (es gibt nur eine signifikante Zahl: 3).

Bitte beachten Sie: Nullen innerhalb des signifikanten Teils der Zahl gehen nirgendwo hin. Etwas Ähnliches ist uns schon begegnet, als wir gelernt haben, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln (siehe die Lektion „Dezimalbrüche“).

Dieser Punkt ist so wichtig, und hier werden so oft Fehler gemacht, dass ich demnächst einen Test zu diesem Thema veröffentlichen werde. Unbedingt üben! Und wir werden, bewaffnet mit dem Konzept eines bedeutenden Teils, tatsächlich zum Thema der Lektion übergehen.

Dezimale Multiplikation

Die Multiplikationsoperation besteht aus drei aufeinanderfolgenden Schritten:

1. Notieren Sie für jeden Bruchteil den signifikanten Teil. Sie erhalten zwei gewöhnliche ganze Zahlen - ohne Nenner und Dezimalpunkte;
2. Multiplizieren Sie diese Zahlen auf beliebige Weise. Direkt, wenn die Zahlen klein sind, oder in einer Spalte. Wir erhalten den wesentlichen Teil des gewünschten Bruchteils;
3. Finden Sie heraus, wo und um wie viele Stellen der Dezimalpunkt in den ursprünglichen Brüchen verschoben wird, um den entsprechenden signifikanten Teil zu erhalten. Führen Sie Rückwärtsverschiebungen an dem signifikanten Teil durch, der im vorherigen Schritt erhalten wurde.

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass Nullen an den Seiten des signifikanten Teils niemals berücksichtigt werden. Das Ignorieren dieser Regel führt zu Fehlern.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Wir arbeiten mit dem ersten Ausdruck: 0,28 12,5.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile für die Zahlen aus diesem Ausdruck ausschreiben: 28 und 125;
2. Ihr Produkt: 28 125 = 3500;
3. Im ersten Multiplikator wird der Dezimalpunkt um 2 Ziffern nach rechts verschoben (0,28 → 28) und im zweiten um eine weitere Ziffer. Insgesamt ist eine Verschiebung um drei Stellen nach links erforderlich: 3500 → 3,500 = 3,5.

Betrachten wir nun den Ausdruck 6.3 1.08.

1. Lassen Sie uns die signifikanten Teile aufschreiben: 63 und 108;
2. Ihr Produkt: 63 108 = 6804;
3. Wieder zwei Verschiebungen nach rechts: um 2 bzw. 1 Stelle. Insgesamt - wieder 3 Ziffern nach rechts, also wird die Rückwärtsverschiebung 3 Ziffern nach links sein: 6804 → 6,804. Diesmal gibt es keine Nullen am Ende.

Wir kommen zum dritten Ausdruck: 132,5 0,0034.

1. Bedeutende Teile: 1325 und 34;
2. Ihr Produkt: 1325 34 = 45.050;
3. Im ersten Bruch geht der Dezimalpunkt um 1 Ziffer nach rechts und im zweiten um bis zu 4. Gesamt: 5 nach rechts. Wir verschieben um 5 nach links: 45050 → .45050 = 0.4505. Null wurde am Ende entfernt und vorne hinzugefügt, um keinen „nackten“ Dezimalpunkt zu hinterlassen.

Der folgende Ausdruck: 0,0108 1600,5.

1. Wir schreiben wichtige Teile: 108 und 16 005;
2. Wir multiplizieren sie: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Wir zählen die Zahlen nach dem Komma: In der ersten Zahl gibt es 4, in der zweiten - 1. Insgesamt - wieder 5. Wir haben: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Am Ende wurde die „zusätzliche“ Null entfernt.

Schließlich der letzte Ausdruck: 5,25 10.000.

1. Bedeutende Teile: 525 und 1;
2. Wir multiplizieren sie: 525 1 = 525;
3. Der erste Bruch wird um 2 Stellen nach rechts verschoben, und der zweite Bruch wird um 4 Stellen nach links verschoben (10.000 → 1,0000 = 1). Summe 4 − 2 = 2 Ziffern nach links. Wir führen eine Rückverschiebung um 2 Ziffern nach rechts durch: 525, → 52 500 (wir mussten Nullen hinzufügen).

Beachten Sie das letzte Beispiel: Da sich der Dezimalpunkt in verschiedene Richtungen bewegt, erfolgt die gesamte Verschiebung durch die Differenz. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Hier ist ein weiteres Beispiel:

Betrachten wir die Zahlen 1,5 und 12 500. Wir haben: 1,5 → 15 (Verschiebung um 1 nach rechts); 12 500 → 125 (Verschiebung 2 nach links). Wir „schreiten“ 1 Ziffer nach rechts und dann 2 Ziffern nach links. Als Ergebnis sind wir 2 − 1 = 1 Stelle nach links gegangen.

Dezimalteilung

Die Teilung ist vielleicht die schwierigste Operation. Natürlich können Sie hier analog zur Multiplikation vorgehen: Teilen Sie die signifikanten Teile und „verschieben“ Sie dann den Dezimalpunkt. Aber in diesem Fall gibt es viele Feinheiten, die das Einsparpotenzial zunichte machen.

Schauen wir uns also einen generischen Algorithmus an, der etwas länger, aber viel zuverlässiger ist:

1. Wandle alle Dezimalzahlen in gewöhnliche Brüche um. Mit ein wenig Übung dauert dieser Schritt nur wenige Sekunden;
2. Teilen Sie die resultierenden Brüche auf klassische Weise. Mit anderen Worten, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem "umgekehrten" zweiten (siehe Lektion " Multiplikation und Division von numerischen Brüchen");
3. Geben Sie das Ergebnis nach Möglichkeit als Dezimalzahl zurück. Auch dieser Schritt geht schnell, denn oft hat der Nenner schon eine Zehnerpotenz.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Wir betrachten den ersten Ausdruck. Lassen Sie uns zuerst Obi-Brüche in Dezimalzahlen umwandeln:

Das Gleiche machen wir mit dem zweiten Ausdruck. Der Zähler des ersten Bruchs wird wieder in Faktoren zerlegt:

Im dritten und vierten Beispiel gibt es einen wichtigen Punkt: Nach dem Wegfall der Dezimalschreibweise erscheinen kürzbare Brüche. Wir werden diese Kürzung jedoch nicht vornehmen.

Das letzte Beispiel ist interessant, weil der Zähler des zweiten Bruchs eine Primzahl ist. Hier gibt es einfach nichts zu faktorisieren, also betrachten wir es als „blank through“:

Manchmal ergibt die Division eine ganze Zahl (ich spreche vom letzten Beispiel). In diesem Fall wird der dritte Schritt überhaupt nicht durchgeführt.

Außerdem entstehen beim Dividieren oft „hässliche“ Brüche, die sich nicht in Dezimalzahlen umwandeln lassen. Hier unterscheidet sich die Division von der Multiplikation, bei der die Ergebnisse immer in Dezimalform ausgedrückt werden. Natürlich wird auch in diesem Fall der letzte Schritt wieder nicht durchgeführt.

Beachten Sie auch das 3. und 4. Beispiel. Dabei kürzen wir bewusst keine gewöhnlichen Brüche aus Dezimalzahlen. Andernfalls wird es das umgekehrte Problem verkomplizieren - die endgültige Antwort wieder in Dezimalform darzustellen.

Denken Sie daran: Die Grundeigenschaft eines Bruchs (wie jede andere Regel in der Mathematik) an sich bedeutet nicht, dass er überall und immer und bei jeder Gelegenheit angewendet werden muss.

In diesem Lernprogramm werden wir uns jede dieser Operationen einzeln ansehen.

Unterrichtsinhalt

Dezimalstellen hinzufügen

Wie wir wissen, hat eine Dezimalzahl einen ganzzahligen Teil und einen Bruchteil. Beim Addieren von Dezimalzahlen werden die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addiert.

Addieren wir zum Beispiel die Dezimalstellen 3,2 und 5,3. Es ist bequemer, Dezimalbrüche in einer Spalte hinzuzufügen.

Zuerst schreiben wir diese beiden Brüche in eine Spalte, wobei die ganzzahligen Teile unter den ganzzahligen Teilen stehen müssen und die gebrochenen unter den gebrochenen. In der Schule wird diese Anforderung genannt "Komma unter Komma".

Schreiben wir die Brüche so in eine Spalte, dass das Komma unter dem Komma steht:

Wir fangen an, die Bruchteile zu addieren: 2 + 3 \u003d 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile: 3 + 5 = 8. Wir schreiben die Acht in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu folgen wir wieder der Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 8.5. Der Ausdruck 3,2 + 5,3 ist also gleich 8,5

Tatsächlich ist nicht alles so einfach, wie es auf den ersten Blick scheint. Auch hier gibt es Fallstricke, über die wir jetzt sprechen werden.

Stellen in Dezimalstellen

Dezimalzahlen haben wie gewöhnliche Zahlen ihre eigenen Ziffern. Das sind Zehntelstellen, Hundertstelstellen, Tausendstelstellen. In diesem Fall beginnen die Ziffern nach dem Komma.

Die erste Nachkommastelle ist für die Zehntelstelle, die zweite Nachkommastelle für die Hundertstelstelle, die dritte Nachkommastelle für die Tausendstelstelle zuständig.

Dezimalziffern speichern einige nützliche Informationen. Insbesondere geben sie an, wie viele Zehntel, Hundertstel und Tausendstel in einer Dezimalzahl enthalten sind.

Betrachten Sie zum Beispiel die Dezimalzahl 0,345

Die Position, an der sich das Tripel befindet, wird aufgerufen zehnter Platz

Die Position, an der sich die Vier befindet, wird aufgerufen Hundertstel Stelle

Die Position, an der sich die Fünf befindet, wird aufgerufen Tausendstel

Schauen wir uns diese Figur an. Wir sehen, dass es in der Kategorie der Zehntel eine Drei gibt. Dies deutet darauf hin, dass der Dezimalbruch 0,345 drei Zehntel enthält.

Wenn wir die Brüche addieren, erhalten wir den ursprünglichen Dezimalbruch 0,345

Es ist ersichtlich, dass wir zuerst die Antwort erhalten haben, sie aber in einen Dezimalbruch umgewandelt haben und 0,345 erhalten haben.

Beim Addieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Prinzipien und Regeln wie beim Addieren gewöhnlicher Zahlen. Die Addition von Dezimalbrüchen erfolgt ziffernweise: Zehntel werden zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert.

Daher muss beim Addieren von Dezimalbrüchen die Regel befolgt werden "Komma unter Komma". Ein Komma unter einem Komma sorgt für die gleiche Reihenfolge, in der Zehntel zu Zehntel, Hundertstel zu Hundertstel, Tausendstel zu Tausendstel addiert werden.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4

Zunächst addieren wir die Nachkommastellen 5 + 4 = 9. Wir schreiben die Neun in die Nachkommastellen unserer Antwort:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 1 + 3 = 4. Wir schreiben die vier in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Jetzt trennen wir den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma. Dazu beachten wir wieder die Regel "Komma unter Komma":

Habe die Antwort 4.9. Der Wert des Ausdrucks 1,5 + 3,4 ist also 4,9

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks: 3,51 + 1,22

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die Regel "Komma unter Komma" beachten.

Addiere zuerst den Bruchteil, nämlich die Hundertstel 1+2=3. Wir schreiben das Tripel in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere nun Zehntel von 5+2=7. Die sieben schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 3+1=4 hinzu. Wir schreiben die vier im ganzen Teil unserer Antwort auf:

Wir trennen den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma, wobei wir die „Komma unter dem Komma“-Regel beachten:

Habe die Antwort 4.73. Der Wert des Ausdrucks 3,51 + 1,22 ist also 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Wie bei gewöhnlichen Zahlen gilt auch beim Addieren von Dezimalbrüchen . In diesem Fall wird eine Ziffer in die Antwort geschrieben und der Rest auf die nächste Ziffer übertragen.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27

Diesen Ausdruck schreiben wir in eine Spalte:

Addiere Hundertstel von 5+7=12. Die Zahl 12 passt nicht in den hundertsten Teil unserer Antwort. Deshalb schreiben wir im hundertsten Teil die Zahl 2 und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die Zehntel von 6+2=8 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 9. Wir schreiben die Zahl 9 in das Zehntel unserer Antwort:

Fügen Sie nun die ganzen Teile 2+3=5 hinzu. Wir schreiben die Zahl 5 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Habe die Antwort 5.92. Der Wert des Ausdrucks 2,65 + 3,27 ist also 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Beispiel 4 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8

Schreiben Sie diesen Ausdruck in eine Spalte

Wir addieren die Bruchteile 5 + 8 = 13. Die Zahl 13 passt nicht in den Bruchteil unserer Antwort, also schreiben wir zuerst die Zahl 3 auf und übertragen die Einheit auf die nächste Ziffer, bzw. übertragen sie auf die ganze Zahl Teil:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 9+2=11 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 12. Wir schreiben die Zahl 12 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 12.3. Der Wert des Ausdrucks 9,5 + 2,8 ist also 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Bei der Addition von Dezimalbrüchen muss die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich sein. Wenn nicht genügend Ziffern vorhanden sind, werden diese Stellen im Bruchteil mit Nullen aufgefüllt.

Beispiel 5. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: 12,725 + 1,7

Bevor wir diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben, lassen Sie uns die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen gleich machen. Der Dezimalbruch 12,725 hat drei Stellen nach dem Komma, während der Bruch 1,7 nur eine hat. Also musst du im Bruch 1,7 am Ende zwei Nullen hinzufügen. Dann erhalten wir den Bruchteil 1.700. Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und mit der Berechnung beginnen:

Addiere Tausendstel von 5+0=5. Wir schreiben die Zahl 5 in den tausendsten Teil unserer Antwort:

Addiere Hundertstel von 2+0=2. Wir schreiben die Zahl 2 in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Addiere Zehntel von 7+7=14. Die Zahl 14 passt nicht in ein Zehntel unserer Antwort. Deshalb schreiben wir zuerst die Zahl 4 auf und übertragen die Einheit auf das nächste Bit:

Jetzt addieren wir die ganzzahligen Teile 12+1=13 plus die Einheit, die wir aus der vorherigen Operation erhalten haben, wir erhalten 14. Wir schreiben die Zahl 14 in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 14.425. Der Wert des Ausdrucks 12,725+1,700 ist also 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Subtraktion von Dezimalstellen

Beim Subtrahieren von Dezimalbrüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Addieren: „ein Komma unter einem Komma“ und „gleich viele Stellen nach dem Komma“.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2

Wir schreiben diesen Ausdruck in eine Spalte, wobei wir die „Komma unter Komma“-Regel beachten:

Wir berechnen den Bruchteil 5−2=3. Wir schreiben die Zahl 3 in den zehnten Teil unserer Antwort:

Berechnen Sie den ganzzahligen Teil 2−2=0. Wir schreiben Null in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Wir haben die Antwort 0,3. Der Wert des Ausdrucks 2,5 − 2,2 ist also gleich 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7,353 - 3,1

Dieser Ausdruck hat eine andere Anzahl von Nachkommastellen. Beim Bruch 7,353 gibt es drei Nachkommastellen und beim Bruch 3,1 nur eine. Das bedeutet, dass beim Bruch 3.1 zwei Nullen am Ende hinzugefügt werden müssen, damit die Anzahl der Stellen in beiden Brüchen gleich ist. Dann bekommen wir 3.100.

Jetzt können Sie diesen Ausdruck in eine Spalte schreiben und berechnen:

Habe die Antwort 4.253. Der Wert des Ausdrucks 7,353 − 3,1 ist also 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Wie bei gewöhnlichen Zahlen müssen Sie manchmal eine vom benachbarten Bit ausleihen, wenn eine Subtraktion unmöglich wird.

Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3,46 − 2,39

Subtrahiere Hundertstel von 6−9. Subtrahieren Sie von der Zahl 6 nicht die Zahl 9. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Aus der Zahl 6 wird durch Ausleihen von der Nachbarziffer die Zahl 16. Jetzt können wir die Hundertstel von 16−9=7 berechnen. Wir schreiben die sieben in den hundertsten Teil unserer Antwort:

Ziehe jetzt Zehntel ab. Da wir eine Einheit in die Kategorie der Zehntel genommen haben, hat sich die Zahl, die sich dort befand, um eine Einheit verringert. Mit anderen Worten, die zehnte Stelle ist jetzt nicht die Zahl 4, sondern die Zahl 3. Berechnen wir die Zehntel von 3−3=0. Wir schreiben Null in den zehnten Teil unserer Antwort:

Subtrahiere nun die ganzzahligen Teile 3−2=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.07. Der Wert des Ausdrucks 3,46−2,39 ist also gleich 1,07

3,46−2,39=1,07

Beispiel 4. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3−1,2

Dieses Beispiel subtrahiert eine Dezimalzahl von einer ganzen Zahl. Schreiben wir diesen Ausdruck so in eine Spalte, dass der ganzzahlige Teil des Dezimalbruchs 1,23 unter der Zahl 3 steht

Lassen Sie uns nun die Anzahl der Nachkommastellen gleich machen. Setzen Sie dazu nach der Zahl 3 ein Komma und fügen Sie eine Null hinzu:

Jetzt Zehntel subtrahieren: 0−2. Subtrahieren Sie nicht die Zahl 2 von 0. Daher müssen Sie eine Einheit von der benachbarten Ziffer nehmen. Indem Sie eins von der benachbarten Ziffer leihen, wird aus 0 die Zahl 10. Jetzt können Sie die Zehntel von 10−2=8 berechnen. Die acht schreiben wir im zehnten Teil unserer Antwort auf:

Subtrahiere nun die ganzen Teile. Früher befand sich die Zahl 3 in der ganzen Zahl, aber wir haben uns eine Einheit davon geliehen. Als Ergebnis wurde daraus die Zahl 2. Daher subtrahieren wir 1 von 2. 2−1=1. Wir schreiben die Einheit in den ganzzahligen Teil unserer Antwort:

Trennen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil durch ein Komma:

Habe die Antwort 1.8. Der Wert des Ausdrucks 3−1,2 ist also 1,8

Dezimale Multiplikation

Dezimalzahlen zu multiplizieren ist einfach und macht sogar Spaß. Um Dezimalzahlen zu multiplizieren, musst du sie wie normale Zahlen multiplizieren und die Kommas ignorieren.

Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in beiden Brüchen zählen, dann rechts in der Antwort die gleiche Anzahl von Stellen zählen und ein Komma setzen.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5

Wir multiplizieren diese Dezimalbrüche als gewöhnliche Zahlen, wobei wir die Kommas ignorieren. Um die Kommas zu ignorieren, können Sie sich vorübergehend vorstellen, dass sie ganz fehlen:

Wir haben 375. Bei dieser Zahl muss der ganze Teil vom Bruchteil mit einem Komma getrennt werden. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Bruchteilen von 2,5 und 1,5 zählen. Beim ersten Bruch steht eine Nachkommastelle, beim zweiten Bruch ebenfalls eine. Insgesamt zwei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 375 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 3,75. Der Wert des Ausdrucks 2,5 × 1,5 ist also 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7

Lassen Sie uns diese Dezimalstellen multiplizieren und dabei die Kommas ignorieren:

Wir haben 34695. In dieser Zahl müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 12,85 und 2,7 berechnen. Beim Bruch 12,85 stehen zwei Nachkommastellen, beim Bruch 2,7 eine Stelle – also insgesamt drei Stellen.

Wir kehren zur Nummer 34695 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Ich habe die Antwort 34.695 erhalten. Der Wert des Ausdrucks 12,85 × 2,7 ist also 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer regulären Zahl

Manchmal gibt es Situationen, in denen Sie einen Dezimalbruch mit einer regulären Zahl multiplizieren müssen.

Um eine Dezimalzahl und eine gewöhnliche Zahl zu multiplizieren, müssen Sie sie unabhängig vom Komma in der Dezimalzahl multiplizieren. Nachdem Sie die Antwort erhalten haben, müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Stellen nach dem Dezimalkomma im Dezimalbruch zählen, dann die gleiche Anzahl von Stellen rechts in der Antwort zählen und ein Komma setzen.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,54 mit 2

Wir multiplizieren den Dezimalbruch 2,54 mit der üblichen Zahl 2, wobei wir das Komma ignorieren:

Wir haben die Nummer 508. In dieser Nummer müssen Sie den ganzzahligen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,54 zählen. Der Bruch 2,54 hat zwei Nachkommastellen.

Wir kehren zur Nummer 508 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 5.08. Der Wert des Ausdrucks 2,54 × 2 ist also 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100, 1000

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit regulären Zahlen. Es ist notwendig, die Multiplikation durchzuführen, wobei das Komma im Dezimalbruch ignoriert wird, und dann in der Antwort den ganzzahligen Teil vom Bruchteil zu trennen und rechts die gleiche Anzahl von Ziffern zu zählen, wie es Ziffern nach dem Dezimalkomma in der Dezimalzahl gab Fraktion.

Multiplizieren Sie beispielsweise 2,88 mit 10

Lassen Sie uns den Dezimalbruch 2,88 mit 10 multiplizieren und dabei das Komma im Dezimalbruch ignorieren:

Wir haben 2880. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil mit einem Komma vom Bruchteil trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen im Bruch 2,88 zählen. Wir sehen, dass im Bruch 2,88 zwei Nachkommastellen stehen.

Wir kehren zur Nummer 2880 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen zwei Ziffern von rechts zählen und ein Komma setzen:

Habe die Antwort 28.80. Wir verwerfen die letzte Null - wir erhalten 28,8. Der Wert des Ausdrucks 2,88 × 10 ist also 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalbrüche mit 10, 100, 1000 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass sich das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach rechts verschiebt, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 2,88 × 10 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, schauen wir uns sofort den Faktor 10 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um eine Stelle nach rechts, wir erhalten 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Versuchen wir, 2,88 mit 100 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 100 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 2,88 das Komma um zwei Stellen nach rechts, wir erhalten 288

2,88 x 100 = 288

Versuchen wir, 2,88 mit 1000 zu multiplizieren. Wir schauen uns sofort den Faktor 1000 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin enthalten sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir beim Bruch 2,88 das Komma um drei Stellen nach rechts. Die dritte Ziffer fehlt, also fügen wir eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Multiplizieren von Dezimalstellen mit 0,1 0,01 und 0,001

Das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 funktioniert genauso wie das Multiplizieren einer Dezimalzahl mit einer Dezimalzahl. Es ist notwendig, Brüche wie gewöhnliche Zahlen zu multiplizieren und ein Komma in die Antwort zu setzen, wobei rechts so viele Ziffern zu zählen sind, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Multiplizieren Sie beispielsweise 3,25 mit 0,1

Wir multiplizieren diese Brüche wie gewöhnliche Zahlen und ignorieren dabei die Kommas:

Wir haben 325. In dieser Zahl müssen Sie den ganzen Teil vom Bruchteil mit einem Komma trennen. Dazu müssen Sie die Anzahl der Nachkommastellen in Brüchen von 3,25 und 0,1 berechnen. Beim Bruch 3,25 gibt es zwei Nachkommastellen, beim Bruch 0,1 eine Nachkommastelle. Insgesamt drei Nummern.

Wir kehren zur Nummer 325 zurück und beginnen, uns von rechts nach links zu bewegen. Wir müssen drei Ziffern rechts zählen und ein Komma setzen. Nachdem wir drei Ziffern gezählt haben, stellen wir fest, dass die Zahlen zu Ende sind. In diesem Fall müssen Sie eine Null hinzufügen und ein Komma setzen:

Wir haben die Antwort 0,325 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 3,25 × 0,1 ist also 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Es gibt eine zweite Möglichkeit, Dezimalzahlen mit 0,1, 0,01 und 0,001 zu multiplizieren. Diese Methode ist viel einfacher und bequemer. Es besteht darin, dass das Komma im Dezimalbruch um so viele Stellen nach links wandert, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Lassen Sie uns zum Beispiel das vorherige Beispiel 3,25 × 0,1 auf diese Weise lösen. Ohne irgendwelche Berechnungen anzugeben, betrachten wir sofort den Faktor 0,1. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um eine Stelle nach links. Wenn wir das Komma um eine Ziffer nach links verschieben, sehen wir, dass vor der Drei keine Ziffer mehr steht. Fügen Sie in diesem Fall eine Null hinzu und setzen Sie ein Komma. Als Ergebnis erhalten wir 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,01 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,01 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es zwei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um zwei Stellen nach links, wir erhalten 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Versuchen wir, 3,25 mit 0,001 zu multiplizieren. Sehen Sie sich sofort den Multiplikator von 0,001 an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es drei Nullen hat. Jetzt verschieben wir im Bruch 3,25 das Komma um drei Stellen nach links, wir erhalten 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Verwechseln Sie das Multiplizieren von Dezimalzahlen mit 0,1, 0,001 und 0,001 nicht mit dem Multiplizieren mit 10, 100, 1000. Ein häufiger Fehler, den die meisten Menschen machen.

Beim Multiplizieren mit 10, 100, 1000 wird das Komma um so viele Stellen nach rechts verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Und beim Multiplizieren mit 0,1, 0,01 und 0,001 wird das Komma um so viele Stellen nach links verschoben, wie Nullen im Multiplikator vorhanden sind.

Wenn es anfangs schwierig ist, sich zu erinnern, können Sie die erste Methode verwenden, bei der die Multiplikation wie bei gewöhnlichen Zahlen durchgeführt wird. In der Antwort müssen Sie den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennen, indem Sie rechts so viele Ziffern zählen, wie es in beiden Brüchen Nachkommastellen gibt.

Dividieren einer kleineren Zahl durch eine größere. Fortgeschrittenes Level.

In einer der vorherigen Lektionen haben wir gesagt, dass beim Teilen einer kleineren Zahl durch eine größere ein Bruch erhalten wird, in dessen Zähler der Dividende und in dessen Nenner der Divisor steht.

Um zum Beispiel einen Apfel in zwei Teile zu teilen, musst du 1 (ein Apfel) in den Zähler und 2 (zwei Freunde) in den Nenner schreiben. Das Ergebnis ist ein Bruchteil. Also bekommt jeder Freund einen Apfel. Mit anderen Worten, ein halber Apfel. Ein Bruchteil ist die Antwort auf ein Problem wie man einen apfel zwischen zwei teilt

Es stellt sich heraus, dass Sie dieses Problem weiter lösen können, wenn Sie 1 durch 2 dividieren. Schließlich bedeutet ein Bruchstrich in jedem Bruch eine Division, was bedeutet, dass diese Division auch in einem Bruch erlaubt ist. Aber wie? Wir sind daran gewöhnt, dass der Dividenden immer größer als der Divisor ist. Und hier ist im Gegenteil der Dividenden kleiner als der Divisor.

Alles wird klar, wenn wir uns daran erinnern, dass ein Bruch Zerkleinern, Teilen, Teilen bedeutet. Das bedeutet, dass das Gerät in beliebig viele Teile zerlegt werden kann und nicht nur in zwei Teile.

Wenn Sie eine kleinere Zahl durch eine größere teilen, erhalten Sie einen Dezimalbruch, bei dem der ganzzahlige Teil 0 (Null) ist. Der Bruchteil kann alles sein.

Teilen wir also 1 durch 2. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Man kann nicht einfach so in zwei geteilt werden. Wenn Sie eine Frage stellen "wie viele zwei sind in einer" , dann ist die Antwort 0. Daher schreiben wir privat 0 und setzen ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir wie üblich den Quotienten mit dem Divisor, um den Rest herauszuziehen:

Der Moment ist gekommen, in dem die Einheit in zwei Teile geteilt werden kann. Fügen Sie dazu rechts neben der empfangenen eine weitere Null hinzu:

Wir haben 10. Wir teilen 10 durch 2, wir bekommen 5. Wir schreiben die fünf in den Bruchteil unserer Antwort:

Jetzt nehmen wir den letzten Rest heraus, um die Berechnung abzuschließen. Multipliziere 5 mit 2, wir bekommen 10

Wir haben die Antwort 0,5 bekommen. Der Bruch ist also 0,5

Ein halber Apfel kann auch mit dem Dezimalbruch 0,5 geschrieben werden. Wenn wir diese beiden Hälften (0,5 und 0,5) addieren, erhalten wir wieder den ursprünglichen einen ganzen Apfel:

Dieser Punkt kann auch verstanden werden, wenn wir uns vorstellen, wie 1 cm in zwei Teile geteilt wird. Wenn Sie 1 Zentimeter in 2 Teile teilen, erhalten Sie 0,5 cm

Beispiel 2 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 4:5

Wie viele Fünfer sind vier? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben Null unter die Vier. Subtrahieren Sie diese Null sofort vom Dividenden:

Beginnen wir nun damit, die vier in 5 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu addieren wir rechts von 4 Null und teilen 40 durch 5, wir erhalten 8. Wir schreiben die Acht privat.

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 8 mit 5 multiplizieren und erhalten 40:

Wir haben die Antwort 0,8 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 4: 5 ist also 0,8

Beispiel 3 Finden Sie den Wert von Ausdruck 5: 125

Wie viele Zahlen 125 sind in fünf? Gar nicht. Wir schreiben privat 0 und setzen ein Komma:

Wir multiplizieren 0 mit 5, wir erhalten 0. Wir schreiben 0 unter die fünf. Ziehe sofort von den fünf 0 ab

Beginnen wir nun damit, die fünf in 125 Teile zu teilen (zu teilen). Dazu schreiben wir rechts von diesen fünf eine Null:

Teilen Sie 50 durch 125. Wie viele Zahlen 125 sind 50? Gar nicht. Also schreiben wir in den Quotienten wieder 0

Wir multiplizieren 0 mit 125, wir erhalten 0. Wir schreiben diese Null unter 50. Subtrahieren Sie sofort 0 von 50

Jetzt teilen wir die Zahl 50 in 125 Teile. Dazu schreiben wir rechts von 50 eine weitere Null:

Teilen Sie 500 durch 125. Wie viele Zahlen sind 125 in der Zahl 500. In der Zahl 500 gibt es vier Zahlen 125. Wir schreiben die vier privat:

Wir vervollständigen das Beispiel, indem wir 4 mit 125 multiplizieren und erhalten 500

Wir haben die Antwort 0,04 bekommen. Der Wert des Ausdrucks 5: 125 ist also 0,04

Division von Zahlen ohne Rest

Setzen wir also ein Komma in den Quotienten nach der Einheit, um anzuzeigen, dass die Division der ganzzahligen Teile beendet ist, und fahren wir mit dem Bruchteil fort:

Null zum Rest addieren 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat:

40−40=0. Im Rest 0 erhalten. Damit ist die Teilung vollständig abgeschlossen. Die Division von 9 durch 5 ergibt eine Dezimalzahl von 1,8:

9: 5 = 1,8

Beispiel 2. Teilen Sie 84 ohne Rest durch 5

Zuerst teilen wir wie gewohnt 84 durch 5 mit Rest:

Privat erhalten 16 und 4 weitere in der Bilanz. Jetzt dividieren wir diesen Rest durch 5. Wir setzen ein Komma in das Private und addieren 0 zum Rest 4

Jetzt teilen wir 40 durch 5, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht im Quotienten nach dem Komma:

und vervollständigen Sie das Beispiel, indem Sie prüfen, ob noch ein Rest vorhanden ist:

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine normale Zahl

Ein Dezimalbruch besteht bekanntlich aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Wenn Sie einen Dezimalbruch durch eine normale Zahl dividieren, benötigen Sie zunächst:

• dividiere den ganzzahligen Teil des Dezimalbruchs durch diese Zahl;
• Nachdem der ganzzahlige Teil dividiert wurde, müssen Sie sofort ein Komma in den privaten Teil setzen und die Berechnung wie bei einer normalen Division fortsetzen.

Teilen wir zum Beispiel 4,8 durch 2

Schreiben wir dieses Beispiel als Ecke:

Jetzt teilen wir den ganzen Teil durch 2. Vier geteilt durch zwei ist zwei. Wir schreiben die Zwei privat und setzen sofort ein Komma:

Jetzt multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor und sehen, ob bei der Division ein Rest übrig bleibt:

4−4=0. Der Rest ist Null. Wir schreiben noch keine Null, da die Lösung noch nicht abgeschlossen ist. Dann rechnen wir weiter, wie bei der gewöhnlichen Division. Nehmen Sie 8 ab und teilen Sie es durch 2

8: 2 = 4. Wir schreiben die Vier in den Quotienten und multiplizieren ihn gleich mit dem Divisor:

Habe die Antwort 2.4. Ausdruckswert 4,8: ​​2 entspricht 2,4

Beispiel 2 Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 8,43:3

Wir teilen 8 durch 3, wir erhalten 2. Setzen Sie sofort ein Komma nach den beiden:

Nun multiplizieren wir den Quotienten mit dem Divisor 2 × 3 = 6. Wir schreiben die Sechs unter die Acht und finden den Rest:

Wir teilen 24 durch 3, wir bekommen 8. Wir schreiben die Acht privat. Wir multiplizieren es sofort mit dem Divisor, um den Rest der Division zu finden:

24−24=0. Der Rest ist Null. Null ist noch nicht aufgezeichnet. Nehmen Sie die letzten drei des Dividenden und dividieren Sie durch 3, wir erhalten 1. Multiplizieren Sie sofort 1 mit 3, um dieses Beispiel zu vervollständigen:

Habe die Antwort 2.81. Der Wert des Ausdrucks 8,43: 3 ist also gleich 2,81

Dividieren einer Dezimalzahl durch eine Dezimalzahl

Um einen Dezimalbruch in einen Dezimalbruch zu teilen, verschieben Sie im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, die nach dem Dezimalkomma im Divisor stehen, und dividieren Sie dann durch eine reguläre Zahl.

Teilen Sie zum Beispiel 5,95 durch 1,7

Lassen Sie uns diesen Ausdruck als Ecke schreiben

Jetzt verschieben wir im Dividenden und im Divisor das Komma um die gleiche Anzahl von Stellen nach rechts, wie es im Divisor nach dem Komma gibt. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also müssen wir im Dividenden und im Divisor das Komma um eine Stelle nach rechts verschieben. Übertragen:

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschoben wurde, wurde aus dem Dezimalbruch 5,95 ein Bruch 59,5. Und der Dezimalbruch 1,7 verwandelte sich nach dem Verschieben des Dezimalkommas um eine Ziffer nach rechts in die übliche Zahl 17. Und wir wissen bereits, wie man den Dezimalbruch durch die übliche Zahl dividiert. Die weitere Berechnung ist nicht schwierig:

Das Komma wird nach rechts verschoben, um die Trennung zu erleichtern. Dies ist möglich, da sich der Quotient beim Multiplizieren oder Dividieren des Dividenden und des Divisors mit derselben Zahl nicht ändert. Was bedeutet das?

Dies ist eines der interessanten Merkmale der Teilung. Nennt sich Privateigentum. Betrachten Sie Ausdruck 9: 3 = 3. Wenn in diesem Ausdruck der Dividend und der Divisor mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich der Quotient 3 nicht.

Lassen Sie uns den Dividenden und den Divisor mit 2 multiplizieren und sehen, was passiert:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, hat sich der Quotient nicht verändert.

Dasselbe passiert, wenn wir im Dividenden und im Divisor ein Komma führen. Im vorherigen Beispiel, wo wir 5,91 durch 1,7 dividiert haben, haben wir das Komma im Dividenden und Divisor um eine Stelle nach rechts verschoben. Nach dem Verschieben des Kommas wurde der Bruch 5,91 in den Bruch 59,1 und der Bruch 1,7 in die übliche Zahl 17 umgewandelt.

Tatsächlich fand innerhalb dieses Prozesses eine Multiplikation mit 10 statt, die so aussah:

5,91 × 10 = 59,1

Daher hängt die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor davon ab, womit der Dividende und der Divisor multipliziert werden. Mit anderen Worten, die Anzahl der Nachkommastellen im Divisor bestimmt, wie viele Stellen im Dividenden und im Divisor das Komma nach rechts verschoben wird.

Dezimalteilung durch 10, 100, 1000

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 10, 100 oder 1000 erfolgt auf die gleiche Weise wie . Teilen wir zum Beispiel 2,1 durch 10. Lösen wir dieses Beispiel mit einer Ecke:

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach links verschoben wird, wie es Nullen im Divisor gibt.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 2.1: 10. Wir schauen uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach links verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach links und sehen, dass keine Ziffern mehr übrig sind. In diesem Fall fügen wir vor der Zahl eine weitere Null hinzu. Als Ergebnis erhalten wir 0,21

Versuchen wir, 2,1 durch 100 zu teilen. Die Zahl 100 enthält zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 100 = 0,021

Versuchen wir, 2,1 durch 1000 zu teilen. Die Zahl 1000 enthält drei Nullen. In der teilbaren Zahl 2,1 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach links verschieben:

2,1: 1000 = 0,0021

Dezimalteilung durch 0,1, 0,01 und 0,001

Das Teilen einer Dezimalzahl durch 0,1, 0,01 und 0,001 erfolgt auf die gleiche Weise wie bei . Im Dividenden und im Divisor müssen Sie das Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, wie im Divisor nach dem Komma stehen.

Teilen wir zum Beispiel 6,3 durch 0,1. Zunächst verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um die gleiche Anzahl an Nachkommastellen nach rechts, wie im Divisor nach dem Komma stehen. Der Divisor hat eine Nachkommastelle. Also verschieben wir die Kommas im Dividenden und im Divisor um eine Stelle nach rechts.

Nachdem der Dezimalpunkt um eine Ziffer nach rechts verschoben wurde, wird aus dem Dezimalbruch 6,3 die übliche Zahl 63, und aus dem Dezimalbruch 0,1 wird nach dem Verschieben des Dezimalpunkts um eine Ziffer nach rechts eins. Und 63 durch 1 zu teilen ist sehr einfach:

Der Wert des Ausdrucks 6,3: 0,1 ist also gleich 63

Aber es gibt auch einen zweiten Weg. Es ist leichter. Der Kern dieser Methode besteht darin, dass das Komma im Dividenden um so viele Stellen nach rechts verschoben wird, wie Nullen im Divisor vorhanden sind.

Lösen wir das vorherige Beispiel auf diese Weise. 6.3:0.1. Schauen wir uns den Teiler an. Uns interessiert, wie viele Nullen darin sind. Wir sehen, dass es eine Null gibt. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um eine Ziffer nach rechts verschieben. Wir verschieben das Komma um eine Ziffer nach rechts und erhalten 63

Versuchen wir, 6,3 durch 0,01 zu teilen. Der Divisor 0,01 hat zwei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um zwei Ziffern nach rechts verschieben. Aber im Dividenden gibt es nur eine Nachkommastelle. In diesem Fall muss am Ende noch eine Null hinzugefügt werden. Als Ergebnis erhalten wir 630

Versuchen wir, 6,3 durch 0,001 zu teilen. Der Divisor von 0,001 hat drei Nullen. In der teilbaren Zahl 6,3 müssen Sie also das Komma um drei Ziffern nach rechts verschieben:

6,3: 0,001 = 6300

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

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Früher oder später lernen alle Kinder in der Schule Brüche: ihre Addition, Division, Multiplikation und alle möglichen Aktionen, die nur mit Brüchen möglich sind. Um dem Kind angemessen zu helfen, sollten die Eltern selbst nicht vergessen, wie ganze Zahlen in Brüche geteilt werden, sonst können Sie ihm in keiner Weise helfen, sondern ihn nur verwirren. Wenn Sie sich diese Aktion merken müssen, aber nicht alle Informationen in Ihrem Kopf in einer einzigen Regel zusammenfassen können, hilft Ihnen dieser Artikel: Sie lernen, wie Sie eine Zahl durch einen Bruch teilen, und sehen anschauliche Beispiele.

Wie man eine Zahl in einen Bruch teilt

Notieren Sie Ihr Beispiel auf einem Entwurf, damit Sie sich Notizen und Kleckse machen können. Denken Sie daran, dass eine ganze Zahl zwischen Zellen geschrieben wird, direkt an ihrem Schnittpunkt, und Bruchzahlen - jede in ihrer eigenen Zelle.

• Bei dieser Methode müssen Sie den Bruch auf den Kopf stellen, dh den Nenner in den Zähler und den Zähler in den Nenner schreiben.
• Das Zeichen der Division muss in Multiplikation geändert werden.
• Jetzt müssen Sie nur noch die Multiplikation nach den bereits untersuchten Regeln durchführen: Der Zähler wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, und der Nenner wird nicht berührt.

Als Ergebnis einer solchen Aktion erhalten Sie natürlich eine sehr große Zahl im Zähler. Es ist unmöglich, einen Bruchteil in diesem Zustand zu belassen - der Lehrer wird diese Antwort einfach nicht akzeptieren. Kürze den Bruch, indem du den Zähler durch den Nenner dividierst. Schreiben Sie die resultierende Ganzzahl links vom Bruch in die Mitte der Zellen, und der Rest wird der neue Zähler sein. Der Nenner bleibt unverändert.

Dieser Algorithmus ist ziemlich einfach, selbst für ein Kind. Nach fünf- oder sechsmaliger Durchführung wird sich das Baby an das Verfahren erinnern und es auf alle Brüche anwenden können.

Wie man eine Zahl durch eine Dezimalzahl dividiert

Es gibt andere Arten von Brüchen - Dezimalzahlen. Die Aufteilung in sie erfolgt nach einem völlig anderen Algorithmus. Wenn Sie mit einem solchen Beispiel konfrontiert werden, befolgen Sie die Anweisungen:

• Wandeln Sie zuerst beide Zahlen in Dezimalzahlen um. Das geht ganz einfach: Dein Divisor ist bereits als Bruch dargestellt, und du trennst die teilbare natürliche Zahl mit einem Komma und erhältst einen Dezimalbruch. Das heißt, wenn die Dividende die Zahl 5 war, erhalten Sie einen Bruchteil von 5,0. Sie müssen die Zahl durch so viele Stellen trennen, wie sie nach dem Dezimalkomma und dem Divisor stehen.
• Danach müssen Sie beide Dezimalbrüche zu natürlichen Zahlen machen. Es mag auf den ersten Blick etwas verwirrend erscheinen, aber es ist der schnellste Weg zum Teilen und dauert nach ein paar Übungseinheiten Sekunden. Ein Bruchteil von 5,0 wird zur Zahl 50, ein Bruchteil von 6,23 wird zu 623.
• Mach die Teilung. Wenn sich herausstellt, dass die Zahlen groß sind oder die Division mit einem Rest erfolgt, führen Sie sie in einer Spalte durch. Sie werden also alle Aktionen dieses Beispiels deutlich sehen. Sie müssen nicht ausdrücklich ein Komma setzen, da es beim Aufteilen in eine Spalte von selbst erscheint.

Diese Art der Division erscheint zunächst zu verwirrend, da Sie den Dividenden und den Divisor in einen Bruch und dann wieder in natürliche Zahlen umwandeln müssen. Aber nach einem kurzen Training werden Sie sofort die Zahlen sehen, die Sie nur noch durcheinander dividieren müssen.

Denken Sie daran, dass die Fähigkeit, Brüche und ganze Zahlen korrekt in sie aufzuteilen, mehr als einmal im Leben nützlich sein kann. Daher muss das Kind diese Regeln und einfachen Prinzipien perfekt kennen, damit sie in älteren Klassen nicht zu einem Stolperstein werden komplexere Aufgaben kann das Kind nicht entscheiden.

Ein Bruch ist ein oder mehrere Teile eines Ganzen, das normalerweise als Einheit genommen wird (1). Wie bei den natürlichen Zahlen können Sie alle Grundrechenarten mit Brüchen durchführen (Addition, Subtraktion, Division, Multiplikation), dazu müssen Sie die Besonderheiten der Arbeit mit Brüchen kennen und deren Typen unterscheiden. Es gibt verschiedene Arten von Brüchen: dezimal und gewöhnlich oder einfach. Jede Art von Brüchen hat ihre eigenen Besonderheiten, aber sobald Sie einmal gründlich herausgefunden haben, wie man damit umgeht, werden Sie in der Lage sein, alle Beispiele mit Brüchen zu lösen, da Sie die Grundprinzipien für arithmetische Berechnungen mit Brüchen kennen. Schauen wir uns Beispiele an, wie man einen Bruch durch eine ganze Zahl dividiert, indem man verschiedene Arten von Brüchen verwendet.

Wie dividiert man einen Bruch durch eine natürliche Zahl?
Gewöhnliche oder einfache Brüche werden genannt, geschrieben in Form eines solchen Zahlenverhältnisses, bei dem der Dividende (Zähler) oben im Bruch und der Divisor (Nenner) des Bruchs unten angegeben ist. Wie dividiert man einen solchen Bruch durch eine ganze Zahl? Schauen wir uns ein Beispiel an! Nehmen wir an, wir müssen 8/12 durch 2 teilen.

Dazu müssen wir eine Reihe von Aktionen ausführen:
Stehen wir also vor der Aufgabe, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, sieht das Lösungsschema etwa so aus:

Ebenso kannst du jeden gewöhnlichen (einfachen) Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

Wie dividiert man eine Dezimalzahl durch eine ganze Zahl?
Ein Dezimalbruch ist ein Bruch, der durch Teilen einer Einheit in zehn, tausend usw. Teile erhalten wird. Rechenoperationen mit Dezimalbrüchen sind recht einfach.

Betrachten Sie ein Beispiel dafür, wie ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird. Nehmen wir an, wir müssen den Dezimalbruch 0,925 durch die natürliche Zahl 5 dividieren.

Zusammenfassend konzentrieren wir uns auf zwei Hauptpunkte, die wichtig sind, wenn die Operation zum Teilen von Dezimalbrüchen durch eine ganze Zahl durchgeführt wird:

• Um einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren, wird die Division in eine Spalte verwendet.
  
• ein Komma wird in den privaten eingefügt, wenn die Division des ganzzahligen Teils des Dividenden abgeschlossen ist.
  

Indem Sie diese einfachen Regeln anwenden, können Sie jede Dezimalzahl oder jeden Bruch durch eine ganze Zahl dividieren.

jeder Teil.
Entscheidung. Um das Problem zu lösen, drücken wir die Länge des Bandes in Dezimetern aus: 19,2 m = 192 dm. Aber 192: 8 = 24. Daher ist die Länge jedes Teils 24 dm,

das heißt 2,4 m. Wenn wir 2,4 mit 8 multiplizieren, erhalten wir 19,2. Also ist 2,4 der Quotient von 19,2 dividiert durch 8.

Sie schreiben: 19,2: 8 = 2,4.

Die gleiche Antwort kann erhalten werden, ohne Meter in umzuwandeln Dezimeter. Dazu müssen Sie 19,2 durch 8 teilen, das Komma ignorieren, und ein Komma in den Quotienten setzen, wenn die Division des ganzen Teils endet:

Einen Dezimalbruch durch eine natürliche Zahl zu dividieren bedeutet, einen Bruch zu finden, der, wenn er mit dieser natürlichen Zahl multipliziert wird, den Dividenden ergibt.

Um eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl zu dividieren, benötigen Sie:

1) teile den Bruch durch diese Zahl, ignoriere das Komma;
2) Setzen Sie ein Komma in den privaten Teil, wenn die Teilung des ganzen Teils endet;

Wenn der ganzzahlige Teil kleiner als der Divisor ist, beginnt der Quotient bei null ganzen Zahlen:

Teilen Sie 96,1 durch 10. Wenn Sie den Quotienten mit 10 multiplizieren, sollten Sie wieder 96,1 erhalten.

Mit anderen Worten, mit Hilfe der Division wird ein gewöhnlicher Bruch in einen Dezimalbruch umgewandelt.
Beispiel. Wandeln wir den Bruch in eine Dezimalzahl um.
Entscheidung. Der Bruch ist der Quotient von 3 geteilt durch 4. Wenn wir 3 durch 4 teilen, erhalten wir den Dezimalbruch 0,75. Daher = 0,75.

Was bedeutet es, eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl zu dividieren?
Wie dividiert man eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl?
Wie dividiert man eine Dezimalzahl durch 10, 100, 1000?
Wie konvertiert man einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl?

1340. Teilung durchführen:

a) 20.7: 9;
b) 243,2: 8;
c) 88.298: 7;
d) 772,8: 12;
e) 93.15: 23;
e) 0,644: 92;
g) 1:80;
h) 0,909: 45;
i) 3:32;
j) 0,01242: 69;
k) 1,016: 8;
m) 7.368: 24.

1341. 3 Traktoren mit einem Gewicht von jeweils 1,2 Tonnen und 7 Schneemobile wurden für die Polarexpedition in das Flugzeug geladen. Die Masse aller Schneemobile beträgt 2 Tonnen mehr als die Masse der Traktoren. Welche Masse hat ein Luftschlitten?

a) 4x - x = 8,7; c) a + a + 8,154 = 32;
b) Zu + bу = 9,6; d) 7k – 4k – 55,2 = 63,12.

1349. Zwei Körbe enthalten 16,8 kg Tomaten. In einem Korb sind doppelt so viele Tomaten wie im anderen. Wie viele Kilogramm Tomaten sind in jedem Korb?

1350. Die Fläche des ersten Feldes ist 5 mal so groß wie die Fläche des zweiten. Wie groß ist die Fläche jedes Feldes, wenn Quadrat die zweite ist 23,2 Hektar kleiner als die Fläche der ersten?

1351. Zur Herstellung von Kompott wurde eine Mischung aus 8 Teilen (nach Gewicht) getrockneten Äpfeln, 4 Teilen Aprikosen und 3 Teilen Rosinen hergestellt. Wie viele Kilogramm der einzelnen Trockenfrüchte wurden für 2,7 kg einer solchen Mischung benötigt?

1352. In zwei Beuteln 1,28 Zentner Mehl. Im ersten Sack sind 0,12 Zentner mehr Mehl als im zweiten. Wie viele Doppelzentner Mehl sind in jedem Sack?

1353. In zwei Körben sind 18,6 kg Äpfel. Im ersten Korb sind 2,4 kg weniger Äpfel als im zweiten. Wie viele Kilogramm Äpfel sind in jedem Korb?

1354. Als Dezimalbruch ausdrücken:

1355. Um 100 g Honig zu sammeln, liefert eine Biene 16.000 Ladungen Nektar an den Bienenstock. Was ist eine Ladung Nektar?

1356. In einem Fläschchen sind 30 g Medizin. Finden Sie die Masse eines Tropfens Medizin, wenn 1500 Tropfen in der Durchstechflasche sind.

1357. Wandeln Sie einen gewöhnlichen Bruch in eine Dezimalzahl um und gehen Sie wie folgt vor:

1358. Löse die Gleichung:

a) (x – 5,46) –2 = 9;

b) (y + 0,5): 2 = 1,57.

1359. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

a) 91,8: (10,56 - 1,56) + 0,704; e) 15,3 -4:9 + 3,2;
b) (61,5 - 5,16): 30 + 5,05; f) (4,3 + 2,4: 8) 3;
c) 66.24 - 16.24: (3.7 + 4.3); g) 280,8: 12 - 0,3 24;
d) 28,6 + 11,4: (6,595 + 3,405); h) (17,6 13 - 41,6): 12.

1360. Berechne mündlich:

a) 2,5 - 1,6; b) 1,8 + 2,5; c) 3,4–0,2; d) 5 + 0,35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.

a) 0,3 2; d) 2,3 3; g) 3,7 10; i) 0,185;
b) 0,8 3; e) 0,214; h) 0,096; j) 0,87 0.
c) 1,2 2; e) 1,6 5;

1362. Raten Sie, was die Wurzeln der Gleichung sind:

a) 2,9x = 2,9; c) 3,7x = 37; e) ein 3 \u003d ein;
b) 5,25 x = 0; d) x 2 \u003d x e) m 2 \u003d m 3.

1363. Wie ändert sich der Wert des Ausdrucks 2.5a, wenn a: um 1 erhöht wird? um 2 erhöhen? verdoppeln?

1364. Sagen Sie uns, wie man die Zahl auf dem Koordinatenstrahl markiert: 0,25; 0 5; 0,75. Überlegen Sie, welche der angegebenen Zahlen gleich sind. Welcher Bruch mit Nenner 4 ist gleich 0,5? Addieren:
1365. Denken Sie über die Regel nach, nach der eine Reihe von Zahlen zusammengesetzt wird, und schreiben Sie zwei weitere Zahlen dieser Reihe auf:

a) 1.2; 1,8; 2.4; 3; ... c) 0,9; 1,8; 3,6; 7.2; ...
b) 9,6; 8,9; 8.2; 7,5; ...d) 1.2; 0,7; 2.2; 1,4; 3.2; 2.1; ...

1366. Befolgen Sie diese Schritte:

a) (37,8 - 19,1) 4; c) (64,37 + 33,21 - 21,56) 14;
b) (14,23 + 13,97) 31; d) (33,56 - 18,29) (13,2 + 24,9 - 38,1).

a) 3,705; 62,8; 0,5 bis 10 mal;

b) 2,3578; 0,0068; 0,3 100 mal.

1368. Runde die Zahl 82.719.364:

a) bis zu Einheiten; c) bis zu Zehntel; e) bis zu Tausend.
b) bis zu Hunderten; d) bis zu Hundertstel;

1369. Handeln Sie:

1370. Vergleiche:

1371. Kolya, Petya, Zhenya und Senya wogen auf der Waage. Die Ergebnisse waren: 37,7 kg; 42,5 kg; 39,2 kg; 40,8 kg. Finden Sie die Masse jedes Jungen, wenn bekannt ist, dass Kolya schwerer als Senya und leichter als Petya und Zhenya leichter als Senya ist.

1372. Vereinfache den Ausdruck und finde seinen Wert:

a) 23,9 - 18,55 - mt wenn m = 1,64;
b) 16,4 + k + 3,8 wenn k = 2,7.

1373. Löse die Gleichung:

a) 16,1 – (x – 3,8) = 11,3;

b) 25,34 - (2,7 + y) = 15,34.

1374. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.

1375. Teilung durchführen:

a) 53,5: 5; e) 0,7: 25; i) 9.607: 10;
b) 1,75: 7; e) 7,9: 316; j) 14.706: 1000;
c) 0,48: 6; g) 543,4: 143; k) 0,0142: 100;
d) 13.2: 24; h) 40.005: 127; m) 0,75: 10.000.

1376. Das Auto lief 3 Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 65,8 km / h auf der Autobahn und dann 5 Stunden lang auf einer unbefestigten Straße. Mit welcher Geschwindigkeit ist sie den Schotterweg entlang gelaufen, wenn ihr gesamter Weg 324,9 km lang ist?

1377. Im Lager waren 180,4 Tonnen Kohle. Diese Kohle wurde zum Heizen von Schulen geliefert. Wie viele Tonnen Kohle sind noch im Lager?

1378. Gepflügte Felder. Finden Sie die Fläche dieses Feldes, wenn 32,5 Hektar gepflügt wurden.
1379. Löse die Gleichung:

a) 15x = 0,15; e) 8p - 2p - 14,21 = 75,19;
b) 3,08: y = 4; g) 295,1: (n - 3) = 13;
c) Za + 8a = 1,87; h) 34 (m + 1,2) = 61,2;
d) 7z - 3z = 5,12; i) 15 (k - 0,2) = 21.
e) 2 t + 5 t + 3,18 = 25,3;

1380. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

a) 0,24:4 + 15,3:5 + 12,4:8 + 0,15:30;
b) (1,24 + 3,56): 16;
c) 2,28 + 3,72: 12;
d) 3,6 4–2,4: (11,7–3,7).

1381. 19,7 Tonnen Heu wurden von drei Wiesen gesammelt. Auf der ersten und zweiten Wiese wurde zu gleichen Teilen Heu geerntet, auf der dritten um 1,1 Tonnen mehr Heu als auf den ersten beiden. Wie viel Heu wurde von jeder Wiese geerntet?

1382. Das Geschäft verkaufte 1240,8 kg Zucker in 3 Tagen. Am ersten Tag wurden 543 kg verkauft, am zweiten - 2 mal mehr als am dritten. Wie viele Kilogramm Zucker wurden am dritten Tag verkauft?

1383. Das Auto hat den ersten Abschnitt des Weges in 3 Stunden und den zweiten Abschnitt in 2 Stunden passiert, die Länge beider Abschnitte zusammen beträgt 267 km. Wie hoch war die Geschwindigkeit des Autos in jedem Abschnitt, wenn die Geschwindigkeit im zweiten Abschnitt 8,5 km / h höher war als im ersten?

1384. In Dezimalbrüche umwandeln;

1385. Bauen Sie eine Figur, die der in Abbildung 151 gezeigten Figur entspricht.

1386. Ein Radfahrer verließ die Stadt mit einer Geschwindigkeit von 13,4 km/h. Nach 2 Stunden folgte ihm ein weiterer Radfahrer, dessen Geschwindigkeit 17,4 km/h betrug. Durch

Wie viele Stunden nach seiner Abfahrt wird der zweite Radfahrer den ersten einholen?

1387. Das gegen den Strom fahrende Boot legte in 6 Stunden 177,6 km zurück. Ermitteln Sie die Eigengeschwindigkeit des Bootes bei einer Strömungsgeschwindigkeit von 2,8 km/h.

1388. Ein Wasserhahn, der 30 Liter Wasser pro Minute liefert, füllt ein Bad in 5 Minuten. Dann wurde der Wasserhahn geschlossen und ein Abflussloch geöffnet, durch das das gesamte Wasser in b Minuten abfloss. Wie viele Liter Wasser wurden in 1 Minute ausgegossen?

1389. Löse die Gleichung:

a) 26 (x + 427) = 15 756; c) 22 374: (k - 125) = 1243;
b) 101 (351 + y) = 65 549; d) 38 007: (4223 - t) = 9.

N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Mathematik Klasse 5, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

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