Ähnlich wie Umkehrungen in vielen Eigenschaften.

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✪ So finden Sie die inverse Matrix - bezbotvy

✪ Inverse Matrix (2 Wege zu finden)

✪ Inverse Matrix Nr. 1

✪ 2015-01-28. Inverse Matrix 3x3

✪ 2015-01-27. Inverse Matrix 2x2

Untertitel

Inverse Matrix-Eigenschaften

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), wo det (\displaystyle\\det) bezeichnet eine Determinante.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) für zwei quadratische invertierbare Matrizen A (\displaystyle A) und B (\displaystyle B).
• (EIN T) − 1 = (EIN − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), wo (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) bezeichnet die transponierte Matrix.
• (k EIN) − 1 = k − 1 EIN − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) für jeden Koeffizienten k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Wenn es notwendig ist, ein System linearer Gleichungen zu lösen , (b ist ein Nicht-Null-Vektor), wobei x (\displaystyle x) der gesuchte Vektor ist, und wenn A − 1 (\displaystyle A^(-1)) existiert also x = EIN − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Andernfalls ist entweder die Dimension des Lösungsraums größer als Null oder es gibt gar keine.

Möglichkeiten, die inverse Matrix zu finden

Wenn die Matrix invertierbar ist, können Sie eine der folgenden Methoden verwenden, um die Inverse der Matrix zu finden:

Exakte (direkte) Methoden

Gauß-Jordan-Methode

Nehmen wir zwei Matrizen: sich selbst EIN und Single E. Bringen wir die Matrix EIN auf die Identitätsmatrix durch die Gauß-Jordan-Methode, indem Sie Transformationen in Zeilen anwenden (Sie können Transformationen auch in Spalten anwenden, aber nicht in einer Mischung). Nachdem Sie jede Operation auf die erste Matrix angewendet haben, wenden Sie dieselbe Operation auf die zweite an. Wenn die Reduktion der ersten Matrix auf die Identitätsform abgeschlossen ist, wird die zweite Matrix gleich sein A-1.

Bei der Gauß-Methode wird die erste Matrix von links mit einer der Elementarmatrizen multipliziert Λ ich (\displaystyle \Lambda _(i))(Transvektions- oder Diagonalmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonale, bis auf eine Position):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ EIN = Λ EIN = E ⇒ Λ = EIN − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − ein 1 m / ein m m 0 … 0 … 0 … 1 − ein m − 1 m / ein m m 0 … 0 0 … 0 1 / ein m m 0 … 0 0 … 0 − ein m + 1 m / ein m m 1 … 0 … 0 … 0 − ein n m / ein m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\Punkte &&&\\0&\Punkte &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\Punkte &0\\0&\Punkte &0&1/a_(mm)&0&\Punkte &0\\0&\Punkte &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Die zweite Matrix nach Anwendung aller Operationen ist gleich Λ (\displaystyle\Lambda), das heißt, wird der gewünschte sein. Die Komplexität des Algorithmus - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Verwenden der Matrix der algebraischen Additionen

Matrix Inverse Matrix A (\displaystyle A), im Formular darstellen

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

wo adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- angehängte Matrix ;

Die Komplexität des Algorithmus hängt von der Komplexität des Algorithmus zur Berechnung der Determinante O det ab und ist gleich O(n²) O det .

Verwenden der LU/LUP-Zerlegung

Matrixgleichung EIN X = ich n (\displaystyle AX=I_(n)) für inverse Matrix X (\ displaystyle X) kann als Sammlung angesehen werden n (\displaystyle n) Systeme der Form A x = b (\displaystyle Ax=b). Bezeichnen ich (\displaystyle ich)-te Spalte der Matrix X (\ displaystyle X) durch X. ich (\ displaystyle X_ (i)); dann EIN X ich = e ich (\ displaystyle AX_ (i) = e_ (i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),weil die ich (\displaystyle ich)-te Spalte der Matrix Ich n (\ displaystyle I_ (n)) ist der Einheitsvektor e ich (\ displaystyle e_ (i)). Mit anderen Worten, das Finden der inversen Matrix reduziert sich auf das Lösen von n Gleichungen mit derselben Matrix und unterschiedlichen rechten Seiten. Nach dem Ausführen der LUP-Erweiterung (Zeit O(n³)) benötigt jede der n Gleichungen O(n²) Zeit zum Lösen, also benötigt dieser Teil der Arbeit auch O(n³) Zeit.

Wenn die Matrix A nichtsingulär ist, können wir die LUP-Zerlegung dafür berechnen P EIN = L U (\ displaystyle PA = LU). Lassen PA = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Dann können wir aus den Eigenschaften der inversen Matrix schreiben: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Wenn wir diese Gleichheit mit U und L multiplizieren, erhalten wir zwei Gleichheiten der Form UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) und DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Die erste dieser Gleichungen ist ein System von n² linearen Gleichungen für n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) deren rechte Seiten bekannt sind (aus den Eigenschaften von Dreiecksmatrizen). Die zweite ist auch ein System von n² linearen Gleichungen für n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) deren rechte Seiten bekannt sind (auch aus den Eigenschaften von Dreiecksmatrizen). Zusammen bilden sie ein System von n² Gleichheiten. Mit Hilfe dieser Gleichheiten können wir alle n² Elemente der Matrix D rekursiv bestimmen. Aus der Gleichheit (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D erhalten wir dann die Gleichheit A − 1 = DP (\displaystyle A^(-1)=DP).

Im Fall der Verwendung der LU-Zerlegung ist keine Permutation der Spalten der Matrix D erforderlich, aber die Lösung kann divergieren, selbst wenn die Matrix A nichtsingulär ist.

Die Komplexität des Algorithmus ist O(n³).

Iterative Methoden

Schultz-Methoden

( Ψ k = E - - EIN U k , U k + 1 = U k ∑ ich = 0 n Ψ k ich (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Fehlerschätzung

Wahl der anfänglichen Näherung

Das Problem der Wahl der Anfangsnäherung bei den hier betrachteten Prozessen der iterativen Matrizeninversion erlaubt es uns nicht, sie als unabhängige universelle Verfahren zu behandeln, die mit direkten Inversionsverfahren konkurrieren, die beispielsweise auf der LU-Zerlegung von Matrizen basieren. Es gibt einige Empfehlungen für die Auswahl U 0 (\displaystyle U_(0)), um die Erfüllung der Bedingung sicherzustellen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (der Spektralradius der Matrix ist kleiner als Eins), was für die Konvergenz des Prozesses notwendig und ausreichend ist. In diesem Fall ist es jedoch zunächst erforderlich, den Schätzwert für das Spektrum der invertierbaren Matrix A oder der Matrix von oben zu kennen EIN A T (\displaystyle AA^(T))(nämlich wenn A eine symmetrische positiv definite Matrix ist und ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), dann kannst du nehmen U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha)E), wo ; wenn A eine beliebige nichtsinguläre Matrix ist und ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), dann nehme an U 0 = α EIN T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T)), wo auch α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Natürlich kann die Situation vereinfacht werden und mit der Tatsache, dass ρ (EIN EIN T) ≤ k EIN EIN T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), stellen U 0 = EIN T ‖ EIN EIN T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Zweitens gibt es bei einer solchen Angabe der Anfangsmatrix keine Garantie dafür ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) wird klein sein (vielleicht sogar ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), und eine hohe Konvergenzrate wird nicht sofort ersichtlich sein.

Beispiele

Matrix 2x2

EIN − 1 = [ ein b c d ] − 1 = 1 det (EIN) [ d − b − c ein ] = 1 ein d − b c [ d − b − c ein ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Die Invertierung einer 2x2-Matrix ist nur unter der Bedingung möglich, dass a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Im ersten Teil wurde ein Verfahren zum Auffinden der inversen Matrix unter Verwendung algebraischer Additionen betrachtet. Hier beschreiben wir eine andere Methode zum Finden inverser Matrizen: die Verwendung der Gauß- und der Gauß-Jordan-Transformation. Oft wird diese Methode zum Auffinden der inversen Matrix als Methode der elementaren Transformationen bezeichnet.

Methode der elementaren Transformationen

Um diese Methode anzuwenden, schreibt man die gegebene Matrix $A$ und die Einheitsmatrix $E$ in eine Matrix, d.h. eine Matrix der Form $(A|E)$ bilden (diese Matrix wird auch erweiterte Matrix genannt). Danach wird mit Hilfe elementarer Transformationen, die mit den Zeilen der erweiterten Matrix durchgeführt werden, die Matrix links von der Zeile zu Eins, und die erweiterte Matrix nimmt die Form $\left(E| A^(-1) \right an )$. Elementare Transformationen in dieser Situation umfassen die folgenden Aktionen:

1. Ersetzen von zwei Zeilen.
2. Multiplizieren aller Elemente einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null.
3. Zu den Elementen einer Reihe werden die entsprechenden Elemente einer anderen Reihe addiert, multipliziert mit einem beliebigen Faktor.

Diese elementaren Transformationen können auf unterschiedliche Weise angewendet werden. Üblicherweise wird das Gauß-Verfahren oder das Gauß-Jordan-Verfahren gewählt. Im Allgemeinen sind die Gauß- und Gauß-Jordan-Methoden zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen gedacht und nicht zum Auffinden inverser Matrizen. Der Ausdruck „Anwenden des Gauß-Verfahrens zum Finden des Inversen einer Matrix“ sollte hier verstanden werden als „Anwenden der Operationen, die dem Gauß-Verfahren innewohnen, um das Inverse einer Matrix zu finden“.

Die Nummerierung der Beispiele wurde vom ersten Teil an fortgesetzt. In den Beispielen wird die Verwendung des Gauß-Verfahrens zum Auffinden der inversen Matrix betrachtet und in den Beispielen wird die Verwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens analysiert. Es sollte beachtet werden, dass, wenn im Verlauf des Lösens alle Elemente einer bestimmten Zeile oder Spalte der Matrix, die sich vor der Zeile befinden, auf Null gesetzt werden, die inverse Matrix nicht existiert.

Beispiel #5

Finde Matrix $A^(-1)$ wenn $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\richtig)$.

In diesem Beispiel wird die inverse Matrix unter Verwendung der Gaußschen Methode gefunden. Die erweiterte Matrix, die im Allgemeinen die Form $(A|E)$ hat, hat in diesem Beispiel die folgende Form: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Zweck: Mit elementaren Transformationen die erweiterte Matrix auf die Form $\left(E|A^(-1) \right)$ bringen. Wir wenden die gleichen Operationen an, die beim Lösen von linearen Gleichungssystemen nach der Gauß-Methode verwendet werden. Um die Gaußsche Methode anzuwenden, ist es zweckmäßig, wenn das erste Element der ersten Zeile der erweiterten Matrix eins ist. Um dies zu erreichen, vertauschen wir die erste und dritte Zeile der erweiterten Matrix, die zu: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 wird & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

Kommen wir nun zur Lösung. Die Gauß-Methode ist in zwei Stufen unterteilt: Vorwärts und Rückwärts (eine detaillierte Beschreibung dieser Methode zum Lösen von Gleichungssystemen finden Sie in den Beispielen des entsprechenden Themas). Die gleichen zwei Schritte werden beim Prozess des Findens der inversen Matrix angewendet.

Vorwärtshub

Erster Schritt

Mit Hilfe der ersten Zeile setzen wir die Elemente der ersten Spalte zurück, die sich unter der ersten Zeile befinden:

Lassen Sie mich kurz kommentieren, was ich getan habe. Die Schreibweise $II-2\cdot I$ bedeutet, dass die entsprechenden Elemente der ersten Zeile, zuvor mit zwei multipliziert, von den Elementen der zweiten Zeile subtrahiert wurden. Diese Aktion kann wie folgt separat geschrieben werden:

Die Aktion $III-7\cdot I$ wird genauso ausgeführt. Wenn es Schwierigkeiten bei der Durchführung dieser Operationen gibt, können sie separat ausgeführt werden (ähnlich der oben gezeigten Aktion $II-2\cdot I$), und das Ergebnis wird dann in die erweiterte Matrix eingetragen.

Zweiter Schritt

Mit Hilfe der zweiten Zeile setzen wir das Element der zweiten Spalte zurück, das sich unter der zweiten Zeile befindet:

Teilen Sie die dritte Zeile durch 5:

Der Geradeauslauf ist vorbei. Alle Elemente, die sich unterhalb der Hauptdiagonalen der Matrix bis zur Linie befinden, wurden auf Null zurückgesetzt.

Umkehren

Erster Schritt

Mit Hilfe der dritten Reihe setzen wir die Elemente der dritten Spalte zurück, die sich über der dritten Reihe befinden:

Bevor Sie mit dem nächsten Schritt fortfahren, teilen Sie die zweite Zeile durch $7$:

Zweiter Schritt

Mit Hilfe der zweiten Zeile setzen wir die Elemente der zweiten Spalte zurück, die sich über der zweiten Zeile befinden:

Die Transformationen sind abgeschlossen, die inverse Matrix wird nach der Gaußschen Methode gefunden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \right)$. Die Überprüfung kann, falls erforderlich, auf die gleiche Weise wie in den vorherigen Beispielen durchgeführt werden. Wenn Sie alle Erklärungen überspringen, sieht die Lösung folgendermaßen aus:

Antworten: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & ​​​​-27/5 \end(array) \right)$.

Beispiel Nr. 6

Finde Matrix $A^(-1)$ wenn $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.

Um die inverse Matrix in diesem Beispiel zu finden, verwenden wir die gleichen Operationen, die beim Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode verwendet werden. Ausführliche Erklärungen werden in gegeben, aber wir beschränken uns hier auf kurze Kommentare. Schreiben wir die erweiterte Matrix: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Vertausche die erste und vierte Zeile dieser Matrix: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

Vorwärtshub

Vorwärtslauftransformationen sind abgeschlossen. Alle Elemente, die sich unter der Hauptdiagonalen der Matrix links von der Linie befinden, werden auf Null gesetzt.

Umkehren

Gaußsche Inverse gefunden, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ end( Array)\right)$. Die Überprüfung erfolgt, falls erforderlich, auf die gleiche Weise wie in den Beispielen Nr. 2 und Nr. 3.

Antworten: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ rechts)$.

Beispiel Nr. 7

Finde die Matrix $A^(-1)$ wenn $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\richtig)$.

Um die inverse Matrix zu finden, wenden wir die Operationen an, die für das Gauß-Jordan-Verfahren charakteristisch sind. Der Unterschied zum Gaußschen Verfahren, das in den vorherigen Beispielen und betrachtet wurde, besteht darin, dass die Lösung in einem Schritt durchgeführt wird. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Gauß-Methode in zwei Phasen unterteilt ist: die Vorwärtsbewegung („wir machen“ Nullen unter der Hauptdiagonale der Matrix zum Balken) und die Rückwärtsbewegung (wir setzen die Elemente über der Hauptdiagonale der Matrix zurück zu der Bar). Um die inverse Matrix nach dem Gauß-Jordan-Verfahren zu berechnen, sind keine zwei Lösungsstufen erforderlich. Lassen Sie uns zuerst eine erweiterte Matrix erstellen: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & ​​​​-2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Erster Schritt

Setzen Sie alle Elemente der ersten Spalte bis auf eines auf Null. In der ersten Spalte sind alle Elemente ungleich Null, sodass wir ein beliebiges Element auswählen können. Nehmen wir zum Beispiel $(-4)$:

Das ausgewählte Element $(-4)$ befindet sich in der dritten Zeile, also verwenden wir die dritte Zeile, um die ausgewählten Elemente der ersten Spalte auf Null zu setzen:

Lassen Sie uns das erste Element der dritten Zeile gleich eins machen. Dazu dividieren wir die Elemente der dritten Zeile der expandierten Matrix durch $(-4)$:

Beginnen wir nun damit, die entsprechenden Elemente der ersten Spalte auf Null zu setzen:

In weiteren Schritten wird es nicht mehr möglich sein, die dritte Zeile zu verwenden, da wir sie bereits im ersten Schritt angewendet haben.

Zweiter Schritt

Lassen Sie uns ein Element der zweiten Spalte wählen, das nicht Null ist, und alle anderen Elemente der zweiten Spalte auf Null setzen. Wir können zwischen zwei Elementen wählen: $\frac(11)(2)$ oder $\frac(39)(4)$. Das Element $\left(-\frac(5)(4) \right)$ kann nicht ausgewählt werden, da es sich in der dritten Zeile befindet, die wir im vorherigen Schritt verwendet haben. Wählen wir das Element $\frac(11)(2)$ aus, das sich in der ersten Zeile befindet. Ändern wir in der ersten Zeile $\frac(11)(2)$ in eins:

Nun setzen wir die entsprechenden Elemente der zweiten Spalte auf Null:

In der weiteren Begründung kann die erste Zeile nicht verwendet werden.

Dritter Schritt

Es ist notwendig, alle Elemente der dritten Spalte bis auf eines zurückzusetzen. Wir müssen irgendein Nicht-Null-Element der dritten Spalte auswählen. Wir können jedoch nicht $\frac(6)(11)$ oder $\frac(13)(11)$ nehmen, da diese Elemente in der ersten und dritten Zeile stehen, die wir zuvor verwendet haben. Die Auswahl ist klein: Es bleibt nur das Element $\frac(2)(11)$, das in der zweiten Zeile steht. Teilen Sie alle Elemente der zweiten Zeile durch $\frac(2)(11)$:

Nun setzen wir die entsprechenden Elemente der dritten Spalte auf Null:

Transformationen nach dem Gauß-Jordan-Verfahren sind abgeschlossen. Es bleibt nur, die Matrix bis zur Linie zur Einheit zu machen. Dazu müssen Sie die Reihenfolge der Zeilen ändern. Vertauschen Sie zunächst die erste und dritte Zeile:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(array) \right) $$

Lassen Sie uns nun die zweite und dritte Zeile vertauschen:

$$ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right) $$

Also $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Natürlich kann die Lösung auch auf andere Weise durchgeführt werden, indem die Elemente auf der Hauptdiagonalen ausgewählt werden. Normalerweise tun sie genau das, denn in diesem Fall müssen die Leitungen am Ende der Lösung nicht getauscht werden. Ich habe die vorherige Lösung nur zu einem Zweck angegeben: um zu zeigen, dass die Wahl einer Zeile in jedem Schritt nicht grundlegend ist. Wenn wir bei jedem Schritt diagonale Elemente wählen, lautet die Lösung wie folgt.

Matrixalgebra - Inverse Matrix

inverse Matrix

inverse Matrix Es wird eine Matrix genannt, die, wenn sie sowohl rechts als auch links mit einer gegebenen Matrix multipliziert wird, die Identitätsmatrix ergibt.
Bezeichnen Sie die zur Matrix inverse Matrix ABER durch , dann erhalten wir gemäß der Definition:

wo E ist die Identitätsmatrix.
quadratische Matrix genannt nichts Besonderes (nicht entartet), wenn ihre Determinante ungleich Null ist. Ansonsten heißt es Besondere (degenerieren) oder Singular.

Es gibt einen Satz: Jede nichtsinguläre Matrix hat eine inverse Matrix.

Die Operation zum Finden der inversen Matrix wird aufgerufen appellieren Matrizen. Betrachten Sie den Matrixinversionsalgorithmus. Gegeben sei eine nichtsinguläre Matrix n-te Ordnung:

wobei Δ = det EIN ≠ 0.

Komplement der algebraischen Elemente Matrizen n-te Ordnung ABER die Determinante der Matrix ( n–1)-te Ordnung durch Löschen erhalten ich-te Zeile und j-te Spalte der Matrix ABER:

Lassen Sie uns eine sogenannte erstellen angebracht Matrix:

wo sind die algebraischen Komplemente der entsprechenden Elemente der Matrix ABER.
Beachten Sie, dass die algebraischen Komplemente der Zeilenelemente der Matrix ABER werden in die entsprechenden Spalten der Matrix eingetragen à , das heißt, die Matrix wird gleichzeitig transponiert.
Dividieren aller Matrixelemente à auf Δ - der Wert der Determinante der Matrix ABER, erhalten wir als Ergebnis die inverse Matrix:

Wir bemerken eine Reihe besonderer Eigenschaften der inversen Matrix:
1) für eine gegebene Matrix ABER seine inverse Matrix ist der einzige;
2) wenn es eine inverse Matrix gibt, dann rechts rückwärts und links rückwärts Matrizen fallen damit zusammen;
3) eine spezielle (entartete) quadratische Matrix hat keine inverse Matrix.

Die Haupteigenschaften der inversen Matrix:
1) die Determinante der inversen Matrix und die Determinante der ursprünglichen Matrix sind reziprok;
2) Die inverse Matrix des Produkts quadratischer Matrizen ist gleich dem Produkt der inversen Matrizen von Faktoren, in umgekehrter Reihenfolge:

3) die transponierte inverse Matrix ist gleich der inversen Matrix aus der gegebenen transponierten Matrix:

BEISPIEL Berechnen Sie die Inverse der gegebenen Matrix.

Methoden zum Finden der inversen Matrix, . Betrachten Sie eine quadratische Matrix

Bezeichne Δ = det A.

Die quadratische Matrix A heißt nicht entartet, oder nichts Besonderes wenn seine Determinante nicht Null ist, und degenerieren, oder Besondere, wennΔ = 0.

Eine quadratische Matrix B existiert für eine quadratische Matrix A derselben Ordnung, wenn ihr Produkt A B = B A = E ist, wobei E die Identitätsmatrix derselben Ordnung wie die Matrizen A und B ist.

Satz . Damit die Matrix A eine inverse Matrix hat, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Determinante nicht Null ist.

Inverse Matrix zu Matrix A, bezeichnet mit A- 1 also B = A - 1 und errechnet sich aus der Formel

, (1)

wo А i j - algebraische Komplemente der Elemente a i j der Matrix A..

Die Berechnung von A –1 nach Formel (1) für Matrizen höherer Ordnung ist sehr mühsam, daher ist es in der Praxis bequem, A –1 unter Verwendung der Methode der elementaren Transformationen (EP) zu finden. Jede nicht-singuläre Matrix A kann durch die EP von nur Spalten (oder nur Zeilen) auf die Identitätsmatrix E reduziert werden. Wenn die EPs perfekt über der Matrix A in derselben Reihenfolge auf die Identitätsmatrix E angewendet werden, dann ist das Ergebnis eine inverse Matrix. Es ist praktisch, ein EP auf den Matrizen A und E gleichzeitig auszuführen, indem beide Matrizen nebeneinander durch die Linie geschrieben werden. Wir bemerken noch einmal, dass man bei der Suche nach der kanonischen Form einer Matrix Transformationen von Zeilen und Spalten verwenden kann, um sie zu finden. Wenn Sie die inverse Matrix finden müssen, sollten Sie im Transformationsprozess nur Zeilen oder nur Spalten verwenden.

Beispiel 2.10. Für Matrix Finden Sie A -1 .

Lösung.Wir finden zuerst die Determinante der Matrix A
also existiert die inverse Matrix und wir können sie durch die Formel finden: , wobei A i j (i,j=1,2,3) - algebraische Komplemente der Elemente a i j der ursprünglichen Matrix.

Wo .

Beispiel 2.11. Finden Sie mit der Methode der elementaren Transformationen A -1 für die Matrix: A=.

Lösung.Der ursprünglichen Matrix rechts ordnen wir eine Identitätsmatrix gleicher Ordnung zu: . Mit Hilfe elementarer Spaltentransformationen reduzieren wir die linke „Hälfte“ auf die identische und führen gleichzeitig genau solche Transformationen an der rechten Matrix durch.
Vertauschen Sie dazu die erste und zweite Spalte: ~ . Wir addieren die erste zur dritten Spalte und die erste multipliziert mit -2 zur zweiten: . Von der ersten Spalte subtrahieren wir die doppelte Sekunde und von der dritten - die zweite multipliziert mit 6; . Fügen wir die dritte Spalte zur ersten und zweiten hinzu: . Multiplizieren Sie die letzte Spalte mit -1: . Die rechts vom vertikalen Balken erhaltene quadratische Matrix ist die inverse Matrix zur gegebenen Matrix A. Also,
.

Die Matrix $A^(-1)$ heißt Inverse der quadratischen Matrix $A$, wenn $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, wobei $E $ ist die Einheitsmatrix, deren Ordnung gleich der Ordnung der Matrix $A$ ist.

Eine nichtsinguläre Matrix ist eine Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dementsprechend ist eine entartete Matrix eine, deren Determinante gleich Null ist.

Die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert genau dann, wenn die Matrix $A$ nichtsingulär ist. Wenn die inverse Matrix $A^(-1)$ existiert, dann ist sie eindeutig.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Inverse einer Matrix zu finden, und wir werden uns zwei davon ansehen. Auf dieser Seite betrachten wir die Adjungierte-Matrix-Methode, die in den meisten höheren Mathematikkursen als Standard gilt. Der zweite Weg, um die inverse Matrix zu finden (Methode der elementaren Transformationen), die die Verwendung der Gauß-Methode oder der Gauß-Jordan-Methode beinhaltet, wird im zweiten Teil betrachtet.

Adjungierte (Vereinigungs-) Matrixmethode

Gegeben sei die Matrix $A_(n\times n)$. Um die inverse Matrix $A^(-1)$ zu finden, sind drei Schritte erforderlich:

1. Finden Sie die Determinante der Matrix $A$ und stellen Sie sicher, dass $\Delta A\neq 0$, d.h. dass die Matrix A nicht ausgeartet ist.
2. Bilden Sie algebraische Komplemente $A_(ij)$ von jedem Element der Matrix $A$ und schreiben Sie die Matrix $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ aus dem Gefundenen auf algebraische Ergänzungen.
3. Schreiben Sie die inverse Matrix unter Berücksichtigung der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Die Matrix $(A^(*))^T$ wird oft als die adjungierte (gegenseitige, verwandte) Matrix von $A$ bezeichnet.

Wenn die Entscheidung manuell getroffen wird, ist die erste Methode nur für Matrizen relativ kleiner Ordnungen geeignet: second (), Third (), four (). Um die inverse Matrix für eine Matrix höherer Ordnung zu finden, werden andere Verfahren verwendet. Zum Beispiel das Gauß-Verfahren, das im zweiten Teil behandelt wird.

Beispiel 1

Finden Sie die Matrix invers zu Matrix $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Da alle Elemente der vierten Spalte gleich Null sind, ist $\Delta A=0$ (d.h. die Matrix $A$ ist entartet). Da $\Delta A=0$ ist, gibt es keine zu $A$ inverse Matrix.

Beispiel #2

Finde die Matrix invers zur Matrix $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Wir verwenden die Methode der adjungierten Matrix. Lassen Sie uns zuerst die Determinante der gegebenen Matrix $A$ finden:

$$ \Delta A=\links| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Da $\Delta A \neq 0$ existiert, existiert die inverse Matrix, also setzen wir die Lösung fort. Finden von algebraischen Komplementen

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Erstellen Sie eine Matrix aus algebraischen Komplementen: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponieren Sie die resultierende Matrix: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (das Ergebnis Matrix wird oft als adjungierte oder Vereinigungsmatrix zur Matrix $A$ bezeichnet). Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ haben wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Also wird die inverse Matrix gefunden: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \richtig) $. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, genügt es, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Prüfen wir die Gleichheit $A^(-1)\cdot A=E$. Um weniger mit Brüchen zu arbeiten, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ aber als $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array)\right)$:

Antworten: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Beispiel #3

Finde die Umkehrung der Matrix $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Beginnen wir mit der Berechnung der Determinante der Matrix $A$. Die Determinante der Matrix $A$ ist also:

$$ \Delta A=\links| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Da $\Delta A\neq 0$, dann existiert die inverse Matrix, also setzen wir die Lösung fort. Wir finden die algebraischen Komplemente jedes Elements der gegebenen Matrix:

Wir erstellen eine Matrix aus algebraischen Additionen und transponieren sie:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Mit der Formel $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ erhalten wir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Also $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Um die Wahrheit des Ergebnisses zu überprüfen, genügt es, die Wahrheit einer der Gleichungen zu überprüfen: $A^(-1)\cdot A=E$ oder $A\cdot A^(-1)=E$. Prüfen wir die Gleichheit $A\cdot A^(-1)=E$. Um weniger mit Brüchen zu arbeiten, ersetzen wir die Matrix $A^(-1)$ nicht in der Form $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, aber als $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Die Prüfung wurde erfolgreich bestanden, die inverse Matrix $A^(-1)$ wurde korrekt gefunden.

Antworten: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Beispiel Nr. 4

Finden Sie die umgekehrte Matrix von $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Für eine Matrix vierter Ordnung ist es etwas schwierig, die inverse Matrix durch algebraische Additionen zu finden. Solche Beispiele finden sich jedoch in den Kontrollarbeiten.

Um die inverse Matrix zu finden, müssen Sie zuerst die Determinante der Matrix $A$ berechnen. Das geht in dieser Situation am besten, indem man die Determinante in einer Zeile (Spalte) erweitert. Wir wählen eine beliebige Zeile oder Spalte aus und finden das algebraische Komplement jedes Elements der ausgewählten Zeile oder Spalte.