Lassen Sie die Funktion u = f(x,y,z) in einigen Bereichen durchgehend D und hat kontinuierliche partielle Ableitungen in diesem Bereich. Wählen wir einen Punkt im betrachteten Bereich M(x,y,z) und zeichne daraus einen Vektor S, deren Richtungskosinus cosα, cosβ, cosγ sind. Auf dem Vektor S im Abstand Δ s von Anfang an finden wir einen Punkt M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), wo

Lassen Sie uns das vollständige Inkrement der Funktion darstellen f als:

Woher

Nach Division durch Δ s wir bekommen:

Soweit Die vorherige Gleichheit kann umgeschrieben werden als:

Gradient.

Definition Der Grenzwert der Relation at wird aufgerufen Funktion Ableitung u = f(x,y,z) in Richtung des Vektors S und bezeichnet ist.

In diesem Fall erhalten wir aus (1):

(2)

Bemerkung 1. Partielle Ableitungen sind ein Sonderfall der Richtungsableitung. Wann zum Beispiel wir bekommen:

Bemerkung 2. Oben wurde die geometrische Bedeutung der partiellen Ableitungen einer Funktion zweier Variablen als die Steigungskoeffizienten der Tangenten an die Schnittlinien der Oberfläche, die der Graph der Funktion ist, mit den Ebenen definiert x = x 0 und y = y 0. In ähnlicher Weise können wir die Ableitung dieser Funktion nach der Richtung betrachten l am Punkt M(x 0, y 0) als Steigung der Schnittlinie der gegebenen Fläche und der durch den Punkt gehenden Ebene M parallel zur O-Achse z und direkt l.

Definition Ein Vektor, dessen Koordinaten an jedem Punkt einer Fläche die partiellen Ableitungen der Funktion sind u = f(x,y,z) an dieser Stelle wird aufgerufen Gradient Funktionen u = f(x,y,z).

Bezeichnung: grad u = .

Gradienteneigenschaften.

1. Ableitung in Bezug auf die Richtung eines Vektors S entspricht der Projektion des Vektors grad u pro Vektor S . Nachweisen. Richtungsvektor der Einheit S hat die Form es =(cosα, cosβ, cosγ), also ist die rechte Seite der Formel (4.7) das Skalarprodukt der Vektoren grad u und e s , d. h. die angegebene Projektion.

2. Ableitung an einem gegebenen Punkt in Richtung des Vektors S hat den größten Wert gleich |grad u| wenn diese Richtung mit der Richtung des Gradienten übereinstimmt. Nachweisen. Geben Sie den Winkel zwischen den Vektoren an S und grad u durch φ. Dann folgt aus Eigenschaft 1, dass |grad u|∙cosφ, (4.8) hat also seinen Maximalwert bei φ=0 und ist gleich |grad u|.

3. Ableitung in Bezug auf die Richtung eines Vektors senkrecht zum Vektor grad u, gleich Null.

Nachweisen. In diesem Fall gilt in Formel (4.8)

4. Wenn z = f(x,y) eine Funktion zweier Variablen ist, dann grad f= senkrecht zur Nivellierlinie gerichtet f (x, y) = c, diesen Punkt passieren.

Extrema von Funktionen mehrerer Variablen. Eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Hinreichende Bedingung für ein Extremum. Bedingtes Extrem. Methode der Lagrange-Multiplikatoren. Finden der größten und kleinsten Werte.

Bestimmung 1. Punkt M 0 (x 0, y 0) namens Höchstpunkt Funktionen z = f(x, y), Wenn f (x o , y o) > f(x,y) für alle Punkte (x, y) M 0.

Bestimmung 2. Punkt M 0 (x 0, y 0) namens Mindestpunkt Funktionen z = f(x, y), Wenn f (x o , y o) < f(x,y) für alle Punkte (x, y) aus irgendeiner Nachbarschaft des Punktes M 0.

Bemerkung 1. Die maximalen und minimalen Punkte werden aufgerufen Extrempunkte Funktionen mehrerer Variablen.

Bemerkung 2. Der Extrempunkt für eine Funktion beliebig vieler Variablen wird auf ähnliche Weise definiert.

Satz 1(notwendige Extrembedingungen). Wenn ein M 0 (x 0, y 0) ist der Extrempunkt der Funktion z = f(x, y), dann sind an dieser Stelle die partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Funktion gleich Null oder existieren nicht.

Nachweisen.

Lassen Sie uns den Wert der Variablen festlegen beim Zählen y = y 0. Dann die Funktion f(x, y0) wird eine Funktion einer Variablen sein X, wofür x = x 0 ist der Extrempunkt. Daher existiert nach dem Satz von Fermat oder nicht. Die gleiche Behauptung wird für bewiesen.

Bestimmung 3. Man nennt Punkte, die zum Definitionsbereich einer Funktion mehrerer Veränderlicher gehören, an denen die partiellen Ableitungen der Funktion gleich Null sind oder nicht existieren stationäre Punkte diese Funktion.

Kommentar. Somit kann das Extremum nur an stationären Punkten erreicht werden, aber es wird nicht unbedingt an jedem von ihnen beobachtet.

Satz 2(ausreichende Bedingungen für ein Extremum). Lassen Sie eine Umgebung des Punktes ein M 0 (x 0, y 0), was ein stationärer Punkt der Funktion ist z = f(x, y), Diese Funktion hat kontinuierliche partielle Ableitungen bis einschließlich 3. Ordnung. Bezeichne dann:

1) f(x,y) an dem Punkt hat M 0 maximal wenn AC-B² > 0, EIN < 0;

2) f(x,y) an dem Punkt hat M 0 Mindestens wenn AC-B² > 0, EIN > 0;

3) es gibt kein Extremum am kritischen Punkt if AC-B² < 0;

4) wenn AC-B² = 0, zusätzliche Forschung ist erforderlich.

Beispiel. Lassen Sie uns die Extrempunkte der Funktion finden z=x² - 2 x + 2j² + 2 x. Um nach stationären Punkten zu suchen, lösen wir das System . Der stationäre Punkt ist also (-2,-1). Dabei A = 2, BEIM = -2, Mit= 4. Dann AC-B² = 4 > 0, also wird am stationären Punkt ein Extremum erreicht, nämlich das Minimum (da EIN > 0).

Bedingtes Extrem.

Bestimmung 4. Wenn die Funktionsargumente f (x 1 , x 2 ,…, x n) an zusätzliche Bedingungen im Formular gebunden m Gleichungen ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2, …, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2, …, x n) = 0, (1)

wo die Funktionen φ i kontinuierliche partielle Ableitungen haben, werden Gleichungen (1) aufgerufen Verbindungsgleichungen.

Bestimmung 5. Funktionsextremum f (x 1 , x 2 ,…, x n) unter Bedingungen wird (1) aufgerufen bedingtes Extremum.

Kommentar. Wir können die folgende geometrische Interpretation des bedingten Extremums einer Funktion von zwei Variablen anbieten: Lassen Sie die Argumente der Funktion f(x,y) hängen durch die Gleichung φ zusammen (x, y)= 0, wodurch eine Kurve in der Ebene O definiert wird hu. Nach der Wiederherstellung von jedem Punkt dieser Kurve senkrecht zur Ebene O hu vor dem Überqueren der Oberfläche z = f (x, y), wir erhalten eine räumliche Kurve, die auf der Fläche über der Kurve φ liegt (x, y)= 0. Das Problem besteht darin, die Extrempunkte der resultierenden Kurve zu finden, die natürlich im allgemeinen Fall nicht mit den unbedingten Extrempunkten der Funktion zusammenfallen f(x,y).

Definieren wir die notwendigen bedingten Extremumsbedingungen für eine Funktion zweier Veränderlicher, indem wir vorher folgende Definition einführen:

Bestimmung 6. Funktion L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

wo λ ich - einige Konstanten, genannt Lagrange-Funktion, und die Zahlen Ich– unbestimmte Lagrange-Multiplikatoren.

Satz(notwendige bedingte Extrembedingungen). Bedingtes Extremum der Funktion z = f(x,y) in Gegenwart der Nebenbedingungsgleichung φ ( x, y)= 0 kann nur an stationären Punkten der Lagrange-Funktion erreicht werden L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Betrachten Sie die Funktion u(x, y, z) am Punkt Ì(x, y, z) und am Punkt Ì 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Zeichnen wir einen Vektor durch die Punkte M und M 1 . Die Neigungswinkel dieses Vektors zur Richtung der Koordinatenachsen x, y, z werden mit a, b bzw. g bezeichnet. Die Kosinusse dieser Winkel werden genannt Richtung Kosinus Vektor .

Der Abstand zwischen den Punkten M und M 1 auf dem Vektor wird mit DS bezeichnet.

wobei die Größen e 1 , e 2 , e 3 bei unendlich klein sind.

Aus geometrischen Überlegungen ist klar:

Somit können die obigen Gleichungen wie folgt dargestellt werden:

Beachten Sie, dass s ein Skalarwert ist. Es bestimmt nur die Richtung des Vektors.

Aus dieser Gleichung folgt die folgende Definition:

Die Grenze wird aufgerufen Ableitung der Funktion u(x, y, z) in Richtung des Vektors am Punkt mit Koordinaten (x, y, z).

Lassen Sie uns die Bedeutung der obigen Gleichungen anhand eines Beispiels erläutern.

Beispiel 9.1. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion z \u003d x 2 + y 2 x am Punkt A (1, 2) in Richtung des Vektors. Bei (3, 0).

Entscheidung. Zunächst müssen die Koordinaten des Vektors bestimmt werden.

Wir finden die partiellen Ableitungen der Funktion z in allgemeiner Form:

Die Werte dieser Größen am Punkt A:

Um die Richtungskosinusse des Vektors zu finden, führen wir die folgenden Transformationen durch:

=

Als Wert wird ein beliebiger Vektor genommen, der entlang eines gegebenen Vektors gerichtet ist, d.h. Bestimmung der Differenzierungsrichtung.

Von hier erhalten wir die Werte der Richtungskosinusse des Vektors:

cosa = ; cosb=-

Schließlich erhalten wir: - der Wert der Ableitung der gegebenen Funktion in Richtung des Vektors .

Wenn eine Funktion u = u(x, y, z) in einem Bereich D und einem Vektor gegeben ist, dessen Projektionen auf die Koordinatenachsen gleich den Werten der Funktion u am entsprechenden Punkt sind

,

dann wird dieser Vektor aufgerufen Gradient Funktionen u.

In diesem Fall sagen wir, dass im Bereich D ein Gradientenfeld gegeben ist.

Satz: Gegeben seien die Funktion u = u(x, y, z) und das Gradientenfeld

.

Dann ist die Ableitung in Bezug auf die Richtung eines Vektors gleich der Projektion des Vektors gradu auf den Vektor .

Nachweisen: Betrachten Sie einen Einheitsvektor und eine Funktion u = u(x, y, z) und finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren und Grad.

Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichheit ist die Ableitung der Funktion u in Richtung s.

Jene. . Wenn der Winkel zwischen den Vektoren Grad und mit j bezeichnet, dann kann das Skalarprodukt als Produkt der Module dieser Vektoren und des Kosinus des Winkels zwischen ihnen geschrieben werden. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Vektor eine Einheit ist, d.h. sein Modul gleich eins ist, können wir schreiben:

Der Ausdruck auf der rechten Seite dieser Gleichheit ist die Projektion des Vektors grad u zum Vektor.

Der Satz ist bewiesen.

Um die geometrische und physikalische Bedeutung des Gradienten zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass der Gradient ein Vektor ist, der die Richtung der schnellsten Änderung eines Skalarfeldes u an einem bestimmten Punkt anzeigt. In der Physik gibt es Konzepte wie Temperaturgradient, Druckgradient usw. Jene. die Richtung des Gradienten ist die Richtung des schnellsten Wachstums der Funktion.

In geometrischer Darstellung steht der Gradient senkrecht auf der ebenen Fläche der Funktion.

1) Der Fall einer Funktion von zwei Variablen. Die Richtung wird durch einen Vektor angegeben. Wir wählen einen Einheitsvektor, der die Richtung auf der Ebene angibt: . Dieser Vektor bildet einen Winkel mit der positiven Richtung der OX-Achse. Die Richtungsableitung einer Funktion zweier Variablen heißt Ausdruck .

2) Der Fall einer Funktion von drei Variablen. Gegeben sei ein Einheitsvektor, der mit den Achsen OX, OY bzw. OZ Winkel bildet. Wenn wir die Koordinaten des Vektors als bezeichnen, dann erhalten wir durch die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren und . Ebenfalls, . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, der Einheitsvektor, der Winkel mit den Achsen OX, OY und OZ bildet, hat die Koordinaten . Die Richtungsableitung einer Funktion von drei Variablen heißt Ausdruck

.

Definition.Gradient Funktionen werden normalerweise als Vektor bezeichnet . Aus diesem Grund kann die Ableitung einer Funktion in der durch den Einheitsvektor gegebenen Richtung durch die Formel berechnet werden , wobei rechts in der Formel das Skalarprodukt aus der Steigung der Funktion und dem Einheitsrichtungsvektor steht.

Die Haupteigenschaft des Farbverlaufs: Unter allen möglichen Richtungen nimmt die Ableitung in Richtung den größten und positiven Wert in Richtung des Gradienten an. Diese Eigenschaft folgt aus der Definition des Skalarprodukts. Da die Positivität der Ableitung das Wachstum der Funktion bedeutet, die Richtung des Gradienten am Punkt ist ϶ᴛᴏ die Richtung des größten Wachstums der Funktion.

Partielle Ableitungen höherer Ordnungen.

Jede partielle Ableitung einer Funktion von Variablen selbst ist auch eine Funktion von Variablen. Die partielle Ableitung der partiellen Ableitung einer Funktion vieler Variablen heißt partielle Ableitung zweiter Ordnung Funktionen . Wenn in diesem Fall die Variablen, nach denen die Ableitungen zuerst aus der Funktion und dann aus der Funktion genommen werden, nicht übereinstimmen, wird eine solche partielle Ableitung üblicherweise als gemischt bezeichnet. Partielle Ableitungsnotation zweiter Ordnung: . Für den Fall, dass und an diesem Punkt stetige Funktionen in einer Nachbarschaft sind.

Ebenso werden partielle Ableitungen beliebiger Ordnung eingeführt.

BEISPIEL
Gehostet auf ref.rf
Finden von Funktion . Wir haben
.

Um dieselbe Ableitung mit MAXIMs zu berechnen, verwenden wir den Befehl diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

Differentiale höherer Ordnung.

In Analogie zu Ableitungen werden Differentiale höherer Ordnung eingeführt, dh Differentiale von Differentialen. Betrachten Sie eine Funktion von drei Variablen. Das Differential dieser Funktion ist der Ausdruck . Beachten Sie, dass die im letzten Ausdruck enthaltenen Ableitungen Funktionen von sind und die Differentiale der Variablen nicht von abhängen. Aus diesem Grund hat das Differential zweiter Ordnung unter der Bedingung der Stetigkeit gemischter Ableitungen die Form

In der letzten Formel haben wir die Gleichheitseigenschaft gemischter Ableitungen verwendet. Es ist leicht zu sehen, dass die Formel für das Differential zweiter Ordnung ähnlich der Formel für den zweiten Grad der Summe von drei Termen ist. Es ist nicht schwierig, die Differentiale zweiter und dritter Ordnung der Funktion zweier Variablen zu berechnen:

Eine Übung. Finden für die Funktion am Punkt (1,1).

Taylorformel für eine Funktion vieler Variablen.

Wie im Fall von Funktionen einer Variablen gibt die Taylor-Formel für Funktionen vieler Variablen die Beziehung zwischen dem Inkrement einer Funktion an einem Punkt und ihren Differentialen am selben Punkt an:

wo .

Insbesondere gilt für eine Funktion von zwei Variablen:

Hier .

Richtungsableitung. - Konzept und Typen. Klassifizierung und Merkmale der Kategorie "Richtungsableitung". 2017, 2018.

- Richtungsableitung. Gradient. Zusammenhang zwischen Steigung und Richtungsableitung.

Betrachten Sie die Funktion u(x, y, z) am Punkt Ì(x, y, z) und am Punkt Ì1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Zeichnen wir einen Vektor durch die Punkte M und M1. Die Neigungswinkel dieses Vektors zur Richtung der Koordinatenachsen x, y, z werden mit a, b bzw. g bezeichnet. Die Kosinusse dieser Winkel heißen Richtungskosinusse des Vektors. ... .

- Richtungsableitung

Betrachten Sie die Funktion u(x, y, z) am Punkt Ì(x, y, z) und am Punkt Ì1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). Zeichnen wir einen Vektor durch die Punkte M und M1. Die Neigungswinkel dieses Vektors zur Richtung der Koordinatenachsen x, y, z werden mit a, b bzw. g bezeichnet. Die Kosinusse dieser Winkel heißen Richtungskosinusse des Vektors. ... .

Eine wichtige Eigenschaft des skalaren Feldes U(M) ist die Änderungsgeschwindigkeit der Feldfunktion in der angegebenen Richtung. Wenn diese Richtung mit der Richtung einer der Koordinatenachsen übereinstimmt, erhalten wir den Wert der entsprechenden partiellen Ableitung. Aus der Vektoralgebra... .

- Richtungsableitung. Gradient.

Die Funktion U = F (X, Y, Z) sei in einem Bereich D stetig und habe in diesem Bereich stetige partielle Ableitungen. Wir wählen einen Punkt M(X,Y,Z) im betrachteten Bereich und zeichnen daraus einen Vektor S, dessen Richtungskosinusse cosA, cosB, cosG sind. Auf dem Vektor S im Abstand DS von seinem Ursprung... .

- Thema 11. Ableitung in Richtung. Gradient

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt entlang der Richtung wird Grenzwert genannt, wenn der Grenzwert existiert. Wenn die Funktion differenzierbar ist, dann wird die Richtungsableitung durch die Formel (1) berechnet, wobei die Richtungskosinusse des Vektors sind. Insbesondere wenn es eine Funktion von zwei Variablen ist,... .

- Richtungsableitung. Gradient

skalares Feld. Ebene Flächen. ELEMENTE DER MATHEMATISCHEN FELDTHEORIE Hauptetappen in der Entwicklung der mathematischen Physik Die mathematische Physik entstand als eigenständige Wissenschaft im späten 18. und frühen 19. Jahrhundert. Es ist in diesem ...

Wir führten das Konzept einer partiellen Ableitung einer Funktion vieler Variablen ein, indem wir die Variablen einzeln inkrementierten und alle anderen Argumente unverändert ließen. Insbesondere wenn wir eine Funktion zweier Variablen z = f(x, y) betrachten, dann wurde entweder der Variablen x ein Inkrement Δx gegeben, und dann gab es im Definitionsbereich der Funktion einen Übergang von einem Punkt mit den Koordinaten (x , y) zu einem Punkt mit den Koordinaten (x + Δx ;y); oder die Variable y erhielt ein Inkrement Δy, und dann gab es im Definitionsbereich der Funktion einen Übergang von einem Punkt mit den Koordinaten (x, y) zu einem Punkt mit den Koordinaten (x; y + Δy) (siehe Abbildung 5.6). Somit bewegte sich der Punkt, an dem wir die partielle Ableitung der Funktion nahmen, in Richtungen parallel zu den Koordinatenachsen auf der Ebene (entweder parallel zur Abszissenachse oder parallel zur Ordinatenachse). Betrachten wir nun den Fall, dass die Richtung beliebig gewählt werden kann, d.h. Inkremente werden mehreren Variablen gleichzeitig gegeben. Im Fall einer Funktion mit zwei Variablen bewegen wir uns zum Punkt (x + Δx; y + Δy), während die Verschiebung Δ ist l(siehe Abbildung 5.6).

Bei Bewegung in diese Richtung erhält die Funktion z ein Inkrement Δ l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), genannt das Inkrement der Funktion z in der gegebenen Richtung l.

Ableitung z l` in Richtung l Funktionen zweier Variablen
z = f(x,y) ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion in dieser Richtung zum Betrag der Verschiebung Δ l wenn letzteres gegen Null geht, d.h. .

Ableitung z l` charakterisiert die Änderungsgeschwindigkeit der Funktion in Richtung l.

Das Konzept der gerichteten Ableitung kann auf Funktionen mit einer beliebigen Anzahl von Variablen verallgemeinert werden.

Abbildung 5.6 - Verschieben eines Punktes in die Richtung l

Es lässt sich nachweisen, dass z l` = z x `cos α + z y `cos β, wobei α und β die Winkel sind, die die Bewegungsrichtung des Punktes mit den Koordinatenachsen bildet (siehe Abbildung 5.6).

Lassen Sie uns zum Beispiel die Ableitung der Funktion z = ln (x 2 + xy) an dem Punkt finden
(3; 1) in der Richtung von diesem Punkt zum Punkt (6; -3) (siehe Abbildung 5.7).

Finde dazu zunächst die partiellen Ableitungen dieser Funktion an der Stelle (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3). *1) = 7 /12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4.

Beachten Sie, dass Δx = 6 – 3 = 3; Δy \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. Dann ist cos α = 3/5; cosβ = -4/5; z l` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20.

Funktionsgradient

Aus einem Schulmathematikkurs ist bekannt, dass ein Vektor auf einer Ebene eine gerichtete Strecke ist. Sein Anfang und sein Ende haben zwei Koordinaten. Die Vektorkoordinaten werden berechnet, indem die Startkoordinaten von den Endkoordinaten subtrahiert werden.

Das Konzept eines Vektors kann auch auf einen n-dimensionalen Raum erweitert werden (statt zwei Koordinaten gibt es n Koordinaten).

Gradient grad z der Funktion z = f(х 1 , х 2 , …х n) ist der Vektor der partiellen Ableitungen der Funktion an dem Punkt, d.h. Vektor mit Koordinaten .

Es kann bewiesen werden, dass die Steigung einer Funktion die Richtung des schnellsten Anstiegs des Niveaus der Funktion an einem Punkt charakterisiert.

Beispielsweise hat für die Funktion z \u003d 2x 1 + x 2 (siehe Abbildung 5.8) der Gradient an jedem Punkt Koordinaten (2; 1). Es kann auf verschiedene Weise auf einer Ebene aufgebaut werden, wobei jeder Punkt als Anfang des Vektors genommen wird. Beispielsweise können Sie Punkt (0; 0) mit Punkt (2; 1) oder Punkt (1; 0) mit Punkt (3; 1) oder Punkt (0; 3) mit Punkt (2; 4) verbinden. oder t .P. (siehe Abbildung 5.8). Alle auf diese Weise konstruierten Vektoren haben die Koordinaten (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Abbildung 5.8 zeigt deutlich, dass das Niveau der Funktion in Richtung des Gradienten wächst, da die konstruierten Niveaulinien den Niveauwerten 4 > 3 > 2 entsprechen.

Abbildung 5.8 - Gradientenfunktion z \u003d 2x 1 + x 2

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel – die Funktion z = 1/(x 1 x 2). Die Steigung dieser Funktion wird an verschiedenen Stellen nicht mehr immer gleich sein, da ihre Koordinaten durch die Formeln (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)) bestimmt sind.

Abbildung 5.9 zeigt die Niveaulinien der Funktion z = 1 / (x 1 x 2) für die Niveaus 2 und 10 (die Gerade 1 / (x 1 x 2) = 2 ist gestrichelt dargestellt, die Gerade
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - durchgezogene Linie).

Abbildung 5.9 - Gradienten der Funktion z \u003d 1 / (x 1 x 2) an verschiedenen Punkten

Nehmen Sie zum Beispiel den Punkt (0,5; 1) und berechnen Sie den Gradienten an diesem Punkt: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Beachten Sie, dass der Punkt (0,5; 1) auf der Niveaulinie 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 liegt, weil z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. To Um den Vektor (-4; -2) in Abbildung 5.9 darzustellen, verbinden wir den Punkt (0,5; 1) mit dem Punkt (-3,5; -1), weil
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Nehmen wir einen anderen Punkt auf derselben Höhenlinie, zum Beispiel Punkt (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Berechnen Sie die Steigung an dieser Stelle
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Um es in Abbildung 5.9 darzustellen, verbinden wir den Punkt (1; 0,5) mit dem Punkt (-1; -3,5), denn (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Nehmen wir noch einen Punkt auf der gleichen Höhenlinie, aber nur jetzt in einem kraftschlüssigen Koordinatenviertel. Beispiel: Punkt (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Der Gradient an dieser Stelle wird sein
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Stellen wir es in Abbildung 5.9 dar, indem wir den Punkt (-0,5; -1) mit dem Punkt (3,5; 1) verbinden, denn (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

Es sei darauf hingewiesen, dass in allen drei betrachteten Fällen der Gradient die Wachstumsrichtung des Niveaus der Funktion zeigt (in Richtung der Niveaulinie 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Es kann bewiesen werden, dass die Steigung immer senkrecht zur Nivellierlinie (Niveaufläche) steht, die durch den gegebenen Punkt verläuft.

skalares Feld ein Teil des Raumes (oder der ganze Raum) genannt, jeder Punkt, der dem numerischen Wert einer skalaren Größe entspricht.

Beispiele

Ein Körper, der an jedem Punkt einen bestimmten Temperaturwert hat, ist ein Skalarfeld.

Ein inhomogener Körper, dessen jeder Punkt einer bestimmten Dichte entspricht - ein skalares Dichtefeld.

In all diesen Fällen hängt der Skalarwert U nicht von der Zeit ab, sondern von der Position (Koordinaten) des Punktes M im Raum, dh er ist eine Funktion von drei Variablen, heißt es Feldfunktion. Und umgekehrt jede Funktion von drei Variablen u=f(x,y,z) definiert ein Skalarfeld.

Die planare Skalarfeldfunktion hängt von zwei Variablen ab z=f(x, y).

Betrachten Sie ein Skalarfeld u=f(x,y,z).

Ein Vektor, dessen Koordinaten die partiellen Ableitungen einer an einem bestimmten Punkt berechneten Funktion sind, wird aufgerufen Gradient Funktion an diesem Punkt oder der Gradient des Skalarfeldes.

Betrachten Sie einen Vektor mit zwei Punkten darauf M 0 (x 0 , y 0 , z 0) und . Lassen Sie uns das Inkrement der Funktion in der Richtung finden:

Richtungsableitung das nächste Limit wird aufgerufen, falls es existiert:

wo sind die Richtungskosinusse des Vektors ; α, β, γ sind die Winkel, die der Vektor mit den Koordinatenachsen bildet, wenn .

Für eine Funktion mit zwei Variablen haben diese Formeln die Form:

oder ,

als .

Es besteht eine Beziehung zwischen dem Gradienten und der Richtungsableitung am gleichen Punkt.

Satz. Das Skalarprodukt des Gradienten einer Funktion und eines Vektors einer bestimmten Richtung ist gleich der Ableitung der gegebenen Funktion in Richtung dieses Vektors:

.

Folge. Die Ableitung nach der Richtung hat den größten Wert, wenn diese Richtung mit der Richtung des Gradienten zusammenfällt (begründen Sie sich mit der Definition des Skalarprodukts und nehmen Sie an, dass ).

Ergebnisse:

1. Ein Gradient ist ein Vektor, der die Richtung des größten Anstiegs der Funktion an einem bestimmten Punkt zeigt und einen Modul hat, der numerisch gleich der Rate dieses Anstiegs ist:

.

2. Die Richtungsableitung ist die Änderungsrate der Funktion in Richtung: wenn , dann nimmt die Funktion in dieser Richtung zu, wenn , dann nimmt die Funktion ab.

3. Wenn der Vektor mit einem der Vektoren zusammenfällt, dann fällt die Ableitung in Richtung dieses Vektors mit der entsprechenden partiellen Ableitung zusammen.

Zum Beispiel, wenn , dann .

Beispiel

Gegeben eine Funktion , Punkt A(1, 2) und Vektor.

Finden: 1) ;

Entscheidung

1) Finde die partiellen Ableitungen der Funktion und berechne sie am Punkt A.

, .

Dann .

2) Finden Sie die Richtungskosinusse des Vektors:

Antworten: ; .

Literatur [ 1,2]

Fragen zur Selbstprüfung:

1. Was nennt man eine Funktion zweier Variablen, ihren Definitionsbereich?

2. Wie werden partielle Ableitungen bestimmt?

3. Welche geometrische Bedeutung haben partielle Ableitungen?

4. Wie nennt man den Gradienten eines Skalarfeldes an einem gegebenen Punkt?

5. Was wird als Richtungsableitung bezeichnet?

6. Formulieren Sie die Regeln zum Finden der Extrema einer Funktion zweier Variablen.

Variante 1

Aufgabe Nummer 1

a) ; b) ;

in) ; G) .

Aufgabe Nummer 2 Untersuchen Sie eine Funktion auf Kontinuität: Finden Sie Haltepunkte der Funktion und bestimmen Sie ihren Typ. Erstellen Sie einen schematischen Graphen der Funktion.

Aufgabennummer Gegeben sei eine komplexe Zahl Z. Erforderlich: Schreibe die Zahl Z in algebraischer und trigonometrischer Form. .

Aufgabe Nummer 4.

1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) .

Aufgabe Nummer 5. Untersuchen Sie die Funktion mit den Methoden der Differentialrechnung und erstellen Sie mit den Ergebnissen der Studie einen Graphen. .

Aufgabe Nummer 6. Gegeben sei die Funktion z=f(x,y). Prüfen Sie, ob die Identität F≡0 erfüllt ist?

Aufgabe Nummer 7 Gegeben eine Funktion Z=x2+xy+y2, Punkt und Vektor . Finden:

1) gradz am Punkt SONDERN;

2) Ableitung an einem Punkt SONDERN in Richtung des Vektors .

Option 2

Aufgabe Nummer 1 Berechnen Sie die Grenzen von Funktionen, ohne die Regel von L'Hopital zu verwenden.

a) ; b) ;

in) ; G) .

Aufgabe Nummer 2 Untersuchen Sie eine Funktion auf Kontinuität: Finden Sie Haltepunkte der Funktion und bestimmen Sie ihren Typ. Erstellen Sie einen schematischen Graphen der Funktion.

Aufgabe Nummer 3 Gegeben sei eine komplexe Zahl Z. Erforderlich: Schreibe die Zahl Z in algebraischer und trigonometrischer Form.

Aufgabe Nummer 4. Finden Sie die Ableitungen erster Ordnung dieser Funktionen.