Brüche begegnen uns im Leben viel früher, als sie in der Schule zu lernen beginnen. Wenn Sie einen ganzen Apfel halbieren, erhalten wir ein Stück Obst - ½. Schneiden Sie es erneut - es wird ¼ sein. Das sind Brüche. Und alles, so scheint es, ist einfach. Für einen Erwachsenen. Für ein Kind (und es fängt am Ende der Grundschule an, sich mit diesem Thema zu beschäftigen) sind abstrakte mathematische Konzepte noch erschreckend unverständlich, und der Lehrer muss auf verständliche Weise erklären, was ein echter Bruch und ein unechter, gewöhnlicher und dezimaler Bruch sind, was Operationen sind mit ihnen durchgeführt werden können und vor allem, warum das alles nötig ist.
Was sind Brüche
Die Bekanntschaft mit einem neuen Thema in der Schule beginnt mit gewöhnlichen Brüchen. Sie sind leicht an der horizontalen Linie zu erkennen, die die beiden Zahlen - oben und unten - trennt. Das obere heißt Zähler, das untere Nenner. Es gibt auch eine Kleinschreibung von unechten und echten gewöhnlichen Brüchen - durch einen Schrägstrich, zum Beispiel: ½, 4/9, 384/183. Diese Option wird verwendet, wenn die Zeilenhöhe begrenzt ist und es nicht möglich ist, die "zweistöckige" Form des Eintrags anzuwenden. Wieso den? Ja, weil es bequemer ist. Etwas später werden wir dies überprüfen.
Neben gewöhnlichen Brüchen gibt es auch Dezimalbrüche. Es ist sehr einfach, zwischen ihnen zu unterscheiden: Wenn in einem Fall ein horizontaler oder Schrägstrich verwendet wird, dann in dem anderen - ein Komma, das Zahlenfolgen trennt. Sehen wir uns ein Beispiel an: 2.9; 163,34; 1.953. Wir haben bewusst das Semikolon als Trennzeichen verwendet, um die Zahlen abzugrenzen. Der erste von ihnen wird so gelesen: "zwei ganze, neun Zehntel".
Neue Konzepte
Gehen wir zurück zu gewöhnlichen Brüchen. Sie sind von zwei Arten.
Die Definition eines echten Bruchs ist wie folgt: Es ist ein solcher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist. Warum ist es wichtig? Jetzt werden wir sehen!
Sie haben mehrere Äpfel in Hälften geschnitten. Insgesamt - 5 Teile. Wie sagt man: Sie haben „zweieinhalb“ oder „fünf Sekunden“ Äpfel? Natürlich klingt die erste Option natürlicher, und wenn wir uns mit Freunden unterhalten, werden wir sie verwenden. Aber wenn Sie berechnen müssen, wie viel Obst jeder bekommt, wenn es fünf Personen in der Firma gibt, schreiben wir die Zahl 5/2 auf und teilen sie durch 5 - aus mathematischer Sicht wird dies klarer.
Für die Benennung von echten und unechten Brüchen gilt also: Wenn in einem Bruch ein ganzzahliger Teil (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) unterschieden werden kann, dann ist er falsch. Wenn dies nicht möglich ist, wie im Fall von ½, 13/16, 9/10, ist es richtig.
Grundlegende Eigenschaft eines Bruchs
Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs gleichzeitig mit derselben Zahl multipliziert oder dividiert werden, ändert sich sein Wert nicht. Stellen Sie sich vor: Der Kuchen wurde in 4 gleiche Teile geschnitten und Sie haben einen bekommen. Derselbe Kuchen wurde in acht Stücke geschnitten und dir zwei gegeben. Ist das nicht alles dasselbe? Schließlich sind ¼ und 2/8 dasselbe!
Die Ermäßigung
Autoren von Aufgaben und Beispielen in Mathematiklehrbüchern versuchen oft, Schüler zu verwirren, indem sie Brüche anbieten, die umständlich zu schreiben sind und tatsächlich gekürzt werden können. Hier ist ein Beispiel für einen echten Bruch: 167/334, was, wie es scheint, sehr "beängstigend" aussieht. Aber tatsächlich können wir es als ½ schreiben. Die Zahl 334 ist ohne Rest durch 167 teilbar - nach dieser Operation erhalten wir 2.
gemischte Zahlen
Ein unechter Bruch kann als gemischte Zahl dargestellt werden. Dies ist, wenn der gesamte Teil nach vorne gebracht und auf der Höhe der horizontalen Linie geschrieben wird. Tatsächlich hat der Ausdruck die Form einer Summe: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 und so weiter.
Um den ganzen Teil herauszunehmen, musst du den Zähler durch den Nenner dividieren. Schreibe den Rest der Division über die Linie und den ganzen Teil vor den Ausdruck. So erhalten wir zwei Strukturteile: ganze Einheiten + echter Bruch.
Sie können auch die umgekehrte Operation durchführen - dazu müssen Sie den ganzzahligen Teil mit dem Nenner multiplizieren und den resultierenden Wert zum Zähler addieren. Nichts kompliziertes.
Multiplikation und Division
Seltsamerweise ist das Multiplizieren von Brüchen einfacher als das Addieren. Es muss lediglich die horizontale Linie verlängert werden: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
Bei der Division ist auch alles einfach: Sie müssen die Brüche kreuzweise multiplizieren: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.
Addition von Brüchen
Was ist, wenn Sie eine Addition durchführen müssen oder wenn sie unterschiedliche Zahlen im Nenner haben? Es wird nicht so funktionieren wie bei der Multiplikation - hier sollte man die Definition eines echten Bruchs und sein Wesen verstehen. Es ist notwendig, die Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, dh in beiden Brüchen sollten am Ende die gleichen Zahlen erscheinen.
Dazu solltest du dir die Grundeigenschaft eines Bruchs zunutze machen: beide Teile mit derselben Zahl multiplizieren. Zum Beispiel 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Wie wählt man aus, auf welchen Nenner man die Terme bringt? Dies muss das kleinste Vielfache beider Nenner sein: für 1/3 und 1/9 ist es 9; für ½ und 1/7 - 14, weil es keinen kleineren Wert gibt, der ohne Rest durch 2 und 7 teilbar ist.
Verwendungszweck
Wozu gibt es unechte Brüche? Schließlich ist es viel bequemer, sofort das ganze Teil auszuwählen, eine gemischte Nummer zu erhalten - und das war's! Es stellt sich heraus, dass es rentabler ist, die falschen zu verwenden, wenn Sie zwei Brüche multiplizieren oder dividieren müssen.
Nehmen wir folgendes Beispiel: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Es scheint, dass es überhaupt nichts zu schneiden gibt. Was aber, wenn wir das Ergebnis der Addition in die erste Klammer als unechten Bruch schreiben? Schau mal: (37/17) / (37/68)
Jetzt passt alles! Schreiben wir das Beispiel so, dass alles klar wird: (37 * 68) / (17 * 37).
Lassen Sie uns die 37 im Zähler und Nenner kürzen und zum Schluss den oberen und den unteren Teil durch 17 teilen. Erinnern Sie sich an die Grundregel für echte und unechte Brüche? Wir können sie mit einer beliebigen Zahl multiplizieren und dividieren, solange wir dies für Zähler und Nenner gleichzeitig tun.
Wir erhalten also die Antwort: 4. Das Beispiel sah kompliziert aus und die Antwort enthält nur eine Ziffer. Das passiert oft in der Mathematik. Die Hauptsache ist, keine Angst zu haben und einfache Regeln zu befolgen.
Häufige Fehler
Beim Üben kann dem Schüler leicht einer der beliebten Fehler unterlaufen. Normalerweise treten sie aufgrund von Unaufmerksamkeit auf und manchmal aufgrund der Tatsache, dass das untersuchte Material noch nicht richtig im Kopf abgelegt wurde.
Oft weckt die Summe der Zahlen im Zähler den Wunsch, seine einzelnen Bestandteile zu reduzieren. Angenommen, im Beispiel: (13 + 2) / 13, geschrieben ohne Klammern (mit einem horizontalen Strich), streichen viele Schüler aus Unerfahrenheit 13 von oben und unten durch. Das sollte man aber auf keinen Fall machen, denn das ist ein grober Fehler! Wenn statt der Addition ein Multiplikationszeichen stünde, bekämen wir als Antwort die Zahl 2. Beim Addieren sind aber keine Operationen mit einem der Terme erlaubt, sondern nur mit der gesamten Summe.
Kinder machen oft Fehler beim Dividieren von Brüchen. Nehmen wir zwei reguläre irreduzible Brüche und teilen sie durcheinander: (5/6) / (25/33). Der Schüler kann den resultierenden Ausdruck verwirren und als (5*25) / (6*33) schreiben. Aber das wäre bei einer Multiplikation passiert, und in unserem Fall wird alles ein bisschen anders sein: (5 * 33) / (6 * 25). Wir reduzieren, was möglich ist, und in der Antwort sehen wir 11/10. Wir schreiben den resultierenden unechten Bruch als Dezimalzahl - 1,1.
Klammern
Denken Sie daran, dass in jedem mathematischen Ausdruck die Reihenfolge der Operationen durch den Vorrang der Operationszeichen und das Vorhandensein von Klammern bestimmt wird. Bei ansonsten gleichen Bedingungen wird die Reihenfolge der Aktionen von links nach rechts gezählt. Dies gilt auch für Brüche – der Ausdruck im Zähler oder Nenner wird streng nach dieser Regel berechnet.
Es ist das Ergebnis der Division einer Zahl durch eine andere. Wenn sie sich nicht vollständig teilen, stellt sich ein Bruchteil heraus - das ist alles.
Wie schreibe ich einen Bruch auf einem Computer?
Da es mit Standardwerkzeugen nicht immer möglich ist, einen Bruch aus zwei "Ebenen" zu erstellen, greifen Schüler manchmal zu verschiedenen Tricks. Sie kopieren beispielsweise Zähler und Nenner in den Paint-Editor und kleben sie zusammen, indem sie eine horizontale Linie zwischen ihnen ziehen. Natürlich gibt es auch eine einfachere Option, die übrigens auch viele zusätzliche Funktionen bietet, die Ihnen in Zukunft nützlich sein werden.
Öffnen Sie Microsoft Word. Eines der Bedienfelder oben auf dem Bildschirm heißt "Einfügen" - klicken Sie darauf. Rechts neben den Symbolen zum Schließen und Minimieren des Fensters befindet sich ein Formel-Button. Genau das brauchen wir!
Wenn Sie diese Funktion verwenden, erscheint auf dem Bildschirm ein rechteckiger Bereich, in dem Sie beliebige mathematische Symbole verwenden können, die auf der Tastatur nicht verfügbar sind, sowie Brüche in der klassischen Form schreiben. Das heißt, Zähler und Nenner durch eine horizontale Linie trennen. Sie werden vielleicht sogar überrascht sein, dass ein so echter Bruch so einfach aufzuschreiben ist.
Mathe lernen
Wenn Sie in die 5. bis 6. Klasse gehen, werden in vielen Schulfächern bald mathematische Kenntnisse (einschließlich der Fähigkeit, mit Brüchen zu arbeiten!) erforderlich sein. Bei fast allen Aufgaben in der Physik, bei der Massenmessung von Stoffen in der Chemie, in der Geometrie und Trigonometrie kann auf Brüche nicht verzichtet werden. Bald werden Sie lernen, alles in Ihrem Kopf zu berechnen, ohne auch nur Ausdrücke auf Papier zu schreiben, aber es werden immer komplexere Beispiele auftauchen. Lernen Sie daher, was ein echter Bruch ist und wie man damit arbeitet, halten Sie sich an den Lehrplan, machen Sie Ihre Hausaufgaben rechtzeitig, und dann werden Sie Erfolg haben.
Dieser Artikel ist über gemeinsame Brüche. Hier machen wir uns mit dem Konzept eines Bruchteils eines Ganzen vertraut, was uns zur Definition eines gewöhnlichen Bruchs führt. Als nächstes werden wir uns mit der akzeptierten Notation für gewöhnliche Brüche befassen und Beispiele für Brüche geben, beispielsweise über den Zähler und den Nenner eines Bruchs. Danach geben wir Definitionen von richtigen und falschen, positiven und negativen Brüchen und betrachten auch die Position von Bruchzahlen auf dem Koordinatenstrahl. Abschließend listen wir die Hauptaktionen mit Brüchen auf.
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Anteile am Ganzen
Zuerst stellen wir vor Share-Konzept.
Nehmen wir an, wir haben ein Objekt, das aus mehreren absolut identischen (d. h. gleichen) Teilen besteht. Zur Verdeutlichung können Sie sich zum Beispiel einen Apfel vorstellen, der in mehrere gleiche Teile geschnitten ist, oder eine Orange, die aus mehreren gleichen Scheiben besteht. Jeder dieser gleichen Teile, die das gesamte Objekt ausmachen, wird aufgerufen Anteil am Ganzen oder einfach Anteile.
Beachten Sie, dass die Anteile unterschiedlich sind. Lassen Sie uns das erklären. Nehmen wir an, wir haben zwei Äpfel. Schneiden wir den ersten Apfel in zwei gleiche Teile und den zweiten in 6 gleiche Teile. Es ist klar, dass der Anteil des ersten Apfels anders sein wird als der Anteil des zweiten Apfels.
Abhängig von der Anzahl der Anteile, aus denen das gesamte Objekt besteht, haben diese Anteile eigene Namen. Lassen Sie uns analysieren Namen teilen. Wenn das Objekt aus zwei Teilen besteht, wird jeder von ihnen ein zweiter Teil des ganzen Objekts genannt; wenn das Objekt aus drei Teilen besteht, dann wird jeder von ihnen ein dritter Teil genannt und so weiter.
Ein Sekundenschlag hat einen besonderen Namen - halb. Ein Drittel wird aufgerufen Dritter, und ein Vierfach - Quartal.
Der Kürze halber folgendes Bezeichnungen teilen. Ein zweiter Anteil wird als oder 1/2 bezeichnet, ein dritter Anteil - als oder 1/3; ein Viertel Anteil - wie oder 1/4, und so weiter. Beachten Sie, dass die Notation mit einem horizontalen Balken häufiger verwendet wird. Um das Material zu konsolidieren, geben wir noch ein Beispiel: Der Eintrag bezeichnet einhundertsiebenundsechzigstel des Ganzen.
Der Begriff des Anteils erstreckt sich natürlich von Objekten auf Größen. Eines der Längenmaße ist zum Beispiel der Meter. Um Längen unter einem Meter zu messen, können Bruchteile eines Meters verwendet werden. So können Sie zum Beispiel einen halben Meter oder ein Zehntel oder Tausendstel eines Meters verwenden. Anteile anderer Mengen werden analog aufgebracht.
Gemeinsame Brüche, Definition und Beispiele für Brüche
Zur Beschreibung werden die Anzahl der Aktien verwendet gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das es uns ermöglicht, uns der Definition gewöhnlicher Brüche zu nähern.
Lass eine Orange aus 12 Teilen bestehen. Jede Aktie entspricht in diesem Fall einem Zwölftel einer ganzen Orange, also . Lassen Sie uns zwei Schläge als bezeichnen, drei Schläge als und so weiter, 12 Schläge als . Jeder dieser Einträge wird als gewöhnlicher Bruch bezeichnet.
Jetzt geben wir einen General Definition gemeinsamer Brüche.
Die stimmhafte Definition gewöhnlicher Brüche ermöglicht es uns, zu bringen Beispiele für gemeinsame Brüche: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Und hier sind die Aufzeichnungen 
passen nicht zur stimmhaften Definition gewöhnlicher Brüche, das heißt, sie sind keine gewöhnlichen Brüche.
Zähler und Nenner
Der Einfachheit halber unterscheiden wir in gewöhnlichen Brüchen Zähler und Nenner.
Definition.
Zähler gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl m.
Definition.
Nenner gewöhnlicher Bruch (m / n) ist eine natürliche Zahl n.
Der Zähler befindet sich also über dem Bruchstrich (links vom Schrägstrich) und der Nenner unter dem Bruchstrich (rechts vom Schrägstrich). Nehmen wir zum Beispiel einen gewöhnlichen Bruch 17/29, der Zähler dieses Bruchs ist die Zahl 17 und der Nenner ist die Zahl 29.
Es bleibt zu diskutieren, welche Bedeutung Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs haben. Der Nenner des Bruchs gibt an, aus wie vielen Anteilen ein Posten besteht, der Zähler wiederum gibt die Anzahl solcher Anteile an. Zum Beispiel bedeutet der Nenner 5 des Bruchs 12/5, dass ein Element aus fünf Teilen besteht, und der Zähler 12 bedeutet, dass 12 solcher Teile genommen werden.
Natürliche Zahl als Bruch mit Nenner 1
Der Nenner eines gewöhnlichen Bruchs kann gleich eins sein. In diesem Fall können wir davon ausgehen, dass das Objekt unteilbar ist, also etwas Ganzes. Der Zähler eines solchen Bruchs gibt an, wie viele ganze Elemente genommen werden. Ein gewöhnlicher Bruch der Form m/1 hat also die Bedeutung einer natürlichen Zahl m. So haben wir die Gleichheit m/1=m begründet.
Schreiben wir die letzte Gleichheit wie folgt um: m=m/1 . Diese Gleichheit erlaubt es uns, jede natürliche Zahl m als gewöhnlichen Bruch darzustellen. Beispielsweise ist die Zahl 4 der Bruch 4/1 und die Zahl 103498 der Bruch 103498/1.
So, jede natürliche Zahl m kann als gewöhnlicher Bruch mit dem Nenner 1 als m/1 dargestellt werden, und jeder gewöhnliche Bruch der Form m/1 kann durch eine natürliche Zahl m ersetzt werden.
Bruchstrich als Divisionszeichen
Die Darstellung des ursprünglichen Objekts in Form von n Anteilen ist nichts anderes als eine Teilung in n gleiche Teile. Nachdem der Gegenstand in n Anteile aufgeteilt wurde, können wir ihn gleichmäßig auf n Personen aufteilen – jeder erhält einen Anteil.
Wenn wir zunächst m identische Objekte haben, von denen jedes in n Anteile aufgeteilt ist, dann können wir diese m Objekte gleichmäßig auf n Personen aufteilen, wobei jeder Person ein Anteil von jedem der m Objekte gegeben wird. In diesem Fall hat jede Person m Anteile 1/n, und m Anteile 1/n ergeben einen gewöhnlichen Bruch m/n. Somit kann der gemeinsame Bruch m/n verwendet werden, um die Aufteilung von m Gegenständen auf n Personen darzustellen.
Wir haben also einen expliziten Zusammenhang zwischen gewöhnlichen Brüchen und Division (siehe die allgemeine Idee der Division natürlicher Zahlen). Diese Beziehung wird wie folgt ausgedrückt: Der Balken eines Bruches kann als Teilungszeichen verstanden werden, also m/n=m:n.
Mit Hilfe eines gewöhnlichen Bruchs können Sie das Ergebnis der Division zweier natürlicher Zahlen schreiben, für die keine Division durch eine ganze Zahl durchgeführt wird. Zum Beispiel kann das Ergebnis der Teilung von 5 Äpfeln durch 8 Personen als 5/8 geschrieben werden, das heißt, jeder erhält fünf Achtel eines Apfels: 5:8=5/8.
Gleiche und ungleiche gewöhnliche Brüche, Vergleich von Brüchen
Eine ziemlich natürliche Aktion ist Vergleich gemeinsamer Brüche, denn es ist klar, dass 1/12 einer Orange anders ist als 5/12 und 1/6 eines Apfels dasselbe ist wie das andere 1/6 dieses Apfels.
Als Ergebnis des Vergleichs zweier gewöhnlicher Brüche erhält man eines der Ergebnisse: Die Brüche sind entweder gleich oder ungleich. Im ersten Fall haben wir gleiche gemeinsame Brüche, und im zweiten ungleiche gemeinsame Brüche. Lassen Sie uns eine Definition von gleichen und ungleichen gewöhnlichen Brüchen geben.
Definition.
gleich, wenn die Gleichheit a d=b c wahr ist.
Definition.
Zwei gemeinsame Brüche a/b und c/d nicht gleich, falls die Gleichheit a d=b c nicht erfüllt ist.
Hier sind einige Beispiele für gleiche Brüche. Beispielsweise ist der gewöhnliche Bruch 1/2 gleich dem Bruch 2/4, da 1 4=2 2 (siehe ggf. Regeln und Beispiele zur Multiplikation natürlicher Zahlen). Zur Verdeutlichung können Sie sich zwei identische Äpfel vorstellen, der erste ist in zwei Hälften geschnitten und der zweite in 4 Anteile. Es ist offensichtlich, dass zwei Viertel eines Apfels 1/2 einer Aktie sind. Andere Beispiele für gleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 4/7 und 36/63 sowie das Bruchpaar 81/50 und 1620/1000.
Und die gewöhnlichen Brüche 4/13 und 5/14 sind nicht gleich, da 4 14=56 und 13 5=65, also 4 14≠13 5. Ein weiteres Beispiel für ungleiche gemeinsame Brüche sind die Brüche 17/7 und 6/4.
Wenn sich beim Vergleich zweier gewöhnlicher Brüche herausstellt, dass sie nicht gleich sind, müssen Sie möglicherweise herausfinden, welcher dieser gewöhnlichen Brüche kleiner eine andere, und welche mehr. Um dies herauszufinden, wird die Regel zum Vergleichen gewöhnlicher Brüche verwendet, deren Kern darin besteht, die verglichenen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Ausführliche Informationen zu diesem Thema finden Sie im Artikel Vergleich von Brüchen: Regeln, Beispiele, Lösungen.
Bruchzahlen
Jeder Bruchteil ist ein Rekord Bruchzahl. Das heißt, ein Bruch ist nur eine „Hülle“ einer Bruchzahl, ihr Aussehen und die gesamte semantische Last ist genau in einer Bruchzahl enthalten. Der Kürze und Einfachheit halber werden jedoch das Konzept eines Bruchs und einer Bruchzahl kombiniert und einfach als Bruch bezeichnet. Hier ist es angebracht, ein bekanntes Sprichwort zu paraphrasieren: wir sagen einen Bruch – wir meinen eine Bruchzahl, wir sagen eine Bruchzahl – wir meinen einen Bruch.
Brüche auf dem Koordinatenstrahl
Alle Bruchzahlen, die gewöhnlichen Brüchen entsprechen, haben ihren eigenen eindeutigen Platz auf , das heißt, es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Brüchen und Punkten des Koordinatenstrahls.
Um zu dem Punkt zu gelangen, der dem Bruchteil m / n auf dem Koordinatenstrahl entspricht, müssen m Segmente vom Ursprung in positiver Richtung verschoben werden, deren Länge 1 / n des Einheitssegments beträgt. Solche Segmente erhält man, indem man ein einzelnes Segment in n gleiche Teile teilt, was immer mit Zirkel und Lineal möglich ist.
Lassen Sie uns zum Beispiel den Punkt M auf dem Koordinatenstrahl zeigen, der dem Bruch 14/10 entspricht. Die Länge des Segments mit Enden am Punkt O und dem nächstgelegenen Punkt, der mit einem kleinen Strich gekennzeichnet ist, beträgt 1/10 des Einheitssegments. Der Punkt mit der Koordinate 14/10 wird um 14 solcher Segmente vom Ursprung entfernt.
Gleiche Brüche entsprechen der gleichen Bruchzahl, dh gleiche Brüche sind die Koordinaten desselben Punktes auf dem Koordinatenstrahl. Beispielsweise entspricht ein Punkt den Koordinaten 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 auf dem Koordinatenstrahl, da alle geschriebenen Brüche gleich sind (er befindet sich im Abstand von der Hälfte des Einheitssegments, festgelegt vom Ursprung in positiver Richtung).
Auf einem horizontalen und nach rechts gerichteten Koordinatenstrahl befindet sich der Punkt, dessen Koordinate ein großer Bruch ist, rechts von dem Punkt, dessen Koordinate ein kleinerer Bruch ist. Ebenso liegt der Punkt mit der kleineren Koordinate links vom Punkt mit der größeren Koordinate.
Echte und unechte Brüche, Definitionen, Beispiele
Unter gewöhnlichen Brüchen gibt es echte und unechte Brüche. Diese Division hat im Grunde einen Vergleich von Zähler und Nenner.
Lassen Sie uns eine Definition von echten und unechten gewöhnlichen Brüchen geben.
Definition.
Richtiger Bruchteil ist ein gewöhnlicher Bruch, dessen Zähler kleiner als der Nenner ist, das heißt, wenn m Definition.
Unechter Bruch ist ein gewöhnlicher Bruch, bei dem der Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, das heißt, wenn m≥n, dann ist der gewöhnliche Bruch unecht. Hier sind einige Beispiele für echte Brüche: 1/4 , , 32 765/909 003 . Tatsächlich ist in jedem der geschriebenen gewöhnlichen Brüche der Zähler kleiner als der Nenner (siehe ggf. den Artikelvergleich der natürlichen Zahlen), sie sind also per Definition korrekt. Und hier sind Beispiele für unechte Brüche: 9/9, 23/4,. Tatsächlich ist der Zähler des ersten der geschriebenen gewöhnlichen Brüche gleich dem Nenner, und bei den verbleibenden Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner. Es gibt auch Definitionen von echten und unechten Brüchen, die auf dem Vergleich von Brüchen mit Eins basieren. Definition. Korrekt wenn es weniger als eins ist. Definition. Der gemeinsame Bruch heißt falsch, wenn es entweder gleich eins oder größer als 1 ist. Der gewöhnliche Bruch 7/11 ist also seit 7/11 korrekt<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 und 27/27=1 . Denken wir darüber nach, wie gewöhnliche Brüche mit einem Zähler größer oder gleich dem Nenner einen solchen Namen verdienen - "falsch". Nehmen wir als Beispiel den unechten Bruch 9/9. Dieser Bruch bedeutet, dass neun Teile eines Objekts genommen werden, das aus neun Teilen besteht. Das heißt, aus den verfügbaren neun Anteilen können wir ein ganzes Fach bilden. Das heißt, der unechte Bruch 9/9 ergibt im Wesentlichen ein ganzes Objekt, also 9/9=1. Im Allgemeinen bezeichnen unechte Brüche mit einem Zähler gleich dem Nenner ein ganzes Objekt, und ein solcher Bruch kann durch eine natürliche Zahl 1 ersetzt werden. Betrachten Sie nun die unechten Brüche 7/3 und 12/4. Es ist ziemlich offensichtlich, dass wir aus diesen sieben Dritteln zwei ganze Objekte machen können (ein ganzes Objekt sind 3 Anteile, dann brauchen wir zum Zusammensetzen von zwei ganzen Objekten 3 + 3 = 6 Anteile) und es wird immer noch einen Drittelanteil geben. Das heißt, der unechte Bruch 7/3 bedeutet im Wesentlichen 2 Artikel und sogar 1/3 des Anteils eines solchen Artikels. Und aus zwölf Vierteln können wir drei ganze Objekte machen (drei Objekte mit je vier Teilen). Das heißt, der Bruch 12/4 bedeutet im Wesentlichen 3 ganze Objekte. Die betrachteten Beispiele führen uns zu folgendem Schluss: Unechte Brüche können entweder durch natürliche Zahlen ersetzt werden, wenn der Zähler ganz durch den Nenner dividiert wird (zB 9/9=1 und 12/4=3), oder durch die Summe von eine natürliche Zahl und ein echter Bruch, wenn der Zähler nicht ohne Rest durch den Nenner teilbar ist (z. B. 7/3=2+1/3 ). Vielleicht verdienen unechte Brüche genau deshalb einen solchen Namen - "falsch". Von besonderem Interesse ist die Darstellung eines unechten Bruchs als Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (7/3=2+1/3). Dieser Vorgang wird als Extraktion eines ganzzahligen Teils aus einem unechten Bruch bezeichnet und verdient eine separate und sorgfältigere Betrachtung. Es ist auch erwähnenswert, dass es eine sehr enge Beziehung zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen gibt. Jeder gewöhnliche Bruch entspricht einer positiven Bruchzahl (siehe Artikel positive und negative Zahlen). Das heißt, gewöhnliche Brüche sind positive Brüche. Zum Beispiel sind die gewöhnlichen Brüche 1/5, 56/18, 35/144 positive Brüche. Wenn es notwendig ist, die Positivität eines Bruchs hervorzuheben, wird ihm ein Pluszeichen vorangestellt, z. B. +3/4, +72/34. Wenn Sie einem gewöhnlichen Bruch ein Minuszeichen voranstellen, entspricht dieser Eintrag einer negativen Bruchzahl. In diesem Fall kann man von sprechen negative Brüche. Hier sind einige Beispiele für negative Brüche: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Die positiven und negativen Brüche m/n und −m/n sind entgegengesetzte Zahlen. Beispielsweise sind die Brüche 5/7 und –5/7 entgegengesetzte Brüche. Positive Brüche bezeichnen, wie positive Zahlen im Allgemeinen, eine Steigerung, ein Einkommen, eine Wertänderung nach oben usw. Negative Brüche entsprechen Kosten, Schulden, einer Wertänderung in Richtung Abnahme. Beispielsweise kann ein negativer Bruchteil -3/4 als Schuld interpretiert werden, deren Wert 3/4 beträgt. Auf der Horizontalen und nach rechts gerichtete negative Brüche befinden sich links vom Bezugspunkt. Die Punkte der Koordinatenlinie, deren Koordinaten der positive Bruch m/n und der negative Bruch –m/n sind, befinden sich im gleichen Abstand vom Ursprung, aber auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes O . Erwähnenswert sind hier Brüche der Form 0/n. Diese Brüche sind gleich der Zahl Null, also 0/n=0 . Positive Brüche, negative Brüche und 0/n-Brüche bilden zusammen rationale Zahlen. Eine Aktion mit gewöhnlichen Brüchen – das Vergleichen von Brüchen – haben wir bereits oben betrachtet. Vier weitere Arithmetik sind definiert Operationen mit Brüchen- Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Lassen Sie uns auf jeden von ihnen eingehen. Das allgemeine Wesen von Aktionen mit Brüchen ähnelt dem Wesen der entsprechenden Aktionen mit natürlichen Zahlen. Lassen Sie uns eine Analogie ziehen. Multiplikation von Brüchen kann als eine Aktion betrachtet werden, bei der ein Bruch aus einem Bruch gefunden wird. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel. Angenommen, wir haben 1/6 eines Apfels und wir müssen 2/3 davon nehmen. Der Teil, den wir brauchen, ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche 1/6 und 2/3. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gewöhnlicher Brüche ist ein gewöhnlicher Bruch (der in einem bestimmten Fall einer natürlichen Zahl entspricht). Außerdem empfehlen wir, die Informationen des Artikels Multiplikation von Brüchen - Regeln, Beispiele und Lösungen zu studieren. Referenzliste. Unechter Bruch Viertel Summierung von Brüchen Alle anderen Eigenschaften, die rationalen Zahlen innewohnen, werden nicht als grundlegende Eigenschaften herausgegriffen, weil sie im Allgemeinen nicht mehr direkt auf den Eigenschaften ganzer Zahlen beruhen, sondern anhand der gegebenen grundlegenden Eigenschaften oder direkt durch die Definition von bewiesen werden können ein mathematisches Objekt. Es gibt viele solcher zusätzlichen Eigenschaften. Es ist sinnvoll, hier nur einige davon zu nennen. Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0"> Numerierung rationaler Zahlen Um die Anzahl der rationalen Zahlen abzuschätzen, müssen Sie die Kardinalität ihrer Menge finden. Es ist leicht zu beweisen, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist. Dazu genügt es, einen Algorithmus anzugeben, der rationale Zahlen aufzählt, d. h. eine Bijektion zwischen den Mengen rationaler und natürlicher Zahlen herstellt. Der einfachste dieser Algorithmen ist wie folgt. Für jeden wird eine unendliche Tabelle gewöhnlicher Brüche zusammengestellt ich-te Zeile in jedem j te Spalte davon ist ein Bruch. Zur Eindeutigkeit wird angenommen, dass die Zeilen und Spalten dieser Tabelle von eins an nummeriert sind. Tabellenzellen sind mit , wo bezeichnet ich- die Zeilennummer der Tabelle, in der sich die Zelle befindet, und j- Spaltennummer. Die resultierende Tabelle wird von einer "Schlange" gemäß dem folgenden formalen Algorithmus verwaltet. Diese Regeln werden von oben nach unten durchsucht und die nächste Position wird durch die erste Übereinstimmung ausgewählt. Bei einem solchen Bypass wird jede neue rationale Zahl der nächsten natürlichen Zahl zugeordnet. Das heißt, Brüche 1 / 1 erhalten die Nummer 1, Brüche 2 / 1 - die Nummer 2 usw. Es ist zu beachten, dass nur irreduzible Brüche nummeriert werden. Ein formales Zeichen der Irreduzibilität ist die Gleichheit von Zähler und Nenner eines Bruches mit einem der größten gemeinsamen Teiler. Nach diesem Algorithmus kann man alle positiven rationalen Zahlen aufzählen. Das bedeutet, dass die Menge der positiven rationalen Zahlen abzählbar ist. Es ist einfach, eine Bijektion zwischen den Mengen positiver und negativer rationaler Zahlen herzustellen, indem man einfach jeder rationalen Zahl ihr Gegenteil zuweist. Dass. auch die Menge der negativen rationalen Zahlen ist abzählbar. Ihre Vereinigung ist auch abzählbar durch die Eigenschaft abzählbarer Mengen. Die Menge der rationalen Zahlen ist auch abzählbar als Vereinigung einer abzählbaren Menge mit einer endlichen. Die Aussage über die Zählbarkeit der Menge der rationalen Zahlen mag etwas verwirren, da man auf den ersten Blick den Eindruck bekommt, dass sie viel größer ist als die Menge der natürlichen Zahlen. Tatsächlich ist dies nicht der Fall, und es gibt genügend natürliche Zahlen, um alle rationalen Zahlen aufzuzählen. Die Hypotenuse eines solchen Dreiecks wird durch keine rationale Zahl ausgedrückt Rationale Zahlen der Form 1 / n im Großen und Ganzen n es können beliebig kleine Mengen gemessen werden. Diese Tatsache erweckt den trügerischen Eindruck, dass rationale Zahlen im Allgemeinen beliebige geometrische Abstände messen können. Es ist leicht zu zeigen, dass dies nicht stimmt. Aus dem Satz des Pythagoras ist bekannt, dass die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate seiner Schenkel ausgedrückt wird. Dass. die Länge der Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit einem Einheitsschenkel ist gleich einer Zahl, deren Quadrat 2 ist. Wenn wir annehmen, dass die Zahl durch eine rationale Zahl dargestellt wird, dann gibt es eine solche ganze Zahl m und so eine natürliche Zahl n, wobei außerdem der Bruch irreduzibel ist, also die Zahlen m und n sind teilerfremd. 326. Füllen Sie die Lücken aus. 1) Wenn der Zähler eines Bruchs gleich dem Nenner ist, dann ist der Bruch gleich 1. 327. Schreiben Sie aus den Brüchen 1/20, 16/9, 7/2, 14/28.10/10, 5/32.11/2 auf: 1) echte Brüche; 2) unechte Brüche. 1) 1/20, 14/23, 5/32 2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2 328. Denken Sie nach und schreiben Sie auf: 1) 5 richtige Brüche; 2) unechte Brüche. 1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6 2) 3/2, 4/2, 5/2Ju 6/2, 7/2 329. Schreiben Sie alle richtigen Brüche mit einem Nenner von 9 auf. 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9. 330. Schreiben Sie alle unechten Brüche mit Zähler 9 auf. 9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9. 331. Zwei identische Streifen wurden in 7 gleiche Teile geteilt. Übermalen Sie 4/7 eines Streifens und 6/7 des anderen. Vergleichen Sie die resultierenden Brüche: 4/7< 6/7. Formulieren Sie eine Regel für den Vergleich von Brüchen mit gleichem Nenner: Von zwei Brüchen mit gleichem Nenner ist der mit dem größeren Zähler größer. 332. Zwei identische Streifen wurden in Teile geteilt. Ein Streifen wurde in 7 gleiche Teile geteilt und der andere in 5 gleiche Teile. Übermalen Sie 3/7 des ersten Streifens und 3/5 des zweiten. Vergleichen Sie die resultierenden Brüche: 3/7< /5. Formulieren Sie eine Regel für den Vergleich von Brüchen mit gleichem Zähler: Von zwei Brüchen mit gleichem Zähler ist der mit dem kleineren Nenner größer. 333. Füllen Sie die Lücken aus. 1) Alle echten Brüche sind kleiner als 1, und unechte sind größer als 1 oder gleich 1. 2) Jeder echte Bruch ist größer als jeder echte Bruch, und jeder echte Bruch ist kleiner als jeder echte Bruch. 3) Auf einem Koordinatenstrahl aus zwei Fraktionen befindet sich die größere Fraktion rechts von der kleineren. 334. Kreisen Sie die richtigen Aussagen ein. 335. Vergleiche Zahlen. 2)17/25>14/25 4)24/51>24/53 336. Welcher der Brüche 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 ist größer als 1? Antwort: 16/4, 18/17, 310/303 337. Ordne die Brüche 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29. Antwort: 29/29, 17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29. 338. Markieren Sie auf dem Koordinatenbalken alle Zahlen, die Brüche mit einem Nenner von 5 sind und sich zwischen den Zahlen 0 und 3 befinden. Welche der markierten Zahlen sind richtig und welche sind falsch? 0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5 Antwort: 1) echte Brüche: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. 2) unechte Brüche: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5. 339. Finden Sie alle natürlichen Werte von x, für die der Bruch x/8 richtig ist. Antwort: 1,2,3,4,5,6,7 340. Finden Sie natürliche Ausdrücke x, für die der Bruch 11/x falsch sein wird. Antwort: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 341. 1) Schreiben Sie die Zahlen so in die leeren Zellen, dass ein richtiger Bruch gebildet wird. 2) Trage die Zahlen in die leeren Zellen ein, sodass ein unechter Bruch gebildet wird. 342. Konstruiere und bezeichne ein Segment, dessen Länge ist: 1) 9/8 der Länge von Segment AB; 2) 10/8 der Länge des Segments AB; 3) 7/4 der Länge des Segments AB; 4) die Länge des Segments AB. Sasha las 42:6*7= 49 Seiten Antwort: 49 Seiten 344. Finden Sie alle natürlichen Werte von x, für die die Ungleichung gilt: 1) x/15<7/15; 2)10/x>10/9. Antwort: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8. 345. Schreibe alle möglichen echten Brüche unter Verwendung der Zahlen 1,4,5,7 und des Bruchstrichs auf. Antwort: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7. 346. Finde alle natürlichen Werte von m, für die 4m+5/17 richtig ist. 4m+5<17; 4m<12; m<3. Antwort: m = 1; 2. 347. Finde alle natürlichen Werte von a, für die der Bruch 10/a uneigentlich und der Bruch 7/a richtig ist. a≤10 und a >7, d.h. 7 Antwort: a = 8,9,10 348. Natürliche Zahlen a, b, c und d, so dass a Beim Wort „Fraktionen“ laufen viele Gänsehaut auf. Denn ich erinnere mich an die Schule und die Aufgaben, die in Mathematik gelöst wurden. Das war eine Pflicht, die erfüllt werden musste. Was aber, wenn wir Aufgaben, die echte und unechte Brüche enthalten, als Puzzle behandeln? Schließlich lösen viele Erwachsene digitale und japanische Kreuzworträtsel. Verstehen Sie die Regeln und das war's. Hier gilt das gleiche. Man muss sich nur in die Theorie vertiefen – und alles wird sich ergeben. Und Beispiele werden zu einer Möglichkeit, das Gehirn zu trainieren. Beginnen wir mit dem, was es ist. Ein Bruch ist eine Zahl, die einen Bruchteil von eins hat. Es kann in zwei Formen geschrieben werden. Die erste heißt gewöhnlich. Das heißt, einer, der einen horizontalen oder schrägen Strich hat. Es entspricht dem Divisionszeichen. In einer solchen Notation wird die Zahl über dem Bindestrich als Zähler und darunter als Nenner bezeichnet. Bei gewöhnlichen Brüchen werden richtige und falsche Brüche unterschieden. Bei ersterem ist der Modulo-Zähler immer kleiner als der Nenner. Die Falschen werden so genannt, weil sie das Gegenteil haben. Der Wert eines echten Bruchs ist immer kleiner als eins. Während die falsche immer größer als diese Zahl ist. Es gibt auch gemischte Zahlen, also solche, die einen ganzzahligen und einen Bruchteil haben. Die zweite Schreibweise ist dezimal. Über ihr separates Gespräch. Im Grunde nichts. Es ist nur eine andere Schreibweise derselben Zahl. Unechte Brüche werden nach einfachen Operationen leicht zu gemischten Zahlen. Umgekehrt. Es hängt alles von der konkreten Situation ab. Manchmal ist es bei Aufgaben bequemer, einen unechten Bruch zu verwenden. Und manchmal ist es notwendig, es in eine gemischte Zahl zu übersetzen, und dann wird das Beispiel sehr einfach gelöst. Was zu verwenden ist: unechte Brüche, gemischte Zahlen - hängt von der Beobachtung des Problemlösers ab. Die gemischte Zahl wird auch mit der Summe aus dem ganzzahligen Teil und dem Bruchteil verglichen. Außerdem ist die Sekunde immer kleiner als Eins. Wenn Sie eine Aktion mit mehreren Zahlen ausführen möchten, die in unterschiedlichen Formen geschrieben sind, müssen Sie sie gleich machen. Eine Methode besteht darin, Zahlen als unechte Brüche darzustellen. Zu diesem Zweck müssen Sie den folgenden Algorithmus befolgen: Hier sind Beispiele, wie man unechte Brüche aus gemischten Zahlen schreibt: Die nächste Methode ist das Gegenteil der oben diskutierten. Das heißt, wenn alle gemischten Zahlen durch unechte Brüche ersetzt werden. Der Aktionsalgorithmus sieht wie folgt aus: Beispiele für eine solche Transformation: 76/14; 76:14 = 5 mit einem Rest von 6; die Antwort ist 5 ganze Zahlen und 6/14; der Bruchteil in diesem Beispiel muss um 2 reduziert werden, Sie erhalten 3/7; Die endgültige Antwort ist 5 ganze 3/7. 108/54; nach Division erhält man ohne Rest den Quotienten 2; das bedeutet, dass nicht alle unechten Brüche als gemischte Zahl dargestellt werden können; Die Antwort ist eine Ganzzahl - 2. Es gibt Situationen, in denen eine solche Aktion erforderlich ist. Um unechte Brüche mit einem vorgegebenen Nenner zu erhalten, müssen Sie den folgenden Algorithmus ausführen: Die einfachste Option ist, wenn der Nenner gleich eins ist. Dann braucht man nicht zu multiplizieren. Es reicht aus, einfach eine ganze Zahl zu schreiben, die im Beispiel angegeben ist, und eine Einheit unter den Strich zu setzen. Beispiel: Mache aus 5 einen unechten Bruch mit einem Nenner von 3. Nachdem du 5 mit 3 multipliziert hast, erhältst du 15. Diese Zahl ist der Nenner. Die Antwort auf die Aufgabe ist ein Bruchteil: 15/3. Im Beispiel sollen Summe und Differenz sowie Produkt und Quotient zweier Zahlen berechnet werden: 2 ganze Zahlen 3/5 und 14/11. Im ersten Ansatz die gemischte Zahl wird als unechter Bruch dargestellt. Nachdem Sie die oben beschriebenen Schritte ausgeführt haben, erhalten Sie den folgenden Wert: 13/5. Um die Summe zu ermitteln, müssen Sie die Brüche auf denselben Nenner bringen. 13/5 multipliziert mit 11 ergibt 143/55. Und 14/11 nimmt nach Multiplikation mit 5 die Form an: 70/55. Um die Summe zu berechnen, müssen Sie nur die Zähler addieren: 143 und 70, und dann die Antwort mit einem Nenner aufschreiben. 213/55 - dieser unechte Bruch ist die Lösung des Problems. Beim Finden der Differenz werden dieselben Zahlen subtrahiert: 143 - 70 = 73. Die Antwort ist ein Bruch: 73/55. Wenn Sie 13/5 und 14/11 multiplizieren, müssen Sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Multiplizieren Sie einfach die Zähler und Nenner paarweise. Die Antwort lautet: 182/55. Ebenso bei der Teilung. Für die richtige Lösung müssen Sie die Division durch Multiplikation ersetzen und den Divisor umdrehen: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70. Im zweiten Ansatz Aus einem unechten Bruch wird eine gemischte Zahl. Nachdem die Aktionen des Algorithmus ausgeführt wurden, wird 14/11 zu einer gemischten Zahl mit einem ganzzahligen Teil von 1 und einem Bruchteil von 3/11. Bei der Berechnung der Summe müssen Sie die ganzzahligen und gebrochenen Teile separat addieren. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Die endgültige Antwort ist 3 ganze 48/55. Im ersten Anflug gab es einen Bruch 213/55. Sie können die Korrektheit überprüfen, indem Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln. Nachdem Sie 213 durch 55 geteilt haben, ist der Quotient 3 und der Rest 48. Es ist leicht zu sehen, dass die Antwort richtig ist. Beim Subtrahieren wird das „+“-Zeichen durch „-“ ersetzt. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Um die Antwort aus dem vorherigen Ansatz zu überprüfen, müssen Sie sie in eine gemischte Zahl umwandeln: 73 wird durch 55 geteilt und Sie erhalten einen Quotienten von 1 und einen Rest von 18. Um das Produkt und den Quotienten zu finden, ist es unpraktisch, gemischte Zahlen zu verwenden. Hier empfiehlt es sich immer, auf unechte Brüche auszuweichen.Positive und negative Brüche
Aktionen mit Brüchen
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Zusätzliche Eigenschaften
Zählbarkeit einstellen
Mangel an rationalen Zahlen
2) Ein Bruch a/b (a und b sind natürliche Zahlen) heißt richtig, wenn a< b
3) Der Bruch a/b (a und b sind natürliche Zahlen) heißt uneigentlich, wenn a > b oder a = b.
4) 9/14 ist ein echter Bruch, weil 9< 14.
5) 7/5 ist ein unechter Bruch, weil 7 > 5.
6) 16/16 ist ein unechter Bruch, weil 16=16.
Welche Brucharten gibt es?
Was ist der Unterschied zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen?
Wie stellt man eine gemischte Zahl als unechten Bruch dar?
Wie schreibt man einen unechten Bruch als gemischte Zahl?
Wie verwandelt man eine ganze Zahl in einen unechten Bruch?
Zwei Ansätze zur Lösung von Aufgaben mit unterschiedlichen Zahlen
