Eine Funktion ist ein Gesetz, nach dem die Zahl x aus einer gegebenen Menge X nur einer Zahl y zugeordnet ist, schreiben sie, während x als Argument der Funktion bezeichnet wird, y als Wert der Funktion bezeichnet wird.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Funktionen zu definieren.

1. Analytische Methode.
Analytische Methode ist die gebräuchlichste Art, eine Funktion zu definieren.
Sie besteht darin, dass die Funktion durch eine Formel gegeben ist, die festlegt, welche Operationen an x ​​durchgeführt werden müssen, um y zu finden. Zum Beispiel .
Betrachten Sie das erste Beispiel - . Hier entspricht der Wert x = 1 , der Wert x = 3 entspricht usw.
Eine Funktion kann auf verschiedenen Teilen der Menge X durch verschiedene Funktionen definiert werden.
Zum Beispiel:

In allen bisher gegebenen Beispielen der analytischen Art des Setzens wurde die Funktion explizit gesetzt. Das heißt, die Variable y war rechts und die Formel für die x-Variable war rechts. Bei der analytischen Einstellung kann die Funktion jedoch implizit eingestellt werden.
Zum Beispiel . Wenn wir hier x einen Wert geben, müssen wir die Gleichung lösen, um den Wert von y (den Wert der Funktion) zu finden. Zum Beispiel werden wir für die erste gegebene Funktion bei x = 3 die Gleichung lösen:
. Das heißt, der Wert der Funktion bei x = 3 ist -4/3.
Mit der analytischen Einstellungsmethode kann die Funktion parametrisch eingestellt werden - das ist, wenn x und y durch einen Parameter t ausgedrückt werden. Zum Beispiel,

Hier ist bei t = 2, x = 2, y = 4. Das heißt, der Wert der Funktion bei x = 2 ist 4.
2. Grafischer Weg.
Bei der grafischen Methode wird ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingeführt und eine Menge von Punkten mit Koordinaten (x, y) in diesem Koordinatensystem dargestellt. Dabei . Beispiel:
3. Verbale Weise.
Die Funktion wird durch eine verbale Formulierung spezifiziert. Ein klassisches Beispiel ist die Dirichlet-Funktion.
„Die Funktion ist 1, wenn x eine rationale Zahl ist; die Funktion ist 0, wenn x eine irrationale Zahl ist.
4. Tabellarische Methode.
Die tabellarische Methode ist am bequemsten, wenn die Menge X endlich ist. Bei dieser Methode wird eine Tabelle erstellt, in der jedem Element aus der Menge X die Nummer Y zugeordnet wird.
Beispiel.

Die wichtigsten Arten der Funktionsspezifikation werden angegeben: explizit analytisch; Intervall; parametrisch; implizit; Definieren einer Funktion unter Verwendung einer Reihe; tabellarisch; Grafik. Beispiele für die Anwendung dieser Methoden

Es gibt folgende Möglichkeiten, die Funktion y = f zu definieren (x):

1. Eine explizite analytische Methode, die eine Formel der Form y = f verwendet (x).
2. Intervall.
3. Parametrisch: x = x (t) , y = y(t).
4. Implizit als Lösung von Gleichung F (x, y) = 0.
5. In Form einer Reihe bekannter Funktionen.
6. Tabellarisch.
7. Grafik.

Explizite Art, eine Funktion zu definieren

Beim explizite Weise, wird der Wert der Funktion durch die Formel bestimmt, die die Gleichung y = f ist (x). Auf der linken Seite dieser Gleichung befindet sich die abhängige Variable y und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der sich aus der unabhängigen Variablen x, Konstanten, bekannten Funktionen und Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen zusammensetzt. Bekannte Funktionen sind elementare Funktionen und Sonderfunktionen, deren Werte computertechnisch berechnet werden können.

Hier sind einige Beispiele für die explizite Definition einer Funktion mit einer unabhängigen Variablen x und einer abhängigen Variablen y :
;
;
.

Intervallmethode zum Definieren einer Funktion

Beim Intervallmethode zum Einstellen einer Funktion, wird der Definitionsbereich in mehrere Intervalle unterteilt und die Funktion für jedes Intervall separat angegeben.

Hier sind einige Beispiele für die Intervallmethode zum Definieren einer Funktion:

Parametrische Art, eine Funktion zu definieren

Beim parametrische Methode, wird eine neue Variable eingeführt, die als Parameter bezeichnet wird. Als nächstes werden die x- und y-Werte als Funktionen des Parameters eingestellt, wobei die explizite Art der Einstellung verwendet wird:
(1)

Hier sind Beispiele für eine parametrische Methode zum Definieren einer Funktion mit dem t-Parameter:

Der Vorteil der parametrischen Methode besteht darin, dass dieselbe Funktion auf unendlich viele Arten definiert werden kann. Eine Funktion kann beispielsweise wie folgt definiert werden:

Und so ist es möglich:

Diese Wahlfreiheit ermöglicht es Ihnen in einigen Fällen, diese Methode zum Lösen von Gleichungen anzuwenden (siehe "Differentialgleichungen, die keine der Variablen enthalten"). Die Essenz der Anwendung besteht darin, dass wir zwei Funktionen und anstelle der Variablen x und y in die Gleichung einsetzen. Dann legen wir einen davon nach eigenem Ermessen fest, damit der andere aus der resultierenden Gleichung bestimmt werden kann.

Diese Methode wird auch verwendet, um Berechnungen zu vereinfachen. Beispielsweise lässt sich die Abhängigkeit der Koordinaten der Punkte einer Ellipse mit den Halbachsen a und b wie folgt darstellen:
.
In einer parametrischen Form kann dieser Abhängigkeit eine einfachere Form gegeben werden:
.

Gleichungen (1) sind nicht die einzige Möglichkeit, eine Funktion parametrisch zu definieren. Sie können nicht nur einen, sondern mehrere Parameter eingeben, indem Sie sie mit zusätzlichen Gleichungen verknüpfen. Sie können beispielsweise zwei Parameter und eingeben. Dann sieht die Funktionsdefinition so aus:

Hier kommt eine zusätzliche Gleichung, die die Parameter betrifft. Wenn die Anzahl der Parameter n ist, muss es n geben - 1 zusätzliche Gleichungen.

Ein Beispiel für die Verwendung mehrerer Parameter finden Sie auf der Seite zur Jacobi-Differentialgleichung. Dort wird die Lösung in folgender Form gesucht:
(2) .
Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem. Um es zu lösen, wird ein vierter Parameter t eingeführt. Nach dem Lösen des Systems erhält man drei Gleichungen, die vier Parameter und in Beziehung setzen.

Implizite Art, eine Funktion zu definieren

Beim implizite Weise, wird der Wert der Funktion aus der Lösung der Gleichung bestimmt .

Die Gleichung für eine Ellipse lautet beispielsweise:
(3) .
Dies ist eine einfache Gleichung. Betrachten wir nur den oberen Teil der Ellipse, so können wir die Variable y explizit als Funktion von x ausdrücken:
(4) .
Aber selbst wenn es möglich ist, (3) auf eine explizite Art der Spezifikation der Funktion (4) zu reduzieren, ist die Verwendung der letzten Formel nicht immer bequem. Um beispielsweise die Ableitung zu finden, ist es zweckmäßig, Gleichung (3) statt (4) zu differenzieren:
;
.

Einstellen einer Funktion in der Nähe

Eine äußerst wichtige Art, eine Funktion zu definieren, ist to Zeilendarstellung zusammengesetzt aus bekannten Funktionen. Mit dieser Methode können Sie die Funktion mit mathematischen Methoden untersuchen und ihre Werte für angewandte Probleme berechnen.

Die gebräuchlichste Darstellung besteht darin, eine Funktion mithilfe einer Potenzreihe zu definieren. In diesem Fall werden eine Reihe von Potenzfunktionen verwendet:
.
Es wird auch eine Reihe mit negativen Exponenten verwendet:
.
Die Sinusfunktion hat beispielsweise die folgende Erweiterung:
(5) .
Solche Erweiterungen sind in der Computertechnik weit verbreitet, um die Werte von Funktionen zu berechnen, da sie es einem ermöglichen, Berechnungen auf arithmetische Operationen zu reduzieren.

Lassen Sie uns zur Veranschaulichung den Wert des Sinus von 30° mithilfe der Erweiterung (5) berechnen.
Grad in Radiant umrechnen:
.
Ersatz in (5):



.

In der Mathematik sind neben Potenzreihen Erweiterungen in trigonometrische Reihen in Funktionen und sowie in anderen speziellen Funktionen weit verbreitet. Mit Hilfe von Reihen kann man Integrale, Gleichungen (Differential, Integral, in partiellen Ableitungen) näherungsweise berechnen und deren Lösungen untersuchen.

Tabellarische Art, eine Funktion zu definieren

Beim tabellarischer Weg zum Einstellen einer Funktion Wir haben eine Tabelle, die die Werte der unabhängigen Variablen x und die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y enthält. Die unabhängigen und abhängigen Variablen können unterschiedliche Bezeichnungen haben, aber wir verwenden hier x und y. Um den Wert einer Funktion für einen gegebenen Wert von x zu bestimmen, verwenden wir die Tabelle, um den Wert von x zu finden, der unserem Wert am nächsten kommt. Danach bestimmen wir den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen y .

Für eine genauere Definition des Funktionswerts gehen wir davon aus, dass die Funktion zwischen zwei benachbarten Werten von x linear ist, dh sie hat die folgende Form:
.
Hier sind die Werte der gefundenen Funktion aus der Tabelle, mit den entsprechenden Werten der Argumente.
Betrachten Sie ein Beispiel. Lassen Sie uns den Wert der Funktion bei finden. Aus der Tabelle finden wir:
.
Dann

.
Genauer Wert:
.
Aus diesem Beispiel ist ersichtlich, dass die Verwendung einer linearen Approximation zu einer Erhöhung der Genauigkeit bei der Bestimmung des Wertes der Funktion führte.

Die tabellarische Methode wird in den angewandten Wissenschaften verwendet. Vor der Entwicklung der Computertechnologie wurde es häufig in Ingenieurwissenschaften und anderen Berechnungen verwendet. Jetzt wird die tabellarische Methode in der Statistik und den experimentellen Wissenschaften verwendet, um experimentelle Daten zu sammeln und zu analysieren.

Grafische Art, eine Funktion zu definieren

Beim grafische Weise, Der Wert der Funktion wird aus dem Diagramm bestimmt, auf dessen Abszissenachse die Werte der unabhängigen Variablen aufgetragen sind, und auf der Ordinatenachse - der abhängigen Variablen.

Die grafische Methode gibt eine visuelle Darstellung des Verhaltens der Funktion. Die Ergebnisse der Untersuchung einer Funktion werden oft durch ihren Graphen veranschaulicht. Aus dem Diagramm können Sie den ungefähren Wert der Funktion bestimmen. Damit können Sie die grafische Methode in den angewandten und ingenieurwissenschaftlichen Wissenschaften anwenden.

Eine Funktion ist eine Entsprechung zwischen Elementen zweier Mengen, die gemäß einer solchen Regel hergestellt wird, dass jedes Element einer Menge einem Element aus einer anderen Menge zugeordnet ist.

Der Graph einer Funktion ist der Ort der Punkte in der Ebene, deren Abszissen (x) und Ordinaten (y) durch die angegebene Funktion verbunden sind:

der Punkt befindet sich (oder befindet sich) auf dem Graphen der Funktion genau dann, wenn .

Somit kann eine Funktion durch ihren Graphen adäquat beschrieben werden.

tabellarischer Weg. Ganz üblich besteht es darin, eine Tabelle mit einzelnen Argumentwerten und ihren entsprechenden Funktionswerten zu erstellen. Diese Methode zum Definieren einer Funktion wird verwendet, wenn der Definitionsbereich der Funktion eine diskrete endliche Menge ist.

Mit der tabellarischen Methode zur Definition einer Funktion ist es möglich, die nicht in der Tabelle enthaltenen Werte der Funktion näherungsweise zu berechnen, die den Zwischenwerten des Arguments entsprechen. Verwenden Sie dazu die Methode der Interpolation.

Die Vorteile der tabellarischen Funktionsangabe liegen darin, dass sich ohne zusätzliche Messungen oder Berechnungen bestimmte spezifische Werte auf einmal ermitteln lassen. In einigen Fällen definiert die Tabelle jedoch die Funktion nicht vollständig, sondern nur für einige Werte des Arguments und bietet keine visuelle Darstellung der Art der Änderung der Funktion in Abhängigkeit von der Änderung des Arguments.

Grafischer Weg. Der Graph der Funktion y = f(x) ist die Menge aller Punkte in der Ebene, deren Koordinaten die gegebene Gleichung erfüllen.

Die grafische Art, eine Funktion anzugeben, ermöglicht es nicht immer, die numerischen Werte des Arguments genau zu bestimmen. Es hat jedoch einen großen Vorteil gegenüber anderen Methoden - Sichtbarkeit. In den Ingenieurwissenschaften und der Physik wird häufig eine grafische Methode zum Einstellen einer Funktion verwendet, und ein Diagramm ist die einzige verfügbare Möglichkeit dafür.

Damit die grafische Zuordnung einer Funktion aus mathematischer Sicht ganz korrekt ist, ist es notwendig, den genauen geometrischen Aufbau des Graphen anzugeben, der meistens durch eine Gleichung gegeben ist. Dies führt zu folgender Art, eine Funktion zu definieren.

analytische Weise. Meistens wird das Gesetz, das eine Beziehung zwischen einem Argument und einer Funktion herstellt, durch Formeln angegeben. Diese Art, eine Funktion zu definieren, wird als analytisch bezeichnet.

Dieses Verfahren ermöglicht es, zu jedem Zahlenwert des Arguments x den entsprechenden Zahlenwert der Funktion y genau oder mit einiger Genauigkeit zu finden.

Wenn die Beziehung zwischen x und y durch eine nach y aufgelöste Formel gegeben ist, d.h. die Form y = f(x) hat, dann sagen wir, dass die Funktion von x explizit gegeben ist.

Wenn die Werte x und y durch eine Gleichung der Form F(x,y) = 0 in Beziehung stehen, d.h. die Formel ist bezüglich y nicht erlaubt, was bedeutet, dass die Funktion y = f(x) implizit definiert ist.

Eine Funktion kann durch verschiedene Formeln in verschiedenen Teilen ihres Aufgabenbereichs definiert werden.

Die analytische Methode ist die gebräuchlichste Art, Funktionen zu definieren. Kompaktheit, Prägnanz, die Fähigkeit, den Wert einer Funktion für einen beliebigen Wert des Arguments aus dem Definitionsbereich zu berechnen, die Fähigkeit, den Apparat der mathematischen Analyse auf eine gegebene Funktion anzuwenden, sind die Hauptvorteile der analytischen Methode zur Definition von a Funktion. Zu den Nachteilen gehört die mangelnde Sichtbarkeit, die durch die Möglichkeit, ein Diagramm zu erstellen, und die Notwendigkeit, manchmal sehr umständliche Berechnungen durchzuführen, kompensiert wird.

verbaler Weg. Diese Methode besteht darin, dass die funktionale Abhängigkeit in Worten ausgedrückt wird.

Beispiel 1: Die Funktion E(x) ist der ganzzahlige Teil der Zahl x. Im Allgemeinen bezeichnet E(x) = [x] die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Mit anderen Worten, wenn x = r + q, wobei r eine ganze Zahl ist (kann negativ sein) und q zum Intervall = r gehört. Die Funktion E(x) = [x] ist konstant auf dem Intervall = r.

Beispiel 2: Funktion y = (x) - Bruchteil einer Zahl. Genauer gesagt, y =(x) = x - [x], wobei [x] der ganzzahlige Teil der Zahl x ist. Diese Funktion ist für alle x definiert. Wenn x eine beliebige Zahl ist, dann stellst du sie als x = r + q (r = [x]) dar, wobei r eine ganze Zahl ist und q im Intervall liegt.
Wir sehen, dass das Hinzufügen von n zum x-Argument den Wert der Funktion nicht ändert.
Die kleinste Nicht-Null-Zahl in n ist , also ist die Periode sin 2x .

Der Wert des Arguments, für das die Funktion gleich 0 ist, wird aufgerufen Null (Wurzel) Funktionen.

Eine Funktion kann mehrere Nullstellen haben.

Zum Beispiel die Funktion y=x(x+1)(x-3) hat drei Nullen: x=0, x=-1, x=3.

Geometrisch ist der Nullpunkt einer Funktion die Abszisse des Schnittpunkts des Funktionsgraphen mit der Achse X .

Abbildung 7 zeigt den Graphen der Funktion mit Nullstellen: x = a, x = b und x = c .

Nähert sich der Graph einer Funktion auf unbestimmte Zeit einer bestimmten Geraden, wenn er sich vom Ursprung wegbewegt, so heißt diese Gerade Asymptote.

Umkehrfunktion

Gegeben sei die Funktion y=ƒ(x) mit dem Definitionsbereich D und der Wertemenge E. Wenn jeder Wert yєE einem einzelnen Wert xєD entspricht, dann ist die Funktion x=φ(y) mit definiert Definitionsbereich E und die Wertemenge D (siehe Abb. 102 ).

Eine solche Funktion φ(y) heißt Umkehrfunktion der Funktion ƒ(x) und wird in folgender Form geschrieben: x=j(y)=f -1 (y) Über die Funktionen y=ƒ(x) und x=φ(y) sie sagen, dass sie zueinander invers sind. Um die Funktion x=φ(y) invers zur Funktion y=ƒ(x) zu finden, genügt es, die Gleichung ƒ(x)=y nach x zu lösen (wenn möglich).

1. Für die Funktion y \u003d 2x ist die Umkehrfunktion die Funktion x \u003d y / 2;

2. Für die Funktion y \u003d x2 xє ist die Umkehrfunktion x \u003d √y; beachten Sie, dass für die Funktion y \u003d x 2, angegeben auf dem Segment [-1; 1] gibt es keine Umkehrung, da ein Wert von y zwei Werten von x entspricht (z. B. wenn y=1/4, dann x1=1/2, x2=-1/2).

Aus der Definition der Umkehrfunktion folgt, dass die Funktion y=ƒ(x) genau dann eine Umkehrung hat, wenn die Funktion ƒ(x) eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Mengen D und E definiert. Daraus folgt, dass beliebig streng monotone Funktion hat eine Umkehrung. Wenn die Funktion zunimmt (abnimmt), steigt außerdem auch die Umkehrfunktion (abnimmt).

Beachten Sie, dass die Funktion y \u003d ƒ (x) und ihre Umkehrung x \u003d φ (y) durch dieselbe Kurve dargestellt werden, dh ihre Graphen stimmen überein. Wenn wir uns einig sind, dass die unabhängige Variable (d. H. Das Argument) wie üblich mit x und die abhängige Variable mit y bezeichnet wird, wird die Umkehrfunktion der Funktion y \u003d ƒ (x) als y \u003d geschrieben φ(x).

Das bedeutet, dass der Punkt M 1 (x o; y o) der Kurve y = f(x) zum Punkt M 2 (y o; x o) der Kurve y = φ(x) wird. Die Punkte M 1 und M 2 sind jedoch symmetrisch zur Geraden y \u003d x (siehe Abb. 103). Daher sind die Graphen der zueinander inversen Funktionen y=f(x) und y=φ(x) symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Koordinatenwinkels.

Komplexe Funktion

Sei die Funktion y=ƒ(u) auf der Menge D und die Funktion u= φ(х) auf der Menge D 1 definiert, und für  x D 1 der entsprechende Wert u=φ(x) є D. Dann ist auf der Menge D 1 die Funktion u=ƒ(φ(x)) definiert, die eine komplexe Funktion von x (oder eine Überlagerung von gegebenen Funktionen oder eine Funktion einer Funktion) genannt wird.

Die Variable u=φ(x) heißt Zwischenargument einer komplexen Funktion.

Beispielsweise ist die Funktion y=sin2x eine Überlagerung zweier Funktionen y=sinu und u=2x. Eine komplexe Funktion kann mehrere Zwischenargumente haben.

4. Grundlegende Elementarfunktionen und ihre Graphen.

Die folgenden Funktionen werden grundlegende Elementarfunktionen genannt.

1) Die Exponentialfunktion y \u003d a x, a> 0, a ≠ 1. In Abb. 104 zeigt Graphen von Exponentialfunktionen, die verschiedenen Exponentialbasen entsprechen.

2) Potenzfunktion y=x α , αєR. Beispiele von Graphen von Potenzfunktionen, die verschiedenen Exponenten entsprechen, sind in den Figuren bereitgestellt

3) Logarithmische Funktion y = log a x, a > 0, a ≠ 1. Graphen von logarithmischen Funktionen, die verschiedenen Basen entsprechen, sind in Abb. 1 gezeigt. 106.

4) Trigonometrische Funktionen y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Graphen trigonometrischer Funktionen haben die in Abb. 1 gezeigte Form. 107.

5) Inverse trigonometrische Funktionen y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx. Auf Abb. 108 zeigt Graphen inverser trigonometrischer Funktionen.

Eine durch eine Formel gegebene Funktion, die aus elementaren Grundfunktionen und Konstanten unter Verwendung einer endlichen Anzahl von arithmetischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) und Operationen zum Abnehmen einer Funktion aus einer Funktion besteht, wird als Elementarfunktion bezeichnet.

Beispiele für elementare Funktionen sind die Funktionen

Beispiele für nicht elementare Funktionen sind die Funktionen

5. Konzepte des Grenzwerts einer Folge und einer Funktion. Eigenschaften einschränken.

Funktionsgrenze (Funktionsgrenze) an einem bestimmten Punkt, der den Definitionsbereich einer Funktion begrenzt, ist ein solcher Wert, zu dem der Wert der betrachteten Funktion tendiert, wenn ihr Argument gegen einen bestimmten Punkt tendiert.

In Mathematik Sequenzlimit Elemente eines metrischen Raums oder eines topologischen Raums ist ein Element desselben Raums, das die Eigenschaft hat, Elemente einer gegebenen Sequenz "anzuziehen". Die Grenze einer Folge von Elementen eines topologischen Raums ist ein solcher Punkt, dessen Nachbarschaft alle Elemente der Folge enthält, beginnend mit einer bestimmten Zahl. In einem metrischen Raum werden Nachbarschaften in Bezug auf eine Abstandsfunktion definiert, daher wird der Begriff einer Grenze in der Sprache der Abstände formuliert. Historisch gesehen war das erste das Konzept des Grenzwerts einer numerischen Folge, das in der mathematischen Analyse auftaucht, wo es als Grundlage für ein Näherungssystem dient und bei der Konstruktion von Differential- und Integralrechnungen weit verbreitet ist.

Bezeichnung:

(lesen: der Grenzwert der x-n-ten Folge in Richtung Unendlich ist a)

Man nennt die Eigenschaft einer Folge, einen Grenzwert zu haben Konvergenz: Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, dann heißt die gegebene Folge konvergiert; andernfalls (wenn die Folge keine Begrenzung hat) heißt die Folge weicht ab. In einem Hausdorff-Raum und insbesondere einem metrischen Raum konvergiert jede Teilfolge einer konvergenten Folge, und ihr Grenzwert ist derselbe wie der Grenzwert der ursprünglichen Folge. Mit anderen Worten, eine Folge von Elementen in einem Hausdorff-Raum kann nicht zwei verschiedene Grenzen haben. Es kann sich jedoch herausstellen, dass die Folge keinen Grenzwert hat, aber es gibt eine Teilfolge (der gegebenen Folge), die einen Grenzwert hat. Wenn eine beliebige Folge von Punkten in einem Raum eine konvergente Teilfolge hat, hat der gegebene Raum die Eigenschaft der sequentiellen Kompaktheit (oder einfach Kompaktheit, wenn Kompaktheit ausschließlich in Bezug auf Folgen definiert ist).

Der Begriff des Grenzwertes einer Folge steht in direktem Zusammenhang mit dem Begriff eines Grenzwertpunktes (Menge): Wenn eine Menge einen Grenzwertpunkt hat, dann gibt es eine Folge von Elementen der gegebenen Menge, die gegen den gegebenen Punkt konvergieren.

Definition

Gegeben sei ein topologischer Raum und eine Folge Dann, wenn es ein solches Element gibt

wo eine offene Menge enthaltend ist, dann heißt sie Grenzwert der Folge. Wenn der Raum metrisch ist, kann die Grenze mithilfe einer Metrik definiert werden: wenn es ein solches Element gibt

Wo ist die Metrik, dann heißt die Grenze.

· Wenn ein Raum mit einer antidiskreten Topologie ausgestattet ist, dann ist der Grenzwert jeder Sequenz ein beliebiges Element des Raums.

6. Grenzwert einer Funktion an einem Punkt. Einseitige Grenzen.

Funktion einer Variablen. Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy. Anzahl b heißt Grenzwert der Funktion beim = f(x) beim X streben nach a(oder an der Stelle a) wenn es für jede positive Zahl  eine positive Zahl  gibt, so dass für alle x ≠ a, so dass | x – a | < , выполняется неравенство
| f(x) – a | <  .

Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Heine. Anzahl b heißt Grenzwert der Funktion beim = f(x) beim X streben nach a(oder an der Stelle a) wenn für jede Sequenz ( x n ) konvergiert zu a(anstrebt a, die eine Grenzzahl hat a) und für jeden Wert n x n≠ a, Folge ( j n= f(x n)) konvergiert gegen b.

Diese Definitionen gehen davon aus, dass die Funktion beim = f(x) ist in einer Umgebung des Punktes definiert a, außer vielleicht für den Punkt a.

Die Definitionen des Grenzwertes einer Funktion an einem Punkt nach Cauchy und nach Heine sind äquivalent: Wenn die Zahl b dient in einem von ihnen als Grenze, so gilt dasselbe in dem zweiten.

Die angegebene Grenze wird wie folgt angegeben:

Geometrisch bedeutet die Existenz des Grenzwertes einer Funktion in einem Punkt nach Cauchy, dass für jede Zahl  > 0 ein solches Rechteck auf der Koordinatenebene mit einer Grundfläche 2 > 0, einer Höhe 2 und einem Mittelpunkt angegeben werden kann am Punkt ( a; b), dass alle Punkte des Graphen dieser Funktion auf dem Intervall ( a– ; a+ ), mit der möglichen Ausnahme des Punktes M(a; f(a)), liegen in diesem Rechteck

Einseitige Begrenzung in der mathematischen Analyse die Grenze einer numerischen Funktion, was bedeutet, dass man sich dem Grenzpunkt von einer Seite "annähert". Solche Grenzen werden entsprechend genannt linke Grenze(oder linke Grenze) und rechte Grenze (rechts begrenzen). Es sei eine numerische Funktion auf einer numerischen Menge gegeben und die Zahl sei der Grenzwert des Definitionsbereichs. Für die einseitige Begrenzung einer Funktion an einem Punkt gibt es verschiedene Definitionen, die aber alle gleichwertig sind.

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Funktionen können auf verschiedene Arten definiert werden. Am gebräuchlichsten sind jedoch die folgenden drei Möglichkeiten, Funktionen zu definieren: analytisch, tabellarisch und grafisch.

Analytische Art, eine Funktion zu definieren. Bei der analytischen Einstellungsmethode wird die Funktion unter Verwendung eines analytischen Ausdrucks definiert, d. h. unter Verwendung einer Formel, die angibt, welche Operationen mit dem Wert des Arguments ausgeführt werden müssen, um den entsprechenden Wert der Funktion zu erhalten.

In den Abschnitten 2 und 3 sind wir bereits Funktionen begegnet, die mit Hilfe von Formeln, also analytisch, definiert wurden. Gleichzeitig wurde in Absatz 2 für die Funktion der Definitionsbereich ) aufgrund geometrischer Überlegungen festgelegt und für die Funktion der Zuordnungsbereich in der Bedingung angegeben. In Abschnitt 3 wurde für die Funktion auch der Definitionsbereich durch Bedingung spezifiziert. Sehr oft wird eine Funktion jedoch ohne weitere Bedingungen nur mit Hilfe eines analytischen Ausdrucks (Formel) spezifiziert. Unter Definitionsbereich einer Funktion verstehen wir in solchen Fällen die Menge all jener Werte des Arguments, für die dieser Ausdruck sinnvoll ist und zu den eigentlichen Werten der Funktion führt.

Beispiel 1. Ermitteln Sie den Geltungsbereich einer Funktion

Entscheidung. Die Funktion ist nur durch eine Formel definiert, ihr Umfang ist nicht festgelegt, und es gibt keine zusätzlichen Bedingungen. Daher müssen wir unter der Domäne dieser Funktion die Gesamtheit aller Werte des Arguments verstehen, für die der Ausdruck reale Werte hat. Dafür sollte es geben. Wenn wir diese Ungleichung lösen, kommen wir zu dem Schluss, dass der Definitionsbereich dieser Funktion das Segment [-1.1] ist.

Beispiel 2. Ermitteln Sie den Gültigkeitsbereich einer Funktion.

Entscheidung. Der Definitionsbereich besteht offensichtlich aus zwei unendlichen Intervallen, da der Ausdruck nicht sinnvoll und sinnvoll ist, wenn a für alle anderen Werte definiert ist.

Der Leser wird nun leicht erkennen, dass der Definitionsbereich für eine Funktion die gesamte numerische Achse und für eine Funktion ein unendliches Intervall ist

Es ist zu beachten, dass es unmöglich ist, eine Funktion und eine Formel zu identifizieren, mit der diese Funktion angegeben wird. Mit derselben Formel können Sie verschiedene Funktionen definieren. Tatsächlich haben wir in Abschnitt 2 eine Funktion mit einem Definitionsbereich betrachtet, in Abschnitt 3 wurde ein Graph für eine Funktion mit einem Definitionsbereich konstruiert. Und schließlich haben wir gerade eine Funktion betrachtet, die nur durch eine Formel ohne zusätzliche Bedingungen definiert ist. Der Geltungsbereich dieser Funktion ist die gesamte Zahlenachse. Diese drei Funktionen unterscheiden sich, weil sie unterschiedliche Geltungsbereiche haben. Aber sie werden mit der gleichen Formel eingestellt.

Auch der umgekehrte Fall ist möglich, wenn eine Funktion in verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs durch unterschiedliche Formeln gegeben ist. Betrachten Sie zum Beispiel eine Funktion y, die für alle nicht negativen Werte wie folgt definiert ist: für at d.h.

Diese Funktion wird durch zwei analytische Ausdrücke definiert, die auf verschiedene Teile ihres Definitionsbereichs wirken. Der Graph dieser Funktion ist in Abb. achtzehn.

Tabellarische Art, eine Funktion zu definieren. Wenn eine Funktion in einer Tabelle angegeben wird, wird eine Tabelle erstellt, in der eine Reihe von Argumentwerten und entsprechenden Funktionswerten angegeben sind. Logarithmische Tabellen, Wertetabellen trigonometrischer Funktionen und viele andere sind weithin bekannt. Sehr oft ist es notwendig, Tabellen von Funktionswerten zu verwenden, die direkt aus Erfahrung gewonnen wurden. Die folgende Tabelle zeigt den aus Erfahrung gewonnenen spezifischen Widerstand von Kupfer (in cm - Zentimeter) bei verschiedenen Temperaturen t (in Grad):

Grafische Art, eine Funktion zu definieren. Wenn eine grafische Aufgabe gegeben wird, wird der Graph der Funktion angegeben, und ihre Werte, die bestimmten Werten des Arguments entsprechen, werden direkt aus diesem Graphen gefunden. In vielen Fällen werden solche Grafiken mit selbstaufzeichnenden Geräten erstellt.