Vorlesung 3 FNP, partielle Ableitungen, Differential

Was ist das Wichtigste, was wir in der letzten Vorlesung gelernt haben

Was eine Funktion mehrerer Variablen ist, haben wir mit einem Argument aus dem euklidischen Raum gelernt. Untersucht, was die Grenze und Kontinuität für eine solche Funktion ist

Was lernen wir in diesem Vortrag?

In Fortsetzung des Studiums von FNP werden wir die partiellen Ableitungen und Differentiale für diese Funktionen untersuchen. Erfahren Sie, wie Sie die Gleichung der Tangentialebene und der Normalen zur Oberfläche schreiben.

Partielle Ableitung, volles Differential FNP. Zusammenhang zwischen der Differenzierbarkeit einer Funktion und der Existenz partieller Ableitungen

Für eine Funktion einer reellen Variablen wurden nach dem Studium der Themen "Grenzen" und "Kontinuität" (Einführung in die mathematische Analysis) die Ableitungen und Differentiale der Funktion untersucht. Wenden wir uns der Betrachtung ähnlicher Fragen für eine Funktion mehrerer Variablen zu. Beachten Sie, dass, wenn alle Argumente außer einem in der FRR festgelegt sind, die FRR eine Funktion eines Arguments generiert, für die man ein Inkrement, ein Differential und eine Ableitung berücksichtigen kann. Wir nennen sie jeweils partielles Inkrement, partielles Differential und partielle Ableitung. Gehen wir zu den genauen Definitionen über.

Bestimmung 10. Gegeben sei wo eine Funktion von Variablen - ein Element des euklidischen Raums und die entsprechenden Inkremente der Argumente , ,…, . Bei den Werten handelt es sich um Teilinkremente der Funktion. Das Gesamtinkrement einer Funktion ist der Wert von .

Beispielsweise sind für eine Funktion mit zwei Variablen , wobei ein Punkt auf der Ebene und ist, die entsprechenden Inkremente der Argumente, die Inkremente , privat. In diesem Fall ist der Wert die vollen Inkremente einer Funktion zweier Variablen.

Bestimmung 11. Partielle Ableitung einer Funktion von Variablen by variable ist die Grenze des Verhältnisses des partiellen Inkrements einer Funktion durch diese Variable zum Inkrement des entsprechenden Arguments, wenn es gegen 0 geht.

Wir schreiben Definition 11 als Formel oder erweitert. (2) Für eine Funktion von zwei Variablen kann Definition 11 in Form von Formeln geschrieben werden , . Aus praktischer Sicht bedeutet diese Definition, dass bei der Berechnung der partiellen Ableitung in Bezug auf eine Variable alle anderen Variablen fest sind und wir diese Funktion als Funktion einer ausgewählten Variablen betrachten. In Bezug auf diese Variable wird die übliche Ableitung genommen.

Beispiel 4. Finden Sie für eine Funktion die partiellen Ableitungen und den Punkt, an dem beide partiellen Ableitungen 0 sind.

Entscheidung . Wir berechnen die partiellen Ableitungen , und schreiben Sie das System in der Form Die Lösung dieses Systems ist zwei Punkte und .

Betrachten wir nun, wie das Konzept eines Differentials auf FNP verallgemeinert werden kann. Erinnern Sie sich, dass eine Funktion einer Variablen als differenzierbar bezeichnet wird, wenn ihr Inkrement als dargestellt wird , während der Wert der Hauptteil des Inkrements der Funktion ist und ihr Differential genannt wird. Der Wert ist eine Funktion von , hat die Eigenschaft, dass , d.h. eine Funktion ist, die im Vergleich zu infinitesimal ist. Eine Funktion einer Variablen ist an einem Punkt genau dann differenzierbar, wenn sie an diesem Punkt eine Ableitung hat. Außerdem ist die Konstante und gleich dieser Ableitung, d. h. die Formel gilt für das Differential .

Wenn wir einen Teilzuwachs von FNP betrachten, ändert sich nur eines der Argumente, und dieser Teilzuwachs kann als Zuwachs einer Funktion einer Variablen betrachtet werden, d.h. dieselbe Theorie funktioniert. Daher die Differenzierbarkeitsbedingung gilt genau dann, wenn es eine partielle Ableitung gibt, in welchem ​​Fall das partielle Differential gegeben ist durch .

Was ist das totale Differential einer Funktion mehrerer Variablen?

Bestimmung 12. Funktion von Variablen heißt an einem Punkt differenzierbar , wenn sein Inkrement als dargestellt wird. In diesem Fall wird der Hauptteil des Inkrements als FNP-Differential bezeichnet.

Das FNP-Differential ist also der Wert . Lassen Sie uns klären, was wir mit dem Wert meinen , die wir infinitesimal im Vergleich zu den Inkrementen der Argumente nennen werden . Dies ist eine Funktion, die die Eigenschaft hat, dass, wenn alle Inkremente außer einem 0 sind, die Gleichheit gilt . Im Wesentlichen bedeutet dies das = = + +…+ .

Und wie hängen die Bedingungen für die Differenzierbarkeit von FNP und die Bedingungen für die Existenz partieller Ableitungen dieser Funktion zusammen?

Satz 1. Wenn eine Funktion von Variablen an einem Punkt differenzierbar ist , dann hat sie an dieser Stelle und gleichzeitig partielle Ableitungen nach allen Variablen .

Nachweisen. Wir schreiben die Gleichheit für und in der Form und teilen Sie beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch . In der resultierenden Gleichheit gehen wir zur Grenze bei über. Als Ergebnis erhalten wir die geforderte Gleichheit. Der Satz ist bewiesen.

Folge. Das Differential einer Funktion von Variablen wird durch die Formel berechnet . (3)

In Beispiel 4 war das Differential der Funktion gleich . Beachten Sie, dass das gleiche Differential an einem Punkt gleich ist . Aber wenn wir es an einem Punkt mit Inkrementen berechnen, dann ist das Differential gleich . Beachten Sie, dass , der genaue Wert der gegebenen Funktion an diesem Punkt ist gleich , aber derselbe Wert, näherungsweise berechnet mit dem 1. Differential, ist gleich . Wir sehen, dass wir die Werte der Funktion annähern können, indem wir das Inkrement einer Funktion durch ihr Differential ersetzen.

Aber wird eine Funktion mehrerer Variablen an einem Punkt differenzierbar sein, wenn sie an diesem Punkt partielle Ableitungen hat? Im Gegensatz zu einer Funktion einer Variablen lautet die Antwort auf diese Frage nein. Die genaue Formulierung der Beziehung ist durch den folgenden Satz gegeben.

Satz 2. Ist die Funktion der Variablen an der Stelle gibt es stetige partielle Ableitungen nach allen Variablen, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

als . In jeder Klammer ändert sich nur eine Variable, sodass wir hier und da die endliche Inkrementformel von Lagrange anwenden können. Die Essenz dieser Formel besteht darin, dass für eine kontinuierlich differenzierbare Funktion einer Variablen die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten gleich dem Wert der Ableitung an einem Zwischenpunkt ist, multipliziert mit dem Abstand zwischen den Punkten. Wenn wir diese Formel auf jede der Klammern anwenden, erhalten wir . Aufgrund der Kontinuität partieller Ableitungen unterscheiden sich die Ableitung am Punkt und die Ableitung am Punkt von den Ableitungen und am Punkt durch die Werte und gegen 0 tendierend als gegen 0 tendierend. Aber dann und natürlich . Der Satz ist bewiesen. , und die Koordinate Prüfen Sie, ob dieser Punkt zur Fläche gehört. Schreiben Sie die Gleichung für die Tangentialebene und die Gleichung für die Normale zur Oberfläche an dem angegebenen Punkt.

Entscheidung. Wirklich, . Wir haben bereits in der letzten Vorlesung das Differential dieser Funktion an einem beliebigen Punkt berechnet, an einem gegebenen Punkt ist es gleich . Daher wird die Gleichung der Tangentialebene in der Form oder und die Gleichung der Normalen - in der Form geschrieben .

Jede partielle Ableitung (über x und von j) einer Funktion zweier Variablen ist die gewöhnliche Ableitung einer Funktion einer Variablen mit einem festen Wert der anderen Variablen:

(wo j= konstant),

(wo x= konstant).

Daher werden partielle Ableitungen berechnet Formeln und Regeln zur Berechnung von Ableitungen von Funktionen einer Variablen, während die andere Variable als Konstante (Konstante) betrachtet wird.

Wenn Sie keine Analyse von Beispielen und das dafür notwendige Minimum an Theorie benötigen, sondern nur eine Lösung Ihres Problems, dann gehen Sie zu Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Wenn es schwierig ist, sich darauf zu konzentrieren, wo sich die Konstante in der Funktion befindet, können Sie im Lösungsentwurf des Beispiels eine beliebige Zahl anstelle einer Variablen mit einem festen Wert ersetzen - dann können Sie die partielle Ableitung schnell als gewöhnlich berechnen Ableitung einer Funktion einer Variablen. Es ist nur notwendig, nicht zu vergessen, die Konstante (eine Variable mit einem festen Wert) am Ende wieder an ihren Platz zu bringen.

Die oben beschriebene Eigenschaft partieller Ableitungen ergibt sich aus der Definition einer partiellen Ableitung, die in Prüfungsfragen zu finden ist. Um sich mit der folgenden Definition vertraut zu machen, können Sie daher die theoretische Referenz öffnen.

Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion z= f(x, j) an einem Punkt wird ähnlich wie dieses Konzept für eine Funktion einer Variablen definiert.

Funktion z = f(x, j) heißt an einem Punkt stetig, wenn

Die Differenz (2) wird als Gesamtinkrement der Funktion bezeichnet z(erhält man durch Inkrementieren beider Argumente).

Lassen Sie die Funktion z= f(x, j) und Punkt

Wenn sich die Funktion ändert z tritt auf, wenn sich nur eines der Argumente ändert, z. x, mit einem festen Wert des anderen Arguments j, dann wird die Funktion inkrementiert

wird als partielles Inkrement der Funktion bezeichnet f(x, j) An x.

Unter Berücksichtigung der Funktionsänderung z Abhängig von der Änderung nur eines der Argumente gehen wir tatsächlich zu einer Funktion einer Variablen über.

Wenn es eine endliche Grenze gibt

dann heißt sie die partielle Ableitung der Funktion f(x, j) argumentativ x und wird durch eines der Symbole bezeichnet

(4)

Das Teilinkrement ist ähnlich definiert z An j:

und partielle Ableitung f(x, j) An j:

(6)

Beispiel 1

Entscheidung. Wir finden die partielle Ableitung nach der Variablen "x":

(j Fest);

Wir finden die partielle Ableitung in Bezug auf die Variable "y":

(x Fest).

Wie Sie sehen, spielt es keine Rolle, inwieweit die Variable fest ist: In diesem Fall ist es nur eine Zahl, die ein Faktor (wie im Fall der üblichen Ableitung) mit der Variablen ist, durch die wir den Partialwert finden Derivat. Wenn die fixe Variable nicht mit der Variablen multipliziert wird, nach der wir die partielle Ableitung finden, dann verschwindet diese einsame Konstante, egal wie weit, wie im Fall der gewöhnlichen Ableitung.

Beispiel 2 Gegeben eine Funktion

Finden Sie partielle Ableitungen

(durch x) und (durch y) und berechnen Sie ihre Werte an der Stelle SONDERN (1; 2).

Entscheidung. Zu einem festen j die Ableitung des ersten Terms wird als Ableitung der Potenzfunktion gefunden ( Tabelle der Ableitungsfunktionen einer Variablen):

.

Zu einem festen x Die Ableitung des ersten Terms wird als Ableitung der Exponentialfunktion und die zweite als Ableitung der Konstante gefunden:

Jetzt berechnen wir die Werte dieser partiellen Ableitungen an der Stelle SONDERN (1; 2):

Sie können die Lösung von Aufgaben mit partiellen Ableitungen weiter überprüfen Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Beispiel 3 Finde partielle Ableitungen von Funktionen

Entscheidung. In einem Schritt finden wir

(j x, als ob das Argument des Sinus 5 wäre x: ebenso erscheint 5 vor dem Vorzeichen der Funktion);

(x fest ist und in diesem Fall ein Faktor bei ist j).

Sie können die Lösung von Aufgaben mit partiellen Ableitungen weiter überprüfen Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Die partiellen Ableitungen einer Funktion von drei oder mehr Variablen werden ähnlich definiert.

Wenn jeder Wertesatz ( x; j; ...; t) unabhängige Variablen aus der Menge D entspricht einem bestimmten Wert u Von vielen E, dann u heißt Funktion von Variablen x, j, ..., t und bezeichnen u= f(x, j, ..., t).

Für Funktionen von drei oder mehr Variablen gibt es keine geometrische Interpretation.

Partielle Ableitungen einer Funktion mehrerer Variablen werden auch unter der Annahme definiert und berechnet, dass sich nur eine der unabhängigen Variablen ändert, während die anderen fest sind.

Beispiel 4 Finde partielle Ableitungen von Funktionen

.

Entscheidung. j und z Fest:

x und z Fest:

x und j Fest:

Finden Sie selbst partielle Ableitungen und sehen Sie sich dann Lösungen an

Beispiel 5

Beispiel 6 Finden Sie partielle Ableitungen einer Funktion.

Die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen hat dasselbe mechanische Bedeutung als Ableitung einer Funktion einer Variablen, ist die Rate, mit der sich die Funktion relativ zu einer Änderung in einem der Argumente ändert.

Beispiel 8 Durchflussmenge P Bahnreisende können als Funktion ausgedrückt werden

wo P- die Anzahl der Passagiere, N- die Einwohnerzahl der entsprechenden Punkte, R– Abstand zwischen Punkten.

Partielle Ableitung einer Funktion P An R gleicht

zeigt, dass die Abnahme des Passagierstroms umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen den entsprechenden Punkten bei gleicher Einwohnerzahl in den Punkten ist.

Partielle Ableitung P An N gleicht

zeigt, dass die Zunahme des Passagierstroms proportional zur doppelten Einwohnerzahl von Siedlungen mit gleichem Abstand zwischen den Punkten ist.

Sie können die Lösung von Aufgaben mit partiellen Ableitungen weiter überprüfen Online-Rechner für partielle Ableitungen .

Volles Differenzial

Das Produkt aus der partiellen Ableitung und dem Inkrement der entsprechenden unabhängigen Variablen wird als partielles Differential bezeichnet. Teildifferentiale werden wie folgt bezeichnet:

Die Summe der partiellen Differentiale über alle unabhängigen Variablen ergibt das Gesamtdifferential. Für eine Funktion zweier unabhängiger Variablen wird das Gesamtdifferential durch die Gleichheit ausgedrückt

(7)

Beispiel 9 Finden Sie das vollständige Differential einer Funktion

Entscheidung. Das Ergebnis der Verwendung von Formel (7):

Eine Funktion, die an jedem Punkt eines Bereichs ein totales Differential hat, heißt in diesem Bereich differenzierbar.

Finden Sie das Gesamtdifferential selbst und sehen Sie sich dann die Lösung an

Genau wie bei einer Funktion einer Variablen impliziert die Differenzierbarkeit einer Funktion in einem bestimmten Bereich ihre Stetigkeit in diesem Bereich, aber nicht umgekehrt.

Formulieren wir ohne Beweis eine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit einer Funktion.

Satz. Wenn die Funktion z= f(x, j) hat kontinuierliche partielle Ableitungen

in einem gegebenen Bereich, dann ist es in diesem Bereich differenzierbar und sein Differential wird durch Formel (7) ausgedrückt.

Es kann gezeigt werden, dass, ebenso wie im Fall einer Funktion einer Variablen, das Differential der Funktion der lineare Hauptteil des Inkrements der Funktion ist, so ist es im Fall einer Funktion mehrerer Variablen das gesamte Differential der Hauptteil, linear in Bezug auf Zuwächse unabhängiger Variablen, Teil des Gesamtzuwachses der Funktion.

Bei einer Funktion aus zwei Variablen hat das Gesamtinkrement der Funktion die Form

(8)

wobei α und β für und infinitesimal sind.

Partielle Ableitungen höherer Ordnungen

Partielle Ableitungen und Funktionen f(x, j) sind selbst einige Funktionen derselben Variablen und können wiederum Ableitungen in Bezug auf verschiedene Variablen haben, die als partielle Ableitungen höherer Ordnung bezeichnet werden.

Die Funktion sei in einem (offenen) Bereich definiert D Punkte
Dimensionsraum und
ist ein Punkt in diesem Bereich, d.h.
D.

Teilinkrement einer Funktion von vielen Variablen für eine beliebige Variable wird das Inkrement genannt, das die Funktion erhält, wenn wir dieser Variablen ein Inkrement geben, vorausgesetzt, dass alle anderen Variablen konstante Werte haben.

Zum Beispiel Teilinkrement einer Funktion über eine Variable Wille

Partielle Ableitung in Bezug auf die unabhängige Variable am Punkt
aus der Funktion heißt der Grenzwert (falls vorhanden) der Teilinkrementbeziehung
Funktionen zu erhöhen
Variable beim Streben
bis Null:

Die partielle Ableitung wird durch eines der Symbole bezeichnet:

;
.

Kommentar. Index unten in dieser Notation gibt nur an, von welcher der Variablen die Ableitung genommen wird, und bezieht sich nicht auf welchen Punkt
diese Ableitung wird berechnet.

Die Berechnung partieller Ableitungen ist nichts Neues im Vergleich zur Berechnung der gewöhnlichen Ableitung, man muss sich nur daran erinnern, dass beim Ableiten einer Funktion nach einer beliebigen Variablen alle anderen Variablen als Konstanten angenommen werden. Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen zeigen.

Beispiel 1Finde partielle Ableitungen von Funktionen
.

Entscheidung. Bei der Berechnung der partiellen Ableitung einer Funktion
durch argument bedenke die Funktion als Funktion nur einer Variablen , d.h. glaube das hat einen festen Wert. Zu einem festen Funktion
ist die Potenzfunktion des Arguments . Nach der Formel zum Ableiten einer Potenzfunktion erhalten wir:

Ebenso bei der Berechnung der partiellen Ableitung wir gehen davon aus, dass der Wert fest ist , und betrachte die Funktion
als Exponentialfunktion des Arguments . Als Ergebnis erhalten wir:

Beispiel 2. Hfinden Sie partielle Ableitungen und Funktionen
.

Entscheidung. Bei der Berechnung der partiellen Ableitung bzgl gegebene Funktion betrachten wir als Funktion einer Variablen , und Ausdrücke mit , werden konstante Faktoren sein, d.h.
wirkt als konstanter Faktor mit Potenzfunktion (
). Differenzieren dieses Ausdrucks in Bezug auf , wir bekommen:

.

Nun, im Gegenteil, die Funktion als Funktion einer Variablen betrachtet , während Ausdrücke enthalten , wirken als Koeffizient
(
).Unterscheidung nach den Ableitungsregeln trigonometrischer Funktionen erhalten wir:

Beispiel 3 Partielle Ableitungen einer Funktion berechnen
am Punkt
.

Entscheidung. Wir finden zunächst die partiellen Ableitungen dieser Funktion an einem beliebigen Punkt
sein Definitionsbereich. Bei der Berechnung der partiellen Ableitung bzgl glaube das
sind dauerhaft.

beim Differenzieren nach wird dauerhaft sein
:

und bei der Berechnung partieller Ableitungen bzgl und von , in ähnlicher Weise, wird jeweils konstant sein,
und
, dh:

Jetzt berechnen wir die Werte dieser Ableitungen an der Stelle
, Ersetzen bestimmter Werte von Variablen in ihre Ausdrücke. Als Ergebnis erhalten wir:

11. Partielle und totale Differentiale einer Funktion

Wenn jetzt zu einem privaten Zuwachs
Wenden Sie den Satz von Lagrange auf endliche Inkremente in Bezug auf eine Variable an , dann zählen stetig erhalten wir folgende Beziehungen:

wo
,
ist eine infinitesimale Größe.

Partielles Differential einer Funktion nach Variable wird der lineare Hauptteil des Teilinkrements genannt
, gleich dem Produkt der partiellen Ableitung nach dieser Variablen und dem Inkrement dieser Variablen, und bezeichnet

Offensichtlich unterscheidet sich das partielle Differential vom partiellen Inkrement um eine infinitesimale höhere Ordnung.

Volle Funktionssteigerung vieler Variablen wird sein Inkrement genannt, das es erhält, wenn wir allen unabhängigen Variablen ein Inkrement geben, d.h.

wo sind alle
, hängen ab und tendieren zusammen mit ihnen gegen Null.

Unter Differentiale unabhängiger Variablen vereinbart zu bedeuten willkürlich Schritte
und beschrifte sie
. Somit nimmt der Ausdruck des partiellen Differentials die Form an:

Zum Beispiel ein partielles Differential An ist so definiert:

.

volles Differential
Funktionen vieler Variablen wird der lineare Hauptteil des Gesamtinkrements genannt
gleich, d.h. die Summe aller seiner partiellen Differentiale:

Wenn die Funktion
hat stetige partielle Ableitungen

am Punkt
, dann hat sie an einem bestimmten Punkt differenzierbar.

Denn hinreichend klein für eine differenzierbare Funktion
es gibt ungefähre Gleichheiten

,

die für ungefähre Berechnungen verwendet werden können.

Beispiel 4Finden Sie das vollständige Differential einer Funktion
drei Variablen
.

Entscheidung. Zunächst finden wir die partiellen Ableitungen:

Beachten Sie, dass sie für alle Werte kontinuierlich sind
, wir finden:

Für Differentiale von Funktionen mehrerer Veränderlicher gelten alle Sätze über die Eigenschaften von Differentialen, die für Funktionen einer Veränderlichen bewiesen wurden, zB: wenn und sind stetige Funktionen von Variablen
, die stetige partielle Ableitungen nach allen Variablen haben, und und beliebige Konstanten sind, dann gilt:

(6)

privates Derivat Funktionen z = f(x, y durch Variable x die Ableitung dieser Funktion heißt bei einem konstanten Wert der Variablen y, sie wird mit oder z "x" bezeichnet.

privates Derivat Funktionen z = f(x, y) durch Variable y genannt die Ableitung in Bezug auf y bei einem konstanten Wert der Variablen y; es wird mit oder z "y bezeichnet.

Die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen nach einer Variablen ist definiert als die Ableitung dieser Funktion nach der entsprechenden Variablen, sofern die anderen Variablen als konstant angesehen werden.

volles Differential Funktion z = f(x, y) irgendwann M(X, y) heißt Ausdruck

,

Wobei und am Punkt M(x, y) berechnet werden und dx = , dy = y.

Beispiel 1

Berechnen Sie das totale Differential der Funktion.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 am Punkt M (1; 2)

Entscheidung:

1) Finden Sie partielle Ableitungen:

2) Berechnen Sie den Wert partieller Ableitungen am Punkt M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Fragen zur Selbstkontrolle:

1. Was wird Stammfunktion genannt? Nennen Sie die Eigenschaften eines Antiderivats.

2. Was nennt man ein unbestimmtes Integral?

3. Listen Sie die Eigenschaften des unbestimmten Integrals auf.

4. Listen Sie die grundlegenden Integrationsformeln auf.

5. Welche Integrationsmethoden kennen Sie?

6. Was ist die Essenz der Newton-Leibniz-Formel?

7. Geben Sie eine Definition eines bestimmten Integrals an.

8. Was ist das Wesentliche bei der Berechnung eines bestimmten Integrals nach der Substitutionsmethode?

9. Was ist das Wesen der Methode, ein bestimmtes Integral nach Teilen zu berechnen?

10. Welche Funktion wird als Funktion zweier Variablen bezeichnet? Wie wird es bezeichnet?

11. Welche Funktion wird als Funktion von drei Variablen bezeichnet?

12. Welche Menge wird Definitionsbereich einer Funktion genannt?

13. Mit Hilfe welcher Ungleichungen kann man einen abgeschlossenen Bereich D auf einer Ebene definieren?

14. Wie heißt die partielle Ableitung der Funktion z \u003d f (x, y) in Bezug auf die Variable x? Wie wird es bezeichnet?

15. Wie heißt die partielle Ableitung der Funktion z \u003d f (x, y) in Bezug auf die Variable y? Wie wird es bezeichnet?

16. Welchen Ausdruck nennt man das totale Differential einer Funktion?

Thema 1.2 Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Probleme, die zu Differentialgleichungen führen. Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen. Allgemeine und private Lösungen. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung. Lineare homogene Gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Praktische Lektion Nr. 7 "Finden allgemeiner und besonderer Lösungen von Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen" *

Praktikum Nr. 8 "Lineare und homogene Differentialgleichungen"

Praktikum Nr. 9 "Lösung von Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten" *

L4, Kapitel 15, S. 243 - 256

Richtlinien