Die statistische Gesamtheit besteht aus einer Reihe von Einheiten, Objekten oder Phänomenen, die in gewisser Hinsicht homogen sind und sich gleichzeitig in ihren Größenmerkmalen unterscheiden. Der Wert der Merkmale jedes Objekts wird sowohl durch das Gemeinsame für alle Einheiten der Bevölkerung als auch durch seine individuellen Merkmale bestimmt.

Bei der Analyse der geordneten Verteilungsreihen (Rang, Intervall etc.) fällt auf, dass sich die Elemente der statistischen Grundgesamtheit deutlich um einige zentrale Werte konzentrieren. Eine solche Konzentration von Einzelwerten eines Merkmals um einige zentrale Werte findet in der Regel in allen statistischen Verteilungen statt. Die Tendenz einzelner Werte des untersuchten Merkmals, sich um das Häufigkeitsverteilungszentrum zu gruppieren, wird als bezeichnet zentraler Trend. Zur Charakterisierung des zentralen Verteilungstrends werden verallgemeinernde Indikatoren verwendet, die als Durchschnittswerte bezeichnet werden.

Durchschnittswert in der Statistik bezeichnen sie einen verallgemeinernden Indikator, der die typische Größe eines Merkmals in einer qualitativ homogenen Population unter bestimmten räumlichen und zeitlichen Bedingungen charakterisiert und den Wert eines variablen Merkmals pro Einheit der Population widerspiegelt. Der Durchschnittswert wird in den meisten Fällen berechnet, indem das Gesamtvolumen des Merkmals durch die Anzahl der Einheiten geteilt wird, die dieses Merkmal aufweisen. Sind beispielsweise die monatliche Lohnsumme und die Anzahl der Arbeiter pro Monat bekannt, so kann der durchschnittliche Monatslohn durch Division der Lohnsumme durch die Anzahl der Arbeiter ermittelt werden.

Die Durchschnittswerte sind solche Indikatoren wie die durchschnittliche Länge des Arbeitstages, der Woche, des Jahres, die durchschnittliche Lohnkategorie der Arbeitnehmer, das durchschnittliche Niveau der Arbeitsproduktivität, das durchschnittliche Volkseinkommen pro Kopf, der durchschnittliche Ernteertrag im Land, der durchschnittliche Nahrungsmittelverbrauch pro Kopf usw. .d.

Durchschnittswerte werden sowohl aus absoluten als auch aus relativen Werten berechnet, sie werden als Indikatoren bezeichnet und in denselben Maßeinheiten wie das gemittelte Attribut gemessen. Sie charakterisieren den Wert der untersuchten Grundgesamtheit mit einer Zahl. Die Durchschnittswerte spiegeln das objektive und typische Niveau sozioökonomischer Phänomene und Prozesse wider.

Jeder Durchschnitt charakterisiert die untersuchte Population anhand eines von einigen Merkmalen, aber um eine Population zu charakterisieren, ihre typischen Merkmale und qualitativen Merkmale zu beschreiben, ist ein System von Durchschnittsindikatoren erforderlich. Daher wird es in der Praxis der inländischen Statistik in der Regel zur Untersuchung sozioökonomischer Phänomene verwendet System der Durchschnittswerte. So werden beispielsweise Indikatoren für Durchschnittslöhne zusammen mit Indikatoren für Arbeitsproduktivität (durchschnittliche Leistung pro Arbeitszeiteinheit), Kapital-Arbeits-Verhältnis und Energieeinsparung, Grad der Mechanisierung und Automatisierung der Arbeit usw. bewertet.

In der statistischen Wissenschaft und Praxis sind Durchschnittswerte äußerst wichtig. Die Methode der Mittelwerte ist eine der wichtigsten statistischen Methoden, und der Durchschnitt ist eine der Hauptkategorien der statistischen Wissenschaft. Die Theorie der Mittelwerte nimmt einen der zentralen Plätze in der Theorie der Statistik ein. Durchschnittswerte sind die Grundlage für die Berechnung der Variationsindikatoren (Abschnitt 5), Stichprobenfehler (Abschnitt 6), ANOVA (Abschnitt 8) und Korrelationsanalyse (Abschnitt 9).

Es ist auch unmöglich, Statistiken ohne Indizes darzustellen, und letztere sind im Wesentlichen Durchschnittswerte. Die Verwendung der Methode der statistischen Gruppierungen führt auch zur Verwendung von Durchschnittswerten.

Wie bereits erwähnt, ist die Gruppierungsmethode eine der Hauptmethoden der Statistik. Die Methode der Mittelwerte in Kombination mit der Methode der Gruppierungen ist fester Bestandteil einer wissenschaftlich entwickelten statistischen Methodik. Durchschnittsindikatoren ergänzen die Methode der statistischen Gruppierungen organisch.

Mittelwerte werden verwendet, um die Veränderung der Phänomene im Laufe der Zeit zu charakterisieren, um das durchschnittliche Wachstum und die Wachstumsraten zu berechnen. Zum Beispiel zeigt ein Vergleich der durchschnittlichen Wachstumsraten der Arbeitsproduktivität und ihrer Vergütung für einen bestimmten Zeitraum (mehrere Jahre) die Art der Entwicklung des Phänomens über den untersuchten Zeitraum, getrennt von der Arbeitsproduktivität und getrennt von den Löhnen. Der Vergleich der Wachstumsraten dieser beiden Phänomene vermittelt eine Vorstellung von der Art und Besonderheit des Verhältnisses von Wachstum oder Rückgang der Arbeitsproduktivität im Verhältnis zu ihrer Zahlung für bestimmte Zeiträume.

In allen Fällen, in denen es notwendig wird, die Gesamtheit der sich ändernden Werte eines Merkmals durch eine Zahl zu charakterisieren, wird sein Durchschnittswert verwendet.

In der statistischen Grundgesamtheit ändert sich der Wert des Attributs von Objekt zu Objekt, das heißt, er variiert. Indem wir diese Werte mitteln und jedem Mitglied der Bevölkerung die Höhe des Attributwerts zur Verfügung stellen, abstrahieren wir von den einzelnen Werten des Attributs und ersetzen so gewissermaßen die Reihe der Verteilung von Attributwerten durch der gleiche Wert gleich dem Durchschnittswert. Eine solche Abstraktion ist jedoch nur dann gerechtfertigt, wenn die Mittelung die Haupteigenschaft in Bezug auf das gegebene Merkmal als Ganzes nicht verändert. Dies ist die Haupteigenschaft der statistischen Population, die mit den einzelnen Werten des Merkmals verbunden ist und die, wenn sie gemittelt wird, unverändert bleiben muss, wird als definierende Eigenschaft des Durchschnitts in Bezug auf das untersuchte Merkmal bezeichnet. Mit anderen Worten, der Durchschnitt, der die einzelnen Werte des Attributs ersetzt, sollte das Gesamtvolumen des Phänomens nicht ändern, d. H. obligatorisch solche Gleichheit: Das Volumen des Phänomens ist gleich dem Produkt des Durchschnittswerts durch die Größe der Bevölkerung. Wenn beispielsweise aus drei Gerstenertragswerten (x, = 20,0; 23,3; 23,6 Zentner/ha) der Durchschnitt (20,0 + 23,3 + 23,6) errechnet wird: 3 = 22,3 Zentner/ha, dann entsprechend der bestimmenden Eigenschaft des Mittelwertes ist folgende Gleichheit zu beachten:

Wie aus obigem Beispiel ersichtlich ist, stimmt der durchschnittliche Gerstenertrag mit keinem der Einzelerträge überein, da in keinem Betrieb ein Ertrag von 22,3 c/ha erzielt wird. Wenn wir uns jedoch vorstellen, dass jeder Betrieb 22,3 ct/ha erhalten hat, ändert sich der Gesamtertrag nicht und beträgt 66,9 ct/ha. Folglich kann der Durchschnitt, der den tatsächlichen Wert einzelner Einzelindikatoren ersetzt, die Größe der gesamten Summe der Werte des untersuchten Merkmals nicht ändern.

Der Hauptwert von Durchschnittswerten ist ihre verallgemeinernde Funktion, d.h. beim Ersetzen einer Reihe unterschiedlicher Einzelwerte eines Merkmals durch einen Durchschnittswert, der die gesamte Reihe von Phänomenen charakterisiert. Die Eigenschaft des Durchschnitts, nicht einzelne Einheiten zu charakterisieren, sondern das Niveau des Attributs pro Einheit der Bevölkerung auszudrücken, ist seine unverwechselbare Fähigkeit. Dieses Merkmal macht den Durchschnitt zu einem verallgemeinernden Indikator für das Niveau unterschiedlicher Merkmale, d. h. ein Indikator, der von den einzelnen Werten des Wertes des Attributs in einzelnen Einheiten der Bevölkerung abstrahiert wird. Aber die Tatsache, dass der Durchschnitt abstrakt ist, beraubt ihn nicht der wissenschaftlichen Forschung. Abstraktion ist ein notwendiges Maß jeder wissenschaftlichen Forschung. Im Mittelwert verwirklicht sich wie in jeder Abstraktion die dialektische Einheit des Einzelnen und des Allgemeinen. Die Wechselbeziehung von Durchschnitts- und Einzelwerten der Durchschnittszeichen dient als Ausdruck der dialektischen Verbindung zwischen dem Einzelnen und dem Allgemeinen.

Die Verwendung von Durchschnittswerten sollte auf dem Verständnis und der Verbindung der dialektischen Kategorien des Allgemeinen und des Individuums, der Masse und des Individuums beruhen.

Der Durchschnittswert spiegelt das Allgemeine wider, das sich in jedem einzelnen, einzelnen Objekt ausbildet. Aus diesem Grund wird der Durchschnitt von großer Bedeutung, um die Muster aufzudecken, die sozialen Massenphänomenen innewohnen und bei Einzelphänomenen nicht erkennbar sind.

Notwendigkeit verbindet sich mit Zufall in der Entwicklung von Phänomenen. Mittelwerte hängen also mit dem Gesetz der großen Zahl zusammen. Das Wesen dieser Beziehung liegt darin, dass bei der Berechnung des Durchschnittswerts zufällige Schwankungen mit unterschiedlichen Richtungen aufgrund der Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen gegenseitig ausgeglichen, aufgehoben und die Hauptregelmäßigkeit, Notwendigkeit und der Einfluss werden des für diese Population charakteristischen Allgemeinzustandes werden im Mittelwert deutlich dargestellt. Der Durchschnitt spiegelt das typische, reale Niveau der untersuchten Phänomene wider. Diese Werte abzuschätzen und sie zeitlich und räumlich zu verändern, ist eines der Hauptprobleme von Durchschnittswerten. So manifestiert sich beispielsweise durch die Durchschnittswerte das Muster der steigenden Arbeitsproduktivität, der Ernteerträge und der Tierproduktivität. Folglich sind Durchschnittswerte verallgemeinernde Indikatoren, in denen die Wirkung von Rahmenbedingungen, die Regelmäßigkeit des untersuchten Phänomens, ihren Ausdruck findet.

Mit Hilfe von Durchschnittswerten untersuchen sie die Veränderung von Phänomenen in Zeit und Raum, Trends in ihrer Entwicklung, Zusammenhänge und Abhängigkeiten zwischen Merkmalen, die Wirksamkeit verschiedener Organisationsformen von Produktion, Arbeit und Technologie, die Einführung des wissenschaftlichen und technologischen Fortschritts , die Identifizierung eines neuen, progressiven in der Entwicklung bestimmter sozialer und wirtschaftlicher Phänomene und Prozesse.

Durchschnittswerte werden in der statistischen Analyse sozioökonomischer Phänomene häufig verwendet, da sich in ihnen die zeitlich und räumlich unterschiedlichen Muster und Trends in der Entwicklung sozialer Massenphänomene manifestieren. So spiegelt sich beispielsweise das Muster der steigenden Arbeitsproduktivität in der Wirtschaft im Wachstum der durchschnittlichen Produktion pro in der Produktion beschäftigtem Arbeiter, im Anstieg der Bruttoerträge - im Wachstum der durchschnittlichen Ernteerträge usw.

Der Durchschnittswert gibt ein verallgemeinertes Merkmal des untersuchten Phänomens auf nur einer Grundlage wieder, die einen seiner wichtigsten Aspekte widerspiegelt. In dieser Hinsicht ist es für eine umfassende Analyse des untersuchten Phänomens erforderlich, ein System von Durchschnittswerten für eine Reihe von miteinander verbundenen und komplementären wesentlichen Merkmalen aufzubauen.

Damit der Durchschnitt das widerspiegelt, was in den untersuchten sozialen Phänomenen wirklich typisch und natürlich ist, müssen bei seiner Berechnung solche Bedingungen eingehalten werden.

1. Das Vorzeichen, mit dem der Durchschnitt berechnet wird, muss signifikant sein. Andernfalls wird ein unbedeutender oder verzerrter Durchschnitt erhalten.

2. Der Durchschnitt sollte nur für eine qualitativ homogene Grundgesamtheit berechnet werden. Daher sollte der direkten Berechnung von Durchschnittswerten eine statistische Gruppierung vorausgehen, die es ermöglicht, die untersuchte Population in qualitativ homogene Gruppen zu unterteilen. Die wissenschaftliche Grundlage der Mittelwertmethode ist dabei die Methode der statistischen Gruppierungen.

Die Frage der Homogenität der Bevölkerung sollte nicht formal nach der Form ihrer Verteilung entschieden werden. Sie ist ebenso wie die Frage nach der Typizität des Durchschnitts anhand der Ursachen und Bedingungen zu lösen, die das Aggregat bilden. Das Aggregat ist auch homogen, dessen Einheiten unter dem Einfluss gemeinsamer Hauptursachen und Bedingungen gebildet werden, die das allgemeine Niveau dieses für das gesamte Aggregat charakteristischen Merkmals bestimmen.

3. Die Berechnung des Durchschnittswertes sollte auf der Erfassung aller Einheiten eines bestimmten Typs oder einer ausreichend großen Menge von Objekten basieren, so dass sich zufällige Schwankungen gegenseitig aufheben und eine Regelmäßigkeit, typische und charakteristische Größen des untersuchten Merkmals auftreten .

4. Die allgemeine Anforderung bei der Berechnung von Durchschnittswerten jeglicher Art ist die obligatorische Beibehaltung des Gesamtvolumens des Attributs im Aggregat, wenn seine Einzelwerte durch einen Durchschnittswert ersetzt werden (die sogenannte definierende Eigenschaft des Durchschnitts).

Der Durchschnittswert ist ein verallgemeinernder Indikator, der das typische Ausmaß des Phänomens charakterisiert. Sie drückt den Wert des Attributs bezogen auf die Einheit der Bevölkerung aus.

Der Durchschnittswert beträgt:

1) der typischste Wert des Attributs für die Population;

2) das Volumen des Bevölkerungszeichens, das gleichmäßig auf die Bevölkerungseinheiten verteilt ist.

Das Merkmal, für das der Mittelwert berechnet wird, wird in der Statistik als „gemittelt“ bezeichnet.

Der Durchschnitt verallgemeinert immer die quantitative Variation des Merkmals, d.h. in Durchschnittswerten heben sich individuelle Unterschiede in den Einheiten der Bevölkerung aufgrund zufälliger Umstände auf. Im Gegensatz zum Durchschnitt erlaubt der absolute Wert, der das Niveau eines Merkmals einer einzelnen Einheit der Bevölkerung charakterisiert, keinen Vergleich der Werte des Merkmals für Einheiten, die zu verschiedenen Bevölkerungsgruppen gehören. Wenn es also notwendig ist, die Höhe der Entlohnung von Arbeitnehmern in zwei Unternehmen zu vergleichen, dann ist es unmöglich, zwei Arbeitnehmer verschiedener Unternehmen auf dieser Grundlage zu vergleichen. Die Löhne der zum Vergleich ausgewählten Arbeitnehmer sind möglicherweise nicht typisch für diese Unternehmen. Wenn wir die Größe der Lohnfonds in den betrachteten Unternehmen vergleichen, wird die Anzahl der Beschäftigten nicht berücksichtigt, und daher ist es unmöglich festzustellen, wo das Lohnniveau höher ist. Letztlich sind nur Durchschnittswerte vergleichbar, d.h. Wie viel verdient ein Mitarbeiter im Durchschnitt in jedem Unternehmen? Daher ist es notwendig, den Durchschnittswert als verallgemeinerndes Merkmal der Grundgesamtheit zu berechnen.

Es ist wichtig zu beachten, dass bei der Mittelwertbildung der Gesamtwert der Attributstufen bzw. deren Endwert (bei der Berechnung von Durchschnittsstufen in einer Zeitreihe) unverändert bleiben muss. Mit anderen Worten, bei der Berechnung des Durchschnittswerts sollte das Volumen des untersuchten Merkmals nicht verzerrt werden, und die bei der Berechnung des Durchschnitts gemachten Ausdrücke müssen unbedingt sinnvoll sein.

Die Berechnung des Durchschnitts ist eine gängige Verallgemeinerungstechnik; der durchschnittliche Indikator leugnet das Allgemeine, das typisch (typisch) für alle Einheiten der untersuchten Bevölkerung ist, gleichzeitig ignoriert er die Unterschiede zwischen den einzelnen Einheiten. In jedem Phänomen und seiner Entwicklung steckt eine Kombination aus Zufall und Notwendigkeit. Bei der Berechnung von Durchschnittswerten hebt sich die Zufälligkeit aufgrund der Wirkung des Gesetzes der großen Zahlen gegenseitig auf, gleicht sich aus, sodass Sie in jedem Einzelfall von den unbedeutenden Merkmalen des Phänomens und von den quantitativen Werten des Attributs abstrahieren können. Die Fähigkeit, von der Zufälligkeit einzelner Werte, Schwankungen, zu abstrahieren, ist der wissenschaftliche Wert von Durchschnittswerten als verallgemeinernden Merkmalen von Aggregaten.

Damit der Durchschnitt wirklich typisch ist, muss er unter Berücksichtigung bestimmter Grundsätze berechnet werden.

Lassen Sie uns auf einige allgemeine Prinzipien für die Anwendung von Durchschnittswerten eingehen.

1. Der Durchschnitt sollte für Populationen bestimmt werden, die aus qualitativ homogenen Einheiten bestehen.

2. Der Durchschnitt sollte für eine Population berechnet werden, die aus einer ausreichend großen Anzahl von Einheiten besteht.

3. Der Durchschnitt sollte für die Bevölkerung berechnet werden, deren Einheiten sich in einem normalen, natürlichen Zustand befinden.

4. Der Durchschnitt sollte unter Berücksichtigung des wirtschaftlichen Inhalts des untersuchten Indikators berechnet werden.

5.2. Arten von Durchschnittswerten und Methoden zu ihrer Berechnung

Betrachten wir nun die Arten von Durchschnittswerten, die Merkmale ihrer Berechnung und Anwendungsbereiche. Mittelwerte werden in zwei große Klassen eingeteilt: Leistungsmittelwerte, Strukturmittelwerte.

Potenzgesetz-Mittelwerte umfassen die bekanntesten und am häufigsten verwendeten Typen, wie geometrisches Mittel, arithmetisches Mittel und mittleres Quadrat.

Der Modus und der Median werden als strukturelle Durchschnitte betrachtet.

Bleiben wir bei den Leistungsdurchschnitten. Leistungsmittelwerte können je nach Darstellung der Ausgangsdaten einfach und gewichtet sein. einfacher Durchschnitt wird aus nicht gruppierten Daten berechnet und hat die folgende allgemeine Form:

,

wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals ist;

n ist die Anzahl der Optionen.

Gewichteter Durchschnitt wird nach gruppierten Daten berechnet und hat eine allgemeine Form

,

wobei X i die Variante (Wert) des gemittelten Merkmals oder der Mittelwert des Intervalls ist, in dem die Variante gemessen wird;

m ist der Exponent des Mittelwerts;

f i - Häufigkeit, die angibt, wie oft der i-e-Wert des gemittelten Merkmals auftritt.

Wenn wir alle Arten von Durchschnittswerten für dieselben Anfangsdaten berechnen, sind ihre Werte nicht gleich. Hier gilt die Majoranzregel der Mittelwerte: Mit zunehmendem Exponenten m steigt auch der entsprechende Mittelwert:

In der statistischen Praxis werden häufiger als andere Arten von gewichteten Durchschnitten arithmetische und harmonisch gewichtete Durchschnitte verwendet.

Arten von Machtmitteln

Art der Macht Mitte	Indikator Grad (m)	Berechnungsformel
		Einfach	gewichtet
harmonisch
Geometrisch
Arithmetik
quadratisch
kubisch

Das harmonische Mittel hat eine komplexere Struktur als das arithmetische Mittel. Das harmonische Mittel wird für Berechnungen verwendet, wenn die Gewichte nicht die Einheiten der Bevölkerung sind - die Träger des Merkmals, sondern die Produkte dieser Einheiten und die Werte des Merkmals (dh m = Xf). Die durchschnittliche harmonische Ausfallzeit sollte verwendet werden, wenn beispielsweise die durchschnittlichen Arbeits-, Zeit- und Materialkosten pro Produktionseinheit pro Teil für zwei (drei, vier usw.) Unternehmen und an der Herstellung beteiligte Arbeitnehmer ermittelt werden sollen gleiche Art von Produkt, gleiches Teil, Produkt.

Die Hauptanforderung an die Formel zur Berechnung des Mittelwerts ist, dass alle Berechnungsschritte eine echte sinnvolle Begründung haben; der resultierende Durchschnittswert sollte die Einzelwerte des Attributs für jedes Objekt ersetzen, ohne die Verbindung zwischen Einzel- und Summenindikatoren zu brechen. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert sollte so berechnet werden, dass, wenn jeder einzelne Wert des gemittelten Indikators durch seinen Durchschnittswert ersetzt wird, ein abschließender zusammenfassender Indikator, der auf die eine oder andere Weise mit dem gemittelten Indikator verbunden ist, unverändert bleibt. Dieses Ergebnis wird aufgerufen bestimmend da die Art seiner Beziehung zu einzelnen Werten die spezifische Formel zur Berechnung des Durchschnittswerts bestimmt. Zeigen wir diese Regel am Beispiel des geometrischen Mittels.

Geometrische Mittelformel

am häufigsten verwendet, wenn der Durchschnittswert einzelner relativer Werte der Dynamik berechnet wird.

Das geometrische Mittel wird verwendet, wenn eine Folge von Kettenrelativwerten der Dynamik gegeben ist, die beispielsweise eine Produktionssteigerung gegenüber dem Niveau des Vorjahres anzeigen: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Offensichtlich wird das Produktionsvolumen im letzten Jahr durch sein Anfangsniveau (q 0) und das anschließende Wachstum im Laufe der Jahre bestimmt:

q n = q 0 × ich 1 × ich 2 ×…×ich n .

Wenn wir q n als definierenden Indikator nehmen und die einzelnen Werte der Dynamikindikatoren durch durchschnittliche ersetzen, gelangen wir zur Beziehung

Von hier

Eine besondere Art von Durchschnittswerten - strukturelle Durchschnitte - wird verwendet, um die interne Struktur der Verteilungsreihen von Attributwerten zu untersuchen und den Durchschnittswert (Leistungstyp) zu schätzen, wenn nach den verfügbaren statistischen Daten seine Berechnung kann nicht durchgeführt werden (z. B. wenn im betrachteten Beispiel keine Daten vorhanden waren) und zum Produktionsvolumen und zur Höhe der Kosten nach Unternehmensgruppen).

Indikatoren werden am häufigsten als strukturelle Durchschnitte verwendet. Mode - der am häufigsten wiederholte Merkmalswert - und Median - der Wert eines Merkmals, das die geordnete Folge seiner Werte in zwei gleich große Teile teilt. Infolgedessen überschreitet der Wert des Attributs in der einen Hälfte der Bevölkerungseinheiten nicht das Medianniveau und in der anderen Hälfte nicht weniger.

Wenn das untersuchte Merkmal diskrete Werte hat, gibt es keine besonderen Schwierigkeiten bei der Berechnung des Modus und des Medians. Wenn die Daten zu den Werten des Attributs X in Form von geordneten Intervallen seiner Änderung (Intervallreihen) dargestellt werden, wird die Berechnung von Modus und Median etwas komplizierter. Da der Medianwert die gesamte Grundgesamtheit in zwei gleich große Teile teilt, landet er in einem der Intervalle des Merkmals X. Mittels Interpolation findet sich der Medianwert in diesem Medianintervall:

,

wobei X Me die Untergrenze des Medianintervalls ist;

h Me ist sein Wert;

(Summe m) / 2 - die Hälfte der Gesamtzahl der Beobachtungen oder die Hälfte des Volumens des Indikators, der als Gewichtung in den Formeln zur Berechnung des Durchschnittswerts verwendet wird (absolut oder relativ);

S Me-1 ist die Summe der Beobachtungen (oder das Volumen des Gewichtungsmerkmals), die vor Beginn des Medianintervalls angesammelt wurden;

m Me ist die Anzahl der Beobachtungen bzw. das Volumen des Wichtungsmerkmals im Medianintervall (auch absolut oder relativ).

Bei der Berechnung des Modalwerts eines Merkmals nach den Daten der Intervallreihe ist darauf zu achten, dass die Intervalle gleich sind, da davon der Indikator für die Häufigkeit der Merkmalswerte X abhängt eine Intervallreihe mit gleichen Intervallen, der Moduswert wird bestimmt als

,

wobei X Mo der untere Wert des modalen Intervalls ist;

m Mo ist die Anzahl der Beobachtungen oder das Volumen des Wichtungsmerkmals im modalen Intervall (absolut oder relativ);

m Mo-1 – dasselbe für das Intervall, das dem Modal vorausgeht;

m Mo+1 – dasselbe für das Intervall nach dem Modal;

h ist der Wert des Änderungsintervalls des Merkmals in Gruppen.

AUFGABE 1

Für die Gruppe der Industrieunternehmen liegen für das Berichtsjahr folgende Daten vor

№ Unternehmen	Produktionsvolumen, Millionen Rubel		Durchschnittliche Mitarbeiterzahl, Pers.	Gewinn, tausend Rubel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Es ist erforderlich, eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten in folgenden Intervallen durchzuführen:

bis zu 200 Millionen Rubel


von 200 bis 400 Millionen Rubel


1. von 400 bis 600 Millionen Rubel
   

   Ermitteln Sie für jede Gruppe und für alle zusammen die Anzahl der Unternehmen, das Produktionsvolumen, die durchschnittliche Zahl der Beschäftigten, die durchschnittliche Leistung pro Beschäftigten. Die Gruppierungsergebnisse sollten in Form einer statistischen Tabelle dargestellt werden. Formulieren Sie ein Fazit.
   

   ENTSCHEIDUNG
   

   Lassen Sie uns eine Gruppierung von Unternehmen für den Austausch von Produkten, die Berechnung der Anzahl der Unternehmen, des Produktionsvolumens und der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl nach der Formel eines einfachen Durchschnitts erstellen. Die Ergebnisse der Gruppierung und Berechnungen sind in einer Tabelle zusammengefasst.
   

   Gruppen nach Produktionsvolumen	№ Unternehmen	Produktionsvolumen, Millionen Rubel	Durchschnittliche jährliche Kosten des Anlagevermögens, Millionen Rubel	durchschnittlicher Schlaf saftige Anzahl Mitarbeiter, Pers.	Gewinn, tausend Rubel	Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter
   1 Gruppe bis zu 200 Millionen Rubel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Mittelstufe		198,3			24,9
   2 Gruppe von 200 bis 400 Millionen Rubel	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Mittelstufe		282,3	37,6	1530	64,0
   3 Gruppe von 400 bis 600 Millionen	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Mittelstufe		512,9	34,4	1421	120,9
   Insgesamt insgesamt		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Aggregierter Durchschnitt		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Fazit. Im betrachteten Aggregat fiel somit die größte Zahl der Unternehmen in Bezug auf die Produktion in die dritte Gruppe – sieben oder die Hälfte der Unternehmen. In dieser Gruppe befindet sich auch der Wert des durchschnittlichen Jahreswerts des Anlagevermögens sowie der große Wert der durchschnittlichen Mitarbeiterzahl - 9974 Personen, die Unternehmen der ersten Gruppe sind am wenigsten rentabel.
   

   AUFGABE 2
   

   Über die Unternehmen der Gesellschaft liegen uns folgende Daten vor
   

   Nummer des zum Unternehmen gehörenden Unternehmens	Ich viertele		II. Quartal
   	Ausgabe, tausend Rubel		Gearbeitet von Arbeitstagen	Durchschnittliche Leistung pro Arbeiter pro Tag, reiben.
   	59390,13

Der Mittelwert ist aus analytischer Sicht am wertvollsten und die universelle Ausdrucksform statistischer Kennziffern. Der gebräuchlichste Durchschnitt – der arithmetische Durchschnitt – hat eine Reihe mathematischer Eigenschaften, die bei seiner Berechnung verwendet werden können. Gleichzeitig ist es bei der Berechnung eines bestimmten Durchschnitts immer ratsam, sich auf seine logische Formel zu verlassen, die das Verhältnis des Volumens des Attributs zum Volumen der Grundgesamtheit darstellt. Für jeden Mittelwert gibt es nur ein wahres Referenzverhältnis, was je nach verfügbaren Daten unterschiedliche Formen von Mittelwerten erfordern kann. In allen Fällen, in denen die Art des Durchschnittswerts das Vorhandensein von Gewichtungen impliziert, ist es jedoch unmöglich, ihre ungewichteten Formeln anstelle der gewichteten Durchschnittsformeln zu verwenden.

Der Durchschnittswert ist der charakteristischste Wert des Attributs für die Bevölkerung und die Größe des Attributs der Bevölkerung, die zu gleichen Teilen auf die Einheiten der Bevölkerung verteilt wird.

Das Merkmal, für das der Mittelwert berechnet wird, wird aufgerufen gemittelt .

Der Durchschnittswert ist ein Indikator, der durch den Vergleich absoluter oder relativer Werte berechnet wird. Der Durchschnittswert ist

Der Durchschnittswert spiegelt den Einfluss aller Faktoren wider, die das untersuchte Phänomen beeinflussen, und ist die resultierende für sie. Mit anderen Worten, indem individuelle Abweichungen zurückgezahlt und der Einfluss von Fällen eliminiert wird, fungiert der Durchschnittswert, der das allgemeine Maß der Ergebnisse dieser Aktion widerspiegelt, als allgemeines Muster des untersuchten Phänomens.

Bedingungen für die Verwendung von Durchschnittswerten:

Ø Homogenität der untersuchten Population. Wenn einige Elemente der Population, die dem Einfluss eines Zufallsfaktors unterliegen, signifikant unterschiedliche Werte des untersuchten Merkmals vom Rest aufweisen, wirken sich diese Elemente auf die Größe des Durchschnitts für diese Population aus. In diesem Fall drückt der Durchschnitt nicht den typischsten Wert des Merkmals für die Grundgesamtheit aus. Wenn das untersuchte Phänomen heterogen ist, muss es in Gruppen zerlegt werden, die homogene Elemente enthalten. In diesem Fall werden Gruppendurchschnitte berechnet – Gruppendurchschnitte, die den charakteristischsten Wert des Phänomens in jeder Gruppe ausdrücken, und dann wird der Gesamtdurchschnittswert für alle Elemente berechnet, der das Phänomen als Ganzes charakterisiert. Er wird als Durchschnitt der Gruppendurchschnitte berechnet, gewichtet mit der Anzahl der in jeder Gruppe enthaltenen Bevölkerungselemente;

Ø eine ausreichende Anzahl von Einheiten insgesamt;

Ø die maximalen und minimalen Werte des Merkmals in der untersuchten Population.

Mittelwert (Indikator)- Dies ist ein verallgemeinertes quantitatives Merkmal eines Merkmals in einer systematischen Population unter bestimmten räumlichen und zeitlichen Bedingungen.

In der Statistik werden die folgenden Formen (Typen) von Durchschnitten verwendet, die als Leistung und Struktur bezeichnet werden:

Ø arithmetisches Mittel(einfach und gewichtet);

einfach

Abteilung für Statistik

KURSARBEIT

THEORIE DER STATISTIK

Zum Thema: Durchschnitt

Ausgefüllt von: Gruppennummer: STP - 72

Yunusova Gulnazia Chamilevna

Geprüft von: Ohrring Lyudmila Konstantinovna

Einführung

1. Das Wesen der Durchschnittswerte, allgemeine Anwendungsgrundsätze

2. Arten von Durchschnittswerten und ihr Geltungsbereich

2.1 Leistungsdurchschnittswerte

2.1.1 Arithmetisches Mittel

2.1.2 Harmonischer Mittelwert

2.1.3 Geometrisches Mittel

2.1.4 Effektivwert

2.2. Strukturelle Durchschnitte

2.2.1 Mittelwert

3. Methodische Grundvoraussetzungen für die korrekte Mittelwertbildung

Fazit

Verzeichnis der verwendeten Literatur

Einführung

Die Geschichte der praktischen Anwendung von Durchschnittswerten reicht Jahrzehnte zurück. Der Hauptzweck der Berechnung des Durchschnitts bestand darin, die Proportionen zwischen den Mengen zu untersuchen. Die Bedeutung der Mittelwertbildung hat im Zusammenhang mit der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik zugenommen. Die Lösung vieler theoretischer und praktischer Probleme wäre ohne die Berechnung des Durchschnitts und die Bewertung der Schwankung der einzelnen Werte des Attributs unmöglich.

Wissenschaftler verschiedener Richtungen versuchten, den Durchschnitt zu definieren. So glaubte beispielsweise der herausragende französische Mathematiker O. L. Cauchy (1789 - 1857), dass der Durchschnitt mehrerer Werte ein neuer Wert ist, der zwischen dem kleinsten und größten der betrachteten Werte liegt.

Der belgische Statistiker A. Quetelet (1796 - 1874) sollte jedoch als Begründer der Durchschnittstheorie angesehen werden. Er hat versucht, die Natur der Durchschnittswerte und die sich darin manifestierenden Regelmäßigkeiten zu bestimmen. Nach Quetelet wirken permanente Ursachen auf die gleiche Weise (permanent) auf alle untersuchten Phänomene. Sie sind es, die diese Phänomene einander ähnlich machen, gemeinsame Muster für sie alle schaffen.

Eine Konsequenz der Lehre von A. Quetelet über gemeinsame und individuelle Ursachen war die Zuordnung von Durchschnittswerten als Hauptmethode der statistischen Analyse. Er betonte, dass statistische Mittelwerte nicht nur ein mathematisches Maß sind, sondern eine Kategorie der objektiven Realität. Er identifizierte einen typischen, real existierenden Durchschnitt mit einem wahren Wert, von dem Abweichungen nur zufällig sein können.

Ein anschaulicher Ausdruck der geäußerten Auffassung vom Durchschnitt ist seine Theorie der „Durchschnittsperson“, d.h. eine Person mit durchschnittlicher Größe, Gewicht, Kraft, durchschnittlichem Brustvolumen, Lungenkapazität, durchschnittlicher Sehschärfe und normaler Gesichtsfarbe. Durchschnitte charakterisieren den „wahren“ Typ eines Menschen, alle Abweichungen von diesem Typ weisen auf Hässlichkeit oder Krankheit hin.

Die Ansichten von A. Quetelet wurden in den Arbeiten des deutschen Statistikers V. Lexis (1837 - 1914) weiterentwickelt.

Eine andere Version der idealistischen Durchschnittstheorie basiert auf der Philosophie des Machismus. Ihr Begründer war der englische Statistiker A. Bowley (1869 - 1957). In Durchschnittswerten sah er die einfachste Möglichkeit, die quantitativen Merkmale eines Phänomens zu beschreiben. Bei der Definition der Bedeutung von Durchschnittswerten oder, wie er es ausdrückt, „ihrer Funktion“, stellt Bowley das Machsche Denkprinzip in den Vordergrund. So schrieb er, dass die Funktion von Durchschnitten klar ist: Sie besteht darin, eine komplexe Gruppe mit Hilfe weniger Primzahlen auszudrücken. Der Verstand kann die Größenordnungen von Millionen von Statistiken nicht sofort erfassen, sie müssen gruppiert, vereinfacht, gemittelt werden.

A. Quetelets Nachfolger war der italienische Statistiker C. Gini (1884-1965), der Autor der großen Monographie „Average Values“. K.Gini kritisierte die Definition des Durchschnitts des sowjetischen Statistikers A.Ya. . Boyarsky und formulierte seinen eigenen: „Der Durchschnitt mehrerer Werte ist das Ergebnis von Aktionen, die an diesen Werten gemäß einer bestimmten Regel durchgeführt werden, und ist einer dieser Werte, der nicht mehr und nicht weniger als alle ist andere (der durchschnittliche reale oder effektive) oder einige ein neuer Wert zwischen dem kleinsten und dem größten der gegebenen Werte (Zähldurchschnitt).

In dieser Kursarbeit werden wir uns ausführlich mit den Hauptproblemen der Durchschnittstheorie befassen. Im ersten Kapitel werden wir das Wesen von Durchschnittswerten und allgemeine Anwendungsprinzipien enthüllen. Im zweiten Kapitel gehen wir anhand konkreter Beispiele auf die Arten von Mittelwerten und den Umfang ihrer Anwendung ein. Das dritte Kapitel befasst sich mit den wichtigsten methodischen Anforderungen für die Berechnung von Durchschnittswerten.

1. Das Wesen der Durchschnittswerte, allgemeine Anwendungsgrundsätze

Durchschnitte sind eine der häufigsten zusammenfassenden Statistiken. Sie zielen darauf ab, eine statistische Grundgesamtheit, die aus einer Minderheit von Einheiten besteht, durch eine Zahl zu charakterisieren. Mittelwerte stehen in engem Zusammenhang mit dem Gesetz der großen Zahlen.Der Kern dieser Abhängigkeit liegt darin, dass sich bei einer großen Zahl von Beobachtungen zufällige Abweichungen von der allgemeinen Statistik gegenseitig aufheben und im Mittel eine statistische Regelmäßigkeit besteht deutlicher manifestiert.

Der Durchschnittswert ist ein verallgemeinernder Indikator, der das typische Ausmaß des Phänomens unter bestimmten räumlichen und zeitlichen Bedingungen charakterisiert. Es drückt das Niveau des Merkmals aus, das für jede Einheit der Bevölkerung typisch ist.

Der Durchschnitt ist nur für homogene Phänomene ein objektives Merkmal. Mittelwerte für heterogene Populationen werden als Sweeping bezeichnet und können nur in Kombination mit partiellen Mittelwerten homogener Populationen verwendet werden.

Der Durchschnitt wird in statistischen Studien verwendet, um das aktuelle Niveau eines Phänomens zu bewerten, um mehrere Populationen auf derselben Grundlage miteinander zu vergleichen, um die Dynamik der Entwicklung des untersuchten Phänomens im Laufe der Zeit zu untersuchen, um die Beziehung von Phänomenen zu untersuchen.

Durchschnitte werden häufig in verschiedenen geplanten, prognostizierten und finanziellen Berechnungen verwendet.

Der Hauptwert von Durchschnittswerten ist ihre verallgemeinernde Funktion, d.h. Ersetzen einer Menge verschiedener Einzelwerte eines Merkmals durch einen Durchschnittswert, der die gesamte Menge von Phänomenen charakterisiert. Jeder kennt die Merkmale der Entwicklung moderner Menschen, die sich unter anderem im höheren Wachstum von Söhnen im Vergleich zu Vätern, Töchtern im Vergleich zu gleichaltrigen Müttern äußern. Aber wie misst man dieses Phänomen?

In verschiedenen Familien gibt es sehr unterschiedliche Verhältnisse des Wachstums der älteren und jüngeren Generationen. Nicht jeder Sohn ist höher als sein Vater, und nicht jede Tochter ist höher als seine Mutter. Aber wenn wir die durchschnittliche Körpergröße von vielen tausend Menschen messen, dann kann man anhand der durchschnittlichen Größe von Söhnen und Vätern, Töchtern und Müttern sowohl die eigentliche Tatsache der Beschleunigung als auch die typische durchschnittliche Zunahme der Körpergröße in einer Generation genau feststellen.

Für die Produktion der gleichen Menge an Gütern einer bestimmten Art und Qualität wenden unterschiedliche Produzenten (Fabriken, Firmen) ungleich viel Arbeits- und Materialressourcen auf. Aber der Markt mittelt diese Kosten, und die Warenkosten werden durch den durchschnittlichen Ressourcenverbrauch für die Produktion bestimmt.

Das Wetter an einem bestimmten Punkt der Erde am selben Tag in verschiedenen Jahren kann sehr unterschiedlich sein. Beispielsweise lag in St. Petersburg am 31. März die Lufttemperatur über mehr als hundert Jahre Beobachtungen im Bereich von -20,1 ° im Jahr 1883 bis +12,24 ° im Jahr 1920. An den anderen Tagen des Jahres treten ungefähr die gleichen Schwankungen auf. Nach solchen individuellen Wetterdaten in einem beliebigen Jahr ist es unmöglich, sich ein Bild vom Klima von St. Petersburg zu machen. Klimaeigenschaften sind die durchschnittlichen Wettereigenschaften über einen langen Zeitraum – Lufttemperatur, Luftfeuchtigkeit, Windgeschwindigkeit, Niederschlagsmenge, Anzahl der Sonnenstunden pro Woche, Monat und ganzes Jahr usw.

Wenn der Durchschnittswert qualitativ homogene Werte eines Merkmals verallgemeinert, handelt es sich um ein typisches Merkmal eines Merkmals in einer bestimmten Population. Wir können also davon sprechen, das typische Wachstum russischer Mädchen, die 1973 geboren wurden, zu messen, wenn sie das 20. Lebensjahr erreichen. Ein typisches Merkmal wird die durchschnittliche Milchleistung von Black-and-White-Kühen im ersten Laktationsjahr bei einer Fütterungsrate von 12,5 Futtereinheiten pro Tag sein.

Es ist jedoch falsch, die Rolle von Durchschnittswerten nur auf die Merkmale typischer Werte von Merkmalen in hinsichtlich dieses Merkmals homogenen Populationen zu reduzieren. In der Praxis verwenden moderne Statistiken viel häufiger Durchschnittswerte, die offensichtlich heterogene Phänomene verallgemeinern, wie beispielsweise den Ertrag aller Getreidekulturen in ganz Russland. Oder betrachten Sie einen Durchschnitt wie den durchschnittlichen Fleischkonsum pro Kopf: Schließlich gibt es unter dieser Bevölkerungsgruppe Kinder unter einem Jahr, die überhaupt kein Fleisch konsumieren, und Vegetarier, Nordländer und Südstaatler, Bergleute, Sportler und Rentner. Noch deutlicher ist die Untypischkeit eines solchen Durchschnittsindikators wie des durchschnittlichen Pro-Kopf-Volkseinkommens.

Das durchschnittliche Pro-Kopf-Volkseinkommen, der durchschnittliche Getreideertrag im ganzen Land, der durchschnittliche Konsum verschiedener Lebensmittel - das sind die Merkmale des Staates als einheitliches Wirtschaftssystem, das sind die sogenannten Systemdurchschnitte.

Systemmittelwerte können sowohl räumliche oder objektbezogene Systeme charakterisieren, die gleichzeitig existieren (Staat, Industrie, Region, Planet Erde etc.) als auch zeitlich erweiterte dynamische Systeme (Jahr, Jahrzehnt, Jahreszeit etc.).

Ein Beispiel für einen Systemdurchschnitt, der einen Zeitraum charakterisiert, ist die durchschnittliche Lufttemperatur in St. Petersburg im Jahr 1992, die +6,3° beträgt. Dieser Durchschnitt fasst die extrem heterogenen Temperaturen von frostigen Wintertagen und -nächten, heißen Sommertagen, Frühling und Herbst zusammen. 1992 war ein warmes Jahr, seine Durchschnittstemperatur ist nicht typisch für St. Petersburg. Als typische durchschnittliche jährliche Lufttemperatur in der Stadt sollte man den langjährigen Durchschnitt von beispielsweise 30 Jahren von 1963 bis 1992 verwenden, der gleich +5,05° ist. Dieser Durchschnitt ist ein typischer Durchschnitt, da er homogene Größen verallgemeinert; Jahresdurchschnittstemperaturen desselben geografischen Punktes, die über 30 Jahre von +2,90° im Jahr 1976 bis +7,44° im Jahr 1989 schwanken

Auf der Stufe der statistischen Verarbeitung können verschiedene Forschungsaufgaben gestellt werden, für deren Lösung es notwendig ist, den geeigneten Durchschnitt zu wählen. In diesem Fall ist es notwendig, sich an der folgenden Regel zu orientieren: Die Werte, die Zähler und Nenner des Durchschnitts darstellen, müssen logisch zueinander in Beziehung stehen.

• Leistungsmittelwerte;
• strukturelle Durchschnitte.

Führen wir die folgende Notation ein:

Die Werte, für die der Durchschnitt berechnet wird;

Durchschnitt, wobei die Zeile darüber anzeigt, dass die Mittelung einzelner Werte stattfindet;

Häufigkeit (Wiederholbarkeit einzelner Merkmalswerte).

Aus der allgemeinen Potenzmittelformel werden verschiedene Mittelwerte abgeleitet:

(5.1)

für k = 1 - arithmetisches Mittel; k = -1 - harmonischer Mittelwert; k = 0 - geometrischer Mittelwert; k = -2 - quadratischer Mittelwert.

Durchschnitte sind entweder einfach oder gewichtet.

gewichtete Durchschnittswerte werden Mengen genannt, die berücksichtigen, dass einige Varianten der Werte des Attributs unterschiedliche Nummern haben können und daher jede Variante mit dieser Nummer multipliziert werden muss. Mit anderen Worten, die "Gewichte" sind die Anzahl der Bevölkerungseinheiten in verschiedenen Gruppen, d.h. jede Option wird durch ihre Häufigkeit "gewichtet". Die Häufigkeit f wird als statistisches Gewicht oder bezeichnet wiegender Durchschnitt.

Es ist bekannt, dass Transaktionen innerhalb von 5 Tagen (5 Transaktionen) durchgeführt wurden, die Anzahl der verkauften Aktien zum Verkaufskurs verteilte sich wie folgt:

1 - 800 ac. - 1010 Rubel

2 - 650 ac. - 990 Rubel.

3 - 700 ak. - 1015 Rubel.

4 - 550 ac. - 900 reiben.

5 - 850 ak. - 1150 Rubel.

Ausgangskennzahl zur Ermittlung des durchschnittlichen Aktienkurses ist das Verhältnis der Gesamtsumme der Transaktionen (TCA) zur Anzahl der verkauften Aktien (KPA):

OSS = 1010 800 + 990 650 + 1015 700 + 900 550 + 1150 850 = 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

In diesem Fall war der Durchschnittspreis der Aktien gleich:

Es ist notwendig, die Eigenschaften des arithmetischen Mittels zu kennen, was sowohl für seine Verwendung als auch für seine Berechnung sehr wichtig ist. Es gibt drei Haupteigenschaften, die vor allem zur weit verbreiteten Verwendung des arithmetischen Mittels in statistischen und wirtschaftlichen Berechnungen geführt haben.

Habe eins (Null): Die Summe der positiven Abweichungen der Einzelwerte eines Merkmals von seinem Mittelwert ist gleich der Summe der negativen Abweichungen. Dies ist eine sehr wichtige Eigenschaft, da sie zeigt, dass alle Abweichungen (sowohl mit + als auch mit -) aufgrund zufälliger Ursachen gegenseitig aufgehoben werden.

Nachweisen:

Eigenschaft zwei (Minimum): Die Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte des Merkmals vom arithmetischen Mittel ist kleiner als von jeder anderen Zahl (a), d.h. ist die Mindestanzahl.

Nachweisen.

Bilden Sie die Summe der quadrierten Abweichungen von der Variablen a:

(5.4)

Um das Extremum dieser Funktion zu finden, ist es notwendig, ihre Ableitung nach a mit Null gleichzusetzen:

Von hier erhalten wir:

(5.5)

Daher wird das Extremum der Summe der quadrierten Abweichungen bei erreicht. Dieses Extremum ist das Minimum, da die Funktion kein Maximum haben kann.

Eigenschaft drei: das arithmetische Mittel einer Konstanten ist gleich dieser Konstante: bei a = const.

Neben diesen drei wichtigsten Eigenschaften des arithmetischen Mittels gibt es noch sog Gestaltungseigenschaften, die durch den Einsatz elektronischer Rechner allmählich an Bedeutung verlieren:

• wenn der individuelle Wert des Attributs jeder Einheit mit einer konstanten Zahl multipliziert oder dividiert wird, erhöht oder verringert sich das arithmetische Mittel um denselben Betrag;
• das arithmetische Mittel ändert sich nicht, wenn die Gewichtung (Häufigkeit) jedes Merkmalswerts durch eine konstante Zahl dividiert wird;
• Wenn die einzelnen Werte des Attributs jeder Einheit um denselben Betrag verringert oder erhöht werden, verringert oder erhöht sich das arithmetische Mittel um denselben Betrag.

Durchschnittliche Oberschwingung. Dieser Durchschnitt wird reziproker arithmetischer Durchschnitt genannt, da dieser Wert verwendet wird, wenn k = -1 ist.

Einfaches harmonisches Mittel wird verwendet, wenn die Gewichte der Kennwerte gleich sind. Seine Formel kann aus der Grundformel abgeleitet werden, indem k = -1 eingesetzt wird:

Zum Beispiel müssen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit von zwei Autos berechnen, die dieselbe Strecke zurückgelegt haben, aber mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: das erste mit 100 km/h, das zweite mit 90 km/h.

Mit der Methode des harmonischen Mittels berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeit:

In der statistischen Praxis wird häufiger die harmonische Gewichtung verwendet, deren Formel lautet:

Diese Formel wird in Fällen verwendet, in denen die Gewichte (oder Volumina von Phänomenen) für jedes Attribut nicht gleich sind. Im ursprünglichen Verhältnis ist bekannt, dass der Zähler den Durchschnitt berechnet, aber der Nenner ist unbekannt.

Beispielsweise müssen wir bei der Berechnung des Durchschnittspreises das Verhältnis der verkauften Menge zur Anzahl der verkauften Einheiten verwenden. Wir kennen nicht die Anzahl der verkauften Einheiten (wir sprechen von verschiedenen Waren), aber wir kennen die Verkaufssummen dieser verschiedenen Waren.

Angenommen, Sie möchten den Durchschnittspreis der verkauften Waren ermitteln:

Wir bekommen

Wenn Sie hier die arithmetische Mittelformel verwenden, können Sie einen unrealistischen Durchschnittspreis erhalten:

Geometrisches Mittel. Am häufigsten findet das geometrische Mittel seine Anwendung bei der Bestimmung der durchschnittlichen Wachstumsrate (durchschnittliche Wachstumsraten), wenn die einzelnen Werte des Merkmals als relative Werte dargestellt werden. Es wird auch verwendet, wenn es notwendig ist, den Durchschnitt zwischen den minimalen und maximalen Werten eines Merkmals zu finden (z. B. zwischen 100 und 1000000). Es gibt Formeln für einfaches und gewichtetes geometrisches Mittel.

Für ein einfaches geometrisches Mittel:

Für ein gewichtetes geometrisches Mittel:

Effektivwert. Der Hauptanwendungsbereich ist die Messung der Variation eines Merkmals in der Population (Berechnung der Standardabweichung).

Einfache quadratische Mittelformel:

Gewichtete Mittelquadratformel:

(5.11)

Als Ergebnis können wir sagen, dass die erfolgreiche Lösung der Probleme der statistischen Forschung von der richtigen Wahl der Art des Durchschnittswerts in jedem konkreten Fall abhängt.

Die Wahl des Durchschnitts geht von folgender Reihenfolge aus:

a) die Einrichtung eines verallgemeinernden Indikators der Bevölkerung;

b) Bestimmung eines mathematischen Werteverhältnisses für einen bestimmten verallgemeinernden Indikator;

c) Ersatz von Einzelwerten durch Durchschnittswerte;

d) Mittelwertbildung nach der entsprechenden Gleichung.