Ein Kreis ist eine geschlossene Kurve, bei der alle Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt haben. Diese Zahl ist flach. Daher ist die Lösung des Problems, bei dem es darum geht, wie man den Umfang eines Kreises findet, ganz einfach. Alle verfügbaren Methoden werden wir im heutigen Artikel betrachten.

Abbildungsbeschreibungen

Neben einer recht einfachen anschaulichen Definition gibt es drei weitere mathematische Merkmale eines Kreises, die in sich schon die Antwort auf die Frage enthalten, wie man den Umfang eines Kreises findet:

• Besteht aus den Punkten A und B und allen anderen, von denen aus AB im rechten Winkel zu sehen ist. Der Durchmesser dieser Figur ist gleich der Länge des betrachteten Segments.
• Beinhaltet nur Punkte X, so dass das Verhältnis AX/BX konstant und ungleich eins ist. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann ist es kein Kreis.
• Er besteht aus Punkten, für die jeweils gilt: Die Summe der quadrierten Abstände zu den anderen beiden ist ein gegebener Wert, der immer größer ist als die halbe Länge der Strecke zwischen ihnen.

Terminologie

Nicht jeder in der Schule hatte einen guten Mathelehrer. Daher wird die Antwort auf die Frage, wie man den Umfang eines Kreises findet, auch dadurch erschwert, dass nicht jeder die grundlegenden geometrischen Konzepte kennt. Radius - ein Segment, das die Mitte der Figur mit einem Punkt auf der Kurve verbindet. Ein Sonderfall in der Trigonometrie ist der Einheitskreis. Eine Sehne ist ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. Unter diese Definition fällt beispielsweise das bereits betrachtete AB. Der Durchmesser ist eine Sehne, die durch die Mitte verläuft. Die Zahl π ist gleich der Länge des Einheitshalbkreises.

Grundlegende Formeln

Aus den Definitionen folgen direkt geometrische Formeln, mit denen Sie die Hauptmerkmale des Kreises berechnen können:

1. Die Länge ist gleich dem Produkt aus der Zahl π und dem Durchmesser. Die Formel wird normalerweise wie folgt geschrieben: C = π*D.
2. Der Radius ist der halbe Durchmesser. Sie kann auch berechnet werden, indem man den Quotienten aus dem Umfang dividiert durch die doppelte Zahl π berechnet. Die Formel sieht so aus: R = C/(2* π) = D/2.
3. Der Durchmesser ist gleich dem Umfang dividiert durch π oder dem doppelten Radius. Die Formel ist ganz einfach und sieht so aus: D = C/π = 2*R.
4. Die Fläche eines Kreises ist gleich dem Produkt aus der Zahl π und dem Quadrat des Radius. Ebenso kann der Durchmesser in dieser Formel verwendet werden. In diesem Fall ist die Fläche gleich dem Quotienten aus der Division des Produkts aus der Zahl π und dem Quadrat des Durchmessers durch vier. Die Formel kann wie folgt geschrieben werden: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

So finden Sie den Umfang eines Kreises aus einem Durchmesser

Zur Vereinfachung der Erläuterung bezeichnen wir die für die Berechnung erforderlichen Eigenschaften der Figur mit Buchstaben. Sei C die gewünschte Länge, D sein Durchmesser und Pi etwa 3,14. Wenn wir nur eine bekannte Größe haben, kann das Problem als gelöst betrachtet werden. Warum ist es notwendig im Leben? Angenommen, wir beschließen, einen runden Pool mit einem Zaun einzuzäunen. Wie berechnet man die erforderliche Anzahl von Spalten? Und hier hilft die Fähigkeit, den Umfang eines Kreises zu berechnen. Die Formel lautet: C = π D. In unserem Beispiel ergibt sich der Durchmesser aus dem Radius des Beckens und dem benötigten Abstand zum Zaun. Angenommen, unser künstlicher Heimteich ist 20 Meter breit und wir werden Pfosten in einem Abstand von zehn Metern davon aufstellen. Der Durchmesser des resultierenden Kreises beträgt 20 + 10 * 2 = 40 m. Die Länge beträgt 3,14 * 40 = 125,6 Meter. Wir benötigen 25 Säulen, wenn der Abstand zwischen ihnen etwa 5 m beträgt.

Länge durch Radius

Beginnen wir wie immer mit der Zuordnung von Buchstabenkreisen zu Merkmalen. Tatsächlich sind sie universell, sodass Mathematiker aus verschiedenen Ländern nicht die Sprache des anderen kennen müssen. Angenommen, C ist der Umfang eines Kreises, r sein Radius und π ungefähr 3,14. Die Formel sieht in diesem Fall so aus: C = 2*π*r. Offensichtlich ist dies eine absolut korrekte Gleichheit. Wie wir bereits herausgefunden haben, ist der Durchmesser eines Kreises gleich dem doppelten Radius, also sieht diese Formel so aus. Auch im Leben kann sich diese Methode oft als nützlich erweisen. Wir backen zum Beispiel einen Kuchen in einer speziellen Schiebeform. Damit es nicht schmutzig wird, brauchen wir eine dekorative Hülle. Aber wie man einen Kreis der gewünschten Größe schneidet. Hier kommt die Mathematik zur Hilfe. Diejenigen, die wissen, wie man den Umfang eines Kreises herausfindet, werden sofort sagen, dass man die Zahl π mit dem doppelten Radius der Form multiplizieren muss. Wenn sein Radius 25 cm beträgt, beträgt die Länge 157 cm.

Aufgabenbeispiele

Wir haben bereits mehrere praktische Fälle des erworbenen Wissens betrachtet, wie man den Umfang eines Kreises ermittelt. Aber oft geht es uns nicht um sie, sondern um die eigentlichen mathematischen Probleme, die im Lehrbuch enthalten sind. Immerhin gibt der Lehrer Punkte dafür! Betrachten wir daher ein Problem mit erhöhter Komplexität. Nehmen wir an, der Umfang beträgt 26 cm.Wie findet man den Radius einer solchen Figur?

Beispiellösung

Schreiben wir zunächst auf, was uns gegeben wird: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Denken Sie auch an die Formel: C = 2* π*R. Daraus können Sie den Radius des Kreises extrahieren. Somit ist R = C/2/π. Kommen wir nun zur direkten Berechnung. Teilen Sie zuerst die Länge durch zwei. Wir bekommen 13. Jetzt müssen wir durch den Wert der Zahl π dividieren: 13 / 3,14 \u003d 4,14 cm Es ist wichtig, nicht zu vergessen, die Antwort richtig aufzuschreiben, dh mit Maßeinheiten, sonst das Ganze praktisch Bedeutung solcher Probleme geht verloren. Darüber hinaus können Sie für eine solche Unaufmerksamkeit einen Punkt weniger erzielen. Und so ärgerlich es auch sein mag, Sie müssen sich mit diesem Zustand abfinden.

Das Biest ist nicht so gruselig, wie es gemalt wird

So haben wir eine so schwierige Aufgabe auf den ersten Blick erkannt. Wie sich herausstellte, müssen Sie nur die Bedeutung der Begriffe verstehen und sich an ein paar einfache Formeln erinnern. Mathe ist nicht so gruselig, man muss sich nur ein wenig anstrengen. Die Geometrie wartet also auf Sie!

Lassen Sie uns zuerst den Unterschied zwischen einem Kreis und einem Kreis verstehen. Um diesen Unterschied zu sehen, reicht es aus, sich die beiden Figuren anzusehen. Dies ist eine unendliche Anzahl von Punkten in der Ebene, die sich in gleichem Abstand von einem einzigen zentralen Punkt befinden. Besteht der Kreis aber auch aus Innenraum, dann gehört er nicht zum Kreis. Es stellt sich heraus, dass ein Kreis sowohl ein Kreis ist, der ihn begrenzt (o-Kreis (g)ness), als auch eine unzählbare Anzahl von Punkten, die sich innerhalb des Kreises befinden.

Für jeden auf dem Kreis liegenden Punkt L gilt die Gleichung OL=R. (Die Länge des Segments OL ist gleich dem Radius des Kreises).

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, ist Akkord.

Eine Sehne, die direkt durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, ist Durchmesser dieser Kreis (D) . Der Durchmesser kann nach folgender Formel berechnet werden: D=2R

Umfang berechnet nach der Formel: C=2\pi R

Fläche eines Kreises: S=\pi R^(2)

Bogen eines Kreises nennt man den Teil davon, der sich zwischen zwei seiner Punkte befindet. Diese beiden Punkte definieren zwei Kreisbögen. Die Akkord-CD umfasst zwei Bögen: CMD und CLD. Dieselben Akkorde unterspannen dieselben Bögen.

Zentrale Ecke ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Bogenlänge findet man mit der Formel:

1. Abschlüsse verwenden: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Mit einem Bogenmaß: CD = \alpha R

Der Durchmesser, der senkrecht zur Sehne steht, halbiert die Sehne und die Bögen, die sie überspannt.

Wenn sich die Sehnen AB und CD des Kreises im Punkt N schneiden, dann sind die Produkte der Sehnensegmente, die durch den Punkt N getrennt sind, einander gleich.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangente zum Kreis

Tangente an einen Kreis Es ist üblich, eine gerade Linie, die einen gemeinsamen Punkt hat, mit einem Kreis zu bezeichnen.

Wenn eine Gerade zwei Punkte gemeinsam hat, heißt sie Sekante.

Wenn Sie am Berührungspunkt einen Radius zeichnen, steht dieser senkrecht zur Tangente des Kreises.

Lassen Sie uns zwei Tangenten von diesem Punkt zu unserem Kreis ziehen. Es stellt sich heraus, dass die Segmente der Tangenten einander gleich sind und der Mittelpunkt des Kreises auf der Winkelhalbierenden mit dem Scheitelpunkt an diesem Punkt liegt.

AC=CB

Nun ziehen wir von unserem Punkt aus eine Tangente und eine Sekante an den Kreis. Wir erhalten, dass das Quadrat der Länge des Tangentensegments gleich dem Produkt des gesamten Sekantensegments mit seinem äußeren Teil ist.

AC^(2) = CD \cdot BC

Wir können schlussfolgern: Das Produkt eines ganzzahligen Segments der ersten Sekante mit ihrem äußeren Teil ist gleich dem Produkt eines ganzzahligen Segments der zweiten Sekante mit ihrem äußeren Teil.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Winkel im Kreis

Die Gradmaße des Mittelpunktswinkels und des Bogens, auf dem er ruht, sind gleich.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, dessen Scheitel auf einem Kreis liegt und dessen Seiten Sehnen enthalten.

Sie können es berechnen, indem Sie die Größe des Bogens kennen, da sie der Hälfte dieses Bogens entspricht.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Basierend auf Durchmesser, einbeschriebenem Winkel, gerade.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Einbeschriebene Winkel, die sich auf denselben Bogen stützen, sind identisch.

Die einbeschriebenen Winkel, die auf derselben Sehne basieren, sind identisch oder ihre Summe ist gleich 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Auf demselben Kreis liegen die Ecken von Dreiecken mit identischen Winkeln und einer gegebenen Basis.

Ein Winkel mit einem Scheitelpunkt innerhalb des Kreises, der sich zwischen zwei Sehnen befindet, ist identisch mit der Hälfte der Summe der Winkelwerte der Kreisbögen, die sich innerhalb der angegebenen und vertikalen Winkel befinden.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Ein Winkel mit einem Scheitelpunkt außerhalb des Kreises, der zwischen zwei Sekanten liegt, ist identisch mit der halben Differenz der Winkelgrößen der Kreisbögen, die innerhalb des Winkels liegen.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Eingeschriebener Kreis

Eingeschriebener Kreis ist ein Kreis, der die Seiten des Polygons tangiert.

An dem Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden des Polygons schneiden, befindet sich sein Mittelpunkt.

Nicht jedem Vieleck darf ein Kreis eingeschrieben sein.

Die Fläche eines Polygons mit einem einbeschriebenen Kreis ergibt sich aus der Formel:

S=pr,

p ist der Halbumfang des Polygons,

r ist der Radius des Inkreises.

Daraus folgt, dass der Radius des einbeschriebenen Kreises ist:

r = \frac(S)(p)

Die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten sind identisch, wenn der Kreis in ein konvexes Viereck eingeschrieben ist. Und umgekehrt: Ein Kreis ist einem konvexen Viereck einbeschrieben, wenn die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten darin identisch sind.

AB+DC=AD+BC

In jedes der Dreiecke kann ein Kreis eingeschrieben werden. Nur eine einzige. An dem Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel der Figur schneiden, wird der Mittelpunkt dieses einbeschriebenen Kreises liegen.

Der Radius des einbeschriebenen Kreises wird nach folgender Formel berechnet:

r = \frac(S)(p) ,

wobei p = \frac(a + b + c)(2)

Umschriebener Kreis

Wenn ein Kreis durch jeden Eckpunkt eines Polygons geht, wird ein solcher Kreis genannt umschrieben um ein Polygon.

Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegt am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten dieser Figur.

Der Radius kann ermittelt werden, indem man ihn als Radius eines Kreises berechnet, der um ein Dreieck herumbeschrieben wird, das durch 3 beliebige Eckpunkte des Polygons definiert wird.

Es gilt folgende Bedingung: Ein Viereck kann nur dann von einem Kreis umschrieben werden, wenn die Summe seiner gegenüberliegenden Winkel gleich 180^(\circ) ist.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

In der Nähe jedes Dreiecks kann man einen Kreis beschreiben, und zwar einen und nur einen. Der Mittelpunkt eines solchen Kreises befindet sich an dem Punkt, an dem sich die senkrechten Winkelhalbierenden der Seiten des Dreiecks schneiden.

Der Radius des umschriebenen Kreises kann nach den Formeln berechnet werden:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c sind die Seitenlängen des Dreiecks,

S ist die Fläche des Dreiecks.

Satz des Ptolemäus

Betrachten Sie schließlich den Satz von Ptolemäus.

Der Satz von Ptolemäus besagt, dass das Produkt der Diagonalen identisch ist mit der Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten eines einbeschriebenen Vierecks.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Klingt oft wie ein Teil einer Ebene, die von einem Kreis begrenzt wird. Der Umfang eines Kreises ist eine flache geschlossene Kurve. Alle Punkte auf der Kurve haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt des Kreises. Bei einem Kreis sind Länge und Umfang gleich. Das Verhältnis der Länge eines beliebigen Kreises zu seinem Durchmesser ist konstant und wird mit der Zahl π \u003d 3,1415 bezeichnet.

Bestimmung des Umfangs eines Kreises

Der Umfang eines Kreises mit Radius r ist gleich dem doppelten Produkt aus Radius r und der Zahl π(~3.1415)

Kreisumfangsformel

Umfang eines Kreises mit Radius \(r\) :

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P \) - Umfang (Umfang).

\(r\) ist der Radius.

\(d \) - Durchmesser.

Eine solche geometrische Figur wird ein Kreis genannt, der aus allen solchen Punkten besteht, die von einem beliebigen Punkt den gleichen Abstand haben.

Kreismittelpunkt nennen wir den im Rahmen von Definition 1 spezifizierten Punkt.

Kreisradius wir nennen den Abstand vom Mittelpunkt dieses Kreises zu einem seiner Punkte.

Im kartesischen Koordinatensystem \(xOy \) können wir auch die Gleichung eines beliebigen Kreises eingeben. Bezeichnen Sie den Mittelpunkt des Kreises durch einen Punkt \(X \) , der die Koordinaten \((x_0,y_0) \) hat. Der Radius dieses Kreises sei \(τ \) . Nehmen Sie einen beliebigen Punkt \(Y \) , dessen Koordinaten mit \((x,y) \) bezeichnet werden (Abb. 2).

Nach der von uns angegebenen Formel für den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem erhalten wir:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Andererseits ist \(|XY| \) der Abstand von jedem Punkt auf dem Kreis zu unserem gewählten Mittelpunkt. Das heißt, nach Definition 3 erhalten wir also \(|XY|=τ \)

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Somit erhalten wir, dass Gleichung (1) die Gleichung eines Kreises im kartesischen Koordinatensystem ist.

Umfang (Kreisumfang)

Wir werden die Länge eines beliebigen Kreises \(C \) unter Verwendung seines Radius gleich \(τ \) ableiten.

Wir betrachten zwei beliebige Kreise. Lassen Sie uns ihre Längen als \(C \) und \(C" \) bezeichnen, deren Radien \(τ \) und \(τ" \) sind. Wir werden in diese Kreise regelmäßige \(n\)-Ecke einschreiben, deren Umfänge gleich \(ρ \) und \(ρ" \) sind, deren Seitenlängen gleich \(α \) und \(α" \) sind. , bzw. Wie wir wissen, ist die Seite eines regelmäßigen \(n\)-Ecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, gleich

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Dann kriegen wir das hin

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" )\)

Wir bekommen das Verhältnis \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) gilt unabhängig vom Wert der Seitenzahl der einbeschriebenen regelmäßigen Polygone. Also

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Wenn wir andererseits die Anzahl der Seiten der einbeschriebenen regelmäßigen Polygone unendlich erhöhen (d. h. \(n→∞ \) ), erhalten wir die Gleichheit:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Aus den letzten beiden Gleichheiten bekommen wir das

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Wir sehen, dass das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem verdoppelten Radius immer dieselbe Zahl ist, unabhängig von der Wahl des Kreises und seiner Parameter

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Diese Konstante wird als Zahl "pi" bezeichnet und mit \ (π \) bezeichnet. Diese Zahl wird ungefähr gleich \ (3,14 \) sein (es gibt keinen genauen Wert für diese Zahl, da es sich um eine irrationale Zahl handelt). Auf diese Weise

\(\frac(C)(2τ)=π\)

Schließlich erhalten wir, dass der Umfang (Umfang des Kreises) durch die Formel bestimmt wird

\(C=2πτ\)

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Nehmen wir einen Kreis. Stellen Sie das Kompassbein mit der Nadel auf den Punkt "O", und wir drehen das Kompassbein mit dem Stift um diesen Punkt. Somit erhalten wir eine geschlossene Linie. Diese geschlossene Linie wird aufgerufen Kreis.

Schauen wir uns den Kreis genauer an. Lassen Sie uns herausfinden, was Mittelpunkt, Radius und Durchmesser eines Kreises genannt wird.

• ( )O heißt Kreismittelpunkt.
• Ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen beliebigen Punkt auf dem Kreis verbindet, wird aufgerufen Kreisradius. Der Radius des Kreises wird mit dem Buchstaben „R“ bezeichnet. In der obigen Abbildung ist dies das Segment „ OA“.
• Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch ihren Mittelpunkt verläuft, heißt Kreisdurchmesser.

  Der Durchmesser eines Kreises wird durch den Buchstaben „D“ angegeben. In der obigen Abbildung ist dies das Segment " BC".

  Die Figur zeigt auch, dass der Durchmesser gleich zwei Radien ist. Daher ist der Ausdruck "D \u003d 2R" wahr.

Die Zahl π und der Umfang

Bevor Sie herausfinden, wie der Umfang berechnet wird, müssen Sie herausfinden, was die Zahl π (gelesen als „Pi“) ist, die so oft in den Lektionen erwähnt wird.

In der Antike haben die Mathematiker des antiken Griechenlands den Kreis sorgfältig studiert und kamen zu dem Schluss, dass der Umfang und sein Durchmesser miteinander verbunden sind.

Erinnern!

Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist bei allen Kreisen gleich und wird mit dem griechischen Buchstaben π („Pi“) bezeichnet.
π ≈ 3,14…

Die Zahl "Pi" bezieht sich auf Zahlen, deren genauer Wert weder mit gewöhnlichen Brüchen noch mit Dezimalbrüchen geschrieben werden kann. Für unsere Berechnungen genügt es uns, den Wert von π zu verwenden,
auf die Hunderterstelle gerundet π ≈ 3,14…

Nun, da wir wissen, was die Zahl π ist, können wir die Formel für den Umfang eines Kreises schreiben.

Erinnern!

Umfang ist das Produkt aus der Zahl π und dem Durchmesser des Kreises. Der Umfang wird durch den Buchstaben „C“ (gelesen als „Tse“) angegeben.
C= π D
C = 2πR, da D = 2R

So finden Sie den Umfang eines Kreises

Um das erworbene Wissen zu festigen, lösen wir die Aufgabe am Kreis.

Wilenkin 6. Klasse. Zimmer 831

Die Aufgabe:

Berechne die Länge eines Kreises mit einem Radius von 24 cm und runde die Zahl π auf Hundertstel.

Wir verwenden die Formel für den Umfang eines Kreises:

C = 2π R ≈ 2 3,14 24 ≈ 150,72 cm

Analysieren wir das inverse Problem, wenn wir den Umfang eines Kreises kennen und aufgefordert werden, seinen Durchmesser zu finden.

Wilenkin 6. Klasse. Zimmer 835

Die Aufgabe:

Bestimmen Sie den Durchmesser des Kreises, wenn seine Länge 56,52 dm beträgt. (π ≈ 3,14 ).

Wir drücken den Durchmesser aus der Formel für den Umfang eines Kreises aus.

C= π D
D \u003d C / π
D = 56,52 / 3,14 = 18 dm

Akkord und Kreisbogen

In der Abbildung unten markieren wir zwei Punkte auf dem Kreis „A“ und „B“. Diese Punkte teilen den Kreis in zwei Teile, die jeweils genannt werden Bogen. Dies ist der blaue Bogen „AB“ und der schwarze Bogen „AB“. Die Punkte „A“ und „B“ werden aufgerufen Bogen endet.

Ein Kreis findet sich im Alltag nicht weniger als ein Rechteck. Und für viele Menschen ist die Aufgabe, den Umfang eines Kreises zu berechnen, schwierig. Und das alles, weil sie keine Ecken hat. Mit ihnen wäre alles viel einfacher.

Was ist ein Kreis und wo kommt er vor?

Diese flache Figur ist eine Anzahl von Punkten, die sich in gleicher Entfernung von einem anderen, dem Mittelpunkt, befinden. Dieser Abstand wird als Radius bezeichnet.

Im Alltag ist es nicht oft notwendig, den Umfang zu berechnen, außer für Menschen, die Ingenieure und Designer sind. Sie entwerfen Mechanismen, die zum Beispiel Zahnräder, Bullaugen und Räder verwenden. Architekten bauen Häuser mit runden oder gewölbten Fenstern.

Jeder dieser und andere Fälle erfordert seine eigene Präzision. Außerdem ist es absolut unmöglich, den Umfang eines Kreises mit absoluter Genauigkeit zu berechnen. Dies liegt an der Unendlichkeit der Hauptzahl in der Formel. „Pi“ wird noch spezifiziert. Und meistens wird der gerundete Wert verwendet. Der Genauigkeitsgrad wird so gewählt, dass die richtigste Antwort gegeben wird.

Notation von Mengen und Formeln

Jetzt ist es einfach, die Frage zu beantworten, wie man den Umfang eines Kreises aus einem Radius berechnet, dazu wird die folgende Formel benötigt:

Da Radius und Durchmesser miteinander in Beziehung stehen, gibt es eine weitere Formel zur Berechnung. Da der Radius zweimal kleiner ist, ändert sich der Ausdruck geringfügig. Und die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises bei Kenntnis des Durchmessers lautet wie folgt:

l \u003d π * d.

Was ist, wenn Sie den Umfang eines Kreises berechnen müssen?

Denken Sie daran, dass ein Kreis alle Punkte innerhalb des Kreises umfasst. Sein Umfang stimmt also mit seiner Länge überein. Und nachdem Sie den Umfang berechnet haben, setzen Sie ein Gleichheitszeichen mit dem Umfang des Kreises.

Übrigens haben sie die gleichen Bezeichnungen. Das gilt für Radius und Durchmesser, und der lateinische Buchstabe P ist der Umfang.

Aufgabenbeispiele

Aufgabe eins

Zustand. Berechne den Umfang eines Kreises mit einem Radius von 5 cm.

Entscheidung. Hier ist leicht verständlich, wie man den Umfang eines Kreises berechnet. Sie müssen nur die erste Formel verwenden. Da der Radius bekannt ist, brauchen Sie nur die Werte einzustecken und zu zählen. 2 multipliziert mit einem Radius von 5 cm ergibt 10. Es bleibt, es mit dem Wert von π zu multiplizieren. 3,14 * 10 = 31,4 (cm).

Antworten: l = 31,4 cm.

Aufgabe zwei

Zustand. Es gibt ein Rad, dessen Umfang bekannt ist und 1256 mm beträgt. Sie müssen seinen Radius berechnen.

Entscheidung. In dieser Aufgabe müssen Sie dieselbe Formel verwenden. Aber nur die bekannte Länge muss durch das Produkt von 2 und π dividiert werden. Es stellt sich heraus, dass das Produkt das Ergebnis liefert: 6.28. Nach der Division bleibt die Zahl: 200. Dies ist der gewünschte Wert.

Antworten: r = 200 mm.

Aufgabe drei

Zustand. Berechnen Sie den Durchmesser, wenn der Umfang bekannt ist, der 56,52 cm beträgt.

Entscheidung.Ähnlich wie beim vorherigen Problem müssen Sie die bekannte Länge durch den Wert von π dividieren, auf Hundertstel aufgerundet. Als Ergebnis einer solchen Aktion erhält man die Zahl 18. Das Ergebnis wird erhalten.

Antworten: d = 18 cm.

Aufgabe vier

Zustand. Die Uhrzeiger sind 3 und 5 cm lang, Sie müssen die Längen der Kreise berechnen, die ihre Enden beschreiben.

Entscheidung. Da die Pfeile mit den Radien der Kreise zusammenfallen, wird die erste Formel benötigt. Es muss zweimal verwendet werden.

Für die erste Länge besteht das Produkt aus Faktoren: 2; 3,14 und 3. Das Ergebnis ist die Zahl 18,84 cm.

Für die zweite Antwort müssen Sie 2, π und 5 multiplizieren. Das Produkt ergibt eine Zahl: 31,4 cm.

Antworten: l 1 = 18,84 cm, l 2 = 31,4 cm.

Aufgabe fünf

Zustand. Ein Eichhörnchen läuft in einem Rad mit einem Durchmesser von 2 m. Wie weit läuft es bei einer vollständigen Radumdrehung?

Entscheidung. Dieser Abstand ist gleich dem Umfang des Kreises. Daher müssen Sie die entsprechende Formel verwenden. Multiplizieren Sie nämlich den Wert von π und 2 m. Die Berechnungen ergeben das Ergebnis: 6,28 m.

Antworten: Eichhörnchen läuft 6,28 m.