Um verschiedene Probleme der Verarbeitung von UND effektiv zu lösen, ist ihre mathematische Formulierung notwendig, die in erster Linie eine mathematische Beschreibung, dh ein Modell von UND als Untersuchungsgegenstand umfasst. Bis heute wurde eine Reihe solcher Modelle entwickelt, von denen einige in diesem Kapitel besprochen werden.

1.1. Zufällige Felder

Am gebräuchlichsten sind derzeit Informationskomplexe, zu denen räumliche Sensorsysteme und digitale Computer gehören. Daher werden wir MI hauptsächlich mit diskreten räumlichen und zeitlichen Variablen betrachten. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass MPs auf mehrdimensionalen rechteckigen Gittern mit einem Einheitsschritt gegeben sind. Auf Abb. 1.1a und 1.1b zeigen zweidimensionale und dreidimensionale Gitter. Im allgemeinen Fall wird AND an den Knoten eines n-dimensionalen Gitters gegeben.

Abhängig von der physikalischen Natur können die Werte von AND skalar (z. B. die Helligkeit eines monochromen Bildes), vektoriell (Geschwindigkeitsfeld, Farbbilder, Verschiebungsfeld) und komplexer (z. B. Matrix) sein. Wenn durch den Wert AND im Knoten (Pixel) angegeben, dann ist AND die Gesamtheit dieser Werte im Raster: .

Wenn die Daten eine zeitliche Abfolge von UNDs sind, dann ist es manchmal zweckmäßig, diese Abfolge als ein UND zu betrachten, wodurch die Gitterdimension um eins erhöht wird. Beispielsweise kann eine Folge von flachen UNDs (Abb. 1.1, a) als ein dreidimensionales UND (Abb. 2.1, b) betrachtet werden.

Wenn Sie eine temporäre Variable speziell hervorheben möchten, schreiben wir sie von oben: . Dieses UND ergibt sich aus dem direkten Produkt der Gitter und I, wobei I die Wertemenge des Zeitindexes ist. Kreuzung , d.h. Satz von Messwerten UND für einen festen Wert des Zeitindex i, aufgerufen i-ter Rahmen UND. Jeder Rahmen wird auf ein Raster gesetzt. Zum Beispiel in Abb. 1.1b zeigt drei zweidimensionale Rahmen.

Daher kann MI als eine Funktion betrachtet werden, die auf einem mehrdimensionalen Gitter definiert ist. Der Wert der Elemente UND kann im Voraus nicht genau vorhergesagt werden (sonst würde das Beobachtungssystem nicht benötigt), daher ist es naheliegend, diese Werte als Zufallsvariablen (CV) zu betrachten, indem man den Apparat der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik verwendet. Wir kommen also zum Hauptmodell von MI – dem System von SVs, das auf einem multidimensionalen Gitter gegeben ist. Solche Systeme werden diskrete Zufallsfelder (RS) oder Zufallsfunktionen mehrerer Variablen genannt.

Um das SP zu beschreiben, können Sie wie jedes andere VS-System die gemeinsame Wahrsc(DF) seiner Elemente oder die gemeinsame Wahr(PDD) festlegen. . I besteht jedoch normalerweise aus einer sehr großen Anzahl von Elementen (Tausende und Millionen), sodass das DF (oder PDF) mit einer solchen Anzahl von Variablen unbegrenzt wird und andere, weniger umständliche Methoden zum Beschreiben des SP erforderlich sind.

EINLEITUNG

Die Objekte der materiellen Welt sind komplex und vielfältig. Die Reflexion aller ihrer Eigenschaften in den erstellten, untersuchten und verwendeten Bildern ist sehr schwierig und nicht notwendig. Wichtig ist, dass das Abbild des Objekts die Merkmale enthält, die für seine Verwendung am wichtigsten sind.Die Modellierungsmethode ist das Ersetzen des ursprünglichen Objekts durch einErsatzobjekt, das eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Original hat, um neueInformationen über das zu erhalten Original. Ein Modell ist ein Ersatzobjekt des Originalobjekts, das dazu bestimmt ist, Informationen über das Original zu erhalten.

Mathematische Modelle beziehen sich auf symbolische Modelle und stellen eine Beschreibung von Objekten in Form von mathematischen Symbolen, Formeln, Ausdrücken dar. Wenn ein ausreichend genaues mathematisches Modell verfügbar ist, ist es möglich, mittels mathematischer Berechnungen die Ergebnisse des Funktionierens eines Objekts unter verschiedenen Bedingungen vorherzusagen, um aus einer Vielzahl möglicher Optionen diejenige auszuwählen, die die besten Ergebnisse liefert.

Dieser Beitrag stellt die Arten der Klassifikation mathematischer Modellierungsmethoden vor und beschreibt einige Methoden:

Lineare Programmierung sind Methoden der mathematischen Modellierung, die dazu dienen, die beste Möglichkeit zu finden, begrenzte Ressourcen zwischen konkurrierenden Jobs aufzuteilen.

Simulationsmodellierung. Der Zweck der Simulationsmodellierung besteht darin, das Verhalten des untersuchten Systems auf der Grundlage der Ergebnisse der Analyse der wichtigsten Beziehungen zwischen seinen Elementen zu reproduzieren, oder mit anderen Worten, einen Simulator des untersuchten Fachgebiets für die Durchführung verschiedener Experimente zu entwickeln.

Klassifizierung mathematischer Modellierungsmethoden

Aufgrund der Vielfalt der angewandten mathematischen Modelle ist ihre allgemeine Einordnung schwierig. In der Literatur werden meist Klassifikationen angegeben, denen verschiedene Ansätze und Prinzipien zugrunde liegen.

Durch die Zugehörigkeit zu einer hierarchischen Ebene mathematische Modelle werden in Modelle auf Mikroebene, Makroebene und Metaebene unterteilt. Mathematische Modelle auf der Mikroebene des Prozesses spiegeln die physikalischen Prozesse wider, die beispielsweise beim Schneiden von Metallen ablaufen. Sie beschreiben Prozesse auf der Übergangsebene (Durchgangsebene).

Mathematische Modelle auf der Makroebene des Prozesses beschreiben technologische Prozesse.

Mathematische Modelle auf der Metaebene des Prozesses beschreiben technologische Systeme (Bereiche, Werkstätten, das Unternehmen als Ganzes).

Durch die Art der angezeigten Objekteigenschaften Modelle können in strukturelle und funktionale klassifiziert werden

Das Modell ist strukturell, wenn es durch eine Datenstruktur oder Datenstrukturen und Beziehungen zwischen ihnen dargestellt werden kann. Ein Strukturmodell wiederum kann hierarchisch oder netzwerkartig sein.

Das Modell ist hierarchisch (baumartig), - wenn es durch eine hierarchische Struktur (Baum) repräsentiert wird; Um beispielsweise das Problem zu lösen, eine Route in einem Suchbaum zu finden, können Sie ein in Abbildung 1 gezeigtes Baummodell erstellen.

Abbildung 1 - Modell der hierarchischen Struktur.

Das Modell ist ein Netzwerk, wenn es durch eine Netzwerkstruktur dargestellt werden kann. Beispielsweise umfasst der Bau eines neuen Hauses verschiedene Vorgänge, die in dem in Abbildung 2 gezeigten Netzwerkmodell dargestellt werden können.

Abbildung 2 – Netzwerkstrukturmodell.

Das Modell ist funktional, wenn es als System funktionaler Zusammenhänge dargestellt werden kann. Funktional sind beispielsweise das Newtonsche Gesetz und das Modell der Güterproduktion.

Übrigens werden Objekteigenschaften dargestellt Modelle werden in analytische, numerische, algorithmische und Simulation unterteilt.

Analytische mathematische Modelle sind explizite mathematische Ausdrücke von Ausgabeparametern als Funktionen von Eingabe- und internen Parametern und haben eindeutige Lösungen für alle Anfangsbedingungen. Beispielsweise ist der Prozess des Schneidens (Drehens) in Bezug auf die einwirkenden Kräfte ein analytisches Modell. Auch eine quadratische Gleichung mit einer oder mehreren Lösungen ist ein analytisches Modell. Das Modell ist numerisch, wenn es Lösungen unter bestimmten Anfangsbedingungen (Differential-, Integralgleichungen) hat.

Das Modell ist algorithmisch, wenn es durch einen Algorithmus oder eine Reihe von Algorithmen beschrieben wird, die seine Funktionsweise und Entwicklung bestimmen. Die Einführung dieses Modelltyps (tatsächlich scheint es, dass jedes Modell durch einen Algorithmus zu seiner Untersuchung dargestellt werden kann) ist durchaus gerechtfertigt, da nicht alle Modelle algorithmisch untersucht oder implementiert werden können. Beispielsweise kann ein Modell zum Berechnen der Summe einer unendlich fallenden Reihe von Zahlen ein Algorithmus zum Berechnen einer endlichen Summe einer Reihe bis zu einem bestimmten spezifizierten Genauigkeitsgrad sein. Als algorithmisches Modell für die Quadratwurzel einer Zahl X kann ein Algorithmus zur Berechnung ihres ungefähren, beliebig genauen Wertes unter Verwendung einer bekannten wiederkehrenden Formel dienen.

Ein Simulationsmodell, wenn es darauf abzielt, mögliche Entwicklungsweisen und Verhaltensweisen eines Objekts zu testen oder zu untersuchen, indem einige oder alle Parameter des Modells variiert werden, z. B. ein Modell eines Wirtschaftssystems für die Produktion von zwei Arten von Gütern . Ein solches Modell kann als Simulation verwendet werden, um die Gesamtkosten in Abhängigkeit von bestimmten Werten der produzierten Warenmenge zu bestimmen und zu variieren.

Durch das Erhalten Modelle werden in theoretische und empirische Modelle unterteilt.Theoretische mathematische Modelle werden als Ergebnis der Untersuchung von Objekten (Prozessen) auf theoretischer Ebene erstellt. Beispielsweise gibt es Ausdrücke für Schnittkräfte, die auf der Grundlage einer Verallgemeinerung physikalischer Gesetze erhalten werden. Sie sind jedoch für den praktischen Einsatz nicht akzeptabel, da sie sehr umständlich und nicht ganz an reale Prozesse angepasst sind. Empirische mathematische Modelle werden als Ergebnis von Experimenten (Untersuchung der äußeren Erscheinungsformen der Eigenschaften eines Objekts durch Messung seiner Parameter am Eingang und Ausgang) und Verarbeitung ihrer Ergebnisse mit mathematischen Statistikmethoden erstellt.

Entsprechend der Form der Darstellung von Objekteigenschaften Modelle werden in logische, mengentheoretische und graphische Modelle unterteilt. Das Modell ist logisch, wenn es durch Prädikate, logische Funktionen dargestellt werden kann, beispielsweise kann ein Satz von zwei logischen Funktionen als mathematisches Modell eines einstelligen Addierers dienen. Ein Modell ist mengentheoretisch, wenn es sich mit Hilfe bestimmter Mengen und Relationen der Zugehörigkeit zu ihnen und zwischen ihnen darstellen lässt. Ein Graphenmodell ist, wenn es durch einen Graphen oder Graphen und die Beziehungen zwischen ihnen dargestellt werden kann.

Je nach Stabilitätsgrad. Modelle können in stabile und instabile unterteilt werden. Ein stabiles System ist eines, das, wenn es aus seinem Anfangszustand entfernt wird, dazu tendiert. Es kann einige Zeit um den Ausgangspunkt oszillieren, wie ein gewöhnliches Pendel, das in Bewegung gesetzt wird, aber die darin enthaltenen Störungen verblassen und verschwinden mit der Zeit

In Bezug auf externe Faktoren Modelle können in offene und geschlossene unterteilt werden. Ein geschlossenes Modell ist ein Modell, das unabhängig von externen (exogenen) Variablen arbeitet. In einem geschlossenen Modell werden Änderungen der Werte von Variablen im Laufe der Zeit durch die interne Wechselwirkung der Variablen selbst bestimmt. Ein geschlossenes Modell kann das Verhalten eines Systems aufzeigen, ohne eine externe Variable einzuführen. Beispiel: Informationssysteme mit Feedback sind geschlossene Systeme. Sie sind selbstregulierende Systeme, und ihre Eigenschaften leiten sich von der internen Struktur und den Interaktionen ab, die den Input externer Informationen widerspiegeln. Ein mit externen (exogenen) Variablen verknüpftes Modell wird als offen bezeichnet.

Bezogen auf den Faktor Zeit Modelle werden in dynamisch und statisch unterteilt. Ein Modell wird als statisch bezeichnet, wenn es unter den an seiner Beschreibung beteiligten Parametern keinen Zeitparameter gibt. Ein Modell wird als dynamisches Modell bezeichnet, wenn es unter seinen Parametern einen Zeitparameter gibt, d. h. es zeigt das System (Prozesse im System) in der Zeit an. gleichzeitig.

Lineares Programmieren

Unter den mathematischen Programmierproblemen sind die einfachsten (und am besten untersuchten) die sogenannten linearen Programmierprobleme. Charakteristisch für sie ist:

a) Der Leistungsindikator (Zielfunktion) W hängt linear von den Lösungselementen x 1, x 2, ....., x p und ab

b) Einschränkungen, die den Elementen der Lösung auferlegt werden, haben die Form von linearen Gleichheiten oder Ungleichungen in Bezug auf x 1, x 2, ..., x p

Solche Aufgaben sind in der Praxis durchaus üblich, z. B. bei der Lösung von Problemen im Zusammenhang mit der Ressourcenallokation, Produktionsplanung, Transportorganisation etc. Dies ist natürlich, da in vielen Praxisproblemen „Kosten“ und „Einnahmen“ linear abhängen die Höhe der gekauften oder veräußerten Mittel (z. B. hängen die Gesamtkosten einer Warensendung linear von der Anzahl der gekauften Einheiten ab; die Bezahlung des Transports erfolgt proportional zum Gewicht der transportierten Ware usw.).

Jedes lineare Programmierproblem lässt sich auf eine Standardform reduzieren, das sogenannte „Basic Linear Programming Problem“ (BLI), das wie folgt formuliert ist: Finde nicht-negative Werte der Variablen x 1 , x 2 , .. ., x n , die die Gleichheitsbedingungen ( Eins) erfüllen würden.

Der Fall, wenn f nicht auf das Maximum, sondern auf gedreht werden muss. das Minimum kann leicht auf das vorherige reduziert werden, wenn Sie einfach das Vorzeichen von f umkehren (maximieren Sie nicht f, sondern f" = - f). Außerdem können Sie auf Kosten der Einführung neuer Bedingungen von beliebigen Ungleichungsbedingungen zu Gleichheitsbedingungen übergehen zusätzliche Variablen.

Abhängig von der Art der Zielfunktion und der Nebenbedingungen können mehrere Arten von linearen Programmierproblemen oder linearen Modellen unterschieden werden: ein allgemeines lineares Problem, ein Transportproblem und ein Zuordnungsproblem.

Das Transportproblem (das Monge-Kantorovich-Problem) ist ein mathematisches Problem der linearen Programmierung besonderer Art, um die optimale Verteilung homogener Objekte vom Akkumulator zu den Empfängern unter Minimierung der Reisekosten zu finden. Zum leichteren Verständnis wird es als ein Problem des optimalen Plans für den Transport von Waren von den Ausgangsorten zu den Verbrauchsorten mit minimalen Transportkosten betrachtet.

Das Zuordnungsproblem wird wie folgt formuliert:

Es gibt eine bestimmte Anzahl von Werken und eine bestimmte Anzahl von Interpreten. Jeder Auftragnehmer kann beauftragt werden, jede (aber nur eine) Aufgabe auszuführen, jedoch zu unterschiedlichen Kosten. Es ist notwendig, die Arbeit zu verteilen, um die Arbeit mit minimalen Kosten abzuschließen. Bei gleicher Anzahl von Jobs und Performern spricht man von einem linearen Zuordnungsproblem.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, ein Problem der linearen Programmierung zu lösen, insbesondere die grafische Methode und die Simplex-Methode. Die grafische Methode basiert auf der geometrischen Interpretation eines linearen Programmierproblems und dient zur Lösung von Problemen im zweidimensionalen Raum. Probleme des dreidimensionalen Raums werden sehr selten gelöst, weil. die Konstruktion ihrer Lösung ist unbequem und frei von Visualisierung. Betrachten Sie die Methode am Beispiel eines zweidimensionalen Problems.

Finden Sie eine Lösung X \u003d (x 1, x 2), die das Ungleichungssystem erfüllt (3)

(3)

6x1 +7x2 ≤42

bei dem der Wert der Zielfunktion F = 2x 1 x 2 sein Maximum erreicht.

Lassen Sie uns auf der Ebene im kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem x 1 Ox 2 den Bereich möglicher Lösungen des Problems aufbauen.

Jede der konstruierten Linien teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Die Koordinaten der Punkte einer Halbebene erfüllen die ursprüngliche Ungleichung, die andere nicht. Um die gewünschte Halbebene zu bestimmen, müssen Sie einen Punkt nehmen, der zu einer der Halbebenen gehört, und prüfen, ob seine Koordinaten diese Ungleichung erfüllen. Wenn die Koordinaten eines gegebenen Punktes diese Ungleichung erfüllen, dann ist die gesuchte Halbebene diejenige, zu der dieser Punkt gehört. Ansonsten ein weiteres Halbflugzeug.

Lassen Sie uns die Halbebene finden, die durch die Ungleichung x 1 -x 2 ≥-3 definiert ist. Nachdem wir eine gerade Linie (I) x 1 -x 2 \u003d-3 gebaut haben, nehmen wir dazu einen Punkt, der zu einer der beiden erhaltenen Halbebenen gehört, beispielsweise den Punkt O (0,0). Die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Ungleichung x 1 – x 2 ≥ –3. Das bedeutet, dass die Halbebene, zu der der Punkt O(0,0) gehört, durch die Ungleichung x 1 – x 2 ≥ –3 bestimmt ist.

Lassen Sie uns nun die Halbebene finden, die durch die Ungleichung 6x1+7x 2 ≤42 definiert ist.

Wir bauen eine Linie II 6x 1 +7x 2 =42. Die Koordinaten des Punktes O(0,0) erfüllen die Ungleichung 6x 1 +7x 2 ≤42, was bedeutet, dass die zweite Halbebene die gewünschte sein wird.

Nun suchen wir eine Halbebene für die Ungleichung 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Die Koordinaten des Punktes O(0,0) erfüllen die Ungleichungen 2 x 1 -3 x 2 ≤6. Daher wird die Halbebene, zu der der Punkt O(0,0) gehört, durch die Ungleichung 2 x 1 - 3 x 2 ≤6 bestimmt (Linie III).

Und eine Halbebene für die Ungleichung x 1 + x 2 ≥4. Die Koordinaten des Punktes O(0,0) erfüllen die Ungleichung x 1 + x 2 ≥4 (Zeile IV). Somit wird die Linie x 1 + x 2 = 4 durch die erste Halbebene bestimmt.

Die Ungleichungen x 1 ≥ 0 und x 2 ≥ 0 bedeuten, dass der Lösungsbereich rechts von der Ordinate und oberhalb der Abszisse liegen wird. Somit ist der in Abbildung 3 schattierte Bereich ABCD der Bereich der machbaren Lösungen, der durch die Einschränkungen des Problems definiert ist. Die Zielfunktion nimmt ihren Maximalwert an einem der Eckpunkte der Figur ABCD an. Um diesen Scheitelpunkt zu bestimmen, konstruieren wir einen Vektor C (2; -1) und eine Linie 2x 1 - x 2 =p, wobei p eine Konstante ist, so dass die Linie 2x 1 - x 2 =p gemeinsame Punkte mit dem Lösungspolygon hat . Nehmen wir zum Beispiel p=1/2 und konstruieren eine gerade Linie 2 x 1 - x 2 = 1/2. Außerdem verschieben wir die konstruierte Gerade in Richtung des Vektors, bis sie ihren letzten gemeinsamen Punkt mit dem Lösungspolygon durchläuft. Die Koordinaten des angegebenen Punktes bestimmen den optimalen Plan für diese Aufgabe.

Abbildung 3 zeigt, dass der letzte gemeinsame Punkt der Linie 2x 1 -x 2 \u003d p mit dem Polygon der Lösungen Punkt A ist. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der Linien II und III, daher werden seine Koordinaten als Lösung für das System gefunden von Gleichungen, die diese Linien definieren:

(4)

6x1 +7x2 =42

In diesem Fall ist der Wert der Zielfunktion F \u003d 2 x 1 - x 2 \u003d 2 * 5,25 - 1 * 1,5 \u003d 9.

Punkt B ist die optimale Lösung für das Problem X opt = (x 1 opt, x 2 opt) und seine Koordinaten sind x 1 opt = 5,25, x 2 opt = 1,5.

Abbildung 3 - Der Bereich der zulässigen Problemlösungen

Simplex - Methode

Diese Methode ist eine Methode zur gezielten Aufzählung von Referenzlösungen eines linearen Programmierproblems. Es ermöglicht eine endliche Anzahl von Schritten, um entweder die optimale Lösung zu finden oder festzustellen, dass es keine optimale Lösung gibt.

1) Geben Sie die Methode zum Finden der optimalen Referenzlösung an.

2) Geben Sie die Übergangsmethode von einer Referenzlösung zu einer anderen an, bei der der Wert der Zielfunktion näher am Optimum liegt, d. h. einen Weg zur Verbesserung der Referenzlösung aufzeigen.

3) Legen Sie Kriterien fest, die es Ihnen ermöglichen, die Aufzählung von Referenzlösungen für die optimale Lösung rechtzeitig zu stoppen oder eine Schlussfolgerung über das Fehlen einer optimalen Lösung zu ziehen.

Um das Problem mit der Simplex-Methode zu lösen, müssen Sie Folgendes tun:

1) Bringen Sie das Problem in die kanonische Form.

2) Finden Sie eine anfängliche Referenzlösung mit einer "Einheitsbasis" (wenn es keine Referenzlösung gibt, dann hat das Problem aufgrund der Inkompatibilität des Systems von Beschränkungen keine Lösung).

3) Berechnen Sie Schätzungen von Vektorentwicklungen in Bezug auf die Basis der Referenzlösung und füllen Sie die Tabelle des Simplex-Verfahrens aus.

4) Wenn das Kriterium für die Eindeutigkeit der optimalen Lösung erfüllt ist, dann endet die Lösung des Problems. Ist die Bedingung für die Existenz einer Menge optimaler Lösungen erfüllt, so werden durch einfaches Aufzählen alle optimalen Lösungen gefunden.

Die Recheneffizienz mathematischer Verfahren wird üblicherweise anhand von zwei Parametern abgeschätzt:

1) Die Anzahl der Iterationen, die erforderlich sind, um eine Lösung zu erhalten;

2) Die Kosten der Maschinenzeit.

Als Ergebnis numerischer Experimente wurden für das Simplex-Verfahren folgende Ergebnisse erhalten:

1) Die Anzahl der Iterationen beim Lösen linearer Programmierprobleme in der Standardform mit Nebenbedingungen und Variablen liegt zwischen und . Durchschnittliche Anzahl von Iterationen . Die Obergrenze für die Anzahl der Iterationen ist .

2) Die benötigte Maschinenzeit ist proportional zu .

Die Anzahl der Restriktionen wirkt sich stärker auf die Recheneffizienz aus als die Anzahl der Variablen, daher sollte man bei der Formulierung von Problemen der linearen Programmierung danach streben, die Anzahl der Restriktionen zu reduzieren, selbst wenn man die Anzahl der Variablen erhöht.

Grundbegriffe der Simulationsmethode.

Unter dem Begriff „Simulationsmodellierung“ („Simulationsmodell“) versteht man üblicherweise die Berechnung der Werte einiger sich im Laufe der Zeit entwickelnder Eigenschaften eines Prozesses, indem der Ablauf dieses Prozesses auf einem Computer nach seinem mathematischen Modell nachgebildet wird, und es ist entweder unmöglich oder es ist äußerst schwierig, die erforderlichen Ergebnisse auf andere Weise zu erzielen. Die Nachbildung des Prozessablaufs auf einem Computer unter Verwendung eines mathematischen Modells wird allgemein als Simulationsexperiment bezeichnet.

Simulationsmodelle gehören zur Klasse der Modelle, die ein System von Beziehungen zwischen den Eigenschaften des beschriebenen Prozesses darstellen. Diese Merkmale werden in interne („endogene“, „Phasenvariablen“) und externe („exogene“, „Parameter“) unterteilt. Ungefähr interne Merkmale sind solche, deren Werte mit mathematischen Modellierungswerkzeugen bekannt sein sollen; extern - diejenigen, von denen die internen Eigenschaften erheblich abhängen, aber die umgekehrte Beziehung (mit praktisch akzeptabler Genauigkeit) nicht stattfindet.

Ein Modell, das in der Lage ist, die Werte interner Merkmale vorherzusagen, muss geschlossen sein („geschlossenes Modell“), in dem Sinne, dass seine Beziehungen die Berechnung interner Merkmale mit bekannten externen Merkmalen ermöglichen. Das Verfahren zur Bestimmung der äußeren Eigenschaften des Modells wird als seine Identifizierung oder Kalibrierung bezeichnet. Mathematische Modelle der beschriebenen Klasse (sie umfassen Simulationsmodelle) definieren eine Abbildung, die es ermöglicht, die Werte interner aus den bekannten Werten externer Merkmale zu erhalten. Nachfolgend wird diese Abbildung als die dem Modell zugeordnete Abbildung bezeichnet.

Die Modelle der betrachteten Klasse basieren auf dem Postulat der Unabhängigkeit äußerer Merkmale von inneren, und die Relationen des Modells sind eine Form der Aufzeichnung der damit verbundenen Abbildung. Wie in Abbildung 4 dargestellt, befasst sich der Forscher mit vier Hauptelementen im Simulationsprozess:

Echtes System;

Logisch-mathematisches Modell des zu modellierenden Objekts;

Simulations-(Maschinen-)Modell;

Der Computer, auf dem die Simulation durchgeführt wird, ist ein gerichtetes Rechenexperiment.

Der Forscher untersucht das reale System, entwickelt ein logisches und mathematisches Modell des realen Systems. Der Simulationscharakter der Studie impliziert das Vorhandensein logischer oder logisch-mathematischer Modelle, die den untersuchten Prozess beschreiben. Oben wurde ein reales System als eine Reihe von interagierenden Elementen definiert, die in der Zeit funktionieren. Die zusammengesetzte Natur eines komplexen Systems beschreibt die Darstellung seines Modells in Form von drei Mengen: A, S, T, wo
A ist eine Menge von Elementen (einschließlich der externen Umgebung);
S ist die Menge der zulässigen Verbindungen zwischen Elementen (Modellstruktur);
T ist die Menge der betrachteten Zeitpunkte.

Abbildung 4 Simulationsprozess

Ein Merkmal der Simulationsmodellierung besteht darin, dass das Simulationsmodell es Ihnen ermöglicht, die simulierten Objekte zu reproduzieren:

Unter Beibehaltung ihrer logischen Struktur;

Mit der Erhaltung von Verhaltenseigenschaften (die zeitliche Abfolge von Ereignissen, die im System auftreten), d.h. Interaktionsdynamik.

Bei der Simulationsmodellierung wird die Struktur des simulierten Systems im Modell adäquat abgebildet und die Abläufe seiner Funktionsweise am konstruierten Modell nachgespielt (simuliert). Die Konstruktion eines Simulationsmodells besteht also darin, die Struktur und Funktionsweise des simulierten Objekts oder Systems zu beschreiben.

Es gibt Simulationsmodelle:

Kontinuierlich;

diskret;

Kontinuierlich-diskret.

In kontinuierlichen Simulationsmodellen ändern sich die Variablen kontinuierlich, der Zustand des simulierten Systems ändert sich als kontinuierliche Funktion der Zeit, und diese Änderung wird in der Regel durch Differentialgleichungssysteme beschrieben. Dementsprechend hängt die Weiterentwicklung der Modellzeit von numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen ab. In diskreten Simulationsmodellen ändern sich Variablen diskret zu bestimmten Zeitpunkten der Simulationszeit (Eintreten von Ereignissen).

Die Dynamik diskreter Modelle ist ein Übergangsprozess vom Moment des nächsten Ereignisses zum Moment des nächsten Ereignisses. Da kontinuierliche und diskrete Prozesse in realen Systemen oft nicht getrennt werden können, wurden kontinuierlich-diskrete Modelle entwickelt, die die für diese beiden Prozesse charakteristischen Zeitfortschrittsmechanismen kombinieren.

Die Methode der Simulationsmodellierung ermöglicht die Lösung von Problemen hoher Komplexität und bietet die Simulation komplexer und vielfältiger Prozesse mit einer großen Anzahl von Elementen. Separate funktionale Abhängigkeiten in solchen Modellen können durch umständliche mathematische Beziehungen beschrieben werden. Daher wird die Simulationsmodellierung effektiv bei den Problemen der Untersuchung von Systemen mit einer komplexen Struktur verwendet, um spezifische Probleme zu lösen. Das Simulationsmodell enthält Elemente der kontinuierlichen und diskreten Aktion, daher wird es zur Untersuchung dynamischer Systeme verwendet, wenn eine Analyse von Engpässen erforderlich ist, zur Untersuchung der Funktionsdynamik, wenn es wünschenswert ist, den Ablauf des Prozesses in der Simulation zu beobachten Modell für eine bestimmte Zeit.

Simulationsmodellierung ist ein effektives Werkzeug zur Untersuchung stochastischer Systeme, wenn das untersuchte System durch zahlreiche Zufallsfaktoren komplexer Natur beeinflusst werden kann. Es ist möglich, Forschung unter Bedingungen der Ungewissheit, mit unvollständigen und ungenauen Daten durchzuführen. Simulationsmodellierung ist ein wichtiger Faktor in Entscheidungsunterstützungssystemen, weil ermöglicht es Ihnen, eine große Anzahl von Alternativen (Lösungen) zu erkunden und verschiedene Szenarien für jede Eingabe zu spielen.

Der Hauptvorteil der Simulationsmodellierung besteht darin, dass der Forscher, um neue Strategien zu testen und Entscheidungen zu treffen, während er mögliche Situationen studiert, immer eine Antwort auf die Frage „Was wird passieren, wenn?“ erhalten kann. Das Simulationsmodell ermöglicht eine Vorhersage, wann ein System entworfen oder Entwicklungsprozesse untersucht werden (d. h. in Fällen, in denen noch kein reales System existiert). Im Simulationsmodell können verschiedene, auch ein hoher Detaillierungsgrad der simulierten Prozesse bereitgestellt werden. In diesem Fall wird das Modell evolutionär schrittweise erstellt.

REFERENZLISTE

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Bestimmen Sie die dominanten Merkmale der Klassifikation des Lokalisierungsobjekts und entwickeln Sie ein mathematisches Modell zur Analyse von Gesichtsausdrucksbildern.

Aufgaben

Suche und Analyse von Gesichtslokalisierungsmethoden, Bestimmung dominanter Klassifikationsmerkmale, Entwicklung eines mathematischen Modells, das optimal für die Aufgabe ist, die Bewegung von Gesichtsausdrücken zu erkennen.

Gegenstand

Neben der Bestimmung des optimalen Farbraums zur Konstruktion markanter Objekte auf einer gegebenen Bildklasse, die in der vorangegangenen Phase der Studie durchgeführt wurde, erfolgte die Bestimmung der dominanten Merkmale der Klassifikation und die Entwicklung eines mathematischen Modells von Gesichtsausdruckbildern spielen ebenfalls eine wichtige Rolle.

Um dieses Problem zu lösen, müssen zunächst die Funktionen zum Ändern der Aufgabe der Gesichtserkennung durch eine Videokamera auf das System eingestellt und dann die Lokalisierung der Lippenbewegung durchgeführt werden.

Bei der ersten Aufgabe sollten zwei Arten von ihnen unterschieden werden:
Gesichtslokalisierung;
Gesichtserkennung.
Da wir vor der Aufgabe stehen, einen Algorithmus zur Erkennung von Gesichtsausdrücken zu entwickeln, ist es logisch anzunehmen, dass dieses System von einem Benutzer verwendet wird, der seinen Kopf nicht allzu aktiv bewegen wird. Um die Lippzu implementieren, ist es daher notwendig, eine vereinfachte Version des Erkennungsproblems zugrunde zu legen, bei der es ein und nur ein Gesicht im Bild gibt.

Und das bedeutet, dass die Gesichtssuche relativ selten durchgeführt werden kann (ca. 10 Bilder / Sek. oder sogar weniger). Gleichzeitig sind die Bewegungen der Lippen des Sprechers während eines Gesprächs sehr aktiv, und daher sollte ihre Kontur mit größerer Intensität bewertet werden.

Die Aufgabe, ein Gesicht in einem Bild zu finden, kann mit bestehenden Mitteln gelöst werden. Heutzutage gibt es mehrere Methoden, um ein Gesicht in einem Bild zu erkennen und zu lokalisieren, die sich in 2 Kategorien einteilen lassen:
1. Empirische Anerkennung;
2. Modellieren des Gesichtsbildes. .

Die erste Kategorie umfasst Erkennungsverfahren von oben nach unten, die auf unveränderlichen Merkmalen von Gesichtsbildern beruhen, basierend auf der Annahme, dass es einige Anzeichen für das Vorhandensein von Gesichtern in dem Bild gibt, die in Bezug auf die Aufnahmebedingungen unveränderlich sind. Diese Methoden können in 2 Unterkategorien unterteilt werden:
1.1. Erkennung von Elementen und Merkmalen (Merkmalen), die für das Gesichtsbild charakteristisch sind (Kanten, Helligkeit, Farbe, charakteristische Form von Gesichtsmerkmalen etc.), .;
1.2. Analyse der erkannten Merkmale, Entscheidung über die Anzahl und Lage der Gesichter (ein empirischer Algorithmus, Statistik über die relative Position von Merkmalen, Modellierung visueller Bildprozesse, Verwendung starrer und verformbarer Schablonen usw.), .

Für die korrekte Funktion des Algorithmus ist es notwendig, eine Datenbank mit Gesichtsmerkmalen mit anschließender Prüfung zu erstellen. Für eine genauere Implementierung empirischer Methoden können Modelle verwendet werden, die es erlauben, die Möglichkeiten der Gesichtstransformation zu berücksichtigen, und daher entweder einen erweiterten Satz von Basisdaten zur Erkennung haben, oder einen Mechanismus, der es erlaubt, die Transformation auf Basiselementen zu modellieren . Schwierigkeiten beim Aufbau einer Klassifikatordatenbank, die sich auf einen breiten Bereich von Benutzern mit individuellen Merkmalen, Gesichtsmerkmalen usw. konzentriert, tragen zu einer Verringerung der Erkennungsgenauigkeit dieses Verfahrens bei.

Die zweite Kategorie umfasst Methoden der mathematischen Statistik und des maschinellen Lernens. Verfahren in dieser Kategorie basieren auf Bilderkennungswerkzeugen, wobei das Gesichtserkennungsproblem als Spezialfall des Erkennungsproblems betrachtet wird. Dem Bild wird ein bestimmter Merkmalsvektor zugeordnet, der verwendet wird, um Bilder in zwei Klassen zu klassifizieren: Gesicht/kein Gesicht. Der gebräuchlichste Weg, einen Merkmalsvektor zu erhalten, ist die Verwendung des Bildes selbst: Jedes Pixel wird zu einer Komponente des Vektors, wodurch das n×m-Bild in einen Raumvektor R^(n×m) umgewandelt wird, wobei n und m positive ganze Zahlen sind . . Der Nachteil dieser Darstellung ist die extrem hohe Dimension des Merkmalsraums. Der Vorteil dieser Methode ist der Ausschluss vom gesamten Verfahren zum Aufbau eines Klassifikators der menschlichen Beteiligung sowie die Möglichkeit, das System selbst für einen bestimmten Benutzer zu trainieren. Daher ist die Verwendung von Bildmodellierungsmethoden zum Erstellen eines mathematischen Modells der Gesichtslokalisierung optimal für die Lösung unseres Problems.

Was das Segmentieren des Gesichtsprofils und das Verfolgen der Position von Lippenpunkten in einer Folge von Einzelbildern betrifft, so sollten auch mathematische Modellierungsverfahren verwendet werden, um dieses Problem zu lösen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Bewegung von Gesichtsausdrücken zu bestimmen. Die bekanntesten davon sind die Verwendung eines mathematischen Modells, das auf aktiven Konturmodellen basiert:

Lokalisierung des Bereichs der Mimik basierend auf dem mathematischen Modell aktiver Konturmodelle

Eine aktive Kontur (Schlange) ist ein verformbares Modell, dessen Vorlage in Form einer parametrischen Kurve gegeben ist, die manuell durch eine Reihe von Kontrollpunkten initialisiert wird, die auf einer offenen oder geschlossenen Kurve im Eingabebild liegen.

Um die aktive Kontur an das Bild von Gesichtsausdrücken anzupassen, ist es notwendig, die entsprechende Binarisierung des zu untersuchenden Objekts durchzuführen, dh seine Umwandlung in eine Art digitale Rasterbilder, und dann eine entsprechende Bewertung der Parameter des aktive Kontur und die Berechnung des Merkmalsvektors durchgeführt werden.

Das aktive Konturmodell ist definiert als:
Punktmenge N;
Interne interessierende Energiebereiche (interner elastischer Energieterm);
Externe interessierende Energiebereiche (externer kantenbasierter Energieterm).

Um die Erkennungsqualität zu verbessern, werden zwei Farbklassen unterschieden - Haut und Lippen. Die Farbklassenzugehörigkeitsfunktion hat einen Wert im Bereich von 0 bis 1.

Die Gleichung des aktiven Konturmodells (Schlange) wird durch die ausgedrückte Formel v(s) dargestellt als:

Wobei E die Energie der Schlange ist (aktives Konturmodell). Die ersten beiden Terme beschreiben die Regularitätsenergie des aktiven Konturmodells (Schlange). In unserem Polarkoordinatensystem ist v(s) = , s ist von 0 bis 1. Der dritte Term ist die Energie, die sich auf die aus dem Bild erhaltene externe Kraft bezieht, der vierte ist die Druckkraft.

Die externe Kraft wird basierend auf den oben beschriebenen Eigenschaften bestimmt. Es ist in der Lage, die Kontrollpunkte auf einen bestimmten Intensitätswert zu verschieben. Es wird berechnet als:

Der Steigungsmultiplikator (Ableitung) wird an den Serpentinenpunkten entlang der entsprechenden radialen Linie berechnet. Die Kraft nimmt zu, wenn der Gradient negativ ist, und nimmt andernfalls ab. Der Koeffizient vor dem Gradienten ist ein Gewichtungsfaktor, der von der Topologie des Bildes abhängt. Die Druckkraft ist nur eine Konstante, es wird ½ des minimalen Gewichtungsfaktors verwendet. Die beste Schlangenform erhält man durch Minimieren des Energiefunktionals nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen.

Betrachten wir die grundlegenden Bildverarbeitungsoperationen genauer. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass wir den Bereich des Mundes des Sprechers bereits auf irgendeine Weise ausgewählt haben. In diesem Fall sind die Hauptoperationen für die Verarbeitung des resultierenden Bildes, die wir ausführen müssen, in Abb. 3.

Fazit

Um die dominanten Merkmale der Bildklassifizierung im Zuge der Forschungsarbeiten zu ermitteln, wurden die Merkmale der Modifikation der Aufgabe der Gesichtserkennung durch eine Videokamera identifiziert. Unter allen Methoden der Gesichtslokalisierung und Erkennung des untersuchten Bereichs der Gesichtsausdrücke sind die Methoden zur Modellierung des Gesichtsbildes am besten geeignet für die Aufgaben der Erstellung eines universellen Erkennungssystems für mobile Geräte.
Die Entwicklung eines mathematischen Modells von Bildern der Bewegung von Gesichtsausdrücken basiert auf einem System aktiver Konturmodelle der Binarisierung des Untersuchungsobjekts. Da dieses mathematische Modell nach dem Wechsel des Farbraums von RGB zum YCbCr-Farbmodell eine effektive Transformation des interessierenden Objekts für seine anschließende Analyse auf der Grundlage aktiver Konturmodelle und die Identifizierung klarer Grenzen von Gesichtsausdrücken nach geeigneten Iterationen des Bildes ermöglicht.

Liste der verwendeten Quellen

1. Vezhnevets V., Dyagtereva A. Erkennung und Lokalisierung des Gesichts im Bild. CGM-Journal, 2003
2. Ebenda.
3. E. Hjelmas und B.K. Niedrig, Gesichtserkennung: Eine Umfrage, Journal of Computer Vision and Image Understanding, Band 83, S. 236-274, 2001.
4. G. Yang und T.S. Huang, Human Face Detection in Complex Background, Mustererkennung, Bd. 27, Nr. 1, S. 53-63, 1994
5. K. Sobottka und I. Pitas, Ein neuartiges Verfahren zur automatischen Gesichtssegmentierung, Extraktion und Verfolgung von Gesichtsmerkmalen, Signalverarbeitung: Bildkommunikation, Vol. 5, No. 12, Nr. 3, S. 263-281, Juni 1998
6. F. Smeraldi, O. Cormona und J. Big.un., Sakkadische Suche mit Gabor-Funktionen, die auf Augenerkennung und Echtzeit-Kopfverfolgung angewendet werden, Image Vision Comput. 18, S. 323-329, 200
7. Gomozov A.A., Kryukov A.F. Analyse empirischer und mathematischer Algorithmen zur Gesichtserkennung. Netzwerk-Journal. Moskauer Institut für Energietechnik (Technische Universität). Nr. 1 (18), 2011

Fortsetzung folgt

MathematischModellieren- der Prozess der Feststellung der Übereinstimmung mit dem Realen System S mat des Modells M und das Studium dieses Modells, das es ermöglicht, die Eigenschaften eines realen Systems zu erhalten. Anwendung Mattenmodellierung ermöglicht es Ihnen, Objekte zu studieren, reale Experimente, an denen schwierig oder unmöglich sind.

Analytische Modellierung- Die Prozesse der Funktion von Elementen werden in Form von mathematischen Beziehungen (Algebren, Integral, Differenzen, Logik usw.) geschrieben. Matte. Das Modell enthält die erforderlichen Mengen möglicherweise überhaupt nicht explizit. Sie muss in ein Verhältnissystem bezogen auf die gewünschten Größen umgerechnet werden, um mit rein analytischen Methoden das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Damit meinen wir, explizite Formeln der Form zu erhalten

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, oder Erhalten von Gleichungen bekannter Form, deren Lösung ebenfalls bekannt ist. In manchen Fällen ist es möglich Qualität Untersuchung eines Modells, in dem nur einige Eigenschaften der Lösung explizit gefunden werden können.

Numerischer Modus-e verwendet die Methoden der Berechnung der Mathematik und ermöglicht es Ihnen, nur ungefähre Lösungen zu erhalten. Die Lösung des Problems ist weniger vollständig als im Anal-m-Modus. Der grundsätzliche Nachteil des numerischen mod-I zakl-Xia liegt in der auto-ten Umsetzung des gewählten numerischen Verfahrens. Der Modellierungsalgorithmus spiegelt die numerische Methode stärker wider als die Merkmale des Modells. Daher ist es bei einer Änderung des numerischen Verfahrens notwendig, den Simulationsalgorithmus zu überarbeiten.

Simulations-Mod- Reproduktion auf einem Computer (Nachahmung) des Ablaufs der Funktion des untersuchten Systems unter Einhaltung der logischen und zeitlichen Abfolge realer Ereignisse. Für imit-mod-i charakteristisch Ereigniswiedergabe im System auftreten (durch das Modell beschrieben) mit ihren logische Struktur und Zeitsequenz. Es ermöglicht Ihnen, Daten über den Zustand des Systems oder seiner einzelnen Elemente zu bestimmten Zeitpunkten zu erfahren. Die Simulationsmodellierung ähnelt der experimentellen Untersuchung von Prozessen an einem realen Objekt, d.h. vor Ort.

12. Gewinnung von Zufallszahlen mit beliebigem Verteilungsgesetz durch die Methode der Umkehrfunktionen. Md arr f-th ist der allgemeinste und universellste Weg, um Zahlen zu erhalten, die einem bestimmten Gesetz gehorchen. Die Standardmodellierungsmethode basiert auf der Tatsache, dass die kumulative Verteilungsfunktion
einer stetigen Zufallsvariablen im Intervall (0;1) gleichverteilt ist, d.h. für jede Zufallsvariable X mit Verteilungsdichte f(x) die Zufallsvariable ist gleichmäßig auf das Intervall (0;1) verteilt.

Dann eine Zufallsvariable X mit beliebiger Verteilungsdichte f(x) kann nach folgendem Algorithmus berechnet werden: 1. Es ist notwendig, eine Zufallsvariable r (den Wert der Zufallsvariablen R) gleichmäßig verteilt im Intervall (0;1) zu erzeugen. 2. Gleichsetzen der generierten Zufallszahl mit der bekannten Verteilungsfunktion F( X ) und erhalte die Gleichung
. 3. Durch Lösen der Gleichung X=F -1 (r) finden wir den gewünschten Wert X

Grafische Lösung

.

Neben Frage 11.

Betrachten wir ein Beispiel, das den Unterschied zwischen den betrachteten Modellierungsarten charakterisiert.

Es gibt ein System, das aus drei Blöcken besteht.

Das System funktioniert normal, wenn mindestens einer der Blöcke 1 und 2 in gutem Zustand ist, sowie Block 3 in gutem Zustand ist Die Verteilungsfunktionen der Betriebszeit der Blöcke f1(t), f2(t), f3(t) sind bekannt. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des störungsfreien Betriebs des Systems zum Zeitpunkt t.

Äquivalente Logikschaltung

bedeutet, dass der Ausfall des Systems auftritt, wenn der Stromkreis unterbrochen wird. Dies geschieht in folgenden Fällen:

Blöcke 1 und 2 sind ausgefallen, Block 3 ist betriebsbereit;

Block 3 ausgefallen, mindestens einer der Blöcke 1 und 2 ist betriebsbereit.

Wahrscheinlichkeit des störungsfreien Betriebs des Systems P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Diese Formel ist die Grundlage des mathematischen Modells des Systems.

Analytische Modellierung. Dies ist nur unter der Bedingung möglich, dass alle Integrale durch Elementarfunktionen ausgedrückt werden. Nehmen wir das an

Dann
=
=
.

Vor diesem Hintergrund nimmt Modell (1) die Form an

Dies ist der explizite analytische Ausdruck für die gesuchte Wahrscheinlichkeit; sie gilt nur unter den getroffenen Annahmen.

Numerische Simulation. Die Notwendigkeit dafür kann beispielsweise entstehen, wenn festgestellt wird, dass die Integrale nicht definiert (dh nicht in Form von Elementarfunktionen ausgedrückt) sind. Die Notwendigkeit dafür kann beispielsweise entstehen, wenn festgestellt wird, dass die Verteilungen f1(t), f2(t), f3(t) dem Gaußschen Gesetz (normal) gehorchen:
.Für Berechnungen nach der Formel P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = für jeden Wert von t müssen sie numerisch bestimmt werden, beispielsweise nach der Methode der Trapeze, Simpson, Gauß oder anderen Methoden. Für jeden Wert von t werden die Berechnungen erneut durchgeführt.

Rechteckmethode, Trapezmethode, Parabelmethode. Bei der Rechteckmethode tritt ein Fehler auf - Ungenauigkeit der Berechnungen. Aber es kann in 2 oder mehr Intervalle unterteilt werden. Es treten viele Integrale auf, aber hier tritt bereits ein Rundungsfehler auf.

Gauss-Methode

Monte-Carlo-Methode

Simulationsmodellierung. Imitation ist eine Reproduktion von Ereignissen, die im System auftreten, d.h. korrekter Betrieb oder Ausfall jedes Elements. Wenn die Zeit des Systembetriebs t ist und ti die Zeit des störungsfreien Betriebs des Elements mit der Nummer i ist, dann: bedeutet das Ereignis ti>t den korrekten Betrieb des Elements während der Zeit (0; t];

Ereignis ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Beachten Sie, dass ti eine nach dem Gesetz fi(t) verteilte Zufallsvariable ist, die durch Bedingung bekannt ist.

Simulation eines zufälligen Ereignisses "korrekter Betrieb des k-ten Elements während der Zeit (0; t]" ist:

1) beim Erhalten einer Zufallszahl ti, die gemäß dem Gesetz fi(t) verteilt wird;

2) bei der Überprüfung der Wahrheit des logischen Ausdrucks ti>t. Wenn es wahr ist, dann funktioniert das i-te Element, wenn es falsch ist, ist es ausgefallen.

Der Simulationsalgorithmus lautet wie folgt:

1. Setze n=0, k=0. Dabei ist n der Zähler der Anzahl der Realisierungen (Wiederholungen) des Zufallsprozesses; k ist der Zähler der Anzahl der "Erfolge".

2. Erhalte drei Zufallszahlen t1,t2,t3, entsprechend verteilt nach den Gesetzen f1(t),f2(t),f3(t).

3. Überprüfen Sie die Wahrheit des logischen Ausdrucks L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Wenn L=true, setze k=k+1 und gehe zu Schritt 4, andernfalls gehe zu Schritt 4.

4. Setze n=n+1.

5. Wenn k<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Wir betonen noch einmal: Der Wert von N wird aus Gründen der Gewährleistung der gegebenen Genauigkeit über die Zuverlässigkeit der statistischen Schätzung des Sollwerts P(t) vorab festgelegt.

Jalta Bildungskomplex "Schul-Lyzeum Nr. 9"

Stellvertretender Direktor für WasserwirtschaftRomanova A. N.

„Modellieren im Mathematikunterricht in der Grundschule“

Werkstatt

Mathe sollte in der Schule unterrichtet werden

Auch stehen als Ziel damit Wissen,

wer kommt hier wäre

ausreichend für normal

Bedürfnisse im Leben.

M. Lobatschewski

Berichtsplan

Neue Richtlinien in der mathematischen Bildung.

Methodische Grundlagen der Modellierung. Mathematisches Modell.

Anwendung der Modellierungsmethode im Mathematikunterricht der Grundschule.

Vertrautmachen der Studierenden mit den Techniken der mathematischen Modellierung.

Anwendung der Modellierung beim Lösen von Gleichungen.

Modellieren beim Lösen von Textproblemen.

Die Verwendung der Modellierung beim Studium der Nummerierung, Methoden der Addition und Subtraktion von Zahlen sowie bei der Arbeit an Längeneinheiten.

Neue Richtlinien in der mathematischen Bildung. (5 Minuten)

Bekanntlich sind Modelle die Sprache der Mathematik und Modellieren ihre Sprache. Der Erfolg bei der Beherrschung der Mathematik wird in erster Linie davon bestimmt, wie gut das Kind gelernt hat, seine Sprache zu „sprechen“. Dieser wird nicht nur durch den schulischen Erfolg des Schülers bei der Lösung naturwissenschaftlicher und kognitiver Aufgaben bestimmt, sondern in größerem Maße durch den Lebenserfolg des Einzelnen – dankFähigkeit sich zu bewerben mathematische Methoden zur Lösung praktischer, lebensnaher Aufgabenstellungen, die dies erfordern. Stimmen Sie zu, dies ist auch ein gutes Ergebnis des Mathematikunterrichts in der Schule.

Bringen wir unseren Schülern mathematisches Sprechen bei? Oder halten wir das vielleicht für eine Grundschule für eine schwierige Aufgabe? Oder hoffen wir nur, dass die Kinder im Laufe des täglichen Lösens von Beispielen und Problemen nach und nach selbst lernen, wie man damit umgeht?

Laut Überwachungsdaten in Schulen in Kiew sowie Daten aus der gesamtukrainischen Überwachung weiß die Mehrheit der Schüler (60% bzw. 53%) nicht, wie man mit vorgefertigten grafischen Modellen arbeitet, kreative Aufgaben ausführt und wenden ihr Wissen in neuen Situationen an, um Probleme zu lösen.

Dieser Stand der mathematischen Bildung hat dazu geführt, dass die staatlichen Anforderungen an den Mathematikunterricht für Schulkinder grundlegend überarbeitet werden mussten. Die Neuauflage der „Staatlichen Norm …“, die dieses Jahr in Kraft getreten ist. Unter dem Gesichtspunkt eines persönlichkeits- und kompetenzorientierten Ansatzes orientiert sie das Handeln des Lehrers tatsächlich neu.Kompetenz - die Verfügbarkeit von Wissen und Erfahrung, die für eine effektive Tätigkeit in einem bestimmten Fachgebiet erforderlich sind . Lass uns vergleichen . Nochaktuell Der staatliche Standard besagt: „Das Studium der Mathematik in der Grundschule vermittelt den Schülern die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die für das weitere Studium der Mathematik und anderer Fächer erforderlich sind ... Das Studium der Mathematik trägt zur Entwicklung der kognitiven Fähigkeiten jüngerer Schüler bei - Gedächtnis , logisches und kreatives Denken, Vorstellungskraft, mathematisches Sprechen.In der Neuauflage der Landesnorm Als Ziel im Bildungsbereich „Mathematik“ wurde bereits die „Bildung von fachmathematischen und Schlüsselkompetenzen definiert, die für die Selbstverwirklichung von Schülerinnen und Schülern in einer sich schnell wandelnden Welt notwendig sind“. Fachliche mathematische Kompetenz wird als "eine persönliche Bildung angesehen, die die Fähigkeit eines Schülers (Students) charakterisiert, mathematische Modelle der Prozesse der umgebenden Welt zu erstellen, die Erfahrung mathematischer Tätigkeit anzuwenden und dabei pädagogische, kognitive und praktisch orientierte Probleme zu lösen."

Daher wird die Beherrschung der mathematischen Sprache - die Fähigkeit, mathematische Modelle zu erstellen - zum Hauptziel des Mathematikunterrichts, der durch die Ausbildung der Schüler "die Fähigkeit, mathematische Terminologie, Zeichen und grafische Informationen zu verwenden" verwirklicht wird.

Die positiven Erfahrungen beim Unterrichten von Schülern im Modellieren (und nicht nur im Mathematikunterricht), die durch das System der Entwicklungspädagogik von D.B. Elkonin - V.V. Davydov, das darauf abzielt, eine vollwertige Lernaktivität für Studenten zu entwickeln, von denen eine das Modellieren ist.

Die Bildung der Modellfähigkeit der Schüler ist eines der Ziele der Entwicklungspädagogik, und die Modelle, die Kinder erstellen und verwenden, sind in erster Linie eine der Möglichkeiten, Lernfähigkeiten zu bilden (und nicht nur eine Möglichkeit der Visualisierung).

Die Aufgabe unseres heutigen Seminars ist es, die Probleme der Modellierung zu verstehen, zu zeigen, wie Modelle verwendet werden können, um jüngeren Studenten das Lösen von Gleichungen und Problemen, mathematische Eigenschaften, Methoden zum Addieren und Subtrahieren von Zahlen beizubringen.

2. Methodische Grundlagen der Modellierung. (8 Minuten)

Modellierung ist eines der Mittel zur Erkenntnis der Realität. Das Modell wird verwendet, um beliebige Objekte (Phänomene, Prozesse) zu untersuchen, verschiedene Probleme zu lösen und neue Informationen zu erhalten. Ein Modell ist also ein bestimmtes Objekt (System), dessen Verwendung dazu dient, Erkenntnisse über ein anderes Objekt (Original) zu gewinnen.

Der Einsatz von Simulation wird unter zwei Gesichtspunkten betrachtet:

Erstens dient das Modellieren als Inhalt, der von Kindern als Ergebnis des pädagogischen Prozesses gelernt werden sollte.

Zweitens ist das Modellieren das pädagogische Handeln und Mittel, ohne das ein vollwertiges Lernen unmöglich ist.

Die Sichtbarkeit von Modellen basiert auf der folgenden wichtigen Regelmäßigkeit: Die Erstellung eines Modells basiert auf der vorläufigen Erstellung eines mentalen Modells - visuelle Bilder der zu modellierenden Objekte, dh das Subjekt erstellt ein mentales Bild dieses Objekts und baut dann (zusammen mit den Kindern) ein materielles oder figuratives Modell (visuell). Mentale Modelle werden von Erwachsenen erstellt und können mit Hilfe bestimmter praktischer Aktionen (an denen auch Kinder teilnehmen können) in visuelle Modelle umgewandelt werden, Kinder können auch mit bereits erstellten visuellen Modellen arbeiten.

Bei der Arbeit mit Kindern können Sie die Substitution von Objekten verwenden: Symbole und Zeichen, ebene Modelle (Pläne, Karten, Zeichnungen, Diagramme, Grafiken), dreidimensionale Modelle, Layouts.

Die Verwendung der Modellierungsmethode hilft bei der Lösung einer Reihe sehr wichtiger Aufgaben:

Entwicklung der produktiven Kreativität von Kindern;

Entwicklung höherer Formen des figurativen Denkens;

Anwendung des bisher erworbenen Wissens bei der Lösung praktischer Probleme;

Festigung der von Kindern früher erworbenen mathematischen Kenntnisse;

Schaffung von Bedingungen für die geschäftliche Zusammenarbeit;

Aktivierung des mathematischen Wortschatzes der Kinder;

Entwicklung der Feinmotorik der Hand;

Erwerb neuer Ideen und Fähigkeiten im Arbeitsprozess;

das tiefste Verständnis von Kindern für die Prinzipien der Arbeit und den Aufbau der Originale mit Hilfe von Modellen.

Das Modell gibt uns nicht nur die Möglichkeit, ein visuelles Bild des modellierten Objekts zu erstellen, es ermöglicht uns auch, ein Bild seiner wichtigsten Eigenschaften zu erstellen, die sich im Modell widerspiegeln. Alle anderen nicht wesentlichen Eigenschaften werden bei der Entwicklung des Modells verworfen. Somit erstellen wir ein verallgemeinertes visuelles Bild des modellierten Objekts.

Die wissenschaftliche Grundlage der Modellierung ist die Theorie der Analogie, in der das Hauptkonzept - das Konzept der Analogie - die Ähnlichkeit von Objekten in Bezug auf ihre qualitativen und quantitativen Merkmale ist. Alle diese Typen werden durch das Konzept der verallgemeinerten Analogie - Abstraktion - vereint. Die Analogie drückt eine besondere Art der Entsprechung zwischen den verglichenen Objekten, zwischen dem Modell und dem Original aus.

Modellierung ist multifunktional, d. h. sie wird vielfältig für unterschiedliche Zwecke auf unterschiedlichen Ebenen (Stufen) der Forschung oder Transformation eingesetzt. Dabei hat die jahrhundertealte Modellpraxis eine Fülle von Formen und Typen von Modellen hervorgebracht.

Betrachten Sie die von L. M. Fridman vorgeschlagene Klassifizierung. Unter dem Gesichtspunkt des Klarheitsgrades teilt er alle Modelle in zwei Klassen ein:

Schritt 1. 1-2

· Material (wirklich, wirklich);

· Ideal.

Zum Stoff Modelle umfassen solche, die aus beliebigen materiellen Objekten gebaut sind.

Schritt 2

Materialmodelle wiederum können unterteilt werden instatisch (fest) unddynamisch (Betriebs).

Schritt 3

Die nächste Art von dynamischen Modellen sindanalog und simulierend , die dieses oder jenes Phänomen mit Hilfe eines anderen reproduzieren, in gewissem Sinne bequemer. Beispielsweise funktioniert ein solches Modell – eine künstliche Niere – genauso wie eine natürliche (lebende) Niere, indem es Giftstoffe und andere Stoffwechselprodukte aus dem Körper entfernt, aber natürlich völlig anders aufgebaut ist als eine lebende Niere.

Ideal Modelle werden normalerweise in drei Typen unterteilt:

Schritt 4

· bildlich (ikonisch);

· ikonisch (zeichensymbolisch);

· geistig (mental).

Die Klassifizierung von Modellen kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen:

1) durch die Art der Modelle (d. h. durch Modellierungswerkzeuge);

2) durch die Art der simulierten Objekte;

3) nach Anwendungsbereichen der Modellierung (Modellierung in den Ingenieurwissenschaften, in den Naturwissenschaften, in der Chemie, Modellierung lebender Prozesse, Modellierung der Psyche etc.)

4) nach Ebenen ("Tiefe") der Modellierung.

Das bekannteste istKlassifizierung nach Art der Modelle .

Schritt 5

Demnach folgendesArten der Modellierung :

Schritt 6

1. Objektmodellierung , bei dem das Modell die geometrischen, physikalischen, dynamischen oder funktionalen Eigenschaften des Objekts wiedergibt. Zum Beispiel ein Modell einer Brücke, eines Damms, ein Modell einer Flugzeugtragfläche usw.

Schritt 7

2. Analoge Simulation , bei der das Modell und das Original durch eine einzige mathematische Beziehung beschrieben werden. Ein Beispiel sind die elektrischen Modelle, die zur Untersuchung mechanischer, hydrodynamischer und akustischer Phänomene verwendet werden.

Schritt 8

3. Ikonische Modellierung , in der die Modelle Zeichengebilde jeglicher Art sind: Diagramme, Grafiken, Zeichnungen, Formeln, Grafiken, Wörter und Sätze.

Schritt 9

4. Eng verbunden mit dem Ikonischenmentale Modellierung , in der die Modelle einen gedanklich visuellen Charakter erhalten.

Schritt 10

5. Simuliertes Experiment - eine spezielle Art der Modellierung, bei der nicht das Objekt selbst verwendet wird, sondern sein Modell.

Der Hauptzweck der Modellierung besteht darin, die häufigsten Beziehungen in dem Fachgebiet für seine Untersuchung zu identifizieren und festzulegen.

Die Modellierungsmethode ist eine komplexe, integrative Formation. Nach der Klassifizierung der didaktischen Methoden von N.G. Kazansky und T.S. Nazarova hat die Modellierungsmethode eine dreikomponentige Struktur

Schritt 11(siehe Zeichnung). So in der Struktur des ModellierungsverfahrensAußenseite Es ist eine konkrete Form der Interaktion zwischen Lehrer und Schüler.Innenseite - Dies ist eine Reihe allgemeiner Bildungstechniken (Analyse, Synthese, Verallgemeinerung usw.) und Methoden der Bildungsarbeit.Technologische Seite - Dies ist eine Reihe spezifischer Techniken dieser Methode (vorläufige Analyse, Erstellen eines Modells, Arbeiten damit, Übertragen von Informationen aus dem Modell auf das gewünschte Objekt - das Original).

Modellierungsmethode

Außenseite

Innenseite

Technologische Seite

Formen:

Exposition

Konversation

selbstständige Arbeit

Psychologische Essenz:

dogmatische Art der pädagogischen Arbeit;

Heuristische Methode der Bildungsarbeit

Forschungsmethode der Bildungsarbeit

Logische Entität:

analytisch;

Synthetik;

induktiv;

deduktiv;

analytisch-synthetisch

Techniken zum Bau eines Modells;

Modelltransformationstechniken;

Modellspezifikationstechniken

Mathematisches Modell. Mathematische Modellierung.

Ein mathematisches Modell ist eine ungefähre Beschreibung einer Klasse von Phänomenen der Außenwelt unter Verwendung mathematischer Symbole. Beispielsweise wird die Beziehung zwischen den Elementen A, B, C durch die Formel A + B = C ausgedrückt - ein mathematisches Modell.

Der Prozess der mathematischen Modellierung, d.h. Die Untersuchung von Phänomenen mit mathematischen Modellen kann in vier Phasen unterteilt werden.

Schritt 12

Erste Stufe - Isolieren der wesentlichen Merkmale des Objekts.

13.

Zweite Phase - Modellbau.

14 .

Dritter Abschnitt – Modellforschung.

15 .

Vierte Stufe - Übertragung der an den Modellen gewonnenen Informationen auf das Untersuchungsobjekt.

Die Besonderheit des Modellierens besteht darin, dass Sichtbarkeit keine einfache Demonstration natürlicher Objekte ist, sondern die eigenständige praktische Tätigkeit von Kindern anregt.. Die Fähigkeit der Studierenden, mit dem Modell zu arbeiten, seine Transformation, um die allgemeinen Eigenschaften der untersuchten Konzepte zu studieren, ist eine der Hauptaufgaben der Lehre in allen Fachbereichen.

Zur Modellierung werden verschiedene Modelle verwendet.mathematische Objekte: numerische Formeln, numerische Tabellen, wörtliche Formeln, Funktionen, algebraische Gleichungen, Reihen, geometrische Figuren, verschiedene Diagramme, Euler-Venn-Diagramme, Graphen.

3. Anwendung der Modellierungsmethode im Mathematikunterricht der Grundschule. (1,5 Minuten)

Die Notwendigkeit, dass jüngere Studierende die Modellierungsmethode als Erkenntnismethode im Lernprozess beherrschen, lässt sich aus unterschiedlichen Positionen begründen.

Schritt 16

Erstens , dies trägt zur Herausbildung eines dialektisch-materialistischen Weltbildes bei.

17.

Zweitens Wie Experimente zeigen, verändert die Einführung der Konzepte von Modell und Modellierung in den Unterrichtsinhalt die Einstellung der Schüler zum Thema erheblich, macht ihre Lernaktivitäten sinnvoller und produktiver.

18.

Drittens Die gezielte und systematische Ausbildung in der Modellierungsmethode bringt jüngeren Schülern die Methoden der wissenschaftlichen Erkenntnis näher und sichert ihre intellektuelle Entwicklung. Um Schüler mit Modellierung als Erkenntnisweg „auszurüsten“, reicht es nicht aus, dass ein Lehrer ihnen verschiedene wissenschaftliche Modelle zeigt und den Prozess der Modellierung einzelner Phänomene zeigt. Es ist notwendig, dass Schulkinder selbst Modelle bauen, Objekte und Phänomene selbst mit Hilfe des Modellierens untersuchen. Wenn die Schüler beim Lösen eines praktischen mathematischen (Handlungs-)Problems verstehen, dass es sich um ein symbolisches Modell einer realen Situation handelt, stellen sie eine Folge ihrer verschiedenen Modelle auf, studieren (lösen) diese Modelle und übersetzen schließlich die resultierende Lösung in die Sprache des ursprünglichen Problems, dann beherrschen die meisten Schüler die Modellierungsmethode.

Vertrautmachen der Studierenden mit den Techniken der mathematischen Modellierung. (10 Minuten)

Der bekannte Psychologe P. Galperin und seine Kollegen entwickelten eine Theorie der allmählichen Bildung geistiger Handlungen. Nach dieser Theorie wird der Lernprozess als die Beherrschung eines Systems geistiger Handlungen durch das Kind angesehen, die im Prozess der Verinnerlichung (Übergang nach innen) erfolgt und der äußeren praktischen Tätigkeit entspricht.

Das Kind führt praktische Handlungen mit Objekten aus (zuerst mit realen und dann mit imaginären) - objektive Handlungen. Von ihnen geht er ausgehend von einer Kopierzeichnung und dann von Objektmodellen zu grafischen Modellen über. Nach der Einführung mathematischer Zeichen, Buchstaben zur Bezeichnung von Mengen, verwendet der Schüler Formeln zur Beschreibung von Handlungen, d.h. symbolische Buchstabenmodelle und dann verbale Modelle (Definitionen, Regeln).

Beispielsweise erhalten Kinder eine konkrete praktische Aufgabe, bei der sie zwei Gefäße gleichen Volumens (unterschiedlicher Form) finden müssen.Fotoschritt 19

Danach führen die Kinder (und nicht der Lehrer) praktische Aktionen aus: Gießen Sie Wasser in ein Glas, gießen Sie es in ein anderes. Wenn das gesamte Wasser aus dem ersten in das andere Gefäß gelangt ist, sind die Volumina dieser Gefäße gleich. Es ist ratsam, Kindern anzubieten, solche zwei Streifen aufzuheben, mit denen Sie die Beziehung zwischen Volumen und Formen erkennen können - sie sind gleich oder unterschiedlich. Wenn die Volumina der Gläser gleich sind, müssen die Kinder zwei gleich lange Streifen anheben, und wenn sie unterschiedlich sind, dann sind sie unterschiedlich lang.Ein Foto

Schritt 20

Um Kinder an die Verwendung eines grafischen Modells heranzuführen, ist es wiederum notwendig, eine konkrete praktische Aufgabe zu stellen: Zeigen Sie mit Hilfe einer Zeichnung, dass das Volumen eines Glases größer ist als das des anderen. Die Erfahrung zeigt, dass Kinder anfangen, die Form von Dosen zu zeichnen, d.h. Machen Sie eine Kopierzeichnung oder zeichnen Sie Streifen, mit denen sie das Verhältnis der Dosenvolumina zeigten.

Nachdem wir die Zeichnungen besprochen haben, schließen wir: Das Zeichnen von Dosen ist ein erfolgloser Weg (ungenaue Zeichnungen, das Verhältnis der Dosenvolumina wird nicht angezeigt, die Arbeit nimmt viel Zeit in Anspruch). Aber auch die Streifen bei Kindern sind unterschiedlich in Breite und Länge, das kostet auch viel Zeit.

Als Ergebnis kommen wir zu dem Schluss, dass es bequemer ist, überhaupt nicht die Breite des Streifens zu zeichnen, sondern nur die Länge des Streifens (dh Segmente). Wenn die Größen (Länge, Fläche, Masse, Volumen usw.) gleich sind, dann haben sie Segmente gleicher Länge, und wenn sie nicht gleich sind, dann sollte ihre Länge unterschiedlich sein.Foto in einem Notizbuch. Schritt 21.

Damit wird die Darstellung von Mengen anhand von Segmenten eingeführt. Kinder lernen, Mengen schematisch zu bezeichnen und dann grafische (lineare) Modelle zu bauen.

Es ist auch sinnvoll, in der 1. Klasse die Begriffe "Ganzes" und "Teile" einzuführen und die Fähigkeit der Schüler zu entwickeln, Beziehungen zwischen diesen Begriffen herzustellen. Wie schreibt man in der Sprache der Mathematik, dass zum Beispiel ein Apfel aus Einzelteilen besteht? Wenn der Apfel ganz ist, bezeichnen wir ihn mit einem Kreis, und wir bezeichnen die Apfelhaufen mit Dreiecken, und wir erhalten ein solches grafisches Modell.

Schritt 22Folie 7

+ + + =

Vereinfachen Sie und haben Sie ein Grundmodell:

Schritt 23. + =

Ganze und Teile sind relative Konzepte. Die Haupteigenschaften dieser Beziehung (auf der Menge der natürlichen Zahlen): Das Ganze kann nicht kleiner sein als der Teil, und der Teil kann nicht mehr sein als das Ganze; das Ganze ist gleich der Summe der Teile, und der Teil ist gleich der Differenz zwischen dem Ganzen und dem anderen Teil

Schritt 24 = -

Jeder kennt die Strahlen, die traditionell verwendet werden, um die Zusammensetzung einer Zahl darzustellen.Schritt 25Folie 8

So kann die Beziehung zwischen Teilen und dem Ganzen in zeichengrafischer Notation dargestellt werden:

MitSchritt 26

A |____________|_____________|

B A B

Das Diagramm, das die Aktion der Addition beschreibt, beschreibt gleichzeitig die umgekehrte Aktion - Subtraktion:

Schritt 27Folie 9

Der Begriff Teil und Ganzes ermöglicht es, die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition von Größen einzuführen.Folie 10, 11 (2 Schritte), 12

Schritt 28, 29, 30

Wie bei Addition und Subtraktion kannst du auch Simulation verwenden, um Multiplikation und Division zu lernen.

Traditionell wird die Multiplikation als Addition identischer Terme betrachtet. Der Wert von A sei B-mal addiert:Folie 13.

Schritt 31.A+A+A+A+A = AxB

Die Formel A x B lautet wie folgt: „Nimm A für B Zeit“ oder „A Zeit für A“,

Schritt 32wobei A der Teil (Maß) ist, der ma mit einem Dreieck bezeichnet wurde.

B - die Anzahl der gleichen Teile (die Anzahl der Messungen), wir können sie mit einem Quadrat bezeichnen.

Um das Ganze zu bezeichnen, verwenden wir dasselbe Symbol - einen Kreis.

Das Ganze wird als Ergebnis der arithmetischen Operation der Multiplikation der Zahlen A und B charakterisiert.

X \u003d A x B \u003d C Schema, das diese Aktion beschreibt:

|____|_А___|_____________|

Es ist klar, dass, wenn wir die Division als eine objektive Handlung betrachten, die darauf abzielt, nach Inhalten oder in gleiche Teile zu teilen, ein Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division hergestellt werden kann. Jetzt zusätzlich zur MultiplikationsformelSchritt 33Ah B \u003d C, wir bekommen zwei inverse DivisionenSchritt 34.C: A = B undSchritt 35. C: B \u003d A (mit geometrischen Formen). Dies bedeutet, dass eine Multiplikationsschaltung eine Divisionsschaltung ist.

Anwendung der Modellierung beim Lösen von Gleichungen. (10 Minuten)

Für die richtige Wahl einer Methode zur Lösung von Gleichungen ist es notwendig, die Beziehung des Ganzen und des Teils finden zu können.Wenn dieser Begriff gebildet wird, erwerben Kinder die Fähigkeit, das Ganze durch Teile und Teile durch das Ganze auszudrücken. Das Herstellen von Verbindungen zwischen Addition und Subtraktion von Mengen basierend auf dem Konzept eines Teils und eines Ganzen ermöglicht es, das Ganze mit der Summe und dem Reduzierten, die Teile mit den Termen oder dem Subtrahierten und der Differenz zu vergleichen und zu sehen, dass verschiedene Aktionen: A + B \u003d C, C-A \u003d B oder C-B=A - charakterisieren dieselbe Beziehung zwischen den Größen.

Das Finden des Unbekannten beim Lösen von Gleichungen hilft nicht nur den Regeln, sondern auch der Beziehung zwischen Teilen und dem Ganzen, dargestellt in Form eines grafischen Modells.Folie 14 Schritt 36.

Der Arbeitsalgorithmus zum Erlernen des Lösens von Gleichungen lautet wie folgt:

Wir zeichnen das Schema der Gleichung. X+5 = 12Schritt 37.

Wir finden das Ganze und die Teile zuerst im Diagramm, dann in der Gleichung (unterstrichen)

Wir benennen die unbekannte Komponente. Wir finden heraus, was es ist: ein Ganzes oder ein Teil.

Wir analysieren, wie wir den unbekannten Wert finden.

Wir findenX. Schritt 38, 39

Das konstruierte Schema kann beim Lösen der Subtraktionsgleichung verwendet werden. 12 - x \u003d 5, da die Schaltung, die die Additionsaktion beschreibt, gleichzeitig eine Subtraktionsschaltung ist. Beispiele für Fotos aus einem Notizbuch

Folien 15,16 (+1 Schritt ), 17, 18.

Schritt, 40, 41, 41-a, 42.43

Die Aufgabe besteht darin, diese Gleichungen in Diagramme zu verteilen und einen Ausdruck zu bilden

Folie 19 Schritt 44, 45. 44-a, 45-b

Die Simulation wird ähnlich verwendet, wenn Gleichungen gelöst werden, um einen unbekannten Faktor, Divisor und Dividenden zu finden.

Folie 20( 8 Schritte ) Schritt 46.

Es ist ratsam, beim Festlegen der Verbindung zwischen Multiplikation und Division das Konzept der Fläche einzuführen, die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Rechtecks ​​und zum Ermitteln der unbekannten Seite.Folie 21 (1 Schritt)

Gleichungsbeispiel. Folie 22 ( 4 Schritte)

Algorithmus zum Lösen der GleichungFolie 23 .

Da die Multiplikationsschaltung eine Divisionsschaltung ist, können zwei Divisionsgleichungen aus einer Gleichung erstellt werden. Die Fläche ist das Ganze, und die Länge und Breite der Seiten sind die Teile.

Darüber hinaus bietet die Modellierung die Möglichkeit, die kreative Arbeit an Gleichungen zu diversifizieren. Daher kann der Lehrer die folgenden Arten von Aufgaben anbieten:

Folie 24

Schreiben und lösen Sie eine Gleichung mithilfe des Diagramms.Schritt 48

Folie 25 ( mit Gästen entscheiden )

(mehrere Gleichungen und ein Diagramm sind angegeben) Zu welcher Gleichung passt dieses Diagramm? Finden und entscheiden.Schritt 49

Folie 26, 27. 28, 29.

Lösen Sie Gleichungen beim Zählen. Schritt 50, 51, 52.53

Folie 30 (10 Schritte), 31

Aufstellen der Bedingungen des Problems nach dem Schema der Gleichung.

Neue Präsentation. (Werkstatt 2)

Modellieren beim Lösen von Textproblemen (18 Minuten)

Folie 1

Man kann der Meinung nur zustimmen, dass moderne Bildung die Fähigkeit eines Studenten ist, eine reale Lebenssituation aus der Position eines Physikers, Chemikers, Historikers, Geographen zu betrachten, überhaupt nicht, um ein Forscher auf diesem Gebiet zu werden, sondern um später in konkreten Lebenssituationen eine Lösung zu finden.

Ein Junior-Student kann ein echter Forscher werden, indem er Wortprobleme löst, wenn er jüngeren Schülern Mathematik beibringt.

Ein Einer dieser Ansätze ist die Bildung der Fähigkeit der Schüler, Probleme einer bestimmten Art zu lösen (z. B. das Lösen von Problemen für den Differentialvergleich usw., wenn eine bestimmte Art von Problem bearbeitet wird).Andere basiert auf der Verwendung semantischer und mathematischer Analyse von Textproblemen, wenn das Problem von den Daten zum Ziel (synthetische Methode) und vom Ziel zu den Daten (analytisch) analysiert wird.Dritter Ansatz basierend auf der Methode zur Lösung von Bildungsproblemen. Die Ausbildung der modellierenden Handlung impliziert eine qualitativ andere Ausbildung der Fähigkeit zur Lösung von Textproblemen.

Arithmetische und algebraische Probleme werden in der Literatur auch als Plotprobleme bezeichnet, weil. Sie haben immer eine verbale Beschreibung eines Ereignisses, Phänomens, einer Aktion oder eines Prozesses. Der Text jeder Plotaufgabe kann auf andere Weise (objektiv, grafisch, mithilfe von Tabellen, Formeln usw.) nachgebildet werden, und dies ist der Übergang von der verbalen Modellierung zu anderen Formen der Modellierung. Daher legen wir bei der Bearbeitung von Problemen großen Wert auf die Konstruktion von schematischen und symbolischen Modellen sowie auf die Fähigkeit, mit Segmenten zu arbeiten, mit ihrer Hilfe ein Textproblem grafisch zu modellieren, eine Frage zu stellen, den Lösungsalgorithmus zu bestimmen und zu suchen eine Antwort. Der jüngere Schüler hat, wie Sie wissen, kein ausreichendes Maß an abstraktem Denken. Und unsere Aufgabe besteht gerade darin, ihm schrittweise beizubringen, bestimmte Objekte in Form eines symbolischen Modells darzustellen, um ihm zu helfen, zu lernen, wie man ein Textproblem in mathematische Sprache übersetzt. Wir glauben, dass es die grafische Modellierung eines Textproblems ist und vor allem eine echte Gelegenheit bietet, den Algorithmus zu seiner Lösung visuell zu sehen und zu bestimmen, um eine unabhängige Reflexion der abgeschlossenen Aufgabe durchzuführen.

Aber nicht jeder Eintrag wird ein Aufgabenmodell sein. Um ein Modell zu erstellen, muss es für seine weitere Transformation in der Aufgabe ausgewählt werdenZiel, vorgegebene Werte, alle Kennzahlen, so dass auf der Grundlage dieses Modells die Analyse fortgesetzt werden kann, sodass Sie in der Lösung vorankommen und nach optimalen Lösungen suchen können. Die Lösung eines beliebigen Problems auf arithmetische Weise ist mit der Wahl einer arithmetischen Operation verbunden, wodurch die gestellte Frage beantwortet werden kann. Um die Suche nach einem mathematischen Modell zu erleichtern, ist es notwendig, ein Hilfsmodell zu verwenden.Folie 2 (Bekanntschaft mit den Komponenten in Klasse 1).

Um die Situation im Zustand des Problems nachzubilden, können Sie eine schematische Zeichnung verwenden, die einen Übergang vom Text des Problems zur Korrelation einer bestimmten arithmetischen Operation mit Zahlen bietet, was zur Bildung einer bewussten und starken Assimilation beiträgt der allgemeinen Methode zur Bearbeitung des Problems. Dieses Modell ermöglicht es dem Schüler, die Fähigkeit zu entwickeln, zu erklären, wie er die Antwort auf die Frage des Problems erhalten hat. Aber ein schematisches Modell ist nur dann effektiv, wenn es für jeden Schüler verständlich ist und die Fähigkeiten entwickelt wurden, das verbale Modell in die Sprache des Diagramms zu übersetzen. Wenn Sie lernen, einfache Probleme der Addition und Subtraktion zu lösen, werden die Konzepte eingeführt: Ganzes, Teil und ihr Verhältnis.Folie 3. (2 Schritte)

Um einen Teil zu finden, müssen Sie einen anderen Teil vom Ganzen subtrahieren.

Um das Ganze zu finden, müssen Sie die Teile hinzufügen.

Beim Lernen, einfache Multiplikations- und Divisionsaufgaben zu lösen, werden ein Schema und entsprechende Regeln angeboten:

Um das Ganze zu finden, müssen Sie das Maß mit der Anzahl der Maße multiplizieren.

Um eine Messung zu finden, müssen Sie die Ganzzahl durch die Anzahl der Messungen teilen.

Um die Anzahl der Takte zu finden, müssen Sie die ganze Zahl durch den Takt dividieren.

Folie 4. (3 Schritte)

Dieser Lernansatz ermöglicht es Ihnen, sich von der alten Klassifizierung einfacher Aufgaben zu lösen. Wichtig ist, die Daten und das Gesuchte so darzustellen, dass die Abhängigkeiten zwischen den Größen hinreichend deutlich werden. Betrachtet in das Problem und ihre Beziehungen.

Als Beispiel werde ich einige Textprobleme und ihre Lösungen anhand von grafischen Modellen geben.

Aufgabe 1Folie 5. (5 Schritte)

Es gibt 4 große und 5 kleine Fische im Aquarium. Wie viele Fische sind im Aquarium?

Übungen zum Zusammenstellen von Problemen und Ausdrücken aus Bildern (inverse Probleme)Folie 6. ( 8 Schritte)Folie 7.

Aufgabe 2Folie 8

Lena hat 5 Birnen. Und Mischa hat 4 mehr als Lena. Wie viele Birnen hat Mischa?

Ein Beispiel für eine Aufgabe, um Aufgaben aus einem Bild zusammenzustellen und eine Lösung aufzuzeichnen.Folie 9.

Aufgabe 3Folie 10. (5 Schritte)

Lena hat 10 Birnen. Das sind 3 mehr als Pfirsiche. Wie viele Pfirsiche hat Lena?

Aufgabe 4.Folie 11 (4 Schritte).

Sasha kaufte 5 Notizbücher für 8 Griwna und ein Album zum Zeichnen für 33 Griwna. Wie viel Geld hat Sasha für den Kauf bezahlt?

Der Preis für ein Notebook beträgt 8 UAH - dies ist ein einzelnes Segment (Messung). Die Anzahl der Einzelsegmente (5) gibt die Anzahl der Notizbücher an. Der zweite Teil des Segments spiegelt den Preis (UAH 33) und die Anzahl (1) der Alben wider.

Aufgabe 5.Folie 12 (7 Stufen).Zwei Möglichkeiten zum Plotten. Zwei Lösungen

Das Werk benötigt 90 Arbeiter: 50 Dreher, 10 Schlosser, der Rest sind Lader. Wie viele Umzugshelfer werden benötigt?

Folie 13 (3 Schritte)Verfassen eines inversen Problems. HALT

Möglichkeiten, Aufgaben zu bearbeiten.

In der Phase der Einarbeitung verwende ich die folgenden Methoden:

Erläuterung der einzelnen Bestandteile des Modells.

Anleitung zum Modellbau.

Modellierung von Leitfragen und schrittweise Umsetzung des Schemas.

In der Phase des Verstehens einer schematischen Zeichnung verwende ich die folgenden Techniken:

Formulierung des Aufgabentextes gemäß dem vorgeschlagenen Plot- und Segmentschema.

Korrelation von Schema und numerischem Ausdruck.

Füllen des Schemas - Leerzeichen mit Aufgabendaten.

Fehler beim Ausfüllen des Diagramms finden.

Auswählen eines Schemas für die Aufgabe.

Auswählen einer Aufgabe für das Schema.

Ergänzung der Bedingungen des Problems.

Schemaänderung.

Ändern der Bedingungen der Aufgabe.

Aufgabentext ändern.

Das Ergebnis des Erlernens des Aufbaus und Verstehens einer schematischen Zeichnung ist das eigenständige Modellieren von Aufgaben durch die Schüler.

Bei der Lösung von Textproblemen arbeiten wir an der Gestaltung der Modellierungsaktion, und umgekehrt, je besser das Kind die Modellierungsaktion beherrscht, desto einfacher ist es für es, Probleme zu lösen.

Die Studierenden sollen an verschiedene Methoden zur Lösung von Textproblemen herangeführt werden: arithmetisch, algebraisch, geometrisch, logisch und praktisch; mit unterschiedlichen mathematischen Modellen, die jeder Methode zugrunde liegen; sowie mit verschiedenen Lösungen im Rahmen der gewählten Methode. Das Lösen von Textproblemen bietet reichhaltiges Material für die Entwicklung und Bildung von Schülern. Kurze Anmerkungen zu den Bedingungen von Textproblemen sind Beispiele für Modelle, die im Grundkurs Mathematik verwendet werden. Mit der Methode der mathematischen Modellierung können Sie Schulkindern beibringen:

a) Analyse (in der Phase der Wahrnehmung des Problems und der Wahl des Weges zur Umsetzung der Lösung);

b) Herstellen von Beziehungen zwischen den Objekten des Problems, Erstellen des am besten geeigneten Lösungsschemas;

c) Interpretation der erhaltenen Lösung für das ursprüngliche Problem;

d) Erstellung von Aufgaben nach fertigen Mustern etc.

Präsentationsarbeit an AufgabenFolien15-22 .

Kombinatorik an Modellen ab Klasse 1

Note 2

Ordnen Sie die Zahlen 4, 6, 8 auf unterschiedliche Weise an:

In den Klassen 3-4

Baum (36 Abendessen)

Foto aus Notizbuch

Nummerierung lernen, Zahlen addieren und subtrahieren und mit Längeneinheiten arbeiten (5 Min.)

Die Möglichkeit, Zahlen in Rechnungseinheiten und Maßeinheiten umzuwandeln, verursacht meistens einige Schwierigkeiten. Und hier empfiehlt es sich, die Modellierungsmethode zu Hilfe zu nehmen. Durch das Studium des Konzentriks „Zehn“ lernen Kinder, Einheiten mit Punkten schematisch darzustellen.Folie 25. Lernen Sie, Modelle zu addieren und zu subtrahieren.Folie 26. (7 Schritte)Folie 27.

Beim Studium der „Hundert“ stellen Kinder Zehner mit Hilfe kleiner Dreiecke dar. Sie lernen, Zahlen in Zähleinheiten (Dezimal und Einheiten) umzurechnen und parallel dazu lernen Kinder Zentimeter und Dezimeter kennen. Damit lässt sich eine Analogie zur Umrechnung von Längeneinheiten ziehen. Sie lernen auch, wie man zweistellige Zahlen auf Zahlendiagrammen addiert.Folie 28

Wenn Kinder die „tausend“ studieren, werden sie lernen, dass wir konventionell 10 Dreiecke (Zehner) als ein großes Dreieck (einhundert) darstellen. Parallel dazu lernen Kinder eine neue Längeneinheit – den Meter. Indem wir Zahlen in Zähleinheiten umwandeln, machen wir eine ähnliche Arbeit mit Längeneinheiten.Folie 29, Beispiel für Nummer 342Folie 30 (5 Schritte)

Beispiel für Nummer 320Folie 31 (6 Schritte)

Beispiel für Nummer 302Folie 32 (8 Schritte)

Algorithmen.Folien 33 und 34(7 Schritte)

Empfehlungen für den Einsatz der Modellierungsmethode im Mathematikunterricht (3 min)

Es muss verstanden werden, dass das Modellieren im Unterricht nicht wünschenswert, sondern notwendig ist, da es Bedingungen für die vollständige und starke Beherrschung der Methoden der Erkenntnis und der Methoden der Lernaktivität durch die Schüler schafft.

Die Hauptziele des Modellierens im Unterricht sind:

ein Modell zu bauen, um eine neue Vorgehensweise zu konstruieren.

Lernen, ein Modell zu bauen, das auf der Analyse der Prinzipien und Methoden seiner Konstruktion basiert.

Denken Sie daran, dass die ersten Lektionen im Zusammenhang mit der Modellierung tatsächlich die Lektionen zum Festlegen einer Trainings- und praktischen Aufgabe sind. Das Problem, das bei Kindern entsteht, liegt darin, dass sie nicht genügend Möglichkeiten haben, eine allgemeine Einstellung zu zeigen. Jedes Mal, wenn eine neue praktische Situation auftaucht, definieren Kinder neue Zusammenhänge – und wieder stellt sich die Frage, wie man das anschaulich vermittelt.

Solche "abstrakten Aufgaben" wie das Zeichnen eines Diagramms nach einer Formel, das Herstellen einer Beziehung zwischen Größen, die Teil mehrerer Formeln sind usw. Angebot, wenn der Zusammenhang untersucht, bewusst und in Zeichen, Diagrammen immer wieder dargestellt wird. Hinter dem Modell soll jedes Kind Handlungen mit realen Objekten haben, die es nun in seiner Vorstellung ausführen kann (mentale Handlungen).

Der Ort des Modells für das Kind wird je nach Aufgabe bestimmt

Eine Handlung kann von einem Modell begleitet werden. Zum Beispiel, wenn die Konstruktion der Methode am Modell einfacher durchzuführen ist, als Arbeitsschritt an einer Textaufgabe (Mengenzusammenhänge werden beim Lesen schematisch dargestellt).

Das Modell wird nach Abschluss der Aktionen erstellt. Um die ausgeführte Aktion zu realisieren, ist es notwendig, ein Diagramm einer separaten Beziehung zu erstellen. Die Konstruktion des Schemas wird durch Fragen motiviert wie: „Wie haben Sie es gemacht?“, „Wie würden Sie anderen beibringen, solche Aufgaben auszuführen?

Und noch ein paar Tipps.

Sie müssen mit dem Studium der Fachliteratur beginnen. Dies ist beispielsweise eine Methodik für den Mathematikunterricht in Grundschulklassen und Lehrbüchern von E. Alexandrova, L. Peterson.

Achten Sie darauf, die Eltern bei Eltern-Lehrer-Treffen mit der Unterrichtsmethode für ihre Kinder vertraut zu machen. Ihre Ratschläge und Anweisungen können sich als nützlich erweisen.

Nutzen Sie jede Gelegenheit, um Teilnehmer an Meisterkursen in mathematischer Modellierung zu werden.

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