Beispiele zur Problemlösung zum Thema "Zufallsvariablen".
Aufgabe 1 . Es werden 100 Lose in der Lotterie ausgegeben. Es wurde ein Gewinn von 50 USD gespielt. und zehn Gewinne von jeweils $10. Finden Sie das Verteilungsgesetz des Wertes X - die Kosten eines möglichen Gewinns.
Entscheidung. Mögliche Werte von X: x 1 = 0; x 2 = 10 und x 3 = 50. Da es 89 „leere“ Tickets gibt, ist p 1 = 0,89, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 10 c.u. (10 Karten) – p 2 = 0,10 und für einen Gewinn von 50 c.u. -p 3 = 0,01. Auf diese Weise:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Einfach zu steuern: .
Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Käufer vorab mit der Werbung des Produkts vertraut gemacht hat, beträgt 0,6 (p = 0,6). Eine selektive Qualitätskontrolle der Werbung erfolgt durch Befragung der Käufer vor dem ersten, der die Anzeige vorab studiert hat. Erstellen Sie eine Reihe von Verteilungen der Anzahl der befragten Käufer.
Entscheidung. Entsprechend der Problemstellung ist p = 0,6. Von: q=1 -p = 0,4. Setzen wir diese Werte ein, erhalten wir: und eine Verteilungsreihe konstruieren:
|
Pi |
0,24 |
Aufgabe 3. Ein Computer besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen: einer Systemeinheit, einem Monitor und einer Tastatur. Bei einem einzigen starken Spannungsanstieg beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements 0,1. Erstellen Sie basierend auf der Bernoulli-Verteilung das Verteilungsgesetz für die Anzahl der ausgefallenen Elemente während einer Überspannung im Netz.
Entscheidung. Prüfen Bernoulli-Verteilung(oder Binomial): die Wahrscheinlichkeit, dass in n Tests, Ereignis A wird genau angezeigt k einmal: 
, oder:
|
q n |
p n |
BEIM Kommen wir zurück zur Aufgabe.
Mögliche Werte von X (Anzahl der Ausfälle):
x 0 = 0 – keines der Elemente ausgefallen;
x 1 =1 - Ausfall eines Elements;
x 2 =2 - Ausfall von zwei Elementen;
x 3 =3 - Ausfall aller Elemente.
Da p = 0,1 ist, ist q = 1 – p = 0,9. Unter Verwendung der Bernoulli-Formel erhalten wir
, ,
, .
Die Kontrolle: .
Daher das angestrebte Verteilungsgesetz:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Aufgabe 4. 5000 Schuss produziert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Patrone defekt ist 
. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es in der gesamten Charge genau 3 defekte Patronen gibt?
Entscheidung. Zutreffend Poisson-Verteilung: Diese Verteilung wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass bei einem sehr großen
Anzahl der Versuche (Massenversuche), bei denen die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A jeweils sehr klein ist, Ereignis A tritt k-mal ein: 
, wo .
Hier n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Wir finden , dann die gewünschte Wahrscheinlichkeit: 
.
Aufgabe 5. Beim Schießen vor dem ersten Treffer mit der Wahrscheinlichkeit, p zu treffen = 0,6 für einen Schuss, müssen Sie die Wahrscheinlichkeit finden, dass der Treffer beim dritten Schuss erfolgt.
Entscheidung. Wenden wir die geometrische Verteilung an: Lassen Sie unabhängige Versuche durchführen, bei denen das Ereignis A jeweils eine Eintrittswahrscheinlichkeit p (und eine Nichteintrittswahrscheinlichkeit q = 1 - p) hat. Die Versuche enden, sobald Ereignis A eintritt.
Unter solchen Bedingungen wird die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A beim k-ten Test eintritt, durch die Formel bestimmt: . Hier p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4 k \u003d 3. Daher .
Aufgabe 6. Gegeben sei das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:
Finde die mathematische Erwartung.
Entscheidung. .
Beachten Sie, dass die probabilistische Bedeutung der mathematischen Erwartung der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen ist.
Aufgabe 7. Finden Sie die Varianz einer Zufallsvariablen X mit dem folgenden Verteilungsgesetz:
Entscheidung. Hier .
Das Verteilungsgesetz des Quadrats von X 2 :
|
X 2 |
|||
Erforderliche Varianz: .
Streuung charakterisiert den Grad der Abweichung (Streuung) einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung.
Aufgabe 8. Die Zufallsvariable sei durch die Verteilung gegeben:
|
10m |
|||
Finden Sie seine numerischen Eigenschaften.
Lösung: m, m 2 ,
M 2 , m.
Über eine Zufallsvariable X kann man beides sagen – ihr mathematischer Erwartungswert beträgt 6,4 m bei einer Varianz von 13,04 m 2 , oder - seine mathematische Erwartung beträgt 6,4 m mit einer Abweichung von m. Die zweite Formulierung ist offensichtlich klarer.
Aufgabe 9.
Zufallswert X gegeben durch die Verteilungsfunktion: 
.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert X als Ergebnis des Tests einen im Intervall enthaltenen Wert annimmt 
.
Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert aus einem bestimmten Intervall annimmt, ist gleich dem Inkrement der Integralfunktion in diesem Intervall, d.h. . In unserem Fall und daher
.
Aufgabe 10. Diskrete Zufallsvariable X durch das Vertriebsgesetz gegeben:
Verteilungsfunktion finden F(x ) und erstelle seinen Graphen.
Entscheidung. Da die Verteilungsfunktion
zum 
, dann
beim ;
beim ;
beim ;
beim ;
Relevantes Diagramm:
Aufgabe 11. Kontinuierliche Zufallsvariable X gegeben durch die Differentialverteilungsfunktion: 
.
Finde die Trefferwahrscheinlichkeit X zum Intervall
Entscheidung. Beachten Sie, dass dies ein Sonderfall des Exponentialverteilungsgesetzes ist.
Verwenden wir die Formel: 
.
Aufgabe 12. Finden Sie die numerischen Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen X, die durch das Verteilungsgesetz gegeben ist:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
ist die Laplace-Funktion.Wie bekannt, zufällige Variable wird eine Variable genannt, die je nach Fall bestimmte Werte annehmen kann. Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets (X, Y, Z) und ihre Werte mit den entsprechenden Kleinbuchstaben (x, y, z) bezeichnet. Zufallsvariablen werden in diskontinuierliche (diskrete) und kontinuierliche unterteilt.
Diskrete Zufallsvariable ist eine Zufallsvariable, die nur eine endliche oder unendliche (zählbare) Menge von Werten mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten ungleich Null annimmt.
Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen ist eine Funktion, die die Werte einer Zufallsvariablen mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten verbindet. Das Verteilungsgesetz kann auf eine der folgenden Arten spezifiziert werden.
1 . Das Verteilungsgesetz kann durch die Tabelle angegeben werden:
wobei λ>0, k = 0, 1, 2, … .
in) mit Hilfe Verteilungsfunktion F(x) , die für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner als x annimmt, also F(x) = P(X< x).
Eigenschaften der Funktion F(x)
3 . Das Verteilungsgesetz kann grafisch eingestellt werden – Verteilungspolygon (Polygon) (siehe Aufgabe 3).
Beachten Sie, dass es zur Lösung einiger Probleme nicht erforderlich ist, das Verteilungsgesetz zu kennen. In einigen Fällen reicht es aus, eine oder mehrere Zahlen zu kennen, die die wichtigsten Merkmale des Vertriebsrechts widerspiegeln. Es kann eine Zahl sein, die den „Durchschnittswert“ einer Zufallsvariablen bedeutet, oder eine Zahl, die die durchschnittliche Größe der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Durchschnittswert angibt. Zahlen dieser Art nennt man numerische Merkmale einer Zufallsvariablen.
Grundlegende numerische Eigenschaften einer diskreten Zufallsvariablen :
- Mathematische Erwartung
(Mittelwert) einer diskreten Zufallsvariablen M(X)=Σ x ich p ich.
Für Binomialverteilung M(X)=np, für Poisson-Verteilung M(X)=λ - Streuung
diskrete Zufallsvariable D(X)=M2 oder D(X) = M(X 2) − 2. Die Differenz X–M(X) wird als Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem mathematischen Erwartungswert bezeichnet.
Für Binomialverteilung D(X)=npq, für Poisson-Verteilung D(X)=λ - Standardabweichung (Standardabweichung) σ(X)=√D(X).
Beispiele für die Lösung von Problemen zum Thema "Das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen"
Aufgabe 1.
1.000 Lottoscheine wurden ausgegeben: 5 davon gewinnen 500 Rubel, 10 gewinnen 100 Rubel, 20 gewinnen 50 Rubel und 50 gewinnen 10 Rubel. Bestimmen Sie das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X - Gewinne pro Ticket.
Entscheidung. Je nach Problemstellung sind folgende Werte der Zufallsvariablen X möglich: 0, 10, 50, 100 und 500.
Die Anzahl der Tickets ohne Gewinn beträgt 1000 - (5+10+20+50) = 915, dann P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Ebenso finden wir alle anderen Wahrscheinlichkeiten: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Wir stellen das resultierende Gesetz in Form einer Tabelle dar:
Finden Sie den mathematischen Erwartungswert von X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Aufgabe 3.
Das Gerät besteht aus drei unabhängig voneinander arbeitenden Elementen. Die Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Elements in einem Experiment beträgt 0,1. Erstellen Sie ein Verteilungsgesetz für die Anzahl der fehlerhaften Elemente in einem Experiment, bauen Sie ein Verteilungspolygon. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) und zeichnen Sie sie. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen.
Entscheidung. 1. Die diskrete Zufallsvariable X=(Anzahl der ausgefallenen Elemente in einem Experiment) hat die folgenden möglichen Werte: x 1 =0 (kein Element des Geräts ausgefallen), x 2 =1 (ein Element ausgefallen), x 3 =2 ( zwei Elemente fehlgeschlagen ) und x 4 \u003d 3 (drei Elemente fehlgeschlagen).
Ausfälle von Elementen sind unabhängig voneinander, die Ausfallwahrscheinlichkeiten jedes Elements sind gleich, daher ist es anwendbar Formel von Bernoulli
. Unter der Bedingung n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten der Werte:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Überprüfe: ∑pi = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Somit hat das gewünschte Binomialverteilungsgesetz X die Form:
Auf der Abszissenachse tragen wir die möglichen Werte x i und auf der Ordinatenachse die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten р i auf. Konstruieren wir die Punkte M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Wenn wir diese Punkte mit Liniensegmenten verbinden, erhalten wir das gewünschte Verteilungspolygon.
3. Finden Sie die Verteilungsfunktion F(x) = P(X).
Für x ≤ 0 gilt F(x) = P(X<0) = 0;für 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
für 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
für 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
für x > 3 ist es F(x) = 1, weil das Ereignis ist sicher.
 |
Graph der Funktion F(x)
4.
Für die Binomialverteilung X:
- mathematischer Erwartungswert М(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- Streuung D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- Standardabweichung σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Entscheidung.
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Wappen herausgefallen ist: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Die Wahrscheinlichkeit, dass drei Wappen herausfielen: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125
Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Beispiel #2. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel von einem Schützen mit einem Schuss zu treffen, beträgt für den ersten Schützen 0,8, für den zweiten Schützen 0,85. Die Schützen feuerten einen Schuss auf die Scheibe ab. Unter der Annahme, dass das Treffen der Scheibe für einzelne Schützen als unabhängige Ereignisse erfolgt, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A – genau ein Treffer auf der Scheibe.
Entscheidung.
Betrachten Sie Ereignis A – ein Treffer auf das Ziel. Die möglichen Vorkommnisse dieses Ereignisses sind wie folgt:
- Erster Schütze getroffen, zweiter Schütze verfehlt: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Der erste Schütze verfehlt, der zweite Schütze trifft das Ziel: P(A/H2)=(1-p1)*p2=(1-0,8)*0,85=0,17
- Der erste und der zweite Schütze treffen unabhängig voneinander das Ziel: P(A/H1H2) = p 1 * p 2 = 0,8 * 0,85 = 0,68
Wir können die häufigsten Verteilungsgesetze diskreter Zufallsvariablen herausgreifen:
- Binomialverteilungsgesetz
- Poisson-Verteilungsgesetz
- Geometrisches Verteilungsgesetz
- Hypergeometrisches Verteilungsgesetz
Für gegebene Verteilungen diskreter Zufallsvariablen erfolgt die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten ihrer Werte sowie numerischer Merkmale (mathematischer Erwartungswert, Varianz etc.) nach bestimmten "Formeln". Daher ist es sehr wichtig, diese Arten von Verteilungen und ihre grundlegenden Eigenschaften zu kennen.
1. Binomialverteilungsgesetz.
Eine diskrete Zufallsvariable $X$ unterliegt der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie die Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)= annimmt C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Tatsächlich ist die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses $A$ in $n$ unabhängigen Versuchen. Wahrfür die Zufallsvariable $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\links(0\rechts) & P_n\links(1\rechts) & \dots & P_n\links(n\rechts) \\
\hline
\end(array)$
Für eine solche Zufallsvariable ist die Erwartung $M\left(X\right)=np$, die Varianz ist $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Beispiel . Es gibt zwei Kinder in der Familie. Unter der Annahme, dass die Geburtswahrscheinlichkeiten eines Jungen und eines Mädchens gleich $0,5$ sind, finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi $ - die Anzahl der Jungen in der Familie.
Die Zufallsvariable $\xi $ sei die Anzahl der Jungen in der Familie. Die Werte, die $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte lassen sich durch die Formel $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, wobei $n =2$ - Anzahl der unabhängigen Versuche, $p=0,5$ - Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses in einer Reihe von $n$ Versuchen. Wir bekommen:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0.5)^0\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$
Dann ist das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $\xi $ die Entsprechung zwischen den Werten $0,\ 1,\ 2$ und ihren Wahrscheinlichkeiten, d.h.:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten im Verteilungsgesetz muss gleich $1$ sein, also $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+0, 25 =$1.
Erwartung $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, Varianz $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, Standardabweichung $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.
2. Poisson-Verteilungsgesetz.
Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur nicht-negative ganzzahlige Werte $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\über (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Kommentar. Die Besonderheit dieser Verteilung besteht darin, dass wir basierend auf experimentellen Daten die Schätzungen $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ finden, wenn die erhaltenen Schätzungen nahe beieinander liegen, dann wir Grund zu der Annahme haben, dass die Zufallsvariable dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegt.
Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen, die dem Poisson-Verteilungsgesetz unterliegen, können sein: die Anzahl der Autos, die morgen von einer Tankstelle gewartet werden; die Anzahl fehlerhafter Artikel im hergestellten Produkt.
Beispiel . Das Werk schickte Produkte im Wert von 500 $ an die Basis. Die Wahrscheinlichkeit eines Produktschadens während des Transports beträgt 0,002 $. Finden Sie das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$ gleich der Anzahl der beschädigten Produkte; was gleich $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ ist.
Eine diskrete Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl beschädigter Gegenstände. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem Poisson-Verteilungsgesetz mit dem Parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Die Wahrscheinlichkeiten der Werte sind $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((λ)^k)\über (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Für eine solche Zufallsvariable sind mathematischer Erwartungswert und Varianz gleich und gleich dem Parameter $\lambda $, also $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda=1 $.
3. Geometrisches Verteilungsgesetz.
Wenn eine diskrete Zufallsvariable $X$ nur natürliche Werte $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ mit Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ rechts)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, dann sagen wir, dass eine solche Zufallsvariable $X$ dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt. Tatsächlich scheint die geometrische Verteilung Bernoullis Versuche zum ersten Erfolg zu führen.
Beispiel . Beispiele für Zufallsvariablen, die eine geometrische Verteilung haben, können sein: die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf dem Ziel; Anzahl der Tests des Geräts vor dem ersten Ausfall; die Anzahl der Münzwürfe vor dem ersten Heads-Up und so weiter.
Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen sind jeweils gleich $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\ rechts)/p^ 2 $.
Beispiel . Auf dem Weg der Fischbewegung zum Laichplatz gibt es eine $4$-Sperre. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fisch jede Schleuse passiert, beträgt $p=3/5$. Konstruieren Sie eine Verteilungsreihe der Zufallsvariablen $X$ – die Anzahl der Schleusen, die der Fisch passiert hat, bevor er zum ersten Mal an der Schleuse anhält. Finden Sie $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Schleusen, die der Fisch vor dem ersten Halt an der Schleuse passiert hat. Eine solche Zufallsvariable unterliegt dem geometrischen Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Werte, die die Zufallsvariable $X annehmen kann, sind: 1, 2, 3, 4. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte werden nach folgender Formel berechnet: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, wobei: $ p=2/5$ - Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse gefangen werden, $q=1-p=3/5$ - Wahrscheinlichkeit, dass Fische durch die Schleuse gelangen, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ über (5)) = 0,4; $
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ über (5))\cdot ((9)\über (25))=((18)\über (125))=0,144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\über (5))\right))^4=((27)\über (125))=0,216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\links(X_i\rechts) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Erwarteter Wert:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Streuung:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$+\ 0,216\cdot (\left(4-2,176\right))^2\ca. 1,377.$
Standardabweichung:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1.377)\ca. 1.173,$
4. Hypergeometrisches Verteilungsgesetz.
Wenn es $N$-Objekte gibt, unter denen $m$-Objekte die angegebene Eigenschaft haben. Zufällig, ohne Ersatz, werden $n$-Objekte extrahiert, darunter $k$-Objekte, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Die hypergeometrische Verteilung ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen, dass genau $k$ Objekte in einer Stichprobe eine bestimmte Eigenschaft haben. Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Objekte in der Stichprobe, die eine bestimmte Eigenschaft haben. Dann die Wahrscheinlichkeiten der Werte der Zufallsvariablen $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Kommentar. Mit der HYPERGEOMET-Statistikfunktion des Excel $f_x$-Funktionsassistenten können Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eine bestimmte Anzahl von Versuchen erfolgreich sein wird.
$f_x\bis $ statistisch$\zu $ HYPERGEOMET$\zu $ OK. Es erscheint ein Dialogfeld, das Sie ausfüllen müssen. In der Grafik Number_of_successes_in_sample Geben Sie den Wert von $k$ an. Beispielgröße gleich $n$. In der Grafik Number_of_successes_in_population Geben Sie den Wert von $m$ an. Einwohnerzahl gleich $N$.
Der mathematische Erwartungswert und die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen $X$, die einem geometrischen Verteilungsgesetz unterliegt, sind $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left (1 -((m)\über (N))\rechts)\links(1-((n)\über (N))\rechts))\über (N-1))$.
Beispiel . Die Kreditabteilung der Bank beschäftigt 5 Spezialisten mit höherer Finanzausbildung und 3 Spezialisten mit höherer juristischer Ausbildung. Die Geschäftsleitung der Bank beschloss, 3 Spezialisten zur Weiterbildung zu entsenden und wählte sie nach dem Zufallsprinzip aus.
a) Erstellen Sie eine Verteilungsreihe der Anzahl von Spezialisten mit höherer Finanzausbildung, die zur Weiterbildung verwiesen werden können;
b) Finden Sie die numerischen Eigenschaften dieser Verteilung.
Die Zufallsvariable $X$ sei die Anzahl der Spezialisten mit höherer Finanzausbildung unter den drei ausgewählten. Werte, die $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ annehmen kann. Diese Zufallsvariable $X$ wird gemäß der hypergeometrischen Verteilung mit folgenden Parametern verteilt: $N=8$ - Populationsgröße, $m=5$ - Anzahl der Erfolge in der Population, $n=3$ - Stichprobengröße, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - Anzahl der Erfolge in der Stichprobe. Dann können die Wahrscheinlichkeiten $P\left(X=k\right)$ mit der Formel berechnet werden: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ über C_( N)^(n) ) $. Wir haben:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ca. 0,179.$
Dann die Verteilungsreihe der Zufallsvariablen $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Berechnen wir die numerischen Eigenschaften der Zufallsvariablen $X$ mit Hilfe der allgemeinen Formeln der hypergeometrischen Verteilung.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1.875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\ca. 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$
VERTEILUNGSGESETZ UND EIGENSCHAFTEN
ZUFÄLLIGE WERTE
Zufallsvariablen, ihre Klassifikation und Beschreibungsmethoden.
Ein Zufallswert ist eine Größe, die als Ergebnis eines Experiments den einen oder anderen Wert annehmen kann, der aber vorher nicht bekannt ist. Für eine Zufallsvariable können also nur Werte angegeben werden, von denen sie als Ergebnis des Experiments unbedingt einen annehmen wird. Diese Werte werden als mögliche Werte der Zufallsvariablen bezeichnet. Da eine Zufallsvariable das Zufallsergebnis eines Experiments quantitativ charakterisiert, kann sie als quantitatives Merkmal eines Zufallsereignisses betrachtet werden.
Zufallsvariablen werden üblicherweise mit Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, zum Beispiel X..Y..Z, und ihre möglichen Werte mit den entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet.
Es gibt drei Arten von Zufallsvariablen:
diskret; Kontinuierlich; Gemischt.
Diskret wird eine solche Zufallsvariable genannt, deren Anzahl möglicher Werte eine abzählbare Menge bildet. Eine abzählbare Menge wiederum ist eine Menge, deren Elemente nummeriert werden können. Das Wort "diskret" kommt vom lateinischen discretus, was "diskontinuierlich, aus getrennten Teilen bestehend" bedeutet.
Beispiel 1. Eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl fehlerhafter Teile X in einer Charge von nfl. Tatsächlich sind die möglichen Werte dieser Zufallsvariablen eine Reihe von ganzen Zahlen von 0 bis n.
Beispiel 2. Eine diskrete Zufallsvariable ist die Anzahl der Schüsse vor dem ersten Treffer auf der Scheibe. Hier können wie in Beispiel 1 die möglichen Werte durchnummeriert werden, obwohl im Grenzfall der mögliche Wert eine unendlich große Zahl ist.
kontinuierlich eine Zufallsvariable genannt wird, deren mögliche Werte kontinuierlich ein bestimmtes Intervall der numerischen Achse ausfüllen, das manchmal als Existenzintervall dieser Zufallsvariablen bezeichnet wird. Somit ist in jedem endlichen Existenzintervall die Anzahl der möglichen Werte einer kontinuierlichen Zufallsvariablen unendlich groß.
Beispiel 3. Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist der Stromverbrauch des Unternehmens für einen Monat.
Beispiel 4. Eine stetige Zufallsvariable ist der Fehler bei der Höhenmessung mit einem Höhenmesser. Aus dem Funktionsprinzip des Höhenmessers sei bekannt, dass der Fehler im Bereich von 0 bis 2 m liegt, daher ist das Existenzintervall dieser Zufallsvariablen das Intervall von 0 bis 2 m.
Gesetz der Verteilung von Zufallsvariablen.
Eine Zufallsvariable gilt als vollständig spezifiziert, wenn ihre möglichen Werte auf der Zahlenachse angegeben sind und das Verteilungsgesetz aufgestellt ist.
Das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen wird eine Relation genannt, die eine Beziehung zwischen den möglichen Werten einer Zufallsvariablen und den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten herstellt.
Man sagt, dass eine Zufallsvariable nach einem bestimmten Gesetz verteilt ist oder einem bestimmten Verteilungsgesetz unterliegt. Als Verteilungsgesetze werden eine Anzahl von Wahrscheinlichkeiten, eine Verteilungsfunktion, eine Wahrscheinlichkeitsdichte, eine charakteristische Funktion verwendet.
Das Verteilungsgesetz gibt eine vollständige wahrscheinliche Beschreibung einer Zufallsvariablen. Nach dem Verteilungsgesetz ist es möglich, vor Erfahrung zu beurteilen, welche möglichen Werte einer Zufallsvariablen häufiger und welche seltener auftreten werden.
Für eine diskrete Zufallsvariable kann das Verteilungsgesetz in Form einer Tabelle, analytisch (in Form einer Formel) und grafisch angegeben werden.
Die einfachste Form, das Verteilungsgesetz einer diskreten Zufallsvariablen anzugeben, ist eine Tabelle (Matrix), die in aufsteigender Reihenfolge alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen und ihre zugehörigen Wahrscheinlichkeiten auflistet, also
Eine solche Tabelle wird als Reihe von Verteilungen einer diskreten Zufallsvariablen bezeichnet. ein
Die Ereignisse X 1 , X 2 , ..., X n , die darin bestehen, dass die Zufallsvariable X als Ergebnis des Tests die Werte x 1 , x 2 , ... x n annimmt , sind inkonsistent und die einzig möglichen (weil die Tabelle alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen auflistet), d.h. eine komplette Gruppe bilden. Daher ist die Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten gleich 1. Also für jede diskrete Zufallsvariable
(Diese Einheit ist irgendwie auf die Werte der Zufallsvariablen verteilt, daher der Begriff "Verteilung").
Eine Verteilungsreihe lässt sich grafisch darstellen, wenn man auf der Abszissenachse die Werte einer Zufallsvariablen und auf der Ordinatenachse ihre zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aufträgt. Die Verbindung der erhaltenen Punkte bildet eine unterbrochene Linie, die als Polygon oder Polygon der Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet wird (Abb. 1).
Beispiel Die Lotterie wird gespielt: ein Auto im Wert von 5000 den. Einheiten, 4 Fernseher im Wert von 250 den. Einheit, 5 Videorecorder im Wert von 200 den. Einheiten Insgesamt werden 1000 Tickets für 7 den verkauft. Einheiten Erstellen Sie das Verteilungsgesetz für den Nettogewinn, den der Lotterieteilnehmer, der einen Tippschein gekauft hat, erhalten hat.
Entscheidung. Mögliche Werte der Zufallsvariablen X – Nettogewinn pro Ticket – sind gleich 0-7 = -7 den. Einheiten (wenn das Los nicht gewonnen hat), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. Einheiten (wenn das Los den Videorecorder, den Fernseher oder das Auto gewonnen hat). Vorausgesetzt, dass von 1000 Tickets die Anzahl der Nichtgewinner 990 beträgt und die angezeigten Gewinne 5, 4 bzw. 1 sind, und unter Verwendung der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit erhalten wir.
