Diese Lektion behandelt die grundlegenden Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke. Dieses Thema fasst die Themen zusammen, die wir bisher untersucht haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren mit algebraischen Brüchen, Reduktion, Faktorisierung usw. Als Teil der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren .

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen zu rationalen Ausdrücken und deren Transformationen

Definition

rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Potenzierung besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Fraktion: .

Rationale Ausdruckstransformation ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Operationen beim Konvertieren rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Aktionen in Klammern, dann Multiplikations- (Divisions-) und dann Additions- (Subtraktions-) Operationen.

Betrachten wir einige Beispiele zur Transformation rationaler Ausdrücke.

Beispiel 1

Entscheidung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Antworten: .

Notiz: vielleicht ist Ihnen beim Anblick dieses Beispiels eine Idee gekommen: kürzen Sie den Bruch vor dem Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner. In der Tat ist es absolut richtig: Zuerst ist es wünschenswert, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, aber die Lösung war etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angesehen rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere spezifische Beispiele dieser Transformationen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.

Unterricht und Präsentation zum Thema: "Transformation rationaler Ausdrücke. Beispiele zur Problemlösung"

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Das Konzept des rationalen Ausdrucks

Das Konzept des „rationalen Ausdrucks“ ähnelt dem Konzept des „rationalen Bruchs“. Der Ausdruck wird auch als Bruch dargestellt. Nur in unseren Zählern sind keine Zahlen, sondern verschiedene Arten von Ausdrücken. Meistens ist dies ein Polynom. Ein algebraischer Bruch ist ein Bruchausdruck, der aus Zahlen und Variablen besteht.

Bei der Lösung vieler Probleme in Grundschulklassen erhielten wir nach der Durchführung von Rechenoperationen bestimmte numerische Werte, meistens Brüche. Jetzt, nachdem wir die Operationen durchgeführt haben, erhalten wir algebraische Brüche. Leute, denken Sie daran: Um die richtige Antwort zu erhalten, müssen Sie den Ausdruck, mit dem Sie arbeiten, so weit wie möglich vereinfachen. Man muss den kleinstmöglichen Abschluss erreichen; identische Ausdrücke in Zähler und Nenner sollten gekürzt werden; Bei Ausdrücken, die reduziert werden können, müssen Sie dies tun. Das heißt, nachdem wir eine Reihe von Aktionen ausgeführt haben, sollten wir den einfachstmöglichen algebraischen Bruch erhalten.

Reihenfolge der Operationen mit rationalen Ausdrücken

Das Verfahren zum Ausführen von Operationen mit rationalen Ausdrücken ist das gleiche wie für arithmetische Operationen. Zuerst werden Operationen in Klammern ausgeführt, dann Multiplikation und Division, Potenzierung und schließlich Addition und Subtraktion.

Eine Identität beweisen bedeutet zu zeigen, dass für alle Werte der Variablen die rechte und die linke Seite gleich sind. Es gibt viele Beispiele mit dem Identitätsnachweis.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung von Identitäten sind:

• Verwandeln Sie die linke Seite in Gleichheit mit der rechten.
• Verwandeln Sie die rechte Seite in die Gleichheit mit der linken.
• Transformiere die linke und die rechte Seite separat, bis derselbe Ausdruck erhalten wird.
• Die rechte Seite wird von der linken Seite subtrahiert, und das Ergebnis sollte Null sein.

Transformation rationaler Ausdrücke. Beispiele für Problemlösungen

Beispiel 1
Beweisen Sie die Identität:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

Entscheidung.
Offensichtlich müssen wir die linke Seite transformieren.
Machen wir zuerst die Klammern:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

.

Es ist notwendig zu versuchen, die üblichen Multiplikatoren maximal herauszuholen.
2) Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln, durch den wir dividieren:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Führen Sie die Divisionsoperation durch:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Führen Sie die Additionsoperation durch:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Der rechte und der linke Teil passten zusammen. Die Identität ist also bewiesen.
Leute, beim Lösen dieses Beispiels brauchten wir Kenntnisse über viele Formeln und Operationen. Wir sehen, dass nach der Transformation aus dem großen Ausdruck ein ganz kleiner wurde. Beim Lösen fast aller Probleme führen Transformationen normalerweise zu einfachen Ausdrücken.

Beispiel 2
Den Ausdruck vereinfachen:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

Entscheidung.
Beginnen wir mit den ersten Klammern.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Lassen Sie uns die zweite Klammer umwandeln.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Machen wir die Division.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

.

Antwort: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Beispiel 3
Folge diesen Schritten:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16 )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

Entscheidung.
Beginnen Sie wie immer mit Klammern.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Jetzt machen wir die Division.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Verwenden wir die Eigenschaft: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Führen wir die Subtraktionsoperation durch.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Wie wir bereits gesagt haben, ist es notwendig, den Bruch so weit wie möglich zu vereinfachen.
Antwort: $\frac(k)(k-4)$.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1. Beweisen Sie die Identität:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Folgen Sie den Schritten:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Diese Lektion behandelt die grundlegenden Informationen über rationale Ausdrücke und ihre Transformationen sowie Beispiele für die Transformation rationaler Ausdrücke. Dieses Thema fasst die Themen zusammen, die wir bisher untersucht haben. Transformationen rationaler Ausdrücke umfassen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren mit algebraischen Brüchen, Reduktion, Faktorisierung usw. Als Teil der Lektion werden wir uns ansehen, was ein rationaler Ausdruck ist, und auch Beispiele für ihre Transformation analysieren .

Gegenstand:Algebraische Brüche. Arithmetische Operationen mit algebraischen Brüchen

Lektion:Grundlegende Informationen zu rationalen Ausdrücken und deren Transformationen

Definition

rationaler Ausdruck ist ein Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, arithmetischen Operationen und Potenzierung besteht.

Betrachten Sie ein Beispiel für einen rationalen Ausdruck:

Sonderfälle rationaler Ausdrücke:

1. Grad: ;

2. Monom: ;

3. Fraktion: .

Rationale Ausdruckstransformation ist eine Vereinfachung eines rationalen Ausdrucks. Die Reihenfolge der Operationen beim Konvertieren rationaler Ausdrücke: Zuerst gibt es Aktionen in Klammern, dann Multiplikations- (Divisions-) und dann Additions- (Subtraktions-) Operationen.

Betrachten wir einige Beispiele zur Transformation rationaler Ausdrücke.

Beispiel 1

Entscheidung:

Lassen Sie uns dieses Beispiel Schritt für Schritt lösen. Die Aktion in Klammern wird zuerst ausgeführt.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Antworten: .

Notiz: vielleicht ist Ihnen beim Anblick dieses Beispiels eine Idee gekommen: kürzen Sie den Bruch vor dem Reduzieren auf einen gemeinsamen Nenner. In der Tat ist es absolut richtig: Zuerst ist es wünschenswert, den Ausdruck so weit wie möglich zu vereinfachen und ihn dann umzuwandeln. Versuchen wir, dasselbe Beispiel auf die zweite Art zu lösen.

Wie Sie sehen, war die Antwort absolut ähnlich, aber die Lösung war etwas einfacher.

In dieser Lektion haben wir uns angesehen rationale Ausdrücke und ihre Transformationen, sowie mehrere spezifische Beispiele dieser Transformationen.

Referenzliste

1. Bashmakov M.I. Algebra Klasse 8. - M.: Aufklärung, 2004.

2. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. ua Algebra 8. - 5. Aufl. -M.: Bildung, 2010.

Rationale Ausdrücke und Brüche sind die Eckpfeiler des gesamten Kurses der Algebra. Wer lernt, mit solchen Ausdrücken umzugehen, sie zu vereinfachen und zu faktorisieren, wird in der Tat in der Lage sein, jedes Problem zu lösen, da die Transformation von Ausdrücken ein wesentlicher Bestandteil jeder ernsthaften Gleichung, Ungleichung und sogar eines Wortproblems ist.

In diesem Video-Tutorial sehen wir, wie man abgekürzte Multiplikationsformeln richtig anwendet, um rationale Ausdrücke und Brüche zu vereinfachen. Lernen wir, diese Formeln zu sehen, wo auf den ersten Blick nichts ist. Gleichzeitig wiederholen wir einen so einfachen Trick wie das Zerlegen eines quadratischen Trinoms in Faktoren durch die Diskriminante.

Wie Sie wahrscheinlich bereits anhand der Formeln hinter meinem Rücken erraten haben, werden wir heute die Formeln für die abgekürzte Multiplikation studieren, oder besser gesagt, nicht die Formeln selbst, sondern ihre Anwendung zur Vereinfachung und Reduzierung komplexer rationaler Ausdrücke. Aber bevor wir mit der Lösung von Beispielen fortfahren, werfen wir einen genaueren Blick auf diese Formeln oder erinnern uns an sie:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ ist die Differenz von Quadraten;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ ist das Quadrat der Summe;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ ist die quadrierte Differenz;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ist die Summe von Kubikzahlen;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ist die Differenz von Kubikzahlen.

Ich möchte auch anmerken, dass unser schulisches Bildungssystem so ausgelegt ist, dass es mit dem Studium dieses Themas, d.h. rationale Ausdrücke, sowie Wurzeln, Module, alle Studenten haben das gleiche Problem, das ich jetzt erklären werde.

Tatsache ist, dass die Lehrer gleich zu Beginn des Studiums der Formeln für die abgekürzte Multiplikation und dementsprechend der Aktionen zum Reduzieren von Brüchen (hier geht es um die 8. Klasse) so etwas sagen: „Wenn Ihnen etwas nicht klar ist, machen Sie sich keine Sorgen , wir werden mehr als einmal auf dieses Thema zurückkommen, sicherlich in der High School. Wir werden es später herausfinden." Nun, dann erklären dieselben Lehrer an der Wende von der 9. zur 10. Klasse denselben Schülern, die immer noch nicht wissen, wie man rationale Brüche löst, etwa so: „Wo warst du die letzten zwei Jahre? Das gleiche wurde in der 8. Klasse in Algebra gelernt! Was kann hier unverständlich sein? Es ist so offensichtlich!"

Für normale Schüler sind solche Erklärungen jedoch überhaupt nicht einfacher: Sie hatten immer noch ein Durcheinander im Kopf, daher werden wir jetzt zwei einfache Beispiele analysieren, anhand derer wir sehen werden, wie diese Ausdrücke in echten Problemen hervorgehoben werden können. was uns zu kurzen Multiplikationsformeln führen wird und wie man sie später anwendet, um komplexe rationale Ausdrücke umzuwandeln.

Reduktion einfacher rationaler Brüche

Aufgabe 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Als erstes müssen wir lernen, in den ursprünglichen Ausdrücken exakte Quadrate und höhere Potenzen zu unterscheiden, auf deren Grundlage wir dann die Formeln anwenden können. Schauen wir mal:

Lassen Sie uns unseren Ausdruck unter Berücksichtigung dieser Tatsachen umschreiben:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Antwort: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Aufgabe Nr. 2

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Hier gibt es nichts zu vereinfachen, weil der Zähler eine Konstante ist, aber ich habe diese Aufgabe genau deshalb vorgeschlagen, damit Sie lernen, wie man Polynome mit zwei Variablen faktorisiert. Wenn stattdessen unten ein Polynom geschrieben wäre, wie würden wir es zerlegen?

\[((x)^(2))+5x-6=\left(x-... \right)\left(x-... \right)\]

Lassen Sie uns die Gleichung lösen und $x$ finden, die wir anstelle von Punkten einsetzen können:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Wir können das Trinom wie folgt umschreiben:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

Wir haben gelernt, wie man mit einem quadratischen Trinom arbeitet – dafür mussten wir diese Videolektion aufnehmen. Was aber, wenn es neben $x$ und der Konstante auch noch $y$ gibt? Betrachten wir sie als ein weiteres Element der Koeffizienten, d.h. Schreiben wir unseren Ausdruck wie folgt um:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Wir schreiben die Zerlegung unserer Quadratkonstruktion:

\[\links(x-y \rechts)\links(x+6y \rechts)\]

Wenn wir zum ursprünglichen Ausdruck zurückkehren und ihn unter Berücksichtigung der Änderungen neu schreiben, erhalten wir insgesamt Folgendes:

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

Was gibt uns eine solche Aufzeichnung? Nichts, weil es nicht reduziert werden kann, es wird durch nichts multipliziert oder dividiert. Sobald sich jedoch herausstellt, dass dieser Bruch ein integraler Bestandteil eines komplexeren Ausdrucks ist, wird eine solche Erweiterung nützlich sein. Versuchen Sie daher immer, sobald Sie ein quadratisches Trinom sehen (ob es mit zusätzlichen Parametern belastet ist oder nicht), es zu faktorisieren.

Nuancen der Lösung

Denken Sie an die Grundregeln zum Konvertieren rationaler Ausdrücke:

• Alle Nenner und Zähler müssen entweder durch abgekürzte Multiplikationsformeln oder durch die Diskriminante faktorisiert werden.
• Wir müssen nach diesem Algorithmus arbeiten: Wenn wir versuchen, die abgekürzte Multiplikationsformel hervorzuheben, versuchen wir zunächst, alles so weit wie möglich zu übersetzen. Danach nehmen wir den allgemeinen Abschluss aus Klammern heraus.
• Sehr oft gibt es Ausdrücke mit einem Parameter: Andere Variablen erscheinen als Koeffizienten. Wir finden sie mit der quadratischen Entwicklungsformel.

Sobald Sie also rationale Brüche sehen, müssen Sie zunächst sowohl den Zähler als auch den Nenner in Faktoren (in lineare Ausdrücke) zerlegen, während wir die reduzierten Multiplikationsformeln oder die Diskriminante verwenden.

Schauen wir uns ein paar solcher rationalen Ausdrücke an und versuchen, sie auszuklammern.

Komplexere Beispiele lösen

Aufgabe 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Wir schreiben jeden Begriff neu und versuchen ihn zu erweitern:

Lassen Sie uns unseren gesamten rationalen Ausdruck unter Berücksichtigung dieser Tatsachen umschreiben:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\links(3y \rechts))^(2))-((\links(2x \rechts))^(2)))(((\links(2x \rechts))^(3))+ ((\links(3y\rechts))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Antwort: $-1$.

Aufgabe Nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Schauen wir uns alle Brüche an.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\links(x-2\rechts))^(2))\]

Lassen Sie uns die gesamte Struktur unter Berücksichtigung der Änderungen neu schreiben:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \rechts))(\links(2x-1 \rechts)\links(2x+1 \rechts))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \left(x-2 \right))\]

Antwort: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuancen der Lösung

Also, was haben wir gerade gelernt:

• Nicht jedes quadratische Trinom wird faktorisiert, insbesondere gilt dies für die unvollständigen Quadrate der Summe oder Differenz, die sehr oft als Teile des Summen- oder Differenzwürfels vorkommen.
• Konstanten, d.h. Gewöhnliche Zahlen, die keine Variablen enthalten, können auch als aktive Elemente im Zerlegungsprozess fungieren. Erstens können sie aus Klammern herausgenommen werden, und zweitens können die Konstanten selbst als Potenzen dargestellt werden.
• Sehr oft ergeben sich nach der Zerlegung aller Elemente in Faktoren gegensätzliche Konstruktionen. Sie müssen diese Brüche sehr sorgfältig kürzen, denn wenn Sie sie entweder von oben oder von unten streichen, erscheint ein zusätzlicher Faktor $-1$ - dies ist genau die Folge der Tatsache, dass sie entgegengesetzt sind.

Komplexe Probleme lösen

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Betrachten wir jeden Begriff einzeln.

Erster Bruchteil:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

Wir können den gesamten Zähler des zweiten Bruchs wie folgt umschreiben:

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

Schauen wir uns nun den Nenner an:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]

Lassen Sie uns den gesamten rationalen Ausdruck unter Berücksichtigung der obigen Tatsachen umschreiben:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Antwort: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nuancen der Lösung

Wie wir noch einmal gesehen haben, haben unvollständige Summenquadrate oder unvollständige Differenzquadrate, die oft in echten rationalen Ausdrücken vorkommen, jedoch keine Angst vor ihnen, weil sie sich nach der Transformation jedes Elements fast immer aufheben. Außerdem sollten Sie in der endgültigen Antwort auf keinen Fall Angst vor großen Konstruktionen haben - es ist durchaus möglich, dass dies nicht Ihr Fehler ist (insbesondere wenn alles berücksichtigt wird), aber der Autor hat sich eine solche Antwort ausgedacht.

Abschließend möchte ich noch ein komplexeres Beispiel analysieren, das nicht mehr direkt mit rationalen Brüchen zusammenhängt, aber alles enthält, was Sie bei echten Tests und Prüfungen erwartet, nämlich: Faktorisierung, Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner, Reduktion ähnlicher Terme . Genau das werden wir jetzt tun.

Lösung eines komplexen Problems der Vereinfachung und Transformation rationaler Ausdrücke

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Betrachten und erweitern Sie zuerst die erste Klammer: Darin sehen wir drei getrennte Brüche mit unterschiedlichen Nennern, also müssen wir als erstes alle drei Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, und dazu sollte jeder von ihnen faktorisiert werden:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \rechts)\]

Schreiben wir unsere gesamte Struktur wie folgt um:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Dies ist das Ergebnis der Berechnungen aus der ersten Klammer.

Umgang mit der zweiten Klammer:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ Rechts)\]

Lassen Sie uns die zweite Klammer unter Berücksichtigung der Änderungen neu schreiben:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\links(x-2 \rechts)\links(x+2 \rechts))\]

Lassen Sie uns nun die gesamte ursprüngliche Konstruktion schreiben:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Antwort: $\frac(1)(x+2)$.

Nuancen der Lösung

Wie Sie sehen können, stellte sich heraus, dass die Antwort ziemlich vernünftig war. Beachten Sie jedoch: Sehr oft vergessen die Schüler bei solch umfangreichen Berechnungen, wenn die einzige Variable nur im Nenner steht, dass dies der Nenner ist und am Ende des Bruchs stehen sollte, und schreiben diesen Ausdruck in den Zähler - das ist ein grober Fehler.

Außerdem möchte ich Ihre besondere Aufmerksamkeit darauf lenken, wie solche Aufgaben formalisiert werden. Bei komplexen Berechnungen werden alle Schritte Schritt für Schritt durchgeführt: Zuerst zählen wir die erste Klammer separat, dann die zweite Klammer separat, und erst am Ende kombinieren wir alle Teile und berechnen das Ergebnis. So versichern wir uns gegen dumme Fehler, schreiben alle Berechnungen sorgfältig auf und verschwenden gleichzeitig keine zusätzliche Zeit, wie es auf den ersten Blick erscheinen mag.